Metóda riešenia rovníc s oddeliteľnými premennými. Príklady rovníc s oddeliteľnými premennými. Obyčajné diferenciálne rovnice

Diferenciálna rovnica s oddelenými premennými sa píše ako: (1). V tejto rovnici jeden člen závisí iba od x a druhý od y. Integráciou tejto rovnice po jednotlivých bodoch získame:
Je to jeho všeobecný integrál.

Príklad: nájdite všeobecný integrál rovnice:
.

Riešenie: Táto rovnica je samostatná diferenciálna diferenciálna rovnica. preto
alebo
Označujeme
... Potom
- všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.

Oddeliteľná rovnica má tvar (2). Rovnicu (2) možno ľahko znížiť na rovnicu (1) vydelením pojmu pojmom
... Dostaneme:

- všeobecný integrál.

Príklad:Vyriešte rovnicu .

Riešenie: transformujte ľavú stranu rovnice :. Vydelíme obe strany rovnice


Riešením je výraz:
tie.

Homogénne diferenciálne rovnice. Bernoulliho rovnice. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu.

Rovnica tvaru sa volá homogénny, ak
a
- homogénne funkcie rovnakého rádu (merania). Funkcia
sa nazýva homogénna funkcia prvého rádu (merania), ak sa každý z jeho argumentov vynásobí ľubovoľným faktorom celá funkcia sa vynásobí , t.j.
=
.

Homogénna rovnica môže byť redukovaná do formy
... Pomocou substitúcie
(
) homogénna rovnica sa redukuje na rovnicu s oddeliteľnými premennými s ohľadom na novú funkciu .

Volá sa diferenciálna rovnica prvého rádu lineárny, ak sa dá napísať ako
.

Bernoulliho metóda

Riešenie rovnice
je hľadaný ako produkt dvoch ďalších funkcií, t.j. substitúciou
(
).

Príklad:integrovať rovnicu
.

My veríme
... Potom, t.j. ... Najskôr vyriešime rovnicu
=0:


.

Teraz riešime rovnicu
tie.


... Všeobecné riešenie tejto rovnice teda je
tie.

Rovnica J. Bernoulliho

Rovnica formulára, kde
zavolal bernoulliho rovnica. Táto rovnica je vyriešená pomocou Bernoulliho metódy.

Homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica tvaru (1) kde a konštantný.

Hľadáme konkrétne riešenia rovnice (1) vo forme
kde do- nejaké číslo. Túto funkciu dvakrát odlíšiť a nahradiť výrazmi
do rovnice (1) dostaneme, t. j. alebo
(2) (
).

Rovnica 2 sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice.

Pri riešení charakteristickej rovnice (2) sú možné tri prípady.

Prípad 1.Korene a rovnice (2) sú skutočné a rôzne:

a

.

Prípad 2.Korene a rovnice (2) sú skutočné a rovnaké:
... V tomto prípade sú konkrétnymi riešeniami rovnice (1) funkcie
a
... Preto má všeobecné riešenie rovnice (1) tvar
.

Prípad 3.Korene a rovnice (2) sú zložité:
,
... V tomto prípade sú konkrétnymi riešeniami rovnice (1) funkcie
a
... Preto má všeobecné riešenie rovnice (1) tvar

Príklad.Vyriešte rovnicu
.

Rozhodnutie:zostavme charakteristickú rovnicu:
... Potom
... Všeobecné riešenie tejto rovnice
.

Extrémnosť funkcie viacerých premenných. Podmienečný extrém.

Extrémnosť funkcie viacerých premenných

Definícia.Bod M (x o , o o ) sa volámaximálny (minimálny) bod funkciez= f(x, y) ak existuje susedstvo bodu M také, že pre všetky body (x, y) z tohto susedstva nerovnosť
(
)

Na obr. 1 bod A
- existuje minimálny bod a bod IN
- maximálny bod.

Nevyhnutnéextrémna podmienka je multidimenzionálny analóg Fermatovej vety.

