¿Qué es una parábola? Parábola y sus propiedades ¿Qué ecuación define una parábola?

AOD 1.parábola es el lugar geométrico de los puntos en el plano, las distancias desde las cuales a un punto, llamado foco, y a una línea recta, llamada directriz, son iguales.

Para derivar la ecuación de la parábola, introducimos un sistema de coordenadas rectangulares en el plano de modo que el eje de abscisas pase por el foco perpendicular a la directriz, y consideraremos su dirección positiva la dirección de la directriz al foco. El origen de coordenadas se encuentra en el medio entre el foco y la directriz. Derivemos la ecuación de la parábola en el sistema de coordenadas elegido.

Dejame ( X; en) es un punto arbitrario del plano.

Denotamos por r distancia del punto M al foco F, sea r= FM,

a través de d es la distancia del punto a la directriz, y a través de R distancia del foco a la directriz.

el valor R se llama el parámetro de la parábola, su significado geométrico se discute a continuación.

El punto M estará en la parábola dada si y solo si r = d.

En este caso tenemos

La ecuacion

y 2 = 2 px

llamado la ecuación canónica de la parábola .

Propiedades de la parábola

1. La parábola pasa por el origen, porque las coordenadas del origen satisfacen la ecuación de la parábola.

2. La parábola es simétrica respecto al eje OX, porque puntos con coordenadas ( X, y) Y ( X, − y) satisfacen la ecuación de la parábola.

3. Si R> 0, entonces las ramas de la parábola están dirigidas a la derecha y la parábola está en el semiplano derecho.

4. El punto O se llama el vértice de la parábola, el eje de simetría (eje Oh) es el eje de la parábola.

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano equidistantes de un punto F dado

y una recta dada dd no pasa por un punto dado. Esta definición geométrica expresa propiedad de directorio de parábola.

Propiedad de directorio de parábolas.

El punto F se llama foco de la parábola, la línea d se llama directriz de la parábola, el punto medio O de la perpendicular caída del foco a la directriz es el vértice de la parábola, la distancia p del foco a la directriz es el parámetro de la parábola, y la distancia p2 del vértice de la parábola a su foco es la distancia focal. La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje de la parábola (eje focal de la parábola). El segmento FM que conecta un punto arbitrario M de la parábola con su foco se llama radio focal del punto

M. El segmento que une dos puntos de la parábola se llama cuerda de la parábola.

Para un punto arbitrario de la parábola, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es igual a uno. Comparando las propiedades de directorio de la elipse, la hipérbola y la parábola, concluimos que excentricidad de parábola es por definición igual a uno

Definición geométrica de una parábola., expresando su propiedad de directorio, es equivalente a su definición analítica: la línea dada por la ecuación canónica de la parábola:

Propiedades

• Tiene un eje de simetría llamado eje de parábola. El eje pasa por el foco y el vértice es perpendicular a la directriz.
• propiedad óptica. En su foco se recoge un haz de rayos paralelos al eje de la parábola, reflejados en la parábola. Por el contrario, la luz de una fuente que está enfocada se refleja mediante una parábola en un haz de rayos paralelos a su eje.
• Si el foco de la parábola se refleja con respecto a la tangente, entonces su imagen estará sobre la directriz.
• El segmento que une el punto medio de una cuerda arbitraria de la parábola y el punto de intersección de las tangentes a él en los extremos de esta cuerda es perpendicular a la directriz, y su punto medio se encuentra en la parábola.
• La parábola es la antipodera de la recta.
• Todas las parábolas son similares. La distancia entre el foco y la directriz determina la escala.

Función de una variable real: conceptos básicos, ejemplos.

Definición: si cada valor x de un conjunto numérico X según la regla f corresponde a un solo número del conjunto Y, entonces dicen que la función y \u003d f (x) se da en el conjunto numérico X, los valores de x están determinados por el conjunto de valores incluidos en el dominio de la función (X).
En este caso, x se llama argumento e y se llama valor de la función. El conjunto X se denomina dominio de definición de la función, Y se denomina conjunto de valores de la función.
A menudo, esta regla viene dada por una fórmula; por ejemplo, y \u003d 2x + 5. El método especificado para especificar una función usando una fórmula se llama analítico.
La función también se puede establecer mediante un gráfico: el gráfico de la función y - f (x) es el conjunto de puntos en el plano, las coordenadas x, que satisfacen la relación y \u003d f (x).

Función de la forma , donde se llama función cuadrática.

Gráfica de función cuadrática − parábola.

Considere los casos:

CASO I, PARÁBOLA CLÁSICA

Eso es , ,

Para construir, complete la tabla sustituyendo los valores de x en la fórmula:

Marcar puntos (0;0); (1;1); (-1;1) etc en el plano de coordenadas (cuanto menor sea el paso que tomamos los valores de x (en este caso, el paso 1), y cuantos más valores de x tomamos, más suave es la curva), obtenemos una parábola:

Es fácil ver que si tomamos el caso , , , es decir, obtenemos una parábola simétrica respecto al eje (buey). Es fácil verificar esto completando una tabla similar:

II CASO, "a" DIFERENTE A UNO

¿Qué pasará si tomamos , , ? ¿Cómo cambiará el comportamiento de la parábola? Con title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

La primera imagen (ver arriba) muestra claramente que los puntos de la tabla para la parábola (1;1), (-1;1) se transformaron en puntos (1;4), (1;-4), es decir, con los mismos valores, la ordenada de cada punto se multiplicó por 4. Esto sucederá con todos los puntos clave de la tabla original. Argumentamos de manera similar en los casos de las imágenes 2 y 3.

Y cuando la parábola "se vuelve más ancha" parábola:

Recapitulemos:

1)El signo del coeficiente es responsable de la dirección de las ramas. Con title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valor absoluto coeficiente (módulo) es responsable de la "expansión", "compresión" de la parábola. Cuanto más grande, más estrecha es la parábola, cuanto más pequeña |a|, más ancha es la parábola.

CASO III, APARECE "C"

Ahora pongámonos en juego (es decir, consideremos el caso cuando ), consideraremos parábolas de la forma . Es fácil adivinar (siempre puede consultar la tabla) que la parábola se moverá hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje, según el signo:

CASO IV, APARECE "b"

¿Cuándo se "arrancará" la parábola del eje y finalmente "caminará" a lo largo de todo el plano de coordenadas? Cuando deja de ser igual.

Aquí, para construir una parábola, necesitamos fórmula para calcular el vértice: , .

Entonces en este punto (como en el punto (0; 0) del nuevo sistema de coordenadas) construiremos una parábola, que ya está a nuestro alcance. Si estamos tratando con el caso , entonces desde la parte superior apartamos un segmento unitario a la derecha, uno hacia arriba, el punto resultante es nuestro (de manera similar, un paso hacia la izquierda, un paso hacia arriba es nuestro punto); si estamos tratando, por ejemplo, desde la parte superior apartamos un solo segmento a la derecha, dos hacia arriba, etc.

Por ejemplo, el vértice de una parábola:

Ahora, lo principal que hay que entender es que en este vértice construiremos una parábola de acuerdo con la plantilla de parábola, porque en nuestro caso.

Al construir una parábola después de encontrar las coordenadas del vértice es muyEs conveniente considerar los siguientes puntos:

1) parábola debe pasar por el punto . De hecho, sustituyendo x=0 en la fórmula, obtenemos que . Es decir, la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje (oy), esto es. En nuestro ejemplo (arriba), la parábola se cruza con el eje y en , ya que .

2) eje de simetria parábolas es una línea recta, por lo que todos los puntos de la parábola serán simétricos con respecto a ella. En nuestro ejemplo, inmediatamente tomamos el punto (0; -2) y construimos una parábola simétrica respecto al eje de simetría, obtenemos el punto (4; -2), por donde pasará la parábola.

3) Igualando a , encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (buey). Para ello, resolvemos la ecuación. Dependiendo del discriminante, obtendremos uno (, ), dos ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . En el ejemplo anterior, tenemos una raíz del discriminante - no un número entero, al construir no tiene mucho sentido que busquemos las raíces, pero vemos claramente que tendremos dos puntos de intersección con el eje (oh) (ya que title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Así que hagamos ejercicio

Algoritmo para construir una parábola si se da en la forma

1) determinar la dirección de las ramas (a>0 - arriba, a<0 – вниз)

2) encuentra las coordenadas del vértice de la parábola por la fórmula , .

