Ecuaciones cuadráticas. Discriminante. Solución, ejemplos.

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Tipos de ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática? Cómo se ve? En término ecuación cuadrática la palabra clave es "cuadrado". Significa que en la ecuación Necesariamente debe haber una x al cuadrado. Además, en la ecuación puede haber (¡o no!) solo x (hasta el primer grado) y solo un número (miembro gratuito). Y no debe haber x en un grado mayor que dos.

En términos matemáticos, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

Aquí a, b y c- algunos números. b y c absolutamente cualquiera, pero A- cualquier cosa menos cero. Por ejemplo:

Aquí A =1; b = 3; C = -4

Aquí A =2; b = -0,5; C = 2,2

Aquí A =-3; b = 6; C = -18

Bueno, ya captas la idea...

En estas ecuaciones cuadráticas, a la izquierda, hay juego completo miembros x al cuadrado con coeficiente A, x a la primera potencia con coeficiente b Y miembro libre de

Tales ecuaciones cuadráticas se llaman completo.

Y si b= 0, ¿qué obtendremos? Tenemos X desaparecerá en primer grado. Esto sucede al multiplicar por cero). Resulta, por ejemplo:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Etcétera. Y si ambos coeficientes b Y C son iguales a cero, entonces es aún más simple:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Tales ecuaciones, donde falta algo, se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas. Lo cual es bastante lógico). Tenga en cuenta que x al cuadrado está presente en todas las ecuaciones.

por cierto por que A no puede ser cero? Y lo sustituyes en su lugar A cero.) ¡La X en el cuadrado desaparecerá! La ecuación se volverá lineal. Y se hace de otra manera...

Esos son todos los tipos principales de ecuaciones cuadráticas. Completo e incompleto.

Solución de ecuaciones cuadráticas.

Solución de ecuaciones cuadráticas completas.

Las ecuaciones cuadráticas son fáciles de resolver. Según fórmulas y reglas claras y sencillas. En la primera etapa, es necesario llevar la ecuación dada a la forma estándar, es decir a la vista:

Si la ecuación ya se le ha dado de esta forma, no necesita hacer la primera etapa). Lo principal es determinar correctamente todos los coeficientes, A, b Y C.

La fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión bajo el signo de la raíz se llama discriminante. Pero más sobre él a continuación. Como puedes ver, para encontrar x, usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de la ecuación cuadrática. Simplemente sustituya cuidadosamente los valores a, b y c en esta fórmula y contar. Sustituto con tus signos! Por ejemplo, en la ecuación:

A =1; b = 3; C= -4. Aquí escribimos:

Ejemplo casi resuelto:

Esta es la respuesta.

Todo es muy simple. ¿Y tú qué crees, no te puedes equivocar? pues si como...

Los errores más comunes son la confusión con los signos de valores a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde hay que confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Aquí, se guarda un registro detallado de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, así que hazlo!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; b = -5; C = -1

Digamos que sabe que rara vez obtiene respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Tomará 30 segundos escribir una línea extra. Y el número de errores caerá bruscamente. Entonces escribimos en detalle, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil pintar con tanto cuidado. Pero solo parece. Intentalo. Bueno, o elegir. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no habrá necesidad de pintar todo con tanto cuidado. Simplemente saldrá bien. Especialmente si aplica técnicas prácticas, que se describen a continuación. ¡Este ejemplo malvado con un montón de desventajas se resolverá fácilmente y sin errores!

Pero, a menudo, las ecuaciones cuadráticas se ven ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

¿Sabías?) ¡Sí! Este ecuaciones cuadráticas incompletas.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.

También se pueden resolver mediante la fórmula general. Solo necesitas averiguar correctamente qué es igual aquí a, b y c.

¿Comprendió? En el primer ejemplo a = 1; b = -4; A C? ¡No existe en absoluto! Bueno, sí, así es. En matemáticas, esto significa que c = 0 ! Eso es todo. Sustituye cero en la fórmula en lugar de C, y todo saldrá bien para nosotros. Del mismo modo con el segundo ejemplo. Sólo cero no tenemos aquí Con, A b !

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver mucho más fácilmente. Sin fórmulas. Considere la primera ecuación incompleta. ¿Qué se puede hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar la X de los corchetes! Vamos a sacarlo.

¿Y de esto qué? ¡Y el hecho de que el producto sea igual a cero si, y sólo si, alguno de los factores es igual a cero! ¿No crees? Bueno, ¡entonces encuentra dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, darán cero!
¿No funciona? Algo...
Por lo tanto, podemos escribir con confianza: x1 = 0, ×2 = 4.

Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos encajan. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más simple que la fórmula general. Observo, por cierto, qué X será el primero y cuál el segundo: es absolutamente indiferente. Fácil de escribir en orden x1- el que sea menor x2- lo que es más.

La segunda ecuación también se puede resolver fácilmente. Movemos 9 al lado derecho. Obtenemos:

Queda por extraer la raíz del 9, y listo. Conseguir:

también dos raíces . x1 = -3, x2 = 3.

Así es como se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea quitando X de los corchetes, o simplemente transfiriendo el número a la derecha, y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estos métodos. Sencillamente porque en el primer caso tendrás que sacar la raíz de X, que es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...

Discriminante. Fórmula discriminante.

Palabra mágica discriminante ! ¡Un raro estudiante de secundaria no ha escuchado esta palabra! La frase "decidir a través del discriminante" es tranquilizadora y tranquilizadora. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y fácil de usar.) Les recuerdo la fórmula más general para resolver cualquier ecuaciones cuadráticas:

La expresión bajo el signo de la raíz se llama discriminante. El discriminante generalmente se denota con la letra D. Fórmula discriminante:

re = b 2 - 4ac

¿Y qué tiene de especial esta expresión? ¿Por qué merece un nombre especial? Qué significado del discriminante? Después de todo -b, o 2a en esta fórmula no nombran específicamente... Letras y letras.

El punto es este. Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula, es posible solo tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que puedes extraer la raíz de él. Si la raíz se extrae bien o mal es otra cuestión. Es importante lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tienes una solución. Ya que sumar o restar cero en el numerador no cambia nada. Estrictamente hablando, esta no es una sola raíz, sino dos idénticos. Pero, en una versión simplificada, se acostumbra hablar de una solución.

3. El discriminante es negativo. Un número negativo no toma la raíz cuadrada. Bueno esta bien. Esto significa que no hay soluciones.

Para ser honesto, con una solución simple de ecuaciones cuadráticas, el concepto de discriminante no es realmente necesario. Sustituimos los valores de los coeficientes en la fórmula y consideramos. Allí todo resulta solo, y dos raíces, y una, y no una sola. Sin embargo, al resolver tareas más complejas, sin conocimiento significado y formula discriminante no es suficiente. Especialmente - en ecuaciones con parámetros. ¡Tales ecuaciones son acrobacias aéreas para el GIA y el Examen de Estado Unificado!)

Entonces, como resolver ecuaciones cuadraticas a través del discriminante que recordaste. O aprendido, que tampoco está mal.) Sabes identificar correctamente a, b y c. Sabes cómo atentamente sustituirlos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. ¿Entendiste que la palabra clave aquí es - ¿atentamente?

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente el número de errores. Los mismos que se deben a la falta de atención... Para los que luego es penoso e insultante...

Primera recepción . No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática para convertirla en una forma estándar. ¿Qué quiere decir esto?
Supongamos que, después de cualquier transformación, obtienes la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula de las raíces! Es casi seguro que mezclarás las probabilidades a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, x al cuadrado, luego sin cuadrado, luego un miembro libre. Como esto:

Y de nuevo, ¡no te apresures! El menos antes de la x al cuadrado puede molestarte mucho. Olvidarlo es fácil... Deshazte del menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Y ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y completar el ejemplo. Decide por tu cuenta. Deberías terminar con las raíces 2 y -1.

Segunda recepción. ¡Revisa tus raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te preocupes, te lo explicaré todo! Comprobación última cosa la ecuacion. Aquellos. aquel por el cual escribimos la fórmula de las raíces. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1, comprueba las raíces fácilmente. Es suficiente para multiplicarlos. Debería obtener un término gratuito, es decir, en nuestro caso -2. ¡Presta atención, no 2, sino -2! miembro gratuito con tu signo . Si no funcionó, significa que ya se equivocaron en alguna parte. Busque un error.

Si funcionó, debes doblar las raíces. Última y última comprobación. debe ser una proporción b Con opuesto firmar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente b, que está antes de la x, es igual a -1. Entonces, ¡todo está bien!
Es una pena que sea tan simple solo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1¡Pero al menos revisa tales ecuaciones! Habrá menos errores.

Recepción tercero . Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por el denominador común como se describe en la lección "¿Cómo resolver ecuaciones? Transformaciones de identidad". Al trabajar con fracciones, los errores, por alguna razón, suben...

Por cierto, prometí un ejemplo malvado con un montón de desventajas para simplificar. ¡Por favor! Aquí está él.

Para no confundirnos con los menos, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Decidir es divertido!

Así que recapitulemos el tema.

Consejos prácticos:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a la forma estándar, la construimos Bien.

2. Si hay un coeficiente negativo delante de la x en el cuadrado, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente mediante el teorema de Vieta. ¡Hazlo!

Ahora puedes decidir.)

Resolver ecuaciones:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Respuestas (en desorden):

x1 = 0
×2 = 5

×1,2 =2

x1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - cualquier número

x1 = -3
x2 = 3

sin soluciones

x1 = 0,25
x 2 \u003d 0.5

¿Todo encaja? ¡Excelente! Las ecuaciones cuadráticas no son tu dolor de cabeza. Los tres primeros resultaron, ¿pero el resto no? Entonces el problema no está en las ecuaciones cuadráticas. El problema está en transformaciones idénticas de ecuaciones. Echa un vistazo al enlace, es útil.

¿No funciona del todo? ¿O no funciona en absoluto? Entonces te ayudará la Sección 555. Allí, todos estos ejemplos están ordenados por huesos. Demostración principal errores en la solución. Por supuesto, también se describe la aplicación de transformaciones idénticas para resolver varias ecuaciones. ¡Ayuda mucho!

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Escuela secundaria rural Kopyevskaya

10 formas de resolver ecuaciones cuadráticas

Jefe: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematicas

s.Kopyevo, 2007

1. Historia del desarrollo de las ecuaciones cuadráticas

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

1.2 Cómo Diofanto compiló y resolvió ecuaciones cuadráticas

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

1.4 Ecuaciones cuadráticas en al-Khwarizmi

1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII - XVII

1.6 Sobre el teorema de Vieta

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas

Conclusión

Literatura

1. Historia del desarrollo de las ecuaciones cuadráticas

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con encontrar las áreas de tierra y movimientos de tierra de carácter militar, así como el propio desarrollo de la astronomía y las matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a. mi. babilonios.

Aplicando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes hay, además de incompletos, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La regla para resolver estas ecuaciones, enunciada en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora solo dan problemas con soluciones establecidas en forma de recetas, sin indicación de cómo se encontraron.

A pesar del alto nivel de desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.

1.2 Cómo Diofanto compiló y resolvió ecuaciones cuadráticas.

La Aritmética de Diofanto no contiene una exposición sistemática del álgebra, pero contiene una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la elaboración de ecuaciones de varios grados.

Al compilar ecuaciones, Diofanto elige hábilmente las incógnitas para simplificar la solución.

Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.

Tarea 11."Encuentra dos números sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96"

Diofanto argumenta lo siguiente: de la condición del problema se sigue que los números deseados no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto sería igual no a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será más de la mitad de su suma, es decir 10+x, el otro es más pequeño, es decir 10's. La diferencia entre ellos 2x.

De ahí la ecuación:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aquí x = 2. Uno de los números deseados es 12 , otro 8 . Solución x = -2 porque Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.

Si resolvemos este problema eligiendo uno de los números deseados como incógnita, llegaremos a la solución de la ecuación

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Está claro que Diofanto simplifica la solución eligiendo como incógnita la media diferencia de los números deseados; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta (1).

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

Los problemas para las ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica:

Ah 2+bx = c, a > 0. (1)

En la ecuación (1), los coeficientes, a excepción de A, también puede ser negativo. La regla de Brahmagupta coincide esencialmente con la nuestra.

En la India antigua, las competencias públicas para resolver problemas difíciles eran comunes. En uno de los antiguos libros indios, se dice lo siguiente sobre tales concursos: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un erudito eclipsará la gloria de otro en reuniones públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Las tareas a menudo se vestían de forma poética.

Aquí está uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskara.

Tarea 13.

“Una juguetona bandada de monos y doce en vides...

Habiendo comido el poder, se divirtió. Empezaron a saltar, colgando...

Parte ocho de ellos en un cuadrado ¿Cuántos monos había allí,

Divertirse en el prado. Usted me dice, en este rebaño?

La solución de Bhaskara indica que él sabía acerca de los dos valores de las raíces de las ecuaciones cuadráticas (Fig. 3).

La ecuación correspondiente al problema 13 es:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara escribe bajo la apariencia de:

x2 - 64x = -768

y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación a un cuadrado, suma a ambos lados 32 2 , obteniendo entonces:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Ecuaciones cuadráticas en al-Khorezmi

El tratado algebraico de Al-Khorezmi da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor enumera 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) "Los cuadrados son iguales a las raíces", es decir, hacha 2 + c =bX.

2) "Los cuadrados son iguales al número", es decir, hacha 2 = s.

3) "Las raíces son iguales al número", es decir ah = s.

4) "Cuadrados y números son iguales a raíces", es decir hacha 2 + c =bX.

5) "Cuadrados y raíces son iguales al número", es decir Ah 2+bx= s.

6) "Raíces y números son iguales a cuadrados", es decirbx+ c \u003d hacha 2.

Para al-Khwarizmi, quien evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumandos, no restas. En este caso, obviamente, las ecuaciones que no tienen soluciones positivas no se tienen en cuenta. El autor describe los métodos para resolver estas ecuaciones, utilizando los métodos de al-jabr y al-muqabala. Sus decisiones, por supuesto, no coinciden completamente con las nuestras. Por no hablar del hecho de que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo

al-Khorezmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero, probablemente porque no importa en problemas prácticos específicos. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, al-Khorezmi establece las reglas para resolver, y luego las pruebas geométricas, usando ejemplos numéricos particulares.

Tarea 14.“El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. encuentra la raíz" (asumiendo la raíz de la ecuación x 2 + 21 = 10x).

La solución del autor es algo así: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 del producto, queda 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5, obtienes 3, esta será la raíz deseada. O sumar 2 a 5, lo que dará 7, esto también es una raíz.

El Tratado al-Khorezmi es el primer libro que nos ha llegado, en el que se establece sistemáticamente la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y se dan las fórmulas para su solución.

1.5 Ecuaciones cuadráticas en EuropaXIII - XVIIsiglos

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas sobre el modelo de al-Khorezmi en Europa se establecieron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Este voluminoso trabajo, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto en los países del Islam como en la antigua Grecia, se distingue tanto por la integridad como por la claridad de su presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos nuevos ejemplos algebraicos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchas tareas del "Libro del ábaco" pasaron a casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII.

La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducida a una sola forma canónica:

x2+bx= con,

para todas las posibles combinaciones de signos de los coeficientes b, Con fue formulado en Europa recién en 1544 por M. Stiefel.

Vieta tiene una derivación general de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática, pero Vieta reconoció solo raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli fueron de los primeros en el siglo XVI. Tenga en cuenta, además de las raíces positivas y negativas. Recién en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, la forma de resolver ecuaciones cuadráticas adquiere un aspecto moderno.

1.6 Sobre el teorema de Vieta

El teorema que expresa la relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por él por primera vez en 1591 como sigue: “Si B + D multiplicado por A - A 2 , igual BD, Eso A es igual EN e igual D».

Para entender a Vieta, uno debe recordar que A, como cualquier vocal, significaba para él lo desconocido (nuestra X), las vocales EN,D- coeficientes para la incógnita. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación anterior de Vieta significa: si

(un +b)x - x2 =abdominales,

x 2 - (un +b)x + ab = 0,

x 1 = un, x 2 =b.

Al expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones mediante fórmulas generales escritas con símbolos, Viet estableció la uniformidad en los métodos para resolver ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo de Vieta todavía está lejos de su forma moderna. No reconoció los números negativos y, por lo tanto, al resolver ecuaciones, consideró solo los casos en los que todas las raíces son positivas.

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son la base sobre la que descansa el majestuoso edificio del álgebra. Las ecuaciones cuadráticas se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trascendentales. Todos sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas desde la escuela (grado 8) hasta la graduación.

La solución de ecuaciones en matemáticas ocupa un lugar especial. Este proceso está precedido por muchas horas de estudio de la teoría, durante las cuales el estudiante aprende a resolver ecuaciones, determinar su forma y llevar la habilidad al automatismo completo. Sin embargo, la búsqueda de raíces no siempre tiene sentido, ya que es posible que simplemente no existan. Hay métodos especiales para encontrar raíces. En este artículo analizaremos las funciones principales, sus dominios de definición, así como los casos en los que sus raíces están ausentes.

¿Qué ecuación no tiene raíces?

Una ecuación no tiene raíces si no hay argumentos reales x para los cuales la ecuación sea idénticamente verdadera. Para un no especialista, esta formulación, como la mayoría de los teoremas y fórmulas matemáticas, parece muy vaga y abstracta, pero esto es en teoría. En la práctica, todo se vuelve extremadamente simple. Por ejemplo: la ecuación 0 * x = -53 no tiene solución, ya que no existe tal número x, cuyo producto con cero daría algo distinto de cero.

Ahora veremos los tipos más básicos de ecuaciones.

1. Ecuación lineal

Una ecuación se llama lineal si sus partes derecha e izquierda se presentan como funciones lineales: ax + b = cx + d o en forma generalizada kx + b = 0. Donde a, b, c, d son números conocidos y x es un valor desconocido. ¿Qué ecuación no tiene raíces? En la siguiente ilustración se muestran ejemplos de ecuaciones lineales.

Básicamente, las ecuaciones lineales se resuelven simplemente transfiriendo la parte numérica a una parte y el contenido de x a la otra. Resulta una ecuación de la forma mx \u003d n, donde m y n son números, yx es una incógnita. Para encontrar x, basta con dividir ambas partes por m. Entonces x = n/m. Básicamente, las ecuaciones lineales tienen una sola raíz, pero hay casos en los que hay infinitas raíces o ninguna. Cuando m = 0 y n = 0, la ecuación toma la forma 0 * x = 0. Absolutamente cualquier número será la solución a tal ecuación.

Pero, ¿qué ecuación no tiene raíces?

Para m = 0 y n = 0, la ecuación no tiene raíces del conjunto de números reales. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - estas ecuaciones no tienen raíces.

2. Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0 para a \u003d 0. La más común es la solución a través del discriminante. La fórmula para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática: D \u003d b 2 - 4 * a * c. A continuación, hay dos raíces x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Para D > 0, la ecuación tiene dos raíces, para D = 0, tiene una raíz. Pero, ¿qué ecuación cuadrática no tiene raíces? La forma más fácil de observar el número de raíces de una ecuación cuadrática es en la gráfica de una función, que es una parábola. Para a > 0, las ramas se dirigen hacia arriba, para a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

También puede determinar visualmente el número de raíces sin calcular el discriminante. Para hacer esto, debe encontrar la parte superior de la parábola y determinar en qué dirección se dirigen las ramas. Puede determinar la coordenada x del vértice mediante la fórmula: x 0 \u003d -b / 2a. En este caso, la coordenada y del vértice se encuentra simplemente sustituyendo el valor x0 en la ecuación original.

La ecuación cuadrática x 2 - 8x + 72 = 0 no tiene raíces, ya que tiene un discriminante negativo D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Esto significa que la parábola no toca el eje x y la función nunca toma el valor 0, por lo que la ecuación no tiene raíces reales.

3. Ecuaciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se consideran en un círculo trigonométrico, pero también se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas. En este artículo, veremos dos funciones trigonométricas básicas y sus ecuaciones: senx y cosx. Como estas funciones forman un círculo trigonométrico con radio 1, |senx| y |cosx| no puede ser mayor que 1. Entonces, ¿qué ecuación senx no tiene raíces? Considere el gráfico de la función senx que se muestra en la imagen a continuación.

Vemos que la función es simétrica y tiene un periodo de repetición de 2pi. En base a esto, podemos decir que el valor máximo de esta función puede ser 1 y el mínimo -1. Por ejemplo, la expresión cosx = 5 no tendrá raíces, ya que es mayor que uno en valor absoluto.

Este es el ejemplo más simple de ecuaciones trigonométricas. De hecho, su solución puede tomar muchas páginas, al final de las cuales te das cuenta de que usaste la fórmula incorrecta y debes comenzar de nuevo. A veces, incluso con la búsqueda correcta de las raíces, puede olvidarse de tener en cuenta las restricciones en la ODZ, por lo que aparece una raíz o intervalo adicional en la respuesta, y toda la respuesta se convierte en errónea. Por lo tanto, siga estrictamente todas las restricciones, porque no todas las raíces se ajustan al alcance de la tarea.

4. Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones combinadas con corchetes o corchetes. Las llaves denotan la ejecución conjunta de todas las ecuaciones. Es decir, si al menos una de las ecuaciones no tiene raíces o contradice a la otra, todo el sistema no tiene solución. Los corchetes indican la palabra "o". Esto significa que si al menos una de las ecuaciones del sistema tiene solución, entonces todo el sistema tiene solución.

La respuesta del sistema c es la totalidad de todas las raíces de las ecuaciones individuales. Y los sistemas con llaves solo tienen raíces comunes. Los sistemas de ecuaciones pueden incluir funciones completamente diferentes, por lo que esta complejidad no le permite decir de inmediato qué ecuación no tiene raíces.

En los libros de problemas y libros de texto, hay diferentes tipos de ecuaciones: las que tienen raíces y las que no las tienen. En primer lugar, si no puede encontrar raíces, no piense que no existen en absoluto. Tal vez haya cometido un error en alguna parte, entonces es suficiente verificar cuidadosamente su decisión.

Hemos considerado las ecuaciones más básicas y sus tipos. Ahora puedes saber qué ecuación no tiene raíces. En la mayoría de los casos, esto no es nada difícil de hacer. Para lograr el éxito en la resolución de ecuaciones, solo se requiere atención y concentración. Practica más, te ayudará a navegar el material mucho mejor y más rápido.

Entonces, la ecuación no tiene raíces si:

• en la ecuación lineal mx = n, el valor m = 0 y n = 0;
• en una ecuación cuadrática si el discriminante es menor que cero;
• en una ecuación trigonométrica de la forma cosx = m / senx = n, si |m| > 0, |n| > 0;
• en un sistema de ecuaciones con corchetes, si al menos una ecuación no tiene raíces, y con corchetes, si todas las ecuaciones no tienen raíces.

Seguimos estudiando el tema. solución de ecuaciones". Ya nos hemos familiarizado con las ecuaciones lineales y ahora nos vamos a familiarizar con ecuaciones cuadráticas.

Primero, discutiremos qué es una ecuación cuadrática, cómo se escribe en forma general y daremos definiciones relacionadas. Después de eso, usando ejemplos, analizaremos en detalle cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas. A continuación, pasemos a resolver ecuaciones completas, obtener la fórmula para las raíces, familiarizarnos con el discriminante de una ecuación cuadrática y considerar soluciones a ejemplos típicos. Finalmente, trazamos las conexiones entre raíces y coeficientes.

Navegación de página.

¿Qué es una ecuación cuadrática? sus tipos

Primero necesitas entender claramente qué es una ecuación cuadrática. Por lo tanto, es lógico comenzar hablando de ecuaciones cuadráticas con la definición de ecuación cuadrática, así como definiciones relacionadas con ella. Después de eso, puede considerar los principales tipos de ecuaciones cuadráticas: reducidas y no reducidas, así como ecuaciones completas e incompletas.

Definición y ejemplos de ecuaciones cuadráticas

Definición.

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x 2 + b x + c = 0, donde x es una variable, a , b y c son algunos números y a es diferente de cero.

Digamos de inmediato que las ecuaciones cuadráticas a menudo se llaman ecuaciones de segundo grado. Esto se debe a que la ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.

La definición sondeada nos permite dar ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Entonces 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. son ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Números a, b y c se llaman coeficientes de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c \u003d 0, y el coeficiente a se denomina primero, o mayor, o coeficiente en x 2, b es el segundo coeficiente, o coeficiente en x, y c es un miembro libre.

Por ejemplo, tomemos una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x−3=0, aquí el coeficiente principal es 5, el segundo coeficiente es −2 y el término libre es −3. Tenga en cuenta que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, como en el ejemplo que se acaba de dar, se usa la forma abreviada de la ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x−3=0, no 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Vale la pena señalar que cuando los coeficientes a y/o b son iguales a 1 o −1, entonces no suelen estar explícitamente presentes en la notación de la ecuación cuadrática, lo que se debe a las peculiaridades de la notación de tales. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 −y+3=0, el coeficiente principal es uno y el coeficiente en y es −1.

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas

Dependiendo del valor del coeficiente principal, se distinguen ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es 1 se llama ecuación cuadrática reducida. De lo contrario, la ecuación cuadrática es no reducido.

Según esta definición, las ecuaciones cuadráticas x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - reducido, en cada uno de ellos el primer coeficiente es igual a uno. Y 5 x 2 −x−1=0 , etc. - ecuaciones cuadráticas no reducidas, sus coeficientes principales son diferentes de 1 .

De cualquier ecuación cuadrática no reducida, al dividir sus dos partes por el coeficiente principal, se puede pasar a la reducida. Esta acción es una transformación equivalente, es decir, la ecuación cuadrática reducida obtenida de esta forma tiene las mismas raíces que la ecuación cuadrática original no reducida, o como ella, no tiene raíces.

Tomemos un ejemplo de cómo se realiza la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo.

De la ecuación 3 x 2 +12 x−7=0, pasa a la ecuación cuadrática reducida correspondiente.

Solución.

Basta con que realicemos la división de ambas partes de la ecuación original por el coeficiente principal 3, que es distinto de cero, para que podamos realizar esta acción. Tenemos (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , que es lo mismo que (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , y luego (3:3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , de donde . Entonces obtuvimos la ecuación cuadrática reducida, que es equivalente a la original.

Respuesta:

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas

Hay una condición a≠0 en la definición de una ecuación cuadrática. Esta condición es necesaria para que la ecuación a x 2 +b x+c=0 sea exactamente cuadrada, ya que con a=0 en realidad se convierte en una ecuación lineal de la forma b x+c=0 .

En cuanto a los coeficientes b y c, pueden ser iguales a cero, tanto por separado como juntos. En estos casos, la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición.

La ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes b , c es igual a cero.

A su momento

Definición.

Ecuación cuadrática completa es una ecuación en la que todos los coeficientes son diferentes de cero.

Estos nombres no se dan por casualidad. Esto quedará claro a partir de la siguiente discusión.

Si el coeficiente b es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática toma la forma a x 2 +0 x+c=0 , y es equivalente a la ecuación a x 2 +c=0 . Si c=0 , es decir, la ecuación cuadrática tiene la forma a x 2 +b x+0=0 , entonces se puede reescribir como a x 2 +b x=0 . Y con b=0 y c=0 obtenemos la ecuación cuadrática a·x 2 =0. Las ecuaciones resultantes difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. De ahí su nombre: ecuaciones cuadráticas incompletas.

Entonces, las ecuaciones x 2 +x+1=0 y −2 x 2 −5 x+0,2=0 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas, y x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0, −x 2 −5 x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

De la información del párrafo anterior se desprende que existe tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

• a x 2 =0 , le corresponden los coeficientes b=0 y c=0;
• a x 2 +c=0 cuando b=0 ;
• y a x 2 + b x = 0 cuando c = 0 .

Analicemos en orden cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas de cada uno de estos tipos.

a x 2 \u003d 0

Comencemos resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas en las que los coeficientes b y c sean iguales a cero, es decir, con ecuaciones de la forma a x 2 =0. La ecuación a·x 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0, que se obtiene de la original dividiendo sus dos partes por un número a distinto de cero. Obviamente, la raíz de la ecuación x 2 \u003d 0 es cero, ya que 0 2 \u003d 0. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se explica, en efecto, para cualquier número p distinto de cero, se produce la desigualdad p 2 >0, lo que implica que para p≠0, nunca se alcanza la igualdad p 2 =0.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a x 2 \u003d 0 tiene una sola raíz x \u003d 0.

Como ejemplo, damos la solución de una ecuación cuadrática incompleta −4·x 2 =0. Es equivalente a la ecuación x 2 \u003d 0, su única raíz es x \u003d 0, por lo tanto, la ecuación original tiene una sola raíz cero.

Una solución corta en este caso se puede emitir de la siguiente manera:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Ahora considere cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas, en las que el coeficiente b es igual a cero y c≠0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 +c=0. Sabemos que la transferencia de un término de un lado de la ecuación al otro con signo opuesto, así como la división de ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, dan una ecuación equivalente. Por tanto, se pueden realizar las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0:

• mover c al lado derecho, lo que da la ecuación a x 2 =−c,
• y dividimos ambas partes por a , obtenemos .

La ecuación resultante nos permite sacar conclusiones sobre sus raíces. Dependiendo de los valores de a y c, el valor de la expresión puede ser negativo (por ejemplo, si a=1 y c=2, entonces) o positivo, (por ejemplo, si a=−2 y c=6, entonces), no es igual a cero, ya que por la condición c≠0. Analizaremos por separado los casos y .

Si , entonces la ecuación no tiene raíces. Esta afirmación se deriva del hecho de que el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. De esto se sigue que cuando , entonces para cualquier número p la igualdad no puede ser verdadera.

Si , entonces la situación con las raíces de la ecuación es diferente. En este caso, si recordamos, entonces la raíz de la ecuación se vuelve obvia de inmediato, es el número, ya que. Es fácil adivinar que el número también es la raíz de la ecuación, de hecho, . Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se puede demostrar, por ejemplo, por contradicción. Vamos a hacerlo.

Denotemos las raíces recién expresadas de la ecuación como x 1 y −x 1 . Supongamos que la ecuación tiene otra raíz x 2 diferente de las raíces indicadas x 1 y −x 1 . Se sabe que la sustitución en la ecuación en lugar de x de sus raíces convierte la ecuación en una verdadera igualdad numérica. Para x 1 y −x 1 tenemos , y para x 2 tenemos . Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten realizar restas término por término de igualdades numéricas verdaderas, por lo que al restar las partes correspondientes de las igualdades se obtiene x 1 2 − x 2 2 =0. Las propiedades de las operaciones con números nos permiten reescribir la igualdad resultante como (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Sabemos que el producto de dos números es igual a cero si y solo si al menos uno de ellos es igual a cero. Por tanto, de la igualdad obtenida se sigue que x 1 −x 2 =0 y/o x 1 +x 2 =0 , que es lo mismo, x 2 =x 1 y/o x 2 = −x 1 . Entonces hemos llegado a una contradicción, ya que al principio dijimos que la raíz de la ecuación x 2 es diferente de x 1 y −x 1 . Esto prueba que la ecuación no tiene otras raíces que y .

Vamos a resumir la información en este párrafo. La ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0 es equivalente a la ecuación , que

• no tiene raíces si,
• tiene dos raíces y si .

Considere ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a·x 2 +c=0 .

Empecemos con la ecuación cuadrática 9 x 2 +7=0 . Tras trasladar el término libre al lado derecho de la ecuación, tomará la forma 9·x 2 =−7. Dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por 9, llegamos a . Como se obtiene un número negativo en el lado derecho, esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la ecuación cuadrática incompleta original 9 x 2 +7=0 no tiene raíces.

Resolvamos otra ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0. Transferimos los nueve al lado derecho: -x 2 \u003d -9. Ahora dividimos ambas partes por −1, obtenemos x 2 =9. El lado derecho contiene un número positivo, del cual concluimos que o . Después escribimos la respuesta final: la ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0 tiene dos raíces x=3 o x=−3.

a x 2 + b x = 0

Queda por abordar la solución del último tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas para c=0. Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a x 2 +b x=0 le permiten resolver método de factorización. Evidentemente, podemos, situados en el lado izquierdo de la ecuación, para lo cual basta con sacar el factor común x fuera de paréntesis. Esto nos permite pasar de la ecuación cuadrática incompleta original a una ecuación equivalente de la forma x·(a·x+b)=0 . Y esta ecuación es equivalente al conjunto de dos ecuaciones x=0 y a x+b=0, la última de las cuales es lineal y tiene una raíz x=−b/a.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +b x=0 tiene dos raíces x=0 y x=−b/a.

Para consolidar el material, analizaremos la solución de un ejemplo específico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Sacamos x de los paréntesis, esto da la ecuación. Es equivalente a dos ecuaciones x=0 y . Resolvemos la ecuación lineal resultante: , y después de dividir el número mixto por una fracción ordinaria, encontramos . Por lo tanto, las raíces de la ecuación original son x=0 y .

Después de obtener la práctica necesaria, las soluciones de tales ecuaciones se pueden escribir brevemente:

Respuesta:

x=0 , .

Discriminante, fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática

Para resolver ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz. vamos a escribir la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática: , Dónde re=b 2 −4 a c- así llamado discriminante de una ecuación cuadrática. La notación esencialmente significa que .

Es útil saber cómo se obtuvo la fórmula de la raíz y cómo se aplica para encontrar las raíces de las ecuaciones cuadráticas. Lidiemos con esto.

Derivación de la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática

Necesitamos resolver la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0 . Realicemos algunas transformaciones equivalentes:

• Podemos dividir ambas partes de esta ecuación por un número a distinto de cero, como resultado obtenemos la ecuación cuadrática reducida.
• Ahora seleccionar un cuadrado completo en su lado izquierdo: . Después de eso, la ecuación tomará la forma .
• En esta etapa, es posible realizar la transferencia de los dos últimos términos al lado derecho con el signo opuesto, tenemos .
• Y transformemos también la expresión del lado derecho: .

Como resultado, llegamos a la ecuación , que es equivalente a la ecuación cuadrática original a·x 2 +b·x+c=0 .

Ya hemos resuelto ecuaciones similares en forma en los párrafos anteriores cuando analizamos . Esto nos permite sacar las siguientes conclusiones con respecto a las raíces de la ecuación:

• si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales;
• si , entonces la ecuación tiene la forma , por lo tanto, , de la cual es visible su única raíz;
• si , entonces o , que es lo mismo que o , es decir, la ecuación tiene dos raíces.

Por lo tanto, la presencia o ausencia de las raíces de la ecuación y, por tanto, la ecuación cuadrática original, depende del signo de la expresión del lado derecho. A su vez, el signo de esta expresión está determinado por el signo del numerador, ya que el denominador 4 a 2 siempre es positivo, es decir, el signo de la expresión b 2 −4 a c . Esta expresión b 2 −4 a c se llama discriminante de una ecuación cuadrática y marcado con la letra D. A partir de aquí, la esencia del discriminante es clara: por su valor y signo, se concluye si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y, de ser así, cuál es su número: uno o dos.

Volvemos a la ecuación , la reescribimos usando la notación del discriminante: . Y concluimos:

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D=0, entonces esta ecuación tiene una sola raíz;
• finalmente, si D>0, entonces la ecuación tiene dos raíces o , que se pueden reescribir en la forma o , y luego de expandir y reducir las fracciones a un denominador común, obtenemos .

Así que derivamos las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, se ven como , donde el discriminante D se calcula mediante la fórmula D=b 2 −4 a c .

Con su ayuda, con un discriminante positivo, puedes calcular ambas raíces reales de una ecuación cuadrática. Cuando el discriminante es igual a cero, ambas fórmulas dan el mismo valor de raíz correspondiente a la única solución de la ecuación cuadrática. Y con un discriminante negativo, al tratar de usar la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática, nos encontramos ante sacar la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos lleva fuera del ámbito del currículum escolar. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, pero tiene un par complejo conjugado raíces, que se pueden encontrar usando las mismas fórmulas de raíz que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz

En la práctica, al resolver una ecuación cuadrática, puede usar inmediatamente la fórmula raíz, con la cual calcular sus valores. Pero esto se trata más de encontrar raíces complejas.

Sin embargo, en un curso de álgebra escolar, generalmente no hablamos de raíces complejas, sino de raíces reales de una ecuación cuadrática. En este caso, es recomendable primero encontrar el discriminante antes de usar las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, podemos concluir que la ecuación no tiene raíces reales) y luego calcular los valores de las raíces.

El razonamiento anterior nos permite escribir algoritmo para resolver una ecuación cuadrática. Para resolver la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c \u003d 0, necesitas:

• utilizando la fórmula discriminante D=b 2 −4 a c calcular su valor;
• concluir que la ecuación cuadrática no tiene raíces reales si el discriminante es negativo;
• calcular la raíz única de la ecuación usando la fórmula si D=0;
• encontrar dos raíces reales de una ecuación cuadrática usando la fórmula de la raíz si el discriminante es positivo.

Aquí solo notamos que si el discriminante es igual a cero, también se puede usar la fórmula, dará el mismo valor que .

Puede pasar a ejemplos de aplicación del algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas

Considere las soluciones de tres ecuaciones cuadráticas con discriminante positivo, negativo y cero. Habiendo tratado con su solución, por analogía será posible resolver cualquier otra ecuación cuadrática. Empecemos.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +2 x−6=0 .

Solución.

En este caso, tenemos los siguientes coeficientes de la ecuación cuadrática: a=1, b=2 y c=−6. De acuerdo con el algoritmo, primero debe calcular el discriminante, para esto sustituimos los indicados a, b y c en la fórmula discriminante, tenemos re=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Como 28>0, es decir, el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Encontrémoslos por la fórmula de raíces , obtenemos , aquí podemos simplificar las expresiones obtenidas haciendo factorizando el signo de la raiz seguido de reducción de fracciones:

Respuesta:

Pasemos al siguiente ejemplo típico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solución.

Empezamos por encontrar el discriminante: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene una sola raíz, que encontramos como , es decir,

Respuesta:

x=3,5 .

Queda por considerar la solución de ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación 5 y 2 +6 y+2=0 .

Solución.

Estos son los coeficientes de la ecuación cuadrática: a=5 , b=6 y c=2 . Sustituyendo estos valores en la fórmula discriminante, tenemos re=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. El discriminante es negativo, por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales.

Si necesita especificar raíces complejas, usamos la conocida fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática y realizamos operaciones con numeros complejos:

Respuesta:

no hay raíces reales, las raíces complejas son: .

Una vez más, notamos que si el discriminante de la ecuación cuadrática es negativo, entonces la escuela generalmente escribe la respuesta de inmediato, en la que indican que no hay raíces reales y que no encuentran raíces complejas.

Fórmula raíz para coeficientes de segundo par

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática , donde D=b 2 −4 a c le permite obtener una fórmula más compacta que le permite resolver ecuaciones cuadráticas con un coeficiente par en x (o simplemente con un coeficiente que parece 2 n, por ejemplo, o 14 ln5=2 7 ln5 ). Saquémosla.

Digamos que necesitamos resolver una ecuación cuadrática de la forma a x 2 +2 n x + c=0 . Encontremos sus raíces usando la fórmula que conocemos. Para ello calculamos el discriminante re=(2 norte) 2 −4 un c=4 norte 2 −4 un c=4 (n 2 −un c), y luego usamos la fórmula raíz:

Denote la expresión n 2 −ac como D 1 (a veces se denota D "). Luego, la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 n toma la forma , donde re 1 = norte 2 −un c .

Es fácil ver que D=4·D 1 , o D 1 =D/4 . En otras palabras, D 1 es la cuarta parte del discriminante. Está claro que el signo de D 1 es el mismo que el signo de D . Es decir, el signo D 1 también es un indicador de la presencia o ausencia de las raíces de la ecuación cuadrática.

Entonces, para resolver una ecuación cuadrática con el segundo coeficiente 2 n, necesitas

• Calcular D 1 =n 2 −a·c ;
• Si D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, entonces calcule la única raíz de la ecuación usando la fórmula;
• Si D 1 >0, entonces encuentre dos raíces reales usando la fórmula.

Considere la solución del ejemplo utilizando la fórmula raíz obtenida en este párrafo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática 5 x 2 −6 x−32=0 .

Solución.

El segundo coeficiente de esta ecuación se puede representar como 2·(−3) . Es decir, puedes reescribir la ecuación cuadrática original en la forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aquí a=5, n=−3 y c=−32, y calcular la cuarta parte del discriminante: re 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Como su valor es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Los encontramos usando la fórmula raíz correspondiente:

Tenga en cuenta que era posible usar la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso, se tendría que hacer más trabajo de cálculo.

Respuesta:

Simplificación de la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces, antes de embarcarse en el cálculo de las raíces de una ecuación cuadrática mediante fórmulas, no está de más hacerse la pregunta: “¿Es posible simplificar la forma de esta ecuación”? De acuerdo en que, en términos de cálculos, será más fácil resolver la ecuación cuadrática 11 x 2 −4 x −6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Por lo general, se logra una simplificación de la forma de una ecuación cuadrática multiplicando o dividiendo ambos lados por algún número. Por ejemplo, en el párrafo anterior logramos lograr una simplificación de la ecuación 1100 x 2 −400 x −600=0 dividiendo ambos lados por 100 .

Una transformación similar se lleva a cabo con ecuaciones cuadráticas, cuyos coeficientes no son . En este caso, ambas partes de la ecuación suelen dividirse por los valores absolutos de sus coeficientes. Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 12 x 2 −42 x+48=0. valores absolutos de sus coeficientes: mcd(12, 42, 48)= mcd(mcd(12, 42), 48)= mcd(6, 48)=6. Dividiendo ambas partes de la ecuación cuadrática original por 6 , llegamos a la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

Y la multiplicación de ambas partes de la ecuación cuadrática se suele hacer para deshacerse de los coeficientes fraccionarios. En este caso, la multiplicación se realiza sobre los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si ambas partes de una ecuación cuadrática se multiplican por LCM(6, 3, 1)=6, entonces tomará una forma más simple x 2 +4 x−18=0.

Como conclusión de este párrafo, notamos que casi siempre se elimina el signo menos en el coeficiente principal de la ecuación cuadrática cambiando los signos de todos los términos, lo que corresponde a multiplicar (o dividir) ambas partes por −1. Por ejemplo, normalmente de la ecuación cuadrática −2·x 2 −3·x+7=0 se pasa a la solución 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática expresa las raíces de una ecuación en términos de sus coeficientes. Con base en la fórmula de las raíces, puedes obtener otras relaciones entre las raíces y los coeficientes.

Las fórmulas más conocidas y aplicables del teorema de Vieta de la forma y . En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto, y el producto de las raíces es el término libre. Por ejemplo, por la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 −7 x+22=0, inmediatamente podemos decir que la suma de sus raíces es 7/3 y el producto de las raíces es 22/3.

Usando las fórmulas ya escritas, puede obtener una serie de otras relaciones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Por ejemplo, puedes expresar la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática en términos de sus coeficientes: .

Bibliografía.

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”, es decir, ecuaciones de primer grado. En esta lección, exploraremos que es una ecuacion cuadratica Y como resolverlo.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

¡Importante!

El grado de una ecuación está determinado por el grado más alto al que se encuentra la incógnita.

Si el grado máximo en el que se encuentra la incógnita es "2", entonces tienes una ecuación cuadrática.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• X 2 − 8 = 0

¡Importante! La forma general de la ecuación cuadrática se ve así:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" y "c" - números dados.

• "a" - el coeficiente primero o mayor;
• "b" - el segundo coeficiente;
• "c" es un miembro libre.

Para encontrar "a", "b" y "c", debe comparar su ecuación con la forma general de la ecuación cuadrática "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Practiquemos determinar los coeficientes "a", "b" y "c" en ecuaciones cuadráticas.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

La ecuacion	Impares
un=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• segundo = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

X 2 − 8 = 0

• un = 1
• segundo = 0
• c = −8

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

A diferencia de las ecuaciones lineales, se usa una ecuación especial para resolver ecuaciones cuadráticas. fórmula para encontrar raíces.

¡Recordar!

Para resolver una ecuación cuadrática necesitas:

• lleve la ecuación cuadrática a la forma general "ax 2 + bx + c \u003d 0". Es decir, solo debe quedar "0" en el lado derecho;
• usa la fórmula para las raíces:

Usemos un ejemplo para descubrir cómo aplicar la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Resolvamos la ecuación cuadrática.

X 2 - 3x - 4 = 0

La ecuación "x 2 - 3x - 4 = 0" ya se ha reducido a la forma general "ax 2 + bx + c = 0" y no requiere simplificaciones adicionales. Para resolverlo, solo necesitamos aplicar fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

Definamos los coeficientes "a", "b" y "c" para esta ecuación.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Con su ayuda, se resuelve cualquier ecuación cuadrática.

En la fórmula "x 1; 2 \u003d", la expresión raíz a menudo se reemplaza
"b 2 − 4ac" a la letra "D" y llamado discriminante. El concepto de discriminante se analiza con más detalle en la lección "¿Qué es un discriminante?".

Considere otro ejemplo de una ecuación cuadrática.

x2 + 9 + x = 7x

De esta forma, es bastante difícil determinar los coeficientes "a", "b" y "c". Primero llevemos la ecuación a la forma general "ax 2 + bx + c \u003d 0".

x2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Ahora puedes usar la fórmula para las raíces.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x=

6

2

x=3
Respuesta: x = 3

Hay momentos en que no hay raíces en las ecuaciones cuadráticas. Esta situación ocurre cuando aparece un número negativo en la fórmula debajo de la raíz.