Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos al cuadrado. Inicio en ciencias Formulación y demostración del teorema de Pitágoras Triángulos de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

un 2 + segundo 2 = do 2,

• a Y b- piernas formando un ángulo recto.
• Con es la hipotenusa del triangulo.

Fórmulas del teorema de Pitágoras

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Prueba del teorema de Pitágoras

El área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la fórmula:

S = \frac(1)(2)ab

Para calcular el área de un triángulo arbitrario, la fórmula del área es:

• pag- semiperímetro. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r es el radio de la circunferencia inscrita. Para un rectángulo r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Luego igualamos los lados derechos de ambas fórmulas para el área de un triángulo:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \izquierda((a+b)^(2) -c^(2) \derecha)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inverso de Pitágoras:

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Es decir, para cualquier triple de números positivos un, b Y C, tal que

un 2 + segundo 2 = do 2,

hay un triangulo rectangulo con catetos a Y b e hipotenusa C.

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Fue probado por el científico matemático y filósofo Pitágoras.

El significado del teorema en que se puede utilizar para probar otros teoremas y resolver problemas.

Material adicional:

Asegúrate de que el triángulo que te den sea un triángulo rectángulo, ya que el teorema de Pitágoras solo se aplica a los triángulos rectángulos. En los triángulos rectángulos, uno de los tres ángulos siempre mide 90 grados.

• Un ángulo recto en un triángulo rectángulo se indica mediante un cuadrado en lugar de una curva, lo que representa ángulos no rectos.

Etiqueta los lados del triángulo. Designa los catetos como "a" y "b" (los catetos son lados que se intersecan en ángulos rectos) y la hipotenusa como "c" (la hipotenusa es el lado más grande de un triángulo rectángulo que se encuentra opuesto al ángulo recto).

Determina qué lado del triángulo quieres encontrar. El teorema de Pitágoras te permite encontrar cualquier lado de un triángulo rectángulo (si se conocen los otros dos lados). Determine qué lado (a, b, c) necesita ser encontrado.

• Por ejemplo, dada una hipotenusa igual a 5, y dado un cateto igual a 3. En este caso, necesitas encontrar el segundo cateto. Volveremos a este ejemplo más adelante.
• Si se desconocen los otros dos lados, es necesario encontrar la longitud de uno de los lados desconocidos para poder aplicar el teorema de Pitágoras. Para ello, utiliza las funciones trigonométricas básicas (si te dan el valor de uno de los ángulos no rectos).

Sustituya en la fórmula a 2 + b 2 \u003d c 2 los valores que le dieron (o los valores que encontró). Recuerda que a y b son catetos y c es la hipotenusa.

• En nuestro ejemplo, escribe: 3² + b² = 5².

Cuadre cada lado conocido. O deja los exponentes; puedes elevar los números al cuadrado más tarde.

• En nuestro ejemplo, escribe: 9 + b² = 25.

Aísle el lado desconocido en un lado de la ecuación. Para ello, traslada los valores conocidos al otro lado de la ecuación. Si encuentras la hipotenusa, entonces en el teorema de Pitágoras ya está aislada en un lado de la ecuación (por lo que no es necesario hacer nada).

• En nuestro ejemplo, mueva 9 al lado derecho de la ecuación para aislar la incógnita b². Obtendrá b² = 16.

Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. En esta etapa, hay una incógnita (cuadrado) en un lado de la ecuación y una intersección (número) en el otro lado.

• En nuestro ejemplo, b² = 16. Saque la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y obtenga b = 4. Entonces, el segundo tramo es 4 .

Utilizar el teorema de Pitágoras en la vida cotidiana, ya que se puede aplicar en un gran número de situaciones prácticas. Para hacer esto, aprenda a reconocer triángulos rectángulos en la vida cotidiana: en cualquier situación en la que dos objetos (o líneas) se intersecan en ángulo recto, y un tercer objeto (o línea) conecta (diagonalmente) la parte superior de los primeros dos objetos (o líneas), puede usar el teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido (si se conocen los otros dos lados).

• Ejemplo: Dada una escalera apoyada contra un edificio. La parte inferior de las escaleras está a 5 metros de la base de la pared. La parte superior de las escaleras está a 20 metros del suelo (hasta la pared). ¿Cuál es la longitud de la escalera?
  • "5 metros desde la base del muro" significa que a = 5; "está a 20 metros del suelo" significa que b = 20 (es decir, te dan dos catetos de un triángulo rectángulo, ya que la pared del edificio y la superficie de la Tierra se cortan en ángulo recto). La longitud de la escalera es la longitud de la hipotenusa, que se desconoce.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Por lo tanto, la longitud aproximada de las escaleras es 20,6 metros.

Historia

Chu-pei 500-200 a.C. A la izquierda está la inscripción: la suma de los cuadrados de las longitudes de la altura y la base es el cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

En el antiguo libro chino Chu-pei ( Inglés) (chino 周髀算經) habla de un triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. En el mismo libro se propone un dibujo que coincide con uno de los dibujos de la geometría hindú de Baskhara.

Alrededor del 400 a. e., según Proclus, Platón dio un método para encontrar triples pitagóricos, combinando álgebra y geometría. Alrededor del 300 a. mi. Los Elementos de Euclides contienen la prueba axiomática más antigua del teorema de Pitágoras.

Fraseología

Formulación geométrica:

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

Formulación algebraica:

Es decir, denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo por, y las longitudes de los catetos por y:

Ambas formulaciones del teorema son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental, no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y midiendo solo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Teorema inverso de Pitágoras:

Para todo triple de números positivos, y, tal que, existe un triángulo rectángulo con catetos e hipotenusa.

Prueba

Hasta el momento, se han registrado 367 demostraciones de este teorema en la literatura científica. Probablemente, el teorema de Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Tal variedad solo puede explicarse por el significado fundamental del teorema de la geometría.

Por supuesto, conceptualmente, todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos: pruebas por el método del área, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, usando ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La siguiente demostración de la formulación algebraica es la más simple de las demostraciones construidas directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectangulo C. Dibujemos una altura desde C y denote su base por H. Triángulo CCA similar a un triangulo A B C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C. Introducción a la notación

obtenemos

que es equivalente

Sumando, obtenemos

, que debía probarse

Pruebas de área

Las siguientes demostraciones, a pesar de su aparente sencillez, no lo son en absoluto. Todos ellos utilizan las propiedades del área, cuya demostración es más complicada que la demostración del propio teorema de Pitágoras.

Prueba vía equivalencia

1. Organice cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la Figura 1.
2. Cuadrilátero con lados C es un cuadrado porque la suma de dos ángulos agudos es 90° y el ángulo llano es 180°.
3. El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado (a+b), y por otro lado, a la suma de las áreas de cuatro triángulos y el área del cuadrado interior.

QED

prueba de Euclides

La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las mitades de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grande y dos pequeños son iguales.

Considere el dibujo de la izquierda. Construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre las patas correspondientes.

Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK Para ello, usamos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que el rectángulo dado es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado), que, a su vez, es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK.

Probemos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que se necesita hacer para esto es probar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado por la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia: los triángulos son iguales en dos lados y en el ángulo entre ellos. Es decir, AB=AK, AD=AC, la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar por el método del movimiento: giremos el triángulo CAK 90 ° en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos considerados coincidirán (debido al hecho de que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90 °).

El argumento sobre la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y el rectángulo BHJI es completamente análogo.

Así, hemos probado que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. La idea detrás de esta prueba se ilustra aún más con la animación anterior.

Prueba de Leonardo da Vinci

Los elementos principales de la demostración son la simetría y el movimiento.

Considere el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento corta el cuadrado en dos partes idénticas (ya que los triángulos y son iguales en construcción).

Usando una rotación en sentido antihorario de 90 grados alrededor del punto, vemos la igualdad de las figuras sombreadas y .

Ahora está claro que el área de la figura que hemos sombreado es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados pequeños (construidos sobre las piernas) y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado grande (construido sobre la hipotenusa) más el área del triángulo original. Así, la mitad de la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual a la mitad del área del cuadrado grande, y por tanto la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Demostración por el método infinitesimal

La siguiente demostración con ecuaciones diferenciales se atribuye a menudo al famoso matemático inglés Hardy, que vivió en la primera mitad del siglo XX.