Veta.Nechajte bod
- je krajný bod diferencovateľnej funkciez= f(x, y). Potom parciálne derivácie
a
v tento bod sa rovná nule.

Body, v ktorých sú splnené podmienky potrebné na dosiahnutie maxima funkcie z= f(x, y),tie. parciálne deriváty z" x a z" r rovné nule kritickýalebo stacionárne.

Rovnosť parciálnych derivácií na nulu vyjadruje iba nevyhnutnú, ale nedostatočnú podmienku pre extrém funkcie viacerých premenných.

Na obr. zobrazuje tzv sedlový bod M (x o , o o ). Čiastočné deriváty
a
sa rovnajú nule, ale v tomto okamihu zjavne nejde o žiadny extrém M (x o , o o ) č.

Takéto sedlové body sú dvojrozmerné analógy inflexných bodov funkcií jednej premennej. Úlohou je oddeliť ich od extrémnych bodov. Inými slovami, musíte to vedieť dostatočnéextrémny stav.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém funkcie dvoch premenných).Nechajte funkciuz= f(x, y):a) definované v nejakom susedstve kritického bodu (x o , o o ), kde
\u003d 0 a
=0 ;

b) má v tomto bode spojité parciálne derivácie druhého rádu
;

;
Potom, ak ∆ \u003d AC- B 2 >0, potom v bode (x o , o o ) funkciaz= f(x, y) má extrém, a akA<0 - maximálne akA\u003e 0 - minimum. V prípade ∆ \u003d AC- B 2 <0, функция z= f(x, y) nemá extrém. Ak ∆ \u003d AC- B 2 \u003d 0, potom zostáva otázka prítomnosti extrému otvorená.

Skúmanie funkcie dvoch premenných pre extrémodporúčané nasledujúce schéma:

Nájdite čiastočné deriváty funkcie z" x a z" r .

Vyriešte sústavu rovníc z" x =0, z" r =0 a nájdite kritické body funkcie.

Nájdite čiastkové derivácie druhého rádu, vypočítajte ich hodnoty v každom kritickom bode a pomocou dostatočnej podmienky urobte záver, že existujú extrémy.

Nájdite extrémy (extrémne hodnoty) funkcie.

Príklad.Nájdite extrémy funkcie

Rozhodnutie. 1. Nájdite čiastkové derivácie

2. Kritické body funkcie sa nachádzajú v sústave rovníc:

majúci štyri roztoky (1; 1), (1; -1), (-1; 1) a (-1; -1).

3. Nájdite čiastkové derivácie druhého rádu:

;
;
, vypočítame ich hodnoty v každom kritickom bode a tam skontrolujeme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky.

Napríklad v bode (1; 1) A= z"(1; 1) \u003d -1; B \u003d 0; C \u003d -1. Ako ∆ = AC-B 2 \u003d (-1) 2-0 \u003d 1\u003e 0 a A \u003d -1<0, potom je bod (1; 1) maximálnym bodom.

Podobne stanovíme, že (-1; -1) je minimálny bod a v bodoch (1; -1) a (-1; 1), v ktorých ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Nájdite extrémy funkcie z max \u003d z (l; 1) \u003d 2, z min \u003d z (-l; -1) \u003d -2,

Podmienečný extrém. Lagrangeova multiplikačná metóda.

Zvážte problém špecifický pre funkcie viacerých premenných, keď jeho extrém nie je hľadaný v celej definičnej oblasti, ale v množine vyhovujúcej určitej podmienke.

Nech funkcia z \u003d f(x, r), argumenty xa oktoré spĺňajú podmienku g (x, y)= Z,zavolal obmedzujúca rovnica.

Definícia.Bodka
nazval bodpodmienené maximum (minimálne), ak existuje susedstvo tohto bodu také, že pre všetky body (x, y) z tohto susedstva vyhovujúce podmienkeg (x, r) \u003d С, nerovnosť

(
).

Na obr. je zobrazený bod podmieneného maxima
. Je zrejmé, že nejde o nepodmienený extrém funkcie z \u003d f(x, r) (na obrázku ide o bod
).

