Lección “Sistemas de desigualdades con dos variables. Desigualdades con dos variables y sus sistemas Ejemplos de resolución de desigualdades con dos variables

A menudo es necesario representar en el plano de coordenadas el conjunto de soluciones de una desigualdad con dos variables. Una solución a una desigualdad con dos variables es un par de valores de estas variables que convierte la desigualdad dada en una verdadera desigualdad numérica.

2 años+ Zx< 6.

Dibujemos primero una línea recta. Para hacer esto, escribimos la desigualdad como una ecuación 2 años+ Zx = 6 y expresar y. Así, obtenemos: y=(6-3x)/2.

Esta línea divide el conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas en puntos por encima y puntos por debajo.

Toma un meme de cada área control, por ejemplo A (1; 1) y B (1; 3)

Las coordenadas del punto A satisfacen la desigualdad dada 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Coordenadas del punto B No satisfacer esta desigualdad 2∙3 + 3∙1< 6.

Como esta desigualdad puede cambiar de signo en la recta 2y + Zx = 6, entonces la desigualdad satisface el conjunto de puntos del área donde se encuentra el punto A. Sombreemos esta área.

Así, hemos representado el conjunto de soluciones a la desigualdad 2 años + Zx< 6.

Ejemplo

Representamos el conjunto de soluciones a la desigualdad x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 en el plano de coordenadas.

Primero, construimos un gráfico de la ecuación x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Dividimos la ecuación circular en esta ecuación: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4, o (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Esta es la ecuación de un círculo con centro en el punto 0 (-1; 2) y radio R = 2. Construyamos este círculo.

Dado que esta desigualdad es estricta y los puntos que se encuentran en el círculo mismo no satisfacen la desigualdad, construimos el círculo con una línea de puntos.

Es fácil comprobar que las coordenadas del centro O del círculo no satisfacen esta desigualdad. La expresión x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 cambia de signo en el círculo construido. Entonces la desigualdad se satisface con puntos ubicados fuera del círculo. Estos puntos están sombreados.

Ejemplo

Representemos en el plano de coordenadas el conjunto de soluciones de la desigualdad

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Primero, construimos un gráfico de la ecuación (y - x 2) (y - x - 3) = 0. Es una parábola y \u003d x 2 y una línea recta y \u003d x + 3. Construimos estas líneas y notamos que el cambio de signo de la expresión (y - x 2) (y - x - 3) ocurre solo en estas líneas. Para el punto A (0; 5), determinamos el signo de esta expresión: (5-3) > 0 (es decir, esta desigualdad no se cumple). Ahora es fácil marcar el conjunto de puntos para los que se cumple esta desigualdad (estas áreas están sombreadas).

Algoritmo para resolver desigualdades con dos variables

1. Reducimos la desigualdad a la forma f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Escribimos la igualdad f (x; y) = 0

3. Reconoce las gráficas registradas en el lado izquierdo.

4. Construimos estos gráficos. Si la desigualdad es estricta (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), luego - con trazos, si la desigualdad no es estricta (f (x; y) ≤ 0 o f (x; y) ≥ 0), entonces - con una línea continua.

5. Determine cuántas partes de los gráficos se dividen en el plano de coordenadas

6. Seleccione un punto de control en una de estas partes. Determinar el signo de la expresión f (x; y)

7. Organizamos signos en otras partes del plano, teniendo en cuenta la alternancia (como por el método de intervalos)

8. Seleccionamos las partes que necesitamos de acuerdo con el signo de la desigualdad que estamos resolviendo, y aplicamos sombreado

Dejar f(x, y) Y g(x, y)- dos expresiones con variables X Y en y dominio de definición X. Entonces desigualdades de la forma f(x, y) > g(x, y) o f(x, y) < g(x, y) llamado desigualdad con dos variables .

Significado de las variables x, y desde muchos X, bajo el cual la desigualdad se convierte en una verdadera desigualdad numérica, se llama su decisión y denotado (x, y). Resuelve la desigualdad es encontrar un conjunto de tales pares.

Si cada par de números (x, y) del conjunto de soluciones a la desigualdad, poner en correspondencia un punto M(x, y), obtenemos el conjunto de puntos del plano dado por esta desigualdad. El es llamado gráfico de esta desigualdad . Una gráfica de desigualdad suele ser un área en un plano.

Para representar el conjunto de soluciones a la desigualdad. f(x, y) > g(x, y), proceder de la siguiente. Primero, reemplaza el signo de desigualdad con un signo igual y encuentra una línea que tenga la ecuación f(x, y) = g(x,y). Esta línea divide el avión en varias partes. Después de eso, basta con tomar un punto en cada parte y verificar si la desigualdad se cumple en este punto. f(x, y) > g(x, y). Si se ejecuta en este punto, también se ejecutará en toda la parte donde se encuentra este punto. Combinando tales partes, obtenemos un conjunto de soluciones.

Tarea. y > X.

Solución. Primero, reemplazamos el signo de desigualdad con un signo igual y construimos una línea en un sistema de coordenadas rectangulares que tiene la ecuación y = X.

Esta línea divide el avión en dos partes. Después de eso, tomamos un punto en cada parte y verificamos si la desigualdad se cumple en este punto y > X.

Tarea. Resolver gráficamente la desigualdad
X 2 + en 2 £ 25.

Arroz. 18

Solución. Primero, reemplace el signo de desigualdad con un signo igual y dibuje una línea X 2 + en 2 = 25. Este es un círculo con un centro en el origen y un radio de 5. El círculo resultante divide el plano en dos partes. Comprobación de la validez de la desigualdad X 2 + en 2 £ 25 en cada parte, obtenemos que la gráfica es el conjunto de puntos de la circunferencia y parte del plano dentro de la circunferencia.

Sean dadas dos desigualdades F 1(x, y) > gramo 1(x, y) Y F 2(x, y) > gramo 2(x, y).

Sistemas de conjuntos de desigualdades con dos variables

Sistema de desigualdades es tú mismo conjunción de estas desigualdades. solución del sistema es cualquier valor (x, y), que convierte cada una de las desigualdades en una verdadera desigualdad numérica. muchas soluciones sistemas desigualdades es la intersección de los conjuntos solución de desigualdades que forman el sistema dado.

Conjunto de desigualdades es tú mismo disyunción de estos desigualdades Establecer decisión es cualquier valor (x, y), que convierte en una verdadera desigualdad numérica al menos una de las desigualdades del conjunto. muchas soluciones agregados es la union de conjuntos de soluciones de desigualdades formando un conjunto.

Tarea. Resolver gráficamente un sistema de desigualdades

Solución. y = x Y X 2 + en 2 = 25. Resolvemos cada desigualdad del sistema.

La gráfica del sistema será un conjunto de puntos en el plano que son la intersección (doble sombreado) de los conjuntos solución de la primera y segunda desigualdad.

Tarea. Resolver gráficamente un conjunto de desigualdades

Solución. Primero, reemplazamos el signo de desigualdad con un signo igual y dibujamos líneas en el mismo sistema de coordenadas y = x+ 4 y X 2 + en 2 = 16. Resuelve cada desigualdad de población. El gráfico agregado será un conjunto de puntos en el plano, que son la unión de los conjuntos de soluciones de la primera y segunda desigualdades.

Ejercicios para el trabajo independiente.

1. Resuelva gráficamente desigualdades: a) en> 2X; b) en< 2X + 3;

V) X 2+y 2 > 9; GRAMO) X 2+y 2 £ 4.

2. Resolver gráficamente sistemas de desigualdades:

a) c)

, y más aún sistemas de desigualdades con dos variablesparece una tarea bastante difícil. Sin embargo, existe un algoritmo simple que ayuda a resolver fácilmente y sin esfuerzo problemas aparentemente muy complejos de este tipo. Intentemos resolverlo.

Supongamos que tenemos una desigualdad con dos variables de uno de los siguientes tipos:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Para representar el conjunto de soluciones de tal desigualdad en el plano de coordenadas, proceda de la siguiente manera:

1. Construimos un gráfico de la función y = f(x), que divide el plano en dos regiones.
2. Elegimos cualquiera de las áreas obtenidas y consideramos un punto arbitrario en ella. Verificamos la satisfacibilidad de la desigualdad original para este punto. Si, como resultado de la verificación, se obtiene una desigualdad numérica correcta, entonces concluimos que la desigualdad original se cumple en toda el área a la que pertenece el punto seleccionado. Así, el conjunto de soluciones de la desigualdad es el área a la que pertenece el punto seleccionado. Si como resultado de la verificación se obtiene una desigualdad numérica incorrecta, entonces el conjunto de soluciones a la desigualdad será la segunda región, a la que no pertenece el punto seleccionado.
3. Si la desigualdad es estricta, entonces los límites de la región, es decir, los puntos de la gráfica de la función y = f(x), no se incluyen en el conjunto de soluciones y el límite se muestra como una línea de puntos. Si la desigualdad no es estricta, entonces los límites de la región, es decir, los puntos de la gráfica de la función y = f(x), se incluyen en el conjunto de soluciones de esta desigualdad, y el límite en este caso se representa como una línea continua. Ahora veamos algunos problemas sobre este tema.

Tarea 1.

¿Qué conjunto de puntos está dado por la desigualdad x · y ≤ 4?

Solución.

1) Construimos una gráfica de la ecuación x · y = 4. Para ello, primero la transformamos. Obviamente, x no se convierte en 0 en este caso, ya que de lo contrario tendríamos 0 · y = 4, lo cual no es cierto. Entonces podemos dividir nuestra ecuación por x. Obtenemos: y = 4/x. La gráfica de esta función es una hipérbola. Divide todo el plano en dos regiones: la que está entre las dos ramas de la hipérbola y la que está fuera de ellas.

2) Elegimos un punto arbitrario de la primera región, sea el punto (4; 2). Comprobando la desigualdad: 4 2 ≤ 4 es falso.

Esto significa que los puntos de esta región no satisfacen la desigualdad original. Entonces podemos concluir que el conjunto de soluciones de la desigualdad será la segunda región, a la que no pertenece el punto seleccionado.

3) Como la desigualdad no es estricta, dibujamos los puntos límite, es decir, los puntos del gráfico de la función y \u003d 4 / x, con una línea continua.

Coloreemos de amarillo el conjunto de puntos que define la desigualdad inicial (Fig. 1).

Tarea 2.

Dibujar el área definida en el plano de coordenadas por el sistema

Solución.

Para empezar, construimos gráficas de las siguientes funciones (Fig. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parábola,

y + x = 1 - línea recta

x 2 + y 2 \u003d 9 es un círculo.

Ahora nos ocupamos de cada desigualdad por separado.

1) y > x2 + 2.

Tomamos el punto (0; 5), que se encuentra arriba de la gráfica de la función. Comprobando la desigualdad: 5 > 0 2 + 2 es cierto.

Por lo tanto, todos los puntos que se encuentran por encima de la parábola dada y = x 2 + 2 satisfacen la primera desigualdad del sistema. Vamos a colorearlos de amarillo.

2) y + x > 1.

Tomamos el punto (0; 3), que se encuentra arriba de la gráfica de la función. Comprobando la desigualdad: 3 + 0 > 1 es correcta.

Por lo tanto, todos los puntos que se encuentran por encima de la línea y + x = 1 satisfacen la segunda desigualdad del sistema. Vamos a colorearlos de verde.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Tomamos un punto (0; -4), que se encuentra fuera del círculo x 2 + y 2 = 9. Comprueba que la desigualdad: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 es incorrecta.

Por lo tanto, todos los puntos fuera del círculo x 2 + y 2 = 9 no satisfacen la tercera desigualdad del sistema. Entonces podemos concluir que todos los puntos que se encuentran dentro del círculo x 2 + y 2 = 9 satisfacen la tercera desigualdad del sistema. Vamos a pintarlos con sombreado morado.

No olvide que si la desigualdad es estricta, la línea de límite correspondiente debe dibujarse con una línea de puntos. Obtenemos la siguiente imagen (Fig. 3).

El área deseada es el área donde las tres áreas coloreadas se cruzan entre sí (Fig. 4).

Preguntas para resúmenes

Escribe una desigualdad cuya solución sea una circunferencia y puntos dentro de la circunferencia:

Encuentre los puntos que son la solución de la desigualdad:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

1. Desigualdades con dos variables. Métodos para resolver un sistema de dos desigualdades con dos variables: un método analítico y un método gráfico.

2. Sistemas de dos desigualdades con dos variables: registro del resultado de la solución.

3. Conjuntos de desigualdades con dos variables.

DESIGUALDADES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES CON DOS VARIABLES. Predicado de la forma f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - expresiones con variables x e y definidas en el conjunto XxY se llama desigualdad con dos variables (con dos incógnitas) X y Y. Es claro que cualquier desigualdad de dos variables se puede escribir como f(x, y) > 0, хОХ, уО U. Solución de desigualdad con dos variables es un par de valores de variables que convierte la desigualdad en una verdadera desigualdad numérica. Se sabe que un par de números reales (x, y) define de forma única un punto en el plano de coordenadas. Esto permite representar geométricamente las soluciones de una desigualdad o un sistema de desigualdades con dos variables, en forma de un determinado conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Si ecuación.

f(x, y)= 0 define alguna línea en el plano de coordenadas, entonces el conjunto de puntos del plano que no se encuentran en esta línea consiste en un número finito de regiones С₁, C 2 ,..., C pag(Figura 17.8). En cada una de las regiones C, la función f(x, y) es diferente de cero, porque los puntos donde f(x, y)= 0 pertenecen a los límites de estas regiones.

Solución. Transformemos la desigualdad a la forma x > y 2 + 2y - 3. Construye una parábola en el plano de coordenadas X= y 2 + 2y - 3. Dividirá el plano en dos regiones G₁ y G 2 (Figura 17.9). Dado que la abscisa de cualquier punto que se encuentra a la derecha de la parábola X= año 2 + 2 años- 3, mayor que la abscisa de un punto que tiene la misma ordenada pero está sobre una parábola, etc. desigualdad x>y z + 2y -3 no es estricta, entonces la representación geométrica de las soluciones de esta desigualdad será el conjunto de puntos del plano que se encuentra sobre la parábola X= a las 2+ 2 años - 3 ya su derecha (Fig. 17.9).

Arroz. 17.9

Arroz. 17.10

Ejemplo 17.15. Dibujar en el plano de coordenadas el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Solución. Representación geométrica de la solución del sistema de desigualdades x > 0, y > 0 es el conjunto de puntos del primer ángulo coordenado. Representación geométrica de las soluciones de la desigualdad x + y< 6 o en< 6 - X es el conjunto de puntos debajo de la recta y sobre la recta misma, que sirve como gráfica de la función y= 6 - X. Representación geométrica de las soluciones de la desigualdad xy > 5 o porque X> 0 desigualdades y > 5/x es el conjunto de puntos que se encuentran sobre la rama de la hipérbola que sirve como gráfico de la función y = 5/x. Como resultado, obtenemos un conjunto de puntos del plano de coordenadas que se encuentran en el primer ángulo de coordenadas debajo de la línea recta que sirve como gráfico de la función y \u003d 6 - x, y arriba de la rama de la hipérbola que sirve como gráfico de la función y = 5x(Figura 17.10).

Capítulo III. NÚMEROS NATURALES Y CERO

Sujeto: Ecuaciones y desigualdades. Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Lección:Ecuaciones y desigualdades con dos variables

Considere en términos generales una ecuación y una desigualdad con dos variables.

Una ecuación con dos variables;

Desigualdad con dos variables, el signo de la desigualdad puede ser cualquiera;

Aquí x e y son variables, p es una expresión que depende de ellas

Un par de números () se llama solución particular de tal ecuación o desigualdad si, al sustituir este par en la expresión, obtenemos la ecuación o desigualdad correcta, respectivamente.

El problema es encontrar o representar en el plano el conjunto de todas las soluciones. Puede reformular este problema: encuentre el lugar geométrico de los puntos (GMT), trace una ecuación o desigualdad.

Ejemplo 1: resuelve la ecuación y la desigualdad:

En otras palabras, la tarea consiste en encontrar el GMT.

Considere la solución de la ecuación. En este caso, el valor de la variable x puede ser cualquiera, en relación con esto tenemos:

Obviamente, la solución de la ecuación es el conjunto de puntos que forman una línea recta

Arroz. 1. Gráfico de ecuación Ejemplo 1

Las soluciones de la ecuación dada son, en particular, los puntos (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

La solución a la desigualdad dada es el semiplano ubicado sobre la línea, incluida la línea misma (ver Figura 1). De hecho, si tomamos cualquier punto x 0 en la línea, entonces tenemos la igualdad. Si tomamos un punto en el semiplano por encima de la línea, tenemos . Si tomamos un punto en un semiplano debajo de una línea recta, entonces no satisfará nuestra desigualdad: .

Ahora considere un problema con un círculo y un círculo.

Ejemplo 2: resuelve la ecuación y la desigualdad:

Sabemos que la ecuación dada es la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio 1.

Arroz. 2. Ilustración del ejemplo 2

En un punto arbitrario x 0, la ecuación tiene dos soluciones: (x 0; y 0) y (x 0; -y 0).

La solución a la desigualdad dada es el conjunto de puntos ubicados dentro del círculo, sin tener en cuenta el círculo mismo (ver Figura 2).

Considere una ecuación con módulos.

Ejemplo 3: resuelve la ecuación:

En este caso, sería posible expandir los módulos, pero consideraremos los detalles de la ecuación. Es fácil ver que la gráfica de esta ecuación es simétrica en ambos ejes. Entonces si el punto (x 0; y 0) es una solución, entonces el punto (x 0; -y 0) también es una solución, los puntos (-x 0; y 0) y (-x 0; -y 0) también son una solución.

Por lo tanto, basta con encontrar una solución donde ambas variables sean no negativas y tomen simetría sobre los ejes:

Arroz. 3. Ilustración del ejemplo 3

Entonces, como podemos ver, la solución a la ecuación es un cuadrado.

Consideremos el llamado método del área usando un ejemplo específico.

Ejemplo 4 - representar el conjunto de soluciones a la desigualdad:

Según el método de las regiones, en primer lugar consideramos la función del lado izquierdo, si el lado derecho es cero. Esta es una función de dos variables:

De manera similar al método de los intervalos, nos apartamos temporalmente de la desigualdad y estudiamos las características y propiedades de la función compuesta.

ODZ: lo que significa que el eje x está perforado.

Ahora indicamos que la función es cero cuando el numerador de la fracción es cero, tenemos:

Construimos una gráfica de la función.

Arroz. 4. Gráfica de la función dada la ODZ

Ahora considere las áreas de constancia de la función, están formadas por una línea recta y una línea quebrada. dentro de la línea discontinua hay un área D 1 . Entre un segmento de polilínea y una recta - área D 2, debajo de una línea recta - área D 3, entre un segmento de polilínea y una recta - área D 4

En cada una de las áreas seleccionadas, la función conserva su signo, lo que significa que es suficiente verificar un punto de prueba arbitrario en cada área.

Tomemos un punto (0;1) en el área. Tenemos:

Tomemos un punto (10;1) en el área. Tenemos:

Por lo tanto, toda la región es negativa y no satisface la desigualdad dada.

Tome un punto (0;-5) en el área. Tenemos:

Por lo tanto, toda la región es positiva y satisface la desigualdad dada.