Considerando el dibujo que se muestra en la figura y observando el cambio de lado a, podemos escribir la siguiente relación para incrementos laterales infinitesimales Con Y a(usando triángulos semejantes):

Usando el método de separación de variables, encontramos

Una expresión más general para cambiar la hipotenusa en el caso de incrementos de ambos catetos

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos

Así llegamos a la respuesta deseada.

Como es fácil ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final se debe a la proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma se debe a las contribuciones independientes del incremento de los diferentes catetos.

Se puede obtener una demostración más sencilla si suponemos que uno de los lados no experimenta un incremento (en este caso, el lado). Entonces para la constante de integración obtenemos

Variaciones y Generalizaciones

Formas geométricas similares en tres lados.

Generalización para triángulos semejantes, área de las figuras verdes A+B = área de las azules C

Teorema de Pitágoras usando triángulos rectángulos semejantes

Euclides hizo una generalización del teorema de Pitágoras en su obra Principios, expandiendo las áreas de los cuadrados de los lados a las áreas de formas geométricas similares:

Si construimos figuras geométricas similares (ver geometría euclidiana) sobre los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las dos figuras más pequeñas será igual al área de la figura más grande.

La idea principal de esta generalización es que el área de tal figura geométrica es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales y, en particular, al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, para figuras similares con áreas A, B Y C construido en lados con longitud a, b Y C, tenemos:

Pero, según el teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = C 2, entonces A + B = C.

Por el contrario, si podemos demostrar que A + B = C para tres figuras geométricas similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos demostrar el teorema mismo, moviéndose en la dirección opuesta. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede reutilizar como un triángulo C sobre la hipotenusa, y dos triángulos rectángulos semejantes ( A Y B) construido sobre los otros dos lados, que se forman como resultado de dividir el triángulo central por su altura. La suma de las dos áreas menores de los triángulos es entonces evidentemente igual al área del tercero, por tanto A + B = C y, realizando las demostraciones anteriores en orden inverso, obtenemos el teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2 .

teorema del coseno

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno más general que relaciona las longitudes de los lados en un triángulo arbitrario:

donde θ es el ángulo entre los lados a Y b.

Si θ es 90 grados entonces cos θ = 0 y la fórmula se simplifica al teorema de Pitágoras habitual.

Triángulo arbitrario

A cualquier esquina elegida de un triángulo arbitrario con lados a B C inscribimos un triángulo isósceles de tal manera que los ángulos iguales en su base θ sean iguales al ángulo elegido. Supongamos que el ángulo elegido θ se encuentra frente al lado indicado C. Como resultado, obtuvimos un triángulo ABD con ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado a y fiestas r. El segundo triángulo está formado por el ángulo θ, que es opuesto al lado b y fiestas Con largo s, como se muestra en la imagen. Thabit Ibn Qurra afirmó que los lados de estos tres triángulos están relacionados de la siguiente manera:

A medida que el ángulo θ se aproxima a π/2, la base del triángulo isósceles disminuye y los dos lados r y s se superponen cada vez menos. Cuando θ = π/2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = C y obtenemos el teorema de Pitágoras inicial.

Veamos uno de los argumentos. El triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo ABD, pero en orden inverso. (Los dos triángulos tienen un ángulo común en el vértice B, ambos tienen un ángulo θ y también tienen el mismo tercer ángulo, por la suma de los ángulos del triángulo) Por lo tanto, ABC es similar a la reflexión ABD del triángulo DBA, como se muestra en la figura inferior. Escribamos la relación entre los lados opuestos y los adyacentes al ángulo θ,

Así es el reflejo de otro triángulo,

Multiplica las fracciones y suma estas dos razones:

QED

Generalización para triángulos arbitrarios a través de paralelogramos

Generalización para triángulos arbitrarios,
area de verde parcela = area azul

Prueba de la tesis de que en la figura anterior

Hagamos una generalización adicional para triángulos no rectangulares, usando paralelogramos en tres lados en lugar de cuadrados. (Los cuadrados son un caso especial). La figura superior muestra que para un triángulo acutángulo, el área del paralelogramo en el lado largo es igual a la suma de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo se construya como se muestra en la figura (las dimensiones marcadas con flechas son las mismas y determinan los lados del paralelogramo inferior). Este reemplazo de cuadrados por paralelogramos tiene un claro parecido con el teorema de Pitágoras inicial y se cree que fue formulado por Pappus de Alejandría en el año 4 EC. mi.

