Neurčitý integrál jeho základné vlastnosti. Najjednoduchšie vlastnosti integrálov. Otázky týkajúce sa autotestu

V tomto článku uvedieme zoznam hlavných vlastností určitý integrál... Väčšina z týchto vlastností je dokázaná na základe konceptov určitého integrálu Riemanna a Darbouxa.

Definícia určitého integrálu sa veľmi často robí pomocou prvých piatich vlastností, takže na ne v prípade potreby odkazujeme. Zvyšok vlastností určitého integrálu sa používa hlavne na hodnotenie rôznych výrazov.

Pred prechodom na základné vlastnosti určitého integrálu, dohodnime sa, že a nepresahuje b.

Pre funkciu y \u003d f (x), definovanú na x \u003d a, platí rovnosť.

To znamená, že hodnota určitého integrálu so zhodnými limitmi integrácie je nulová. Táto vlastnosť je dôsledkom definície Riemannovho integrálu, pretože v tomto prípade je každý integrálny súčet pre každé rozdelenie intervalu a ľubovoľný výber bodov rovný nule, pretože preto je limit celkových súčtov nulový.

Pre funkciu integrovateľnú do segmentu .

Inými slovami, pri zmene hornej a dolnej hranice integrácie v miestach sa hodnota určitého integrálu zmení na opačnú. Táto vlastnosť určitého integrálu vyplýva aj z konceptu Riemannovho integrálu, iba číslovanie rozdelenia segmentu by malo začínať od bodu x \u003d b.

pre funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrovateľné v intervale.

Dôkazy.

Zapíšeme si integrálny súčet funkcie pre dané rozdelenie segmentu a daný výber bodov:

kde a sú integrálne súčty funkcií y \u003d f (x) a y \u003d g (x) pre dané rozdelenie segmentu.

Prechod na limit o získame, že definíciou Riemannovho integrálu je to ekvivalentné tvrdeniu preukázanej vlastnosti.

Konštantný faktor je možné vziať mimo znamenia určitého integrálu. To znamená, že pre funkciu y \u003d f (x) integrovateľnú v intervale a ľubovoľné číslo k platí rovnosť .

Dôkaz o tejto vlastnosti určitého integrálu je úplne podobný predchádzajúcemu:


Nech funkcia y \u003d f (x) je integrovateľná na intervale X, a a potom .

Táto vlastnosť platí pre obidve aj pre alebo.

Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcich vlastností určitého integrálu.

Ak je funkcia integrovateľná do segmentu, potom je integrovateľná aj k ľubovoľnému vnútornému segmentu.

Dôkaz je založený na vlastnosti súčtov Darboux: ak sa k existujúcemu oddielu segmentu pridajú nové body, dolný súčet Darboux sa nezníži a horný sa nezvýši.

Ak je funkcia y \u003d f (x) integrovateľná v intervale a pre ľubovoľnú hodnotu argumentu, potom .

Táto vlastnosť je dokázaná definíciou Riemannovho integrálu: akýkoľvek integrálny súčet pre akúkoľvek voľbu deliacich bodov intervalu a bodov at bude nezáporný (nie kladný).

Dôsledok.

Pre funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrovateľné v intervale platia nasledujúce nerovnosti:


Toto tvrdenie znamená, že integrácia nerovností je prípustná. Tento dôsledok použijeme na preukázanie nasledujúcich vlastností.

Nech je funkcia y \u003d f (x) integrovateľná na intervale, potom na nerovnosti .

Dôkazy.

Je to zrejmé ... V predchádzajúcej vlastnosti sme zistili, že nerovnosť je možné integrovať po jednotlivých termínoch, preto je to pravda ... Túto dvojitú nerovnosť je možné zapísať ako .

Nechajte funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrovateľné v intervale a pre ľubovoľnú hodnotu argumentu, potom kde a .

Dôkaz je podobný. Pretože m a M sú najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie y \u003d f (x) v segmente, potom ... Vynásobenie dvojitej nerovnosti nezápornou funkciou y \u003d g (x) nás vedie k nasledujúcej dvojitej nerovnosti. Integráciou do segmentu sa dostávame k osvedčenému tvrdeniu.

Antiderivatívna funkcia a neurčitý integrál

Fakt 1. Integrácia je činnosť inverzná k diferenciácii, a to obnovenie funkcie zo známeho derivátu tejto funkcie. Takto bola obnovená funkcia F(x) sa volá primitívne pre funkciu f(x).

Definícia 1. Funkcia F(x f(x) na nejakom intervale Xak pre všetky hodnoty x z tohto intervalu rovnosť F "(x)=f(x), teda túto funkciu f(x) je derivát antiderivatívnej funkcie F(x). .

Napríklad funkcia F(x) \u003d hriech x je primitívom funkcie f(x) \u003d cos x na celom číselnom rade, pretože pre akúkoľvek hodnotu x (hriech x) "\u003d (kos x) .

Definícia 2. Neurčitý integrál funkcie f(x) je množina všetkých jej primitívnych látok... V takom prípade sa použije záznam

∫

f(x)dx

,

kde je znamenie ∫ sa nazýva integrálne znamienko, funkcia f(x) Je celé číslo a f(x)dx - integrand.

Takže ak F(x) Je to nejaké primitívne pre f(x), potom

∫

f(x)dx = F(x) +C.

kde C. - ľubovoľná konštanta (konštanta).

Aby sme pochopili význam množiny antiderivatív funkcie ako neurčitého integrálu, je vhodná nasledujúca analógia. Nech sú dvere (tradičné drevené dvere). Jeho funkciou je „byť dverami“. Z čoho sú dvere vyrobené Vyrobené z dreva. To znamená, že množinou antiderivatívov integrantu „byť dverami“, to znamená jeho neurčitého integrálu, je funkcia „byť stromom + C“, kde C je konštanta, čo v tejto súvislosti môže znamenať napríklad druh stromu. Rovnako ako dvere sú vyrobené z dreva s niektorými nástrojmi, derivácia funkcie je „vyrobená“ z antihmotnej funkcie pomocou vzorec, ktorý sme sa naučili štúdiom derivácie .

Potom je tabuľka funkcií bežných predmetov a im zodpovedajúcich primitívnych funkcií („byť dverami“ - „byť stromom“, „byť lyžičkou“ - „byť kovovou“ atď.) Podobná tabuľke základných neurčitých integrálov, ktorá bude uvedená nižšie. Tabuľka neurčitých integrálov obsahuje zoznam bežných funkcií s uvedením primitívnych látok, z ktorých sú tieto funkcie „vyrobené“. V časti problémov s hľadaním neurčitého integrálu sa uvádzajú také celé čísla, ktoré je možné bez osobitných úvah integrovať priamo, to znamená podľa tabuľky neurčitých integrálov. Pri komplikovanejších problémoch musí byť integrand najskôr transformovaný, aby bolo možné použiť tabuľkové integrály.

Fakt 2. Pri obnove funkcie ako primitívnej funkcie musíme brať do úvahy ľubovoľnú konštantu (konštantu) C., a aby ste nepísali zoznam primitívnych látok s rôznymi konštantami od 1 do nekonečna, musíte napísať množinu primitívnych látok s ľubovoľnou konštantou C.takto: 5 x³ + С. Takže ľubovoľná konštanta (konštanta) je zahrnutá do výrazu primitívne, pretože primárne môže byť funkcia, napríklad 5 x³ + 4 alebo 5 x³ + 3 a diferenciácia 4 alebo 3 alebo iná konštanta zmizne.

Poďme predstaviť integračný problém: pre túto funkciu f(x) nájsť takúto funkciu F(x), ktorého derivát rovná sa f(x).

Príklad 1.Nájdite množinu primitívnych funkcií

Rozhodnutie. Pri tejto funkcii je primitívom funkcia

Funkcia F(x) sa nazýva primitívne pre funkciu f(x) ak je derivát F(x) rovná sa f(x), alebo čo je rovnaká vec, diferenciálu F(x) rovná sa f(x) dx, t.j.

(2)

Preto je funkcia pre funkciu primitívne. Nie je to však jediný primitívny prostriedok pre. Slúžia tiež ako funkcie

kde ZO Je ľubovoľná konštanta. To je možné overiť diferenciáciou.

Ak teda pre funkciu existuje jedno primitívne, potom pre ňu existuje nekonečné množstvo odlišných od konštantného termínu. Všetky primitívne funkcie sú napísané vyššie. Vyplýva to z nasledujúcej vety.

Veta (formálne vyhlásenie o skutočnosti 2).Ak F(x) Je primitívom pre funkciu f(x) na nejakom intervale X, potom akýkoľvek iný primitív pre f(x) v rovnakom intervale možno znázorniť ako F(x) + C.kde ZOJe ľubovoľná konštanta.

V nasledujúcom príklade už máme na mysli tabuľku integrálov, ktorá bude uvedená v časti 3 po vlastnostiach neurčitého integrálu. Robíme to pred prečítaním celej tabuľky, aby bola jasná podstata vyššie uvedeného. A po tabuľke a vlastnostiach ich v integrácii použijeme naplno.

Príklad 2.Nájdite sady antihistaminík:

Rozhodnutie. Nájdeme množiny primitívnych funkcií, z ktorých sú tieto funkcie „vyrobené“. Pri zmienke o vzorcoch z tabuľky integrálov zatiaľ akceptujte, že také vzorce existujú, a celú tabuľku neurčitých integrálov si ešte trochu preštudujeme.

1) Aplikácia vzorca (7) z tabuľky integrálov pre n \u003d 3, dostaneme

2) Použitie vzorca (10) z tabuľky integrálov pre n \u003d 1/3, máme

3) Odkedy

potom vzorcom (7) pri n \u003d -1/4 nájsť

Integrál nie je samotná funkcia f a jej produkt rozdielom dx ... Toto sa vykonáva predovšetkým na označenie toho, ktorá premenná sa hľadá ako primitívna. Napríklad,

, ;

tu je v obidvoch prípadoch integrand rovnaké, ale jeho neurčité integrály sa v posudzovaných prípadoch ukážu ako odlišné. V prvom prípade sa táto funkcia považuje za funkciu premennej x a v druhej - ako funkcia z .

Proces hľadania neurčitého integrálu funkcie sa nazýva integrácia tejto funkcie.

Geometrický význam neurčitého integrálu

Nech je požadované nájsť krivku y \u003d F (x) a už vieme, že dotyčnica uhla sklonu dotyčnice v každom z jej bodov je danou funkciou f (x) úsečka tohto bodu.

Podľa geometrického významu derivácie, dotyčnica uhla sklonu dotyčnice v danom bode krivky y \u003d F (x) sa rovná hodnote derivátu F "(x)... Preto musíme nájsť takúto funkciu F (x), pre ktoré F "(x) \u003d f (x)... Funkcia požadovaná v úlohe F (x) je primitívom látky f (x)... Podmienku problému uspokojuje nie jedna krivka, ale rodina kriviek. y \u003d F (x) je jednou z týchto kriviek a akúkoľvek inú krivku z nej možno získať paralelným posunom pozdĺž osi Oy.

Zavolajme graf protikladnej funkcie funkcie f (x) integrálna krivka. Ak F "(x) \u003d f (x), potom graf funkcie y \u003d F (x) existuje integrálna krivka.

Fakt 3. Neurčitý integrál je geometricky znázornený rodinou všetkých integrálnych kriviek ako na obrázku nižšie. Vzdialenosť každej krivky od počiatku je určená ľubovoľnou integračnou konštantou (konštantou) C..

Neurčité integrálne vlastnosti

Fakt 4. Veta 1. Derivát neurčitého integrálu sa rovná celému číslu a jeho diferenciál sa rovná celému číslu.

Fakt 5. Veta 2. Neurčitý integrál diferenciálu funkcie f(x) sa rovná funkcii f(x) až do stáleho obdobia , t.j.

(3)

Vety 1 a 2 ukazujú, že diferenciácia a integrácia sú recipročné operácie.

Fakt 6. Veta 3. Konštantný faktor v integrante možno vylúčiť z neurčitého integrálneho znaku , t.j.

Nechajte funkciu r = f(x ) je definované na segmente [ a, b ], a < b ... Vykonajme nasledujúce operácie:

1) rozdelíme sa [ a, b ] bodky a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b na n čiastočné úsečky [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) v každom z čiastkových segmentov [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, vyberte ľubovoľný bod a vypočítajte hodnotu funkcie v tomto bode: f(z i ) ;

3) nájsť diela f(z i ) · Δ x i , kde je dĺžka čiastočného segmentu [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) komponovať integrálny súčetfunkcie r = f(x ) v segmente [ a, b ]:

ZO geometrický bod tento súčet σ je súčet plôch obdĺžnikov, ktorých základne sú čiastkové úsečky [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ] a výšky sú f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n ) (Obr. 1). Označme tým λ dĺžka najväčšieho čiastkového segmentu:

5) nájdite hranicu integrálneho súčtu, keď λ → 0.

Definícia. Ak existuje konečný limit integrálneho súčtu (1) a nezávisí to od metódy rozdelenia segmentu [ a, b ] na čiastkové segmenty, ani z výberu bodov z i v nich sa potom táto hranica volá určitý integrál z funkcie r = f(x ) v segmente [ a, b ] a je označený

Touto cestou,

V takom prípade funkcia f(x ) sa volá integrovateľný v [ a, b ]. Čísla a a b dolná a horná hranica integrácie, f(x ) Je integrand, f(x ) dx - integrand, x - premenná integrácie; úsečka [ a, b ] sa nazýva integračný interval.

Veta 1.Ak je funkcia r = f(x ) je spojitá na segmente [ a, b ], potom je v tomto segmente integrovateľný.

Definitívny integrál s rovnakými limitmi integrácie sa rovná nule:

Ak a > b , potom, podľa definície, dáme

2. Geometrický význam určitého integrálu

Nechajte na segmente [ a, b ] je daná spojitá nezáporná funkcia r = f(x ) . Zakrivený lichobežníkje údaj ohraničený zhora grafom funkcie r = f(x ), zdola - pri osi Ox, vľavo a vpravo - priamymi čiarami x \u003d a a x \u003d b (obr. 2).

Definitívny integrál nezápornej funkcie r = f(x ) z geometrického hľadiska sa rovná ploche zakriveného lichobežníka ohraničeného zhora grafom funkcie r = f(x ), vľavo a vpravo - po úsečkách x \u003d a a x \u003d b , dole - o segment osi Ox.

3. Základné vlastnosti určitého integrálu

1. Hodnota určitého integrálu nezávisí od označenia premennej integrácie:

2. Konštantný faktor je možné vziať mimo znamenia určitého integrálu:

3. Definitívny integrál algebraického súčtu dvoch funkcií sa rovná algebraickému súčtu určitých integrálov týchto funkcií:

4.Ak je funkcia r = f(x ) je integrovateľný na [ a, b ] a a < b < c potom

5. (veta o strednej hodnote)... Ak je funkcia r = f(x ) je spojitá na segmente [ a, b ], potom na tomto segmente je bod taký, že

4. Newton - Leibnizov vzorec

Veta 2.Ak je funkcia r = f(x ) je spojitá na segmente [ a, b ] a F(x) Je v tomto segmente nejaké z jeho vedľajších účinkov, potom platí nasledujúci vzorec:

ktorá sa volá podľa Newton-Leibnizovho vzorca. Rozdiel F(b) - F(a) sa zvyčajne píše takto:

kde sa znak nazýva dvojitý zástupný znak.

Vzorec (2) teda môžeme napísať ako:

Príklad 1. Vypočítajte integrál

Rozhodnutie. Pre integrand f(x ) = x 2 má ľubovoľný primitívny výraz formu

Pretože vo Newton-Leibnizovom vzorci možno použiť akékoľvek primitívne funkcie, na výpočet integrálu použijeme primitívne riešenie, ktoré má najjednoduchšiu formu:

5. Zmena premennej v určitý integrál

Veta 3. Nechajte funkciu r = f(x ) je spojitá na segmente [ a, b ]. Ak:

1) funkcia x = φ ( t) a jeho derivát φ "( t) sú spojité na;

2) množina hodnôt funkcie x = φ ( t) pre je segment [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, potom je vzorec platný

ktorá sa volá premenným vzorec zmeny v určitom integrále .

Na rozdiel od neurčitého integrálu, v tomto prípade nie je potrebné návrat k pôvodnej integračnej premennej - stačí nájsť nové limity integrácie α a β (k tomu je potrebné vyriešiť s ohľadom na premennú t rovnice φ ( t) = a a φ ( t) = b).

Namiesto striedania x = φ ( t) môžete použiť zámenu t = g(x ). V tomto prípade nájdenie nových limitov integrácie vzhľadom na premennú tzjednodušené: α \u003d g(a) , β = g(b) .

Príklad 2... Vypočítajte integrál

Rozhodnutie. Poďme predstaviť novú premennú pomocou vzorca. Vyrovnaním oboch strán rovnosti dostaneme 1 + x \u003d t 2 odkiaľ x \u003d t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt ... Nájdeme nové limity integrácie. Za týmto účelom dosadíme do vzorca staré limity x \u003d 3 a x \u003d 8. Získame :, odkiaľ t\u003d 2 a a \u003d 2; odkiaľ t= 3 a β \u003d 3. Takže,

Príklad 3. Vypočítať

Rozhodnutie. Poďme u \u003d ln x potom v = x ... Podľa vzorca (4)

Hlavné integračné vzorce sa získajú prevrátením vzorcov pre deriváty, preto by sa pred začatím štúdia danej témy malo zopakovať rozlišovacie vzorce 1 hlavných funkcií (t. J. Pripomenúť tabuľku derivácií).

Po oboznámení sa s pojmom antiderivatíva, definíciou neurčitého integrálu a porovnaním operácií diferenciácie a integrácie, by študenti mali venovať pozornosť skutočnosti, že prevádzka integrácie má viachodnotové, pretože poskytuje nekonečný súbor primitívnych činiteľov pre posudzovaný segment. Avšak v skutočnosti je vyriešený problém nájsť iba jedno primitívne liečivo všetky primitívne funkcie danej funkcie sa od seba líšia konštantnou hodnotou

kde C. - ľubovoľná hodnota 2.

Otázky na samovyšetrenie.

Uveďte definíciu protizápalovej funkcie.

Čo sa nazýva neurčitý integrál?

Čo je to funkcia integrand?

Čo je integrand?

Uveďte geometrický význam rodiny anti-negatívnych látok.

6. V rodine nájdite krivku cez bod

2. Vlastnosti neurčitého integrálu.

TABUĽKA JEDNODUCHÝCH INTEGRÁLOV

Tu by sa študenti mali naučiť nasledovné vlastnosti neurčitého integrálu.

Nehnuteľnosť 1. Derivát neurčitého integrálu sa rovná integrálu 3 funkcie (podľa definície)

Nehnuteľnosť 2. Diferenciál integrálu sa rovná celému číslu

tie. ak znamienko diferenciálu bude pred znamienkom integrálu, potom sa navzájom zrušia.

Nehnuteľnosť 3. Ak je znamienko integrálu pred znamienkom diferenciálu, navzájom sa rušia a k funkcii je pridaná ľubovoľná konštantná hodnota

Nehnuteľnosť4. Rozdiel medzi dvoma primitívami rovnakej funkcie je konštantná hodnota.

Nehnuteľnosť 5. Konštantný faktor je možné vytiahnuť spod integrálneho znamienka

kde A Je konštantné číslo.

Mimochodom, táto vlastnosť sa dá ľahko dokázať rozlíšením oboch strán rovnosti (2.4) s prihliadnutím na vlastnosť 2.

Nehnuteľnosť 6. Integrál súčtu (rozdielu) funkcie sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov týchto funkcií (ak existujú osobitne)

Táto vlastnosť sa tiež dá ľahko dokázať diferenciáciou.

Prirodzené zovšeobecnenie majetku 6

. (2.6)

Ak vezmeme do úvahy integráciu ako akciu inverznú k diferenciácii, priamo z tabuľky najjednoduchších derivácií je možné získať nasledujúcu tabuľku najjednoduchších integrálov.

Tabuľka najjednoduchších neurčitých integrálov

1., kde (2,7)

2., kde (2.8)

4., kde ,, (2,10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Vzorce (2.7) - (2.16) najjednoduchších neurčitých integrálov by sme sa mali naučiť naspamäť. Ich poznanie je potrebné, ale zďaleka nie dosť na to, aby sme sa naučili integrovať. Udržateľné zručnosti v integrácii sa dosahujú iba riešením dostatočne veľkého počtu problémov (zvyčajne asi 150 - 200 príkladov rôznych typov).

Ďalej uvádzame príklady zjednodušenia integrálov ich transformáciou na súčet známych integrálov (2.7) - (2.16) z vyššie uvedenej tabuľky.

Príklad 1.

.

Tento článok podrobne popisuje základné vlastnosti určitého integrálu. Dokazujú sa pomocou konceptu Riemannovho a Darbouxovho integrálu. Výpočet určitého integrálu sa uskutočňuje vďaka 5 vlastnostiam. Zvyšok z nich slúži na vyhodnotenie rôznych výrazov.

Predtým, ako pristúpime k základným vlastnostiam určitého integrálu, je potrebné sa uistiť, či a nepresahuje b.

Základné vlastnosti určitého integrálu

Definícia 1

Funkcia y \u003d f (x), definovaná na x \u003d a, je podobná platnej rovnosti ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Dôkaz 1

Odtiaľto vidíme, že hodnota integrálu so zhodnými hranicami sa rovná nule. Je to dôsledok Riemannovho integrálu, pretože každý integrálny súčet σ pre každú oblasť v intervale [a; a] a ľubovoľná voľba bodov ζ i sa rovná nule, pretože x i - x i - 1 \u003d 0, i \u003d 1, 2 ,. ... ... , n, čo znamená, že limit integrálnych funkcií je nula.

Definícia 2

Pre funkciu, ktorá je integrovateľná do segmentu [a; b], je splnená podmienka ∫ a b f (x) d x \u003d - ∫ b a f (x) d x.

Dôkaz 2

Inými slovami, ak sa miestami zmení horná a dolná hranica integrácie, hodnota integrálu zmení jeho hodnotu na opačnú. Táto vlastnosť je prevzatá z Riemannovho integrálu. Číslovanie rozdelenia segmentu však pochádza z bodu x \u003d b.

Definícia 3

∫ a b f x ± g (x) d x \u003d ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x sa používa pre integrovateľné funkcie typu y \u003d f (x) a y \u003d g (x) definované na intervale [a; b].

Dôkaz 3

Zapíšte si integrálny súčet funkcie y \u003d f (x) ± g (x) na rozdelenie na segmenty s daným výberom bodov ζ i: σ \u003d ∑ i \u003d 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 \u003d \u003d ∑ i \u003d 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i \u003d 1 ng ζ i xi - xi - 1 \u003d σ f ± σ g

kde σ f a σ g sú integrálne súčty funkcií y \u003d f (x) a y \u003d g (x) pre rozdelenie segmentu. Po prechode na hranicu pri λ \u003d m a x i \u003d 1, 2 ,. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 získame, že lim λ → 0 σ \u003d lim λ → 0 σ f ± σ g \u003d lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

Z Riemannovej definície je tento výraz ekvivalentný.

Definícia 4

Odstránenie konštantného faktora za znakom určitého integrálu. Integrovateľná funkcia z intervalu [a; b] s ľubovoľnou hodnotou k má platnú nerovnosť tvaru ∫ a b k · f (x) d x \u003d k · ∫ a b f (x) d x.

Dôkaz 4

Dôkaz o vlastnosti určitého integrálu je podobný ako v predchádzajúcom:

σ \u003d ∑ i \u003d 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) \u003d \u003d k ∑ i \u003d 1 nf ζ i (xi - xi - 1) \u003d k σ f ⇒ lim λ → 0 σ \u003d lim λ → 0 (k σ f) \u003d k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx \u003d k ∫ abf (x) dx

Definícia 5

Ak je funkcia tvaru y \u003d f (x) integrovateľná na intervale x s a ∈ x, b ∈ x, dostaneme, že ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Dôkaz 5

Vlastnosť sa považuje za pravdivú pre c ∈ a; b, pre c ≤ a a c ≥ b. Dôkaz je podobný ako pri predchádzajúcich vlastnostiach.

Definícia 6

Keď má funkcia schopnosť byť integrovateľná zo segmentu [a; b], potom je to možné pre akýkoľvek vnútorný segment c; d∈a; b.

Dôkaz 6

Dôkaz je založený na vlastnosti Darboux: ak k existujúcemu oddielu segmentu pripočítame body, dolný súčet Darboux sa nezníži a horný sa nezvýši.

Definícia 7

Keď je funkcia integrovateľná na [a; b] od f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pre ľubovoľnú hodnotu x ∈ a; b, potom získame, že ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Vlastnosť je možné dokázať pomocou definície Riemannovho integrálu: akýkoľvek integrálny súčet pre ľubovoľný výber rozdeľovacích bodov segmentu a bodov ζ i s podmienkou, že f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 dostaneme nezáporné.

Dôkaz 7

Ak sú funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrovateľné na segment [a; b], potom sa za pravdivé považujú tieto nerovnosti:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, ak a f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, ak a f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Vďaka vyhláseniu vieme, že integrácia je prípustná. Tento dodatok sa použije na preukázanie ďalších vlastností.

Definícia 8

Pre integrovateľnú funkciu y \u003d f (x) zo segmentu [a; b] máme platnú nerovnosť tvaru ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Dôkaz 8

Máme to - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Z predchádzajúcej vlastnosti sme získali, že nerovnosť je možné integrovať po jednotlivých termínoch a zodpovedá tu nerovnosť tvaru - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Túto dvojitú nerovnosť môžeme napísať inou formou: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Definícia 9

Keď sú funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrované zo segmentu [a; b] pre g (x) ≥ 0 pre ľubovoľné x ∈ a; b, získame nerovnosť tvaru m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, kde m \u003d m i n x ∈ a; b f (x) a M \u003d m a x x ∈ a; b f (x).

Dôkaz 9

Dôkaz sa vykonáva podobným spôsobom. M a m sa považujú za najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d f (x) určenú zo segmentu [a; b], potom m ≤ f (x) ≤ M. Dvojitú nerovnosť je potrebné vynásobiť funkciou y \u003d g (x), čím dostaneme hodnotu dvojnásobnej nerovnosti tvaru m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Je potrebné ho integrovať do segmentu [a; b], potom získame tvrdenie, ktoré sa má dokázať.

Dodatok: Pre g (x) \u003d 1 má nerovnosť tvar m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a).

Prvý vzorec strednej hodnoty

Definícia 10

Pre y \u003d f (x), integrovateľné na segmente [a; b] s m \u003d m i n x ∈ a; b f (x) a M \u003d m a x x ∈ a; b f (x) existuje číslo μ ∈ m; M, ktoré sa hodí ∫ a b f (x) d x \u003d μ b - a.

Dodatok: Keď je funkcia y \u003d f (x) spojitá od segmentu [a; b], potom existuje číslo c ∈ a; b, ktoré spĺňa rovnosť ∫ a b f (x) d x \u003d f (c) b - a.

Prvý vzorec strednej hodnoty v zovšeobecnenej forme

Definícia 11

Keď sú funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrovateľné zo segmentu [a; b] s m \u003d m i n x ∈ a; b f (x) a M \u003d m a x x ∈ a; b f (x) a g (x)\u003e 0 pre ľubovoľnú hodnotu x ∈ a; b. Preto máme, že existuje číslo μ ∈ m; M, ktorá spĺňa rovnosť ∫ a b f (x) g (x) d x \u003d μ ∫ a b g (x) d x.

Vzorec druhej strednej hodnoty

Definícia 12

Keď je funkcia y \u003d f (x) integrovateľná so segmentom [a; b] a y \u003d g (x) je monotónne, potom existuje číslo, ktoré c ∈ a; b, kde získame platnú rovnosť tvaru ∫ a b f (x) g (x) d x \u003d g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter