>> Periodicidad de las funciones y = sen x, y = cos x

§ 11. Periodicidad de las funciones y \u003d sen x, y \u003d cos x

En los párrafos anteriores, hemos utilizado siete propiedades funciones: dominio, par o impar, monotonicidad, acotación, valores máximos y mínimos, continuidad, rango de funciones. Usamos estas propiedades para construir un gráfico de función (como fue, por ejemplo, en § 9), o para leer el gráfico construido (como fue, por ejemplo, en § 10). Ahora ha llegado un momento favorable para introducir una (octava) propiedad más de las funciones, que es perfectamente visible en la construcción anterior. gráficos funciones y \u003d sin x (ver Fig. 37), y \u003d cos x (ver Fig. 41).

Definición. Una función se llama periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x de los conjuntos, el doble igualdad:

El número T que satisface la condición indicada se denomina período de la función y \u003d f (x).
Se sigue que, dado que para cualquier x, las igualdades son verdaderas:

entonces las funciones y \u003d sen x, y \u003d cos x son periódicas y el número 2 PAG sirve como periodo de ambas funciones.
La periodicidad de una función es la octava propiedad prometida de las funciones.

Ahora mire el gráfico de la función y \u003d sen x (Fig. 37). Para construir una sinusoide, es suficiente construir una de sus ondas (en un segmento y luego desplazar esta onda a lo largo del eje x por Como resultado, usando una onda, construiremos el gráfico completo.

Miremos desde el mismo punto de vista el gráfico de la función y \u003d cos x (Fig. 41). Vemos que aquí también, para trazar un gráfico, es suficiente trazar primero una onda (por ejemplo, en el segmento

Y luego muévelo a lo largo del eje x por
Resumiendo, llegamos a la siguiente conclusión.

Si la función y \u003d f (x) tiene un período T, entonces para trazar el gráfico de la función, primero debe trazar una rama (onda, parte) del gráfico en cualquier intervalo de longitud T (la mayoría de las veces, toman un intervalo con extremos en puntos y luego desplazar esta rama a lo largo del eje x hacia la derecha y hacia la izquierda a T, 2T, ZT, etc.
Una función periódica tiene infinitos períodos: si T es un período, entonces 2T es un período, 3T es un período y -T es un período; en general, un período es cualquier número de la forma KT, donde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Por lo general, si es posible, intentan destacar el período positivo más pequeño, se llama período principal.
Entonces, cualquier número de la forma 2pc, donde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, es el período de las funciones y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p es el período principal de ambas funciones.

Ejemplo. Encuentre el período principal de una función:

A) Sea T el período principal de la función y \u003d sin x. Pongamos

Para que el número T sea el período de la función, debe cumplirse la identidad Ho, ya que estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos
b) Sea T el periodo principal de la función y = cos 0.5x. Sea f(x)=cos 0.5x. Entonces f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T).

Para que el número T sea el período de la función, se debe satisfacer la identidad cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x.

Entonces, 0.5t = 2pp. Pero como estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos 0.5T = 2 l, T = 4l.

La generalización de los resultados obtenidos en el ejemplo es el siguiente enunciado: el período principal de la función

AG Álgebra de Mordkovich Grado 10

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satisfaciendo el sistema de desigualdades:

b) Considere el conjunto de números en el eje numérico que satisfacen el sistema de desigualdades:

Encuentra la suma de las longitudes de los segmentos que forman este conjunto.

§ 7. Las fórmulas más simples

En el § 3 establecimos la siguiente fórmula para ángulos agudos α:

			sen2α + cos2α = 1.
				la misma formula			cuando,
				cuando α es cualquiera			Delaware-
				le, sea M un punto en la trigonometría
				círculo cálico correspondiente a
				número α (Fig. 7.1). Entonces		M tiene co-
				ordenadas x = cos α, y
				Sin embargo, cada punto (x; y) que se encuentra en
				círculos de radio unidad con centro
				desde el origen, satisfaciendo
				resuelve la ecuación x2 + y2		1, de donde
				cos2 α + sen2 α = 1, según se requiera.

Entonces, la fórmula cos2 α + sen2 α = 1 se deriva de la ecuación del círculo. Puede parecer que de esta manera hemos dado una nueva demostración de esta fórmula para ángulos agudos (comparada con la indicada en el § 3, donde usamos el teorema de Pitágoras). La diferencia, sin embargo, es puramente externa: al derivar la ecuación circular x2 + y2 = 1, se usa el mismo teorema de Pitágoras.

Para ángulos agudos, también obtuvimos otras fórmulas, por ejemplo

símbolo, el lado derecho siempre es no negativo, mientras que el lado izquierdo bien puede ser negativo. Para que la fórmula sea cierta para todo α, debe elevarse al cuadrado. Obtenemos la igualdad: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Probemos que esta fórmula es cierta para todo α:1

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sen2α + cos2α

Problema 7.1. Derive todas las fórmulas a continuación a partir de las definiciones y la fórmula sen2 α + cos2 α = 1 (ya hemos demostrado algunas de ellas):

sen2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sen2α =

tgα ctgα = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

pecado2

Estas fórmulas permiten, conociendo el valor de una de las funciones trigonométricas de un número dado, encontrar casi todas las demás

nye. Supongamos, por ejemplo, que sen x = 1/2. Entonces cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, entonces cos x es 3/2 o − 3/2. Para saber a cuál de estos dos números es igual cos x, se necesita información adicional.