La figura inferior muestra el progreso de la prueba. Miremos el lado izquierdo del triángulo. El paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el lado izquierdo del paralelogramo azul porque tienen la misma base b y altura h. Además, el cuadro verde izquierdo tiene la misma área que el cuadro verde izquierdo en la imagen superior porque tienen una base común (lado superior izquierdo del triángulo) y una altura común perpendicular a ese lado del triángulo. Argumentando de manera similar para el lado derecho del triángulo, demostramos que el paralelogramo inferior tiene la misma área que los dos paralelogramos verdes.

Números complejos

El teorema de Pitágoras se usa para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, y este teorema es cierto para todas las coordenadas verdaderas: distancia s entre dos puntos ( un, b) Y ( cd) es igual

No hay problemas con la fórmula si los números complejos se tratan como vectores con componentes reales X + yo = (X, y). . Por ejemplo, la distancia s entre 0 + 1 i y 1 + 0 i calcular como módulo de vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o

Sin embargo, para operaciones con vectores de coordenadas complejas, es necesario realizar una cierta mejora en la fórmula pitagórica. Distancia entre puntos con números complejos ( a, b) Y ( C, d); a, b, C, Y d todo complejo, lo formulamos usando valores absolutos. Distancia s basado en la diferencia de vectores (a − C, b − d) de la siguiente forma: sea la diferencia a − C = pag+ yo q, Dónde pag es la parte real de la diferencia, q es la parte imaginaria, y i = √(−1). Del mismo modo, deja b − d = r+ yo s. Entonces:

donde es el complejo conjugado de . Por ejemplo, la distancia entre puntos (a, b) = (0, 1) Y (C, d) = (i, 0) , calcula la diferencia (a − C, b − d) = (−i, 1) y el resultado sería 0 si no se usaran conjugados complejos. Por lo tanto, usando la fórmula mejorada, obtenemos

El módulo se define así:

estereometría

Una generalización significativa del teorema de Pitágoras para el espacio tridimensional es el teorema de de Gua, llamado así por J.-P. de Gua: si un tetraedro tiene un ángulo recto (como en un cubo), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Esta conclusión se puede resumir como " norte teorema de Pitágoras -dimensional":

El teorema de Pitágoras en tres dimensiones relaciona la diagonal AD con tres lados.

Otra generalización: el teorema de Pitágoras se puede aplicar a la estereometría de la siguiente forma. Considere una caja rectangular, como se muestra en la figura. Encuentra la longitud de la diagonal BD usando el teorema de Pitágoras:

donde tres lados forman un triángulo rectángulo. Usa la diagonal horizontal BD y el borde vertical AB para encontrar la longitud de la diagonal AD, nuevamente usando el teorema de Pitágoras:

o, si todo está escrito en una ecuación:

Este resultado es una expresión 3D para determinar la magnitud del vector v(diagonal AD) expresada en términos de sus componentes perpendiculares ( v k) (tres lados mutuamente perpendiculares):

Esta ecuación puede verse como una generalización del teorema de Pitágoras para un espacio multidimensional. Sin embargo, el resultado en realidad no es más que la aplicación repetida del teorema de Pitágoras a una secuencia de triángulos rectángulos en planos sucesivamente perpendiculares.

espacio vectorial

En el caso de un sistema ortogonal de vectores, se produce una igualdad, que también se denomina teorema de Pitágoras:

Si estas son proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, entonces esta fórmula coincide con la distancia euclidiana y significa que la longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

El análogo de esta igualdad en el caso de un sistema infinito de vectores se llama igualdad de Parseval.

Geometría no euclidiana

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, no es válido para la geometría no euclidiana, en la forma en que está escrito anteriormente. (Es decir, el teorema de Pitágoras resulta ser una especie de equivalente al postulado de paralelismo de Euclides). En otras palabras, en la geometría no euclidiana, la relación entre los lados del triángulo necesariamente tendrá una forma diferente del teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica, los tres lados de un triángulo rectángulo (digamos a, b Y C) que limitan el octante (un octavo) de la esfera unidad tienen longitud π/2, lo que contradice el teorema de Pitágoras porque a 2 + b 2 ≠ C 2 .