3) encontramos el punto de intersección de la parábola con el eje (oy) por el término libre, construimos un punto simétrico al dado con respecto al eje de simetría de la parábola (cabe señalar que sucede que no es rentable marcar este punto, por ejemplo, porque el valor es grande... saltamos este punto...)

4) En el punto encontrado, la parte superior de la parábola (como en el punto (0; 0) del nuevo sistema de coordenadas), construimos una parábola. If title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oy) (si ellos mismos aún no han "emergido"), resolviendo la ecuación

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Observación 1. Si la parábola se nos da inicialmente en la forma , donde hay algunos números (por ejemplo, ), entonces será aún más fácil construirla, porque ya se nos han dado las coordenadas del vértice. ¿Por qué?

Tomemos un trinomio cuadrado y seleccionemos un cuadrado completo en él: Mira, aquí tenemos eso, . Anteriormente llamamos a la parte superior de la parábola, es decir, ahora.

Por ejemplo, . Marcamos la parte superior de la parábola en el plano, entendemos que las ramas se dirigen hacia abajo, la parábola se expande (relativamente). Es decir, realizamos los pasos 1; 3; 4; 5 del algoritmo para construir una parábola (ver arriba).

Observación 2. Si la parábola se da en una forma similar a esta (es decir, representada como un producto de dos factores lineales), inmediatamente vemos los puntos de intersección de la parábola con el eje (x). En este caso - (0;0) y (4;0). Por lo demás, actuamos según el algoritmo, abriendo los paréntesis.

Lección: ¿cómo construir una parábola o una función cuadrática?

PARTE TEÓRICA

Una parábola es la gráfica de una función descrita por la fórmula ax 2 +bx+c=0.
Para construir una parábola, debe seguir un algoritmo simple de acciones:

1) Fórmula de parábola y=ax 2 +bx+c,
Si a>0 entonces las ramas de la parábola están dirigidas arriba,
y luego las ramas de la parábola se dirigen abajo.
miembro gratuito C este punto corta la parábola con el eje OY;

2), se encuentra por la fórmula x=(-b)/2a, sustituimos la x encontrada en la ecuación de la parábola y encontramos y;

3)Ceros de función o en otras palabras, los puntos de intersección de la parábola con el eje OX, también se les llama raíces de la ecuación. Para encontrar las raíces, igualamos la ecuación a 0 ax2+bx+c=0;

Tipos de ecuaciones:

a) La ecuación cuadrática completa es ax2+bx+c=0 y se resuelve por el discriminante;
b) Ecuación cuadrática incompleta de la forma ax2+bx=0. Para resolverlo, debe quitar x de los paréntesis y luego igualar cada factor a 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 y ax+b=0;
c) Ecuación cuadrática incompleta de la forma ax2+c=0. Para resolverlo, debes mover lo desconocido a un lado y lo conocido al otro. x =±√(c/a);

4) Encuentra algunos puntos adicionales para construir la función.

PARTE PRÁCTICA

Y ahora, con un ejemplo, analizaremos todo por acciones:
Ejemplo 1:
y=x2+4x+3
c=3 significa que la parábola interseca a OY en el punto x=0 y=3. Las ramas de la parábola miran hacia arriba porque a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 el vértice está en el punto (-2;-1)
Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +4x+3=0
Encontramos las raíces por el discriminante
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Tomemos algunos puntos arbitrarios que están cerca de la parte superior x=-2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Sustituimos en lugar de x en la ecuación y \u003d x 2 + 4x + 3 valores
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Se puede ver a partir de los valores de la función que la parábola es simétrica con respecto a la línea recta x \u003d -2

Ejemplo #2:
y=-x 2 +4x
c=0 significa que la parábola interseca a OY en el punto x=0 y=0. Las ramas de la parábola miran hacia abajo porque a=-1 -1 Encuentra las raíces de la ecuación -x 2 +4x=0
Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0. Para resolverlo, debe quitar x de los paréntesis y luego igualar cada factor a 0.
x(-x+4)=0, x=0 y x=4.