Problema 7.2. Muestre con ejemplos que los dos casos anteriores son posibles.

Problema 7.3. a) Sea tgx = −1. Encuentra senx. ¿Cuántas respuestas tiene este problema?

b) Sean, además de las condiciones del punto a), sabemos que sen x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Para lo cual se define tg α, es decir, cos α 6= 0.

Problema 7.4. Sea sen x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Encuentre tgx.

Problema 7.5. Sea tg x = 3, cos x > sen x. Encuentre cos x, sen x.

Problema 7.6. Sea tgx = 3/5. Encuentre sen x + 2 cos x . cos x − 3 sen x

Problema 7.7. Demostrar las identidades:

tgα − sinα

c) sen α + cos α ctg α + sen α tg α + cos α =

Problema 7.8. Simplificar expresiones:

a) (sen α + cos α)2 + (sen α − cos α)2 ; b) (tgα + ctgα)2 + (tgα − ctgα)2;

c) sen α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Períodos de funciones trigonométricas

Los números x, x+2π, x−2π corresponden al mismo punto en el círculo trigonométrico (si pasas un círculo extra a lo largo del círculo trigonométrico, terminarás donde estabas). Esto implica las siguientes identidades, que ya fueron discutidas en el § 5:

sen(x + 2π) = sen(x − 2π) = senx; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

En relación con estas identidades, ya hemos utilizado el término "período". Ahora damos definiciones exactas.

Definición. El número T 6= 0 se llama periodo de la función f si las igualdades f(x − T) = f(x + T) = f(x) son verdaderas para todo x (se supone que x + T y x − T están incluidos en el dominio de la función , si incluye x). Una función se llama periódica si tiene un período (al menos uno).

Las funciones periódicas surgen naturalmente en la descripción de los procesos oscilatorios. Uno de estos procesos ya se ha discutido en § 5. Aquí hay más ejemplos:

1) Sea ϕ = ϕ(t) el ángulo de desviación del péndulo oscilante del reloj con respecto a la vertical en el instante t. Entonces ϕ es una función periódica de t.

2) El voltaje ("diferencia de potencial", como diría un físico) entre dos enchufes en un tomacorriente de CA, es-

si considerarlo como una función del tiempo es una función periódica1.

3) Escuchemos el sonido musical. Entonces la presión del aire en un punto dado es una función periódica del tiempo.

Si una función tiene un período T, entonces los períodos de esta función también serán los números −T, 2T, −2T. . . - en una palabra, todos los números nT , donde n es un número entero distinto de cero. Efectivamente, comprobemos, por ejemplo, que f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definición. El período positivo más pequeño de la función f es, de acuerdo con el significado literal de las palabras, un número positivo T tal que T es el período de f y ningún número positivo menor que T es el período de f.

No se requiere que una función periódica tenga el período positivo más pequeño (por ejemplo, una función que es constante tiene un período de cualquier número en general y, por lo tanto, no tiene el período positivo más pequeño). También se pueden dar ejemplos de funciones periódicas no constantes que no tienen el período positivo más pequeño. Sin embargo, en la mayoría de los casos interesantes, las funciones periódicas tienen el período positivo más pequeño.

1 Cuando dicen "el voltaje en la red es de 220 voltios", se refieren a su "valor eficaz", del que hablaremos en el § 21. El voltaje en sí cambia todo el tiempo.

Arroz. 8.1. El período de tangente y cotangente.

En particular, el período positivo más pequeño tanto del seno como del coseno es 2π. Probemos esto, por ejemplo, para la función y = sen x. Sea, al contrario de lo que decimos, el seno tiene un periodo T tal que 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

El período positivo más pequeño de la función que describe las oscilaciones (como en nuestros ejemplos 1-3) se llama simplemente el período de estas oscilaciones.

Dado que el número 2π es el período del seno y el coseno, también será el período de la tangente y la cotangente. Sin embargo, para estas funciones, 2π no es el período más pequeño: el período positivo más pequeño de la tangente y la cotangente es π. De hecho, los puntos correspondientes a los números x y x + π en el círculo trigonométrico son diametralmente opuestos: del punto x al punto x + 2π se debe recorrer la distancia π, que es exactamente igual a la mitad del círculo. Ahora, si usamos la definición de tangente y cotangente usando los ejes de tangentes y cotangentes, las igualdades tg (x + π) = tg x y ctg (x + π) = ctg x se vuelven obvias (Fig. 8.1). Es fácil comprobar (propondremos hacerlo en los problemas) que π es efectivamente el período positivo más pequeño de la tangente y la cotangente.

Una nota sobre la terminología. A menudo, las palabras "período de una función" se usan en el sentido de "el período positivo más pequeño". Entonces, si en el examen te preguntan: “¿Es 100π el período de la función seno?”, tómate tu tiempo con la respuesta, pero aclara si te refieres al período positivo más pequeño o solo a uno de los períodos.

Las funciones trigonométricas son un ejemplo típico de funciones periódicas: cualquier función periódica "no muy mala" puede expresarse en algún sentido en términos de funciones trigonométricas.

Problema 8.1. Encuentre los periodos positivos más pequeños de las funciones:

				c) y = cos πx;

d) y = cosx + cos(1.01x).

Problema 8.2. La dependencia del voltaje en la red de CA con el tiempo viene dada por la fórmula U = U0 sin ωt (aquí t es el tiempo, U es el voltaje, U0 y ω son constantes). La frecuencia de la corriente alterna es de 50 Hertz (esto significa que el voltaje hace 50 oscilaciones por segundo).

a) Encuentre ω, suponiendo que t se mide en segundos;

b) Encuentre el período U (positivo más pequeño) en función de t.

Problema 8.3. a) Demuestre que el período positivo más pequeño del coseno es 2π;

b) Demostrar que el período positivo más pequeño de la tangente es π.

Problema 8.4. Sea el periodo menos positivo de la función f igual a T . Demuestre que todos los demás períodos son de la forma nT para algunos enteros n.

Problema 8.5. Demuestre que las siguientes funciones no son periódicas.

Propósito: generalizar y sistematizar el conocimiento de los estudiantes sobre el tema "Periodicidad de las funciones"; formar habilidades para aplicar las propiedades de una función periódica, encontrar el período positivo más pequeño de una función, trazar funciones periódicas; promover el interés por el estudio de las matemáticas; cultivar la observación, la precisión.

Equipo: computadora, proyector multimedia, tarjetas de tareas, diapositivas, relojes, mesas de adorno, elementos de artesanía popular.

“Las matemáticas son lo que la gente usa para controlar la naturaleza y a sí mismos”
UN. Kolmogorov

durante las clases

I. Etapa organizativa.

Comprobación de la preparación de los estudiantes para la lección. Presentación del tema y objetivos de la lección.

II. Comprobación de la tarea.

Verificamos la tarea de acuerdo con muestras, discutimos los puntos más difíciles.

tercero Generalización y sistematización del conocimiento.

1. Trabajo frontal oral.

Cuestiones de teoría.

1) Formar la definición del periodo de la función
2) ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=sin(x), y=cos(x)
3). ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usa el círculo para probar la corrección de las relaciones:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=senx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, norte ∈ Z

5) ¿Cómo trazar una función periódica?

ejercicios orales.

1) Demostrar las siguientes relaciones

a) pecado(740º) = pecado(20º)
b) coseno(54º) = coseno(-1026º)
C) pecado(-1000º) = pecado(80º )

2. Demostrar que el ángulo de 540º es uno de los periodos de la función y= cos(2x)

3. Demostrar que el ángulo de 360º es uno de los periodos de la función y=tg(x)

4. Transforma estas expresiones para que los ángulos incluidos en ellas no superen los 90º en valor absoluto.

a) tg375º
b) ctg530º
C) pecado1268º
d) cos(-7363º)

5. ¿Dónde te encontraste con las palabras PERÍODO, PERIODICIDAD?

Respuestas de los alumnos: Un período en la música es una construcción en la que se enuncia un pensamiento musical más o menos completo. El período geológico es parte de una era y se divide en épocas con un período de 35 a 90 millones de años.

La vida media de una sustancia radiactiva. Fracción periódica. Los periódicos son publicaciones impresas que aparecen en fechas estrictamente definidas. Sistema periódico de Mendeleev.

6. Las figuras muestran partes de las gráficas de funciones periódicas. Defina el período de la función. Determine el período de la función.

Respuesta: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. ¿En qué parte de su vida se ha encontrado con la construcción de elementos repetitivos?

Los estudiantes responden: Elementos de ornamentos, arte popular.

IV. Resolución colectiva de problemas.

(Resolución de problemas en diapositivas).

Consideremos una de las formas de estudiar una función para la periodicidad.

Este método pasa por alto las dificultades asociadas con la demostración de que uno u otro período es el más pequeño, y tampoco hay necesidad de abordar cuestiones sobre operaciones aritméticas en funciones periódicas y sobre la periodicidad de una función compleja. El razonamiento se basa únicamente en la definición de una función periódica y en el siguiente hecho: si T es el período de la función, entonces nT(n? 0) es su período.

Problema 1. Encuentra el periodo positivo más pequeño de la función f(x)=1+3(x+q>5)

Solución: Supongamos que el período T de esta función. Entonces f(x+T)=f(x) para todo x ∈ D(f), es decir

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Sea x=-0.25 obtenemos

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Hemos obtenido que todos los periodos de la función considerada (si es que existen) están entre enteros. Elija entre estos números el número positivo más pequeño. Este 1 . Vamos a comprobar si en realidad es un período 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Dado que (T+1)=(T) para cualquier T, entonces f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), es decir 1 - período f. Como 1 es el menor de todos los enteros positivos, entonces T=1.

Tarea 2. Muestre que la función f(x)=cos 2 (x) es periódica y encuentre su período principal.

Tarea 3. Encuentra el período principal de la función

f(x)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Supongamos el período T de la función, entonces para cualquier X el radio

sen1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Si x=0 entonces

sen(1.5T)+5cos(0.75T)=sen0+5cos0

sen(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Si x=-T, entonces

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sen(1.5T)+5cos(0.75T)

sen(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sen(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Sumando, obtenemos:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Elijamos de todos los números "sospechosos" para el período el positivo más pequeño y verifiquemos si es un período para f. Este número

f(x+)=sen(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Por lo tanto, es el período principal de la función f.

Tarea 4. Comprobar si la función f(x)=sin(x) es periódica

Sea T el periodo de la función f. Entonces para cualquier x

sen|x+T|=sen|x|

Si x=0, entonces sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Suponer. Que para algún n el número π n es un periodo

función considerada π n>0. Entonces sin|π n+x|=sin|x|

Esto implica que n debe ser par e impar al mismo tiempo, lo cual es imposible. Por lo tanto, esta función no es periódica.

Tarea 5. Comprobar si la función es periódica

f(x)=

Sea T el periodo f, entonces

, por lo tanto senT=0, T=π n, n € Z. Supongamos que para algún n el número π n es de hecho el período de la función dada. Entonces el número 2π n también será un período

Como los numeradores son iguales, también lo son sus denominadores, entonces

Por lo tanto, la función f no es periódica.

Trabajo en equipo.

Tareas para el grupo 1.

Tareas para el grupo 2.

Comprueba si la función f es periódica y encuentra su período principal (si existe).

f(x)=cos(2x)+2sen(2x)

Tareas para el grupo 3.

Al final del trabajo, los grupos presentan sus soluciones.

VI. Resumiendo la lección.

Reflexión.

El maestro les da a los estudiantes tarjetas con dibujos y se ofrece a pintar sobre parte del primer dibujo de acuerdo con la medida en que, según les parece, han dominado los métodos de estudio de la función por periodicidad, y en parte del segundo dibujo. , de acuerdo con su contribución al trabajo en la lección.

VIII. Tarea

1). Compruebe si la función f es periódica y encuentre su período principal (si existe)

b). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). La función y=f(x) tiene un periodo T=2 y f(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encuentra el valor de la expresión -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovich A.G.Álgebra y el comienzo del análisis con estudio en profundidad.
2. Matemáticas. Preparación para el examen. ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E. A.Álgebra y análisis inicial para los grados 10-11.

Argumento x, entonces se llama periódico si existe un número T tal que para cualquier x F(x + T) = F(x). Este número T se llama el período de la función.

Puede haber varios periodos. Por ejemplo, la función F = const toma el mismo valor para cualquier valor del argumento y, por lo tanto, cualquier número puede considerarse su período.

Por lo general, está interesado en el período distinto de cero más pequeño de la función. Por brevedad, se le llama simplemente un período.

Un ejemplo clásico de funciones periódicas es la trigonométrica: seno, coseno y tangente. Su periodo es el mismo e igual a 2π, es decir, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) y así sucesivamente. Sin embargo, por supuesto, las funciones trigonométricas no son las únicas periódicas.

Con respecto a las funciones básicas simples, la única forma de establecer su periodicidad o no periodicidad es a través de cálculos. Pero para funciones complejas, ya existen algunas reglas simples.

Si F(x) es de periodo T, y se define una derivada para ella, entonces esta derivada f(x) = F′(x) es también una función periódica de periodo T. Después de todo, el valor de la derivada en el el punto x es igual a la tangente de la tangente de la gráfica de su antiderivada en este punto al eje x, y como la antiderivada se repite periódicamente, la derivada también debe repetirse. Por ejemplo, la derivada de la función sen(x) es cos(x) y es periódica. Tomando la derivada de cos(x) te da -sin(x). La periodicidad se mantiene sin cambios.

Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Así, la función f(x) = const es periódica, pero su antiderivada F(x) = const*x + C no lo es.

Si F(x) es una función periódica con período T, entonces G(x) = a*F(kx + b), donde a, b y k son constantes y k no es igual a cero, también una función periódica, y su periodo es igual a T/k. Por ejemplo, sin(2x) es una función periódica y su periodo es π. Visualmente, esto se puede representar de la siguiente manera: al multiplicar x por algún número, parece comprimir el gráfico de la función horizontalmente exactamente tantas veces

Si F1(x) y F2(x) son funciones periódicas y sus períodos son iguales a T1 y T2, respectivamente, entonces la suma de estas funciones también puede ser periódica. Sin embargo, su período no será una simple suma de los períodos T1 y T2. Si el resultado de dividir T1/T2 es un número racional, entonces la suma de las funciones es periódica, y su periodo es igual al mínimo común múltiplo (MCM) de los periodos T1 y T2. Por ejemplo, si el período de la primera función es 12 y el período de la segunda es 15, entonces el período de su suma será MCM (12, 15) = 60.

Visualmente, esto se puede representar de la siguiente manera: las funciones vienen con diferentes "anchos de paso", pero si la proporción de sus anchos es racional, tarde o temprano (o más bien, precisamente a través del MCM de pasos), volverán a ser iguales. , y su suma dará comienzo a un nuevo período.

