Graf hustoty a funkcie normálneho rozdelenia. Normálny (gaussovský) distribučný zákon. Jednomerná normálna distribúcia

Definícia 1

Náhodná premenná $ X $ má normálne rozdelenie (gaussovské rozdelenie), ak je jej hustota rozdelenia určená vzorcom:

\ [\ varphi \ left (x \ right) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) e ^ (\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\ sigma) ^ 2)) \]

Tu $ aϵR $ je matematické očakávanie a $ \ sigma> 0 $ je štandardná odchýlka.

Normálna hustota distribúcie.

Ukážme, že táto funkcia je skutočne distribučnou hustotou. Za týmto účelom skontrolujte nasledujúcu podmienku:

Uvažujme nevhodný integrál $ \ int \ limits ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) e ^ (\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\ sigma) ^ 2)) dx) $.

Urobme náhradu: $ \ frac (x-a) (\ sigma) = t, \ x = \ sigma t + a, \ dx = \ sigma dt $.

Pretože $ f \ left (t \ right) = e ^ (\ frac (-t ^ 2) (2)) $ je rovnomerná funkcia, potom

Rovnosť platí, takže funkcia $ \ varphi \ left (x \ right) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) e ^ (\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\ sigma) ^ 2)) $ je skutočne hustota distribúcie niektorých náhodná premenná.

Zvážte niektoré z najjednoduchších vlastností funkcie hustoty pravdepodobnosti normálneho rozdelenia $ \ varphi \ left (x \ right) $:

1. Graf funkcie hustoty pravdepodobnosti normálneho rozdelenia je symetrický k priamke $ x = a $.
2. Funkcia $ \ varphi \ left (x \ right) $ dosahuje svoje maximum pri $ x = a $, zatiaľ čo $ \ varphi \ left (a \ right) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma ) e ^ (\ frac (- ((aa)) ^ 2) (2 (\ sigma) ^ 2)) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) $
3. Funkcia $ \ varphi \ left (x \ right) $ klesá, pre $ x> a $, a zvyšuje sa, pre $ x
4. Funkcia $ \ varphi \ left (x \ right) $ má inflexné body na $ x = a + \ sigma $ a $ x = a- \ sigma $.
5. Funkcia $ \ varphi \ left (x \ right) $ sa asymptoticky blíži k osi $ Ox $ ako $ x \ to \ pm \ infty $.
6. Schematický graf vyzerá takto (obr. 1).

Obrázok 1. Obr. 1. Graf hustoty normálneho rozdelenia

Všimnite si toho, že ak $ a = 0 $, potom je graf funkcie symetrický k osi $ Oy $. Preto je funkcia $ \ varphi \ left (x \ right) $ rovnomerná.

Normálna distribučná funkcia.

Na nájdenie funkcie rozdelenia pravdepodobnosti pre normálne rozdelenie používame nasledujúci vzorec:

Preto,

Definícia 2

Funkcia $ F (x) $ sa nazýva štandardná normálna distribúcia, ak $ a = 0, \ \ sigma = 1 $, to znamená:

Tu $ Ф \ left (x \ right) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits ^ x_0 (e ^ (\ frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ je funkcia Laplace.

Definícia 3

Funkcia $ Ф \ left (x \ right) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits ^ x_0 (e ^ (\ frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ sa nazýva integrál pravdepodobnosti.

Numerické charakteristiky normálneho rozdelenia.

Očakávanie: $ M \ vľavo (X \ vpravo) = a $.

Rozdiel: $ D \ vľavo (X \ vpravo) = (\ sigma) ^ 2 $.

Stredná štvorcová distribúcia: $ \ sigma \ vľavo (X \ vpravo) = \ sigma $.

Príklad 1

Príklad riešenia problému na koncepte normálneho rozdelenia.

Problém 1: Dĺžka cesty $ X $ je náhodná spojitá premenná. $ X $ je distribuovaný podľa zákona o normálnej distribúcii, ktorého priemerná hodnota je 4 $ $ kilometrov a štandardná odchýlka je 100 $ $ metrov.

1. Nájdite funkciu hustoty distribúcie $ X $.
2. Nakreslite schematický graf hustoty distribúcie.
3. Nájdite distribučnú funkciu náhodnej premennej $ X $.
4. Nájdite odchýlku.

1. Na začiatok si predstavme všetky veličiny v jednom rozmere: 100 m = 0,1 km

Z definície 1 dostaneme:

\ [\ varphi \ left (x \ right) = \ frac (1) (0,1 \ sqrt (2 \ pi)) e ^ (\ frac (- ((x-4)) ^ 2) (0,02 )) \]

(pretože $ a = 4 \ km, \ \ sigma = 0,1 \ km) $

1. Použitím vlastností funkcie distribučnej hustoty máme, že graf funkcie $ \ varphi \ left (x \ right) $ je symetrický vzhľadom na priamku $ x = 4 $.

Funkcia dosahuje svoje maximum v bode $ \ left (a, \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) \ right) = (4, \ \ frac (1) (0,1 \ sqrt ( 2 \ pi))) $

Schematický graf vyzerá takto:

Obrázok 2.

1. Podľa definície distribučnej funkcie $ F \ left (x \ right) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sigma) \ int \ limits ^ x _ (- \ infty) (e ^ (\ frac (- ((ta)) ^ 2) (2 (\ sigma) ^ 2)) dt) $, máme:

\

1. $ D \ vľavo (X \ vpravo) = (\ sigma) ^ 2 = 0,01 $.

Náhodná premenná sa nazýva rozdelené podľa normálneho (gaussovského) zákona s parametrami a a () , ak hustota rozdelenia pravdepodobnosti má formu

Veličina rozdelená podľa normálneho zákona má vždy nekonečný počet možných hodnôt, preto je vhodné ju graficky znázorniť pomocou grafu distribučnej hustoty. Podľa vzorca

pravdepodobnosť, že náhodná premenná prevezme hodnotu z intervalu, sa rovná oblasti pod grafom funkcie v tomto intervale (geometrický význam definitívny integrál). Uvažovaná funkcia nie je záporná a spojitá. Graf funkcie má tvar zvona a nazýva sa Gaussova krivka alebo normálna krivka.

Obrázok ukazuje niekoľko kriviek distribučnej hustoty náhodných veličín uvedených podľa normálneho zákona.

Všetky krivky majú jeden bod maximum, pričom vzdialenosť, od ktorej doprava a doľava, sa krivky zmenšujú. Maximum je dosiahnuté pri a je rovné.

Krivky sú symetrické okolo zvislej čiary vedenej najvyšším bodom. Plocha subploty každej krivky je 1.

Rozdiel medzi jednotlivými distribučnými krivkami spočíva iba v tom, že celková plocha podgrafu, ktorá je pre všetky krivky rovnaká, je rozlične rozdelená medzi rôzne sekcie. Hlavná časť oblasti subploty akejkoľvek krivky je sústredená v bezprostrednej blízkosti najpravdepodobnejšej hodnoty a táto hodnota je pre všetky tri krivky odlišná. O rôzne významy a a sú získané rôzne normálne zákony a rôzne grafy hustoty distribučnej funkcie.

Teoretické štúdie ukázali, že väčšina náhodných premenných, s ktorými sa stretávame v praxi, má normálne rozdelenie. Podľa tohto zákona je distribuovaná rýchlosť molekúl plynu, hmotnosť novorodencov, veľkosť oblečenia a obuvi obyvateľstva krajiny a mnoho ďalších. náhodné udalosti fyzickú a biologickú povahu. Tento vzorec si ako prvý všimol a teoreticky podložil A. Moivre.

Funkcia sa totiž zhoduje s funkciou, o ktorej sa už diskutovalo v miestnej limitnej vete Moivre - Laplace. Hustota pravdepodobnosti normálneho rozdelenia je jednoduchá vyjadrené v zmysle:

Pre takéto hodnoty parametrov sa nazýva normálny zákon hlavný .

Distribučná funkcia pre normalizovanú hustotu sa nazýva Laplaceova funkcia a označil Φ (x)... Túto funkciu sme už tiež videli.

Laplaceova funkcia je nezávislá na konkrétnych parametroch a a σ. Pre funkciu Laplace pomocou približných integračných metód tabuľky hodnôt v intervale s rôzneho stupňa presnosť. Laplaceova funkcia je zjavne nepárna, preto pre záporné hodnoty nie je potrebné uvádzať jej hodnoty v tabuľke.

Pre náhodnú veličinu distribuovanú podľa normálneho zákona s parametrami a a matematické očakávania a odchýlky sa vypočítajú podľa vzorcov:,. Stredná štvorcová odchýlka sa rovná.

Pravdepodobnosť, že normálne rozdelené množstvo prevezme hodnotu z intervalu, je rovná

kde je Laplaceova funkcia zavedená v integrálnej limitnej vete.

Pri problémoch sa často vyžaduje vypočítať pravdepodobnosť odchýlky normálne rozloženej náhodnej premennej X jeho matematického očakávania v absolútnej hodnote nepresahuje určitú hodnotu, t.j. vypočítať pravdepodobnosť. Pri použití vzorca (19.2) máme:

Na záver uvádzame jeden dôležitý dôsledok vzorca (19.3). Vložme tento vzorec. Potom, t.j. pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky X z jeho matematického očakávania nepresahuje, rovná sa 99,73%. V praxi možno takúto udalosť považovať za spoľahlivú. Toto je podstata pravidla troch sigm.

Pravidlo troch sigm. Ak je náhodná veličina normálne rozdelená, potom absolútna hodnota jej odchýlky od matematického očakávania prakticky neprekročí trojnásobok štandardnej odchýlky.

Definícia. Normálne sa nazýva distribúcia pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny, ktorá je opísaná hustotou pravdepodobnosti

Nazýva sa aj normálny distribučný zákon Gaussov zákon.

Normálny distribučný zákon je ústredným bodom teórie pravdepodobnosti. Dôvodom je skutočnosť, že tento zákon sa prejavuje vo všetkých prípadoch, keď je náhodná premenná výsledkom veľkého počtu rôznych faktorov. Všetky ostatné zákony o distribúcii sa riadia normálnym zákonom.

Je ľahké ukázať, že parametre a , sú v hustote distribúcie zahrnuté matematické očakávania a štandardná odchýlka náhodnej premennej NS.

Nájdite distribučnú funkciu F(X) .

Graf normálnej hustoty distribúcie sa nazýva normálna krivka alebo Gaussova krivka.

Normálna krivka má nasledujúce vlastnosti:

1) Funkcia je definovaná na celej číselnej osi.

2) Pre všetkých NS distribučná funkcia má iba kladné hodnoty.

3) Os OX je horizontálna asymptota grafu hustoty pravdepodobnosti, pretože s neobmedzeným nárastom absolútnej hodnoty argumentu NS, hodnota funkcie má tendenciu k nule.

4) Nájdite extrém funkcie.

Pretože o r’ > 0 o X < m a r’ < 0 o X > m, potom v bode x = t funkcia má maximum rovné
.

5) Funkcia je symetrická podľa priamky x = a od rozdiel

(x - a) je súčasťou funkcie štvorcovej hustoty.

6) Aby sme našli inflexné body grafu, nájdeme druhú deriváciu funkcie hustoty.

O X = m+  a X = m-  druhá derivácia sa rovná nule a pri prechode týmito bodmi mení znamienko, t.j. funkcia má v týchto bodoch sklon.

V týchto bodoch je hodnota funkcie
.

Zostavme graf funkcie hustoty distribúcie (obr. 5).

Grafy pre T= 0 a tri možné hodnoty štandardnej odchýlky  = 1,  = 2 a  = 7. Ako vidíte, so zvýšením hodnoty štandardnej odchýlky sa graf stane plochejším a maximálna hodnota sa zníži. .

Ak a> 0, potom sa graf posunie v pozitívnom smere, ak a < 0 – в отрицательном.

O a= 0 a  = 1, krivka sa nazýva normalizovaný... Normalizovaná rovnica krivky:

Laplaceova funkcia

Nájdeme pravdepodobnosť, že náhodná premenná, rozdelená podľa normálneho zákona, spadne do daného intervalu.

Označujeme

Pretože integrálne
Ak nie je vyjadrená elementárnymi funkciami, potom je funkcia zohľadnená

,

ktorá sa volá Laplaceova funkcia alebo integrál pravdepodobností.

Hodnoty tejto funkcie sú pri rôznych hodnotách NS vypočítané a uvedené v špeciálnych tabuľkách.

Na obr. 6 ukazuje graf Laplaceovej funkcie.

Laplaceova funkcia má nasledujúce vlastnosti:

1) F (0) = 0;

2) F (-x) = - F (x);

3) F ( ) = 1.

Nazýva sa aj funkcia Laplace chybová funkcia a označte erf X.

Stále v prevádzke normalizovaný Laplaceova funkcia, ktorá súvisí s Laplaceovou funkciou vzťahom:

Na obr. 7 ukazuje graf normalizovanej Laplaceovej funkcie.

NS Pravidlo troch sigma

Pri zvažovaní zákona o normálnej distribúcii je zvýraznený dôležitý špeciálny prípad, známy ako pravidlo troch sigma.

Opíšeme pravdepodobnosť, že odchýlka normálne rozloženej náhodnej veličiny od matematického očakávania je menšia ako daná hodnota :

Ak vezmeme  = 3, potom získame pomocou tabuliek hodnôt funkcie Laplace:

Títo. pravdepodobnosť, že sa náhodná veličina odchýli od svojho matematického očakávania viac ako trojnásobkom štandardnej odchýlky, je prakticky nulová.

Toto pravidlo sa nazýva pravidlo troch sigma.

V praxi sa verí, že ak je nejaká náhodná premenná splnená pravidlo troch sigma, potom má táto náhodná premenná normálne rozdelenie.

Záver z prednášky:

V prednáške sme skúmali zákony distribúcie spojitých veličín.V rámci prípravy na následnú prednášku a praktické cvičenia musíte samostatne doplniť svoje prednášky o hĺbkové štúdium odporúčanej literatúry a riešenie navrhovaných problémov.

Normálna distribúcia je najbežnejším typom distribúcie. Musí sa s ním stretnúť pri analýze chýb merania, kontrole technologických procesov a režimov, ako aj pri analýze a predpovedaní rôznych javov v biológii, medicíne a ďalších oblastiach znalostí.

Termín „normálna distribúcia“ sa používa v konvenčnom zmysle, ako je v literatúre všeobecne akceptovaný, aj keď nie celkom úspešný. Vyhlásenie, že niektorá vlastnosť sa riadi normálnym distribučným zákonom, však vôbec neznamená prítomnosť akýchkoľvek neotrasiteľných noriem, ktoré údajne zakladajú fenomén, ktorého odrazom je príslušná vlastnosť, a poslušnosť iným distribučným zákonom neznamená žiadnu abnormalitu tohto javu.

Hlavnou črtou normálnej distribúcie je, že je obmedzujúca a ku ktorej pristupujú ostatné distribúcie. Normálne rozdelenie prvýkrát objavil Moivre v roku 1733. Iba spojité náhodné veličiny sa riadia normálnym zákonom. Hustota zákona o normálnom rozdelení má formu.

Matematické očakávania pre normálne rozdelenie sú rovnaké. Rozptyl je rovnaký.

Základné vlastnosti normálneho rozdelenia.

1. Funkcia hustoty rozdelenia je definovaná na celej číselnej osi Oh , to znamená, že každá hodnota NS zodpovedá dobre definovanej hodnote funkcie.

2. Pre všetky hodnoty NS (kladná aj záporná) funkcia hustoty nadobúda kladné hodnoty, to znamená, že normálna krivka sa nachádza nad osou Oh .

3. Limit funkcie hustoty s neobmedzeným nárastom NS je nula ,.

4. Funkcia normálnej distribučnej hustoty v bode má maximum.

5. Graf funkcie hustoty je symetrický k priamke.

6. Distribučná krivka má dva inflexné body so súradnicami a.

7. Režim a medián normálneho rozdelenia sa zhodujú s matematickým očakávaním a .

8. Tvar normálnej krivky sa pri zmene parametra nemení a .

9. Koeficienty šikmosti a hrotu normálneho rozdelenia sa rovnajú nule.

Význam výpočtu týchto koeficientov pre empirické distribučné rady je zrejmý, pretože charakterizujú sklon a strmosť danej série v porovnaní s normálnym.

Pravdepodobnosť dosiahnutia intervalu je stanovená vzorcom, kde je nepárna tabuľková funkcia.

Určme pravdepodobnosť, že sa normálne rozložená náhodná premenná odchyľuje od svojho matematického očakávania o hodnotu menšiu, to znamená, že nájdeme pravdepodobnosť nerovnosti alebo pravdepodobnosť dvojnásobnej nerovnosti. Nahradením vzorca dostaneme

Vyjadrenie odchýlky náhodnej premennej NS v zlomkoch štandardnej odchýlky, to znamená, že uvedením poslednej rovnosti dostaneme.

Potom dostaneme,

keď dostaneme

keď dostaneme.

Z poslednej nerovnosti vyplýva, že prakticky je v časti obsiahnutý rozptyl normálne rozloženej náhodnej premennej. Pravdepodobnosť, že na túto oblasť nespadne náhodná premenná, je veľmi malá, konkrétne 0,0027, to znamená, že k tejto udalosti môže dôjsť iba v troch prípadoch z 1000. Takéto udalosti je možné považovať za prakticky nemožné. Vyššie uvedené odôvodnenie je založené na pravidlo troch sigma, ktorý je formulovaný nasledovne: ak má náhodná premenná normálne rozdelenie, potom odchýlka tejto hodnoty od matematického očakávania v absolútnej hodnote nepresiahne trojnásobok štandardnej odchýlky.

Príklad 28. Časť vyrobená automatickým strojom sa považuje za vhodnú, ak odchýlka jej kontrolovanej veľkosti od konštrukčnej veľkosti nepresahuje 10 mm. Náhodné odchýlky riadenej veľkosti od konštrukčnej veľkosti podliehajú zákonu normálnej distribúcie so štandardnou odchýlkou ​​mm a matematickým očakávaním. Aké percento použiteľných dielov stroj vyrobí?

Riešenie. Zvážte náhodnú premennú NS - odchýlka veľkosti od dizajnu. Časť sa bude považovať za dobrú, ak náhodná hodnota patrí do intervalu. Podľa vzorca nájdeme pravdepodobnosť výroby vhodnej súčiastky. V dôsledku toho je percento dobrých dielov vyrobených automatom 95,44%.

Binomická distribúcia

Binomické je rozdelenie pravdepodobnosti výskytu m počet udalostí v NS nezávislé testy, v každom z nich je pravdepodobnosť výskytu udalosti konštantná a rovná sa R. ... Pravdepodobnosť možného počtu výskytov udalosti sa vypočíta podľa Bernoulliho vzorca :,

kde . Trvalý NS a R. , zahrnuté v tomto výraze, sú parametre binomického zákona. Binomické rozdelenie popisuje rozdelenie pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Základné numerické charakteristiky binomického rozdelenia. Matematické očakávania sú rovnaké. Rozptyl je rovnaký. Koeficienty šikmosti a kurtózy sú rovné a. S neobmedzeným nárastom počtu testov A a E majú tendenciu k nule, preto môžeme predpokladať, že binomická distribúcia konverguje k normálu s rastúcim počtom pokusov.

Príklad 29. Vykonávajú sa nezávislé testy s rovnakou pravdepodobnosťou výskytu udalosti A v každom procese. Zistite pravdepodobnosť výskytu udalosti A v jednom pokuse, ak je odchýlka v počte výskytov v troch pokusoch 0,63.

Riešenie. Na binomickú distribúciu. Nahraďte hodnoty, získajte odtiaľto alebo potom a.

Poissonova distribúcia

Distribučný zákon zriedkavých javov

Poissonova distribúcia popisuje počet udalostí m vyskytujúce sa v rovnakých časových intervaloch za predpokladu, že udalosti nastanú nezávisle na sebe s konštantnou priemernou intenzitou. Okrem toho počet testov NS je vysoká a pravdepodobnosť výskytu udalosti v každom teste R. malý. Poissonova distribúcia sa preto nazýva zákon vzácnych javov alebo najjednoduchší tok. Parameter Poissonovej distribúcie je veličina charakterizujúca intenzitu výskytu udalostí v NS testy. Poissonov distribučný vzorec.

Poissonova distribúcia dobre popisuje počet nárokov na platbu poistných súm za rok, počet hovorov prijatých na telefónnu ústredňu za určitý čas, počet porúch prvkov počas testu spoľahlivosti, počet chybných produktov a tak ďalej.

Základné numerické charakteristiky Poissonovej distribúcie. Matematické očakávanie sa rovná rozptylu a je rovné a ... To je. Toto je charakteristický znak tejto distribúcie. Koeficienty šikmosti a kurtózy sú rovnaké.

Príklad 30. Priemerný počet poistných platieb za deň sú dve. Zistite pravdepodobnosť, že do piatich dní budete musieť zaplatiť: 1) 6 poistných súm; 2) menej ako šesť čiastok; 3) najmenej šesť. Distribúcia.

Toto rozdelenie sa často pozoruje pri skúmaní životnosti rôznych zariadení, doby prevádzky jednotlivých prvkov, častí systému a systému ako celku, keď sa zvažujú náhodné časové intervaly medzi výskytom dvoch po sebe nasledujúcich zriedkavých udalostí.

Hustota exponenciálnej distribúcie je určená parametrom tzv poruchovosť... Tento termín je spojený so špecifickou oblasťou aplikácie - teóriou spoľahlivosti.

Výraz pre integrálnu funkciu exponenciálneho rozdelenia možno nájsť pomocou vlastností diferenciálnej funkcie:

Exponenciálne rozdelenie, rozptyl, štandardná odchýlka. Toto rozdelenie je teda charakterizované skutočnosťou, že štandardná odchýlka je číselne rovná matematické očakávanie... Pre akúkoľvek hodnotu parametra sú koeficienty asymetrie a kurtózy konštantné hodnoty.

Príklad 31. Priemerný čas prevádzky televízora pred prvým zlyhaním je 500 hodín. Zistite pravdepodobnosť, že náhodne nasnímaný televízor bude fungovať viac ako 1 000 hodín bez porúch.

Riešenie. Pretože priemerný prevádzkový čas do prvej poruchy je 500, potom. Požadovanú pravdepodobnosť nájdeme podľa vzorca.

V teórii pravdepodobnosti sa zvažuje pomerne veľký počet rôznych distribučných zákonov. Na riešenie problémov spojených s konštrukciou kontrolných diagramov je zaujímavých iba niekoľko z nich. Najdôležitejším z nich je normálne rozdelenie, ktorý sa používa na zostavenie riadiacich tabuliek používaných v kvantitatívna kontrola, t.j. keď máme do činenia so spojitou náhodnou premennou. Normálny distribučný zákon zaujíma osobitné postavenie medzi ostatnými distribučnými zákonmi. Vysvetľuje to skutočnosť, že po prvé sa s nimi najčastejšie stretáva v praxi a za druhé je to obmedzujúci zákon, ku ktorému pristupujú ostatné distribučné zákony za veľmi častých typických podmienok. Pokiaľ ide o druhú okolnosť, v teórii pravdepodobnosti bolo dokázané, že súčet dostatočne veľkého počtu nezávislých (alebo slabo závislých) náhodných premenných, ktoré podliehajú akýmkoľvek distribučným zákonom (s určitými veľmi voľnými obmedzeniami), približne dodržiava normálny zákon. , a to sa robí tým presnejšie, čím viac je pridaných náhodných premenných. Väčšinu náhodných premenných, s ktorými sa v praxi stretávame, ako sú chyby merania, možno vyjadriť ako súčet veľmi veľkého počtu relatívne malých pojmov - elementárnych chýb, z ktorých každá je spôsobená pôsobením samostatnej príčiny, nezávislej na ostatných . Normálny zákon sa prejavuje v prípadoch, keď náhodná premenná NS je výsledkom veľkého počtu rôznych faktorov. Každý faktor zvlášť podľa hodnoty NS ovplyvňuje bezvýznamne a nie je možné naznačiť, ktorý z nich ovplyvňuje viac ako ostatné.

Normálne rozdelenie(Laplaceova - Gaussova distribúcia) Je rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny NS taká, že hustota rozdelenia pravdepodobnosti pri - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

Exp (3)

To znamená, že normálne rozdelenie je charakterizované dvoma parametrami m a s, kde m je matematické očakávanie; s je štandardná odchýlka normálneho rozdelenia.

Množstvo s 2 Je odchýlka od normálneho rozdelenia.

Matematické očakávanie m charakterizuje polohu distribučného centra a štandardná odchýlka s (RMS) je charakteristická pre disperziu (obr. 3).

f (x) f (x)

Obrázok 3 - Hustotné funkcie normálneho rozdelenia s:

a) rôzne matematické očakávania m; b) rôzne štandardné odchýlky s.

Teda hodnota μ je určená polohou distribučnej krivky na osi x. Rozmer μ - rovnaké ako rozmer náhodnej premennej X... S nárastom matematického očakávania sú obe funkcie posunuté paralelne doprava. S klesajúcim rozptylom s 2 hustota sa stále viac koncentruje okolo m, zatiaľ čo distribučná funkcia je strmšia.

Hodnota σ určuje tvar distribučnej krivky. Pretože oblasť pod distribučnou krivkou musí vždy zostať rovnaká ako jedna, distribučná krivka sa s rastúcim σ stáva plochejšou. Na obr. 3.1 ukazuje tri krivky pre rôzne σ: σ1 = 0,5; σ2 = 1,0; σ3 = 2,0.

Obrázok 3.1 - Hustotné funkcie normálneho rozdelenia pomocou rôzne štandardné odchýlky s.

Distribučná funkcia (integrálna funkcia) má tvar (obr. 4):

(4)

Obrázok 4 - Integrálne (a) a diferenciálne (b) funkcie normálneho rozdelenia

Zvlášť dôležitá je lineárna transformácia normálne rozloženej náhodnej premennej NS, po ktorom sa získa náhodná premenná Z s matematickým očakávaním 0 a rozptylom 1. Takáto transformácia sa nazýva normalizácia:

Môžete to urobiť pre každú náhodnú premennú. Normalizácia umožňuje redukovať všetky možné varianty normálneho rozdelenia na jeden prípad: m = 0, s = 1.

Nazýva sa normálne rozdelenie s m = 0, s = 1 normalizované normálne rozdelenie (štandardizované).

Štandardná normálna distribúcia(štandardné Laplaceovo - Gaussovo rozdelenie alebo normalizované normálne rozdelenie) je rozdelenie pravdepodobnosti štandardizovanej normálnej náhodnej premennej Z, ktorého hustota distribúcie je rovná:

o - ¥<z< + ¥

Funkčné hodnoty Ф (z) určené vzorcom:

(7)

Funkčné hodnoty Ф (z) a hustota f (z) normalizované normálne rozdelenie vypočítané a tabuľkové (tabuľkové). Tabuľka je zostavená iba pre kladné hodnoty. z preto:

F (–z) = 1–Ф (z) (8)

Pomocou týchto tabuliek je možné určiť nielen hodnoty funkcie a hustotu normalizovaného normálneho rozdelenia pre danú z, ale aj hodnoty funkcie všeobecného normálneho rozdelenia, pretože:

; (9)

. 10)

Pri mnohých problémoch spojených s normálne distribuovanými náhodnými premennými je potrebné určiť pravdepodobnosť trafenia náhodnej premennej NS, podliehajúci normálnemu zákonu s parametrami m a s, do určitej sekcie. Takýmto úsekom môže byť napríklad pole tolerancie pre parameter z hornej hodnoty U až na dno L.

Pravdepodobnosť dosiahnutia intervalu od NS 1 až NS 2 možno určiť podľa vzorca:

Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej (hodnota parametra) NS v poli tolerancie je určený vzorcom