பகுத்தறிவு பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

தீர்வு முறைகள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.

ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது: சமன்பாடு மாற்றம்அதன் எளிய பெறபார்வை (மேலே பார்க்கவும்) மற்றும் தீர்வுஎளிமையாக பெறப்பட்டது முக்கோணவியல் சமன்பாடு.ஏழு உள்ளன முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்.

1. இயற்கணித முறை.

(மாறி மாற்று மற்றும் மாற்று முறை).

2. காரணி.

PRI எனக்கு ஆர் 1. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:பாவம் எக்ஸ்+ cos எக்ஸ் = 1 .

தீர்வு. சமன்பாட்டின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்:

பாவம் எக்ஸ்+ cos எக்ஸ் – 1 = 0 ,

உள்ள வெளிப்பாட்டை நாங்கள் மாற்றியமைத்து காரணியாக்குகிறோம்

சமன்பாட்டின் இடது பக்கம்:

PRI எனக்கு ஆர் 2. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: cos 2 எக்ஸ்+ பாவம் எக்ஸ் Cos எக்ஸ் = 1.

கரைசல் cos 2 எக்ஸ்+ பாவம் எக்ஸ் Cos எக்ஸ்– பாவம் 2 எக்ஸ்- cos 2 எக்ஸ் = 0 ,

பாவம் எக்ஸ் Cos எக்ஸ்– பாவம் 2 எக்ஸ் = 0 ,

பாவம் எக்ஸ்(கோஸ் எக்ஸ்– பாவம் எக்ஸ் ) = 0 ,

PRI எனக்கு ஆர் 3. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: cos 2 எக்ஸ்- cos 8 எக்ஸ்+ cos 6 எக்ஸ் = 1.

கரைசல் cos 2 எக்ஸ்+ cos 6 எக்ஸ்= 1 + cos 8 எக்ஸ்,

2 கோஸ் 4 எக்ஸ் cos 2 எக்ஸ்= 2 cos² 4 எக்ஸ் ,

கோஸ் 4 எக்ஸ் · (cos 2 எக்ஸ்- cos 4 எக்ஸ்) = 0 ,

கோஸ் 4 எக்ஸ் 2 பாவம் 3 எக்ஸ்பாவம் எக்ஸ் = 0 ,

1) cos 4 எக்ஸ்= 0, 2). பாவம் 3 எக்ஸ்= 0, 3). பாவம் எக்ஸ் = 0 ,

3. கொண்டு வருகிறது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு. சமன்பாடு அழைக்கப்பட்டார் இருந்து ஒரேவிதமான உறவாக பாவம்மற்றும் cos , என்றால் அவர் அனைவரும் தொடர்பாக அதே பட்டத்தின் உறுப்பினர்கள் பாவம்மற்றும் cosஅதே கோணம்... ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்கு இது தேவை: ஒருஅதன் அனைத்து உறுப்பினர்களையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்; bஅடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து அனைத்து பொதுவான காரணிகளையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்; vஅனைத்து காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிகளையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்யவும்; ஜிபூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான அடைப்புக்குறிப்புகள் கொடுக்கின்றன குறைந்த அளவின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு, அதை வகுக்க வேண்டும் cos(அல்லது பாவம்மூத்த பட்டப்படிப்பில்; ஈ) இதன் விளைவாக ஏற்படும் இயற்கணித சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்பழுப்பு . பாவம் 2 எக்ஸ்+ 4 பாவம் எக்ஸ் Cos எக்ஸ்+ 5 cos 2 எக்ஸ் = 2. தீர்வு. 3 பாவம் 2 எக்ஸ்+ 4 பாவம் எக்ஸ் Cos எக்ஸ்+ 5 cos 2 எக்ஸ்= 2 பாவம் 2 எக்ஸ்+ 2 கோஸ் 2 எக்ஸ் , பாவம் 2 எக்ஸ்+ 4 பாவம் எக்ஸ் Cos எக்ஸ்+ 3 cos 2 எக்ஸ் = 0 , டான் 2 எக்ஸ்+ 4 பழுப்பு எக்ஸ் + 3 = 0 , இங்கிருந்து ஒய் 2 + 4ஒய் +3 = 0 , இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள்:ஒய் 1 = - 1, ஒய் 2 = - 3, எனவே 1) பழுப்பு எக்ஸ்= –1, 2) பழுப்பு எக்ஸ் = –3,

4. அரை மூலையில் நகர்த்தவும்.

ஒரு உதாரணத்துடன் இந்த முறையை கருத்தில் கொள்வோம்:

உதாரணமாக சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: 3பாவம் எக்ஸ்- 5 காஸ் எக்ஸ் = 7.

தீர்வு 6 பாவம் ( எக்ஸ்/ 2) cos ( எக்ஸ்/ 2) - 5 cos ² ( எக்ஸ்/ 2) + 5 பாவம் ² ( எக்ஸ்/ 2) =

7 பாவம் ² ( எக்ஸ்/ 2) + 7 cos ² ( எக்ஸ்/ 2) ,

2 பாவம்² ( எக்ஸ்/ 2) - 6 பாவம் ( எக்ஸ்/ 2) cos ( எக்ஸ்/ 2) + 12 cos ² ( எக்ஸ்/ 2) = 0 ,

பழுப்பு ² ( எக்ஸ்/ 2) - 3 பழுப்பு ( எக்ஸ்/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. ஒரு துணை கோணத்தின் அறிமுகம்.

படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

ஒருபாவம் எக்ஸ் + b cos எக்ஸ் = c ,

எங்கே ஒரு, b, c- குணகம்;எக்ஸ்- அறியப்படாத.

இப்போது சமன்பாட்டின் குணகங்களில் சைன் மற்றும் கொசின் பண்புகள் உள்ளன, அதாவது: ஒவ்வொன்றின் மாடுலஸ் (முழுமையான மதிப்பு) இதில் 1 க்கு மேல் இல்லை, மற்றும் அவற்றின் சதுரங்களின் தொகை 1 ஆகும். பின்னர் நாம் குறிக்கலாம் அவர்கள் முறையே எப்படி cos மற்றும் sin (இங்கே - என்று அழைக்கப்படும் துணை மூலையில்), மற்றும்எங்கள் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்

இந்த பாடத்தில் நாம் பார்ப்போம் அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்கள்மற்றும் பட்டியல் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அமைப்புகளின் அடிப்படை வகைகள்... கூடுதலாக, நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம் எளிய முக்கோண சமன்பாடுகளின் பொதுவான தீர்வுகள் மற்றும் அவற்றின் சிறப்பு வழக்குகள்.

இந்த பாடம் உங்களுக்கு ஒரு வகை பணிகளுக்குத் தயாராக உதவும். B5 மற்றும் C1.

கணிதத்தில் தேர்வுக்குத் தயாராகுதல்

பரிசோதனை

பாடம் 10. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகள்.

கோட்பாடு

பாடம் சுருக்கம்

நாங்கள் ஏற்கனவே "முக்கோணவியல் செயல்பாடு" என்ற வார்த்தையை பல முறை பயன்படுத்தியுள்ளோம். இந்த தலைப்பின் முதல் பாடத்தில் கூட, அவற்றைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் வரையறுத்தோம் வலது முக்கோணம்மற்றும் ஒரு ஒற்றை முக்கோணவியல் வட்டம்... முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கும் இத்தகைய முறைகளைப் பயன்படுத்தி, அவற்றுக்கு சரியாக செயல்பாட்டின் ஒரு மதிப்பு வாதத்தின் (அல்லது கோணம்) ஒரு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது என்று நாம் ஏற்கனவே முடிவு செய்யலாம். சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் செயல்பாடுகளை அழைக்க எங்களுக்கு உரிமை உண்டு.

இந்த பாடத்தில், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை கணக்கிடுவதற்கு முன்னர் கருதப்பட்ட முறைகளிலிருந்து சுருக்கமாக முயற்சி செய்ய வேண்டிய நேரம் இது. இன்று நாம் செயல்பாடுகளுடன் வேலை செய்வதற்கான வழக்கமான இயற்கணித அணுகுமுறைக்குச் செல்வோம், அவற்றின் பண்புகளைப் பார்த்து வரைபடங்களை வரைவோம்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பொறுத்தவரை, சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும்:

வரையறை மற்றும் மதிப்புகளின் வரம்பு, இருந்து சைன் மற்றும் கொசினுக்கு மதிப்புகளின் வரம்பில் வரம்புகள் உள்ளன, மேலும் தொடுதல் மற்றும் கோடங்கென்ட் வரையறை வரம்புகளில் வரம்புகள் உள்ளன;

அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கால இடைவெளியில் இருந்து சிறிய பூஜ்ஜியமற்ற வாதம் இருப்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே கவனித்திருக்கிறோம், இதைச் சேர்ப்பது செயல்பாட்டின் மதிப்பை மாற்றாது. அத்தகைய வாதம் செயல்பாட்டின் காலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் / கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் / கோடங்கென்ட் ஆகியவற்றிற்கு, இந்த காலங்கள் வேறுபட்டவை.

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

1) வரையறை வரையறை;

2) மதிப்புகளின் வரம்பு ;

3) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை ;

செயல்பாட்டை திட்டமிடுவோம். இந்த வழக்கில், பகுதியின் படத்திலிருந்து சதித்திட்டத்தைத் தொடங்குவது வசதியானது, இது வரைபடத்தை மேலே இருந்து எண் 1 மற்றும் கீழே இருந்து எண் மூலம் கட்டுப்படுத்துகிறது, இது செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்புடன் தொடர்புடையது. கூடுதலாக, சதித்திட்டத்திற்கு, பல முக்கிய அட்டவணை கோணங்களின் சைன்களின் மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது பயனுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, இது விளக்கப்படத்தின் முதல் முழு "அலை" யை உருவாக்க உங்களை அனுமதிக்கும், பின்னர் அதை வலதுபுறமாக மீண்டும் வரையவும் மற்றும் விட்டு, படம் ஒரு காலத்திற்கு ஆஃப்செட் மூலம் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, அதாவது அன்று.

இப்போது செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

இந்த செயல்பாட்டின் முக்கிய பண்புகள்:

1) வரையறை வரையறை;

2) மதிப்புகளின் வரம்பு ;

3) செயல்பாடு சீரானது இது ஒழுங்குடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் சமச்சீர்நிலையைக் குறிக்கிறது;

4) செயல்பாடு அதன் வரையறை களம் முழுவதும் ஒரே மாதிரியானது அல்ல;

செயல்பாட்டை திட்டமிடுவோம். சைனைத் திட்டமிடுவதைப் போல, வரைபடத்தை மேலே 1 என்ற எண்ணுடனும், கீழே ஒரு எண்ணுடனும் வரையறுக்கும் பகுதியின் படத்துடன் தொடங்குவது வசதியானது, இது செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்போடு தொடர்புடையது . வரைபடத்தில் பல புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகளையும் நாங்கள் திட்டமிடுவோம், இதற்காக பல அடிப்படை அட்டவணை கோணங்களின் கொசைன்களின் மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக, இந்த புள்ளிகளின் உதவியுடன் நாம் முதல் முழு உருவாக்க முடியும் " வரைபடத்தின் அலை ”பின்னர் அதை வலது மற்றும் இடதுபுறமாக மீண்டும் வரையவும், படம் ஒரு கால இடைவெளியுடன் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, அதாவது. அன்று.

செயல்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

இந்த செயல்பாட்டின் முக்கிய பண்புகள்:

1) வரையறை களம், தவிர. முந்தைய பாடங்களில் இல்லாததை நாம் ஏற்கனவே சுட்டிக்காட்டியுள்ளோம். தொடுதலின் காலத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு இந்த அறிக்கையை பொதுமைப்படுத்தலாம்;

2) மதிப்புகளின் வரம்பு, அதாவது. தொடு மதிப்புகள் மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை;

3) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை ;

4) தொடுதலின் கிளைகள் என்று அழைக்கப்படுவதற்குள் செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது, அதை நாம் இப்போது படத்தில் பார்ப்போம்;

5) செயல்பாடு ஒரு காலத்துடன் அவ்வப்போது உள்ளது

செயல்பாட்டை திட்டமிடுவோம். இந்த வழக்கில், வரையறையின் களத்தில் சேர்க்கப்படாத புள்ளிகளில் வரைபடத்தின் செங்குத்து அறிகுறியின் படத்திலிருந்து சதித்திட்டத்தைத் தொடங்குவது வசதியானது, அதாவது. முதலியன அடுத்து, அறிகுறிகளால் உருவாகும் ஒவ்வொரு கோடுகளுக்குள்ளும் தொடுகோட்டின் கிளைகளை சித்தரிக்கிறோம், அவற்றை இடது அறிகுறி மற்றும் வலதுபுறமாக அழுத்தவும். அதே நேரத்தில், ஒவ்வொரு கிளையும் ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். நாங்கள் எல்லா கிளைகளையும் ஒரே வழியில் வரைகிறோம், ஏனென்றால் செயல்பாடு சமமான காலத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு கிளைகளும் அருகிலுள்ள ஒன்றை அப்சிஸ்ஸா அச்சில் இடமாற்றம் செய்வதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன என்ற உண்மையிலிருந்து இதைக் காணலாம்.

செயல்பாட்டை ஆராய்வதன் மூலம் நாங்கள் முடிக்கிறோம்:

இந்த செயல்பாட்டின் முக்கிய பண்புகள்:

1) வரையறை களம், தவிர. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து, அது இல்லை என்று நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும். கோட்டன்ஜென்ட் காலத்தைக் கருத்தில் கொண்டு இந்த அறிக்கையை பொதுமைப்படுத்தலாம்;

2) மதிப்புகளின் வரம்பு, அதாவது. கோடான்ஜென்ட் மதிப்புகள் மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை;

3) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை ;

4) செயல்பாடு அதன் கிளைகளுக்குள் ஒரே மாதிரியாகக் குறைகிறது, அவை தொடுதலின் கிளைகளைப் போலவே இருக்கும்;

5) செயல்பாடு ஒரு காலத்துடன் அவ்வப்போது உள்ளது

செயல்பாட்டை திட்டமிடுவோம். இந்த வழக்கில், தொடுதலைப் பொறுத்தவரை, வரையறை களத்தில் சேர்க்கப்படாத புள்ளிகளில் வரைபடத்தின் செங்குத்து அறிகுறியின் படத்திலிருந்து சதித்திட்டத்தைத் தொடங்குவது வசதியானது, அதாவது. முதலியன அடுத்து, அறிகுறிகளால் உருவாகும் ஒவ்வொரு கோடுகளுக்குள்ளும் உள்ள கோட்டன்ஜெண்டின் கிளைகளை சித்தரிக்கிறோம், அவற்றை இடது அறிகுறி மற்றும் வலதுபுறமாக அழுத்தவும். இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு கிளையும் ஒரே மாதிரியாக குறைகிறது என்பதை நாங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம். தொடுதலைப் போலவே அனைத்து கிளைகளும் ஒரே மாதிரியாக சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளன செயல்பாடு சமமான காலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

தனித்தனியாக, சிக்கலான வாதத்துடன் கூடிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் தரமற்ற காலத்தைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். நாங்கள் படிவத்தின் செயல்பாடுகளைப் பற்றி பேசுகிறோம்:

அவர்களின் காலம் சமமானது. மற்றும் செயல்பாடுகள் பற்றி:

அவர்களின் காலம் சமமானது.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, புதிய காலகட்டத்தை கணக்கிட, நிலையான காலம் வெறுமனே வாதத்தால் பெருக்கப்படுகிறது. இது செயல்பாட்டின் பிற மாற்றங்களைப் பொறுத்தது அல்ல.

செயல்பாட்டு வரைபடங்களை திட்டமிடுதல் மற்றும் மாற்றுவது பற்றிய பாடத்தில் இந்த சூத்திரங்கள் எங்கிருந்து வருகின்றன என்பதைப் பற்றி நீங்கள் மேலும் அறியலாம் மற்றும் புரிந்து கொள்ளலாம்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணிக்கும் "முக்கோணவியல்" தலைப்பின் மிக முக்கியமான ஒரு பகுதிக்கு நாங்கள் வந்துள்ளோம். இத்தகைய சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் திறன் முக்கியமானது, உதாரணமாக, இயற்பியலில் ஊசலாடும் செயல்முறைகளை விவரிக்கும் போது. நீங்கள் ஒரு ஸ்போர்ட்ஸ் காரில் ஒரு கார்ட்டில் சில மடிகளை ஓட்டினீர்கள் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள், டிரிகோனோமெட்ரிக் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது, டிராக்கில் காரின் நிலையைப் பொறுத்து நீங்கள் ஏற்கனவே பந்தயத்தில் எவ்வளவு காலம் பங்கேற்கிறீர்கள் என்பதைத் தீர்மானிக்க உதவும்.

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்:

அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வாதங்கள், அதன் சைன் சமம். ஆனால் சைனின் கால இடைவெளியின் காரணமாக, இதுபோன்ற எண்ணற்ற வாதங்கள் உள்ளன என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு போன்றவை. வேறு எந்த எளிய முக்கோண சமன்பாட்டின் தீர்விற்கும் இது பொருந்தும், அவற்றில் எண்ணற்ற எண்ணிக்கை இருக்கும்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் பல அடிப்படை வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. தனித்தனியாக, நாம் எளிமையான, tk இல் வசிக்க வேண்டும். மீதமுள்ள அனைத்தும் அவர்களிடம் கொதிக்கின்றன. இதுபோன்ற நான்கு சமன்பாடுகள் உள்ளன (அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையின் படி). பொதுவான தீர்வுகள் அவர்களுக்குத் தெரியும், அவை நினைவில் கொள்ளப்பட வேண்டும்.

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பொதுவான தீர்வுகள்இது போல்:

சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகளில் தெரிந்த வரம்புகளை நாம் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும் என்பதை தயவுசெய்து கவனிக்கவும். உதாரணமாக ,, சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படக்கூடாது.

கூடுதலாக, குறிப்பிட்ட ரூட் சூத்திரங்கள் தன்னிச்சையான முழு எண்ணின் வடிவத்தில் ஒரு அளவுருவைக் கொண்டிருக்கின்றன. வி பள்ளி பாடத்திட்டம்ஒரு அளவுரு இல்லாமல் ஒரு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு ஒரு அளவுருவைக் கொண்டிருக்கும் போது இது ஒரே வழக்கு. இந்த தன்னிச்சையான முழு எண்கள் மேலே உள்ள எந்த சமன்பாடுகளின் எண்ணற்ற வேர்களை எழுதுவது சாத்தியம் என்பதைக் காட்டுகிறது.

10 வது வகுப்பு இயற்கணித திட்டத்தில் "முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்" என்ற அத்தியாயத்தை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் இந்த சூத்திரங்களின் விரிவான ரசீதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

தனித்தனியாக, சைன் மற்றும் கொசைனுடன் எளிய சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளின் தீர்வுக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம். இந்த சமன்பாடுகள்:

பொதுவான தீர்வு சூத்திரங்கள் அவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படக் கூடாது. இத்தகைய சமன்பாடுகள் மிகவும் வசதியாக ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன, இது பொதுவான தீர்வுகளுக்கான சூத்திரங்களை விட எளிமையான முடிவை அளிக்கிறது.

உதாரணமாக, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு ... இந்த பதிலை நீங்களே பெற முயற்சிக்கவும் மற்றும் மீதமுள்ள சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்.

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மிகவும் பொதுவான வகை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கு கூடுதலாக, இன்னும் பல நிலையானவை உள்ளன. நாம் ஏற்கனவே சுட்டிக்காட்டியவற்றை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அவற்றை பட்டியலிடுவோம்:

1) எளிமையானது, உதாரணத்திற்கு, ;

2) எளிய சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட வழக்குகள், உதாரணத்திற்கு, ;

3) சிக்கலான வாத சமன்பாடுகள், உதாரணத்திற்கு, ;

4) ஒரு பொதுவான காரணி எடுக்கும் எளிய வழிக்கு சமன்பாடுகள் குறைத்தல், உதாரணத்திற்கு, ;

5) முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை மாற்றுவதன் மூலம் எளிய வழியில் குறைக்கும் சமன்பாடுகள், உதாரணத்திற்கு, ;

6) மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி எளியவருக்குக் குறைக்கும் சமன்பாடுகள், உதாரணத்திற்கு, ;

7) ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள், உதாரணத்திற்கு, ;

8) செயல்பாட்டு பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன, உதாரணத்திற்கு, ... இந்த சமன்பாட்டில் இரண்டு மாறிகள் உள்ளன என்று பயப்பட வேண்டாம், அது ஒரே நேரத்தில் தீர்க்கப்படுகிறது;

பல்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும் சமன்பாடுகள்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதோடு மட்டுமல்லாமல், அவற்றின் அமைப்புகளையும் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்.

பின்வரும் வகைகளின் மிகவும் பொதுவான அமைப்புகள்:

1) இதில் சமன்பாடுகளில் ஒன்று சக்தி, உதாரணத்திற்கு, ;

2) எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள், உதாரணத்திற்கு, .

இன்றைய பாடத்தில், அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்களைப் பார்த்தோம். மேலும் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான சூத்திரங்களைப் பற்றி அறிந்து கொண்டது, அத்தகைய சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகளையும் அவற்றின் அமைப்புகளையும் குறிக்கிறது.

பாடத்தின் நடைமுறைப் பகுதியில், முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பெட்டி 1.எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட வழக்குகளைத் தீர்ப்பது.

பாடத்தின் முக்கிய பகுதியில் நாம் ஏற்கனவே கூறியது போல, படிவத்தின் சைன் மற்றும் கொசைனுடன் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகள்:

இன்னும் வேண்டும் எளிய தீர்வுகள்பொதுவான தீர்வுகளுக்கான சூத்திரங்களை விட.

இதற்காக, ஒரு முக்கோணவியல் வட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் தீர்க்கும் முறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

கோசின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளியை முக்கோணவியல் வட்டத்தில் வரையலாம், இது அப்சிஸ்ஸா அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பாகும். நீங்கள் பார்க்கிறபடி, இதுபோன்ற இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன. வட்டத்தில் இந்த புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய கோணம் என்ன என்பதைக் குறிப்பிடுவதே எங்கள் பணி.

நாம் அப்சிஸ்ஸா அச்சின் (கோசைன் அச்சு) நேர்மறையான திசையில் இருந்து எண்ணத் தொடங்குகிறோம், கோணத்தைத் திட்டமிடும்போது, ​​முதல் சித்தரிக்கப்பட்ட புள்ளியைப் பெறுகிறோம், அதாவது. இந்த கோண மதிப்பு ஒரு தீர்வாக இருக்கும். ஆனால் இரண்டாவது புள்ளியுடன் தொடர்புடைய கோணத்தில் நாங்கள் இன்னும் திருப்தி அடைகிறோம். அதில் எப்படி நுழைவது?

உதாரணங்கள்:

\ (2 \ sin (⁡x) = \ sqrt (3) \)
tg \ ((3x) = - \) \ (\ frac (1) (\ sqrt (3)) \)
\ (4 \ cos ^ 2⁡x + 4 \ sin⁡x-1 = 0 \)
\ (\ cos⁡4x + 3 \ cos⁡2x = 1 \)

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது:

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடும் பின்வரும் வகைகளில் ஒன்றில் குறைக்கப்பட வேண்டும்:

\ (\ sin⁡t = a \), \ (\ cos⁡t = a \), tg \ (t = a \), ctg \ (t = a \)

இங்கே \ (t \) என்பது x உடன் வெளிப்பாடு, \ (a \) ஒரு எண். இத்தகைய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன எளிமையானது... () அல்லது சிறப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அவற்றை எளிதில் தீர்க்க முடியும்:

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விளக்கப்படத்திற்கு, இங்கே பார்க்கவும் :, மற்றும்.

உதாரணமாக ... முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \ (\ sin⁡x = - \) \ (\ frac (1) (2) \).
தீர்வு:

பதில்: \ (\ இடது [\ தொடக்கம் (திரட்டப்பட்டது) x = - \ frac (π) (6) + 2πk, \\ x = - \ frac (5π) (6) + 2πn, \ end (சேகரிக்கப்பட்டது) \ வலது \ (k, n∈Z \)

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு குறியீடும் எதைக் குறிக்கிறது என்பதைப் பார்க்கவும்.

கவனம்!\ (A ϵ (-∞; -1) ∪ (1; ∞) \) சமன்பாடுகள் \ (\ sin⁡x = a \) மற்றும் \ (\ cos⁡x = a \) தீர்வுகள் இல்லை. ஏனெனில் எந்த x க்குமான சைன் மற்றும் கொசைன் \ (- 1 \) ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

\ (- 1≤ \ sin x≤1 \) \ (- 1≤ \ cos⁡x≤1 \)

உதாரணமாக ... சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \ (\ cos⁡x = -1,1 \).
தீர்வு: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
பதில் : தீர்வுகள் இல்லை.

உதாரணமாக ... முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை tg \ (⁡x = 1 \) தீர்க்கவும்.
தீர்வு:

எண் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். இதற்காக: 1) ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குங்கள்) 2) அச்சுகள் \ (x \) மற்றும் \ (y \) மற்றும் தொடு அச்சு (அது புள்ளி ((0; 1) \) \ (y \) அச்சுக்கு இணையாக செல்கிறது). 3) தொடுகோட்டு அச்சில், புள்ளி \ (1 \) ஐக் குறிக்கவும். 4) இந்த புள்ளியையும் ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்தையும் இணைப்போம் - ஒரு நேர் கோடு. 5) இந்த கோடு மற்றும் எண் வட்டத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் குறிக்கலாம். 6) இந்த புள்ளிகளின் மதிப்புகளில் கையெழுத்திடுவோம்: \ (\ frac (π) (4) \), \ (\ frac (5π) (4) \) 7) இந்த புள்ளிகளின் அனைத்து மதிப்புகளையும் எழுதுவோம். அவர்கள் ஒருவருக்கொருவர் சரியாக \ (π \) தொலைவில் இருப்பதால், அனைத்து மதிப்புகளையும் ஒரு சூத்திரத்தில் எழுதலாம்:

பதில்: \ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ πk \), \ (k∈Z \).

உதாரணமாக ... முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \ (\ cos⁡ (3x + \ frac (π) (4)) = 0 \).
தீர்வு:

மீண்டும் எண் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம். 1) ஒரு வட்டம், அச்சுகள் \ (x \) மற்றும் \ (y \) ஆகியவற்றை உருவாக்குங்கள். 2) கொசின் அச்சில் (அச்சு \ (x \)) நாம் \ (0 \) எனக் குறிக்கிறோம். 3) இந்த புள்ளி மூலம் கொசின் அச்சுக்கு ஒரு செங்குத்தாக வரையலாம். 4) செங்குத்து மற்றும் வட்டத்தின் வெட்டும் புள்ளிகளைக் குறிக்கலாம். 5) இந்த புள்ளிகளின் மதிப்புகளில் கையெழுத்திடுவோம்: \ (- \) \ (\ frac (π) (2) \), \ (\ frac (π) (2) \). 6) இந்த புள்ளிகளின் அனைத்து மதிப்புகளையும் எழுதி அவற்றை கொசினுடன் சமன் செய்வோம் (கொசினுக்குள் என்ன இருக்கிறது). \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ ( + 2πk \), \ (k∈Z \) \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (π) (2) \) \ ( + 2πk \) \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= - \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) 8) வழக்கம் போல், நாம் சமன்பாடுகளில் \ (x \) வெளிப்படுத்துவோம். \ (Π \), \ (1 \), \ (2 \), \ (\ frac (1) (4) \) போன்ற எண்களைக் கையாள மறக்காதீர்கள். இவை எல்லோரையும் போன்ற எண்கள். எண் பாகுபாடு இல்லை! \ (3x = - \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) \ (3x = - \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) \ (3x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ 2πk \) \ (|: 3 \) \ (3x = - \) \ (\ frac (3π) (4) \) \ (+ 2πk \) \ (|: 3 \) \ (x = \) \ (\ frac (π) (12) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \) \ (x = - \) \ (\ frac (π) ( 4) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \)

பதில்: \ (x = \) \ (\ frac (π) (12) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \) \ (x = - \) \ (\ frac (π) ( 4) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \), \ (k∈Z \).

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எளிமையானதாக குறைப்பது ஒரு ஆக்கபூர்வமான பணியாகும், இங்கே நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சிறப்பு முறைகள்:
- முறை (தேர்வில் மிகவும் பிரபலமானது).
- முறை.
- துணை வாதங்களின் முறை.

சதுர-முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்

உதாரணமாக ... முக்கோண சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \ (2 \ cos ^ 2⁡x-5 \ cos⁡x + 2 = 0 \)
தீர்வு:

\ (2 \ cos ^ 2⁡x-5 \ cos⁡x + 2 = 0 \)	மாற்றீடு செய்வோம் \ (t = \ cos⁡x \).
	எங்கள் சமன்பாடு வழக்கமானதாகிவிட்டது. நீங்கள் அதை தீர்க்க முடியும்.
\ (D = 25-4 \ cdot 2 \ cdot 2 = 25-16 = 9 \)
\ (t_1 = \) \ (\ frac (5-3) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (1) (2) \); \ (t_2 = \) \ (\ frac (5 + 3) (4) \) \ (= 2 \)	தலைகீழ் மாற்றீட்டை நாங்கள் செய்கிறோம்.
\ (\ cos⁡x = \) \ (\ frac (1) (2) \); \ (\ cos⁡x = 2 \)	எண் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை \ (\ cos⁡x∈ [-1; 1] \) மற்றும் எந்த x க்கும் இரண்டிற்கு சமமாக இருக்க முடியாது.
	இந்த புள்ளிகளில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் எழுதுவோம்.

பதில்: \ (x = ± \) \ (\ frac (π) (3) \) \ (+ 2πk \), \ (k∈Z \).

ODZ ஆய்வுடன் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு:

உதாரணம் (தேர்வு) ... முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \ (= 0 \)

\ (\ frac (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin (⁡2x)) (ctg x) \)\(=0\)	ஒரு பின்னம் மற்றும் ஒரு கோடங்கென்ட் இருந்தால், நீங்கள் அதை எழுத வேண்டும். கோடங்கென்ட் உண்மையில் ஒரு பின்னம் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: ctg \ (x = \) \ (\ frac (\ cos⁡x) (\ sin⁡x) \) எனவே, ctg \ (x \): \ (\ sin⁡x ≠ 0 \) க்கான ODZ.
ODZ: ctg \ (x ≠ 0 \); \ (\ sin⁡x ≠ 0 \) \ (x ≠ ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \); \ (x ≠ πn \); \ (k, n∈Z \)	எண் வட்டத்தில் "தீர்வுகள் அல்லாதவற்றை" குறிக்கலாம்.
\ (\ frac (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin (⁡2x)) (ctg x) \)\(=0\)	சமன்பாட்டில் உள்ள வகுப்பை ctg \ (x \) ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் அகற்றுவோம். Ctg \ (x ≠ 0 \) என்று மேலே எழுதியதால் இதை நாம் செய்யலாம்.
\ (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin⁡ (2x) = 0 \)	இரட்டை கோண சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்: \ (\ sin⁡ (2x) = 2 \ sin⁡x \ cos⁡x \).
\ (2 \ cos ^ 2⁡x-2 \ sin⁡x \ cos⁡x = 0 \)	உங்கள் கைகள் கொசைன் மூலம் பிரிக்க நீட்டப்பட்டால் - அவற்றை பின்னால் இழுக்கவும்! அது ஒரு பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால் ஒரு எக்ஸ்பிரஷனை ஒரு வேரியபிள் மூலம் பிரிக்கலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, \ (x ^ 2 + 1.5 ^ x \) போன்றவை). அதற்கு பதிலாக, அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே \ (\ cos⁡x \) போடவும்.
\ (\ cos⁡x (2 \ cos⁡x-2 \ sin⁡x) = 0 \)	சமன்பாட்டை இரண்டாகப் பிரிப்போம்.
\ (\ cos⁡x = 0 \); \ (2 \ cos⁡x-2 \ sin⁡x = 0 \)	முதல் சமன்பாட்டை எண் வட்டத்துடன் தீர்க்கவும். இரண்டாவது சமன்பாட்டை \ (2 \) வகுத்து \ (\ sin⁡x \) ஐ வலது பக்கமாக நகர்த்தவும்.
\ (x = ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \), \ (k∈Z \). \ (\ cos⁡x = \ sin⁡x \)	மாறிய வேர்கள் LDZ இல் சேர்க்கப்படவில்லை. எனவே, நாங்கள் அவற்றை பதிலில் எழுத மாட்டோம். இரண்டாவது சமன்பாடு பொதுவானது. இதை \ (\ sin⁡x \) ஆல் வகுக்கவும் (\ (\ sin⁡x = 0 \) சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் இந்த வழக்கில் \ (\ cos⁡x = 1 \) அல்லது \ (\ cos⁡ x = -1 \)).
	வட்டத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தவும்.
\ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ πn \), \ (n∈Z \)	இந்த வேர்கள் ODZ ஆல் விலக்கப்படவில்லை, எனவே நீங்கள் அவற்றை பதிலில் எழுதலாம்.

பதில்: \ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ πn \), \ (n∈Z \).

வர்க்கம்: 10

"சமன்பாடுகள் என்றென்றும் நீடிக்கும்."

A. ஐன்ஸ்டீன்

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

• கல்வி:
  • முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பற்றிய ஆழமான புரிதல்;
  • வேறுபடுத்தும் திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள், முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் வழிகளை சரியாகத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
• கல்வி:
  • கல்வி செயல்பாட்டில் அறிவாற்றல் ஆர்வத்தை வளர்ப்பது;
  • பணியை பகுப்பாய்வு செய்யும் திறனை உருவாக்குதல்;
  • வகுப்பறையில் உளவியல் சூழலை மேம்படுத்த பங்களிக்கிறது.
• வளரும்:
  • அறிவை சுயாதீனமாக கையகப்படுத்தும் திறனின் வளர்ச்சிக்கு பங்களிப்பு;
  • மாணவர்களின் பார்வையை வாதிடும் திறனை ஊக்குவித்தல்;

உபகரணங்கள்:அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், கணினி, ப்ரொஜெக்டர், திரை கொண்ட சுவரொட்டி.

1 பாடம்

I. அடிப்படை அறிவைப் புதுப்பித்தல்

சமன்பாடுகளை வாய்வழியாக தீர்க்கவும்:

1) cosx = 1;
2) 2 காஸ் = 1;
3) cosx = -;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx =;
7) tgx =;
8) cos 2 x - sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = கே;
5) x = (–1) + கே;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; Z க்கு.

II. புதிய பொருள் கற்றல்

- இன்று நாம் மிகவும் சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றைத் தீர்க்க 10 வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அடுத்து ஒருங்கிணைக்க இரண்டு பாடங்கள் இருக்கும், அடுத்த பாடம் ஒரு சோதனை வேலை. "பாடத்திற்கு" ஸ்டாண்டில், பணிகளை இடுகையிடுவது, சோதனைப் பணியில் இருப்பதைப் போன்றது, நீங்கள் சோதனை வேலைக்கு முன் அவற்றைத் தீர்க்க வேண்டும். (சோதனை வேலைக்கு முந்தைய நாள், இந்தப் பணிகளின் தீர்வுகளை ஸ்டாண்டில் பதிவிடவும்).

எனவே, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த முறைகள் சில உங்களுக்கு கடினமாகத் தோன்றலாம், மற்றவை - எளிதானவை, ஏனென்றால் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சில நுட்பங்களை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிவீர்கள்.

வகுப்பில் நான்கு மாணவர்கள் ஒரு தனிப்பட்ட வேலையைப் பெற்றனர்: முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க 4 வழிகளைப் புரிந்துகொண்டு உங்களுக்குக் காண்பிப்பது.

(வழங்குபவர்கள் முன்கூட்டியே ஸ்லைடுகளை தயார் செய்துள்ளனர். மீதமுள்ள வகுப்புகள் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் நோட்புக்கில் முக்கிய படிகளை எழுதுவார்கள்.)

1 மாணவர்: 1 வழி. காரணி மூலம் சமன்பாடுகளை தீர்ப்பது

பாவம் 4x = 3 cos 2x

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, இரட்டை கோண பாவம் 2 = 2 பாவம் கோஸின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்
2 பாவம் 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x - 3) = 0. குறைந்தபட்சம் ஒரு காரணியாவது பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் இந்த காரணிகளின் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

2x = + k, k Z அல்லது sin 2x = 1.5 - தீர்வுகள் இல்லை, ஏனெனில் | பாவம் | 1
x = + k; Z க்கு.
பதில்: x = + k, k Z.

2 மாணவர். முறை 2. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒரு பொருளாக மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, பாவம் - பாவம் = 2 பாவம் theos என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

cos 3x + 2 sin сos = 0,

cos 3x - 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 - 2 sinx) = 0. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு முதல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பில் முழுமையாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. பொருள்

பதில்:

3 மாணவர். முறை 3. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியை ஒரு தொகையாக மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

பாவம் 5x cos 3x = பாவம் 6x cos2x.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

பதில்:

4 மாணவர். முறை 4. இருபடி சமன்பாடுகளைக் குறைக்கும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

3 பாவம் x - 2 cos 2 x = 0,
3 பாவம் x - 2 (1 - பாவம் 2 x) = 0,
2 பாவம் 2 x + 3 பாவம் x - 2 = 0,

பாவம் x = t, எங்கே | டி. நாம் இருபடி சமன்பாடு 2t 2 + 3t - 2 = 0,

டி = 9 + 16 = 25.

இதனால் . நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை | டி.

எனவே பாவம் x =. அதனால் தான் .

பதில்:

III A.N. கோல்மோகோரோவ் பாடப்புத்தகத்திலிருந்து கற்றுக்கொண்டவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு

1. எண் 164 (அ), 167 (அ) (இருபடி சமன்பாடு)
2. எண் 168 (அ) (காரணிமயமாக்கல்)
3. எண் 174 (அ) (தயாரிப்பு மாற்றத்திற்கான தொகை)
4. (தயாரிப்புக்கு கூட்டு மாற்றம்)

(பாடத்தின் முடிவில், சரிபார்ப்புக்காக திரையில் இந்த சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் காட்டுங்கள்)

№ 164 (அ)

2 பாவம் 2 x + பாவம் x - 1 = 0.
பாவம் x = t, | டி 1. பிறகு
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t =. எங்கே

பதில்: - .

№ 167 (அ)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Tg x = 1 ஆகட்டும், பிறகு நாம் 3 t 2 + 2 t - 1 = 0 சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

பதில்:

№ 168 (அ)

பதில்:

№ 174 (அ)

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

பதில்:

2 பாடம் (பாடம்-விரிவுரை)

IV. புதிய பொருள் கற்றல்(தொடர்ச்சி)

- எனவே, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிகளைப் படிப்போம்.

முறை 5. ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

படிவத்தின் சமன்பாடுகள் ஒரு பாவம் x + b cos x = 0, a மற்றும் b என்பது சில எண்கள், பாவம் x அல்லது cos x ஐப் பொறுத்து முதல் பட்டத்தின் ஒரேவிதமான சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சமன்பாட்டைக் கருதுங்கள்

பாவம் x - cos x = 0... சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் cos x ஆல் வகுக்கவும். இதை செய்ய முடியும், வேர் இழப்பு இருக்காது, ஏனென்றால் , என்றால் cos x = 0,பிறகு பாவம் x = 0... ஆனால் இது அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்திற்கு முரணானது பாவம் 2 x + cos 2 x = 1.

நாங்கள் பெறுகிறோம் tg x - 1 = 0.

tg x = 1,

படிவத்தின் சமன்பாடுகள் ஒரு பாவம் 2 x + bcos 2 x + c பாவம் x cos x = 0,எங்கே a, b, c -சில எண்கள் பாவம் x அல்லது cos x ஐப் பொறுத்து இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரேவிதமான சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சமன்பாட்டைக் கருதுங்கள்

பாவம் 2 x - 3 பாவம் x cos x + 2 cos 2 = 0. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் cos x ஆல் வகுக்கவும், அதனால் வேர் இழப்பு இருக்காது cos x = 0 இந்த சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல.

tg 2 x - 3tg x + 2 = 0.

Tg x = t ஆகட்டும். டி = 9 - 8 = 1.

எனவே tg x = 2 அல்லது tg x = 1.

இதன் விளைவாக, x = ஆர்க்டன் 2 +, x =

பதில்: arctg 2 +,

மற்றொரு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்: 3 பாவம் 2 x - 3 பாவம் x cos x + 4 cos 2 x = 2.
சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 2 = 2 1 = 2 (பாவம் 2 x + cos 2 x) என மீண்டும் எழுதவும். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:
3 சின் 2 x - 3 சின் x cos x + 4cos 2 x = 2 (பாவம் 2 x + cos 2 x),
3 சின் 2 x - 3 சின் x cos x + 4cos 2 x - 2 சின் 2 x - 2 cos 2 x = 0,
பாவம் 2 x - 3 சின் x cos x + 2cos 2 x = 0. (பெறப்பட்ட 2 சமன்பாடு, இது ஏற்கனவே பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டது).

பதில்: arctg 2 + k,

முறை 6. நேரியல் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு நேரியல் முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது படிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் ஒரு பாவம் x + b cos x = c, இங்கு a, b, c என்பது சில எண்கள்.

சமன்பாட்டைக் கருதுங்கள் பாவம் x + cos x= – 1.
சமன்பாட்டை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

அதைக் கருத்தில் கொண்டு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதில்:

முறை 7. கூடுதல் வாதத்தை அறிமுகப்படுத்துதல்

வெளிப்பாடு ஒரு cos x + b sin xமாற்ற முடியும்:

(முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை எளிமையாக்கும் போது நாங்கள் ஏற்கனவே இந்த மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தினோம்)

ஒரு கூடுதல் வாதத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம் - இது போன்ற ஒரு கோணம்

பிறகு

சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

வீட்டு பாடம்:எண் 164 -170 (c, d).

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் கருத்து.

• ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கு மாற்றவும். ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது இறுதியில் நான்கு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கிறது.

அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

• அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளில் 4 வகைகள் உள்ளன:
• பாவம் x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது அலகு வட்டத்தின் வெவ்வேறு x நிலைகளைப் பார்ப்பது மற்றும் மாற்று அட்டவணையைப் (அல்லது கால்குலேட்டர்) பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்குகிறது.
• உதாரணம் 1. சின் x = 0.866. மாற்று அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (அல்லது கால்குலேட்டர்), நீங்கள் பதிலைப் பெறுவீர்கள்: x = π / 3. அலகு வட்டம் மற்றொரு பதிலை அளிக்கிறது: 2π / 3. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் அவ்வப்போது, ​​அதாவது அவற்றின் மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, பாவம் x மற்றும் cos x இன் கால அளவு 2πn, மற்றும் tg x மற்றும் ctg x இன் கால அளவு πn ஆகும். எனவே, பதில் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:
• x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
• உதாரணம் 2.cos x = -1/2. மாற்று அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (அல்லது கால்குலேட்டர்), நீங்கள் பதிலைப் பெறுவீர்கள்: x = 2π / 3. அலகு வட்டம் மற்றொரு பதிலைக் கொடுக்கிறது: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
• எடுத்துக்காட்டு 3.tg (x - π / 4) = 0.
• பதில்: x = π / 4 + .n.
• எடுத்துக்காட்டு 4. ctg 2x = 1.732.
• பதில்: x = π / 12 + .n.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் மாற்றங்கள்.

• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை மாற்ற, இயற்கணித மாற்றங்கள் (காரணிமயமாக்கல், ஒரேவிதமான சொற்களைக் குறைத்தல் போன்றவை) மற்றும் முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
• எடுத்துக்காட்டு 5. முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, பாவம் x + sin 2x + sin 3x = 0 சமன்பாடு 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. சமன்பாடாக மாற்றப்படுகிறது. பின்வரும் அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்: cos x = 0; பாவம் (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.

• செயல்பாடுகளின் அறியப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து கோணங்களைக் கண்டறிதல்.

  • முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கற்றுக்கொள்வதற்கு முன், செயல்பாடுகளின் அறியப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து கோணங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். இதை ஒரு மாற்று அட்டவணை அல்லது கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி செய்யலாம்.
  • எடுத்துக்காட்டு: cos x = 0.732. கால்குலேட்டர் x = 42.95 டிகிரி பதிலைக் கொடுக்கும். அலகு வட்டம் கூடுதல் கோணங்களைக் கொடுக்கும், இதன் கொசைனும் 0.732 ஆகும்.

• அலகு வட்டத்தில் தீர்வை ஒதுக்கி வைக்கவும்.

  • அலகு வட்டத்தின் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளை நீங்கள் ஒத்திவைக்கலாம். அலகு வட்டத்தின் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தின் செங்குத்துகளைக் குறிக்கின்றன.
  • எடுத்துக்காட்டு: அலகு வட்டத்தில் x = π / 3 + πn / 2 தீர்வுகள் ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள்.
  • எடுத்துக்காட்டு: அலகு வட்டத்தில் உள்ள x = π / 4 + πn / 3 தீர்வுகள் ஒரு வழக்கமான அறுகோணத்தின் உச்சியைக் குறிக்கின்றன.

• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

  • கொடுக்கப்பட்ட ட்ரிக் சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு ட்ரிக் ஃபங்க்ஷன் இருந்தால், அந்த சமன்பாட்டை அடிப்படை ட்ரிக் சமன்பாடாக தீர்க்கவும். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க 2 முறைகள் உள்ளன (அதன் மாற்றத்தின் சாத்தியத்தைப் பொறுத்து).
    • முறை 1.
  • இந்த சமன்பாட்டை படிவத்தின் சமன்பாடாக மாற்றவும்: f (x) * g (x) * h (x) = 0, அங்கு f (x), g (x), h (x) அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகள்.
  • எடுத்துக்காட்டு 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • தீர்வு Sin 2x = 2 * sin x * cos x என்ற இரட்டை கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, sin 2x ஐ மாற்றவும்.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos x = 0 மற்றும் (sin x + 1) = 0.
  • உதாரணம் 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தின் சமன்பாடாக மாற்றவும்: cos 2x (2cos x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0 மற்றும் (2cos x + 1) = 0.
  • உதாரணம் 8.பாவம் x - பாவம் 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தின் சமன்பாடாக மாற்றவும்: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0 மற்றும் (2sin x + 1) = 0 .
    • முறை 2.
  • கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை ஒரே ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாடு கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும். பின்னர் இந்த முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை சில அறியப்படாதவற்றுடன் மாற்றவும், எடுத்துக்காட்டாக, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, போன்றவை).
  • உதாரணம் 9.3 சின் ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4 சின் x + 7 (0< x < 2π).
  • தீர்வு இந்த சமன்பாட்டில், (cos ^ 2 x) உடன் (1 - sin ^ 2 x) (அடையாளத்தால்) மாற்றவும். மாற்றப்பட்ட சமன்பாடு:
  • 3 சின் ^ 2 x - 2 + 2 சின் ^ 2 x - 4 சின் x - 7 = 0. பாவம் x ஐ t உடன் மாற்றவும். சமன்பாடு இப்போது இதுபோல் தெரிகிறது: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. இது இரண்டு வேர்களைக் கொண்ட இருபடி சமன்பாடு: t1 = -1 மற்றும் t2 = 9/5. இரண்டாவது ரூட் t2 செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பை பூர்த்தி செய்யாது (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • எடுத்துக்காட்டு 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • தீர்வு Tg x ஐ t உடன் மாற்றவும். அசல் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதவும்: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. இப்போது t ஐ கண்டுபிடித்து t = tg x க்கு x ஐக் கண்டறியவும்.

• சிறப்பு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.

  • குறிப்பிட்ட மாற்றங்கள் தேவைப்படும் பல சிறப்பு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் உள்ளன. உதாரணங்கள்:
  • a * sin x + b * cos x = c; a (பாவம் x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
  • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

• முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கால அளவு.

  • முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் அவ்வப்போது, ​​அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்குப் பிறகு அவற்றின் மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. உதாரணங்கள்:
    • செயல்பாட்டின் காலம் f (x) = sin x 2π ஆகும்.
    • செயல்பாட்டின் காலம் f (x) = டான் x to க்கு சமம்.
    • செயல்பாட்டின் காலம் f (x) = sin 2x is ஆகும்.
    • F (x) = cos (x / 2) செயல்பாட்டின் காலம் 4π ஆகும்.
  • பிரச்சனையில் காலம் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், இந்த காலத்திற்குள் "x" மதிப்பை கணக்கிடுங்கள்.
  • குறிப்பு: முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எளிதான காரியமல்ல, பெரும்பாலும் பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே உங்கள் பதில்களை கவனமாக சரிபார்க்கவும். இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு R (x) = 0. திட்டமிட நீங்கள் ஒரு வரைபட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், தீர்வுகள் தசம பின்னங்களாக வழங்கப்படும் (அதாவது π 3.14 ஆல் மாற்றப்படுகிறது).