Considere aquí dos casos de geometría no euclidiana: geometría esférica e hiperbólica; en ambos casos, en cuanto al espacio euclidiano para triángulos rectángulos, del teorema del coseno se sigue el resultado que reemplaza al teorema de Pitágoras.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo válido para la geometría hiperbólica y elíptica si el requisito de que el triángulo sea rectángulo se sustituye por la condición de que la suma de dos ángulos del triángulo debe ser igual al tercero, digamos A+B = C. Entonces la razón entre los lados se ve así: la suma de las áreas de círculos con diámetros a Y b igual al área de un círculo con un diámetro C.

geometría esférica

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera con radio R(por ejemplo, si el ángulo γ en el triángulo es recto) con lados a, b, C la relación entre las partes se verá así:

Esta igualdad se puede derivar como un caso especial del teorema del coseno esférico, que es válido para todos los triángulos esféricos:

donde cosh es el coseno hiperbólico. Esta fórmula es un caso especial del teorema del coseno hiperbólico, que es válido para todos los triángulos:

donde γ es el ángulo cuyo vértice es opuesto al lado C.

Dónde gramo yo se llama tensor métrico. Puede ser una función de posición. Dichos espacios curvilíneos incluyen la geometría de Riemann como un ejemplo común. Esta formulación también es adecuada para el espacio euclidiano cuando se utilizan coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, para coordenadas polares:

producto vectorial

El teorema de Pitágoras conecta dos expresiones para la magnitud de un producto vectorial. Un enfoque para definir un producto cruzado requiere que satisfaga la ecuación:

esta fórmula utiliza el producto escalar. El lado derecho de la ecuación se llama determinante de Gram para a Y b, que es igual al área del paralelogramo formado por estos dos vectores. Con base en este requisito, así como el requisito de que el producto vectorial sea perpendicular a sus componentes a Y b se sigue que, excepto en los casos triviales de espacio de 0 y 1 dimensión, el producto vectorial solo se define en tres y siete dimensiones. Usamos la definición del ángulo en norte-espacio dimensional:

esta propiedad del producto vectorial da su valor de la siguiente forma:

A través de la identidad trigonométrica fundamental de Pitágoras, obtenemos otra forma de escribir su valor:

Un enfoque alternativo para definir un producto cruzado utiliza una expresión para su magnitud. Entonces, argumentando en orden inverso, obtenemos una conexión con el producto escalar:

ver también

notas

1. Tema de historia: el teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas
2. ( , pág. 351) pág. 351
3. ( , Tomo I, pág. 144)
4. Una discusión de hechos históricos se da en (, p. 351) p. 351
5. Kurt Von Fritz (abril de 1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hippasus de Metapontum". Los Anales de Matemáticas, Segunda Serie(Anales de Matemáticas) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, “La historia con nudos”, M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboe Episodios de la historia temprana de las matemáticas. - Asociación Matemática de América, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Proposición de Pitágoras por Eliseo Scott Loomis
9. de Euclides Elementos: Libro VI, Proposición VI 31: "En los triángulos rectángulos, la figura del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras similares y descritas de manera similar en los lados que contienen el ángulo recto".
10. Lawrence S.Leff obra citada. - Serie Educativa de Barron - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley vísperas§4.8:...generalización del teorema de Pitágoras // Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . - Asociación Matemática de América, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (nombre completo Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d. C.) fue un médico que vivió en Bagdad y escribió extensamente sobre los Elementos de Euclides y otros temas matemáticos.
13. Aydin Sayili (marzo de 1960). "Generalización del teorema de Pitágoras de Thâbit ibn Qurra". isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Ejercicio 2.10(ii) // Trabajo citado. - Pág. 62. - ISBN 0821844032
15. Para los detalles de tal construcción, véase Jorge Jennings Figura 1.32: El teorema de Pitágoras generalizado // Geometría moderna con aplicaciones: con 150 figuras. - 3ro. - Springer, 1997. - Pág. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy artículo C: Norma para un arbitrario norte-tuple... // Una introducción al análisis. - Springer, 1995. - Pág. 124. - ISBN 0387943692 Consulte también las páginas 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamón Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica. - 3ro. - CRC Press, 2006. - Pág. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia análisis matricial. - Springer, 1997. - Pág. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W Hawking obra citada. - 2005. - Pág. 4. - ISBN 0762419229

El teorema de Pitágoras dice:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

un 2 + segundo 2 = do 2,

• a Y b- piernas formando un ángulo recto.
• Con es la hipotenusa del triangulo.

