Nájdite funkciu hustoty pravdepodobnosti náhodnej premennej. Hustota rozdelenia pravdepodobnosti. Príklady Poissonových náhodných premenných

Očakávaná hodnota

Rozptyl spojitá náhodná premenná X, ktorej možné hodnoty patria k celej osi Ox, je určená rovnosťou:

Účel služby... Online kalkulačka je navrhnutá na riešenie problémov, v ktorých hustota distribúcie f (x) alebo distribučná funkcia F (x) (pozri príklad). Zvyčajne v takýchto úlohách musíte nájsť matematické očakávanie, štandardná odchýlka, zostavenie grafov funkcií f (x) a F (x).

Pokyn. Vyberte typ zdrojových údajov: distribúcia hustoty f (x) alebo distribučná funkcia F (x).

Distribučná hustota f (x) je daná:

Distribučná funkcia F (x) je daná:

Spojitá náhodná premenná je daná hustotou pravdepodobnosti
(Rayleighov distribučný zákon - používaný v rádiotechnike). Nájdite M (x), D (x).

Náhodná premenná X sa volá nepretržitý ak jeho distribučná funkcia F (X) \u003d P (X< x) непрерывна и имеет производную.
Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej sa používa na výpočet pravdepodobností zasiahnutia náhodnej premennej v danom intervale:
P (α< X < β)=F(β) - F(α)
a pre spojitú náhodnú premennú nezáleží na tom, či sú jej hranice zahrnuté v tomto intervale alebo nie:
P (α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Hustota distribúcie spojitá náhodná premenná sa nazýva funkcia
f (x) \u003d F ’(x), derivácia distribučnej funkcie.

Vlastnosti distribučnej hustoty

1. Hustota distribúcie náhodnej premennej je nezáporná (f (x) ≥ 0) pre všetky hodnoty x.
2. Normalizačný stav:

Geometrický význam podmienky normalizácie: plocha pod krivkou distribučnej hustoty sa rovná jednej.
3. Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej X v intervale od α do β sa dá vypočítať podľa vzorca

Geometricky sa pravdepodobnosť spojitej náhodnej premennej X spadajúcej do intervalu (α, β) rovná ploche krivočiarych lichobežníkov pod krivkou distribučnej hustoty na základe tohto intervalu.
4. Distribučná funkcia je vyjadrená v podmienkach hustoty takto:

Hodnota hustoty rozdelenia v bode x sa nerovná pravdepodobnosti prijatia tejto hodnoty, pre spojitú náhodnú premennú môžeme hovoriť iba o pravdepodobnosti pádu do daného intervalu. Nech má hustota pravdepodobnosti tvar:

Matematické očakávanie a rozptyl rovnomerne rozloženej náhodnej premennej sú určené výrazmi

3.8. Náhodná hodnota X distribuované rovnomerne v danom segmente. Nájdite distribučnú funkciu F(x), matematické očakávanie, rozptyl a štandardná odchýlka hodnoty.

Rozhodnutie... Hustota pravdepodobnosti pre množstvo X vyzerá ako:

Preto je distribučná funkcia vypočítaná podľa vzorca:

,

bude napísané takto:

Matematické očakávanie bude M x \u003d (1 + 6) / 2 \u003d 3,5. Nájdite rozptyl a štandardnú odchýlku:

D x = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Normálne rozdelenie

Náhodná hodnota X distribuované cez normálny zákon, ak má funkcia rozdelenia pravdepodobnosti tvar:

kde M x - očakávaná hodnota;

Je štandardná odchýlka.

Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej do intervalu ( a, b) sa nachádza podľa vzorca

R(a < X < b) \u003d Ф - Ф \u003d Ф ( z 2) - Ф ( z 1), (5)

kde Ф ( z) \u003d Je funkcia Laplace.

Hodnoty Laplaceovej funkcie pre rôzne významy z sú uvedené v dodatku 2.

3.9. Matematické očakávanie normálne rozdelenej náhodnej premennej X rovnako M x \u003d 5, odchýlka je D x \u003d 9. Napíšte výraz pre hustotu pravdepodobnosti.

3.10. Matematické očakávanie a štandardná odchýlka normálne rozdelenej náhodnej premennej X sa rovnajú 12 a 2. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná hodnota bude mať hodnotu uzavretú v intervale (14; 16).

Rozhodnutie... Použijeme vzorec (21.2), ktorý berieme do úvahy M x = 12, = 2:

R(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

Podľa tabuľky hodnôt Laplaceovej funkcie nájdeme Ф (1) \u003d 0,3413, Ф (2) \u003d 0,4772. Po substitúcii dostaneme hodnotu požadovanej pravdepodobnosti:

R(14 <X < 16) = 0,1359.

3.11. Existuje náhodná premenná X, rozdelené podľa normálneho zákona, ktorého matematické očakávanie je rovné 20, štandardná odchýlka sa rovná 3. Nájdite interval symetrický vzhľadom na matematické očakávanie, v ktorom s pravdepodobnosťou r \u003d 0,9972 získa náhodnú premennú.

Rozhodnutie... Ako R(x 1 < X < x 2) = r \u003d 2Ф (( x 2 – M x) /), potom Ф ( z) = r/ 2 \u003d 0,4986. Pomocou tabuľky funkcií Laplaceovej nájdeme hodnotu zzodpovedajúca získanej hodnote funkcie Ф ( z) = 0,4986: z \u003d 2,98. Vzhľadom na skutočnosť, že z = (x 2 – M x) /, definujeme \u003d x 2 – M x = z \u003d 3,98 \u003d 8,94. Požadovaný interval bude vyzerať (11.06; 28,94).

Berme to do úvahy f(x) = F "(x). Potom dostaneme:

Nahraďte vo výraze matematické očakávanie

.

Integráciou po častiach získavame M x \u003d 1 /, príp M x = 1/0,1.

Aby sme určili odchýlku, integrujeme prvý člen po častiach. Vo výsledku dostaneme:

.

Zoberme do úvahy nájdený výraz pre M x... Odkiaľ

.

V tomto prípade M x = 10, D x = 100.

SYSTÉMY NÁHODNEJ HODNOTY

Výsledok ľubovoľného náhodného experimentu možno charakterizovať kvalitatívne a kvantitatívne. Kvalita výsledok náhodného experimentu - náhodné udalosť... akýkoľvek kvantitatívna charakteristika, ktoré môžu v dôsledku náhodného experimentu nabrať jednu z množiny hodnôt, - náhodná hodnota.Náhodná hodnota je jedným z ústredných konceptov teórie pravdepodobnosti.

Dovoliť je ľubovoľný priestor pravdepodobnosti. Náhodná hodnotasa nazýva reálna numerická funkcia x \u003d x (w), w W, taká, že pre každú reálnu x .

Udalosť je zvykom písať vo forme x< x... Nasledujúce náhodné premenné budú označené malými gréckymi písmenami x, h, z, ...

Náhodná hodnota je počet vyhodených bodov pri hode kockou alebo výška študenta náhodne vybraného zo študijnej skupiny. V prvom prípade máme do činenia s diskrétne náhodná premenná (preberá hodnoty z diskrétnej množiny čísel M \u003d(1, 2, 3, 4, 5, 6); v druhom prípade - s nepretržitý náhodná premenná (preberá hodnoty z množiny spojitých čísel - z intervalu číselného radu Ja=).

Každá náhodná premenná je úplne určená svojou vlastnou distribučná funkcia.

Ak x je náhodná premenná, potom funkcia F(x) = F x(x) = P(X< x) sa volá distribučná funkcianáhodná premenná x. Tu P(X< X) je pravdepodobnosť, že náhodná premenná x nadobudne hodnotu menšiu ako x.

Je dôležité pochopiť, že distribučná funkcia je „pasom“ náhodnej premennej: obsahuje všetky informácie o náhodnej premennej, a preto štúdium náhodnej premennej spočíva v štúdiu jej distribučné funkcie,často označované jednoducho distribúcia.

