Z definície vyplýva, že pre nezápornú funkciu f (x) sa určitý integrál rovná ploche krivočarého lichobežníka ohraničeného krivkou y \u003d f (x), priamkami x \u003d a, x \u003d b a osou osy y \u003d 0 (obrázok 4.1).

Ak funkcia - f (x) nie je kladná, potom určitý integrál
sa rovná ploche zodpovedajúceho krivočarého lichobežníka so znamienkom mínus (obrázok 4.7).

Obrázok 4.7 - Geometrický význam určitý integrál pre pozitívnu funkciu

Pre ľubovoľnú spojitú funkciu f (x) určitý integrál
sa rovná súčtu plôch zakrivených lichobežníkov ležiacich pod grafom funkcie f (x) a nad osou úsečky, mínus súčet plôch krivočiarych lichobežníkov ležiacich nad grafom funkcie f (x) a pod úsečkou (obrázok 4.8).

Obrázok 4.8 - Geometrický význam určitého integrálu pre ľubovoľnú spojitú funkciu f (x) (znamienko plus označuje oblasť, ktorá sa pridáva, a znamienko mínus označuje oblasť, ktorá sa odčíta).

Pri praktickom výpočte plôch zakrivených tvarov sa často používa nasledujúci vzorec:
, kde S je plocha obrázka uzavretá medzi krivkami y \u003d f 1 (x) a y \u003d f 2 (x) na intervale [a, b] a f 1 (x) a f 2 (x) sú spojité funkcie definované na tento segment taký, že f 1 (x) ≥ f 2 (x) (pozri obrázky 4.9, 4.10).

Pri štúdiu ekonomického významu derivátu sa zistilo, že derivát pôsobí ako rýchlosť zmeny niektorého ekonomického objektu alebo procesu v čase alebo vo vzťahu k inému skúmanému faktoru. Na stanovenie ekonomického významu určitého integrálu je potrebné túto rýchlosť považovať za funkciu času alebo iného faktora. Potom, keď je určitým integrálom zmena antiderivátu, dostaneme, že v ekonómii odhaduje zmenu tohto objektu (procesu) za určité časové obdobie (alebo s určitou zmenou iného faktora).

Napríklad, ak funkcia q \u003d q (t) popisuje produktivitu práce ako funkciu času, potom je jej integrálnou funkciou určitý integrál.
predstavuje objem výroby Q za obdobie od t 0 do t 1.

Metódy výpočtu určitých integrálovsú založené na predtým uvažovaných integračných metódach (nebudeme vykonávať dôkazy).

Na nájdenie neurčitého integrálu sme použili metódu zmeny premennej založenú na vzorci: f (x) dx \u003d f ( (t)) ` (t) dt, kde x \u003d  (t) je funkcia diferencovateľná interval. Pre určitý integrál má vzorec zmeny premennej formu
kde
a pre všetkých.

Príklad 1... Nájsť

Nech t \u003d 2 –x 2. Potom dt \u003d -2xdx a xdx \u003d - ½dt.

Pre x \u003d 0 t \u003d 2 - 0 2 \u003d 2. Pre x \u003d 1t \u003d 2 - 1 2 \u003d 1. Potom

Príklad 2... Nájsť

Príklad 3... Nájsť

Vzorec pre integráciu po častiach pre určitý integrál bude mať formu:
kde
.

Príklad 1... Nájsť

Nech u \u003d ln (1 + x), dv \u003d dx. Potom

Príklad 2... Nájsť

Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Príklad 1.Nájdite oblasť postavy, obmedzené riadkami y \u003d x 2 - 2 a y \u003d x.

Graf funkcie y \u003d x 2 - 2 je parabola s minimálnym bodom pri x \u003d 0, y \u003d -2; os úsečky sa pretína v bodoch
... Graf funkcie y \u003d x je priamka, priamka nezápornej štvrtiny súradníc.

Nájdite súradnice priesečníkov paraboly y \u003d x 2 - 2 a priamky y \u003d x, riešenie sústavy týchto rovníc:

x 2 - x - 2 \u003d 0

x \u003d 2; y \u003d 2 alebo x \u003d -1; y \u003d -1

Obrázok, ktorého oblasť sa nachádza, môže byť teda znázornená na obrázku 4.9.

Obrázok 4.9 - Obrázok ohraničený čiarami y \u003d x 2 - 2 a y \u003d x

Na segmente [-1, 2] x ≥ x 2 - 2.

Použime vzorec
, nastavenie f 1 (x) \u003d x; f 2 (x) \u003d x 2 - 2; a \u003d -1; b \u003d 2.

Príklad 2.Nájdite plochu figúry ohraničenú čiarami y \u003d 4 - x 2 a y \u003d x 2 - 2x.

Graf funkcie y \u003d 4 - x 2 je parabola s maximálnym bodom pri x \u003d 0, y \u003d 4; os úsečky sa pretína v bodoch 2 a -2. Graf funkcie y \u003d x 2 - 2x je parabola s minimálnym bodom na 2x-2 \u003d 0, x \u003d 1; y \u003d -1; os úsečky sa pretína v bodoch 0 a 2.

