Afinné transformácie pomocou homogénnych súradníc. Súradnicové vesmírne transformácie Afinitné súradnicové transformácie

Najprv definujme, čo sú transformácie? Povedzme, že máme model (povedzme, že toto je trojuholník pre jednoduchosť). A tri súradnicové priestory: objekt (v ktorom je tento trojuholník popísaný), svet a priestor kamery. Transformácia je teda vyjadrením súradníc objektu nachádzajúceho sa v jednom súradnicovom systéme (objekte) pomocou súradníc iného súradnicového systému (najskôr svetového a potom kamerového).

Ako som už napísal, používanie rôznych súradnicových priestorov uľahčuje vytváranie virtuálneho sveta. Objekty sa vytvárajú v objektovom priestore a každý objekt má svoj vlastný súradnicový priestor. Svetový priestor spája všetky objekty virtuálneho sveta a umožňuje vám robiť veľmi ťažké veci - veľmi jednoduché (napríklad pohybujúce sa objekty). Po vytvorení scény a presune všetkých objektov sa svetové súradnice transformujú do súradnicového priestoru kamery. Použijeme iba jednu kameru, ale v skutočných situáciách ich môžete vytvoriť niekoľko. Niekoľko kamier bolo napríklad použitých v geniálnej hre Earth 2150: Escape z modrá planéta.

Takže o čom hovorím: Na použitie viacerých súradnicových priestorov sú potrebné transformácie.

Najprv si zapamätajme pár vecí o vektoroch. S tým nám pomôže nasledujúci obrázok:

Čo tu vidíme: priestor súradníc sveta tvorený osami x, y, z. Jednotkové vektory i, j, k sa nazývajú orty alebo základné vektory svetového súradnicového priestoru. Pomocou súčtu týchto vektorov môžete získať ľubovoľný vektor v priestore súradníc sveta.

v je vektor, ktorý spája pôvod sveta a pôvod objektu. Dĺžka vektora v sa rovná vzdialenosti medzi počiatkom sveta a počiatkom objektu. Zoberme si vektorovú formu v=(5,2,5):

v= x * i+ y * j+ z * k = 5*i + 2*j + 5*k

Ako som už písal vyššie, pomocou základných vektorov je možné reprezentovať ľubovoľný bod (vektor) daného priestoru, čo ukazuje táto rovnica.

Vektory p,q,r- základné vektory priestorového objektu. Poznač si to i,j,k nebude nevyhnutne rovnaká p,q,r.

Na tomto obrázku som vynechal niekoľko drobností: v súradnicovom priestore objektu sú definované tri body, ktoré tvoria trojuholník. Navyše som nenaznačil fotoaparát, ktorý je nasmerovaný na trojuholník.

Transformácie lineárnych súradníc pomocou matíc

Najprv sa pozrime na jednotkové vektory i,j,k, ktoré sa zhodujú v smere so súradnicovými osami svetového priestoru a nazývajú sa orty alebo základné vektory svetového priestoru.

Napíšte tieto vektory v súradnicovej forme vo forme matíc:

i= [i x i y i z] = [1 0 0] j= [j x j y j z] = [0 1 0] k= [k x k y k z] = [0 0 0]

Vektory sú tu reprezentované maticami 1x3 (riadkové matice).

Tieto základné vektory môžeme zapísať pomocou jednej matice:

A čo je ešte dôležitejšie, tieto vektory môžeme napísať takto:

Ako vidíte, dostali sme maticu identity 3x3 alebo 4x4.

Zdá sa, čo je na tom zlé? Myslite na to, že existuje príležitosť napísať niekoľko hlúpych základných vektorov priestoru do jednej matice. Ale nie, nebudete „premýšľať“ !!! Tu sa skrýva jedno z najtemnejších tajomstiev 3D programovania.

Ako som písal vyššie, každý bod, ktorý je prítomný vo virtuálnom svete, môže byť zapísaný vo vektorovej forme:

v= x * i+ y * j+ z * k

Kde v- bod v priestore, x, y, z - súradnice bodu v, a i,j,k- základné vektory priestoru. Všimnite si toho, že tu hovoríme o bode, ale uvažujeme o vektore. Dúfam, že si pamätáte, že vektor a bod sú v zásade to isté.

Vyššie uvedený vzorec sa nazýva vektorová forma vektora. Existuje aj iný názov - lineárna kombinácia vektorov. To je mimochodom pravda.

Teraz sa pozrime na vektor znova v... Zapíšme to do matice riadkov: v = [ 5 2 5 ]

Všimnite si toho, že dĺžka vektora v je vzdialenosť od začiatku svetového súradnicového priestoru k počiatku objektového súradnicového priestoru.

Skúsme tento vektor vynásobiť maticou, v ktorej sú zapísané základné vektory svetového priestoru (dúfam, že si pamätáte vzorec násobenia matice):

V dôsledku toho dostaneme nasledujúcu rovnicu:

v M = [(xi x + yj x + zk x) (xi y + yj y + zk y) (xi z + yj z + zk z)]

Máme vektor. Títo. výsledkom vynásobenia vektora maticou je vektor. V tomto prípade sa vektor nezmenil. Ak však prvky matice nie sú jednotky (na hlavnej uhlopriečke) a nuly (všetky ostatné prvky), ale niektoré ďalšie čísla, vektor sa zmení. Preto môžeme povedať, že matica M vykonáva transformáciu súradnicových priestorov. Zvážte všeobecný vzorec:

a, b - vektory, M - transformačná matica súradnicových priestorov. Vzorec je možné čítať takto: „matica M transformuje bod a do bodu b“.

Pre prehľadnosť sa pozrime na príklad. Potrebujeme previesť súradnice z objektového priestoru (p, q) na svet (i, j):

i,j- základné vektory svetového priestoru, p,q- základné vektory priestorového objektu. Na obrázku vidíte, že priestor súradníc objektu je otočený o -45 stupňov okolo osi z (na obrázku to nie je vidieť). Navyše vektory q,p 1,5 -krát viac vektorov i,j, čo znamená, že objekty definované v objektovom priestore budú vo svetovom priestore vyzerať jedenapolkrát menšie.

Ak chcete vizualizovať, ako bude model priestorového priestoru vyzerať po transformácii, môžete pridať rámec pre vektory i,j:

Rovnaký rámček môžete nakresliť aj pre p,q, ale kresbu som nepreplnil.

Teraz povedzme, že máme v objektovom priestore nakreslený trojuholník (obr. A). Vo svetovom priestore sa tento trojuholník otočí o 45 stupňov a zmenší o jednu tretinu (obr. B):

Teraz zozbierajme všetky prvky mozaiky: ako vieme, transformáciu je možné vykonať pomocou matice. Základné vektory sú maticové riadky. Súradnice základných vektorov svetového súradnicového priestoru v objektovom priestore sú nasledujúce:

i = [ 0.473 0.473 ] j = [ -0.473 0.473 ]

Ako sme poznali súradnice? Najprv vieme, že súradnicové priestory sú voči sebe otočené o 45 stupňov. Za druhé, základné vektory objektového priestoru sú 1,5 -krát dlhšie ako základné vektory svetového priestoru. S vedomím toho sme ľahko vypočítali súradnice vektorov i,j.

V dôsledku toho dostaneme nasledujúcu transformačnú maticu (v tomto prípade rotáciu alebo rotáciu):

Alebo v trojrozmernom priestore:

Všetky údaje sú približné.

Toto je matica transformácie súradníc z priestorového priestoru na zotrvačný priestor (pripomínam, že základné vektory zotrvačného priestoru sa zhodujú so základnými vektormi svetového priestoru). Na transformáciu trojuholníka z objektu na inerciálny priestor je potrebné vynásobiť všetky body (vektory) trojuholníka transformačnou maticou.

V poslednom prípade sme sa stretli s dvoma transformáciami: rotácia a škálovanie. Obe tieto transformácie sú lineárne.

Teraz, keď sme sa pozreli na príklady lineárnych transformácií, sa môžete zoznámiť s definíciou:

Lineárne transformácie sú súradnicové transformácie, ktoré nedeformujú medzery. Títo. všetky rovnobežné čiary zostávajú rovnobežné (existuje však jedna výnimka). Alebo úplne jednoducho: pri lineárnych transformáciách sa trojuholník nikdy nezmení na kruh alebo štvorec, ale vždy zostane trojuholníkom.

Teraz, keď zhruba chápeme, čo sú lineárne transformácie, zvážte konkrétne vzorce:

Mierka

k 1, k 2, k 3 - faktory škálovania. Ak je k 1, objekty sa zvýšia.

Otáčanie alebo otáčanie

Otáčanie okolo osi x:

Otáčanie okolo osi y:

Otáčanie okolo osi z:

Mimochodom, túto maticu (rotácia okolo osi z) sme použili vyššie.

Rotácia môže byť nielen okolo osí tvoriacich súradnicový priestor, ale aj okolo ľubovoľných priamych čiar. Vzorec na otočenie ľubovoľnej priamky je dosť komplikovaný, ešte nie sme pripravení to zvažovať.

Najdôležitejšia vec, ktorú je potrebné si z vyššie uvedeného zapamätať, je nasledujúca: riadky transformačnej matice obsahujú základné vektory nového súradnicového priestoru vyjadrené súradnicami starého súradnicového priestoru. ...

Ak porozumiete tejto jednoduchej veci (že základné matice nového priestoru sú zapísané v matici), potom pri pohľade na transformačnú maticu môžete ľahko vidieť nový súradnicový priestor.

A ten posledný:
Lineárne transformácie nemôžu pohybovať objektmi. Títo. objekty je možné zväčšovať / zmenšovať, otáčať, ale zostávajú nehybné.

Afinitné transformácie

Afinné transformácie sú lineárne transformácie s prenosom. S pomocou afinných transformácií môžete presúvať objekty.

Vzorec je veľmi jednoduchý:

A = bM + v;

Kde b je pôvod, M je matica lineárnej transformácie, a je transformovaný bod a v je vektor spájajúci dva priestory. Alebo inými slovami, je to vektor, ktorého dĺžka sa rovná vzdialenosti medzi dvoma súradnicovými priestormi.

Na obrázku na začiatku hodiny je potrebná afinná transformácia: najskôr lineárna transformácia z priestorového objektu do zotrvačného priestoru a potom prenos všetkých bodov priestorového priestoru do svetového priestoru pomocou vektora v.

Na zjednodušenie výpočtov v 3D grafickom programovaní sa používajú štvordimenzionálne vektory, matice 4x4 a takzvané homogénne súradnice. Štvrtá dimenzia nehrá žiadnu úlohu, je zavedená iba na zjednodušenie výpočtov.

Uhádli ste, že v 4D vektore existujú štyri zložky: x, y, z a w. Štvrtá zložka vektora sa nazýva homogénna súradnica.

Je veľmi ťažké geometricky znázorniť homogénnu súradnicu. Preto budeme uvažovať s trojrozmerným homogénnym priestorom so súradnicami (x, y, w). Predstavte si, že dvojrozmerná rovina je definovaná v bode w = 1. V súlade s tým je dvojrozmerný bod v homogénnom priestore reprezentovaný nasledujúcimi súradnicami (x, y, 1). Všetky body v priestore, ktoré nie sú v rovine (nachádzajú sa v rovinách, kde w! = 1), je možné vypočítať projekciou do dvojrozmernej roviny. Aby ste to urobili, musíte rozdeliť všetky zložky tohto bodu na homogénne. Títo. ak w! = 1, vo „fyzickom“ (kde pracujeme a kde w = 1) budú súradnice bodov nasledovné: (x / w, y / w, w / w) alebo (x / w, y / w, 1). Pozrite sa na obrázok:

Súradnice vektorov sú nasledujúce:

V 1 = [3 3 3] v 2 = [3 1 0] v 3 = [3 -2 -2]

Tieto vektory sa premietajú do „fyzickej“ roviny (w = 1) nasledovne:

V 1 = [1 1 1] v 3 = [-1,5 1 1]

Obrázok ukazuje tri vektory. Upozorňujeme, že keď bod leží v rovine w = 0, potom tento bod nemožno premietnuť do fyzickej roviny (vektor v 2).

Pre každý bod fyzickej roviny existuje v homogénnom priestore nekonečný počet bodov.

V štvorrozmernom priestore je všetko úplne rovnaké. Pracujeme vo fyzickom priestore, kde w = 1: (x, y, z, 1). Ak je v dôsledku výpočtov w! = 1, potom musíte rozdeliť všetky súradnice bodu na homogénne: (x / w, y / w, z / w, w / w) alebo (x / w, y / w, z / w, 1). Existuje aj špeciálny prípad, keď w = 0. Pozrieme sa na to neskôr.

Teraz prejdeme k praxi: na čo do pekla je homogénna súradnica?

Ako sme už zistili, matica 3x3 predstavuje lineárnu transformáciu, t.j. neobsahuje prenos (výtlak). Na prenos sa používa samostatný vektor (a to je už afinná transformácia):

V = aM + b

Títo. vynásobíme všetky body (vektory) objektu transformačnou maticou M, aby sme prešli na zotrvačný súradnicový systém (ktorého základné vektory sa zhodujú so základnými vektormi svetového súradnicového systému), a potom sa pomocou vektor b. Pripomíname, že vektor b spája pôvod priestorového priestoru a pôvod svetového priestoru.

Pomocou štyroch dimenzií teda môžete vtesnať lineárne transformácie (otáčanie, škálovanie) aj preklad do jednej matice.

Predstavme si, že štvrtá zložka sa vždy rovná jednej (aj keď sme už zistili, že to tak nie je). Lineárnu transformáciu je teraz možné znázorniť pomocou matice 4x4:

Pozrime sa na vzorec na vynásobenie vektorov transformačnou maticou v štvorrozmernom priestore:

V x = (xi x + yj x + zk x + w * 0) vy = (xi y + yj y + zk y + w * 0) vz = (xi z + yj z + zk z + w * 0) vw = (x * 0 + y * 0 + z * 0 + w * 1) Ako vidíte, zložky transformovaného vektora pomocou matice 4x4 sa rovnajú zložkám transformovaného vektora pomocou matice 3x3. Štvrtý komponent, ako sme sa dohodli, bude vždy rovný jednej, takže ho možno jednoducho zahodiť. Preto môžeme povedať, že transformácie vykonávané maticami 3x3 a 3x4 sú ekvivalentné.

Teraz sa pozrime na prenosovú maticu:

Vynásobte ľubovoľný vektor z objektového priestoru (pozri obrázok na začiatku hodiny) touto maticou a tento vektor môžete vyjadriť v súradnicovom priestore (ak sú základné vektory objektu a svetového priestoru rovnaké).

Všimnite si toho, že toto je tiež lineárna transformácia, iba v štvorrozmernom priestore.

Pomocou maticového produktu môžeme skombinovať rotačnú maticu a translačnú maticu:

Táto posledná matica je presne to, čo sme potrebovali od samého začiatku. Mali by ste dobre porozumieť tomu, čo presne znamenajú všetky jeho prvky (okrem 4. stĺpca).

Angličtina: Wikipedia robí stránku bezpečnejšou. Používate starý webový prehliadač, ktorý sa v budúcnosti nebude môcť pripojiť k Wikipédii. Aktualizujte svoje zariadenie alebo sa obráťte na svojho správcu IT.

中文: 的 百科 正在 使 网站 更加 安全。 您 正在 使用 旧 的 浏览 器 ， 这 在 的 设备 或 联络 维基 百科。 请 更新 您 的 设备 或 联络 联络 您 的 管理员 管理员 英语 英语）。

Španielsko: Wikipedia má svoje hlavné mesto. Využite viac ako jednu webovú stránku, aby ste si mohli prezerať webové stránky Wikipédie. Aktuálne informácie máte k dispozícii a kontaktujte ich správcu. Viac informácií nájdete v časti Všeobecné informácie.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Mnoho spôsobov použitia a navigácie na webe je k dispozícii, navyše je k dispozícii prepojenie s Wikipédiou lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Dostupné informácie a ďalšie techniky sú k dispozícii.

日本語: ウ ィ キ ペ デ ィ ア で は サ イ ト の セ キ キ ュ テ テ ィ 高 め め て い ま ご ご の ン が ラ ウ ザ は バ ー ジ ン が が 今後 今後 今後 今後か ィ ア に 接 続 で き な く な る 可能性 が あ り ま デ, IT 管理者 に ご 相 相 談 く だ い 技術 技術 の の 詳 情報 情報は 以下 に 英語 で 提供 し て い ま す。

Deutsch: Wikipédia sa nachádza na webovej stránke. Viac informácií o vašom webovom prehliadači nájdete v hlavnom okne Wikipédie. Aktuálne informácie o všetkých správach IT administrátorov a. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise find Düten in englischer Sprache.

Talian: Wikipédia vykresľuje všetky obrázky. Môžete používať webový prehliadač bez toho, aby ste museli používať inú Wikipédiu v budúcnosti. V prípade, že je to možné, máte k dispozícii aj ďalšie informačné správy. Všetky základné informácie sú k dispozícii a sú k dispozícii všetky podrobné technické údaje v angličtine.

Maďar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. Böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Má moderný problém s tým, že je problém a problém s rendszergazdádnakom. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gid sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare some inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Aktualizujte svoju e-mailovú adresu pre správu IT. Det finns en längre och mer merk teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Odstraňujeme podporu pre nezabezpečené verzie protokolu TLS, konkrétne TLSv1.0 a TLSv1.1, na ktoré sa softvér vášho prehliadača spolieha pri pripájaní na naše stránky. Spravidla to spôsobujú zastarané prehliadače alebo staršie smartfóny s Androidom. Alebo to môže byť rušenie podnikovým alebo osobným softvérom „Web Security“, ktorý v skutočnosti znižuje zabezpečenie pripojenia.

Ak chcete získať prístup na naše stránky, musíte aktualizovať svoj webový prehliadač alebo inak tento problém vyriešiť. Táto správa zostane do 1. januára 2020. Po tomto dátume váš prehliadač nebude môcť nadviazať spojenie s našimi servermi.

Problém transformácie súradníc pozostáva z nasledujúceho: poznať súradnice nového pôvodu a nové súradnicové vektory v starom systéme:

, , , (3)

expresné súradnice x, y bodov M v starom súradnicovom systéme, prostredníctvom súradníc tento bod v novom systéme.

Zo vzorcov (3) vyplýva, že

; ; . (4)

(podľa pravidla trojuholníka).

Pretože , , potom definíciou súradníc bodu , , t.j. ; .

Potom pomocou vzorcov (4) dostaneme:

kde nájdeme:

(5) ;

Takto sa vyjadrujú súradnice x, yľubovoľný bod M v starom systéme prostredníctvom svojich súradníc v novom systéme .

Vzorce (5) sa nazývajú transformačné vzorce pre afinný súradnicový systém.

Koeficienty, at - súradnice nového vektora v starom systéme; koeficienty, at - súradnice nového vektora v starom systéme, voľné výrazy, - súradnice nového začiatku v starom systéme:

Súradnice bodov M

v novom systéme

NS

o

=

=

+

+

+

+

stôl sa nazýva prechodová matica od základu k základu.

Špeciálne prípady afinnej transformácie

Súradnicové systémy

1. Začnite prenos.

S touto transformáciou , , a (obr. 40).

Nájdeme súradnice vektorov v starom systéme, t.j. , a:

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

Potom vzorce (5) budú mať tvar:

O "

Ryža. 40

(7)

Vzorce (7) sa nazývajú vzorce na nahradenie súradnicových vektorov.

Pojem smerového uhla medzi vektormi.

Transformácia pravouhlého súradnicového systému

Na orientovanej rovine je zavedený koncept smerovaného uhla medzi vektormi.

Nechajte byť nenulovými vektormi špecifikovanými v určitom poradí ( - prvý vektor, - druhý vektor).

Ak || potom smerový uhol medzi vektorom a vektorom zavolal

rozsah ak je základ správny;

rozsah ak zostane základ.

Ak potom smerový uhol medzi nimi sa považuje za rovnaké, ak , potom (obr. 42).

Uvažujme dva obdĺžnikové karteziánske súradnicové systémy a ... Nechaj byť M (x; y) v, v ... Pretože obdĺžnikový súradnicový systém je špeciálnym prípadom afinného, ​​môžeme použiť vzorce (5) z §12, ale koeficienty ,,, už nemôže byť svojvoľné.

Nájdeme súradnice vektorov v starom systéme. Uvažujme dva prípady.

1) Bázy a sú rovnako orientované (obr. 43).

A 1

A

V.

V 1

O "

Ryža. 44

a

a

Obdĺžnikové trojuholníky a rovnaké v prepone a ostrom uhle (
,), preto, a .

Od nájdeme:

Preto, .

Preto, ... Potom vzorce (5) budú mať tvar:

Všimnite si toho, že determinant prechodovej matice od základu k základu,

.

2) Základne a sú opačne orientované (obr. 45).

O

O "

Ryža. 45

O

O "

V.

V 1

A

A 1

a

Ryža. 46

Nechaj byť ... Prenesme vektory a všeobecný začiatok O(obr. 46).

Keď argumentujeme podobne ako v prípade 1), získame:

Preto, ; .

Potom vzorce (5) budú mať tvar:

Všimnite si, že v tomto prípade determinant prechodovej matice od základu k základu

Vzorce (8) a (9) je možné kombinovať:

, kde

.

Špeciálne prípady transformácie

Obdĺžnikový súradnicový systém

1. Prenos začiatku: , .

Polárne súradnice

Ak je určené pravidlo, podľa ktorého je možné určiť polohu bodov roviny pomocou usporiadaných dvojíc reálne čísla, potom hovoria, že v rovine je daný súradnicový systém. Okrem afinného súradnicového systému, o ktorom sa uvažovalo v časti 10, sa v matematike často používa polárny súradnicový systém v rovine.

Polárny súradnicový systém sa zadáva v orientovanej rovine.

Bodový pár O a nazýva sa jednotkový vektor polárny súradnicový systém a označené alebo ... Smerová rovinka zavolal polárna os, bod O- pól(obr. 48).

Preto ... Ak M zhoduje sa s O potom ... Za akýkoľvek bod M jeho polárny polomer

Ak M sa zhoduje s pólom O, potom j nie je definované. Z definície smerovaného uhla medzi vektormi (pozri §13) vyplýva, že polárny uhol

R.

Ryža. 51

M

j

M 1

Odvodzujme vzorce prechodu z polárnych súradníc na pravouhlé karteziánske súradnice a naopak.

Nech je polárny súradnicový systém v orientovanej rovine, , v. Pridajme do polárneho systému jednotkový vektor ortogonálny k vektoru tak, aby bol základ správny (obr. 51).

, .

Nechaj byť M (x; y) v. Potom; (obr. 51).

Mám vzorce na prechod z polárnych súradníc na obdĺžnikové:

Vyrovnajme obidve strany týchto rovností a pridáme:

, kde (koreň je braný so znamienkom „+“, pretože ). Þ Þ
;
.

a

O

v

Ryža. 52

Komentovať ... Pri riešení problémov pri prechode z pravouhlých karteziánskych súradníc na polárne súradnice nestačí iba nájsť alebo len od jeden za druhým trigonometrická funkcia nie je možné jednoznačne určiť polárny uhol: v intervale existujú dva uhly s rovnakými kosínusmi (dva uhly s rovnakým sínusom) (obr. 52). Preto môžete správne nájsť polárny uhol j iba vtedy, ak súčasne počítate a .

М 1 = (x 1, y 1), М = (x, y). Pretože bod M delí segment M 0 M 1 v pomere λ, potom

; (1)

Pri tejto afinnej transformácii prejdú body M 0, M 1, M do bodov M 0 ′, M 1 ′, M ′ s rovnakými súradnicami ako body M 0, M 1, M, ale iba v súradnicovom systéme O "e" 1 e "2. Tieto súradnice sú stále príbuzné vzťahmi (1), z ktorých vyplýva, že M 'delí segment М 0 ′ М 1 ′ vzhľadom na λ. To dokazuje veta.

3. Analytické vyjadrenie afinných transformácií (prechodové vzorce).

Úloha: Keď poznáme parametre jedného systému voči druhému, je možné určiť polohu bodu v oboch súradnicových systémoch (t.j. ako nájsť vzorce na prechod z jedného systému (starého) do druhého nového systému.

Zvážte prípady transformácie pre afinné súradnicové systémy.

1) Nech je daná sústava R = (O, (e 1, e 2)) a nech je v nej daná M = (x, y) R, O (0,0) R sú súradnice pôvodu. е 1 (1,0) R, е 2 (0,1) R - súradnice základných vektorov.

2) Nech je daný druhý súradnicový systém R ′ = (О, (е 1 ′, е 2 ′))) a sú známe parametre definujúce nový základ a nový pôvod prostredníctvom starého súradnicového systému, t.j. О ′ (x 0, y 0) R, е 1 ′ (С 11, С 12) R, е 2 ′ (С 12, С 22) R

Predstavme si problém nájsť súradnice bodu M v novom súradnicovom systéme (M (x ′, y ′) R ′). Označme neznáme súradnice bodu М (x ′, y ′).

Za tri body О, О ′, М: О′М = О′О + ОМ. О′М je vektor polomeru bodu М v novom súradnicovom systéme, čo znamená, že jeho súradnice sa budú zhodovať so súradnicami vektora О′М v systéme R ′ (О′М↔М R ′) => О ′ М (x ', y') R '=> О′М = x'e 1' + y'e 2 ' (1) ; О′О je vektor polomeru bodu О ′ v sústave R ′, t.j. jeho súradnice sa budú zhodovať so súradnicami O'O↔ O'R => O'O (x 0, y 0) R => O'O = x 0 e 1 + y 0 e 2 (2) ; ОМ↔ М R => ОМ = xe 1 + ye 2 (3). To. vektor О′М = ОМ - ОО ′ po substitúcii do tohto vektora bude mať rovnosť expanzie (1), (2) a (3) tvar:

x'e 1 ' + y'e 2' = xe 1 + ye 2 - (x 0 e 1 + y 0 e 2) (4); od v podmienke sú uvedené parametre, ktoré určujú súradnice nových základných vektorov prostredníctvom starého základu, získame pre nové základné vektory nasledujúce vektorové rovnosti:

e '(C11, C12) R => e1' = C11e1 + C21e2;

e 2 '(C12, C22) R => e2' = C12e1 + C22e2; (5)

Nahraďte (5) na ľavej strane (4) a zoskupte vzhľadom na základné vektory е 1 a е 2.

x '(C 11 e 1 + C 21 e 2) + y' (C 12 e 1 + C 22 e 2) -xe 1 -xe 2 + x 0 e 1 -oko 2 + x 0 e 1 + y 0 e 2 = 0.
(x'C 11 + y'C 12 e 1 -x + x 0) e 1 + (x'C 21 + y 'C 22 -y + y 0) e 2 = 0.

Pretože (e 1, e 2) tvoria základ, potom je to lineárne nezávislý systém, pre ktorý je splnená posledná vektorová rovnosť za predpokladu, že všetky koeficienty ľavej strany sa rovnajú nule, t.j. za podmienky

(6);

(6) - vzorce na prechod zo starého systému R do nového systému R 'pre premenné x' a y '.

Pretože stĺpce determinantu sú súradnice základných vektorov е 1 'a е 2', potom tento determinant nikdy nezmizne, t.j. sústava (6) je jedinečne riešiteľná vzhľadom na premenné x 'a y', čo vždy umožňuje nájsť vzorec pre inverzný prechod z R 'na R.

Pre vzorce (6) existujú dva špeciálne prípady

1. výmena základu;

2. prenos začiatku.

(1) Systém R 'získaný zo systému R zmenou základu pri zachovaní rovnakého pôvodu R = (О, (е 1, е 2)) → R ′ = (О, (е 1 ′, е 2 ′) ), tj. O ′ (x 0, y 0) = O (0,0) => x 0 = y 0 = 0, potom vzorce na zmenu základu budú mať tvar:

(7)

2. Nech je sústava R 'získaná z R prenesením začiatku z bodu O do bodu O' pri zachovaní rovnakého základu:
R = (О, (е 1, е 2)) → R ′ = (О ′, (е 1, е 2)) => е 1 ′ (1,0), е 2 ′ (0,1), t.j. .O. vzorce budú mať formu.