Distribučná funkcia ľubovoľnej náhodnej premennej má nasledujúce vlastnosti:

Ak x je diskrétna náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty x 1 < X 2 < … < x i < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < p i < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	x i	…
p 1	p 2	…	p i	…

zavolal rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej.

Distribučná funkcia náhodnej premennej s takýmto rozdelením má tvar

Diskrétna náhodná premenná má funkciu skokového rozdelenia. Napríklad pre náhodný počet bodov zhodených o jeden hod kockou je distribúcia, distribučná funkcia a graf distribučnej funkcie nasledovné:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Ak je funkcia distribúcie F x(x) je spojité, potom sa zavolá náhodná premenná x spojitá náhodná premenná.

Ak je distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej diferencovateľný, potom bude jasnejšia predstava o náhodnej premennej daná hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej p x(x), čo súvisí s distribučnou funkciou F x(x) podľa vzorcov

a .

Z toho teda zvlášť vyplýva, že pre každú náhodnú premennú.

Pri riešení praktických problémov je často potrebné nájsť hodnotu xpre ktoré distribučná funkcia F x(x) náhodnej premennej x nadobúda danú hodnotu p, t.j. treba riesit rovnicu F x(x) = p... Riešenie tejto rovnice (zodpovedajúce hodnoty x) sa v teórii pravdepodobnosti nazývajú kvantily.

Kvantil x p ( p-kvantilný, úrovňový kvantil p) náhodná premenná majúca distribučnú funkciu F x(x), zavolajte riešenie x strrovnice F x(x) = p, p(0, 1). Pre niektoré p rovnica F x(x) = p môže mať niekoľko riešení, pre niekoho - žiadne. To znamená, že pre zodpovedajúcu náhodnú premennú nie sú niektoré kvantily jednoznačne definované a niektoré kvantily neexistujú.

Uvádzajú sa definície distribučnej funkcie náhodnej premennej a hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Tieto koncepty sa aktívne používajú v článkoch o štatistikách stránok. Zvažované príklady výpočtu distribučnej funkcie a hustoty pravdepodobnosti pomocou funkcií MS EXCEL.

Poďme si predstaviť základné pojmy štatistiky, bez ktorých nie je možné vysvetliť zložitejšie pojmy.

Všeobecná populácia a náhodná premenná

Nechaj nás bežná populácia (populácia) N objektov, z ktorých každý má určitú hodnotu nejakej číselnej charakteristiky X.

Príkladom bežnej populácie (HS) môže byť sada závaží rovnakého typu dielov, ktoré sú vyrábané strojom.

Keďže v matematickej štatistike sa akýkoľvek záver robí iba na základe charakteristiky X (abstrahovanie od samotných objektov), \u200b\u200bpotom z tohto hľadiska bežná populácia predstavuje N čísel, medzi ktorými vo všeobecnom prípade môžu byť rovnaké.

V našom príklade je GS jednoducho numerické pole hmotností súčiastok. X je hmotnosť jednej z častí.

Ak z daného HS náhodne vyberieme jeden objekt s charakteristikou X, potom je hodnota X náhodná premenná... Podľa definície akýkoľvek náhodná hodnota Má distribučná funkcia, ktorá sa zvyčajne označuje F (x).

Distribučná funkcia

Distribučná funkcia pravdepodobnosti náhodná premenná X sa nazýva funkcia F (x), ktorej hodnota v bode x sa rovná pravdepodobnosti udalosti X

F (x) \u003d P (X

Vysvetlíme si to na príklade nášho stroja. Aj keď sa predpokladá, že náš stroj bude vyrábať iba jeden typ dielov, je zrejmé, že hmotnosť vyrobených dielov sa od seba bude mierne líšiť. To je možné vďaka skutočnosti, že pri výrobe sa dajú použiť rôzne materiály a tiež sa môžu mierne líšiť podmienky spracovania atď. Nechajte najťažšiu časť vyrobenú strojom vážiť 200 g a najľahšiu - 190 g. vybraná časť X bude vážiť menej ako 200 g je 1. Pravdepodobnosť, že bude vážiť menej ako 190 g, je 0. Stredné hodnoty sú určené formou funkcie Distribúcia. Napríklad, ak je nastavený postup na výrobu 195 g dielov, je rozumné predpokladať, že pravdepodobnosť výberu dielu ľahšieho ako 195 g je 0,5.

Typický graf Distribučné funkcie spojitá náhodná premenná je znázornená na obrázku nižšie (fialová krivka, pozri príklad súboru):

V pomocníkovi MS EXCEL Distribučná funkcia zavolal Integrálne distribučná funkcia (KumulatívneDistribúciaFunkcia, CDF).

Tu sú niektoré vlastnosti Distribučné funkcie:

• Distribučná funkcia F (x) zmeny v intervale, pretože jeho hodnoty sa rovnajú pravdepodobnostiam zodpovedajúcich udalostí (podľa definície môže byť pravdepodobnosť v rozmedzí od 0 do 1);
• Distribučná funkcia- neklesajúca funkcia;
• Pravdepodobnosť, že náhodná premenná získala hodnotu z určitého rozsahu hustota pravdepodobnosti sa rovná 1 / (0,5-0) \u003d 2. A pre s parametrom lambda\u003d 5, hodnota hustota pravdepodobnostiv bode x \u003d 0,05 je 3,894. Zároveň sa však môžete ubezpečiť, že pravdepodobnosť v ľubovoľnom intervale bude ako obvykle od 0 do 1.

  Pripomeňme si to hustota distribúcieje odvodené z distribučné funkcie, t.j. „Rýchlosťou“ jeho zmeny: p (x) \u003d (F (x2) -F (x1)) / Dx, keď Dx má tendenciu k 0, kde Dx \u003d x2-x1. Tých. Skutočnosť, že hustota distribúcie \u003e 1 znamená iba to, že distribučná funkcia rastie dostatočne rýchlo (je to zrejmé z príkladu).

  Poznámka: Oblasť úplne ohraničená celou predstavovanou krivkou hustota distribúcie, sa rovná 1.

  Poznámka: Pripomeňme, že distribučná funkcia F (x) sa volá vo funkciách MS EXCEL kumulatívna distribučná funkcia... Tento výraz sa objavuje vo funkčných parametroch, napríklad v NORM.DIST (x; priemer; standard_dev; integrálne). Ak sa má funkcia MS EXCEL vrátiť Distribučná funkcia,potom parameter integrálne, d.b. nastavená na TRUE. Ak chcete vypočítať hustota pravdepodobnosti, potom parameter integrálne, d.b. Klamstvo.

  Poznámka: Pre diskrétne rozdelenie pravdepodobnosť, že náhodná premenná získa určitú hodnotu, sa tiež často nazýva funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti (pmf). V pomocníkovi MS EXCEL hustota pravdepodobnosti možno dokonca nazvať „funkciou pravdepodobnosti merania“ (pozri funkciu BINOM.DIST ()).

  Výpočet hustoty pravdepodobnosti pomocou funkcií MS EXCEL

  Je jasné, že počítať hustota pravdepodobnosti pre určitú hodnotu náhodnej premennej potrebujete poznať jej rozdelenie.

  Nájsť hustota pravdepodobnosti pre N (0; 1) pri x \u003d 2. Aby ste to dosiahli, musíte napísať vzorec \u003d NORM.ST.DIST (2; FALSE)\u003d 0,054 alebo \u003d NORM.DIST (2; 0; 1; FALSE).

  Pripomeňme si to pravdepodobnosť čo spojitá náhodná premenná vezme konkrétnu hodnotu x sa rovná 0. Pre spojitá náhodná premenná X môže vypočítať iba pravdepodobnosť udalosti, že X bude mať hodnotu uzavretú v intervale (a; b).