Fórmulas del teorema de Pitágoras

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Prueba del teorema de Pitágoras

El área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la fórmula:

S = \frac(1)(2)ab

Para calcular el área de un triángulo arbitrario, la fórmula del área es:

• pag- semiperímetro. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r es el radio de la circunferencia inscrita. Para un rectángulo r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Luego igualamos los lados derechos de ambas fórmulas para el área de un triángulo:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \izquierda((a+b)^(2) -c^(2) \derecha)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inverso de Pitágoras:

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Es decir, para cualquier triple de números positivos un, b Y C, tal que

un 2 + segundo 2 = do 2,

hay un triangulo rectangulo con catetos a Y b e hipotenusa C.

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Fue probado por el científico matemático y filósofo Pitágoras.

El significado del teorema en que se puede utilizar para probar otros teoremas y resolver problemas.

Material adicional:

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación

entre los lados de un triángulo rectángulo.

Se cree que fue probado por el matemático griego Pitágoras, de quien toma su nombre.

Formulación geométrica del teorema de Pitágoras.

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados,

construido sobre catéteres.

Formulación algebraica del teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Es decir, denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo a través de C, y las longitudes de las piernas a través de a Y b:

Ambas formulaciones teoremas de pitágoras son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental, no

requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y

midiendo solo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

El teorema inverso de Pitágoras.

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces

el triangulo es rectangular.

O, en otras palabras:

Para cualquier triple de números positivos a, b Y C, tal que

hay un triangulo rectangulo con catetos a Y b e hipotenusa C.

El teorema de Pitágoras para un triángulo isósceles.

Teorema de Pitágoras para un triángulo equilátero.

Demostraciones del teorema de Pitágoras.

Hasta el momento, se han registrado 367 demostraciones de este teorema en la literatura científica. Probablemente el teorema

Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. tal diversidad

sólo puede explicarse por el significado fundamental del teorema de la geometría.

Por supuesto, conceptualmente, todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos:

prueba método de área, axiomático Y evidencia exótica(Por ejemplo,

mediante el uso ecuaciones diferenciales).

1. Demostración del teorema de Pitágoras en términos de triángulos semejantes.

La siguiente demostración de la formulación algebraica es la más simple de las demostraciones construidas

directamente de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectangulo C. Dibujemos una altura desde C y denota

su fundación a través H.

Triángulo CCA similar a un triangulo AB C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C.

Introduciendo la notación:

obtenemos:

,

que coincide -

haber doblado a 2 y b 2, obtenemos:

o , que debía probarse.

2. Demostración del teorema de Pitágoras por el método del área.

Las siguientes demostraciones, a pesar de su aparente sencillez, no lo son en absoluto. Todos ellos

usa las propiedades del área, cuya demostración es más complicada que la demostración del propio teorema de Pitágoras.

• Demostración por equicomplementación.

Disponer cuatro rectangulares iguales

triángulo como se muestra en la imagen

a la derecha.

Cuadrilátero con lados C- cuadrado,

ya que la suma de dos ángulos agudos es 90°, y

el ángulo desarrollado es de 180°.

El área de toda la figura es, por un lado,

área de un cuadrado de lado ( a+b), y por otro lado, la suma de las áreas de cuatro triángulos y

QED

3. Demostración del teorema de Pitágoras por el método infinitesimal.

​

Teniendo en cuenta el dibujo que se muestra en la figura, y

viendo el cambio de ladoa, podemos

escribe la siguiente relacion para infinito

pequeño incrementos lateralesCon Y a(usando similitud

triangulos):

Usando el método de separación de variables, encontramos:

Una expresión más general para cambiar la hipotenusa en el caso de incrementos de ambos catetos:

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos:

Por lo tanto, llegamos a la respuesta deseada:

Como es fácil de ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la linealidad

proporcionalidad entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está relacionada con los independientes

contribuciones del incremento de diferentes patas.

Se puede obtener una prueba más simple si suponemos que una de las piernas no experimenta un incremento

(en este caso, la pierna b). Entonces para la constante de integración obtenemos: