Tvary oblastí geometrických tvarov. Ako vypočítať a určiť oblasť. Vzorce lichobežníkovej oblasti

Oblasti geometrických tvarov sú číselné hodnoty, ktoré charakterizujú ich veľkosť v dvojrozmernom priestore. Túto hodnotu je možné merať v systémových a nesystémových jednotkách. Takže napríklad nesystémová jednotka oblasti - tkanie, hektár. To je prípad, ak je meraný povrch kusom zeme. Systémová jednotka plochy je štvorec dĺžky. V systéme SI sa všeobecne uznáva, že jednotkou oblasti rovného povrchu je meter štvorcový. V GHS je jednotka plochy vyjadrená v centimetroch štvorcových.

Geometrické a plošné vzorce sú neoddeliteľne spojené. Táto súvislosť spočíva v tom, že výpočet plôch plochých obrazcov je založený práve na ich aplikácii. Pri mnohých obrázkoch sa zobrazuje niekoľko možností, podľa ktorých sa počíta ich štvorcová veľkosť. Na základe údajov z výpisu problému môžeme určiť najjednoduchší možný spôsob riešenia. Teda na uľahčenie výpočtu a zníženie pravdepodobnosti chyby vo výpočte na minimum. Za týmto účelom zvážte hlavné oblasti obrazcov v geometrii.

Vzorce na vyhľadanie oblasti ľubovoľného trojuholníka sú uvedené v niekoľkých možnostiach:

1) Plocha trojuholníka sa počíta zo základne a a výšky h. Základ je strana postavy, na ktorú je znížená výška. Potom je plocha trojuholníka:

2) Plocha pravého trojuholníka sa počíta rovnako, ak sa za základňu považuje prepona. Ak vezmeme nohu ako základňu, potom sa plocha pravouhlého trojuholníka bude rovnať rozpolenému súčinu nôh.

Tým vzorce pre výpočet plochy ľubovoľného trojuholníka nekončia. Iný výraz obsahuje strany a, b a sínusovú funkciu uhla γ medzi a a b. Sínusová hodnota sa nachádza v tabuľkách. Nájdete ho tiež pomocou kalkulačky. Potom je plocha trojuholníka:

Touto rovnosťou môžete tiež zaistiť, aby sa oblasť pravouhlého trojuholníka určovala cez dĺžky nôh. Pretože uhol γ je priamka, takže plocha pravouhlého trojuholníka sa počíta bez vynásobenia sínusovou funkciou.

3) Zvážte špeciálny prípad - rovnostranný trojuholník, ktorého strana a je známa podmienkou alebo jej dĺžku nájdete pri riešení. O probléme s tvarom v geometrii nie je známe nič iné. Ako potom nájsť oblasť za týchto podmienok? V takom prípade sa použije vzorec pre oblasť pravidelného trojuholníka:

Obdĺžnik

Ako nájsť plochu obdĺžnika a použiť rozmery strán, ktoré majú spoločný vrchol? Výraz pre výpočet je:

Ak potrebujete na výpočet plochy obdĺžnika použiť dĺžky uhlopriečok, potrebujete funkciu sínusu uhla vytvoreného pri ich pretínaní. Tento vzorec pre plochu obdĺžnika je:

Námestie

Plocha štvorca je definovaná ako druhá mocnina dĺžky strany:

Dôkaz vyplýva z definície, že obdĺžnik sa nazýva štvorec. Všetky strany, ktoré tvoria štvorec, majú rovnaké rozmery. Preto sa výpočet plochy takého obdĺžnika zníži na násobenie jeden druhým, to znamená na druhú mocninu strany. A vzorec na výpočet plochy štvorca bude mať požadovanú formu.

Plochu štvorca nájdete iným spôsobom, napríklad ak použijete uhlopriečku:

Ako vypočítať plochu figúry, ktorá je tvorená časťou roviny ohraničenej kruhom? Na výpočet plochy sú potrebné tieto vzorce:

Rovnobežník

Pre rovnobežník obsahuje vzorec lineárne rozmery strany, výšky a matematické pôsobenie - násobenie. Ak výška nie je známa, ako zistiť oblasť rovnobežníka? Existuje ďalší spôsob výpočtu. Bude sa vyžadovať určitá hodnota, ktorú prevezme trigonometrická funkcia uhla tvoreného susednými stranami, ako aj ich dĺžka.

Vzorce pre plochu rovnobežníka sú:

Kosoštvorec

Ako nájdete oblasť obdĺžnika zvaného kosoštvorec? Plocha kosoštvorca sa určuje pomocou jednoduchej matematiky s uhlopriečkami. Dôkaz je založený na skutočnosti, že segmenty uhlopriečok v d1 a d2 sa pretínajú v pravých uhloch. Sínusová tabuľka ukazuje, že pre pravý uhol sa táto funkcia rovná jednej. Preto sa plocha kosoštvorca počíta takto:

Iná oblasť kosoštvorca sa dá nájsť iným spôsobom. Je ľahké to dokázať, ak si uvedomíme, že jeho strany sú rovnako dlhé. Potom ich produkt nahraďte podobným výrazom pre rovnobežník. Koniec koncov, konkrétnym prípadom tejto konkrétnej postavy je kosoštvorec. Tu γ je vnútorný roh kosoštvorca. Plocha kosoštvorca sa určuje takto:

Lichobežník

Ako nájsť oblasť lichobežníka cez základne (a a b), ak sú ich dĺžky uvedené v probléme? Tu bez známej hodnoty dĺžky výšky h nebude možné vypočítať plochu takého lichobežníka. Pretože táto hodnota obsahuje výraz na výpočet:

Rovnakým spôsobom je možné vypočítať aj štvorcovú veľkosť obdĺžnikového lichobežníka. Berie sa do úvahy, že v obdĺžnikovom lichobežníku sú kombinované pojmy výška a strana. Preto by sa pre obdĺžnikový lichobežník mala namiesto výšky uviesť dĺžka strany.

Valec a rovnobežnosten

Zvážte, čo je potrebné na výpočet povrchu celého valca. Oblasť na tomto obrázku je dvojica kruhov, ktoré sa nazývajú základy, a bočný povrch. Kruhy, ktoré tvoria kruhy, majú dĺžku polomeru r. Pre plochu valca sa uskutoční nasledujúci výpočet:

Ako nájdem oblasť rovnobežnostenu, ktorý má tri páry tvárí? Jeho merania sa zhodujú s konkrétnym párom. Protikladné tváre majú rovnaké parametre. Najskôr nájdite S (1), S (2), S (3) - štvorcové veľkosti nerovnakých plôch. Potom plocha rovnobežnostenu:

Prsteň

Dva kruhy so spoločným stredom tvoria krúžok. Tiež obmedzujú plochu prsteňa. V takom prípade oba výpočtové vzorce zohľadňujú rozmery každej kružnice. Prvý z nich, ktorý počíta plochu prstenca, obsahuje väčšie R a menší polomer r. Častejšie sa nazývajú vonkajšie a vnútorné. V druhom výraze sa plocha prstenca počíta z hľadiska väčších priemerov D a menších d. Plocha kruhu pre známe polomery sa teda počíta takto:

Plocha prsteňa sa pomocou dĺžok priemerov určuje takto:

Polygón

Ako nájdem oblasť polygónu, ktorá nemá správny tvar? Pre oblasť takýchto čísel neexistuje všeobecný vzorec. Ale ak je napríklad zobrazený na súradnicovej rovine, môže to byť kockovaný papier, ako potom zistiť povrch v tomto prípade? Tu sa používa metóda, ktorá nevyžaduje približne meranie postavy. Robia to: ak nájdu body, ktoré spadajú do rohu bunky alebo majú celočíselné súradnice, zohľadnia sa iba ich. Ak chcete zistiť, o čo ide v danej oblasti, použite vzorec dokázaný Peakom. Je potrebné pridať počet bodov nachádzajúcich sa vo vnútri lomenej čiary s polovicou bodov ležiacich na nej a odčítať jeden, to znamená, že sa počíta takto:

kde В, Г - počet bodov umiestnených vo vnútri a na celej prerušovanej čiare.

Plocha geometrického útvaru - číselná charakteristika geometrického útvaru, ktorá ukazuje veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť oblasti je vyjadrená počtom štvorcových jednotiek v nej obsiahnutých.

Plošné vzorce pre trojuholník

1. Vzorec pre plochu trojuholníka vedľa seba a na výšku
   Plocha trojuholníka rovná sa polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka o dĺžku výšky nakreslenej na túto stranu
   
2. Vzorec pre plochu trojuholníka na troch stranách a polomeru opísanej kružnice
   
3. Vzorec pre plochu trojuholníka na troch stranách a polomeru vpísanej kružnice
   Plocha trojuholníka sa rovná súčinu pol obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.
   
kde S je plocha trojuholníka,
- dĺžky strán trojuholníka,
- výška trojuholníka,
- uhol medzi stranami a,
- polomer vpísanej kružnice,
R je polomer opísanej kružnice,

Vzorce štvorcových plôch

1. Vzorec pre plochu štvorca podľa dĺžky strany
   Plocha štvorca sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
2. Vzorec pre plochu štvorca podľa dĺžky uhlopriečky
   Plocha štvorca rovná sa polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
   

   S \u003d	1	2
   	2

kde S je plocha štvorca,
- dĺžka strany štvorca,
- dĺžka uhlopriečky štvorca.

Plošný vzorec obdĺžnika

Obdĺžniková oblasť sa rovná súčinu dĺžok jeho dvoch susedných strán

kde S je plocha obdĺžnika,
- dĺžky strán obdĺžnika.

Rovnoramenné plošné vzorce

1. Vzorec pre plochu rovnobežníka podľa dĺžky a výšky strany
   Oblasť rovnobežníka
2. Vzorec pre plochu rovnobežníka z dvoch strán a uhol medzi nimi
   Oblasť rovnobežníka rovná sa súčinu dĺžok jeho strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
   

   a b hriech α

kde S je oblasť rovnobežníka,
- dĺžky strán rovnobežníka,
- dĺžka výšky rovnobežníka,
- uhol medzi stranami rovnobežníka.

Vzorce oblasti kosoštvorca

1. Vzorec pre plochu kosoštvorca podľa dĺžky a výšky strany
   Oblasť kosoštvorca rovná sa súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky spustenej na túto stranu.
2. Vzorec pre plochu kosoštvorca podľa dĺžky a uhla strany
   Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu štvorca dĺžky jeho strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
3. Vzorec pre plochu kosoštvorca podľa dĺžok jeho uhlopriečok
   Oblasť kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho uhlopriečok.
kde S je oblasť kosoštvorca,
- dĺžka kosoštvorcovej strany,
- dĺžka výšky kosoštvorca,
- uhol medzi stranami kosoštvorca,
1, 2 - dĺžky uhlopriečok.

Plošné vzorce pre lichobežník

1. Heronov vzorec pre lichobežník

   Kde S je oblasť lichobežníka,
   - dĺžka lichobežníkových podstavcov,
   - dĺžky strán lichobežníka,
   

Poznatky o tom, ako merať Zem, siahajú do staroveku a postupne sa z nich vyvinula veda o geometrii. Toto slovo je preložené z gréckeho jazyka - „geodetické“.

Meradlom dĺžky a šírky rovnej oblasti Zeme je plocha. V matematike sa zvyčajne označuje latinským písmenom S (z anglického „square“ - „area“, „square“) alebo gréckym písmenom σ (sigma). S označuje plochu figúry v rovine alebo povrchovú plochu tela a σ je prierezová plocha drôtu vo fyzike. Toto sú hlavné symboly, aj keď sa môžu vyskytnúť ďalšie, napríklad v oblasti pevnosti materiálov A je plocha prierezu profilu.

V kontakte s

Výpočtové vzorce

Ak poznáte oblasti jednoduchých tvarov, môžete nájsť parametre zložitejších... Starovekí matematici odvodili vzorce, pomocou ktorých ich možno ľahko vypočítať. Tieto tvary sú trojuholník, štvoruholník, mnohouholník, kruh.

Na nájdenie oblasti zložitej plochej postavy je rozdelená na mnoho jednoduchých postáv, ako sú trojuholníky, lichobežníky alebo obdĺžniky. Potom matematické metódy odvodia vzorec pre oblasť tohto obrázku. Táto metóda sa používa nielen v geometrii, ale aj v matematickej analýze na výpočet plôch útvarov ohraničených krivkami.

Trojuholník

Začnime najjednoduchším tvarom - trojuholníkom. Sú obdĺžnikové, rovnoramenné a rovnostranné. Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC so stranami AB \u003d a, BC \u003d b a AC \u003d c (∆ ABC). Aby sme našli jeho oblasť, pripomenieme si vety o sínusoch a kosínoch známe zo školského kurzu matematiky. Po uvoľnení všetkých výpočtov prichádzame k nasledujúcim vzorcom:

• S \u003d √ je známy Heronov vzorec, kde p \u003d (a + b + c) / 2 je polovičný obvod trojuholníka;
• S \u003d a h / 2, kde h je výška znížená na stranu a;
• S \u003d a b (sin γ) / 2, kde γ je uhol medzi stranami a a b;
• S \u003d a b / 2, ak ∆ ABC - obdĺžnikové (tu a a b sú nohy);
• S \u003d b² (sin (2 β)) / 2, ak ∆ ABC je rovnoramenný (tu b je jeden z „bokov“, β je uhol medzi „bokmi“ trojuholníka);
• S \u003d a² √¾, ak ∆ ABC je rovnostranný (tu a je strana trojuholníka).

Štvoruholník

Nech je štvoruholník ABCD s AB \u003d a, BC \u003d b, CD \u003d c, AD \u003d d. Ak chcete nájsť oblasť S ľubovoľného štvorgónu, musíte ju rozdeliť uhlopriečkou na dva trojuholníky, ktorých oblasti S1 a S2 sa spravidla nerovnajú.

Potom ich pomocou vzorcov vypočítajte a pridajte, to znamená S \u003d S1 + S2. Ak však 4-uholník patrí do určitej triedy, potom jeho oblasť možno nájsť pomocou predtým známych vzorcov:

• S \u003d (a + c) h / 2 \u003d e h, ak je 4-uholník lichobežníkový (tu a a c sú bázy, e je stredná čiara lichobežníka), h je výška znížená k jednej zo báz lichobežníka;
• S \u003d a h \u003d a b sin φ \u003d d1 d2 (sin φ) / 2, ak ABCD je rovnobežník (tu φ je uhol medzi stranami a a b, h je výška klesnutá na stranu a, d1 a d2 sú uhlopriečky);
• S \u003d a b \u003d d² / 2, ak ABCD je obdĺžnik (d je uhlopriečka);
• S \u003d a² sin φ \u003d P² (sin φ) / 16 \u003d d1 d2 / 2, ak ABCD je kosoštvorec (a je strana kosoštvorca, φ je jeden z jeho rohov, P je obvod);
• S \u003d a² \u003d P² / 16 \u003d d² / 2, ak ABCD je štvorec.

Polygón

Ak chcete nájsť oblasť n-uholníka, matematici ju rozdelia na najjednoduchšie rovné čísla - trojuholníky, vyhľadajú oblasť každého z nich a potom ich sčítajú. Ak ale mnohouholník patrí do triedy bežných, potom použite vzorec:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, kde n je počet vrcholov (alebo strán) mnohouholníka, a je strana n-gónu, P je jeho obvod, h je apotém, to znamená segment nakreslený od stredu mnohouholníka na jednu zo svojich strán v uhle 90 °.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohouholník s nekonečným počtom strán.... Potrebujeme vypočítať limit výrazu vpravo vo vzorci pre oblasť mnohouholníka, keď počet strán n má sklon k nekonečnu. V tomto prípade sa obvod mnohouholníka zmení na obvod kruhu s polomerom R, ktorý bude hranicou našej kružnice, a stane sa rovným P \u003d 2 π R. Tento výraz nahraďte vyššie uvedeným vzorcom. Dostaneme:

S \u003d (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Nájdeme hranicu tohto výrazu ako n → ∞. Ak to chcete urobiť, vezmite do úvahy, že lim (cos (180 ° / n)) ako n → ∞ sa rovná cos 0 ° \u003d 1 (lim je medzný znak) a lim \u003d lim ako n → ∞ je 1 / π (preložili sme stupeň zmerajte na radián pomocou pomeru π rad \u003d 180 ° a aplikujte prvý pozoruhodný limit lim (sin x) / x \u003d 1 ako x → ∞). Dosadením získaných hodnôt do posledného výrazu pre S sa dostaneme k dobre známemu vzorcu:

S \u003d π² R² 1 (1 / π) \u003d π R².

Jednotky

Používajú sa systémové a nesystémové jednotky... Systémové jednotky odkazujú na SI (medzinárodný systém). Je to meter štvorcový (meter štvorcový, m²) a jednotky od neho odvodené: mm², cm², km².

Napríklad v štvorcových milimetroch (mm²) merajú prierez vodičov v elektrotechnike, v štvorcových centimetroch (cm²) - prierezy nosníka v stavebnej mechanike, v štvorcových metroch (m²) - byty alebo domy, v štvorcových kilometroch (km²) - územia v geografii. ...

Niekedy sa však používajú aj nesystémové jednotky merania, napríklad: tkanie, ar (a), hektár (ha) a aker (ac). Tu sú nasledujúce vzťahy:

• 1 meter štvorcový \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 hektára;
• 1 hektár \u003d 100 a \u003d 100 árov \u003d 10 000 m² \u003d 0,01 km² \u003d 2,471 ac;
• 1 ac \u003d 4046,856 m2 \u003d 40,47 a \u003d 40,47 árov \u003d 0,405 hektára.