Nájdite súradnice priesečníkov kriviek:

4 - x 2 \u003d x 2 - 2x

2x 2 - 2x - 4 \u003d 0

x 2 - x - 2 \u003d 0

x \u003d 2; y \u003d 0 alebo x \u003d -1; y \u003d 3

Obrázok, ktorého oblasť sa nachádza, môže byť teda znázornená na obrázku 4.10.

Obrázok 4.10 - Obrázok ohraničený čiarami y \u003d 4 - x 2 a y \u003d x 2 - 2x

Na segmente [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 - 2x.

Použime vzorec
, nastavenie f 1 (x) \u003d 4 - - x 2; f 2 (x) \u003d x 2 - 2x; a \u003d -1; b \u003d 2.

Príklad 3.Nájdite plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d 1 / x; y \u003d x 2 a y \u003d 4 v nezápornej štvrtine súradníc.

Graf funkcie y \u003d 1 / x je hyperbola, pre kladné x je konvexný smerom nadol; súradnicové osi sú asymptoty. Graf funkcie y \u003d x 2 v nezápornej súradnicovej štvrtine je vetvou paraboly s minimálnym bodom v počiatku. Tieto grafy sa pretínajú pri 1 / x \u003d x 2; x 3 \u003d 1; x \u003d 1; y \u003d 1.

Priamka y \u003d 4, graf funkcie y \u003d 1 / x sa pretína pri x \u003d 1/4 a graf funkcie y \u003d x 2 pri x \u003d 2 (alebo -2).

Obrázok, ktorého oblasť je potrebné nájsť, je teda možné znázorniť na obrázku 4.11.

Obrázok 4.11 - Obrázok ohraničený čiarami y \u003d 1 / x; y \u003d x 2 a y \u003d 4 v nezápornej štvrtine súradníc

Hľadaná plocha čísla ABC sa rovná rozdielu medzi plochou obdĺžnika ABHE, ktorá je 4 * (2 - ¼) \u003d 7, a súčtom plôch dvoch zakrivených lichobežníkov ACFE a CBHF. Vypočítajme plochu ACFE:

Vypočítajme plochu CBHF:

.

Požadovaná plocha je teda 7 - (ln4 + 7/3) \u003d 14/3 –ln43,28 (jednotka 2).

Výpočet plochy tvaru - Toto je možno jeden z najťažších problémov v teórii oblastí. V školskej geometrii učia, ako nájsť oblasti základných geometrických tvarov, ako sú napríklad trojuholník, kosoštvorec, obdĺžnik, lichobežník, kruh atď. Často sa však musíme zaoberať výpočtom plôch viacerých zložité postavy... Práve pri riešení takýchto problémov je veľmi vhodné použiť integrálny počet.

Definícia.

Zakrivený lichobežník volá sa nejaké číslo G, ktoré je ohraničené čiarami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a a x \u003d b a funkcia f (x) je spojitá na segmente [a; b] a nemení na ňom svoj znak (obr. 1).Oblasť zakriveného lichobežníka môže byť označená ako S (G).

Definitívny integrál ʃ а b f (x) dx pre funkciu f (x), ktorý je spojitý a nezáporný na intervale [а; b], a je oblasťou zodpovedajúceho zakriveného lichobežníka.

To znamená, že na nájdenie plochy obrázku G ohraničenej úsečkami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a a x \u003d b je potrebné vypočítať určitý integrál ʃ a b f (x) dx.

Touto cestou, S (G) \u003d ʃ a b f (x) dx.

Ak funkcia y \u003d f (x) nie je kladná na [a; b], potom plochu zakriveného lichobežníka nájdeme podľa vzorca S (G) \u003d -ʃ a b f (x) dx.

Príklad 1.

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d x 3; y \u003d 1; x \u003d 2.

Rozhodnutie.

Zadané čiary tvoria obrázok ABC, ktorý je šrafovaný obr. 2.

Požadovaná plocha sa rovná rozdielu medzi plochami zakriveného lichobežníka DACE a štvorca DABE.

Pomocou vzorca S \u003d ʃ a b f (x) dx \u003d S (b) - S (a) nájdeme limity integrácie. Aby sme to dosiahli, riešime sústavu dvoch rovníc:

(y \u003d x 3,
(y \u003d 1.

Máme teda x 1 \u003d 1 - spodná hranica a x \u003d 2 - horná hranica.

Takže, S \u003d S DACE - S DABE \u003d ʃ 1 2 x 3 dx - 1 \u003d x 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: 11/4 štvorcových. Jednotky

Príklad 2.

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d √x; y \u003d 2; x \u003d 9.

Rozhodnutie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je zhora ohraničený grafom funkcie

y \u003d √x a pod grafom funkcie y \u003d 2. Výsledný údaj sa zobrazí tieňovaním obr. 3.

Požadovaná plocha je S \u003d ʃ a b (√x - 2). Nájdeme limity integrácie: b \u003d 9, aby sme našli a, vyriešime sústavu dvoch rovníc:

(y \u003d √x,
(y \u003d 2.