Najjednoduchší spôsob, ako nájsť podmienené extrémy funkcie dvoch premenných, je zmenšiť problém s hľadaním extrému funkcie jednej premennej. Predpokladajme rovnicu obmedzenia g (x, r) = ZOsa podarilo vyriešiť vzhľadom na jednu z premenných, napríklad vyjadriť onaprieč x:
. Dosadením výsledného výrazu do funkcie dvoch premenných dostaneme z \u003d f(x, r) =
, tie. funkcia jednej premennej. Jeho extrém bude podmieneným extrémom funkcie z = f(x, r).

Príklad. x 2 + r 2 za podmienky 3x + 2r \u003d11.

Rozhodnutie. Vyjadrme z rovnice 3x + 2y \u003d 11 premennú y z hľadiska premennej x a výslednú dosaďte
do funkcie z. Dostaneme z= x 2 +2
alebo z =
. Táto funkcia má jedinečné minimum pri = 3. Zodpovedajúca hodnota funkcie
(3; 1) je teda podmienený extrém (minimálny) bod.

V uvažovanom príklade rovnica obmedzenia g(xy) \u003d Csa ukázal ako lineárny, takže sa dal ľahko vyriešiť s ohľadom na jednu z premenných. V zložitejších prípadoch to však nemožno urobiť.

Všeobecne sa na nájdenie podmieneného extrému použije metóda Lagrangeových multiplikátorov.

Uvažujme funkciu troch premenných

Táto funkcia sa nazýva lagrangeova funkcia,a - Lagrangeov multiplikátor.Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta.Ak bod
je bod podmieneného extrému funkciez = f(x, r) za podmienkyg (x, r) \u003d С, potom existuje hodnota také, že pointa
je krajný bod funkcieĽ{ x, r, ).

Teda nájsť podmienený extrém funkcie z = f(x, y)za podmienky g(x, r) \u003d C.musíte nájsť riešenie systému

Na obr. je zobrazený geometrický význam Lagrangeových podmienok. Riadok g (x, y)\u003d C bodkovaný, rovná čiara g(x, r) = Q funkcie z \u003d f(x, r) pevný.

Obr. z toho vyplýva v bode podmieneného extrému čiara úrovne funkciez \u003d f(x, r) sa dotýka čiaryg(x, r) \u003d C.

Príklad.Nájdite maximálny a minimálny bod funkcie z \u003d x 2 + r 2 za podmienky 3x + 2r \u003d11 pomocou Lagrangeovej multiplikátorovej metódy.

Rozhodnutie. Skladáme Lagrangeovu funkciu Ľ \u003d x 2 + 2r 2 +

Rovnaním jej parciálnych derivácií na nulu získame sústavu rovníc

Jeho jediné riešenie (x \u003d 3, y \u003d 1, =-2). Iba bod (3; 1) môže byť teda podmieneným extrémnym bodom. Je ľahké overiť si, že v tomto okamihu je funkcia z= f(x, r) má podmienené minimum.

Uvažuje sa o metóde riešenia diferenciálnych rovníc s oddeliteľnými premennými. Uvádzame príklad podrobného riešenia diferenciálnej rovnice s oddeliteľnými premennými.

Definícia

Nech s (X), q (X) - funkcie premennej x;
p (y), r (y) - funkcie premennej y.

Oddeliteľnou diferenciálnou rovnicou je rovnica tvaru

Metóda riešenia diferenciálnej rovnice s oddeliteľnými premennými

Zvážte rovnicu:
i).
Vyjadrime deriváciu y z hľadiska diferenciálov.
;
.
Vynásobte dx.
ii)
Vydeľte rovnicu s (x) r (y)... To je možné urobiť, ak s (x) r (y) ≠ 0... Pre s (x) r (y) ≠ 0 máme
.
Integráciou získame všeobecný integrál kvadratúrami
(iii).

Keďže sme delili s (x) r (y), potom sme dostali integrál rovnice pre s (x) ≠ 0 a r (y) ≠ 0... Ďalej musíte vyriešiť rovnicu
r (y) \u003d 0.
Ak má táto rovnica korene, potom sú tiež riešením rovnice (i). Nech rovnica r (y) \u003d 0... má n koreňov a i, r (a i) \u003d 0, i \u003d 1, 2, ..., n... Potom sú konštanty y \u003d a i riešením rovnice (i). Niektoré z týchto riešení už môžu byť obsiahnuté vo všeobecnom integrále (iii).

Upozorňujeme, že ak je pôvodná rovnica uvedená v tvare (ii), potom by sa mala vyriešiť aj rovnica
s (x) \u003d 0.
Jeho korene b j, s (b j) \u003d 0, j \u003d 1, 2, ..., m... daj riešenia x \u003d b j.

Príklad riešenia diferenciálnej rovnice s oddeliteľnými premennými

Vyriešte rovnicu

Povedzme deriváciu z hľadiska diferenciálov:


Vynásobte dx a vydelte. Pre y ≠ 0 máme:

Integrujeme sa.

Integrály vypočítame pomocou vzorca.



Dosadením získame všeobecný integrál rovnice
.

Teraz zvážme prípad, y \u003d 0 .
Je zrejmé, že y \u003d 0 je riešením pôvodnej rovnice. Nie je zahrnutá do všeobecného integrálu.
Pridajme to teda ku konečnému výsledku.

; y \u003d 0 .

Referencie:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Uvažuje sa o metóde riešenia diferenciálnych rovníc, ktoré sa redukujú na rovnice so separovateľnými premennými. Uvádzame príklad podrobného riešenia diferenciálnej rovnice, ktorá sa redukuje na rovnicu so separovateľnými premennými.

Formulácia problému

Zvážte diferenciálnu rovnicu
i) ,
kde f je funkcia, a, b, c sú konštanty, b ≠ 0 .
Táto rovnica je redukovaná na oddeliteľnú rovnicu.

Metóda riešenia

Striedame:
u \u003d sekera + o + c
Tu y je funkciou premennej x. Preto je u tiež funkciou premennej x.
Rozlišujte vzhľadom na x
u ′ \u003d (sekera + o + c) ′ \u003d a + o ′
Náhradník i)
u ′ \u003d a + by ′ \u003d a + b f (ax + by + c) \u003d a + b f (u)
Alebo:
ii)
Deliace premenné. Vynásobte dx a vydelte a + b f (u)... Ak a + b f (u) ≠ 0potom

Integráciou získame všeobecný integrál pôvodnej rovnice i) vo štvorcoch:
iii) .

Na záver zvážte prípad
iv) a + b f (u) \u003d 0.
Predpokladajme, že táto rovnica má n koreňov u \u003d r i, a + b f (r i) \u003d 0, i \u003d 1, 2, ... n... Pretože funkcia u \u003d r i je konštantná, jej derivácia vzhľadom na x sa rovná nule. Preto u \u003d r i je riešením rovnice ii).
Avšak rovnica ii) nezodpovedá pôvodnej rovnici i) a prípadne nie všetky riešenia u \u003d r i vyjadrené v premenných xay vyhovujú pôvodnej rovnici i).

Riešením pôvodnej rovnice je teda všeobecný integrál iii) a niektoré korene rovnice iv).

Príklad riešenia diferenciálnej rovnice, ktorá sa redukuje na rovnicu so separovateľnými premennými

Vyriešte rovnicu
(1)

Striedame:
u \u003d x - r
Rozlišujte vzhľadom na x a vykonajte transformácie:
;

Vynásobte dx a vydelte u 2 .

Ak u ≠ 0, potom dostaneme:

Integrujeme:

Použijeme vzorec z tabuľky integrálov:

Vypočítame integrál

Potom
;
alebo

Spoločné rozhodnutie:
.

Teraz zvážme prípad u \u003d 0 , alebo u \u003d x - y \u003d 0 alebo
y \u003d x.
Pretože y ′ \u003d (x) ′ \u003d 1, potom y \u003d x je riešením pôvodnej rovnice (1) .

;
.

Referencie:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Uvažujme o niekoľkých príkladoch riešenia diferenciálnych rovníc s oddeliteľnými premennými.

1) Integrujte diferenciálnu rovnicu: (1 + x²) dy-2xydx \u003d 0.

Táto rovnica je oddeliteľná rovnica napísaná vo forme

Pojem necháme s dy na ľavej strane rovnice, pomocou dx ho presunieme na pravú stranu:

(1 + x²) dy \u003d 2xydx

Oddelíme premenné, to znamená, že na ľavej strane necháme iba dy a všetko, čo obsahuje y, na pravej strane dx a x. Ak to chcete urobiť, vydeľte obe strany rovnice (1 + x²) a y. Dostaneme

Integrujeme obe strany rovnice:

Naľavo je tabuľkový integrál. Integrál na pravej strane nájdeme napríklad nahradením t \u003d 1 + x²

dt \u003d (1 + x²) ‘dx \u003d 2xdx.

V príkladoch, kde je možné vykonať potenciáciu, to znamená odstrániť logaritmy, je vhodné brať nie C, ale lnC. Presne toto urobíme: ln│y│ \u003d ln│t│ + ln│C│. Pretože súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu, potom ln│y│ \u003d ln│Сt│, odkiaľ y \u003d Ct. Vykonáme spätnú zmenu a dostaneme všeobecné riešenie: y \u003d C (1 + x²).

Vydelili sme 1 + x² a y, ak sa nerovnajú nule. Ale 1 + x² nie je nula pre žiadne x. A y \u003d 0 pri C \u003d 0, takže nedošlo k žiadnej strate koreňov.

Odpoveď: y \u003d C (1 + x²).

2) Nájdite všeobecný integrál rovnice

Premenné je možné rozdeliť.

Obe strany rovnice vynásobíme dx a vydelíme

Dostaneme:

Teraz sa integrujeme

Naľavo je tabuľkový integrál. Vpravo urobíme substitúciu 4-x² \u003d t, potom dt \u003d (4-x²) ‘dx \u003d -2xdx. Dostaneme

Ak namiesto C vezmeme 1/2 ln│C│, môžeme odpoveď napísať kompaktnejšie:

Násobíme obe strany číslom 2 a použijeme vlastnosť logaritmus:

Rozdelili sme sa na

Nie sú rovné nule: y² + 1 - pretože súčet nezáporných čísel sa nerovná nule a radikálny výraz sa v zmysle podmienky nerovná nule. To znamená, že sa nestratili žiadne korene.

3) a) Nájdite všeobecný integrál rovnice (xy² + y2) dx + (x²-x²y) dy \u003d 0.

b) Nájdite čiastočný integrál tejto rovnice vyhovujúci počiatočnej podmienke y (e) \u003d 1.

a) Transformujeme ľavú stranu rovnice: y2 (x + 1) dx + x² (1-y) dy \u003d 0, potom

y² (x + 1) dx \u003d -x² (1-r.) dy. Vydeľte obe strany x²y² za predpokladu, že ani x ani y nie sú nula. Dostaneme:

Integrujeme rovnicu:

Pretože rozdiel medzi logaritmami sa rovná logaritmu kvocientu, máme:

Toto je všeobecný integrál rovnice. V procese riešenia sme nastavili podmienku, že súčin x²y² sa nerovná nule, čo znamená, že x a y by sa nemali rovnať nule. Dosadením x \u003d 0 a y \u003d 0 za podmienky: (0,0² + 0²) dx + (0²-0²0) dy \u003d 0 dostaneme správnu rovnosť 0 \u003d 0. Preto sú x \u003d 0 a y \u003d 0 tiež riešením tejto rovnice. Nie sú ale zahrnuté v všeobecnom integrále pre žiadne C (nuly nemôžu byť pod znamením logaritmu a v menovateli zlomku), preto by tieto riešenia mali byť písané popri všeobecnom integrále.

b) Pretože y (e) \u003d 1, dosadíme do výsledného riešenia x \u003d e, y \u003d 1 a nájdeme C:

Príklady vlastného testu: