La derivada del exponente a la potencia de x. Derivada de e elevada a x y una función exponencial Derivada de una función logarítmica

Demostración y derivación de fórmulas para la derivada de la exponencial (e elevada a x) y la función exponencial (a elevada a x). Ejemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x y e^nx. Fórmulas para derivadas de órdenes superiores.

Contenido

Ver también: Función exponencial - propiedades, fórmulas, gráfico
Exponente, e a la potencia de x - propiedades, fórmulas, gráfico

fórmulas básicas

La derivada del exponente es igual al propio exponente (la derivada de e elevado a x es igual a e elevado a x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivada de una función exponencial con base de grado a es igual a la propia función, multiplicada por el logaritmo natural de a:
(2) .

El exponente es una función exponencial cuya base exponencial es igual al número e, que es el siguiente límite:
.
Aquí puede ser un número natural o real. A continuación, derivamos la fórmula (1) para la derivada del exponente.

Derivación de la fórmula para la derivada del exponente

Considere el exponente, e a la potencia de x :
y = e x .
Esta función está definida para todos. Encontremos su derivada con respecto a x. Por definición, la derivada es el siguiente límite:
(3) .

Transformemos esta expresión para reducirla a propiedades y reglas matemáticas conocidas. Para ello necesitamos los siguientes datos:
A) Propiedad del exponente:
(4) ;
B) Propiedad del logaritmo:
(5) ;
EN) Continuidad del logaritmo y propiedad de los límites para una función continua:
(6) .
Aquí, hay una función que tiene un límite y este límite es positivo.
GRAMO) El significado del segundo límite maravilloso:
(7) .

Aplicamos estos hechos a nuestro límite (3). Usamos la propiedad (4):
;
.

Hagamos una sustitución. Entonces ; .
Debido a la continuidad del exponente,
.
Por lo tanto, en , . Como resultado, obtenemos:
.

Hagamos una sustitución. Entonces . En , . Y tenemos:
.

Aplicamos la propiedad del logaritmo (5):
. Entonces
.

Apliquemos la propiedad (6). Como hay un límite positivo y el logaritmo es continuo, entonces:
.
Aquí también usamos el segundo límite notable (7). Entonces
.

Así, hemos obtenido la fórmula (1) para la derivada del exponente.

Derivación de la fórmula para la derivada de la función exponencial

Ahora derivamos la fórmula (2) para la derivada de la función exponencial con una base de grado a. Creemos eso y . Entonces la función exponencial
(8)
Definido para todos.

Transformemos la fórmula (8). Para ello, utilizamos las propiedades de la función exponencial y el logaritmo.
;
.
Entonces, hemos transformado la fórmula (8) a la siguiente forma:
.

Derivadas de orden superior de e a la potencia de x

Ahora encontremos derivadas de órdenes superiores. Veamos primero el exponente:
(14) .
(1) .

Vemos que la derivada de la función (14) es igual a la función (14) misma. Derivando (1), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Esto muestra que la derivada de n-ésimo orden también es igual a la función original:
.

Derivadas de orden superior de la función exponencial

Ahora considere una función exponencial con una base de grado a:
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(15) .

Derivando (15), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Vemos que cada diferenciación conduce a la multiplicación de la función original por . Por lo tanto, la n-ésima derivada tiene la siguiente forma:
.

Ver también:

Conceptos básicos

Antes de considerar la derivada del exponente a la potencia de $x$, recordamos las definiciones

1. funciones;
2. límite de secuencia;
3. derivado;
4. expositores

Esto es necesario para una comprensión clara de la derivada del exponente a la potencia de $x$.

Definición 1

Una función es una relación entre dos variables.

Tomemos $y=f(x)$, donde $x$ y $y$ son variables. Aquí $x$ se llama argumento y $y$ se llama función. El argumento puede tomar valores arbitrarios. A su vez, la variable $y$ cambia según una determinada ley según el argumento. Es decir, el argumento $x$ es la variable independiente y la función $y$ es la variable dependiente. Cualquier valor de $x$ corresponde a un único valor de $y$.

Si a cada número natural $n=1, 2, 3, ...$ se le asigna un número $x_n$ en virtud de alguna ley, entonces decimos que está definida una secuencia de números $x_1,x_2,...,x_n$. De lo contrario, dicha secuencia se escribe como $\(x_n\)$. Todos los números $x_n$ se denominan miembros o elementos de la secuencia.

Definición 2

El límite de una sucesión es el punto final o el punto en el infinito de la recta real. El límite se escribe así: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Esta entrada significa que la variable $x_n$ tiende a $a$ $x_n\a$.

La derivada de la función $f$ en el punto $x_0$ se llama el siguiente límite:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Se denota por $f"(x_0)$.

El número $e$ es igual al siguiente límite:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

En el límite dado, $n$ es un número natural o real.

Conociendo los conceptos de límite, derivada y exponente, podemos proceder a la demostración de la fórmula $(e^x)"=e^x$.

Derivación de la derivada del exponente a la potencia de $x$

Tenemos $e^x$, donde $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Por la propiedad del exponente $e^(a+bx)=e^a*e^b$ podemos transformar el numerador del límite:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Es decir, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Denota $t=e^(\Delta x)-1$. Obtenemos $e^(\Delta x)=t+1$, y por la propiedad del logaritmo resulta que $\Delta x = ln(t+1)$.

Como el exponente es continuo, tenemos $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Por lo tanto, si $\Delta x\to 0$, entonces $t \to 0$.

Como resultado, mostramos la transformación:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))$.

Denota $n=\frac (1)(t)$, luego $t=\frac(1)(n)$. Resulta que si $t\to 0$, entonces $n\to\infty$.

Transformemos nuestro límite:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Por la propiedad del logaritmo $b\cdot ln c=ln c^b$ tenemos

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$.

El límite se convierte de la siguiente manera:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln( \frac(1)(n) +1)^n)$.

Según la propiedad de continuidad del logaritmo y la propiedad de límites para una función continua: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, donde $f(x)$ tiene un límite positivo $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Entonces, debido a que el logaritmo es continuo y hay un límite positivo $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, podemos deducir:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln e=1$.

Usemos el valor del segundo límite maravilloso $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Obtenemos:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1)(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Por lo tanto, hemos derivado la fórmula para la derivada del exponente y podemos afirmar que la derivada del exponente a la potencia de $x$ es equivalente al exponente a la potencia de $x$:

También hay otras formas de derivar esta fórmula usando otras fórmulas y reglas.

Ejemplo 1

Considere un ejemplo de encontrar la derivada de una función.

Condición: Encuentra la derivada de la función $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Solución: Aplicamos la fórmula $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ a los términos $2^x, 3^x$ y $10^x$. Según la fórmula derivada $(e^x)"=e^x$, el cuarto término $e^x$ no cambia.

Respuesta: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Por lo tanto, hemos derivado la fórmula $(e^x)"=e^x$, mientras damos definiciones a los conceptos básicos, hemos analizado un ejemplo de cómo encontrar la derivada de una función con un exponente como uno de los términos.

Muchos números adquirieron su magnitud y significado supersticioso en la antigüedad. Hoy en día, se les añaden nuevos mitos. Hay muchas leyendas sobre el número pi, los famosos números de Fibonacci son un poco menos famosos. Pero quizás lo más sorprendente es el número e, que no se puede hacer sin matemáticas modernas, la física e incluso la economía.

El valor aritmético de e es aproximadamente 2.718. ¿Por qué no exactamente, sino aproximadamente? Debido a que este número es irracional y trascendental, no se puede expresar como una fracción con enteros naturales o como un polinomio con coeficientes racionales. Para la mayoría de los cálculos con la precisión especificada, un valor de 2,718 es suficiente, aunque el nivel actual de tecnología informática le permite determinar su valor con una precisión de más de un billón de decimales.

La característica principal del número e es que la derivada de su función exponencial f (x) \u003d e x es igual al valor de la función e x misma. Ninguna otra relación matemática tiene una propiedad tan inusual. Hablemos de esto con un poco más de detalle.

que es un limite

Primero, tratemos el concepto de límite. Considere alguna expresión matemática, por ejemplo, i = 1/n. Puede ver, que con un aumento en "n“, el valor de “i” disminuirá, y como “n” tiende a infinito (lo que se indica con el signo ∞), “i” tenderá al valor límite (más a menudo llamado simplemente el límite) igual a cero. La expresión límite (denotada como lim) para el caso bajo consideración se puede escribir como lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Hay diferentes límites para diferentes expresiones. Uno de esos límites, incluido en los libros de texto soviéticos y rusos como el segundo límite notable, es la expresión lim n →∞ (1+1/ n) n . Ya en la Edad Media se estableció que el límite de esta expresión es el número e.

El primer límite notable incluye la expresión lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Cómo encontrar la derivada e x - en este video.

¿Qué es la derivada de una función?

Para revelar el concepto de derivada, uno debe recordar qué es una función en matemáticas. Para no saturar el texto con definiciones complejas, detengámonos en el concepto matemático intuitivo de una función, que consiste en el hecho de que una o varias cantidades determinan completamente el valor de otra cantidad, si están interconectadas. Por ejemplo, en la fórmula S = π ∙ r 2 del área de un círculo, el valor del radio r determina de manera completa y única el área del círculo S.

Dependiendo del tipo, las funciones pueden ser algebraicas, trigonométricas, logarítmicas, etc. En ellas se pueden interconectar dos, tres o más argumentos. Por ejemplo, la distancia S recorrida, que el objeto ha superado con velocidad uniformemente acelerada, se describe mediante la función S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, donde “t” es el tiempo de movimiento, el argumento “a” es la aceleración (puede ser positiva o negativa) y “V” es la velocidad inicial de movimiento. Por lo tanto, la cantidad de distancia recorrida depende de los valores de tres argumentos, dos de los cuales ("a" y "V") son constantes.

Usemos este ejemplo para mostrar el concepto elemental de la derivada de una función. Caracteriza la tasa de cambio de la función en un punto dado. En nuestro ejemplo, esta será la velocidad del objeto en un momento determinado. Con "a" y "V" constantes, depende solo del tiempo "t", es decir, en términos científicos, debe derivar la función S con respecto al tiempo "t".

Este proceso se llama diferenciación y se realiza calculando el límite de la relación entre el crecimiento de una función y el crecimiento de su argumento en una cantidad despreciable. Resolver tales problemas para funciones individuales a menudo no es una tarea fácil y no se considera aquí. También vale la pena señalar que algunas funciones en ciertos puntos no tienen tales límites en absoluto.

En nuestro ejemplo, la derivada S en el tiempo "t" tomará la forma S" = ds / dt = a ∙ t + V, de donde se puede ver que la velocidad S" cambia linealmente dependiendo de "t".

Derivada del exponente

Una función exponencial se llama función exponencial, cuya base es el número e. Por lo general, se muestra como F (x) \u003d e x, donde el exponente x es una variable. Esta función tiene diferenciabilidad completa en todo el rango de números reales. A medida que x aumenta, aumenta constantemente y siempre es mayor que cero. Su función inversa es el logaritmo.

El famoso matemático Taylor logró expandir esta función en una serie que lleva su nombre e x = 1 + x/1! + x2/2! + x 3 /3! + … en el rango x de - ∞ a + ∞.

Ley basada en esta función, se llama exponencial. El describe:

• un aumento en el interés bancario compuesto;
• aumento de la población de animales y de la población del planeta;
• tiempo de rigor mortis y mucho más.

Repitamos una vez más la notable propiedad de esta dependencia: el valor de su derivada en cualquier punto es siempre igual al valor de la función en ese punto, es decir, (e x)" = e x .

Aquí están las derivadas para los casos más generales del exponente:

• (e hacha)" = a ∙ e hacha;
• (e f (x))" = f "(x) ∙ e f (x) .

Usando estas dependencias, es fácil encontrar derivadas para otros tipos particulares de esta función.

Algunos datos interesantes sobre el número e

Los nombres de científicos como Napier, Otred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler y otros están asociados con este número. ¡Este último introdujo la designación e para este número y también encontró los primeros 18 caracteres, usando la serie e = 1 + 1/1 descubierta por él para el cálculo! +2/2! + 3/3! …

El número e aparece en los lugares más inesperados. Por ejemplo, está incluido en la ecuación de la catenaria, que describe el pandeo de una cuerda por su propio peso cuando sus extremos están fijos en soportes.

Video

El tema de la lección en video es la derivada de la función exponencial.

Al derivar la primera fórmula de la tabla, procederemos de la definición de la derivada de una función en un punto. vamos a donde X- cualquier número real, es decir, X– cualquier número del área de definición de función. Escribamos el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento en:

Cabe señalar que bajo el signo del límite se obtiene una expresión que no es la incertidumbre de cero dividida por cero, ya que el numerador no contiene un valor infinitesimal, sino precisamente cero. En otras palabras, el incremento de una función constante siempre es cero.

De este modo, derivada de una función constantees igual a cero en todo el dominio de definición.

Derivada de una función potencia.

La fórmula para la derivada de una función potencia tiene la forma , donde el exponente pag es cualquier número real.

Primero demostremos la fórmula para el exponente natural, es decir, para pag = 1, 2, 3, ...

Usaremos la definición de derivada. Escribamos el límite de la razón del incremento de la función potencia al incremento del argumento:

Para simplificar la expresión en el numerador, recurrimos a la fórmula binomial de Newton:

Por eso,

Esto prueba la fórmula para la derivada de una función de potencia para un exponente natural.

Derivada de la función exponencial.

Derivamos la fórmula de la derivada basándonos en la definición:

Llegó a la incertidumbre. Para expandirlo, introducimos una nueva variable , y para . Entonces . En la última transición, usamos la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo.

Realicemos una sustitución en el límite original:

Si recordamos el segundo límite notable, llegamos a la fórmula para la derivada de la función exponencial:

Derivada de una función logarítmica.

Probemos la fórmula de la derivada de la función logarítmica para todo X del alcance y todos los valores base válidos a logaritmo. Por definición de la derivada, tenemos:

Como notaste, en la demostración, las transformaciones se realizaron usando las propiedades del logaritmo. Igualdad es válida debido al segundo límite notable.

Derivadas de funciones trigonométricas.

Para derivar fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas, tendremos que recordar algunas fórmulas de trigonometría, así como el primer límite notable.

Por definición de la derivada de la función seno, tenemos .

Usamos la fórmula para la diferencia de senos:

Queda por volver al primer límite notable:

Entonces la derivada de la función pecado x Hay porque x.

La fórmula para la derivada del coseno se demuestra exactamente de la misma manera.

Por lo tanto, la derivada de la función porque x Hay –sin x.

La derivación de fórmulas para la tabla de derivadas de la tangente y la cotangente se realizará utilizando las reglas probadas de derivación (derivada de una fracción).

Derivadas de funciones hiperbólicas.

Las reglas de diferenciación y la fórmula para la derivada de la función exponencial de la tabla de derivadas nos permiten derivar fórmulas para las derivadas del seno, coseno, tangente y cotangente hiperbólicos.

Derivada de la función inversa.

Para que no haya confusión en la presentación, denotemos en el índice inferior el argumento de la función por la cual se realiza la diferenciación, es decir, es la derivada de la función f(x) Por X.

Ahora formulamos Regla para hallar la derivada de la función inversa.

Deja que las funciones y = f(x) Y x = g(y) mutuamente inversas, definidas en los intervalos y respectivamente. Si en un punto existe una derivada finita distinta de cero de la función f(x), entonces en el punto existe una derivada finita de la función inversa g(y), y . en otra entrada .

Esta regla se puede reformular para cualquier X del intervalo , entonces obtenemos .

Vamos a comprobar la validez de estas fórmulas.

Encontremos la función inversa para el logaritmo natural (Aquí y es una función y X- argumento). Resolviendo esta ecuación para X, obtenemos (aquí X es una función y y su argumento). Eso es, y funciones mutuamente inversas.

De la tabla de derivadas vemos que Y .

Asegurémonos de que las fórmulas para encontrar derivadas de la función inversa nos lleven a los mismos resultados:

Aquí hay una tabla de resumen para mayor comodidad y claridad al estudiar el tema.

Constantey=c Función potencia y = x p (x p)" = p x p - 1	Funcion exponencialy = x (a x)" = a x ln a En particular, cuandoun = mitenemos y = e x (e x)" = e x
función logarítmica (log a x) " = 1 x ln a En particular, cuandoun = mitenemos y = registro x (ln x)" = 1 x	Funciones trigonométricas (sen x) "= cos x (cos x)" = - sen x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sen 2 x
Funciones trigonométricas inversas (a r c sen x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Funciones hiperbólicas (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analicemos cómo se obtuvieron las fórmulas de la tabla indicada o, en otras palabras, probaremos la derivación de fórmulas para derivadas para cada tipo de función.

Derivada de una constante

Prueba 1

Para derivar esta fórmula, tomamos como base la definición de la derivada de una función en un punto. Usamos x 0 = x, donde X toma el valor de cualquier número real, o, en otras palabras, X es cualquier número del dominio de la función f (x) = C . Escribamos el límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento como ∆ x → 0:

lím ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lím ∆ x → 0 C - C ∆ x = lím ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Tenga en cuenta que la expresión 0 ∆ x cae bajo el signo de límite. No es la incertidumbre de “cero dividido por cero”, ya que el numerador no contiene un valor infinitesimal, sino cero. En otras palabras, el incremento de una función constante siempre es cero.

Entonces, la derivada de la función constante f (x) = C es igual a cero en todo el dominio de definición.

Ejemplo 1

Dadas funciones constantes:

F 1 (x) = 3 , F 2 (x) = un , un ∈ R , F 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Solución

Describamos las condiciones dadas. En la primera función vemos la derivada del número natural 3 . En el siguiente ejemplo, debe tomar la derivada de A, Dónde A- cualquier número real. El tercer ejemplo nos da la derivada del número irracional 4 . 13 7 22 , el cuarto - la derivada de cero (cero es un número entero). Finalmente, en el quinto caso, tenemos la derivada de la fracción racional - 8 7 .

Respuesta: las derivadas de las funciones dadas son cero para cualquier real X(en todo el dominio de definición)

f 1 "(x) = (3)" = 0 , f 2 "(x) = (a)" = 0 , a ∈ R , f 3 "(x) = 4 . 13 7 22" = 0 , f 4 "(x) = 0" = 0 , f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Derivada de función de potencia

Pasamos a la función potencia y la fórmula de su derivada, que tiene la forma: (x p) " = p x p - 1, donde el exponente pag es cualquier número real.

Prueba 2

Aquí está la prueba de la fórmula cuando el exponente es un número natural: p = 1 , 2 , 3 , ...

De nuevo, nos basamos en la definición de derivada. Escribamos el límite de la razón del incremento de la función potencia al incremento del argumento:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Para simplificar la expresión en el numerador, usamos la fórmula binomial de Newton:

(x + ∆ x) pags - x pags = C pags 0 + x pags + C pags 1 x pags - 1 ∆ x + C pags 2 x pags - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C pags - 1 x (∆ x) pags - 1 + C pags (∆ x) pags - x pags = = C pags 1 x pags - 1 ∆ x + C pags 2 x pags - 2 (∆ x) 2 + . . . + C pags - 1 x (∆ x) pags - 1 + C pags (∆ x) pags

De este modo:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p!1!(p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Entonces, probamos la fórmula para la derivada de una función de potencia cuando el exponente es un número natural.

Prueba 3

Para dar prueba para el caso cuando pag- cualquier número real distinto de cero, usamos la derivada logarítmica (aquí debemos entender la diferencia de la derivada de la función logarítmica). Para tener una comprensión más completa, es deseable estudiar la derivada de la función logarítmica y, además, tratar con la derivada de una función dada implícitamente y la derivada de una función compleja.

Considere dos casos: cuando X positivo y cuando X son negativos.

Entonces x > 0 . Entonces: x p > 0 . Tomamos el logaritmo de la igualdad y \u003d x p a la base e y aplicamos la propiedad del logaritmo:

y = x pags ln y = pags ln y = pags ln x

En esta etapa, se ha obtenido una función implícitamente definida. Definamos su derivada:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Ahora consideramos el caso cuando X- un número negativo

Si el indicador pag es un número par, entonces la función de potencia también está definida para x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Entonces xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Si pag es un número impar, entonces la función de potencia está definida para x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p (- x) p - 1 (- x) " = = p (- x) p - 1 = p x p - 1

La última transición es posible porque si pag es un número impar, entonces pag-1 ya sea un número par o cero (para p = 1), por lo tanto, para negativo X la igualdad (- x) p - 1 = x p - 1 es verdadera.

Entonces, hemos probado la fórmula para la derivada de una función de potencia para cualquier p real.

Ejemplo 2

Funciones dadas:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinar sus derivadas.

Solución

Transformamos parte de las funciones dadas en una forma tabular y = x p , según las propiedades del grado, y luego usamos la fórmula:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 "(x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivada de la función exponencial

Prueba 4

Derivamos la fórmula para la derivada, basándonos en la definición:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Tenemos incertidumbre. Para expandirlo, escribimos una nueva variable z = a ∆ x - 1 (z → 0 como ∆ x → 0). En este caso a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Para la última transición se utiliza la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo.

Realicemos una sustitución en el límite original:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 ( z + 1) 1z

Recuerda el segundo límite maravilloso y luego obtenemos la fórmula para la derivada de la función exponencial:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Ejemplo 3

Las funciones exponenciales están dadas:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Necesitamos encontrar sus derivadas.

Solución

Usamos la fórmula para la derivada de la función exponencial y las propiedades del logaritmo:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x "= 1 e x ln 1 e \ u003d 1 e x ln e - 1 \u003d - 1 e x

Derivada de una función logarítmica

Prueba 5

Presentamos la demostración de la fórmula de la derivada de la función logarítmica para cualquier X en el dominio de definición y cualquier valor válido de la base a del logaritmo. Basándonos en la definición de la derivada, obtenemos:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Se puede ver a partir de la cadena de igualdades especificada que las transformaciones se construyeron sobre la base de la propiedad del logaritmo. El límite de igualdad ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e es verdadero de acuerdo con el segundo límite notable.

Ejemplo 4

Se dan funciones logarítmicas:

f 1 (x) = logaritmo logaritmo 3 x , f 2 (x) = logaritmo x

Es necesario calcular sus derivadas.

Solución

Apliquemos la fórmula derivada:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Entonces la derivada del logaritmo natural es uno dividido por X.

Derivadas de funciones trigonométricas

Prueba 6

Usamos algunas fórmulas trigonométricas y el primer límite maravilloso para derivar la fórmula de la derivada de una función trigonométrica.

De acuerdo con la definición de la derivada de la función seno, obtenemos:

(sen x) " = lim ∆ x → 0 sen (x + ∆ x) - sen x ∆ x

La fórmula para la diferencia de senos nos permitirá realizar las siguientes acciones:

(sen x) " = lim ∆ x → 0 sen (x + ∆ x) - sen x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sen x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lím ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2

Finalmente, usamos el primer límite maravilloso:

sen "x = cos x + 0 2 lím ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Entonces la derivada de la función pecado x voluntad porque x.

También probaremos la fórmula para la derivada del coseno de la misma manera:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sen x + ∆ x - x 2 sen x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 sen x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sen x + 0 2 lím ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2 = - sen x

Aquellos. la derivada de la función cos x será – pecado x.

Derivamos las fórmulas para las derivadas de la tangente y la cotangente basándonos en las reglas de diferenciación:

t g "x = sen x cos x" = sen "x cos x - sen x cos" x cos 2 x = = cos x cos x - sen x (- sen x) cos 2 x = sen 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sen x" = cos "x sen x - cos x sen" x sen 2 x = = - sen x sen x - cos x cos x sen 2 x = - sen 2 x + cos 2 x sen 2 x = - 1 sen 2 x

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

La sección sobre la derivada de funciones inversas brinda información completa sobre la prueba de las fórmulas para las derivadas del arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente, por lo que no duplicaremos el material aquí.

Derivadas de funciones hiperbólicas

Prueba 7

Podemos derivar fórmulas para las derivadas del seno, coseno, tangente y cotangente hiperbólicos usando la regla de diferenciación y la fórmula para la derivada de la función exponencial:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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