Čo je to geometrický model. Geometrické modely používané v počítačom podporovaných návrhových systémoch. Vektorová a rastrová grafika

Geometrické modelovanie

Príklad.

Zmena mierky.

Rotácia osí;

Prenos do pôvodu;

Nech je úsečka AB uvedená v rovine: A (3,2) a B (-1, -1). Čo sa stane so segmentom, keď sa súradnice pozorovateľa úplne zmenia, ak: 1) sa počiatok súradníc prenesie do bodu (1,0);

2) dôjde k rotácii osí pod uhlom

3) zmena mierky pozdĺž osi X o polovicu.

Rozhodnutie:

1) v novom s.k. segment bude mať nasledujúce súradnice: A (3-1, 2-0) a B (-1-1, -1-0), t. j. A (2,2) a B (-2, -1);

2) pri otáčaní osí v novom s.k .:

3) zmena mierky, S x \u003d 2

Pri riešení väčšiny problémov v oblasti počítačom podporovaného navrhovania a technológie priemyselnej výroby je potrebné brať do úvahy tvar navrhovaného objektu, preto vychádzajú z geometrického modelovania.

Model je matematické a informačné znázornenie objektu uloženého v pamäti počítača.

Geometrickými modelmi sa rozumejú modely obsahujúce informácie o geometrii výrobku, technologické, funkčné a pomocné informácie.

Geometrické modelovanie sa týka celého procesu spracovania od slovné (slovný v niektorom jazyku) popis objektu v súlade s úlohou pred prijatím vnútropodnikového znázornenia.

V geometrickom modelovaní môže byť objekt znázornený ako:

Ø Skeletový (drôtený) model (obr. 1)

Ø Povrchový (polygonálny alebo fazetový) model (obr. 2)

Ø Plný (volumetrický) model (obr. 3)

I) Drôtový model: konštrukčné prvky sú rebrá a bodov... Tento model je jednoduchý, ale môže predstavovať iba obmedzenú triedu častí vo vesmíre. Drôtové modely sú vhodné na znázornenie dvojrozmerných geometrických objektov v rovine. Na základe modelu drôtového modelu môžete získať ich priemety. Ale v niektorých prípadoch poskytujú nejednoznačné zastúpenie a majú sériu nevýhody :

§ Nejednoznačnosť, viditeľné čiary nemožno odlíšiť od neviditeľných, obraz je možné interpretovať rôznymi spôsobmi;

§ Nemožnosť rozpoznania krivočiarych hrán a v dôsledku toho zložitosť tónovania;

§ Obtiažnosť detekcie vzájomný vplyv komponenty.

Drôtové modely sa nepoužívajú na animáciu. Ťažkosti vznikajú pri výpočte fyzikálnych charakteristík: objem, hmotnosť atď. Takéto modely sa používajú hlavne pre najbežnejšie konštrukcie.

II) Povrchové modely: pri stavbe takého modelu sa predpokladá, že technologické objekty sú obmedzené rovinami, ktoré ich obmedzujú prostredie... Konštrukčné prvky sú hroty, hrany a povrchy... Používajú sa tu aj rôzne zakrivené povrchy, ktoré umožňujú definovať tonálne obrázky.

Povrch technologického objektu, podobne ako pri modelovaní drôtovými modelmi, sa získava pomocou obrysov, ale pri polygónovom modelovaní sú tieto obrysy výsledkom dvoch dotykových alebo pretínajúcich sa plôch. Často sa tu používajú analytické krivky, to znamená, že pôvodné krivky sú popísané zložitým matematickým vzťahom.

Modely povrchov umožňujú pohodlie sochárskeho obrazu, to znamená, že akýkoľvek povrch je možné vytvoriť ako elementárny a neskôr ho použiť na vytvorenie zložitých obrázkov. Použitie takýchto povrchových modelov uľahčuje vyobrazenie párovania povrchov.

Nevýhoda polygónové modelovanie spočíva v tom, že čím viac referenčných plôch je potrebných na opísanie objektu, tým viac sa výsledný model bude líšiť od jeho skutočnej podoby, a tým vyššie je množstvo spracovaných informácií, a tým aj určité ťažkosti pri reprodukcii pôvodného objektu.

III) Pevné modely... Konštrukčné prvky objemových modelov sú: bodka, obrysový prvok a povrch.

Pre volumetrické modely objektov je nevyhnutné rozlišovať body od vnútorných a vonkajších vo vzťahu k objektom. Na získanie takýchto modelov sa najskôr definujú povrchy ohraničujúce objekt a potom sa spoja do objektu.

Úplná definícia objemového tvaru, schopnosť automatického zostavovania rezov, zostáv, pohodlné definovanie fyzikálnych charakteristík: hmotnosť, objem atď., Pohodlná animácia. Používa sa na modelovanie, spracovanie pomocou rôznych nástrojov na akýchkoľvek povrchoch.

Rozmanitá paleta farieb umožňuje získať fotografický obraz.

Ako základné primitívy sa používajú samostatné prvky rôznych typov: valec, kužeľ, rovnobežnosten, zrezaný kužeľ.

V jadre stavby zložité zväzky primitívne sú booleovské operácie:

Križovatka;

Únie;

/ je rozdiel.

Ich použitie je založené na množinovo-teoretickom poňatí objektu ako súboru bodov patriacich jednému alebo druhému telu. Kombinujte prevádzku predpokladá spojenie všetkých bodov patriacich obom orgánom (spojenie niekoľkých orgánov do jedného); prechod- všetky body ležiace na križovatke (výsledkom je teleso, ktoré čiastočne obsahuje obe pôvodné telesá); rozdiel - odčítanie jedného tela od druhého.

Všetky tieto operácie je možné aplikovať postupne na základné prvky a medzivýsledky, čím sa získa požadovaný objekt.

Takto sú postavené všetky diely v strojárstve: sú pridané výstupky, vyrezané otvory, drážky, drážky atď.

Samostatným prípadom volumetrického modelu sú konštruktívne modely, v ktorých sú geometrické objekty znázornené ako štruktúry. Sú známe nasledujúce metódy konštrukcie takýchto štruktúr:

1. Objem je definovaný ako množina ohraničujúcich plôch.

2. Objem je určený kombináciou základných objemov, z ktorých každý cirkuluje v súlade s ustanovením 1.

3D modelovanie umožňuje najpohodlnejšie získanie fyzikálnych charakteristík, je vhodné na simuláciu obrábania.

V súčasnosti je k dispozícii veľké množstvo balíkov 3D modelovania. Poďme na to UNIGRAPHICS. (HP)

9.2. Systém UNIGRAPHICS. (CAD / CAM - systém).

Unigraphics je interaktívny systém automatizácie návrhu a výroby. Na označenie systémov tejto triedy sa používa skratka CAD / CAM, ktorá sa prekladá ako Computer-Assisted Design a Computer-Assisted Manufacturing. Subsystém CAD je určený na automatizáciu projekčných, inžinierskych a výkresových prác v moderných priemyselných podnikoch. Subsystém CAM poskytuje automatizovanú prípravu riadiacich programov pre CNC zariadenie na základe matematického modelu súčasti vytvorenej v subsystéme CAD.

Systém Unigraphics má modulárnu štruktúru. Každý modul vykonáva špecifické funkcie. Všetky funkčné moduly Unigraphics sa volajú z riadiaceho modulu s názvom Unigraphics Gateway. Toto je základný modul, ktorý používateľa „pozdraví“ pri spustení programu Unigraphics, keď ešte nebol spustený žiadny aplikačný modul. Akoby zosobňoval foyer (Geteway) v budove Unigraphics.

Unigraphics je trojrozmerný systém, ktorý vám umožní dokonale reprodukovať takmer všetky geometrický tvar... Kombináciou týchto tvarov môžete navrhnúť produkt, vykonať technickú analýzu a vytvoriť výkresy.

Po dokončení návrhu je možné vyvinúť technologický postup výroby dielu.

Systém Unigraphics má viac ako 20 modulov.

1. Vytvorenie 3D modelu v moduleModelovanie .

Uvažuje sa o možnostiach vytvorenia modelov z náčrtov, je popísaný proces formovania tela a uvažuje sa o konštrukcii tela pomocou povrchov dosiek. Uvažuje sa o vytvorení vášho vlastného štandardného prvku.

2. Vývoj montážnej jednotky pomocou moduluZhromaždenia / Zhromaždenia.

Tento modul umožňuje zostaviť montážnu jednotku. Niekoľko modelov je možné zostaviť podľa podmienok párovacích povrchov alebo replikovať do jednej montážnej jednotky.

3. Testovanie dielu pomocou moduluAnalýza / štrukturálna analýza .

Pri navrhovaní je často potrebné diel vyskúšať. Je to nevyhnutné na identifikáciu nedostatkov návrhu a nájdenie takzvaných „slabých miest“ v počiatočných fázach návrhu. Na testovanie súčasti v UG existuje modul Štrukturálna analýza.

4.Vytvorenie projektovej dokumentácie pomocou moduluNavrhovanie / kreslenie.

Tento modul pokrýva všeobecné zásady tvorba projektovej dokumentácie v systéme CAD / CAM / CAE Unigraphics. Uvádzané sú vlastnosti nastavenia rôznych parametrov, spôsoby nastavenia veľkostí, práca s vrstvami, šablónami a tabuľkami, ako aj parametre pre tlač dokumentov.

5. Vývoj technologického procesu výroby súčiastky pomocou modulu Výroba / Spracovanie.

Modul spracovania umožňuje interaktívne programovanie a postprocesorové spracovanie dráh nástrojov pre frézovanie, vŕtanie, sústruženie a elektrické obrábanie.

1. Jedným z hlavných modulov balíka je Modelovaniepomocou ktorého sa uskutočňuje konštrukcia pevného geometrického modelu. Modelovanie je založené na typických prvkoch a operáciách. V prípade potreby môže používateľ použiť ako základ ľubovoľné vytvorené telo.

Skica - sada funkcií, ktorá umožňuje definovať plochý obrys kriviek poháňaných rozmermi.

Použitá vlastná terminológia:

Funkcia - typický tvarový prvok.

Telo - telo, trieda objektov, ktorá sa skladá z dvoch typov: plné alebo listové telo.

Pevné telo - teleso pozostávajúce z plôch a hrán, ktoré spolu úplne uzatvárajú objem - objemové teleso;

Telo listu - telo pozostávajúce z plôch a okrajov, ktoré neuzatvárajú objem - telo listu.

Tvár - časť vonkajšieho povrchu tela, ktorá má na svoj opis jednu rovnicu.

Hrana- krivky, ktoré zväzujú tvár.

Časť - súčasť projektu.

Výrazový jazyk.

Používa sa výrazový jazyk, ktorého syntax pripomína jazyk C. Môžete nastaviť premenné, množinu operácií, môžete definovať výraz, ktorý popisuje niektorú časť, a importovať do ďalších častí. Použitím mechanizmu na odovzdávanie výrazov medzi časťami môžete modelovať závislosti medzi komponentmi zostavy. Napríklad, niektorý nit môže závisieť od priemeru otvoru. Zmena priemeru otvoru automaticky zmení priemer tohto nitu, ak sú spojené.

Typické tvarové prvky .

Ø Pozametané telá - na základe náčrtu pohybom vpred.

Ø Rotačné telesá - získané z náčrtu alebo ploché telo rotácia okolo osi (rovnobežnosten, valec, kužeľ, guľa, rúrka, výstupok)

Booleovské operácie .

§ Spojiť- kombinovať;

§ Odčítať- odpočítať;

§ Pretínajú sa- križovatka.

9.2.1 Modul modelovania

Jedným z hlavných modulov UG je Modelovanie,pomocou ktorého sa uskutočňuje konštrukcia pevného geometrického modelu. Modelovanie je založené na typických prvkoch a operáciách. V prípade potreby môžete ako základ použiť ľubovoľné vytvorené telo.

Výhody tuhého modelovania:

ü Bohatá sada štandardných metód na výrobu tuhej karosérie;

ü Schopnosť ovládať model zmenou parametrov;

ü Jednoduchosť úprav;

ü vysoká produktivita;

ü Možnosť koncepčného návrhu;

ü Najlepšia vizualizácia modelu,

ü Model je vytvorený v menej krokoch;

ü Schopnosť vytvoriť „hlavný model“ schopný dodávať informácie aplikáciám, ako je kreslenie a programovanie pre CNC stroje;

ü Automatická aktualizácia výkresu, strojového programu atď. pri zmene geometrického modelu;

ü Jednoduchý, ale presný spôsob posúdenia hmotnostno-zotrvačných charakteristík modelu.

Medzi metódami pevného modelovania ponúka UNIGRAPHICS:

Skica - sada funkcií, ktorá umožňuje definovať plochý obrys kriviek poháňaných rozmermi.

Môžete použiť skicu na rýchle definovanie a dimenzovanie akejkoľvek plochej geometrie. Náčrt je možné vysunúť, otočiť alebo pretiahnuť pozdĺž ľubovoľne zadaného vodítka. Všetky tieto operácie vedú k vytvoreniu pevnej látky. V budúcnosti môžete zmeniť rozmery náčrtu, zmeniť na ňom rozmerové reťazce, zmeniť na ňu uložené geometrické obmedzenia. Všetky tieto zmeny budú mať za následok úpravy samotnej skice aj pevného tela, ktoré je na nej postavené.

Modelovanie založené na typických prvkoch a operáciách

Pomocou metódy typických prvkov a operácií môžete ľahko vytvoriť zložité masívne telo, ktoré má otvory, vrecká, drážky a ďalšie typické prvky. Po vytvorení geometrie môžete priamo upraviť ktorýkoľvek z použitých prvkov. napríklad, zmeňte priemer a hĺbku predtým definovaného otvoru.

Vlastné typické prvky

Ak štandardná sada štandardných prvkov nestačí, môžete ju ľahko rozšíriť vyhlásením ľubovoľného vytvoreného tela za typické a nastavením parametrov, ktoré musí používateľ pri jeho použití zadať.

Asociatívnosť

Asociativita je vzťah prvkov geometrického modelu. Tieto obmedzenia sa nastavia automaticky pri vytváraní geometrického modelu. napríklad, je priechodný otvor automaticky priradený k dvom plným plochám. Potom všetky zmeny týchto tvárí automaticky zmenia dieru, aby sa zachovala jej vlastnosť „prepichnúť“ model skrz-naskrz.

Umiestnenie typických prvkov

Pre správne určenie ich polohy na telese je možné použiť funkciu rozmerového umiestnenia prvkov. Pozičné dimenzie majú tiež vlastnosť asociativity a pomôžu zachovať integritu popisu modelu počas jeho ďalších úprav. Okrem toho môžete zmeniť polohu prvkov jednoduchou úpravou rozmerov.

Referenčné typické prvky

Vytvoria sa referenčné prvky, ako sú osi a roviny. Tieto prvky sú užitočné na orientáciu a umiestnenie ďalších typických prvkov. Súradnicové roviny, napr, užitočné na určenie polohy náčrtu. Súradnicovú os je možné použiť ako os otáčania alebo ako priamku, na ktorú je kóta nastavená. Všetky odkazované prvky sú asociatívne.

Výrazy

Schopnosť pridať do modelu potrebné vzťahy pomocou schopnosti nastavovať parametre vo forme matematických vzorcov akejkoľvek zložitosti, dokonca aj s podmieneným operátorom „if“.

Booleovské operácie

Pri konštrukcii telesa umožňuje systém logické operácie spojenia, odčítania a križovatky. Tieto operácie môžu byť použité buď pre plný alebo listový materiál.

Pomer dieťa / rodič

Stavebný prvok, ktorý závisí od iného prvku, sa nazýva dieťa. Prvok, na základe ktorého sa vytvorí nový prvok - rodič.

9.2.2. Modul zostavy.

Tento modul je určený na návrh montážnych jednotiek (zostáv), modelovanie jednotlivých častí v kontexte zostavy.

Medzi zostavou a jej komponentmi sú vytvorené asociatívne odkazy, aby sa zjednodušil proces vykonávania zmien na rôznych úrovniach popisu produktu. Zvláštnosťou použitia zostavy je, že zmeny návrhu v jednej časti sa prejavia vo všetkých zostavách, ktoré používajú túto časť. Počas procesu montáže si nemusíte robiť starosti s geometriou. Systém vytvára asociatívne odkazy medzi zostavou a jej komponentmi, ktoré automaticky sledujú zmeny geometrie. Existuje niekoľko spôsobov, ako zostaviť zostavu, ktorá umožňuje vzájomné zapadnutie častí alebo podzostáv.

Úvod do 3D modelovania

Moderné systémy 3D - návrhové systémy umožňujú vytvárať trojrozmerné modely najkomplexnejších častí a zostáv. Použitím vizuálne metódy formovanie objemových prvkov pracuje konštruktér s jednoduchými a prirodzenými konceptmi základne, otvoru, skosenia, výstuže, škrupiny atď. V takom prípade môže návrhový proces reprodukovať technologický postup výroby súčasti. Po vytvorení 3D modelu produktu môže návrhár získať jeho výkres bez rutinného vytvárania pohľadov pomocou nástrojov na rovinné kreslenie.

Geometrické modely

Pri riešení väčšiny problémov v oblasti automatizovaného návrhu a technologickej prípravy výroby je potrebné zohľadniť tvar navrhovaného výrobku. Z toho vyplýva, že geometrické modelovanie, chápané ako proces reprodukcie priestorových obrazov výrobkov a štúdia charakteristík výrobkov pomocou týchto obrázkov, je jadrom počítačom podporovaného navrhovania. Informácie o geometrických charakteristikách objektu sa používajú nielen na získanie grafického obrazu, ale aj na výpočet rôznych charakteristík výrobkov, technologických parametrov jeho výroby atď. 1. ukazuje, aké úlohy sa riešia pomocou geometrického modelu v systéme počítačom podporovaného návrhu (CAD). Geometrickými modelmi sa rozumejú modely obsahujúce informácie o tvare a geometrii výrobku, technologické, funkčné a pomocné informácie.

Obrázok: 1. Úlohy riešené pomocou geometrického modelu

Vývoj metód a nástrojov na geometrické modelovanie určil zmenu orientácie grafických subsystémov CAD. V CAD existujú dva typy vytvárania grafických subsystémov:

1. Kreslenie orientované.

2. Objektovo orientované.

Systémy prvej generácie orientované na výkres poskytujú potrebné podmienky pre vytvorenie projektovej dokumentácie. V takýchto systémoch sa nevytvára objekt (detail, zostava), ale grafický dokument.

Vývoj grafických subsystémov CAD viedol k tomu, že systémy orientované na kresbu postupne strácajú svoj význam (najmä v oblasti strojárstva) a objektovo orientované systémy sú čoraz bežnejšie. Na obr. 2 ukazuje vývoj orientácie grafických subsystémov CAD za posledné desaťročia.

Obrázok: 2. Jadro grafického subsystému CAD:

a - kresba; b - údaje o výkrese; c - trojrozmerný geometrický model

On počiatočné fázy vývoja a implementácie CAD, hlavným dokumentom výmeny medzi rôznymi subsystémami bol výkres (obr. 2a). Ďalšia generácia grafických subsystémov využívala dáta výkresu ako dáta, prostredníctvom ktorých bola zabezpečená výmena s funkčnými CAD subsystémami (obr. 2b). To umožnilo prechod na bezpapierovú dizajnovú technológiu. V grafických subsystémoch, integrovanom CAD, sú jadrom trojrozmerné geometrické modely navrhovaných výrobkov (obr. 2c). Zároveň sa v takýchto subsystémoch automaticky generujú rôzne dvojrozmerné obrázky trojrozmerného modelu.

Modelovanie - jedna z hlavných metód poznávania, ktorá spočíva v oddelení niektorých častí od zložitého javu (objektu) a ich nahradení inými objektmi, ktoré sú zrozumiteľnejšie a pohodlnejšie pre opis, vysvetlenie a vývoj.

Model - skutočný fyzický objekt alebo proces, teoretická konštrukcia, usporiadaný súbor údajov, ktorý odráža niektoré prvky alebo vlastnosti skúmaného objektu alebo javu, ktoré sú významné z hľadiska modelovania.

Matematický model - model objektu, procesu alebo javu, čo je matematický vzor, \u200b\u200bktorý popisuje hlavné charakteristiky modelovaného objektu, procesu alebo javu.

Geometrické modelovanie- oddiel matematické modelovanie - umožňuje riešiť rôzne problémy v dvojrozmernom, trojrozmernom a všeobecne vo viacrozmernom priestore.

Geometrický model zahŕňa systémy rovníc a algoritmy na ich implementáciu. Matematickým základom pre zostavenie modelu sú rovnice, ktoré popisujú tvar a pohyb objektov. Celá paleta geometrických objektov je kombináciou rôznych primitívov - najjednoduchších tvarov, ktoré sa zase skladajú z grafických prvkov - bodov, čiar a plôch.

V súčasnosti sa geometrické modelovanie úspešne používa v manažmente a iných oblastiach ľudskej činnosti. Existujú dve hlavné oblasti použitia geometrického modelovania: dizajn a výskum.

Na analýzu numerických údajov je možné použiť geometrické modelovanie. V takýchto prípadoch sa počiatočným číselným údajom priradí určitá geometrická interpretácia, ktorá sa potom analyzuje a výsledky analýzy sa interpretujú v zmysle pôvodných údajov.

Fázy geometrického modelovania:

● inscenácia geometrický problémzodpovedajúce pôvodnej použitej úlohe alebo jej časti;

● vývoj geometrického algoritmu na riešenie problému;

● implementácia algoritmu pomocou nástrojov;

● analýza a interpretácia získaných výsledkov.

Techniky geometrického modelovania:

● analytické;

● grafický;

● grafika pomocou strojovej grafiky;

● graficko-analytické metódy.

Graphoanalytické metódy sú založené na odvetviach výpočtovej geometrie, ako napríklad teória R-funkcií, teória Koonsových povrchov, teória Bezierových kriviek, teória splajnov atď.

Pre moderný vedecký výskum je charakteristické použitie spolu s dvojrozmerným a trojrozmerným mnohorozmerným geometrické vzory (fyzika elementárnych častíc, jadrová fyzika atď.).

Súradnicové systémy

Súradnicový systém (SK) je množina základných (lineárne nezávislých) vektorov a jednotiek vzdialenosti pozdĺž týchto vektorov ( e1, e2, …, ru).

Ak sú základné vektory normalizované (s jednotkovou dĺžkou) a vzájomne kolmé, potom sa takýto SC volá kartézsky(DSK).

Svetový súradnicový systém (WCS) – xyz - obsahuje referenčný bod (počiatok súradníc) a lineárne nezávislý základ, vďaka ktorému je možné digitálne opísať geometrické vlastnosti ľubovoľného grafického objektu v absolútnych jednotkách.

Súradnicový systém obrazovky (ESC) – xeh reh ze. Nastavuje polohu projekcií geometrických objektov na obrazovke. Projekcia bodu v ESC má súradnicu ze \u003d 0. Táto súradnica by sa však nemala zahodiť, pretože MSC a ESC sú často vybrané zhodne a vektor premietania [ xuh, re, 0] sa môžu podieľať na transformáciách, kde nie sú potrebné dve, ale tri súradnice.

Súradnicový systém scény (SCS) – xod rod zc - popisuje polohu všetkých objektov na scéne - určitú časť svetového priestoru s vlastným pôvodom a základom, ktoré sa používajú na popis polohy objektov bez ohľadu na MSC.

Objektový súradnicový systém (OCS) – xo ro zo - je spojené s konkrétnym objektom a robí s ním všetky pohyby v SCS alebo MSC.

V 3D priestore (R3):

● ortogonálny karteziánsky SC (x, r, z);

● valcový SC (ρ, r, φ);

● sférický SC (r, φ, ω).

Vzťah medzi karteziánskym SC a cylindrickým SC:

Vzťah medzi karteziánskym SC a sférickým SC:
Vzťah medzi cylindrickým CS a sférickým CS:

Afinné premeny

Afinná transformácia je transformácia, ktorá má nasledujúce vlastnosti :

● akýkoľvek afinná transformácia môžu byť reprezentované ako postupnosť operácií z tých najjednoduchších: posun, roztiahnutie / stlačenie, rotácia;

● priamky, rovnobežnosť priamok, pomer dĺžok segmentov ležiacich na jednej priamke a pomer plôch figúr sú zachované.

Afinné transformácie súradníc v rovine :

(x, r) Je dvojrozmerný súradnicový systém,

(X, Y.) - súradnice starého CS v novom súradnicovom systéme.

Reverzná konverzia:

2. Natiahnutie / stlačenie osí:

Reverzná transformácia

Reverzná transformácia - rotácia systému ( X,Y.) o uhol (-α):

Afinné premeny objektov v rovine.

x, r - staré súradnice bodu, X, Y. - nové súradnice bodu.

Posun:
Reverzná konverzia:
Zmena mierky objektu:

Reverzná konverzia:

3. Rotácia okolo stredu súradníc:

Reverzná konverzia:

Prednáška 8

Geometrické modely plochých predmetov

Základné pojmy

Poloha bodu v priestore R n (n-rozmerný priestor) je daný vektorom polomeru p= [p1, p2, … , pn] majúci n súradnice p1, p2, … , pn a expanzia v n lineárne nezávislých bázových vektoroch e1, e2, … , ru :

https://pandia.ru/text/78/331/images/image019_47.gif "width \u003d" 277 "height \u003d" 59 "\u003e

Čiara v lietadle možno uviesť implicitnou rovnicou:

(NF) f(x,r)= 0;

alebo v parametrickej podobe:

(PF) p(t)= [x(t), r(t)].

V ktoromkoľvek pravidelnom (hladkom a viacnásobnom) bode na čiare p0= [x0, r0]= p(t0) možné linearizácia krivka, teda k nej nakreslená dotyčnica, ktorej rovnice majú tvar

(NF) Nx(x - x0) + Ny(r - r0) \u003d 0 alebo N ◦ (p - p0) = 0,

(PF) x(t) = x0 + Vx t, r(t)= r0 + Vy t alebo p(t) = p0 + Vt.

Normálny vektor N= [Nx, Ny] je kolmý na priamku a smerovaný v smere kde f(p)> 0.

Vektor smeru priamky V.= [Vx, Vy] začína bodom p0 a nasmerovaný tangenciálne na p(t) nahor t.

Vektory N a V. sú kolmé, t.j. N ◦ V. \u003d 0 alebo NxVx + NyVy = 0.

Vzťah medzi normálovým vektorom a smerovým vektorom:

N=[Vy, - Vx], V.=[-Ny, Nx]

Metódy popisu (modelov) priamky

Implicitná rovnica priamky dané tromi koeficientmi A, B a Dtvoriaci vektor F= [A, B, D]:

(NF): Sekera+ Autor:+ D=0.

Aspoň jedno z čísel A alebo B musí byť nenulová.

Ak sú oba koeficienty nenulové ( A≠ 0 a B≠ 0), potom rovná čiara prechádza šikmo k súradnicovým osiam a pretína ich v bodoch (- D/ A, 0) a (0, - D/ B).

Kedy A=0, BEqu 0 rovnica Autor:+ D\u003d 0 popisuje vodorovnú čiaru r= – D/ B .

Kedy A≠0, B= 0 rovnica Sekera+ D\u003d 0 popisuje zvislú čiaru x= – D/ A.

Priamka prechádza pôvodom: f(0,0) \u003d 0 pre D=0.

Kvôli vlastnosti priamky rozdeliť rovinu na dve polroviny s opačnými znamienkami vám implicitná rovnica umožňuje určiť polohu bodu (-ov) v rovine vzhľadom na priamku:

1) bod q leží na priamke, ak f(q)=0;

2) body a a b ležať na jednej strane priamky, ak f(a)∙ f(b)>0;

3) body a a b ležať na opačných stranách priamky, ak f(a)∙ f(b)<0.

Pre budovanie priamky implicitnou rovnicou je potrebné a postačujúce mať buď dva nezhodné body p0 a p1, ktorým prechádza, alebo smeruje p0 a smerový vektor V., s ktorým druhý bod p1 sa počíta ako p1= p0+ V..

Z implicitnej rovnice priamky N= [A, B] Þ V.= [- B, A].

Normálna rovnica priamky - priamka je opísaná pomocou bodu p0 a normálny vektor N a je odvodené od podmienky ortogonality vektorov N a ( p- p0) za všetky body ppatriace k priamke f(p)= N◦(p- p0).

Implicitná funkcia nám umožňuje odhadnúť polohu bodu p vzhľadom na normálový vektor priamky:

● o f(a)\u003e 0 bodov a leží v rovnakom polopriestore, kam smeruje normála, a uhol Ð (a- p0, N) akútna;

● o f(b)<0 угол Ð (b- p0, N) je nudný a bod b a normálne sú na opačných stranách priamky.

Funkcia parametrických riadkov p(t)= p0+ Vtkde
V.= [- Ny, Nx] je vhodný na určovanie a konštruovanie častí priamky - segmentov a lúčov. Za týmto účelom musíte určiť limity zmeny parametra t:

● nekonečný interval - ¥<t<¥ не ограничивает протяженность бесконечной прямой;

● o t³0 lúč vychádzajúci z bodu p0 až nekonečno v smere vektora V.;

● koncový interval t0≤t≤t1 definuje úsečku medzi bodmi p0+ Vt0 a p0+ Vt1.

Vzhľadom na ľavú orientáciu smerového vektora V. vzhľadom na normálny vektor N normálna forma ekvivalentná funkcia

https://pandia.ru/text/78/331/images/image030_34.gif "width \u003d" 309 "height \u003d" 47 src \u003d "\u003e

Zmena parametra lúča v rozsahu 0≤λ≤1 poskytne také medziľahlé priamky, že rotácia nastane v najkratších uhloch.

Rovnica pre dvojsečnicu uhla medzi dvoma priamymi priamkami sa získa pri λ \u003d 0,5, ak | N1|=| N2| alebo | V.1|=| V.2 |. Výsledkom je, že parametre bisektora možno nájsť podľa vzorcov

Fbis =| N2| F1+| N1| F2, pbis ( t)= q+ V.bis t, V.bis =| V.2| V.1+| V.1| V.2.

Výpočet dvojsečiek je niekedy nevyhnutný, napríklad pri zostrojení kružnice vpísanej do trojuholníka. Ako viete, jeho stred leží v priesečníku dvojíc vnútorných uhlov tohto trojuholníka. Pri konštrukcii úsečky vnútorného uhla treba brať do úvahy smery vektorov strán strán trojuholníka substituovaných vo vzorci: musia buď opustiť vrchol, alebo ho obidve zadať. Ak sa toto pravidlo nedodrží, podľa zadaného vzorca sa nakreslí priamka dodatočného uhla trojuholníka a kruh sa vylúči.

Pri riešení väčšiny problémov v oblasti počítačom podporovaného projektovania (C) a technologickej prípravy výroby (TPP) je potrebné mať model projektového objektu.

Pod objektový model pochopiť jeho abstraktné znázornenie, ktoré spĺňa podmienku primeranosti tohto objektu a umožňuje jeho reprezentáciu a spracovanie pomocou počítača.

Takže model - súbor údajov odrážajúci vlastnosti objektu a súbor vzťahov medzi týmito údajmi.

V závislosti od povahy jeho vykonania môže model PR objektu obsahovať množstvo rôznych charakteristík a parametrov. Najčastejšie objektové modely obsahujú údaje o tvare objektu, jeho rozmeroch, toleranciách, použitých materiáloch, mechanických, elektrických, termodynamických a iných charakteristikách, metódach spracovania, nákladoch a tiež mikrogeometrii (drsnosť, odchýlky tvaru, rozmery).

Pre spracovanie modelu v grafických CAD systémoch nie je nevyhnutné celé množstvo informácií o objekte, ale časť, ktorá určuje jeho geometriu, t.j. tvary, veľkosti, priestorové usporiadanie predmetov.

Opis objektu z hľadiska jeho geometrie sa volá geometrický model objektu.

Geometrický model ale môže obsahovať aj niektoré technologické a pomocné informácie.

Informácie o geometrických charakteristikách objektu sa používajú nielen na získanie grafického obrazu, ale aj na výpočet rôznych charakteristík objektu (napríklad metódou FEM), na prípravu programov pre CNC obrábacie stroje.

V tradičnom procese projektovania sa výmena informácií uskutočňuje na základe náčrtu a pracovných výkresov pomocou referenčnej a technickej dokumentácie. V CAD je táto výmena implementovaná na základe strojovej reprezentácie objektu.

Pod geometrické modelovanie porozumieť celému viacstupňovému procesu - od slovného (slovného) opisu objektu v súlade s danou úlohou až po získanie intramachínového znázornenia objektu.

V systémoch geometrického modelovania môžu byť spracované 2-rozmerné a 3-dimenzionálne objekty, ktoré môžu byť analyticky popisné a nepopisné. Analyticky neopísateľné geometrické prvky, ako sú krivky a plochy s voľným tvarom, sa používajú predovšetkým na popis objektov v automobilovom, leteckom a lodnom priemysle.

Hlavné typy GM

2-rozmerné modely, ktoré vám umožňujú vytvárať a upravovať výkresy, boli prvými modelmi, ktoré našli použitie. Takéto modelovanie sa často používa dodnes, pretože je to oveľa lacnejšie (z hľadiska algoritmov, použitia) a je celkom vhodné pre priemyselné organizácie pri riešení rôznych problémov.

Vo väčšine systémov 2D geometrického modelovania je objekt interaktívne opísaný v súlade s algoritmami podobnými algoritmom tradičnej metódy návrhu. Rozšírenie takýchto systémov spočíva v tom, že obrysom alebo plochým povrchom je priradená konštantná alebo premenlivá hĺbka obrazu. Systémy fungujúce na tomto princípe sa nazývajú 2,5-rozmerný.Umožňujú vám získať axonometrické priemety objektov vo výkresoch.

2D znázornenie však často nie je vhodné pre pomerne zložité produkty. Pri tradičných metódach návrhu (bez CAD) sa používajú výkresy, na ktorých je možné produkt reprezentovať niekoľkými pohľadmi. Ak je produkt veľmi zložitý, je možné ho predstaviť ako model. 3D model slúži na vytvorenie virtuálneho znázornenia produktu vo všetkých 3 rozmeroch.

Existujú 3 typy trojrozmerných modelov:

Rám (drôt)

Povrch (polygonálny)

· Objemové (modely pevných telies).

· Historicky prvý drôtové modely... Ukladajú iba súradnice vrcholov ( x, y, z) a okraje, ktoré ich spájajú.

Obrázok ukazuje, ako je možné kocku nejasne vnímať.

Pretože známe sú iba hrany a vrcholy, sú možné rôzne interpretácie jedného modelu. Drôtový model je jednoduchý, ale môže predstavovať iba v priestore obmedzenú triedu častí, v ktorých sú približnými plochami roviny. Na základe modelu drôteného modelu môžete získať projekcie. Je však nemožné automaticky odstrániť skryté čiary a získať rôzne sekcie.

· Povrchové modely vám umožní opísať dosť zložité povrchy. Pri opise zložitých tvarov a práci s nimi preto často vyhovujú potrebám priemyslu (lietadlá, lode, automobilový priemysel).

Pri zostavovaní modelu povrchu sa predpokladá, že objekty sú ohraničené povrchmi, ktoré ich oddeľujú od okolitého prostredia. Povrch objektu je tiež ohraničený obrysmi, ale tieto obrysy sú výsledkom 2 dotykov alebo pretínania povrchov. Vrcholy objektu možno určiť priesečníkom povrchov, množinou bodov, ktoré vyhovujú niektorým geometrickým vlastnostiam, v súlade s ktorými je definovaná kontúra.

Sú možné rôzne typy povrchov (roviny, rotačné plochy, rovinné plochy). Pre zložité povrchy sa používajú rôzne matematické modely aproximácie povrchov (metódy Koons, Bezier, Hermite, B-spline). Umožňujú vám meniť povahu povrchu pomocou parametrov, ktorých význam má používateľ, ktorý nemá špeciálne matematické pozadie.

Aproximácia všeobecných povrchov plochými plochami dáva výhoda: na ošetrenie takýchto povrchov sa používajú jednoduché matematické metódy. Nevýhoda: zachovanie tvaru a veľkosti objektu závisí od počtu tvárí použitých na aproximáciu. \u003e Počet tvárí,< отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

Ak je pre model objektu podstatné rozlíšenie medzi bodmi na vnútorné a vonkajšie, potom sa o nich hovorí volumetrické modely... Na získanie takýchto modelov sa najskôr určia povrchy obklopujúce objekt a potom sa zhromažďujú do objemov.

V súčasnosti sú známe nasledujúce metódy konštrukcie volumetrických modelov:

· IN hraničné modely objem je definovaný ako množina povrchov ohraničujúcich ho.

Štruktúru je možné skomplikovať zavedením akcií prenosu, rotácie a zmeny mierky.

Výhody:

¾ záruka generovania správneho modelu,

¾ veľké príležitosti na modelovanie foriem,

¾ rýchly a efektívny prístup k geometrickým informáciám (napríklad na kreslenie).

nevýhody:

¾ väčšie množstvo počiatočných údajov ako pri metóde CSG,

¾ model logicky< устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ zložitosť vytvárania variácií foriem.

· IN Modely CSG objekt je definovaný kombináciou elementárnych objemov pomocou geometrických operácií (spojenie, priesečník, rozdiel).

Elementárny objem sa chápe ako množina bodov v priestore.

Modelom pre takúto geometrickú štruktúru je stromová štruktúra. Uzly (neterminálne vrcholy) sú operácie a listy sú elementárne objemy.

Výhody :

¾ koncepčná jednoduchosť,

¾ malé množstvo pamäte,

¾ konzistencia dizajnu,

¾ možnosť komplikácie modelu,

¾ jednoduchosť prezentácie častí a častí.

Nevýhody:

¾ obmedzenie rozsahu booleovských operácií,

¾ výpočtovo náročné algoritmy,

¾ neschopnosť používať parametricky opísané povrchy,

¾ ťažkosti pri práci s funkciami\u003e ako 2. rád.

· Bunková metóda. Obmedzená oblasť priestoru, ktorá pokrýva celý modelovaný objekt, sa považuje za rozdelenú na veľké množstvo samostatných kubických buniek (zvyčajne jednej veľkosti).

Systém modelovania by mal jednoducho zaznamenávať informácie o príslušnosti každej kocky k objektu.

Dátovú štruktúru predstavuje trojrozmerná matica, v ktorej každý prvok zodpovedá priestorovej bunke.

Výhody:

¾ jednoduchosť.

Nevýhody:

¾ veľké množstvo pamäte.

Na prekonanie tejto nevýhody sa používa princíp rozdeľovania buniek na subbunky v obzvlášť zložitých častiach objektu a na hranici.

Objemový model objektu, získaný akýmkoľvek spôsobom, je správny, t.j. V tomto modeli neexistujú žiadne rozpory medzi geometrickými prvkami, napríklad čiarový segment nemôže pozostávať z jedného bodu.

Drôtený model m.b. nepoužíva sa pri modelovaní, ale pri odrážaní modelov (objemových alebo povrchových) ako jednej z metód vizualizácie.

Spomedzi najrôznejších modelov používaných vo vede a technike sú najpoužívanejšie matematické modely. Matematickými modelmi sa zvyčajne rozumejú rôzne matematické konštrukcie postavené na báze modernej výpočtovej techniky, ktoré popisujú a reprodukujú vzťah medzi parametrami modelovaného objektu. Na vytvorenie vzťahu medzi číslom a tvarom existujú rôzne spôsoby kódovania medzier a čísel. Jednoduchosť a prístupnosť riešenia praktických problémov závisí od dobre zvoleného referenčného rámca. Geometrické modely sa delia na tematické (kresby, mapy, fotografie, modely, televízne obrazy atď.), Výpočtové a kognitívne. Objektové modely úzko súvisia s vizuálnym pozorovaním. Informácie prijaté z predmetových modelov zahŕňajú informácie o tvare a veľkosti objektu, o jeho umiestnení v porovnaní s ostatnými. Výkresy strojov, technických zariadení a ich častí sa vykonávajú v súlade s mnohými konvenciami, osobitnými pravidlami a určitou mierkou. Výkresy môžu byť montážne, všeobecné, montážne, tabuľkové, rozmerové, vonkajšie, prevádzkové atď. V závislosti od fázy návrhu sa výkresy rozlišujú na výkresy technických návrhov, návrhové a technické návrhy, pracovné výkresy. Kresby sa tiež líšia podľa priemyselných odvetví: strojárstvo, výroba nástrojov, stavebníctvo, baníctvo a geologické, topografické atď. Výkresy zemského povrchu sa nazývajú mapy. Kresby sa rozlišujú metódou obrázkov: ortogonálna kresba, axonometria, perspektíva, projekcie s číselnými značkami, afinné projekcie, stereografické projekcie, kinematografická perspektíva atď. Geometrické modely sa významne líšia v spôsobe ich vykonania: kresby sú originály, originály, kópie, kresby, maľby, fotografie, filmy, rádiografy, kardiogramy, modely, modely, sochy atď. Medzi geometrickými modelmi sú ploché a volumetrické modely. Na získanie numerických riešení rôznych problémov je možné použiť grafické konštrukcie. Pri výpočte algebraických výrazov sú čísla reprezentované smerovými segmentmi. Na zistenie rozdielu alebo súčtu čísel sa príslušné úsečky vykreslia na priamke. Násobenie a delenie sa vykonáva zostrojením proporcionálnych segmentov, ktoré sú po stranách rohu odrezané priamymi rovnobežnými čiarami. Kombinácia násobenia a sčítania umožňuje vypočítať súčty produktov a vážený priemer. Grafická umocňovanie spočíva v postupnom opakovaní násobenia. Grafickým riešením rovníc je hodnota úsečky priesečníka kriviek. Môžete graficky vypočítať určitý integrál, zakresliť deriváciu, t.j. diferencovať a integrovať a riešiť rovnice. Geometrické modely pre grafické výpočty musia byť odlíšené od nomogramov a výpočtových geometrických modelov (RGM). Grafické výpočty vyžadujú zakaždým postupnosť konštrukcií. Nomogramy a RGM sú geometrické obrázky funkčných závislostí a na nájdenie číselných hodnôt nevyžadujú nové konštrukcie. Nomogramy a RGM sa používajú na výpočet a štúdium funkčných závislostí. Výpočty týkajúce sa RGM a nomogramov sa nahrádzajú čítaním odpovedí pomocou základných operácií uvedených v kľúči nomogramu. Hlavnými prvkami nomogramov sú váhy a binárne polia. Nomogramy sa ďalej členia na elementárne a zložené nomogramy. Nomogramy sa tiež líšia podľa operácie v kľúči. Zásadný rozdiel medzi RGM a nomogramami je v tom, že na konštrukciu RGM sa používajú geometrické metódy a na tvorbu nomogramov sa používajú analytické metódy.

Geometrické modely znázorňujúce vzťahy medzi prvkami množiny sa nazývajú grafy. Grafy sú modelmi poradia a spôsobu pôsobenia. Tieto modely nemajú vzdialenosti, uhly, nezáleží na tom, či sú body priamky alebo krivky spojené. V grafoch sa rozlišujú iba vrcholy, hrany a oblúky. Prvýkrát boli pri riešení hlavolamov použité grafy. V súčasnosti sa grafy efektívne využívajú v teórii plánovania a riadenia, teórii rozvrhovania, sociológii, biológii, pri riešení pravdepodobnostných a kombinatorických problémov atď. Grafický model závislosti sa nazýva graf. Funkčné grafy je možné zostaviť na jeho danej časti alebo na grafe inej funkcie pomocou geometrických transformácií. Grafické znázornenie, ktoré zreteľne zobrazuje pomer akýchkoľvek veličín, je diagram. Napríklad stavový diagram (fázový diagram) graficky zobrazuje vzťah medzi stavovými parametrami termodynamicky rovnovážneho systému. Stĺpcový graf, ktorý je kolekciou susedných obdĺžnikov postavených na jednej priamke a predstavuje distribúciu akýchkoľvek hodnôt kvantitatívnou charakteristikou, sa nazýva histogram.

Obzvlášť zaujímavé je použitie geometrie na posúdenie teoretickej a praktickej hodnoty matematického uvažovania a analýzy podstaty matematického formalizmu. Všimnite si, že všeobecne akceptované spôsoby prenosu získaných skúseností, vedomostí a vnímania (reč, písanie, maľovanie atď.) Sú zjavne homomorfným projekčným modelom reality. Koncepty projekčného schematizmu a návrhových operácií sa týkajú deskriptívnej geometrie a majú svoje zovšeobecnenie v teórii geometrického modelovania. Z geometrického hľadiska môže mať akýkoľvek objekt veľa projekcií, ktoré sa líšia tak v polohe centra návrhu, ako aj v obraze, a v ich rozmeroch, t. skutočné javy prírody a spoločenské vzťahy umožňujú rôzne opisy, ktoré sa navzájom líšia mierou spoľahlivosti a dokonalosti. Základom vedeckého výskumu a zdrojom akejkoľvek vedeckej teórie je pozorovanie a experiment, ktorého cieľom je vždy identifikovať nejaký vzorec. Pri začatí štúdia konkrétneho javu špecialista v prvom rade zhromažďuje fakty, t.j. zaznamenáva také situácie, ktoré je možné experimentálne pozorovať a registrovať pomocou zmyslov alebo špeciálnych zariadení. Experimentálne pozorovanie má vždy projekčný charakter, pretože rovnakému názvu (projekcii) je priradené veľa faktov, ktoré sú v danej situácii nerozlíšiteľné (patriace k jednému premietajúcemu obrazu). Priestor označovaný študovaným javom sa nazýva prevádzkový a priestor pozorovateľa sa nazýva obrázkový. Rozmer obrazového priestoru je určený schopnosťami a prostriedkami pozorovania, t.j. dobrovoľne alebo nedobrovoľne, vedome a úplne spontánne, je stanovené experimentátorom, vždy však menšou ako je rozmer pôvodného priestoru, do ktorého skúmané objekty patria, a to z dôvodu rôznych súvislostí, parametrov, dôvodov. Rozmer pôvodného priestoru zostáva veľmi často nezistený existujú neidentifikované parametre, ktoré ovplyvňujú študovaný objekt, ale nie sú známe výskumnému pracovníkovi alebo ich nemožno brať do úvahy. Projekčná povaha každého experimentálneho pozorovania sa v prvom rade vysvetľuje nemožnosťou opakovania udalostí v čase; toto je jeden z pravidelne sa vyskytujúcich a nekontrolovateľných parametrov, ktoré nezávisia od vôle experimentátora. V niektorých prípadoch sa tento parameter ukáže ako nepodstatný a v iných prípadoch hrá veľmi dôležitú úlohu. To ukazuje na veľký a zásadný význam geometrických metód a analógií pri konštrukcii, hodnotení alebo overovaní vedeckých teórií. Každá vedecká teória je v skutočnosti založená na experimentálnych pozorovaniach a výsledky týchto pozorovaní sú - ako bolo povedané - projekciou skúmaného objektu. Skutočný proces možno navyše opísať pomocou niekoľkých rôznych modelov. Z hľadiska geometrie to zodpovedá voľbe iného konštrukčného zariadenia. Rozlišuje predmety podľa niektorých charakteristík a nerozlišuje ich podľa iných. Jednou z najdôležitejších a najnaliehavejších úloh je identifikovať podmienky, za ktorých je determinizmus modelu získaného ako výsledok experimentu alebo výskumu zachovaný alebo naopak rozpadnutý, pretože takmer vždy je dôležité vedieť, aký efektívny a vhodný je daný homomorfný model. Riešenie problémov nastolených geometrickými prostriedkami sa v súvislosti s využitím vyššie uvedených projekčných pohľadov ukázalo ako vhodné a prirodzené. Všetky tieto okolnosti slúžili ako základ pre použitie analógií medzi rôznymi typmi projekčných geometrických modelov získaných homomorfným modelovaním a modelmi vyplývajúcimi zo štúdie. Dokonalý model zodpovedá zákonitostiam, ktoré vytvárajú jednoznačný alebo nejednoznačný, ale v každom prípade dobre definovanú korešpondenciu medzi niektorými počiatočnými a hľadanými parametrami, ktoré popisujú skúmaný jav. V tomto prípade pôsobí účinok schematizácie, zámerné zmenšenie rozmeru obrazového priestoru, t.j. odmietnutie zohľadniť množstvo základných parametrov, ktoré vám umožňujú ušetriť peniaze a vyhnúť sa chybám. Vedec sa neustále zaoberá takými prípadmi, keď sa intuitívne nepravidelné javy líšia od bežných javov, kde existuje určitá súvislosť medzi parametrami charakterizujúcimi skúmaný proces, ale mechanizmus pôsobenia tejto pravidelnosti zatiaľ nie je známy, pre čo je následne nastavený experiment. V geometrii táto skutočnosť zodpovedá rozdielu medzi rozpadnutým modelom a dokonalým modelom s implicitne vyjadreným algoritmom. Úlohou výskumného pracovníka v druhom prípade je identifikovať algoritmus v projekčných, vstupných a výstupných prvkoch. Pravidelnosť získaná v dôsledku spracovania a analýzy určitej vzorky experimentálnych údajov sa môže ukázať ako nespoľahlivá z dôvodu nesprávne zostavenej vzorky činných faktorov, ktoré sú predmetom štúdie, pretože sa ukazuje iba ako zdegenerovaná verzia všeobecnejšej a zložitejšej pravidelnosti. Preto vzniká potreba opakovaných alebo úplných testov. V geometrickom modelovaní táto skutočnosť - získanie nesprávneho výsledku - zodpovedá šíreniu algoritmu pre určitý podpriestor vstupných prvkov na všetky vstupné prvky (t. J. Nestabilita algoritmu).

Najjednoduchší skutočný objekt, ktorý je vhodné opísať a modelovať pomocou geometrických reprezentácií, je sada všetkých pozorovaných fyzických telies, vecí a objektov. Táto množina vypĺňa fyzický priestor, ktorý možno považovať za počiatočný objekt, ktorý sa má študovať, geometrický priestor ako jeho matematický model. Fyzické spojenia a vzťahy medzi skutočnými objektmi sú nahradené pozičnými a metrickými vzťahmi geometrických obrazov. Opis podmienok skutočného problému z geometrického hľadiska je veľmi dôležitou a najťažšou etapou pri riešení problému, ktorá si vyžaduje zložitý reťazec záverov a vysokú úroveň abstrakcie, v dôsledku čoho je skutočná udalosť odetá do jednoduchej geometrickej konštrukcie. Obzvlášť dôležité sú teoretické geometrické modely. V analytickej geometrii sa geometrické obrázky skúmajú pomocou algebry na základe metódy súradníc. V projektívnej geometrii sa študujú projektívne transformácie a nemenné vlastnosti obrazcov, ktoré sú od nich nezávislé. V deskriptívnej geometrii sa študujú priestorové obrázky a metódy riešenia priestorových problémov konštruovaním ich obrazov v rovine. Vlastnosti rovinných útvarov sa uvažujú v planimetrii a vlastnosti priestorových útvarov sa zohľadňujú v stereometrii. V sférickej trigonometrii sa študuje vzťah medzi uhlami a stranami sférických trojuholníkov. Teória fotogrametrie a stereogrammetrie umožňuje určiť tvary, veľkosti a polohy objektov z ich fotografických obrazov vo vojenských záležitostiach, vesmírnom výskume, geodézii a kartografii. Moderná topológia študuje spojité vlastnosti postáv a ich relatívnu polohu. Fraktálna geometria (zavedená do vedy v roku 1975 B. Mandelbrotom), ktorá študuje všeobecné zákony procesov a štruktúr v prírode, sa vďaka modernej počítačovej technológii stala jedným z najplodnejších a najúžasnejších objavov matematiky. Fraktály by boli ešte populárnejšie, ak by boli založené na výdobytkoch modernej teórie deskriptívnej geometrie.

Pri riešení mnohých problémov deskriptívnej geometrie je potrebné transformovať obrazy získané v projekčných rovinách. Kolineárne transformácie v rovine: homológia a afinná korešpondencia sú nevyhnutné v teórii deskriptívnej geometrie. Pretože akýkoľvek bod v projekčnej rovine je prvkom modelu bodu v priestore, je vhodné predpokladať, že akákoľvek transformácia v rovine je generovaná transformáciou v priestore a naopak transformácia v priestore spôsobí transformáciu v rovine. Všetky transformácie vykonávané v priestore a na modeli sa uskutočňujú s cieľom zjednodušiť riešenie problémov. Takéto zjednodušenia sú spravidla spojené s geometrickými obrazmi konkrétnej polohy, a preto sa podstata transformácií vo väčšine prípadov redukuje na transformáciu obrazov všeobecnej polohy na konkrétnu polohu.

Plochý model trojrozmerného priestoru zostrojený metódou dvoch obrazov je dosť jednoznačný alebo, ako sa hovorí, izomorfne porovnáva prvky trojrozmerného priestoru s ich modelom. To umožňuje vyriešiť v lietadlách takmer akýkoľvek problém, ktorý môže vzniknúť vo vesmíre. Ale niekedy je z nejakých praktických dôvodov vhodné doplniť takýto model o tretí obrázok modelového objektu. Teoretickým základom pre získanie ďalšej projekcie je geometrický algoritmus navrhnutý nemeckým vedcom Gauckom.

Úlohy klasickej deskriptívnej geometrie možno konvenčne rozdeliť na úlohy pozičné, metrické a konštruktívne. Úlohy spojené s identifikáciou relatívnej polohy vzájomných geometrických obrazov sa nazývajú pozičné. Vo vesmíre sa môžu a nemusia pretínať priame čiary a roviny. Otvorte pozičné problémy v pôvodnom priestore, keď okrem určenia pretínajúcich sa obrazov nie sú potrebné žiadne konštrukcie, uzavrú sa na plochom modeli, pretože algoritmy ich riešenia sa rozpadajú kvôli nemožnosti oddelenia geometrických obrázkov. V priestore majú priamka a rovina vždy priesečník vo vnútornom alebo nesprávnom bode (priamka je rovnobežná s rovinou). Na modeli je rovina daná homológiou. Na grafe Monge je rovina špecifikovaná súvisiacou korešpondenciou a na vyriešenie problému je potrebné implementovať algoritmus na zostrojenie zodpovedajúcich prvkov v danej transformácii. Riešenie úlohy na križovatke dvoch rovín sa redukuje na definíciu úsečky, ktorá sa rovnako transformuje v dvoch daných príbuzných zhodách. Polohové problémy na priesečníku geometrických obrazov zaujímajúcich projekčnú pozíciu sú veľmi zjednodušené kvôli degenerácii ich projekcií, a preto hrajú osobitnú úlohu. Ako viete, jedna projekcia premietacieho obrazu má kolektívnu vlastnosť, všetky body priamky sa zdegenerujú do jedného bodu a všetky body a čiary roviny sa zdegenerujú do jednej priamky, preto sa problém s polohou priesečníka redukuje na určenie chýbajúcej projekcie požadovaného bodu alebo priamky. Ak vezmeme do úvahy jednoduchosť riešenia pozičných problémov prieniku geometrických obrázkov, keď aspoň jeden z nich zaberá projekčnú pozíciu, je možné vyriešiť všeobecné pozičné problémy pomocou metód transformácie výkresu na transformáciu jedného z obrazov do projekčnej polohy. Faktom je, že rôzne priestorové algoritmy v rovine sú modelované rovnakým algoritmom. To sa dá vysvetliť skutočnosťou, že v priestore existuje rádovo viac algoritmov ako v rovine. Na riešenie pozičných problémov sa používajú rôzne metódy: metóda guličiek, metóda rezania rovín a kreslenie transformácií. Operáciu projekcie možno považovať za spôsob formovania a definovania povrchov.

S meraním dĺžok segmentov, uhlov, plôch obrazcov atď. Je spojená široká škála úloh. Tieto charakteristiky sú spravidla vyjadrené číslom (dva body určujú číslo charakterizujúce vzdialenosť medzi nimi; dve priame čiary určujú číslo charakterizujúce hodnotu uhla nimi tvoreného a atď.), na určenie ktorých sa používajú rôzne normy alebo stupnice. Príkladom takýchto noriem je pravidelné pravítko a uhlomer. Na určenie dĺžky segmentu je potrebné porovnať ho so štandardom, napríklad pravítkom. A ako pripojiť pravítko k priamke so všeobecnou pozíciou na výkrese? Stupnica pravítka v projekciách bude skreslená a pre každú pozíciu čiary bude k dispozícii jej vlastná stupnica skreslenia. Na riešenie metrických problémov na výkrese je potrebné nastaviť podporné prvky (nesprávna rovina, absolútna polarita, segment mierky), pomocou ktorých môžete zostaviť ľubovoľnú mierku. Na riešenie metrických problémov na grafe Monge sa používajú transformácie výkresu, aby sa požadované obrázky neskreslili aspoň v jednej projekcii. Metrickými problémami teda rozumieme transformáciu segmentov, uhlov a rovinných obrazcov do polôh, keď sú zobrazené v plnej veľkosti. V takom prípade môžete použiť rôzne metódy. Existuje všeobecná schéma riešenia základných metrických úloh na meranie vzdialenosti a uhlov. Najväčší záujem je o konštruktívne problémy, ktorých riešenie je založené na teórii riešenia pozičných a metrických problémov. Štrukturálnymi problémami sa rozumejú úlohy spojené s konštrukciou geometrických obrazov, ktoré zodpovedajú určitým vetám popisnej geometrie.

V technických disciplínach sa statické geometrické modely používajú na formovanie predstáv o určitých objektoch, ich konštrukčných prvkoch, o ich základných prvkoch a dynamických alebo funkčných geometrických modeloch, ktoré umožňujú demonštrovať kinematiku, funkčné vzťahy alebo technické a technologické procesy. Geometrické modely veľmi často umožňujú sledovať priebeh takých javov, ktoré sa nehodia na bežné pozorovanie a ktoré je možné znázorniť na základe existujúcich poznatkov. Obrázky umožňujú nielen reprezentovať zariadenie určitých strojov, prístrojov a zariadení, ale zároveň charakterizovať ich technologické vlastnosti a funkčné parametre.

Výkresy poskytujú nielen geometrické informácie o tvare častí zostavy. Rozumie princípu činnosti jednotky, pohybu častí voči sebe navzájom, premene pohybov, výskytu síl, napätí, premene energie na mechanickú prácu atď. Na vysokej škole technickej sa výkresy a diagramy uskutočňujú vo všetkých študovaných všeobecných technických a špeciálnych odboroch (teoretická mechanika, odolnosť materiálov, konštrukčné materiály, elektromechanika, hydraulika, strojárstvo, obrábacie stroje a náradie, teória strojov a mechanizmov, strojné súčasti, stroje a zariadenia atď. ). Na sprostredkovanie rôznych informácií sú kresby doplnené rôznymi znakmi a symbolmi a na ich slovný popis sa používajú nové koncepty, ktorých tvorba vychádza zo základných pojmov z fyziky, chémie a matematiky. V procese štúdia teoretickej mechaniky a odolnosti materiálov sa objavujú kvalitatívne nové typy vizualizácie: schematický pohľad na štruktúru, návrhovú schému, diagram. Diagram je typ grafu, ktorý zobrazuje veľkosť a znamenie rôznych faktorov vnútornej sily pôsobiacich v ktoromkoľvek bode konštrukcie (pozdĺžne a priečne sily, torzné a ohybové momenty, napätia atď.). V priebehu odolnosti materiálov je v procese riešenia akéhokoľvek výpočtového problému potrebné opakované prekódovanie údajov pomocou obrázkov, ktoré sa líšia svojimi funkciami a úrovňami abstrakcie. Schematický pohľad, ako prvá abstrakcia od skutočnej stavby, umožňuje formulovať úlohu, zvýrazniť jej podmienky a požiadavky. Návrhová schéma konvenčne prenáša návrhové prvky, ich geometrické charakteristiky a metrické pomery, priestorovú polohu a smer faktorov pôsobiacej sily a podporné reakcie, body charakteristických rezov. Na jeho základe je vytvorený model riešenia problému, ktorý slúži ako vizuálna podpora v procese implementácie stratégie v rôznych fázach riešenia (pri zostavovaní diagramu momentov, napätí, torzných uhlov a ďalších faktorov). V budúcnosti sa pri štúdiu technických disciplín štruktúra používaných geometrických obrazov bude čoraz viac komplikovať rozšíreným používaním podmienených grafických obrázkov, znakových modelov a ich rôznych kombinácií. Geometrické modely sa tak stávajú integračným článkom v prírodných a technických akademických disciplínach, ako aj metódami profesionálnej činnosti budúcich odborníkov. Formovanie profesionálnej kultúry inžiniera je založené na grafickej kultúre, ktorá umožňuje kombinovať rôzne typy činností v rámci jednej odbornej komunity. Úroveň vzdelania špecialistu závisí od toho, ako rozvinuté a mobilné je jeho priestorové myslenie, pretože nemennou funkciou intelektuálnej činnosti inžiniera je prevádzka obrazných grafických, schematických a symbolických modelov objektov.

Podobné informácie.