Puntos extremos de una función y su hallazgo. Crecientes, decrecientes y extremos de la función. Una condición necesaria para un extremo de una función de una variable

Pasando estas desigualdades al límite como Δ X→ 0 y teniendo en cuenta que la derivada F "(X 0) existe, y por lo tanto el límite de la izquierda no depende de cómo Δ X→ 0, obtenemos: para Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 y en Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Desde F"(X 0) define un número, entonces estas dos desigualdades son compatibles solo si F"(X 0) = 0.

El teorema probado establece que los puntos máximo y mínimo solo pueden estar entre aquellos valores del argumento para los cuales la derivada se anula.

Hemos considerado el caso cuando una función tiene una derivada en todos los puntos de un cierto segmento. ¿Qué sucede cuando la derivada no existe? Considere ejemplos.

y=|X|.

La función no tiene derivada en un punto X=0 (en este punto, la gráfica de la función no tiene una tangente definida), pero en este punto la función tiene un mínimo, ya que y(0)=0, y para todos X≠ 0y > 0.

Así, de los ejemplos dados y del teorema formulado, es claro que la función puede tener un extremo solo en dos casos: 1) en los puntos donde la derivada existe y es igual a cero; 2) en el punto donde la derivada no existe.

Sin embargo, si en algún momento X 0 sabemos que f"(x 0 ) =0, entonces no se puede concluir de esto que en el punto X 0 la función tiene un extremo.

Por ejemplo.

Pero punto X=0 no es un punto extremo, ya que a la izquierda de este punto se ubican los valores de la función debajo del eje Buey, y arriba a la derecha.

Los valores de un argumento del dominio de una función, para los cuales la derivada de la función se anula o no existe, se denominan puntos críticos.

De lo anterior se deduce que los puntos extremos de una función se encuentran entre los puntos críticos y, sin embargo, no todo punto crítico es un punto extremo. Por lo tanto, para encontrar el extremo de la función, debe encontrar todos los puntos críticos de la función y luego examinar cada uno de estos puntos por separado para determinar el máximo y el mínimo. Para ello sirve el siguiente teorema.

Teorema 2. (Condición suficiente para la existencia de un extremo). Sea la función continua en algún intervalo que contenga el punto crítico X 0 , y es diferenciable en todos los puntos de este intervalo (excepto, quizás, el punto mismo X 0). Si al pasar de izquierda a derecha por este punto, la derivada cambia de signo de más a menos, entonces en el punto X = X 0 la función tiene un máximo. Si al pasar X 0 de izquierda a derecha, la derivada cambia de signo de menos a más, entonces la función tiene un mínimo en este punto.

Así, si

f"(x)>0 en X<X 0 y f"(x)< 0 en x > x 0, entonces X 0 - punto máximo;

Prueba. Supongamos primero que al pasar por X 0, la derivada cambia de signo de más a menos, es decir para todos X cerca del punto X 0 f "(x)> 0 para X< x 0 , f"(x)< 0 para x > x 0 Apliquemos el teorema de Lagrange a la diferencia f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), donde C entre mentiras X Y X 0 .

Dejar X< x 0 Entonces C< x 0 y f "(c)> 0. Es por eso f "(c)(x-x 0)< 0 y, por lo tanto,

f(x) - f(x 0 )< 0, es decir f(x)< f(x 0 ).

Dejar x > x 0 Entonces c > x 0 y f"(c)< 0. Medio f "(c)(x-x 0)< 0. Es por eso f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Así, para todos los valores X lo suficientemente cerca de X 0 f(x)< f(x 0 ) . Y esto significa que en el punto X 0 la función tiene un máximo.

La segunda parte del teorema del mínimo se demuestra de manera similar.

Ilustremos el significado de este teorema en la figura. Dejar f"(x 1 ) =0 y para cualquier X, lo suficientemente cerca de X 1 , las desigualdades

f"(x)< 0 en X< x 1 , f "(x)> 0 en x > x 1 .

Luego a la izquierda del punto X 1 la función es creciente y decreciente por la derecha, por lo tanto, cuando X = X 1 función va de creciente a decreciente, es decir, tiene un máximo.

Del mismo modo, se pueden considerar los puntos X 2 y X 3 .

Esquemáticamente, todo lo anterior se puede representar en la imagen:

La regla para estudiar la función y=f(x) para un extremo

Encontrar el alcance de una función f(x).

Encontrar la primera derivada de una función f"(x).

Determinar puntos críticos, para ello:

encuentra las raices reales de la ecuacion f"(x)=0;

encontrar todos los valores X bajo el cual la derivada f"(x) no existe.

Determine el signo de la derivada a la izquierda y derecha del punto crítico. Como el signo de la derivada permanece constante entre dos puntos críticos, basta con determinar el signo de la derivada en cualquier punto a la izquierda y en un punto a la derecha del punto crítico.

Calcular el valor de la función en los puntos extremos.

Sea la función $z=f(x,y)$ definida en alguna vecindad del punto $(x_0,y_0)$. Se dice que $(x_0,y_0)$ es un punto de máximo (local) si para todos los puntos $(x,y)$ en alguna vecindad de $(x_0,y_0)$ la desigualdad $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, entonces el punto $(x_0,y_0)$ se llama punto mínimo (local).

Los puntos altos y bajos a menudo se denominan puntos extremos del término genérico.

Si $(x_0,y_0)$ es un punto máximo, entonces el valor de la función $f(x_0,y_0)$ en este punto se llama el máximo de la función $z=f(x,y)$. En consecuencia, el valor de la función en el punto mínimo se denomina mínimo de la función $z=f(x,y)$. Los mínimos y máximos de una función están unidos por un término común: los extremos de una función.

Algoritmo para estudiar la función $z=f(x,y)$ para un extremo

1. Encuentra las derivadas parciales de $\frac(\parcial z)(\parcial x)$ y $\frac(\parcial z)(\parcial y)$. Componga y resuelva el sistema de ecuaciones $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 .\end(aligned) \right.$ Los puntos cuyas coordenadas satisfacen el sistema especificado se llaman estacionarios.
2. Encuentra $\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)$, $\frac(\parcial^2z)(\parcial x\parcial y)$, $\frac(\parcial^2z)(\parcial y^2)$ y calcule el valor $\Delta=\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)\cdot \frac(\parcial^2z)(\parcial y^2)-\left(\ frac (\parcial^2z)(\parcial x\parcial y) \right)^2$ en cada punto estacionario. Después de eso, use el siguiente esquema:
   1. Si $\Delta > 0$ y $\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2) > 0$ (o $\frac(\parcial^2z)(\parcial y^2) > 0$), entonces en el punto en estudio es el punto mínimo.
   2. Si $\Delta > 0$ y $\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Si $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Si $\Delta = 0$, entonces no se puede decir nada definitivo acerca de la presencia de un extremo; se requiere investigación adicional.

Nota (deseable para una mejor comprensión del texto): mostrar\ocultar

Si $\Delta > 0$ entonces $\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)\cdot \frac(\parcial^2z)(\parcial y^2)-\left(\frac(\ parcial ^2z)(\x parcial\y parcial) \right)^2 > 0$. Y de esto se sigue que $\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)\cdot \frac(\parcial^2z)(\parcial y^2) > \left(\frac(\parcial^2z ) (\x parcial\y parcial) \right)^2 ≥ 0$. Aquellos. $\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)\cdot \frac(\parcial^2z)(\parcial y^2) > 0$. Si el producto de algunas cantidades es mayor que cero, entonces estas cantidades tienen el mismo signo. Es decir, por ejemplo, si $\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2) > 0$, entonces $\frac(\parcial^2z)(\parcial y^2) > 0$. En resumen, si $\Delta > 0$ entonces los signos de $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ y $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ son lo mismo.

Ejemplo 1

Investiga la función $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ para un extremo.

$$ \frac(\parcial z)(\parcial x)=8x-6y-34; \frac(\z parcial)(\y parcial)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(alineado) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(alineado) \right. $$

Reduzcamos cada ecuación de este sistema en $2$ y transfiramos los números al lado derecho de las ecuaciones:

$$ \left \( \begin(alineado) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(alineado) \right. $$

Hemos obtenido un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. En esta situación, me parece la aplicación más conveniente del método de Cramer para resolver el sistema resultante.

$$ \begin(alineado) & \Delta=\left| \begin(matriz) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(matriz)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\izquierda| \begin(matriz) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(matriz)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\izquierda| \begin(matriz) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(matriz)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(alineado) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Los valores $x=2$, $y=-3$ son las coordenadas del punto estacionario $(2;-3)$.

$$ \frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)=8; \frac(\parcial^2 z)(\parcial y^2)=10; \frac(\parcial^2 z)(\parcial x \parcial y)=-6. $$

Calculemos el valor de $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)\cdot \frac(\parcial^2z)(\parcial y^2)-\left(\frac(\parcial^2z)( \x parcial\y parcial) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Como $\Delta > 0$ y $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, entonces según el punto $(2;-3)$ es el punto mínimo de la función $ z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $(2;-3)$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cpunto(-3)+7=-90. $$

Respuesta: $(2;-3)$ - punto mínimo; $z_(min)=-90$.

Ejemplo #2

Investiga la función $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ para un extremo.

Seguiremos lo anterior. Primero, encontremos las derivadas parciales de primer orden:

$$ \frac(\parcial z)(\parcial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\z parcial)(\y parcial)=6xy-12. $$

Componga el sistema de ecuaciones $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\parcial z)(\parcial x)=0;\\ & \frac(\parcial z)(\parcial y)=0. \ end(alineado)\right.$:

$$ \left \( \begin(alineado) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(alineado) \right. $$

Reduce la primera ecuación en 3 y la segunda en 6.

$$ \left \( \begin(alineado) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(alineado) \right. $$

Si $x=0$, entonces la segunda ecuación nos llevará a una contradicción: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. De ahí la conclusión: $x\neq 0$. Entonces de la segunda ecuación tenemos: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Sustituyendo $y=\frac(2)(x)$ en la primera ecuación, tenemos:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Tenemos una ecuación bicuadrática. Hacemos la sustitución $t=x^2$ (recordemos que $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(alineado) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\raíz cuadrada(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\raíz cuadrada(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(alineado) $$

Si $t=1$, entonces $x^2=1$. Por lo tanto tenemos dos valores de $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Si $t=4$, entonces $x^2=4$, es decir $x_3=2$, $x_4=-2$. Recordando que $y=\frac(2)(x)$, obtenemos:

\begin(alineado) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(alineado)

Entonces, tenemos cuatro puntos estacionarios: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Esto completa el primer paso del algoritmo.

Ahora vayamos al algoritmo. Encontremos las derivadas parciales de segundo orden:

$$ \frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)=6x; \frac(\parcial^2 z)(\parcial y^2)=6x; \frac(\parcial^2 z)(\parcial x \parcial y)=6y. $$

Encuentra $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)\cdot \frac(\parcial^2z)(\parcial y^2)-\left(\frac(\parcial^2z)( \x parcial\y parcial) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Ahora calcularemos el valor de $\Delta$ en cada uno de los puntos estacionarios encontrados anteriormente. Comencemos desde el punto $M_1(1;2)$. En este punto tenemos: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Desde $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Exploremos el punto $M_2(-1;-2)$. En este punto tenemos: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Desde $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Examinemos el punto $M_3(2;1)$. En este punto obtenemos:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Dado que $\Delta(M_3) > 0$ y $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, entonces según $M_3(2; 1)$ es el punto mínimo de la función $z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $M_3$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Queda por explorar el punto $M_4(-2;-1)$. En este punto obtenemos:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Dado que $\Delta(M_4) > 0$ y $\left.\frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

El estudio del extremo está completo. Solo queda escribir la respuesta.

Respuesta:

• $(2;1)$ - punto mínimo, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - punto máximo, $z_(max)=29$.

Nota

En el caso general, no hay necesidad de calcular el valor de $\Delta$, porque solo nos interesa el signo y no el valor específico de este parámetro. Por ejemplo, para el ejemplo No. 2 considerado arriba, en el punto $M_3(2;1)$ tenemos $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Aquí es obvio que $\Delta > 0$ (ya que ambos factores $36$ y $(2^2-1^2)$ son positivos) y es posible no encontrar un valor específico de $\Delta$. Es cierto que este comentario es inútil para los cálculos típicos: requieren llevar los cálculos a un número :)

Ejemplo #3

Investiga la función $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ para un extremo.

Seguiremos Primero, encontremos las derivadas parciales de primer orden:

$$ \frac(\parcial z)(\parcial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\z parcial)(\y parcial)=4y^3+4x-4y. $$

Componga el sistema de ecuaciones $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\parcial z)(\parcial x)=0;\\ & \frac(\parcial z)(\parcial y)=0. \ end(alineado)\right.$:

$$ \left \( \begin(alineado) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(alineado) \right. $$

Reduzcamos ambas ecuaciones en $4$:

$$ \left \( \begin(alineado) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(alineado) \right. $$

Agreguemos la primera ecuación a la segunda y expresemos $y$ en términos de $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Sustituyendo $y=-x$ en la primera ecuación del sistema, tendremos:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

De la ecuación resultante tenemos: $x=0$ o $x^2-2=0$. De la ecuación $x^2-2=0$ se deduce que $x=-\sqrt(2)$ o $x=\sqrt(2)$. Entonces, se encuentran tres valores de $x$, a saber: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Como $y=-x$, entonces $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

El primer paso de la solución ha terminado. Tenemos tres puntos estacionarios: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Ahora vayamos al algoritmo. Encontremos las derivadas parciales de segundo orden:

$$ \frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)=12x^2-4; \frac(\parcial^2 z)(\parcial y^2)=12y^2-4; \frac(\parcial^2 z)(\parcial x \parcial y)=4. $$

Encuentra $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\parcial^2z)(\parcial x^2)\cdot \frac(\parcial^2z)(\parcial y^2)-\left(\frac(\parcial^2z)( \x parcial\y parcial) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Ahora calcularemos el valor de $\Delta$ en cada uno de los puntos estacionarios encontrados anteriormente. Comencemos desde el punto $M_1(0;0)$. En este punto tenemos: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Dado que $\Delta(M_1) = 0$, se requiere investigación adicional, porque no se puede decir nada definitivo sobre la presencia de un extremo en el punto considerado. Dejemos este punto solo por el momento y pasemos a otros puntos.

Examinemos el punto $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. En este punto obtenemos:

\begin(alineado) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\parcial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(alineado)

Dado que $\Delta(M_2) > 0$ y $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, entonces según $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ es el punto mínimo de la función $z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $M_2$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

De manera similar al punto anterior, examinamos el punto $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. En este punto obtenemos:

\begin(alineado) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(alineado)

Como $\Delta(M_3) > 0$ y $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, entonces según $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ es el punto mínimo de la función $z$. Encontramos el mínimo de la función $z$ sustituyendo las coordenadas del punto $M_3$ en la función dada:

$$ z_(min)=z(\raíz cuadrada(2),-\raíz cuadrada(2))=(\raíz cuadrada(2))^4+(-\raíz cuadrada(2))^4-2(\raíz cuadrada(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Es hora de volver al punto $M_1(0;0)$, donde $\Delta(M_1) = 0$. Se requiere investigación adicional. Esta frase evasiva significa "haz lo que quieras" :). No existe una forma general de resolver tales situaciones, y esto es comprensible. Si existiera tal método, habría entrado en todos los libros de texto hace mucho tiempo. Mientras tanto, tenemos que buscar un enfoque especial para cada punto en el que $\Delta = 0$. Bien, investiguemos el comportamiento de la función en la vecindad del punto $M_1(0;0)$. Notamos de inmediato que $z(M_1)=z(0;0)=3$. Suponga que $M_1(0;0)$ es un punto mínimo. Entonces para cualquier punto $M$ de alguna vecindad del punto $M_1(0;0)$ obtenemos $z(M) > z(M_1)$, es decir $z(M) > 3$. ¿Qué pasa si algún vecindario contiene puntos donde $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Considere puntos para los cuales $y=0$, es decir puntos de la forma $(x,0)$. En estos puntos, la función $z$ tomará los siguientes valores:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

En todos los vecindarios suficientemente pequeños $M_1(0;0)$ tenemos $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

¿Pero tal vez el punto $M_1(0;0)$ es un punto máximo? Si esto es así, entonces para cualquier punto $M$ de alguna vecindad del punto $M_1(0;0)$ obtenemos $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Entonces definitivamente no habrá un máximo en el punto $M_1$.

Considere puntos para los cuales $y=x$, es decir puntos de la forma $(x,x)$. En estos puntos, la función $z$ tomará los siguientes valores:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Como en cualquier vecindad del punto $M_1(0;0)$ tenemos $2x^4 > 0$, entonces $2x^4+3 > 3$. Conclusión: cualquier vecindad del punto $M_1(0;0)$ contiene puntos donde $z > 3$, por lo que el punto $M_1(0;0)$ no puede ser un punto máximo.

El punto $M_1(0;0)$ no es ni máximo ni mínimo. Conclusión: $M_1$ no es un punto extremo en absoluto.

Respuesta: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - puntos mínimos de la función $z$. En ambos puntos $z_(min)=-5$.

Un algoritmo simple para encontrar extremos..

• Hallar la derivada de una función
• Igualar esta derivada a cero
• Encontramos los valores de la variable de la expresión resultante (los valores de la variable en los que la derivada se convierte en cero)
• Dividimos la línea de coordenadas en intervalos con estos valores (al mismo tiempo, no debemos olvidarnos de los puntos de ruptura, que también deben aplicarse a la línea), todos estos puntos se denominan puntos "sospechosos" para el extremo
• Calculamos en cuál de estos intervalos la derivada será positiva y en cuál será negativa. Para hacer esto, necesitas sustituir el valor del intervalo en la derivada.

De los puntos sospechosos de un extremo, es necesario encontrar exactamente . Para hacer esto, miramos nuestros espacios en la línea de coordenadas. Si al pasar por algún punto el signo de la derivada cambia de más a menos, entonces este punto será máximo, y si de menos a más, entonces mínimo.

Para encontrar el valor mayor y menor de una función, debe calcular el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos extremos. Luego elige el valor más grande y el más pequeño.

Considere un ejemplo
Encontramos la derivada y la igualamos a cero:

Aplicamos los valores obtenidos de las variables a la línea de coordenadas y calculamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos. Bueno, por ejemplo, para la primera toma.-2 , entonces la derivada será-0,24 , para la segunda toma0 , entonces la derivada será2 , y para el tercero tomamos2 , entonces la derivada será-0,24. Colocamos los carteles correspondientes.

Vemos que al pasar por el punto -1, la derivada cambia de signo de menos a más, es decir, será un punto mínimo, y al pasar por 1, de más a menos, respectivamente, este será un punto máximo.

Un concepto importante en matemáticas es una función. Con su ayuda, puede visualizar muchos procesos que ocurren en la naturaleza, reflejar la relación entre ciertas cantidades usando fórmulas, tablas e imágenes en un gráfico. Un ejemplo es la dependencia de la presión de una capa líquida sobre un cuerpo de la profundidad de inmersión, la aceleración, de la acción de una cierta fuerza sobre un objeto, el aumento de temperatura, de la energía transmitida y muchos otros procesos. El estudio de una función implica trazar un gráfico, averiguar sus propiedades, el dominio de definición y valores, intervalos de aumento y disminución. Un punto importante en este proceso es encontrar los puntos extremos. Acerca de cómo hacerlo bien, y la conversación continuará.

Sobre el concepto en sí mismo en un ejemplo específico

En medicina, la construcción de un gráfico de función puede informar sobre el curso del desarrollo de la enfermedad en el cuerpo del paciente, reflejando claramente su condición. Supongamos que el tiempo en días se representa a lo largo del eje OX y la temperatura del cuerpo humano se representa a lo largo del eje OY. La figura muestra claramente cómo este indicador aumenta bruscamente y luego cae. También es fácil notar puntos singulares que reflejan los momentos en que la función, habiendo aumentado previamente, comienza a disminuir, y viceversa. Estos son los puntos extremos, es decir, los valores críticos (máximo y mínimo) en este caso de la temperatura del paciente, después de lo cual se producen cambios en su estado.

Ángulo de inclinación

Es fácil determinar a partir de la figura cómo cambia la derivada de la función. Si las líneas rectas del gráfico suben con el tiempo, entonces es positivo. Y cuanto más inclinados son, mayor es el valor de la derivada, a medida que aumenta el ángulo de inclinación. Durante los periodos de disminución, este valor toma valores negativos, llegando a cero en los puntos extremos, y la gráfica de la derivada en este último caso se dibuja paralela al eje OX.

Cualquier otro proceso debe ser tratado de la misma manera. Pero la mejor manera de hablar sobre este concepto es el movimiento de varios cuerpos, que se muestra claramente en los gráficos.

Movimienot

Supongamos que un objeto se mueve en línea recta, ganando velocidad uniformemente. Durante este período, el cambio en las coordenadas del cuerpo representa gráficamente una determinada curva, que un matemático llamaría rama de una parábola. Al mismo tiempo, la función aumenta constantemente, ya que los indicadores de coordenadas cambian cada vez más rápido con cada segundo. El gráfico de velocidad muestra el comportamiento de la derivada, cuyo valor también aumenta. Esto significa que el movimiento no tiene puntos críticos.

Esto continuaría indefinidamente. Pero, ¿qué pasa si el cuerpo de repente decide reducir la velocidad, detenerse y comenzar a moverse en una dirección diferente? En este caso, los indicadores de coordenadas comenzarán a disminuir. Y la función pasará un valor crítico y pasará de creciente a decreciente.

En este ejemplo, puedes comprender nuevamente que los puntos extremos en el gráfico de la función aparecen en los momentos en que deja de ser monótono.

El significado físico de la derivada.

Lo que se describió anteriormente mostró claramente que la derivada es esencialmente la tasa de cambio de la función. Este refinamiento contiene su significado físico. Los puntos extremos son áreas críticas en el gráfico. Es posible averiguarlos y detectarlos calculando el valor de la derivada, que resulta ser igual a cero.

Hay otro signo, que es condición suficiente para un extremum. La derivada en tales lugares de inflexión cambia de signo: de "+" a "-" en la región del máximo y de "-" a "+" en la región del mínimo.

Movimiento bajo la influencia de la gravedad.

Imaginemos otra situación. Los niños, jugando a la pelota, la lanzaron de tal manera que comenzó a moverse en ángulo hacia el horizonte. En el momento inicial, la velocidad de este objeto era la más grande, pero bajo la influencia de la gravedad, comenzó a disminuir, y con cada segundo por el mismo valor, equivalente a aproximadamente 9,8 m / s 2. Este es el valor de la aceleración que ocurre bajo la influencia de la gravedad terrestre durante la caída libre. En la Luna, sería unas seis veces más pequeño.

El gráfico que describe el movimiento del cuerpo es una parábola con ramas que apuntan hacia abajo. ¿Cómo encontrar los puntos extremos? En este caso, este es el vértice de la función, donde la velocidad del cuerpo (bola) toma valor cero. La derivada de la función se vuelve cero. En este caso, la dirección, y por tanto el valor de la velocidad, cambia al contrario. El cuerpo desciende cada segundo más y más rápido, y acelera en la misma cantidad: 9,8 m/s 2 .

Segunda derivada

En el caso anterior, la gráfica del módulo de velocidad se dibuja como una línea recta. Esta línea se dirige primero hacia abajo, ya que el valor de esta cantidad está disminuyendo constantemente. Habiendo llegado a cero en uno de los puntos de tiempo, los indicadores de este valor comienzan a aumentar y la dirección de la representación gráfica del módulo de velocidad cambia drásticamente. Ahora la línea apunta hacia arriba.

La velocidad, al ser la derivada de la coordenada con respecto al tiempo, también tiene un punto crítico. En esta región, la función, inicialmente decreciente, comienza a aumentar. Este es el lugar del punto extremo de la derivada de la función. En este caso, la pendiente de la tangente se vuelve cero. Y la aceleración, al ser la segunda derivada de la coordenada con respecto al tiempo, cambia de signo de “-” a “+”. Y el movimiento de uniformemente lento se vuelve uniformemente acelerado.

Gráfico de aceleración

Ahora considere cuatro cifras. Cada uno de ellos muestra un gráfico del cambio en el tiempo de una cantidad física como la aceleración. En el caso de "A", su valor permanece positivo y constante. Esto significa que la velocidad del cuerpo, como su coordenada, aumenta constantemente. Si imaginamos que el objeto se moverá de esta manera durante un tiempo infinitamente largo, la función que refleja la dependencia de la coordenada con el tiempo resultará ser constantemente creciente. De esto se deduce que no tiene regiones críticas. Tampoco hay puntos extremos en el gráfico de la derivada, es decir, una velocidad que cambia linealmente.

Lo mismo se aplica al caso "B" con una aceleración positiva y en constante aumento. Es cierto que las gráficas de coordenadas y velocidad serán un poco más complicadas aquí.

Cuando la aceleración llega a cero

Mirando la figura "B", se puede observar una imagen completamente diferente que caracteriza el movimiento del cuerpo. Su velocidad se representará gráficamente como una parábola con ramas apuntando hacia abajo. Si continuamos la línea que describe el cambio en la aceleración hasta que se cruza con el eje OX, y más, entonces podemos imaginar que hasta este valor crítico, donde la aceleración resulta ser igual a cero, la velocidad del objeto aumentará. cada vez más lentamente. El punto extremo de la derivada de la función de coordenadas estará justo en la parte superior de la parábola, después de lo cual el cuerpo cambiará radicalmente la naturaleza del movimiento y comenzará a moverse en una dirección diferente.

En este último caso, "G", no se puede determinar con precisión la naturaleza del movimiento. Aquí solo sabemos que no hay aceleración durante algún período bajo consideración. Esto significa que el objeto puede permanecer en su lugar o el movimiento ocurre a una velocidad constante.

problema de suma de coordenadas

Pasemos a las tareas que a menudo se encuentran al estudiar álgebra en la escuela y se ofrecen para prepararse para el examen. La siguiente figura muestra la gráfica de la función. Se requiere calcular la suma de los puntos extremos.

Haremos esto para el eje y determinando las coordenadas de las regiones críticas donde se observa un cambio en las características de la función. En pocas palabras, encontramos los valores a lo largo del eje x para los puntos de inflexión y luego procedemos a sumar los términos resultantes. Según el gráfico, es obvio que toman los siguientes valores: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Esto suma -21, que es la respuesta.

Solucion optima

No es necesario explicar cuán importante puede ser la elección de la solución óptima en el desempeño de las tareas prácticas. Después de todo, hay muchas formas de lograr el objetivo, y la mejor salida, por regla general, es solo una. Esto es extremadamente necesario, por ejemplo, al diseñar barcos, naves espaciales y aeronaves, estructuras arquitectónicas para encontrar la forma óptima de estos objetos hechos por el hombre.

La velocidad de los vehículos depende en gran medida de la minimización competente de la resistencia que experimentan cuando se mueven a través del agua y el aire, de las sobrecargas que surgen bajo la influencia de las fuerzas gravitatorias y muchos otros indicadores. Un barco en el mar necesita cualidades como la estabilidad durante una tormenta; para un barco fluvial, un calado mínimo es importante. Al calcular el diseño óptimo, los puntos extremos del gráfico pueden dar una idea visual de la mejor solución a un problema complejo. Las tareas de dicho plan a menudo se resuelven en la economía, en áreas económicas, en muchas otras situaciones de la vida.

De la historia antigua

Tareas extremas ocuparon incluso a los antiguos sabios. Los científicos griegos desentrañaron con éxito el misterio de las áreas y los volúmenes a través de cálculos matemáticos. Fueron los primeros en comprender que en un plano de varias figuras con el mismo perímetro, el círculo siempre tiene el área más grande. De manera similar, una pelota está dotada del volumen máximo entre otros objetos en el espacio con la misma área de superficie. Personalidades tan famosas como Arquímedes, Euclides, Aristóteles, Apolonio se dedicaron a resolver tales problemas. Heron logró muy bien encontrar puntos extremos, quienes, habiendo recurrido a cálculos, construyeron ingeniosos dispositivos. Estos incluían máquinas automáticas que se movían por medio de vapor, bombas y turbinas que operaban con el mismo principio.

Construcción de Cartago

Hay una leyenda, cuya trama se basa en resolver una de las tareas extremas. Fruto del enfoque empresarial demostrado por la princesa fenicia, que acudió a los sabios en busca de ayuda, fue la construcción de Cartago. El terreno de esta antigua y famosa ciudad fue presentado a Dido (así se llamaba el gobernante) por el líder de una de las tribus africanas. El área de la parcela no le pareció al principio muy grande, ya que según el contrato debía cubrirse con una piel de buey. Pero la princesa ordenó a sus soldados que lo cortaran en tiras finas y con ellas hicieran un cinturón. Resultó ser tan largo que cubría un área donde cabía toda la ciudad.

Orígenes del cálculo

Y ahora pasemos de la antigüedad a una era posterior. Curiosamente, en el siglo XVII, una reunión con un vendedor de vino indujo a Kepler a comprender los fundamentos del análisis matemático. El comerciante estaba tan bien versado en su profesión que podía determinar fácilmente el volumen de la bebida en el barril simplemente colocando un torniquete de hierro en él. Reflexionando sobre tal curiosidad, el famoso científico logró resolver este dilema por sí mismo. Resulta que los hábiles toneleros de la época se acostumbraron a hacer vasijas de tal manera que, a cierta altura y radio de la circunferencia de las argollas de sujeción, tuvieran una capacidad máxima.

Esto se convirtió para Kepler en una ocasión para una mayor reflexión. Bochars llegó a la solución óptima tras una larga búsqueda, errores y nuevos intentos, pasando su experiencia de generación en generación. Pero Kepler quería acelerar el proceso y aprender a hacer lo mismo en poco tiempo a través de cálculos matemáticos. Todos sus desarrollos, recogidos por colegas, se convirtieron en los ahora conocidos teoremas de Fermat y Newton - Leibniz.

El problema de encontrar el área máxima.

Imagina que tenemos un alambre cuya longitud es de 50 cm, ¿cómo hacer un rectángulo con él, que tiene el área más grande?

A partir de una decisión, uno debe partir de verdades simples y bien conocidas. Es claro que el perímetro de nuestra figura será de 50 cm, también consta del doble de la longitud de ambos lados. Esto quiere decir que, habiendo designado uno de ellos como "X", el otro puede expresarse como (25 - X).

De aquí obtenemos un área igual a X (25 - X). Esta expresión se puede representar como una función que toma muchos valores. La solución del problema requiere encontrar el máximo de ellos, lo que significa que debes encontrar los puntos extremos.

Para ello, hallamos la primera derivada y la igualamos a cero. El resultado es una ecuación simple: 25 - 2X = 0.

De él aprendemos que uno de los lados es X = 12.5.

Por lo tanto, otro: 25 - 12.5 \u003d 12.5.

Resulta que la solución al problema será un cuadrado de 12,5 cm de lado.

Cómo encontrar la velocidad máxima

Consideremos un ejemplo más. Imagina que hay un cuerpo cuyo movimiento rectilíneo está descrito por la ecuación S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, donde la distancia recorrida se expresa en metros y el tiempo en segundos. Se requiere encontrar la velocidad máxima. ¿Cómo hacerlo? Descargado encontrar la velocidad, es decir, la primera derivada.

Obtenemos la ecuación: V = - 3t 2 + 18t - 24. Ahora, para resolver el problema, nuevamente necesitamos encontrar los puntos extremos. Esto debe hacerse de la misma manera que en la tarea anterior. Encontramos la primera derivada de la velocidad y la igualamos a cero.

Obtenemos: - 6t + 18 = 0. Por lo tanto, t = 3 s. Este es el momento en que la velocidad del cuerpo adquiere un valor crítico. Sustituimos los datos obtenidos en la ecuación de velocidad y obtenemos: V = 3 m/s.

Pero, ¿cómo entender que esta es exactamente la velocidad máxima, porque los puntos críticos de la función pueden ser sus valores más grandes o más pequeños? Para verificar, necesitas encontrar la segunda derivada de la velocidad. Se expresa como el número 6 con un signo menos. Esto significa que el punto encontrado es el máximo. Y en el caso de un valor positivo de la segunda derivada, habría un mínimo. Por lo tanto, la solución encontrada fue correcta.

Las tareas dadas como ejemplo son solo una parte de las que se pueden resolver al poder encontrar los puntos extremos de una función. De hecho, hay muchos más. Y tal conocimiento abre posibilidades ilimitadas para la civilización humana.

Con este servicio, puede encontrar el valor mayor y menor de una función una variable f(x) con el diseño de la solución en Word. Si se da la función f(x,y), por lo tanto, es necesario encontrar el extremo de la función de dos variables. También puede encontrar los intervalos de aumento y disminución de la función.

Reglas de entrada de funciones:

Una condición necesaria para un extremo de una función de una variable

Una condición suficiente para un extremo de una función de una variable

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*) > 0

Entonces el punto x * es el punto del mínimo local (global) de la función.

Si en el punto x* se cumple la condición:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Ese punto x * es un máximo local (global).

Ejemplo 1. Encuentra los valores mayor y menor de la función: en el segmento.
Solución.

El punto crítico es uno x 1 = 2 (f'(x)=0). Este punto pertenece al segmento . (El punto x=0 no es crítico, ya que 0∉).
Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto crítico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Respuesta: f min = 5 / 2 para x=2; f máx = 9 en x = 1

Ejemplo #2. Usando derivadas de orden superior, encuentra el extremo de la función y=x-2sin(x) .
Solución.
Encuentra la derivada de la función: y’=1-2cos(x) . Encontremos los puntos críticos: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Hallamos y''=2sin(x), calculemos , entonces x= π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos mínimos de la función; , entonces x=- π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos máximos de la función.

Ejemplo #3. Investiga la función extrema en la vecindad del punto x=0.
Solución. Aquí es necesario encontrar los extremos de la función. Si el extremo x=0, averigüe su tipo (mínimo o máximo). Si entre los puntos encontrados no hay x = 0, entonces calcule el valor de la función f(x=0).
Cabe señalar que cuando la derivada a cada lado de un punto dado no cambia de signo, las situaciones posibles no se agotan ni siquiera para funciones diferenciables: puede ocurrir que para una vecindad arbitrariamente pequeña a un lado del punto x 0 o en ambos lados, la derivada cambia de signo. En estos puntos, uno tiene que aplicar otros métodos para estudiar funciones hasta el extremo.

Ejemplo #4. Divide el número 49 en dos términos, cuyo producto será el mayor.
Solución. Sea x el primer término. Entonces (49-x) es el segundo término.
El producto será máximo: x (49-x) → max