Máme teda, že x \u003d 4 \u003d a je dolná hranica.

Takže S \u003d ∫ 4 9 (√x - 2) dx \u003d ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx \u003d 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S \u003d 2 2/3 štvorcových. Jednotky

Príklad 3.

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d x 3 - 4x; y \u003d 0; x ≥ 0.

Rozhodnutie.

Vytvorme graf funkcie y \u003d x 3 - 4x pre x ≥ 0. Za týmto účelom nájdeme deriváciu y ':

y ’\u003d 3x 2 - 4, y’ \u003d 0 pri x \u003d ± 2 / √3 ≈ 1,1 sú kritické body.

Ak zobrazíme kritické body na numerickej osi a umiestnime znaky derivácie, dostaneme, že funkcia klesá z nuly na 2 / √3 a zvyšuje sa z 2 / √3 na plus nekonečno. Potom x \u003d 2 / √3 je minimálny bod, minimálna hodnota funkcie je min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3.

Definujme priesečníky grafu s osami súradníc:

ak x \u003d 0, potom y \u003d 0, čo znamená, že A (0; 0) je priesečník s osou Oy;

ak y \u003d 0, potom x 3 - 4x \u003d 0 alebo x (x 2 - 4) \u003d 0 alebo x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, odkiaľ x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nevhodné, pretože x ≥ 0).

Body A (0; 0) a B (2; 0) sú priesečníky grafu s osou Ox.

Zadané riadky tvoria údaj OAB, ktorý je šrafovaním zobrazený ďalej obr. 4.

Pretože funkcia y \u003d x 3 - 4x naberá (0; 2) negatívny význampotom

S \u003d | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

Máme: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 02 \u003d -4, odkiaľ S \u003d 4 štvorcové. Jednotky

Odpoveď: S \u003d 4 štvorcové. Jednotky

Príklad 4.

Nájdite plochu figúry ohraničenú parabolou y \u003d 2x 2 - 2x + 1, priamkami x \u003d 0, y \u003d 0 a dotyčnicou tejto paraboly v bode s úsečkou x 0 \u003d 2.

Rozhodnutie.

Najskôr zostavíme rovnicu dotyčnice k parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 v bode s úsečkou x₀ \u003d 2.

Keďže derivácia y ‘\u003d 4x - 2, potom pri x 0 \u003d 2 dostaneme k \u003d y’ (2) \u003d 6.

Nájdite súradnicu bodu dotyku: y 0 \u003d 2 2 2 - 2 2 + 1 \u003d 5.

Dotyčná rovnica má preto tvar: y - 5 \u003d 6 (x - 2) alebo y \u003d 6x - 7.

Nakreslíme tvar ohraničený čiarami:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Priesečníky s osami súradníc: A (0; 1) - s osou Oy; s osou Ox - neexistujú žiadne priesečníky, pretože rovnica 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 nemá riešenie (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, to znamená, že vrchol parabolového bodu B má súradnice B (1/2; 1/2).

Obrázok, ktorého oblasť chcete určiť, je teda vyliahnutý obr. 5.

Máme: S О A В D \u003d S OABC - S ADBC.

Nájdite súradnice bodu D z podmienky:

6x - 7 \u003d 0, t.j. x \u003d 7/6, takže DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Plocha trojuholníka DBC sa zistí vzorcom S ADBC \u200b\u200b\u003d 1/2 DC BC. Touto cestou,

S ADBC \u200b\u200b\u003d 1/2 5/6 5 \u003d 25/12 štvorcových Jednotky

S OABC \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \u003d 10/3 (štvorcové jednotky).

Nakoniec dostaneme: S О A В D \u003d S OABC - S ADBC \u200b\u200b\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S \u003d 1 1/4 štvorcových. Jednotky

Analyzovali sme príklady hľadanie obmedzených oblastí čísel dané riadky ... Na úspešné vyriešenie týchto problémov musíte byť schopní zostaviť čiary a grafy funkcií v rovine, nájsť priesečníky čiar, použiť vzorec na nájdenie oblasti, čo znamená prítomnosť zručností a schopností pre výpočet určitých integrálov.

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Určite integrál. Ako vypočítať plochu tvaru

Prejdeme k úvahám o aplikáciách integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu. ako vypočítať plochu plochého útvaru pomocou určitého integrálu -... Nakoniec tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike - nech ho nájdu. Nikdy nevieš. Budeme musieť priblížiť predmestskú oblasť v živote so základnými funkciami a nájsť jej oblasť pomocou určitého integrálu.

Aby ste materiál úspešne zvládli, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na priemernej úrovni. Takže figuríny by si mali najskôr prečítať lekciu Nie.

2) Vedieť použiť Newton-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke môžete nadviazať priateľské priateľstvá s jednoznačnými integrálmi Určite integrál. Príklady riešení.

V skutočnosti na nájdenie oblasti figúry človek nepotrebuje toľko znalostí neurčitého a určitého integrálu. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, preto budú vaše vedomosti a zručnosti v kreslení oveľa dôležitejšou otázkou. V tejto súvislosti je užitočné osviežiť pamäť grafov základných elementárnych funkcií a prinajmenšom vedieť zostaviť priamku, parabolu a hyperbolu. To sa dá urobiť (veľa ľudí to potrebuje) pomocou metodický materiál a články o geometrických transformáciách grafov.

V skutočnosti je každý už od školy oboznámený s problémom hľadania oblasti pomocou určitého integrálu a my pôjdeme trochu dopredu školské osnovy... Tento článok nemusí vôbec existovať, faktom však je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študent trpí nenávidenou vežou s nadšením zvládnuť kurz vyššej matematiky.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime zakriveným lichobežníkom.

Zakrivený lichobežník sa nazýva rovinný útvar ohraničený osou, priamkami a grafom spojitej funkcie na segmente, ktorý nemení znamienko na tomto intervale. Nech je tento údaj umiestnený nie menej os úsečky:

Potom plocha krivočarého lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu... Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určite integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalšiu užitočnú skutočnosť. Z hľadiska geometrie je jednoznačným integrálom OBLASŤ.

Tj. určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá oblasti nejakého útvaru... Zvážte napríklad určitý integrál. Celočíselná čiara nastaví krivku na rovinu, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí si želajú, môžu vytvoriť kresbu) a samotný určený integrál sa číselne rovná oblasti príslušného krivočarého lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typické vyhlásenie o úlohe. Prvý a najdôležitejší okamih riešenia - kreslenie budovy... Okrem toho musí byť výkres zostavený SPRÁVNY.

Pri zostavovaní výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie stavať všetky riadky (ak existujú) a iba potom - paraboly, hyperboly, grafy ďalších funkcií. Je výhodnejšie zostavovať grafy funkcií bodovo, techniku \u200b\u200bkonštrukcie bod po bode nájdete v referenčný materiál Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií... Nájdete tam tiež veľmi užitočný materiál v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo zostaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Poďme nakresliť výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem vyliahnuť zakrivený lichobežník, tu je zrejmé, o ktorej oblasti hovoríme. Riešenie pokračuje takto:

V segmente sa nachádza graf funkcie cez os, takže:

Odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a uplatnením Newton-Leibnizovho vzorca , odkaz na prednášku Určite integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na podrobný plán a odhadnúť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - dobre, asi 9 bude napísaných, vyzerá to ako pravda. Je úplne zrejmé, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, potom sa očividne niekde stala chyba - dotyčný údaj sa nezmestí na 20 buniek, nanajvýš do desiatich. Ak je odpoveď záporná, potom bola úloha tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami a osou

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami a koordinujte osi.

Rozhodnutie: Vykonajme kresbu:

Ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou (alebo nakoniec nie vyššie danej osi), potom jej plochu nájdeme podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak sa od vás žiada, aby ste vyriešili iba určitý integrál bez geometrického významu, môže to byť záporné.

2) Ak sa od vás žiada, aby ste našli plochu figúry pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objaví mínus.

V praxi sa postava najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polorovine, a preto od najjednoduchších školských problémov prejdeme k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenej čiarami.

Rozhodnutie: Najprv musíte dokončiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii kreslenia problémov v oblasti nás najviac zaujímajú priesečníky priamok. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. To sa dá urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Je lepšie túto metódu nepoužívať, ak je to možné..

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie zostaviť riadky bod po bode, zatiaľ čo hranice integrácie sú zrejmé, akoby „samy od seba“. Technika bodového vykreslenia rôznych grafov je podrobne popísaná v pomocníkovi. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií ... Analytická metóda zisťovania limitov sa napriek tomu musí niekedy použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo presná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A zvážime aj taký príklad.

Návrat k nášmu problému: racionálnejšie je najskôr zostrojiť priamku a až potom parabolu. Poďme vykonať výkres:

Opakujem, že v prípade konštrukcie bod po bode sa limity integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak je na segmente nejaká spojitá funkcia väčší alebo rovný nejakej spojitej funkcie potom plochu obrázka ohraničenú grafmi týchto funkcií a priamkami nájdeme podľa vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať, kde sa figúra nachádza - nad osou alebo pod osou a zhruba povedané je dôležité, ktorý harmonogram je NAD Hore(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NÍŽE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente je parabola umiestnená nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaná postava je hore ohraničená parabolou a dole rovnou čiarou.
V segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť zakriveného lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca ... Pretože os je daná rovnicou, je umiestnený graf funkcie nie vyššie os potom

A teraz niekoľko príkladov nezávislého riešenia

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť postavy ohraničenú čiarami.

V priebehu riešenia problémov výpočtu plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane zábavná príhoda. Kreslenie je urobené správne, výpočty sú správne, ale z nepozornosti ... je nájdená oblasť nesprávneho obrázku, takto sa tvoj pokorný sluha niekoľkokrát pokazil. Tu je príklad zo skutočného života:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázka ohraničenú čiarami ,,,.

Rozhodnutie: Najprv vykonáme kresbu:

... Eh, vyšla mizerná kresba, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Obrázok, ktorého oblasť musíme nájsť, je vytieňovaný modrou farbou (pozorne si prezrite stav - na čo je figúra obmedzená!). Ale v praxi z nepozornosti často vzniká „závada“, že musíte nájsť plochu postavy, ktorá je zafarbená na zeleno!

Tento príklad je tiež užitočný v tom, že počíta plochu čísla pomocou dvoch určitých integrálov. Naozaj:

1) Čiarový graf je umiestnený na segmente nad osou;

2) Graf hyperboly sa nachádza v segmente nad osou.

Je celkom zrejmé, že oblasti možno (a mali by sa) pridať, preto:

Odpoveď:

Prejdime k jednej zmysluplnejšej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami
Predstavme rovnice v „školskej“ podobe a urobme kreslenie bod po bode:

Z výkresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“ :.
Aká je však dolná hranica?! Je jasné, že nejde o celé číslo, ale ktoré? Možno ? Ale kde je záruka, že kresba je urobená s dokonalou presnosťou, pokojne sa to môže stať. Alebo koreň. Čo keby sme graf vykreslili nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť ďalší čas a analyticky upraviť limity integrácie.

Nájdite priesečníky čiary a paraboly.
Aby sme to dosiahli, vyriešime rovnicu:


,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zamieňať sa za zámeny a značky, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve zložitejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu čísla ohraničeného čiarami,

Rozhodnutie: Vyobrazme túto figúru na výkrese.

Sakra, zabudol som podpísať harmonogram, ale aby som urobil nový obrázok, prepáč, nie hotz. Nie kresba, skrátka, dnes je ten deň \u003d)

Pre bodovú konštrukciu musíte vedieť vzhľad sínusoidy (a všeobecne dobré vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, ktoré možno nájsť v trigonometrická tabuľka... V mnohých prípadoch (ako v tomto) je možné zostrojiť schematický výkres, na ktorom by sa mali principiálne správne zobraziť grafy a integračné limity.

S medzami integrácie nie sú problémy, vyplývajú priamo z podmienky: - „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Robíme ďalšie rozhodnutie:

V segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

Trieda: 11

Prezentácia lekcie

Naspäť vpred

Pozor! Ukážka snímky slúži iba na informačné účely a nemusí predstavovať všetky možnosti prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si úplnú verziu.

Ciele lekcie:odvodiť vzorec na výpočet plôch plochých čísel pomocou určitého integrálu; rozvíjať zručnosť výpočtu plôch plochých postáv pomocou určitého integrálu; opakovať známe a hlásiť nové informácie z histórie integrálneho počtu; príprava na skúšku; pokračovať v práci na rozvoji pozornosti, reči, logické mysleniepresnosť záznamu; zlepšiť grafickú kultúru; pokračovať vo vývojových prácach tvorivosť študentov; zvýšiť záujem o štúdium matematiky;

Vybavenie:multimediálny projektor, plátno, prezentácia na danú tému, vyvinutá v prostredí Power Point.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment, komunikácia témy a účel hodiny.

II. Kontrola domácich úloh.

Prebieha kontrola domáca úloha (učiteľ ukáže riešenie na predtým pripravenom výkrese, riešenie je na zadnej strane tabuľky):

Vypočítajte plochu obrázka ohraničenú grafmi funkcií y \u003d 1+ 3cos (x / 2), x \u003d -π / 2, x \u003d 3π / 2, y \u003d 0

III. Aktualizácia základných vedomostí.

1. Ústna práca (Snímky 3-4)

1. Vyjadrte pomocou integrálu oblasti čísel znázornených na obrázkoch:
2. Vypočítajte integrály:

2. Trochu histórie. (Snímky 5-9)

Fragment počítačového projektu študentov na tému „Z histórie integrálneho počtu“.

1 študent

Integrálne - jeden z najdôležitejších pojmov matematiky, ktorý vznikol v súvislosti s potrebou na jednej strane nájsť funkcie pomocou ich derivácií a na druhej strane merať plochy, objemy, dĺžky oblúkov, prácu síl za určité časové obdobie atď.

Prišlo samotné slovo integrál J. Bernoulli (1690). Pochádza z latinčiny celé číslo, preložené ako obnoviť, obnoviť.

Ďalšie výrazy, ktoré viete o integrálnom počte, sa objavili oveľa neskôr. Teraz používaný názov primitívna funkcia nahradil skôr „Primitívna funkcia“predstavil Joseph Louis Lagrange(1797). Latinské slovo primitivus prekladá ako „počiatočný“.

Vznik problémov integrálneho počtu je spojený s hľadaním oblastí a objemov. Mnoho problémov tohto druhu bolo vyriešených matematikmi staroveké Grécko... Prvou známou metódou výpočtu integrálov je metóda vyčerpania Eudoxus ( o 370 pred Kr Pred naším letopočtom), ktorý sa pokúsil nájsť oblasti a objemy a rozdelil ich na nekonečné množstvo častí, pre ktoré je oblasť alebo objem už známy. Túto metódu prevzal a vyvinul Archimedes a bola použitá na výpočet plôch paraboly a na aproximáciu plochy kružnice.

Archimedes však neidentifikoval všeobecný obsah integračných metód a konceptov integrálu a ešte viac nevytvoril algoritmus pre integrálny počet.

Práce Archimeda, ktoré boli prvýkrát napísané v roku 1544, boli jedným z najdôležitejších východísk pre vývoj integrálneho počtu.

2 študent

Pojem integrál priamo súvisí s integrálnym počtom - odborom matematiky zaoberajúcim sa štúdiom integrálov, ich vlastností a výpočtových metód.

Integrál sa priblížil a presnejšie ku konceptu Isaac Newton... Bol prvým, kto vytvoril diferenciálny a integrálny počet a nazval ho „Metódou tokov ...“ (1670-1671, publ. 1736). Volali premenné Newton plynulo (aktuálne hodnoty od lat... fluo - prietok). Rýchlosť zmeny newtonovského plynu je fluxia, a nekonečne malé zmeny toku, ktorý je potrebný na výpočet tokov, sú „ okamihy„(Leibniz ich nazval diferenciály.) Newton teda založil koncepcie fluxiónov (derivátov) a fluentov (antiderivatívov alebo neurčitých integrálov).

To okamžite umožnilo vyriešiť najrôznejšie matematické a fyzikálne problémy.

Súčasne s Newtonom prišiel k podobným myšlienkam ďalší vynikajúci vedec - Gottfried Wilhelm Leibniz.

Pri zamýšľaní sa nad filozofickými a matematickými otázkami sa Leibniz presvedčil, že matematika sa môže stať najspoľahlivejším prostriedkom hľadania a hľadania pravdy vo vede. Integrálne znamienko (∫) prvýkrát použil Leibniz na konci 17. storočia. Tento symbol vznikol z písmena S - skratky slova lat. summa (suma).

Newton a Leibniz vyvinuli dve interpretácie pojmu obyčajného určitého integrálu.

Newton interpretoval určitý integrál ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi hodnotami primitívna funkcia:

,
Kde F` (x) \u003d f (x).

Pre Leibniza bol definitívnym integrálom súčet všetkých nekonečne malých diferenciálov.

Vzorec, ktorý Newton a Leibniz objavili nezávisle na sebe, nazvali newton - Leibnizov vzorec.

Koncept integrálu bol teda spojený s menami slávnych vedcov: Newton, Leibniz, Bernoulli, ktorí položili základ modernej matematickej analýzy.

IV. Vysvetlenie nového materiálu.

Pomocou integrálu môžete vypočítať oblasti nielen zakrivených lichobežníkov, ale aj zložitejších rovinných útvarov.

Nechajte postavu P obmedzené na priame x = a, x = b a funkčné grafy r = f(x) a r = g(x) a na segmente [ a;b] nerovnosť g(x)f(x).

Na výpočet plochy obrázka budeme uvažovať nasledovne. Vykonajte paralelný prenos postavy P na mjednotky hore tak, aby postava P skončil umiestnený v súradnicová rovina nad osou úsečky.

Teraz je zhora a zdola ohraničený grafmi funkcií r = f(x)+m a

r = g(x)+ma obe funkcie sú v intervale spojité a nezáporné [ a;b].

Výsledný údaj je označený A B C D... Jeho plochu nájdeme ako rozdiel medzi oblasťami čísel:

S ABCD \u003d S aDCb - S aABb \u003d =
=

Teda oblasť obrázku S ohraničená priamkami x = a, x = b a funkčné grafy r = f(x) a r = g(x) nepretržité v segmente [ a;b] a také, že pre každého x zo segmentu [ a;b] nerovnosť g(x)f(x), sa počíta podľa vzorca

Príklad. (Snímka 11) Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami r = x, r = 5 – x, x = 1, x = 2.

Vyberte si z týchto vzorcov na výpočet oblasti tvaru, ktorý zodpovedá jednému zo šiestich výkresov. (Snímka 14)

Úloha 3. (Snímka 15) Vypočítajte plochu obrázka ohraničenú grafom funkcie r = 0,5x 2 + 2, dotyčnica tohto grafu v bode s úsečkou x \u003d -2 a rovné x = 0.

1. Zostavme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie r = 0,5x 2 + 2 v bode s úsečkou x = -2:

r = f(x 0) + f"(x 0)(x - x 0)
f(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
f"(x) = (0,5x 2 + 2)"= x
f"(-2) = -2
r = 4 – 2(x + 2)
r = -2x

2. Vytvorme grafy funkcií.

3. Nájdite oblasť obrázku ABC.

Vi. Zhrnutie.

• vzorec na výpočet plôch plochých čísel;
• písanie vzorcov oblasti pre ploché postavy pomocou určitého integrálu;
• opakovanie rovnice dotyčnice s grafom funkcie a riešenie rovnice s modulom;
• známkovanie študentov.

VII. Domáca úloha.

1. 4 s. 228-230;
2. Č. 1025 (c, d), č. 1037 (c, d), č. 1038 (c, d)

učebnica: A. G. Mordkovich "Algebra a začiatky analýzy 10-11"

5. Infinitezimálne množstvá (definícia). Vlastnosti nekonečne malých veličín (preukážte jednu z nich)

6. Nekonečne veľké množstvá (definícia). Vzťah medzi nekonečne veľkými a nekonečne malými veličinami

7. Druhý pozoruhodný limit, počet e. Koncept prirodzených logaritmov

8. Spojitosť funkcie v bode a na intervale. Vlastnosti funkcií, ktoré sú spojité na segmente. Body zlomu

Téma 3: Derivát

9. Derivácia a jej geometrický význam. Rovnica dotyčnice k rovinnej krivke v danom bode

10. Diferencovateľnosť funkcií jednej premennej. Vzťah medzi diferencovateľnosťou a kontinuitou funkcie (dokázať vetu)

11. Základné pravidlá pre diferenciáciu funkcií jednej premennej (jedno z pravidiel na preukázanie)

12. Vzorce pre deriváty základných elementárnych funkcií (odvodiť jeden zo vzorcov). Derivácia komplexnej funkcie

Téma 4. Derivačné aplikácie

13. Rola a Lagrangeova veta (bez dôkazu). Geometrická interpretácia týchto viet

Lopitalovo pravidlo

14. Dostatočné kritériá pre monotónnosť funkcie (jedno z nich na preukázanie)

15. Určenie extrému funkcie jednej premennej. Nevyhnutné kritérium pre extrém (dokázať)

16. Dostatočné kritériá pre existenciu extrému (preukázať jednu z viet)

17. Pojem asymptota grafu funkcie. Horizontálne, šikmé a vertikálne asymptoty

18. Všeobecná schéma štúdia funkcií a konštrukcia ich grafov

Téma 5. Diferenciálna funkcia

19. Funkčný diferenciál a jeho geometrický význam. Forma invariantnosti diferenciálu prvého rádu

Téma 6. Funkcie viacerých premenných

36. Funkcie viacerých premenných. Čiastočné deriváty (definícia). Extrémnosť funkcie viacerých premenných a jej nevyhnutné podmienky

37. Pojem empirických vzorcov a metóda najmenších štvorcov. Výber parametrov lineárnej funkcie (derivácia sústavy normálnych rovníc)

Téma 7. Neurčitý integrál

20. Pojem primitívnej funkcie. Neurčitý integrál a jeho vlastnosti (jednou z vlastností je dokázať)

Dôkazy.

21. Metóda zmeny premennej v neurčitom integrále a vlastnosti jej použitia pri výpočte určitého integrálu

22. Metóda integrácie po častiach pre prípady neurčitých a určitých integrálov (odvodiť vzorec)

Téma 8. Jednoznačný integrál

23. Definitívny integrál ako hranica integrálneho súčtu. Jednoznačné integrálne vlastnosti

Jednoznačné integrálne vlastnosti

24. Veta o derivácii určitého integrálu vzhľadom na variabilnú hornú hranicu. Newton-Leibnizov vzorec

25. Nesprávne integrály s nekonečnými hranicami integrácie. Poissonov integrál (bez dôkazu)

26. Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Téma 9. Diferenciálne rovnice

27. Pojem diferenciálnej rovnice. Všeobecné a konkrétne riešenie. Cauchyov problém. Problém zostavenia matematického modelu demografického procesu

28. Najjednoduchšie diferenciálne rovnice 1. rádu (vyriešené vzhľadom na deriváciu, s oddeliteľnými premennými) a ich riešenie

29. Homogénne a lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu a ich riešenia

Téma 10. Číselné rady

30. Stanovenie číselného radu. Konvergencia číselného radu. Vlastnosti konvergujúcich sérií

31. Potrebné kritérium pre konvergenciu sérií (dokázať). Harmonická séria a jej divergencia (dokázať)

32. Známky porovnania a znamienko pre pozitívne série

33. D'Alembertov znak konvergencie pozitívnych sérií

34. Striedajúce sa riadky. Leibnizov test na konvergenciu striedavých sérií

35. Striedajúce sa riadky. Absolútna a podmienená konvergencia radov

26. Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Definícia 1.Zakrivený lichobežníkgenerované grafom nezápornej funkcie fna segmente je postava ohraničená segmentom
os úsečky, úsečky
,
a funkčný graf
na
.

1. Rozdelili sme segment
ukazuje na čiastkové úsečky.

2. V každom segmente
(Kde k=1,2,...,n) vyberte ľubovoľný bod .

3. Vypočítajte oblasti obdĺžnikov, ktorých základne majú úsečky
osi úsečky a výšky majú dĺžky
... Potom je plocha stupňovitej figúry tvorená týmito obdĺžnikmi
.

Upozorňujeme, že čím menšie sú čiastkové segmenty, tým viac je stupňovitá figúra blízko svojej polohy k danému krivočarému lichobežníku. Je preto prirodzené uviesť nasledujúcu definíciu.

Definícia 2.Oblasť zakriveného lichobežníka, grafom generovaná nezáporná funkcia f na segmente
, sa nazýva hranica (keďže dĺžky všetkých čiastkových segmentov majú tendenciu k 0) oblastí stupňovitých čísel, ak:

1) tento limit existuje a je konečný;

2) nezávisí od spôsobu rozdelenia segmentu
do čiastkových segmentov;

3) nezávisí od výberu bodov
.

Veta 1.Ak je funkcia
nepretržité a nezáporné v danom segmente
, potom zakrivený lichobežníkF, funkcia generovaná grafomf na
, má plochu, ktorá sa počíta podľa vzorca
.

Pomocou určitého integrálu môžete vypočítať oblasti plochých čísel a zložitejších typov.

Ak fa g- nepretržité a nezáporné v danom segmente
všetkých funkcií xzo segmentu
nerovnosť platí
, potom oblasť postavy Fobmedzené priamkami
,
a funkčné grafy
,
, vypočítané podľa vzorca
.

Komentovať.Ak zrušíme podmienku nezápornosti funkcií fa g, posledný vzorec zostáva pravdivý.

Téma 9. Diferenciálne rovnice

27. Pojem diferenciálnej rovnice. Všeobecné a konkrétne riešenie. Cauchyov problém. Problém zostavenia matematického modelu demografického procesu

Teória diferenciálne rovnice vznikli na konci 17. storočia pod vplyvom potrieb mechaniky a iných prírodovedných disciplín, v podstate súčasne s integrálnym a diferenciálnym počtom.

Definícia 1.nth objednávkasa nazýva rovnica formy, v ktorej
- neznáma funkcia.

Definícia 2.Funkcia
sa nazýva riešenie diferenciálnej rovnice na intervale Jaak sa substitúcia tejto funkcie a jej derivátov stane diferenciálnou rovnicou identitou.

Riešiť diferenciálnu rovnicuje nájsť všetky jeho riešenia.

Definícia 3.Graf riešenia diferenciálnej rovnice sa volá integrálna krivkadiferenciálnej rovnice.

Definícia 4.Obyčajná diferenciálna rovnica1th objednávkasa nazýva rovnica tvaru
.

Definícia 5.Rovnica tvaru
zavolal Diferenciálnej rovnice1-th rozkaz,povolené vzhľadom na derivát.

Akákoľvek diferenciálna rovnica má spravidla nekonečne veľa riešení. Aby bolo možné vylúčiť ktorékoľvek z celkového počtu všetkých rozhodnutí, musia sa stanoviť ďalšie podmienky.

Definícia 6.Stav formulára
uložené na riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu sa nazýva počiatočný stavalebo cauchyov stav.

Geometricky to znamená, že zodpovedajúca integrálna krivka prechádza bodom
.

Definícia 7.Všeobecným rozhodnutímdiferenciálna rovnica 1. rádu
na rovnej ploche Dje rodina parametrov s jedným parametrom
spĺňajúce podmienky:

1) pre akýkoľvek
funkcie
je riešením rovnice;

2) za každý bod
existuje taká hodnota parametra
že zodpovedajúca funkcia
je riešením rovnice vyhovujúce počiatočnej podmienke
.

Definícia 8.Riešenie získané zo všeobecného riešenia pre určitú hodnotu parametra sa volá súkromným rozhodnutímdiferenciálnej rovnice.

Definícia 9.Špeciálne riešeniediferenciálna rovnica je akékoľvek riešenie, ktoré nie je možné získať zo všeobecného riešenia pre žiadnu hodnotu parametra.

Riešenie diferenciálnych rovníc je veľmi náročná úloha a vo všeobecnosti platí, že čím vyššie je poradie rovnice, tým ťažšie je naznačiť spôsoby riešenia rovnice. Aj pre diferenciálne rovnice prvého rádu je možné iba v malom počte špeciálnych prípadov označiť metódy hľadania všeobecného riešenia. Navyše v týchto prípadoch nie je požadované riešenie vždy elementárnou funkciou.

Jedným z hlavných problémov teórie diferenciálnych rovníc, ktoré prvýkrát študoval O. Cauchy, je nájsť riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky.

Napríklad vždy existuje riešenie diferenciálnej rovnice
uspokojenie počiatočného stavu
, a bude jediný? Všeobecne možno povedať, že odpoveď znie nie. Skutočne, rovnica
, ktorého pravá strana je spojitá v celej rovine, má riešenia r\u003d 0 a r=(x+C.) 3 ,C.R ... Preto cez ktorýkoľvek bod osi O xprechádza dvoma integrálnymi krivkami.

Funkcia teda musí spĺňať určité požiadavky. Nasledujúca veta obsahuje jednu z možností dostatočných podmienok pre existenciu a jedinečnosť riešenia diferenciálnej rovnice
uspokojenie počiatočného stavu
.