Asymetria a špičatosť náhodnej premennej. Výpočet šikmosti a špičatosti empirického rozdelenia v programe Excel. Matematické očakávanie a rozptyl počtu výskytov udalosti v nezávislých experimentoch

58. Koeficienty asymetrie a špičatosti.

Distribučné centrálne momenty

Pre ďalšie štúdium povahy variácie sa používajú priemerné hodnoty rôznych stupňov odchýlok jednotlivých hodnôt atribútu od jeho aritmetického priemeru. Tieto ukazovatele sa nazývajú kontaktné miesta rozdelenia poradia zodpovedajúce miere, v ktorej sa odchýlky zvyšujú, alebo jednoducho okamihy.

Ukazovatele distribučnej formy

Asymetria distribúcie

Pearsonov exponent závisí od stupňa asymetrie v strednej časti distribučnej série a index asymetrie založený na momente tretieho rádu od extrémnych hodnôt prvku.

Posúdenie závažnosti asymetrie

Na posúdenie významnosti asymetrie sa počíta so strednou štvorcovou chybou koeficientu asymetrie

Ak postoj má hodnotu väčšiu ako 2, potom to naznačuje významnú povahu asymetrie

Distribučná špičatosť

Indikátor kurtosy
predstavuje odchýlku vrcholu empirického rozdelenia nahor alebo nadol („strmo“) od vrcholu krivky normálne rozdelenie, ALE! Graf rozdelenia môže vyzerať tak strmo, ako sa vám páči, v závislosti od intenzity variácie znaku: čím je variácia slabšia, tým je krivka distribúcie v danej mierke strmšia. Nehovoriac o tom, že zmenou mierok pozdĺž osí a ordinátov je možné akékoľvek rozdelenie umelo urobiť „strmým“ a „plochým“. Aby sme ukázali, z čoho sa distribučná kurtosis skladá, a aby sme ju správne interpretovali, je potrebné porovnať rady s rovnakou variačnou silou (rovnaká hodnota σ) a rôznymi indexmi kurtosy. Aby nedošlo k zámene špičatosti s asymetriou, musia byť všetky porovnávané riadky symetrické. Toto porovnanie je znázornené na obr.

Pretože kurtoza normálneho rozdelenia sa rovná 3, index kurtozy sa vypočíta podľa vzorca

Posúdenie závažnosti kurtózy

Na vyhodnotenie významnosti špičatosti sa počíta indikátor jej chyby stredná-druhá mocnina

Ak postoj má hodnotu viac ako 3, potom to naznačuje významnú povahu prebytku

Definícia. MódaM 0 diskrétne náhodná premenná volá sa jeho najpravdepodobnejšia hodnota. Pre spojitú náhodnú premennú je režim hodnotou náhodnej premennej, pri ktorej má hustota distribúcie maximum.

Ak má distribučný polygón pre diskrétnu náhodnú premennú alebo distribučná krivka pre spojitú náhodnú premennú dve alebo viac maxím, potom sa takéto rozdelenie nazýva bimodálne alebo multimodálne.

Ak má distribúcia minimum, ale nemá maximum, volá sa anti-modálne.

Definícia. Medián M D náhodnej premennej X sa nazýva jej hodnota, voči ktorej je rovnako pravdepodobné, že získa väčšiu alebo menšiu hodnotu náhodnej premennej.

Geometricky je stredná hodnota úsečkou bodu, v ktorom je plocha ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu.

Upozorňujeme, že ak je distribúcia unimodálna, potom sa režim a stredná hodnota zhodujú s matematickým očakávaním.

Definícia. Východiskový bodobjednať k náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie veličiny X k .

Pre diskrétnu náhodnú premennú :.

.

Počiatočný moment prvého rádu sa rovná matematickému očakávaniu.

Definícia. Centrálny bodobjednať k náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie hodnoty

Pre diskrétnu náhodnú premennú: .

Pre spojitú náhodnú premennú: .

Centrálny moment prvého rádu je vždy nulový a centrálny moment druhého rádu sa rovná variancii. Centrálny moment tretieho rádu charakterizuje distribučnú asymetriu.

Definícia. Pomer centrálneho momentu tretieho rádu k štandardnej odchýlke tretieho stupňa sa volá koeficient asymetrie.

Definícia. Na charakterizáciu vrcholnosti a rovinnosti distribúcie sa volala veličina prebytok.

Okrem uvažovaných hodnôt sa používajú aj takzvané absolútne momenty:

Absolútny východiskový bod :.

Absolútny stredový bod: .

Kvantil zodpovedajúce danej úrovni pravdepodobnosti R, sa nazýva taká hodnota, pri ktorej distribučná funkcia nadobúda hodnotu rovnú R, t.j. Kde R- daná úroveň pravdepodobnosti.

Inými slovami kvantil existuje hodnota náhodnej premennej, pre ktorú

Pravdepodobnosť R ako percento dáva meno zodpovedajúcemu kvantilu, napríklad sa nazýva 40% kvantil.

20. Matematické očakávanie a rozptyl počtu výskytov udalosti v nezávislých experimentoch.

Definícia. Matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X, ktorej možné hodnoty patria do intervalu, sa nazýva určitý integrál

Ak sú možné hodnoty náhodnej premennej zohľadnené na celej číselnej osi, potom sa matematické očakávanie nachádza podľa vzorca:

V tomto prípade sa samozrejme predpokladá, že nesprávny integrál konverguje.

Matematické očakávaniediskrétna náhodná premenná je súčet súčinov jej možných hodnôt podľa zodpovedajúcich pravdepodobností:

M(X) =x 1 r 1 +x 2 r 2 + … +x p r p . (7.1)

Ak je počet možných hodnôt náhodnej premennej nekonečný, potom
ak výsledná séria absolútne konverguje.

Poznámka 1.Očakávaná hodnota sa niekedy nazýva vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej pre veľký počet experimentov.

Poznámka 2.Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia.

Poznámka 3.Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je ziadna nahoda(konštantná. Z toho, čo nasleduje, uvidíme, že to isté platí pre spojité náhodné premenné.

Matematické očakávané vlastnosti.

Matematické očakávanie konštanty sa rovná najkonštantnejšiemu:

M(ZO) =ZO.(7.2)

Dôkazy. Zvažovanie ZOako diskrétna náhodná premenná, ktorá má iba jednu hodnotu ZOs pravdepodobnosťou r\u003d 1, teda M(ZO) =ZO1 \u003d ZO.

Konštantný faktor možno vylúčiť zo znamenia matematického očakávania:

M(SH) =CM(X). (7.3)

Dôkazy. Ak náhodná premenná Xdané distribučnou sériou

x i				x n
p i				p n

potom distribučná séria pre SHvyzerá ako:

ZOx i	ZOx 1	ZOx 2		ZOx n
p i				p n

Potom M(SH) =Cx 1 r 1 +Cx 2 r 2 + … +Cx p r p =ZO( X 1 r 1 +x 2 r 2 + … +x p r p) =CM(X).

Matematické očakávaniespojitá náhodná premenná sa volá

(7.13)

Poznámka 1.Všeobecná definícia variancie pre spojitú náhodnú premennú je rovnaká ako pre diskrétnu (def. 7.5) a vzorec pre jej výpočet je:

(7.14)

Štandardná odchýlka sa vypočíta podľa vzorca (7.12).

Poznámka 2.Ak všetky možné hodnoty spojitej náhodnej premennej neprekročia interval [ a, b], potom sa integrály vo vzorcoch (7.13) a (7.14) vypočítajú v rámci týchto limitov.

Veta. Rozptyl počtu výskytov udalosti v nezávislých pokusoch sa rovná súčinu počtu pokusov pravdepodobnosťou výskytu a nevyskytnutia sa udalosti v jednom pokuse :.

Dôkazy. Nech je počet výskytov udalostí v nezávislých pokusoch. Rovná sa súčtu výskytov udalostí v každom pokuse :. Pretože testy sú nezávislé, potom náhodné premenné - sú teda nezávislé.

Ako je uvedené vyššie, a.

Potom, kým .

V tomto prípade, ako už bolo spomenuté skôr, štandardná odchýlka.

Pri analýze rozloženia hojností je značný záujem posúdiť odchýlku daného rozloženia od symetrickej, alebo inak povedané, jej šikmosti. Miera šikmosti (asymetria) je jednou z najdôležitejších vlastností rozloženia populácie. Existuje množstvo štatistík na výpočet kriviek. Všetky spĺňajú minimálne dve požiadavky na akýkoľvek koeficient skosenia: musí byť bezrozmerný a rovný nule, ak je rozdelenie symetrické.

Na obr. 2 a, b znázorňujú krivky dvoch asymetrických rozdelení čísel, z ktorých jedno je skreslené doľava a druhé doprava. Kvalitatívne je znázornená relatívna poloha režimu, medián a priemer. Je zrejmé, že jeden z možných ukazovateľov šikmosti sa dá zostrojiť s prihliadnutím na vzdialenosť, v ktorej sú priemer a režim umiestnené od seba. Ale vzhľadom na zložitosť určovania módu z empirických údajov a na druhej strane dobre známeho vzťahu (3) medzi módom, stredom a stredom, bol na výpočet indexu asymetrie navrhnutý nasledujúci vzorec:

Z tohto vzorca vyplýva, že rozdelenia vychýlené doľava majú pozitívnu asymetriu a vychýlené doprava - negatívne. Prirodzene, pre symetrické rozdelenia, pri ktorých sa stredná hodnota a stredná hodnota zhodujú, je šikmosť nulová.

Vypočítajme ukazovatele asymetrie pre údaje uvedené v tabuľke. 1 a 2. Na rozdelenie trvania srdcového cyklu máme:

Toto rozloženie je teda mierne skreslené doľava. Získaná hodnota pre asymetriu je približná a nie presná, pretože pre jej výpočet boli hodnoty a boli použité vypočítané zjednodušeným spôsobom.

Na distribúciu sulfhydrylových skupín v krvnom sére máme:

Toto rozdelenie má teda negatívnu šikmosť, t.j. skosené doprava.

Teoreticky sa ukazuje, že hodnota určená vzorcom 13 leží v rozmedzí 3. Ale v praxi táto hodnota veľmi zriedka dosahuje svoje limitné hodnoty a pre mierne asymetrické distribúcie v jednom vrchole je zvyčajne menšia ako jedna v absolútnej hodnote.

Indikátor asymetrie možno použiť nielen na formálny popis rozdelenia čísel, ale aj na zmysluplnú interpretáciu získaných údajov.

Ak sa vlastnosť, ktorú pozorujeme, formuje pod vplyvom veľkého množstva nezávislých dôvodov, z ktorých každý prispieva k hodnote tejto vlastnosti relatívne malým spôsobom, potom v súlade s niektorými teoretickými predpokladmi diskutovanými v časti venovanej teórii pravdepodobnosti môžeme rozumne očakávať, že že rozdelenie čísel získaných v dôsledku experimentu bude symetrické. Ak sa však pre experimentálne údaje získala významná hodnota asymetrie (číselná hodnota As modulo v priebehu niekoľkých desatín), možno predpokladať, že vyššie uvedené podmienky nie sú splnené.

V tomto prípade má zmysel predpokladať buď existenciu jedného alebo dvoch faktorov, ktorých príspevok k tvorbe experimentálne pozorovanej hodnoty je podstatne väčší ako ostatných, alebo postulovať prítomnosť špeciálneho mechanizmu, ktorý sa líši od mechanizmu nezávislého vplyvu mnohých dôvodov na hodnotu sledovaného znaku.

Napríklad, ak sú zmeny v kvantite, ktorá nás zaujíma, zodpovedajúce pôsobeniu určitého faktora, úmerné tejto veličine samotnej a intenzite pôsobenia príčiny, potom bude rozdelenie získané v tomto prípade vždy skreslené doľava, t. mať pozitívnu asymetriu. Napríklad biológovia čelia takýmto mechanizmom pri hodnotení množstiev spojených s rastom rastlín a živočíchov.

Iný spôsob odhadu kriviek je založený na metóde momentov, ktorej sa budeme venovať v kapitole 44. V súlade s touto metódou sa na výpočet kriviek používa súčet odchýlok všetkých hodnôt dátových radov od strednej hodnoty zvýšenej na tretiu mocninu, t. J .:

Tretí stupeň zaisťuje, že čitateľ tohto výrazu pre symetrické rozdelenie je nula, pretože v takom prípade budú súčty odchýlok nahor a nadol od priemeru v treťom stupni rovnaké a budú mať opačné znaky. Delenie podľa poskytuje bezrozmernosť pre exponenta asymetrie.

Vzorec (14) sa môže transformovať nasledujúcim spôsobom. V predchádzajúcom odseku boli zavedené štandardizované hodnoty:

Teda miera šikmosti je priemerom zo štandardizovaných údajov v kockách.

Pre rovnaké údaje, pre ktoré bola asymetria vypočítaná pomocou vzorca (13), nájdeme indikátor pomocou vzorca (15). Máme:

Indexy asymetrie vypočítané prirodzene rôzne vzorce, sa navzájom líšia veľkosťou, ale rovnako naznačujú charakter svahu. V balíkoch aplikovaných programov na štatistickú analýzu sa pri výpočte asymetrie používa vzorec (15), ktorý poskytuje presnejšie hodnoty. Pre predbežné výpočty pomocou najjednoduchších kalkulačiek môžete použiť vzorec (13).

Prebytok.Pozreli sme sa teda na tri zo štyroch skupín ukazovateľov, ktoré popisujú rozdelenie čísel. Posledným z nich je skupina ukazovateľov špičkovosti, čiže špičatosti (z gréčtiny - hrbáč). Na výpočet jedného z možných ukazovateľov špičatosti sa používa nasledujúci vzorec:

Použitím rovnakého prístupu, ktorý bol použitý na transformáciu vzorca asymetrie (14), je ľahké preukázať, že:

Teoreticky sa ukázalo, že hodnota kurtozy pre normálnu (gaussovu) distribučnú krivku, ktorá hrá dôležitú úlohu v štatistike, ako aj v teórii pravdepodobnosti, sa číselne rovná 3. Na základe mnohých úvah sa ostrosť tejto krivky berie ako štandard, a teda ako indikátor kurtozy. použite hodnotu:

Nájdeme hodnotu vrcholnosti pre údaje uvedené v tabuľke. 1. Máme:

Distribučná krivka trvania srdcových cyklov je teda vyrovnaná v porovnaní s normálnou krivkou, pre ktorú.

Tabuľka 3 ukazuje distribúciu počtu okrajových kvetov u jedného z druhov chryzantém. Pre túto distribúciu

Prebytok môže nadobúdať veľmi veľké hodnoty, ako je zrejmé z uvedeného príkladu, ale jeho dolná hranica nemôže byť menšia ako jedna. Ukazuje sa, že ak je distribúcia bimodálna (bimodálna), potom sa hodnota špičatosti blíži k svojej dolnej hranici, takže má sklon k -2. Ak teda v dôsledku výpočtov sa ukáže, že hodnota je menšia ako -1-1,4, môžeme si byť istí, že rozdelenie čísel, ktoré máme k dispozícii, je minimálne bimodálne. Toto je obzvlášť dôležité vziať do úvahy, keď sa experimentálne údaje, ktoré obchádzajú fázu predspracovania, analyzujú pomocou digitálneho počítača a neexistuje priame grafické znázornenie distribúcie populácie pred očami výskumníka.

Bimodalita distribučnej krivky experimentálnych údajov môže vzniknúť z mnohých dôvodov. Takéto rozdelenie sa môže objaviť najmä v dôsledku kombinácie dvoch súborov rozdielnych údajov do jednej sady. Na ilustráciu sme umelo spojili údaje o šírke schránok dvoch druhov fosílnych mäkkýšov do jednej sady (tabuľka 4, obr. 3).

Obrázok jasne ukazuje prítomnosť dvoch režimov, pretože sú zmiešané dva súbory údajov z rôznych populácií. Výpočet dáva pre hodnotu špičatosti 1,74, a teda \u003d -1,26. Vypočítaná hodnota indexu špičiek teda naznačuje, v súlade s predtým uvedenou pozíciou, že distribúcia má dva vrcholy.

Je potrebné urobiť jednu výhradu. Skutočne, vo všetkých prípadoch, keď má rozdelenie hojnosti dve maximá, bude hodnota špičatosti blízka jednote. Táto skutočnosť však nemôže automaticky viesť k záveru, že analyzovaný súbor údajov je zmesou dvoch rozdielnych vzoriek. Po prvé, takáto zmes, v závislosti od počtu jej agregujúcich agregátov, nemusí mať dva vrcholy a indikátor špičatosti bude oveľa viac ako jeden. Po druhé, homogénna vzorka môže mať tiež dva režimy, ak sú napríklad porušené požiadavky na výber experimentálnych údajov. V tomto, rovnako ako v ostatných prípadoch, po formálnom výpočte rôznych štatistík by sa preto mala vykonať dôkladná odborná analýza, ktorá umožní zmysluplne interpretovať získané údaje.

Pre približnú predstavu o tvare rozdelenia náhodnej premennej je zakreslený graf jej distribučných sérií (mnohouholník a histogram), funkcia alebo hustota rozdelenia. V praxi štatistického výskumu je potrebné stretnúť sa s veľmi rozdielnym rozdelením. Homogénne populácie sa spravidla vyznačujú unimodálnym rozdelením. Multivertexita označuje heterogenitu študovanej populácie. V takom prípade je potrebné údaje preskupiť, aby sa rozlíšili homogénnejšie skupiny.

Vysvetlenie všeobecnej povahy rozdelenia náhodnej premennej zahŕňa posúdenie stupňa jej homogenity, ako aj výpočet ukazovateľov asymetrie a prebytku. V symetrickom rozdelení, v ktorom sa matematické očakávanie rovná mediánu, t.j. , môžeme predpokladať, že neexistuje asymetria. Čím je však asymetria viditeľnejšia, tým väčšia je odchýlka medzi charakteristikami distribučného centra - matematickým očakávaním a stredom.

Možno uvažovať o najjednoduchšom koeficiente asymetrie rozdelenia náhodnej premennej, kde je matematické očakávanie, je medián a je štandardnou odchýlkou \u200b\u200bnáhodnej premennej.

V prípade pravostrannej asymetrie ľavostrannú -. Ak sa má za to, že asymetria je nízka, ak je - stredná a je - vysoká. Geometrické znázornenie pravostrannej a ľavostrannej asymetrie je znázornené na obrázku nižšie. Zobrazuje grafy distribučnej hustoty zodpovedajúcich typov spojitých náhodných premenných.

Obrázok. Ilustrácia pravostrannej a ľavostrannej asymetrie na grafoch distribúcie hustoty spojitých náhodných premenných.

Existuje tiež ďalší koeficient asymetrie rozdelenia náhodnej premennej. Je možné preukázať, že rozdiel od nuly centrálneho momentu nepárneho poriadku naznačuje asymetriu rozdelenia náhodnej premennej. V predchádzajúcom ukazovateli sme použili výraz podobný momentu prvého rádu. Ale zvyčajne sa v tomto inom koeficiente asymetrie používa centrálny moment tretieho rádu , a aby sa tento koeficient stal bezrozmerným, je vydelený kockou štandardnej odchýlky. Ukazuje sa nasledujúci koeficient asymetrie: ... Pre tento koeficient asymetrie, ako pre prvý v prípade pravostrannej asymetrie, ľavostranný -.

Kurtoza náhodnej premennej

Kurtosis distribúcie náhodnej premennej charakterizuje stupeň koncentrácie jej hodnôt v blízkosti stredu distribúcie: čím vyššia bude taká koncentrácia, tým vyšší a užší bude graf jej distribučnej hustoty. Index špičatosti (špičkovosť) sa vypočíta podľa vzorca :, kde je centrálny moment 4. rádu a je štandardnou odchýlkou \u200b\u200bzvýšenou na 4. mocninu. Pretože stupne čitateľa a menovateľa sú rovnaké, je špičatosť bezrozmerná veličina. V tomto prípade sa berie ako štandard absencie špičatosti, nulovej špičatosti, normálne rozdelenie. Ale to môžete dokázať pre normálne rozdelenie. Preto sa vo vzorci na výpočet špičatosti z tejto frakcie odčíta číslo 3.

Pre normálne rozdelenie je teda špičatosť nula :. Ak je špičatosť väčšia ako nula, t.j. , potom je distribúcia vrcholnejšia ako normálne. Ak je špičatosť menšia ako nula, t.j. , potom je distribúcia horšia ako normálne. Limitujúcou hodnotou negatívnej kurtosy je hodnota; veľkosť pozitívnej kurtozy môže byť nekonečne veľká. Na obrázku je znázornené, ako vyzerajú grafy hustôt distribúcie s vrcholmi a plochými plochami náhodných premenných v porovnaní s normálnym rozdelením.

Obrázok. Ilustrácia špičkových a plochých distribučných hustôt náhodných premenných v porovnaní s normálnym rozdelením.

Asymetria a špičatosť rozdelenia náhodnej premennej ukazujú, ako veľmi sa odchyľuje od normálneho zákona. Pre veľké asymetrie a špičatosť by ste nemali používať výpočtové vzorce pre normálne rozdelenie. Aká je úroveň prípustnosti asymetrie a špičatosti pre použitie vzorcov normálneho rozdelenia pri analýze údajov o konkrétnej náhodnej premennej, mal by určiť výskumný pracovník na základe svojich znalostí a skúseností.

Asymetria sa počíta pomocou funkcie SKOS. Jeho argumentom je rozsah buniek s údajmi, napríklad \u003d RMS (A1: A100), ak sú údaje obsiahnuté v rozsahu buniek od A1 do A100.

Kurtosis sa počíta funkciou EXCESS, ktorej argumentom sú číselné údaje, špecifikované spravidla vo forme intervalu buniek, napríklad: \u003d EXCESS (A1: A100).

§2.3. Analytický nástroj Deskriptívna štatistika

IN Excel pomocou analytického nástroja je možné vypočítať všetky charakteristiky vzorkových bodov naraz Deskriptívna štatistikaktorý je obsiahnutý v Analytický balíček.

Deskriptívna štatistika vytvorí tabuľku základných štatistík pre množinu údajov. Táto tabuľka bude obsahovať nasledujúce charakteristiky: stredná hodnota, štandardná chyba, odchýlka, štandardná odchýlka, režim, medián, rozsah variácií intervalu, maximálne a minimálne hodnoty, šikmosť, špičatosť, veľkosť populácie, súčet všetkých prvkov populácie, interval spoľahlivosti (úroveň spoľahlivosti). Nástroj Deskriptívna štatistika výrazne zjednodušuje štatistickú analýzu tým, že eliminuje potrebu volať každú funkciu na výpočet štatistických charakteristík osobitne.

Aby bolo možné zavolať Deskriptívna štatistika, nasleduje:

1) v ponuke Služby vyberte tím Analýza dát;

2) v zozname Analytické nástroje dialógové okno Analýza dátvyberte nástroj Deskriptívna štatistika a stlačte Ok.

V okne Deskriptívna štatistika je to nevyhnutné:

· v skupine Vstupné Data v teréne Interval zadávania určiť interval buniek obsahujúcich údaje;

Ak prvý riadok vo vstupnom rozsahu obsahuje hlavičku stĺpca, potom v pole štítkov v prvom riadkuzačiarknite políčko;

· v skupine Možnosti výstupu aktivovať prepínač (začiarknite políčko) Súhrnná štatistikaV prípade potreby úplný zoznam charakteristiky;

Aktivujte prepínač Úroveň spoľahlivosti a uveďte spoľahlivosť v%, ak je potrebné vypočítať interval spoľahlivosti (predvolená hodnota je 95%). Stlačte Ok.

Vo výsledku sa zobrazí tabuľka s vypočítanými hodnotami vyššie uvedených štatistických charakteristík. Ihneď bez zrušenia výberu tejto tabuľky spustite príkaz Formát® Stĺpec® Šírka automatického prispôsobenia.

Dialógové okno Deskriptívna štatistika:

Praktické úlohy

2.1. Výpočet základnej bodovej štatistiky pomocou štandardných funkcií Excel

Rovnaký voltmetr meral napätie v obvode 25-krát. Výsledkom experimentov boli nasledujúce hodnoty napätia vo voltoch:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Nájdite priemernú, vzorkovanú a opravenú odchýlku, štandardnú odchýlku, rozsah, režim, medián. Odchýlku od normálneho rozdelenia skontrolujte výpočtom šikmosti a špičatosti.

Na dokončenie tejto úlohy postupujte podľa nasledujúcich krokov.

1. Zadajte výsledky experimentu do stĺpca A.

2. Do bunky B1 zadajte „Priemer“, do B2 - „Vybraná variancia“, do B3 - „Štandardná odchýlka“, do B4 - „Opravená odchýlka“, do B5 - „Opravená štandardná odchýlka“, do B6 - „Maximum“, v B7 - „Minimum“, v B8 - „Variačný rozsah“, v B9 - „Móda“, v B10 - „Medián“, v B11 - „Asymetria“, v B12 - „Prebytok“.

3. Zarovnajte šírku tohto stĺpca s AutoFit šírka.

4. Vyberte bunku C1 a kliknite na tlačidlo so znamienkom "\u003d" na paneli vzorcov. Cez Sprievodcovia funkciami v kategórii Štatistické vyhľadajte funkciu PRIEMER, potom zvýraznite rozsah dátových buniek a stlačte Ok.

5. Vyberte bunku C2 a kliknite na znamienko \u003d na paneli vzorcov. Cez Sprievodcovia funkciami v kategórii Štatistické vyhľadajte funkciu VARP, potom zvýraznite rozsah dátových buniek a stlačte Ok.

6. Urobte to isté pre výpočet zostávajúcich charakteristík.

7. Ak chcete vypočítať variačný rozsah v bunke C8, zadajte vzorec: \u003d C6-C7.

8. Pridajte pred svoj stôl jeden riadok, do ktorého zadajte nadpisy príslušných stĺpcov: „Názov charakteristík“ a „Číselné hodnoty“.