Sin embargo, si la razón de períodos es irracional, entonces la función total no será periódica en absoluto. Por ejemplo, sea F1(x) = x mod 2 (el resto de x dividido por 2) y F2(x) = sin(x). T1 aquí será igual a 2, y T2 es igual a 2π. La relación de períodos es igual a π, un número irracional. Por tanto, la función sen(x) + x mod 2 no es periódica.

Trigonométrico funciones periódico, es decir, repetido después de un cierto período. Como resultado, es suficiente estudiar la función en este intervalo y extender las propiedades descubiertas a todos los demás períodos.

Instrucción

1. Si te dan una expresión primitiva en la que solo hay una función trigonométrica (sen, cos, tg, ctg, sec, cosec), y el ángulo dentro de la función no se multiplica por ningún número, y no se eleva a ningún poder - usa la definición. Para las expresiones que contienen sin, cos, sec, cosec, establezca audazmente el período en 2P, y si hay tg, ctg en la ecuación, entonces P. Digamos, para la función y \u003d 2 senx + 5, el período será 2P .

2. Si el ángulo x bajo el signo de una función trigonométrica se multiplica por algún número, entonces para encontrar el período de esta función, divida el período típico por este número. Digamos que te dan una función y = sen 5x. El período típico para un seno es 2P, al dividirlo por 5, obtienes 2P / 5: este es el período deseado de esta expresión.

3. Para encontrar el período de una función trigonométrica elevada a una potencia, evalúa la uniformidad de la potencia. Para un grado par, reduzca a la mitad el período de muestra. Digamos, si le dan una función y \u003d 3 cos ^ 2x, entonces el período típico 2P disminuirá 2 veces, por lo que el período será igual a P. Tenga en cuenta que las funciones tg, ctg son periódicas en cualquier medida P .

4. Si te dan una ecuación que contiene el producto o el cociente de 2 funciones trigonométricas, primero encuentra el período para todas ellas por separado. Después de eso, encuentre el número mínimo que se ajuste al número entero de ambos períodos. Digamos que se da la función y=tgx*cos5x. Para la tangente, el periodo es P, para el coseno 5x, el periodo es 2P/5. El número mínimo que se permite para ambos períodos es 2P, por lo que el período deseado es 2P.

5. Si le resulta difícil hacerlo de la manera propuesta o duda del resultado, intente hacerlo por definición. Toma T como el periodo de la función, es mayor que cero. Sustituye la expresión (x + T) en la ecuación en lugar de x y resuelve la igualdad resultante como si T fuera un parámetro o un número. Como resultado, encontrará el valor de la función trigonométrica y podrá elegir el período más pequeño. Digamos que, como resultado de la facilitación, obtienes el pecado de identidad (T / 2) \u003d 0. El valor mínimo de T al que se realiza es 2P, y este será el resultado de la tarea.

Una función periódica es una función que repite sus valores después de algún período distinto de cero. El período de una función es un número cuya adición al argumento de la función no cambia el valor de la función.

Necesitará

• Conocimientos de matemáticas elementales e inicios de la encuesta.

Instrucción

1. Denotemos el período de la función f(x) por el número K. Nuestra tarea es encontrar este valor de K. Para hacer esto, imagine que la función f(x), usando la definición de una función periódica, iguala f (x+K)=f(x).

2. Resolvemos la ecuación resultante para la incógnita K, como si x fuera una constante. Dependiendo del valor de K, habrá varias opciones.

3. Si K>0, entonces este es el período de su función.Si K=0, entonces la función f(x) no es periódica.Si la solución de la ecuación f(x+K)=f(x) no existe. para cualquier K que no sea igual a cero, dicha función se llama aperiódica y tampoco tiene período.

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¡Nota!
Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las funciones polinómicas con grado mayor que 2 son aperiódicas.

Consejo útil
El periodo de una función que consta de 2 funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los periodos de estas funciones.

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas de un argumento desconocido (por ejemplo: 5sinx-3cosx =7). Para aprender a resolverlos, necesita conocer algunos métodos para esto.

Instrucción

1. La solución de tales ecuaciones consta de 2 etapas, la primera es la reforma de la ecuación para adquirir su forma más simple. Las ecuaciones trigonométricas más simples se denominan así: Sinx=a; cosx=a, etc.

2. La segunda es la solución de la ecuación trigonométrica más simple obtenida. Existen formas básicas de resolver ecuaciones de este tipo: Resolviendo de forma algebraica. Este método es famoso desde la escuela, desde el curso de álgebra. También se llama el método de reemplazar una variable y sustituir. Aplicando las fórmulas de reducción, transformamos, hacemos un reemplazo, después de lo cual encontramos las raíces.

3. Descomposición de la ecuación en factores. Primero, trasladamos todos los términos a la izquierda y los descomponemos en factores.

4. Llevando la ecuación a una homogénea. Las ecuaciones se llaman ecuaciones homogéneas si todos los términos son del mismo grado y el seno, coseno del mismo ángulo.Para resolverlo, debes: primero transferir todos sus miembros del lado derecho al lado izquierdo; sacar todos los factores comunes de los paréntesis; igualar factores y paréntesis a cero; los paréntesis equiparados dan una ecuación homogénea de menor grado, que debe dividirse por cos (o sen) de mayor grado; resuelve la ecuación algebraica resultante para tan.

5. La siguiente forma es ir a la media esquina. Digamos, resuelve la ecuación: 3 sen x - 5 cos x \u003d 7. Pasemos al medio ángulo: 6 sen (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x/2) + 5 pecado? (x/2) = 7sen? (x/2) + 7 cos? (x/ 2), después de lo cual reducimos todos los términos a una parte (si no, a la derecha) y resolvemos la ecuación.

6. Entrada de esquina auxiliar. Cuando reemplazamos el valor entero cos(a) o sin(a). El signo "a" es un ángulo auxiliar.

7. Una forma de reformatear un producto en una suma. Aquí debe aplicar las fórmulas apropiadas. Digamos dado: 2 sen x sen 3x = cos 4x Lo resolvemos convirtiendo el lado izquierdo en una suma, es decir: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p/16 + pk/8.

8. La forma final, llamada sustitución multifunción. Transformamos la expresión y hacemos una sustitución, digamos Cos(x/2)=u, después de lo cual resolvemos la ecuación con el parámetro u. Al adquirir el total, traducimos el valor al contrario.

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Si consideramos puntos en un círculo, entonces los puntos x, x + 2π, x + 4π, etc. coincidir entre sí. Entonces la trigonométrica funciones en linea recta periódicamente repetir su significado. Si el período es famoso funciones, se permite construir una función en este período y repetirla en otros.

Instrucción

1. El periodo es un número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar el período, resuelve la ecuación correspondiente, sustituyendo x y x + T como argumento. En este caso se utilizan los conocidos periodos de las funciones. Para las funciones seno y coseno el periodo es 2π, y para la tangente y cotangente es π.

2. Sea dada la función f(x) = sen^2(10x). Considere la expresión sen^2(10x) = sen^2(10(x+T)). Usa la fórmula para reducir el grado: sen^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Entonces obtenga 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) o cos 20x = cos (20x+20T). Sabiendo que el periodo del coseno es 2π, 20T = 2π. Por lo tanto, T = π/10. T es el período mínimo correcto, y la función se repetirá después de 2T, y después de 3T, y en la otra dirección a lo largo del eje: -T, -2T, etc.

Consejo útil
Usar fórmulas para bajar el grado de una función. Si está más familiarizado con los períodos de algunas funciones, intente reducir la función existente a las conocidas.

Encontrar una función para pares e impares ayuda a construir un gráfico de la función y comprender la naturaleza de su comportamiento. Para esta investigación, debe comparar la función dada escrita para el argumento "x" y para el argumento "-x".

Instrucción

1. Escribe la función que quieres explorar como y=y(x).

2. Reemplace el argumento de la función con "-x". Sustituya este argumento por una expresión funcional.

3. Simplifica la expresión.

4. Por lo tanto, obtuvo la misma función escrita para los argumentos "x" y "-x". Mira estas dos entradas. Si y(-x)=y(x), entonces esta es una función par. Si y(-x)=-y(x), entonces esta es una función impar. Si es imposible digamos de la función que y (-x)=y(x) o y(-x)=-y(x), entonces, por la propiedad de paridad, esta es una función de forma universal. Es decir, no es ni par ni impar.

5. Anota tus resultados. Ahora puede usarlos para trazar un gráfico de función o en una futura búsqueda analítica de las propiedades de una función.

6. También es posible hablar de funciones pares e impares en el caso de que la gráfica de la función esté más definida. Digamos que la gráfica fue el resultado de un experimento físico. Si la función gráfica es simétrica con respecto al eje y, entonces y(x) es una función par. Si la función gráfica es simétrica con respecto al eje x, entonces x(y ) es una función par. x(y) es la función inversa de y(x).Si la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen (0,0), entonces y(x) es una función impar. La función inversa x(y) también será impar.

7. Es importante recordar que el concepto de funciones pares e impares tiene una relación directa con el dominio de la función. Si, digamos, una función par o impar no existe para x=5, entonces no existe para x=-5, lo cual es imposible de decir sobre una función de forma general. Al establecer pares e impares, preste atención al dominio de la función.

8. La búsqueda de funciones pares e impares se correlaciona con la búsqueda del conjunto de valores de función. Para encontrar el conjunto de valores de una función par, basta ver la mitad de la función, a la derecha o a la izquierda del cero. Si para x>0 una función par y(x) toma valores de A a B, entonces tomará los mismos valores para x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 función impar y(x) toma un rango de valores de A a B, entonces para x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonométricas" una vez comenzaron a llamarse funciones que están determinadas por la dependencia de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo en las longitudes de sus lados. Estas funciones incluyen, en primer lugar, el seno y el coseno, y en segundo lugar, la secante y la cosecante, que son inversas de estas funciones, las derivadas tangente y cotangente de ellas, así como las funciones inversas arcoseno, arcocoseno, etc. más positivo hablar no de la "solución" de tales funciones, sino de su "cálculo", es decir, de encontrar un valor numérico.

Instrucción

1. Si se desconoce el argumento de la función trigonométrica, entonces se permite calcular su valor por un método indirecto basado en las definiciones de estas funciones. Para hacer esto, necesita saber las longitudes de los lados del triángulo, la función trigonométrica para uno de los ángulos que desea calcular. Digamos, por definición, que el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto a este ángulo y la longitud de la hipotenusa. De esto se deduce que para encontrar el seno de un ángulo, basta con conocer las longitudes de estos 2 lados. Una definición similar dice que el seno de un ángulo agudo es la relación entre la longitud del cateto adyacente a este ángulo y la longitud de la hipotenusa. La tangente de un ángulo agudo se puede calcular dividiendo la longitud del cateto opuesto por la longitud del cateto adyacente, y la cotangente requiere dividir la longitud del cateto adyacente por la longitud del cateto opuesto. Para calcular la secante de un ángulo agudo, debe encontrar la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente al ángulo requerido, y la cosecante está determinada por la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud. de la pierna opuesta.

2. Si se lleva a cabo el argumento de la función trigonométrica, entonces no se requiere conocer las longitudes de los lados del triángulo; se permite usar tablas de valores o calculadoras de funciones trigonométricas. Tal calculadora se encuentra entre los programas estándar del sistema operativo Windows. Para ejecutarlo, puede presionar la combinación de teclas Win + R, ingresar el comando calc y hacer clic en el botón Aceptar. En la interfaz del programa, abra la sección "Ver" y seleccione el elemento "Ingeniería" o "Científico". Posteriormente, se permite introducir el argumento de la función trigonométrica. Para calcular las funciones seno, coseno y tangente, en lugar de ingresar el valor, haga clic en el botón de interfaz correspondiente (sin, cos, tg), y para encontrar sus recíprocos del arcoseno, arcocoseno y arcotangente, marque la casilla Inv de antemano.

3. También hay métodos alternativos. Una de ellas es ir al sitio del motor de búsqueda Nigma o Google e ingresar la función deseada y su argumento (digamos, sin 0.47) como consulta de búsqueda. Estos motores de búsqueda tienen calculadoras integradas, por lo tanto, después de enviar dicha solicitud, recibirá el valor de la función trigonométrica que ingresó.

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Consejo 7: Cómo detectar el valor de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas aparecieron por primera vez como herramientas para los cálculos matemáticos abstractos de las dependencias de las magnitudes de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo con respecto a las longitudes de sus lados. Ahora son ampliamente utilizados en los campos científicos y técnicos de la actividad humana. Para los cálculos utilitarios de funciones trigonométricas a partir de argumentos dados, se permite utilizar varias herramientas; algunas de las más accesibles se describen a continuación.

Instrucción

1. Utilice, digamos, un programa de calculadora instalado por defecto con el sistema operativo. Se abre seleccionando el elemento "Calculadora" en la carpeta "Utilidades" de la subsección "Típica" ubicada en la sección "Todos los programas". Esta sección se puede encontrar abriendo el menú principal del sistema operativo haciendo clic en el botón "Inicio". Si está utilizando la versión de Windows 7, puede ingresar primitivamente la palabra "Calculadora" en el campo "Detectar programas y archivos" del menú principal y luego hacer clic en el enlace correspondiente en los resultados de búsqueda.

2. Ingrese el valor del ángulo para el cual desea calcular la función trigonométrica y luego haga clic en el botón correspondiente a esta función: seno, coseno o tangente. Si le preocupan las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno o arcotangente), primero haga clic en el botón denominado Inv: invierte las funciones asignadas a los botones de control de la calculadora.

3. En versiones anteriores del sistema operativo (por ejemplo, Windows XP), para acceder a las funciones trigonométricas, debe abrir la sección "Ver" en el menú de la calculadora y preferir la línea "Ingeniería". Además, en lugar del botón Inv en la interfaz de las versiones anteriores del programa, hay una casilla de verificación con la misma inscripción.

4. Puede prescindir de una calculadora si tiene acceso a Internet. Hay muchos servicios en la web que ofrecen calculadoras de funciones trigonométricas organizadas de manera diferente. Una opción particularmente útil está integrada en el motor de búsqueda Nigma. Habiendo ido a su página principal, ingrese primitivamente el valor que lo emociona en el campo de consulta de búsqueda, por ejemplo, "arco tangente de 30 grados". Después de presionar el botón "¡Descubrir!" el motor de búsqueda calculará y mostrará el resultado del cálculo: 0.482347907101025.

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La trigonometría es una rama de las matemáticas para comprender funciones que expresan diferentes dependencias de los lados de un triángulo rectángulo en las magnitudes de los ángulos agudos en la hipotenusa. Estas funciones se denominan trigonométricas y, para facilitar el trabajo con ellas, se derivaron funciones trigonométricas. identidades .

Actuación identidades en matemáticas denota una igualdad que se cumple para cualquier valor de los argumentos de las funciones incluidas en ella. Trigonométrico identidades- estas son igualdades de funciones trigonométricas, confirmadas y aceptadas para simplificar el trabajo con fórmulas trigonométricas.Una función trigonométrica es una función elemental de la dependencia de uno de los catetos de un triángulo rectángulo en la magnitud de un ángulo agudo en la hipotenusa. La mayoría de las veces, se utilizan seis funciones trigonométricas básicas: sin (seno), cos (coseno), tg (tangente), ctg (cotangente), sec (secante) y cosec (cosecante). Estas funciones se llaman directas, también hay funciones inversas, digamos, seno - arcoseno, coseno - arcocoseno, etc. Inicialmente, las funciones trigonométricas se reflejaron en la geometría, luego se extendieron a otras áreas de la ciencia: física, química, geografía, óptica. , teoría de la probabilidad , así como acústica, teoría musical, fonética, gráficos por computadora y muchos otros. Ahora es más difícil imaginar cálculos matemáticos sin estas funciones, aunque en el pasado lejano solo se usaban en astronomía y arquitectura. identidades se utilizan para simplificar el trabajo con fórmulas trigonométricas largas y llevarlas a una forma digerible. Hay seis identidades trigonométricas básicas, están asociadas con funciones trigonométricas directas: tg ? = pecado?/cos?; pecado ^ 2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sen^2?; pecado (? / 2 -?) \u003d cos?; cos (? / 2 -?) \u003d sin?. Estos identidades fácil de confirmar a partir de las propiedades de la razón de lados y ángulos en un triángulo rectángulo: sen ? = BC/AC = b/c; porque? = AB/AC = aire acondicionado; tg? = b/a Primera identidad tg ? = pecado?/cos? se sigue de la razón de los lados en el triángulo y la exclusión del lado c (hipotenusa) al dividir sen por cos. De la misma forma se define la identidad ctg? = cos ?/sen ?, porque ctg ? = 1/tg ?.Por el teorema de Pitágoras, a^2 + b^2 = c^2. Dividiendo esta igualdad por c^2, obtenemos la segunda identidad: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Tercero y cuarto identidades se obtiene dividiendo por b^2 y a^2, respectivamente: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sen^ ? o 1 + ctg^2? \u003d 1 / sin ^ 2?. El quinto y sexto principal identidades se prueban determinando la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que es igual a 90° o ?/ 2. Trigonometría más difícil identidades: fórmulas para sumar argumentos, ángulos dobles y triples, rebajar el grado, reformar la suma o el producto de funciones, así como fórmulas de sustitución trigonométrica, es decir, las expresiones de las funciones trigonométricas principales en términos de medio ángulo tg: sen ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); porque ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

La necesidad de encontrar el mínimo. significado matemático funciones es de interés real en la solución de problemas aplicados, por ejemplo, en economía. Enorme significado para la actividad empresarial tiene minimización de pérdidas.

Instrucción

1. Para encontrar el mínimo significado funciones, es necesario determinar en qué valor del argumento x0 se satisfará la desigualdad y(x0)? y(x), donde x ? x0. Como de costumbre, este problema se resuelve en un cierto intervalo o en cada rango de valores funciones, si no se ha establecido uno. Un aspecto de la solución es encontrar puntos fijos.

2. El punto estacionario se llama significado el argumento de que la derivada funciones va a cero. De acuerdo con el teorema de Fermat, si una función diferenciable toma un extremo significado en algún punto (en este caso, un mínimo local), entonces este punto es estacionario.

3. Mínimo significado la función a menudo toma exactamente en este punto, sin embargo, no siempre se puede determinar. Además, no siempre es posible decir exactamente cuál es el mínimo funciones o acepta una infinitamente pequeña significado. Luego, como de costumbre, encuentran el límite hacia el que gravita al decrecer.

4. Para determinar el mínimo significado funciones, es necesario realizar una secuencia de acciones que consta de cuatro etapas: encontrar el dominio de definición funciones, adquisición de puntos fijos, resumen de valores funciones en estos puntos y en los extremos del hueco, la detección de un mínimo.

5. Resulta que sea dada una función y(x) en un intervalo con límites en los puntos A y B. Encuentra su dominio de definición y averigua si el intervalo es su subconjunto.

6. Calcular derivada funciones. Iguale la expresión resultante a cero y encuentre las raíces de la ecuación. Compruebe si estos puntos estacionarios se encuentran dentro del intervalo. De lo contrario, en la siguiente etapa no se tienen en cuenta.

7. Mire el espacio para el tipo de límites: abiertos, cerrados, compuestos o adimensionales. Depende de cómo encuentres el mínimo. significado. Digamos que el segmento [A, B] es un espacio cerrado. Sustitúyalos en la función y calcule los valores. Haz lo mismo con el punto estacionario. Elija el total más pequeño.

8. Con intervalos abiertos e ilimitados, la situación es algo más difícil. Aquí tenemos que buscar límites unilaterales, que no siempre dan un resultado inequívoco. Digamos, para un intervalo con un límite cerrado y otro perforado [A, B), uno debería encontrar una función en x = A y un límite lateral lim y en x? B-0.