Tomemos algunos puntos arbitrarios que están cerca del vértice x=2
x0 1 3 4
y 0 3 3 0
Sustituimos en lugar de x en la ecuación y \u003d -x 2 +4x valores
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Se puede ver a partir de los valores de la función que la parábola es simétrica con respecto a la línea recta x \u003d 2

Ejemplo #3
y = x 2 -4
c=4 significa que la parábola interseca a OY en el punto x=0 y=4. Las ramas de la parábola miran hacia arriba porque a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 el vértice está en el punto (0;-4)
Encuentra las raíces de la ecuación x 2 -4=0
Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +c=0. Para resolverlo, debes mover lo desconocido a un lado y lo conocido al otro. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x2 \u003d -2

Tomemos algunos puntos arbitrarios que están cerca de la parte superior x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Sustituimos en lugar de x en la ecuación y \u003d x 2 -4 valores
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Se puede ver a partir de los valores de la función que la parábola es simétrica respecto a la recta x=0

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El punto se llama foco de la parábola, la línea recta se llama directriz de la parábola, el centro de la perpendicular caída del foco a la directriz es el vértice de la parábola, la distancia del foco a la directriz es el parámetro de la parábola, y la distancia del vértice de la parábola a su foco es la distancia focal (Fig. 3.45, a). La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje de la parábola (eje focal de la parábola). El segmento de línea que conecta un punto arbitrario de la parábola con su foco se llama radio focal del punto. El segmento de recta que une dos puntos de la parábola se llama cuerda de la parábola.

Para un punto arbitrario de la parábola, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es igual a uno. Comparando las propiedades de directorio de la elipse, la hipérbola y la parábola, concluimos que excentricidad de parábola es por definición igual a uno.

La definición geométrica de una parábola, expresando su propiedad de dirección, es equivalente a su definición analítica: la línea dada por la ecuación canónica de la parábola:

(3.51)

De hecho, introduzcamos un sistema de coordenadas rectangulares (Fig.3.45,6). Tomemos la parte superior de la parábola como el origen del sistema de coordenadas; la recta que pasa por el foco perpendicular a la directriz, la tomaremos como eje de abscisas (sentido positivo sobre ella de punto a punto); una recta perpendicular al eje de abscisas y que pasa por la parte superior de la parábola, la tomaremos como eje de ordenadas (la dirección en el eje de ordenadas se elige de modo que el sistema de coordenadas rectangulares sea el correcto).

Compongamos la ecuación de una parábola usando su definición geométrica, que expresa la propiedad de dirección de una parábola. En el sistema de coordenadas seleccionado, determinamos las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. Para un punto arbitrario perteneciente a una parábola, tenemos:

donde es la proyección ortogonal del punto sobre la directriz. Escribimos esta ecuación en forma de coordenadas:

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación: . Trayendo términos semejantes, obtenemos ecuación de parábola canónica

aquellos. el sistema de coordenadas elegido es canónico.

Razonando en orden inverso, se puede demostrar que todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (3.51), y solo ellos, pertenecen al lugar geométrico de los puntos, llamado parábola. Así, la definición analítica de una parábola es equivalente a su definición geométrica, que expresa la propiedad de directorio de una parábola.

Damos las siguientes propiedades de una parábola:

Propiedad 10.10.

La parábola tiene un eje de simetría.

Prueba

La variable y entra en la ecuación sólo a la segunda potencia. Por tanto, si las coordenadas del punto M (x; y) satisfacen la ecuación de la parábola, entonces las coordenadas del punto N (x; - y) la satisfarán. El punto N es simétrico al punto M con respecto al eje Ox. Por tanto, el eje Ox es el eje de simetría de la parábola en el sistema de coordenadas canónicas.

El eje de simetría se llama eje de la parábola. El punto de intersección de la parábola con el eje se llama vértice de la parábola. El vértice de la parábola en el sistema de coordenadas canónicas está en el origen.

Propiedad 10.11.

La parábola se encuentra en el semiplano x ≥ 0.

Prueba

De hecho, dado que el parámetro p es positivo, solo los puntos con abscisas no negativas, es decir, los puntos del semiplano x ≥ 0, pueden satisfacer la ecuación.

Al cambiar el sistema de coordenadas, el punto A con coordenadas especificadas en la condición tendrá nuevas coordenadas determinadas a partir de las relaciones, por lo tanto, el punto A tendrá coordenadas en el sistema canónico, este punto se llama el foco de la parábola y se denota con la letra F.

La recta l, dada en el antiguo sistema de coordenadas por la ecuación en el nuevo sistema de coordenadas, habrá visto, omitiendo el sombreado,

Esta línea recta en el sistema de coordenadas canónicas se llama directriz de la parábola. La distancia de éste al foco se llama parámetro focal de la parábola. Obviamente, es igual a p . La excentricidad de una parábola, por definición, se supone igual a uno, es decir, ε = k = 1.

Ahora bien, la propiedad mediante la cual definimos la parábola se puede formular en nuevos términos de la siguiente manera: cualquier punto de la parábola es equidistante de su foco y directriz.

La forma de la parábola en el sistema de coordenadas canónicas y la ubicación de su directriz se muestran en la fig. 10.10.1.

Figura 10.10.1.

Sobre el campo P, hay un operador lineal si 1) para cualquier vector2) para cualquier vector y cualquier.

1) Matriz de operadores lineales: Sea φ-L.O. espacio vectorial V sobre un cuerpo P y una de las bases de V: Dejar Entonces la matriz L.O.φ: 2) Relación entre las matrices de un operador lineal en diferentes bases: M(φ) - matriz LO φ en la base antigua. M1(φ) - matriz L.O. φ en la nueva base. T es la matriz de transición de la base anterior a la nueva base. 2) Acciones sobre operadores lineales: Sean φ y f diferentes L.O. espacio vectorial V. Entonces φ+f es la suma de los operadores lineales φ y f. k·φ - multiplicación L.O. a un escalar k. φ f es el producto de los operadores lineales φ y f. Yo también soy L.O. espacio vectorial v

4) El núcleo del operador lineal: d(φ) - dimensión del L.O. φ (defecto). 5) La imagen de un operador lineal: ranφ - Rango LO φ (dimensión Jmφ). 6) Vectores propios y valores propios de un vector lineal:  Sea φ L.O. espacio vectorial V sobre el campo P y uSi entonces λ es un valor propio - vector propio φ correspondiente a λ.  Ecuación característica de L.O. φ:  El conjunto de vectores propios correspondientes al valor propio λ:  L. O. espacio vectorial se denominan L.O. con espectro simple si φ si φ tiene exactamente n valores propios.  Si φ - L.O. con un espectro simple, entonces tiene una base de vectores propios, con respecto a los cuales el L.O. φ es diagonal.

2) La posición de una línea recta en el espacio se determina completamente fijando cualquiera de sus puntos fijos METRO 1 y un vector paralelo a esta recta.

Un vector paralelo a una recta se llama estrella de guía el vector de esta línea.

Así que deja la recta yo pasa por un punto METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1 ) sobre una recta paralela al vector .

Considere un punto arbitrario M(x,y,z) en línea recta. Se puede ver en la figura que .

Los vectores son colineales, entonces hay un número t, qué , dónde está el multiplicador t puede tomar cualquier valor numérico dependiendo de la posición del punto METRO en línea recta. Factor t se llama parámetro. Denotar los vectores de radio de los puntos METRO 1 Y METRO respectivamente a través de y, obtenemos. Esta ecuación se llama vector ecuación de línea recta. Muestra que cada valor de parámetro t corresponde al radio vector de algún punto METRO acostado en línea recta.

Escribimos esta ecuación en forma de coordenadas. Tenga en cuenta que, desde aquí

Las ecuaciones resultantes se llaman paramétrico ecuaciones de linea recta

Al cambiar el parámetro t cambio de coordenadas X, y Y z y punto METRO se mueve en línea recta.

ECUACIONES CANÓNICAS DIRECTAS

Dejar METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1 ) es un punto sobre una recta yo, Y es su vector director. Nuevamente, tome un punto arbitrario en una línea recta M(x,y,z) y considere el vector .

Es claro que los vectores y son colineales, por lo que sus respectivas coordenadas deben ser proporcionales, por lo tanto

– canónico ecuaciones de linea recta

Observación 1. Tenga en cuenta que las ecuaciones canónicas de la línea podrían obtenerse de las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro t. De hecho, a partir de las ecuaciones paramétricas obtenemos o .

Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta. de forma paramétrica.

Denotar , por eso X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observación 2. Sea la línea perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, por ejemplo, el eje Buey. Entonces el vector director de la recta es perpendicular Buey, por eso, metro=0. En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de la línea recta toman la forma

Eliminando el parámetro de las ecuaciones t, obtenemos las ecuaciones de la recta en la forma

Sin embargo, también en este caso, acordamos escribir formalmente las ecuaciones canónicas de la línea recta en la forma . Por lo tanto, si el denominador de una de las fracciones es cero, significa que la línea es perpendicular al eje de coordenadas correspondiente.

Del mismo modo, las ecuaciones canónicas corresponde a una recta perpendicular a los ejes Buey Y Oye o eje paralelo Onz.

Ejemplos.

Ecuaciones canónicas: .

Ecuaciones paramétricas:

Escribe las ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos METRO 1 (-2;1;3), METRO 2 (-1;3;0).

Compongamos las ecuaciones canónicas de la recta. Para hacer esto, encontramos el vector de dirección . Entonces yo:.

ECUACIONES GENERALES UNA LÍNEA DIRECTA COMO LÍNEA DE INTERCEPCIÓN DE DOS PLANOS

A través de cada línea recta en el espacio pasa un número infinito de planos. Dos cualesquiera de ellos, intersecándose, lo definen en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones de cualquiera de estos dos planos, consideradas juntas, son las ecuaciones de esta línea.

En general, cualesquiera dos planos no paralelos dados por las ecuaciones generales

determinar su línea de intersección. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones generales derecho.

Ejemplos.

Construir una línea recta dada por ecuaciones

Para construir una línea, es suficiente encontrar dos de sus puntos. La forma más fácil es elegir los puntos de intersección de la línea con los planos de coordenadas. Por ejemplo, el punto de intersección con el plano xOy obtenemos de las ecuaciones de una recta, asumiendo z= 0:

Resolviendo este sistema, encontramos el punto METRO 1 (1;2;0).

Del mismo modo, suponiendo y= 0, obtenemos el punto de intersección de la recta con el plano xOz:

De las ecuaciones generales de una línea recta, se puede proceder a sus ecuaciones canónicas o paramétricas. Para hacer esto, necesitas encontrar algún punto. METRO 1 sobre la recta y el vector director de la recta.

Coordenadas del punto METRO 1 obtenemos de este sistema de ecuaciones dando a una de las coordenadas un valor arbitrario. Para encontrar el vector de dirección, tenga en cuenta que este vector debe ser perpendicular a ambos vectores normales y. Por lo tanto, para el vector director yo puedes tomar el producto cruz de vectores normales:

.

Ejemplo. Dar las ecuaciones generales de la recta. a la forma canónica.

Encuentra un punto en una línea recta. Para ello, elegimos arbitrariamente una de las coordenadas, por ejemplo, y= 0 y resuelve el sistema de ecuaciones:

Los vectores normales de los planos que definen la recta tienen coordenadas, por tanto, el vector director de la recta será

. Por eso, yo: .

1) Sean y sean dos bases en R norte .

Definición. matriz de transición desde la base a base se llama la matriz C, cuyas columnas son las coordenadas de los vectores en base :

La matriz de transición es invertible ya que los vectores base son linealmente independientes y por lo tanto

El vector se expresa linealmente en términos de los vectores de ambas bases. La relación de coordenadas vectoriales en diferentes bases se establece en el siguiente teorema.

Teorema. Si

entonces las coordenadas vectores en la base , y sus coordenadas en base relacionados por las relaciones

Dónde - matriz de transición desde la base a base , - vectores columna de coordenadas vectoriales en bases Y respectivamente.

2)Disposición mutua de dos rectas

Si las líneas están dadas por ecuaciones, entonces son:

1) paralelo (pero no igual)

2) partido

3) intersecar

4) cruzarse

Si entonces los casos 1 - 4 ocurren cuando (- signo de negación de la condición):

3)

4)

Distancia entre dos rectas paralelas

en coordenadas

Distancia entre dos líneas que se cruzan

en coordenadas

Ángulo entre dos rectas

Condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares

O

Disposición mutua de una recta y un plano

plano y linea

1) intersecar

2) la recta se encuentra en un plano

3) paralelo

Si entonces los casos 1 - 3 ocurren cuando:

1)

Condición necesaria y suficiente para el paralelismo de una recta y un plano

Ángulo entre recta y plano

Punto de intersección de una recta con un plano

En coordenadas:

Ecuaciones de una recta que pasa por un punto perpendicular al plano

En coordenadas:

1) Obviamente, el sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como:

x 1 + x 2 + … + x norte

Prueba.

1) Si existe una solución, entonces la columna de términos libres es una combinación lineal de las columnas de la matriz A, lo que significa que al sumar esta columna a la matriz, es decir transición АА * no cambia el rango.

2) Si RgA = RgA * , entonces esto significa que tienen el mismo menor básico. La columna de miembros libres es una combinación lineal de las columnas de la base menor, la notación dada arriba es correcta.

2) avión en el espacio.

Primero obtenemos la ecuación del plano que pasa por el punto METRO 0 (X 0 ,y 0 , z 0 ) perpendicular al vector norte = {A, B, C), llamada normal al plano. Para cualquier punto del plano M(x, y,z) vectores METRO 0 METRO = {X - X 0 , y - y 0 , z - z 0 ) es ortogonal al vector norte , por lo tanto, su producto escalar es igual a cero:

A(X - X 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. (8.1)

Se obtiene una ecuación que es satisfecha por cualquier punto de un plano dado - la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado.

Después de reducir las similares, la ecuación (8.1) se puede escribir en la forma:

Hacha + Por + Cz + D = 0, (8.2)

Dónde D=-hacha 0 - Por 0 -Cz 0 . Esta ecuación lineal en tres variables se llama la ecuación general del plano.

Ecuaciones planas incompletas.

Si al menos uno de los números A B C,D es igual a cero, la ecuación (8.2) se llama incompleta.

Considere los posibles tipos de ecuaciones incompletas:

1) D= 0 - plano Hacha + Por + cz= 0 pasa por el origen.

2) A = 0 – norte = {0,B, C} Buey, por lo tanto el avión Por + cz + D= 0 es paralelo al eje Oh.

3) EN= 0 - avión Hacha + cz + D = 0 es paralelo al eje UNED.

4) CON= 0 - plano Hacha + Por + D= 0 es paralelo al eje ACERCA DEz.

5) A = B= 0 - plano cz + D Ohu(ya que es paralelo a los ejes Oh Y UNED).

6) UN = C= 0 - plano Wu +D= 0 paralelo al plano de coordenadas Ohz.

7) B = C= 0 - plano Hacha + D= 0 paralelo al plano de coordenadas UNEDz.

8) un =D= 0 - plano Por + cz= 0 pasa por el eje Oh.

9) B = D= 0 - plano A + Cz= 0 pasa por el eje UNED.

10) C = D= 0 - avión Hacha + Por= 0 pasa por el eje Onz.

11) A = B = D= 0 - ecuación CONz= 0 especifica el plano de coordenadas Ohu.

12) A = C = D= 0 – obtenemos Wu= 0 es la ecuación del plano de coordenadas Ohz.

13) B = C = D= 0 - plano Oh= 0 es el plano de coordenadas UNEDz.

Si la ecuación general del plano es completa (es decir, ninguno de los coeficientes es igual a cero), se puede reducir a la forma:

llamado ecuación plana en segmentos. El método de conversión se muestra en la lección 7. Parámetros A,b Y Con son iguales a los valores de los segmentos cortados por el plano en los ejes de coordenadas.

1) Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales

Sistema homogéneo de ecuaciones lineales hacha = 0 siempre juntos. Tiene soluciones no triviales (distintas de cero) si r= rango A< n .

Para sistemas homogéneos, las variables base (los coeficientes en los que se forma la base menor) se expresan en términos de variables libres mediante relaciones de la forma:

Entonces n - r soluciones vectoriales linealmente independientes serán:

y cualquier otra solución es su combinación lineal. Vector de decisión forman un sistema fundamental normalizado.

En un espacio lineal, el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales forma un subespacio de dimensión n - r; es la base de este subespacio.