  Výpočet pravdepodobností pomocou funkcií MS EXCEL

  1) Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná premenná distribuovaná cez (pozri obrázok vyššie) získala kladnú hodnotu. Podľa majetku Distribučné funkcie pravdepodobnosť je F (+ ∞) -F (0) \u003d 1-0,5 \u003d 0,5.

  ŠTANDARDNÁ DISTRIBÚCIA (9 999 E + 307; PRAVDA) - ST.ST.DIST (0; PRAVDA) =1-0,5.
  Namiesto znaku + ∞ zadal vzorec hodnotu 9,999E + 307 \u003d 9,999 * 10 ^ 307, čo je maximálny počet, ktorý je možné zadať do bunky MS EXCEL (takpovediac najbližšie k + ∞).

  2) Nájdeme pravdepodobnosť, že sa náhodná premenná rozdelila , vzal zápornú hodnotu. Podľa definície Distribučné funkcie, pravdepodobnosť je F (0) \u003d 0,5.

  V programe MS EXCEL túto pravdepodobnosť nájdete pomocou vzorca \u003d NORM.ST.DIST (0, PRAVDA) =0,5.

  3) Nájdite pravdepodobnosť rozdelenia náhodnej premennej štandardné normálne rozdelenie, bude mať hodnotu uzavretú v intervale (0; 1). Pravdepodobnosť je F (1) -F (0), t.j. od pravdepodobnosti výberu X z intervalu (-∞; 1) je potrebné odpočítať pravdepodobnosť výberu X od intervalu (-∞; 0). V MS EXCEL použite vzorec \u003d STANDARD ST.DIST (1, TRUE) - STANDARD ST.DIST (0, TRUE).

  Všetky vyššie uvedené výpočty sa týkajú náhodnej premennej rozdelenej na viac štandardný normálny zákon N (0,1;). Je zrejmé, že hodnoty pravdepodobností závisia od konkrétneho rozdelenia. V článku nájdite distribučnú funkciu bod, pre ktorý F (x) \u003d 0,5, a potom nájdite úsečku tohto bodu. Bodová osa \u003d 0, t.j. pravdepodobnosť, že náhodná premenná X získa hodnotu<0, равна 0,5.

  V MS EXCEL použite vzorec \u003d STANDARD.ST.OBR (0,5) \u003d 0.

  

  Výpočtová hodnota je jedinečná náhodná premenná umožňuje vlastnosť monotónnosti distribučné funkcie.

  Funkcia inverzného rozdeleniapočíta, ktoré sa používajú napríklad, keď. Tých. v našom prípade je číslo 0 0,5-kvantilné normálne rozdelenie... V súbore so vzorom môžete vypočítať iný kvantil tejto distribúcie. Napríklad 0,8-kvantil je 0,84.

  

  V literatúre v anglickom jazyku funkcia inverzného rozdelenia často označovaná ako funkcia percentuálneho bodu (PPF).

  Poznámka: Pri výpočte kvantily v MS EXCEL sa používajú tieto funkcie: NORM.ST.INV (), LOGNORM.INV (), CHI2.INV (), GAMMA.INV () atď. Viac podrobností o distribúciách prezentovaných v MS EXCEL nájdete v článku.

  Definícia. Kontinuálneje náhodná premenná, ktorá môže brať všetky hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu.

  Pre spojitú náhodnú premennú je zavedený koncept distribučnej funkcie.

  Definícia. Distribučná funkcia Pravdepodobnosti náhodnej premennej X sa nazývajú funkcia F (x), ktorá určuje pre každú hodnotu x pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude mať hodnotu menšiu ako x, to znamená:

  F (x) \u003d P (X< x)

  Namiesto termínu „distribučná funkcia“ sa často používa výraz „kumulatívna distribučná funkcia“.

  Vlastnosti distribučnej funkcie:

  1. Hodnoty distribučnej funkcie patria do segmentu:

  0 ≤ F (x) ≤ 1.

  2. Distribučná funkcia je neklesajúca funkcia, to znamená:

  ak x\u003e x,

  potom F (x) ≥ F (x).

  3. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná bude mať hodnotu uvedenú v intervale)