சேவை நோக்கம்... ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது மறு செய்கை முறை.

முடிவு வேர்ட் வடிவத்தில் எடுக்கப்பட்டது.

செயல்பாட்டு நுழைவு விதிகள்

உதாரணங்கள்
≡ x ^ 2 / (1 + x)
cos 2 (2x + π) ≡ (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ x + (x-1) ^ (2/3)

மிகவும் ஒன்று பயனுள்ள வழிகள்சமன்பாடுகளின் எண் தீர்வு மறு செய்கை முறை... இந்த முறையின் சாராம்சம் பின்வருமாறு. சமன்பாடு f (x) = 0 கொடுக்கப்படட்டும்.
நாங்கள் அதை சமமான சமன்பாட்டோடு மாற்றுகிறோம்
ரூட் x 0 இன் ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து அதை சமன்பாட்டின் வலது புறத்தில் மாற்றுவோம் (1). பிறகு நமக்கு சில எண் கிடைக்கும்

x 1 = φ (x 0). (2)

X 0 எண்ணுக்குப் பதிலாக (2) இன் வலது பக்கத்தில் இப்போது மாற்றினால் x 1 = x 2 = φ (x 1) என்ற எண்ணைப் பெறுகிறோம். இந்த செயல்முறையை மீண்டும் செய்வதால், எண்களின் வரிசை இருக்கும்

x n = φ (x n-1) (n = 1,2 ..). (3)

இந்த வரிசை ஒன்றிணைந்தால், அதாவது, ஒரு வரம்பு உள்ளது, பின்னர் சமத்துவத்தில் (3) வரம்பை கடந்து the (x) செயல்பாட்டைக் கருதி, நாம் காண்கிறோம்

அல்லது ξ = φ (ξ).
எனவே, வரம்பு equ என்பது சமன்பாட்டின் வேர் (1) மற்றும் எந்த அளவிலும் துல்லியத்துடன் சூத்திரம் (3) மூலம் கணக்கிட முடியும்.

அரிசி. 1a படம். 1b

அரிசி. 2

| φ ′ (x) |> 1 என்பது ஒரு மாறுபட்ட செயல்முறை

அத்தி 1a, 1b, வேரின் அருகாமையில் | φ ′ (x) |<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, பின்னர் மறு செய்கை செயல்முறை வேறுபட்டிருக்கலாம் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்).

மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனைகள்

தேற்றம் 7.இடைவெளியில் φ (x) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு வேறுபடுத்தப்படட்டும், அதன் அனைத்து மதிப்புகளும் φ (x) ∈ ஆகட்டும் மற்றும் let ′ (x) | ≤q<1 при x∈. Тогда процесс итерации x n = φ(x n -1) сходится независимо от начального значения x 0 ∈ и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке .
ஆதாரம்: X n = φ (x n -1) மற்றும் x n +1 = φ (x n) ஆகிய இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்களைக் கருத்தில் கொண்டு அவற்றின் வேறுபாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் x n + 1 -x n = φ (x n) -φ (x n -1). லாக்ரேஞ்சின் தேற்றத்தால், வலது புறம் இவ்வாறு குறிப்பிடப்படலாம்

x ′ (x n) (x n -x n -1)

எங்கே x n ∈
பிறகு நமக்கு கிடைக்கும்

| x n + 1 -x n | ≤φ ′ (x n) | x n -x n -1 | ≤q | x n -x n -1 |

N = 1,2, ...

| x 2 -x 1 | ≤q | x 1 -x 0 |
| x 3 -x 2 | ≤q | x 2 -x 1 | ≤q² | x 1 -x 0 |
| x n + 1 -x n ≤q n | x 1 -x 0 | (4)

(4) இலிருந்து, நிபந்தனையின் அடிப்படையில் q<1 видно, что последовательность {x n } сходится к некоторому числу ξ, то есть , எனவே
(செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி காரணமாக φ (x))
அல்லது ξ = φ (ξ) ch.d.
ரூட் of இன் பிழைக்கு, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறலாம்.
எங்களிடம் x n = φ (x n-1) உள்ளது.
மேலும், ξ-x n = ξ-φ (x n-1) = φ (ξ) -φ (x n-1) →
இப்போது φ (x n -1) = φ (x n) -φ ′ (c) (x n -x n -1) →
φ (ξ) -φ (x n) + φ ′ (c) (x n -x n -1)
இதன் விளைவாக, நாங்கள் பெறுகிறோம்

c-x n = φ ′ (c 1) (ξ-x n-1) + φ ′ (c) (x n -x n-1)
அல்லது
| ξ-x n | ≤q | ξ-x n | + q | x n -x n-1 |

இங்கிருந்து

, (5)

q க்கு 1 க்கு வித்தியாசம் | ξ -x n | மிகவும் பெரியதாக இருந்தாலும் | x n -x n -1 |<ε, где ε-заданная величина. Для того, чтобы вычислить ξ с точностью ε необходимо обеспечить

. (6)

பின்னர் (6) (5) க்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம் | ξ -x n |<ε.
Q மிகச் சிறியதாக இருந்தால், (6) க்குப் பதிலாக ஒருவர் பயன்படுத்தலாம்

| x n -x n -1 |<ε

மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்புஒருங்கிணைப்பு குணகம் = q உடன் நேரியல். உண்மையில், எங்களிடம் உள்ளது
ξ-x n = φ (ξ) -φ n-1 = φ ′ (c) (ξ-x n-1), எனவே | ξ-x n | ≤q | ξ-x n-1 |.

கருத்து= (A, b) சமன்பாட்டின் சில சுற்றுப்புறங்களில் x = φ (x) வழித்தோன்றல் φ ’(x) ஒரு நிலையான அடையாளத்தை பாதுகாக்கிறது மற்றும் சமத்துவமின்மை | φ’ (x) | ≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
Φ '(x) எதிர்மறையாக இருந்தால், அடுத்தடுத்த தோராயங்கள் வேரைச் சுற்றி ஊசலாடும்.
X = φ (x) வடிவில் f (x) = 0 சமன்பாட்டைக் குறிக்கும் வழியைக் கவனியுங்கள்.
Φ (x) செயல்பாடு குறிப்பிடப்பட வேண்டும் | φ ’(x) | வேரின் அருகே சிறியதாக இருந்தது.
எம் 1 அறியப்படட்டும் மற்றும் எம் 1 என்பது வழித்தோன்றலின் மிகச்சிறிய மற்றும் மிகப்பெரிய மதிப்புகள் f ’(x)
0சமன்பாடு f (x) = 0 க்கு சமமான சமன்பாட்டை மாற்றவும்
x = x - λf (x).
நாங்கள் φ (x) = x- λf (x) ஐ வைக்கிறோம். நாம் அளவுருவை தேர்வு செய்வோம் λ அதனால் வேரின் அண்டை பகுதியில் சமத்துவமின்மை

0≤ | φ ′ (x) | = | 1-λ f ′ (x) | ≤q≤1

எனவே, (7) அடிப்படையில், நாம் பெறுகிறோம்

0≤ | 1-λM 1 | ≤ | 1-λm 1 | .q

பின்னர் λ = 1 / M 1 ஐத் தேர்ந்தெடுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்
q = 1-m 1 / M 1< 1.
Λ = 1 / f ’(x) எனில், மறுபடி சூத்திரம் x n = φ (x n -1) நியூட்டனின் சூத்திரமாக மாறும்

x n = x n -1 - f (x n) / f '(x).

எக்செல் இல் மறுசீரமைப்பு முறை

செல் B2 இல் நாம் இடைவெளியின் தொடக்கத்தை உள்ளிடுகிறோம் a, செல் B3 இல் நாம் இடைவெளி b இன் நுழைகிறோம். அட்டவணை தலைப்பின் கீழ் வரி 4 ஒதுக்கி வைக்கப்பட்டுள்ளது. A5: D5 கலங்களில் மறு செய்கை செயல்முறையை நாங்கள் ஏற்பாடு செய்கிறோம்.

செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களை மறு செய்கை முறை மூலம் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறைபின்வரும் நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. இந்த சேவையைப் பயன்படுத்தி ஒரு டெம்ப்ளேட்டைப் பெறுங்கள்.
2. B2, B3 கலங்களில் உள்ள இடைவெளியைச் செம்மைப்படுத்துங்கள்.
3. மறு செய்கைகளின் வரிசைகளை தேவையான துல்லியத்திற்கு நகலெடுக்கவும் (நெடுவரிசை D).

குறிப்புநெடுவரிசை A - மறு செய்கை எண், நெடுவரிசை B - சமன்பாட்டின் வேர் X, நெடுவரிசை C - செயல்பாட்டின் மதிப்பு F (X), நெடுவரிசை D - துல்லியமான eps.

ஒரு உதாரணம். E -x -x = 0, x = ∈, ε = 0.001 (8) சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறியவும்
தீர்வு.
X = x -λ (e -x -x) வடிவத்தில் சமன்பாட்டை (8) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம்
F (x) = e - x -x என்ற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் அதிகபட்ச மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
அதிகபட்சம் f ′ (x) = அதிகபட்சம் ( -(e -x +1)) ≈ -1.37. பொருள் ... எனவே, பின்வரும் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்
x = x + 0.73 (e - x -x)
அடுத்தடுத்த தோராயங்களின் மதிப்புகள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

என்	x i	f (x i)
1	0.0	1.0
2	0.73	-0.2481
3	0.5489	0.0287
4	0.5698	-0.0042
5	0.5668	0.0006

கல்வியின் அமைச்சகம் மற்றும் உக்ரைனின் அறிவியல்

சம்ஸ்க் மாநில பல்கலைக்கழகம்

தகவல் துறை

கோர்ஸ் வேலை

படி மூலம்:

எண் முறைகள்

"நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் முறைகள்"

1. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். பொதுவான செய்தி

2.1 எளிய மறு செய்கை முறை

2.2 ஐட்கென் மாற்றம்

2.3 நியூட்டனின் முறை

2.3.1 நியூட்டனின் முறையின் மாற்றங்கள்

2.3.2 அரை-நியூட்டோனியன் முறைகள்

2.4 நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற செயல்பாட்டு முறைகள்

2.4.1 பிகார்ட் முறை

2.4.2 சாய்வு இறங்கு முறை

2.4.3 தளர்வு முறை

3. செயலாக்க முறைகளை நிரலாக்கமாக செயல்படுத்துதல் மற்றும் மேப்பிள் கணித தொகுப்பைப் பயன்படுத்துதல்

3.1 எளிய மறு செய்கை முறை

3.2 சாய்வு இறங்கு முறை

3.3 நியூட்டனின் முறை

3.4 மாற்றியமைக்கப்பட்ட நியூட்டனின் முறை

பயன்படுத்திய இலக்கியங்களின் பட்டியல்

1. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். பொதுவான செய்தி.

எங்களிடம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்படும்

- சில நேரியல் அல்லாத ஆபரேட்டர்கள்: (1.1)

இது மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்திலும் குறிப்பிடப்படலாம்:

(1.1)

அதன் தீர்வு அத்தகைய மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது

, எதற்காக

கணினியின் (1.1) சில அல்லது அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிக்கும் கணக்கீட்டு சிக்கல் என்நேரியல் அல்லாத இயற்கணித அல்லது ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் என்தெரியவில்லை.

மூலம் குறிப்பிடுவோம் என். எஸ்நெடுவரிசை திசையன் ( என். எஸ் 1 , என். எஸ் 2 , ..., x n)டிசமன்பாடுகளின் அமைப்பை சூத்திரம் (1.2) வடிவில் எழுதுங்கள்: எஃப்(என். எஸ்) = 0, எங்கே எஃப் =(எஃப் 1 , எஃப் 2 , ..., f n)டி.

சமன்பாடுகளின் இத்தகைய அமைப்புகள் நேரடியாக எழலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இயற்பியல் அமைப்புகளின் வடிவமைப்பில் அல்லது மறைமுகமாக. உதாரணமாக, சில செயல்பாடுகளை குறைக்கும் சிக்கலை தீர்க்கும் போது ஜி(என். எஸ்) இந்த செயல்பாட்டின் சாய்வு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளை அடிக்கடி தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். அனுமானித்து எஃப் =பட்டப்படிப்பு ஜி,நாம் ஒரு நேரியல் அல்லாத அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் போலல்லாமல், தீர்வுக்காக அவற்றைப் பயன்படுத்தலாம் நேராக(அல்லது துல்லியமான) மற்றும் மீண்டும் மீண்டும்(அல்லது தோராயமான) முறைகள், நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் தீர்வை தோராயமான, மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகளால் மட்டுமே பெற முடியும். தோராயமான வரிசையைப் பெற அவை உங்களை அனுமதிக்கின்றன

... மறு செயல்பாட்டு முறை ஒன்றுசேர்ந்தால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளுக்கு எல்லை மதிப்பு தீர்வாகும்.

கணினிக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகள் பற்றிய முழுமையான புரிதலுக்கு, "ஒருங்கிணைப்பு வீதம்" போன்ற ஒரு கருத்தை தெளிவுபடுத்துவது அவசியம். நிலைத்தன்மைக்கு என்றால் x என்வரம்பிற்கு இணைகிறது என். எஸ் *, சூத்திரம் உண்மை

(கேநேர்மறை உண்மையான எண்), பின்னர் கேகொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு வீதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் முறைகள்

2.1 எளிய மறு செய்கை முறை

எளிய மறு செய்கைகளின் முறை (தொடர்ச்சியான தோராயங்கள்) கணக்கீட்டு கணிதத்தின் முக்கிய முறைகளில் ஒன்றாகும் மற்றும் இது பரந்த வகை சமன்பாடுகளை தீர்க்க பயன்படுகிறது. படிவத்தின் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கான இந்த முறையின் விளக்கத்தையும் நியாயத்தையும் முன்வைப்போம்

f i (x 1, x 2, ... x n) = 0, நான்=1,2,..என்;

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஒரு சிறப்பு வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

(2.1)

அல்லது திசையன் வடிவத்தில்

. (2.2)

மேலும், இந்த அமைப்பிற்கான மாற்றம் அந்த நிபந்தனையின் கீழ் மட்டுமே இருக்க வேண்டும்

ஒரு சுருக்க வரைபடமாகும்.

சில ஆரம்ப தோராயத்தை பயன்படுத்தி X (0) = (x 1 (0), x 2 (0), ... x n (0))

ஒரு செயல்பாட்டு செயல்முறையை உருவாக்க X (k + 1) =  (X (k)). நிபந்தனை நிறைவேறும் வரை கணக்கீடுகள் தொடர்கின்றன

... சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வு வரைபடத்தின் ஒரு நிலையான புள்ளியாகும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட நெறிமுறையில் முறையை நியாயப்படுத்துவோம்

இடம்

ஒரு ஒற்றுமை கோட்பாட்டை வழங்குவோம், இதன் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வது அமைப்புக்கு தீர்வு காண வழிவகுக்கிறது.

தேற்றம் (ஒருங்கிணைப்பு பற்றி).இருக்கட்டும்

1) திசையன் செயல்பாடு Ф (х) இப்பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது

; நிலை திருப்தி அளிக்கிறது

3). சமத்துவமின்மை செல்லுபடியாகும்

பின்னர் மறு செயல்பாட்டில்:

, - சமன்பாடுகள் அமைப்பின் தீர்வு; ,

கருத்து நிபந்தனையின் சமத்துவமின்மை 2) டொமைனில் திசையன் செயல்பாட்டிற்கான ps (x) க்கான லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிலை எஸ்மாறிலியுடன்

(சுருக்க நிலை). அது காட்டுகிறது எஃப்டொமைனில் ஒரு அமுக்க ஆபரேட்டர் எஸ்அதாவது, பிழிந்த மேப்பிங்கின் கொள்கை சமன்பாட்டிற்கு (2.2) பொருந்தும். கோட்பாட்டின் கூற்றுக்கள் சமன்பாடு (2.2) களத்தில் ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது எஸ். கே.

ஆதாரம்... இதுவரை

, அனுமானத்தின் அடிப்படையில் தோராயமாக 3) எங்களிடம் உள்ளது. அதற்கு அர்த்தம். K = 2,3, மற்றும் அண்டை தோராயங்களுக்கு சமத்துவமின்மை (2.3) என்பதைக் காண்பிப்போம்.

நாங்கள் தூண்டல் மூலம் வாதிடுவோம். மணிக்கு

அறிக்கை உண்மை, ஏனெனில் மற்றும். தோராயங்கள் எஸ் மற்றும் சமத்துவமின்மை (2.3) க்கு சொந்தமானது என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஏனெனில், கோட்பாட்டின் நிபந்தனை 2) எடுத்து, எங்களிடம் உள்ளது.

தூண்டல் கருதுகோள் மூலம்

கணித முறைகளால் பல்வேறு நிகழ்வுகள் அல்லது செயல்முறைகளின் ஆய்வு ஒரு கணித மாதிரியைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது . ஒரு கணித மாதிரி என்பது நேரியல், நேரியல் அல்லாத அல்லது வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், சமத்துவமின்மை அமைப்புகள், ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு, அறியப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோட்பாடு ஆகியவற்றின் மூலம் ஆய்வு செய்யப்படும் பொருளின் முறைப்படுத்தப்பட்ட விளக்கமாகும். ஆய்வு செய்யப்படும் பொருள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான தொடர்புகளை பிரதிபலிக்கிறது.

கணித மாதிரி வரையப்பட்ட பிறகு, கணக்கீட்டு சிக்கலை உருவாக்கத் தொடங்குங்கள் . அதே நேரத்தில், கணித மாதிரியின் எந்த பண்புகள் ஆரம்ப (உள்ளீடு) தரவு என்பது நிறுவப்பட்டுள்ளது , மாதிரியின் அளவுருக்கள் என்ன , மற்றும் எது வெளியீடு தரவு. பெறப்பட்ட பிரச்சினையின் பகுப்பாய்வு தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்தின் பார்வையில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

அடுத்த கட்டத்தில், சிக்கலைத் தீர்க்க ஒரு முறை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. பல குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளில், அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படாததால், வெளிப்படையான வடிவத்தில் பிரச்சனைக்கு தீர்வு காண இயலாது. இத்தகைய பிரச்சனைகள் தோராயமாக மட்டுமே தீர்க்கப்பட முடியும். கணக்கீட்டு (எண்) முறைகள் என்பது குறிப்பிட்ட எண்ணியல் மதிப்புகளின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்கும் தோராயமான நடைமுறைகளைக் குறிக்கிறது. கணக்கீட்டு முறைகள், ஒரு விதியாக, ஒரு கணினியில் செயல்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரே சிக்கலைத் தீர்க்க, பல்வேறு கணக்கீட்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம், எனவே கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலுக்கான வெவ்வேறு முறைகளின் தரம் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் செயல்திறனை நீங்கள் மதிப்பீடு செய்ய வேண்டும்.

பின்னர், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கணக்கீட்டு முறையை செயல்படுத்த, ஒரு வழிமுறை மற்றும் கணினி நிரல் வரையப்பட்டது . ஒரு நவீன பொறியியலாளர் ஒரு சிக்கலை ஒரு கணினியில் செயல்படுத்த வசதியான வடிவமாக மாற்றுவது மற்றும் அத்தகைய சிக்கலை தீர்க்க ஒரு வழிமுறையை உருவாக்குவது முக்கியம்.

தற்போது, ​​அவை பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பொதுவான முறைகளை செயல்படுத்தும் தொகுப்புகளாக பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, மேட்கேட்,
MatLAB) மற்றும் சிறப்புப் பிரச்சினைகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளை செயல்படுத்தும் தொகுப்புகள்.

கணக்கீட்டு முடிவுகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டு விளக்கப்படுகின்றன. தேவைப்பட்டால், முறையின் அளவுருக்கள் சரிசெய்யப்படுகின்றன, சில சமயங்களில் கணித மாதிரி மற்றும் சிக்கலைத் தீர்க்கும் ஒரு புதிய சுழற்சி தொடங்குகிறது.

1.1. பிரச்சினையின் உருவாக்கம்

சில செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட வேண்டும், அதற்காக அனைத்து அல்லது சில மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

அழைக்கப்படும் மதிப்பு வேர்(அல்லது முடிவு) சமன்பாடுகள் வேரின் சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு செயல்பாடு பெரும்பாலும் இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுவதாக கருதப்படுகிறது.

சமன்பாட்டின் வேர் அழைக்கப்படுகிறது எளிய,புள்ளியில் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்றால், அதாவது. அப்படியானால், வேர் அழைக்கப்படுகிறது பல வேர்.

வடிவியல் ரீதியாக, சமன்பாட்டின் வேர் செயல்பாட்டு வரைபடத்தை அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியாகும். அத்தி. 1 நான்கு வேர்களைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது: இரண்டு எளிய மற்றும் இரண்டு மடங்குகள்.

ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான பெரும்பாலான முறைகள் எளிய வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் கவனம் செலுத்துகின்றன.

1.2. ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முக்கிய கட்டங்கள்

சமன்பாட்டின் வேர்களை தோராயமாக கண்டறியும் செயல்பாட்டில், இரண்டு நிலைகள் பொதுவாக வேறுபடுகின்றன: உள்ளூர்மயமாக்கல்(அல்லது கிளை) வேரின்மற்றும் வேர் சுத்திகரிப்பு.

ஒரு வேரின் உள்ளூர்மயமாக்கல் ஒன்று மற்றும் ஒரே ஒரு வேர் கொண்ட ஒரு பகுதியை வரையறுப்பதில் உள்ளது. உலகளாவிய ரூட் உள்ளூர்மயமாக்கல் வழிமுறை இல்லை. சில நேரங்களில் ஒரு வரைபடம் அல்லது செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி ரூட்டை உள்ளூர்மயமாக்குவது வசதியானது. ஒரு பிரிவில் ஒரு வேர் இருப்பது பிரிவின் முனைகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளின் வேறுபாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. இது பின்வரும் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

தேற்றம் . ஒரு பிரிவில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அதன் முனைகளில் வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால், அந்த பிரிவில் குறைந்தபட்சம் ஒரு சமன்பாட்டின் வேர் இருக்கும்.

எவ்வாறாயினும், பெருக்கத்தின் வேரை கூட இந்த வழியில் உள்ளூர்மயமாக்க முடியாது, ஏனெனில் அத்தகைய வேருக்கு அருகில் செயல்பாட்டிற்கு நிலையான அடையாளம் உள்ளது. வேர் சுத்திகரிப்பு கட்டத்தில், வேரின் தோராயமான மதிப்பு கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் கணக்கிடப்படுகிறது. வேரின் தோராயமான மதிப்பு பல்வேறு செயல்பாட்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தி சுத்திகரிக்கப்படுகிறது. இந்த முறைகளின் சாராம்சம் ரூட்டுக்கான தோராயமான மதிப்புகளை தொடர்ச்சியாக கணக்கிடுவதாகும்.

1.3. அரைப் பிரிவு முறை

நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்க்க அரை முறை எளிய மற்றும் மிகவும் நம்பகமான வழியாகும். சமன்பாட்டின் வேர் இடைவெளியில் உள்ளது என்பதை ஆரம்ப பகுப்பாய்விலிருந்து அறியலாம், அதாவது, அதனால். ஒரு பிரிவில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும் மற்றும் பிரிவின் முனைகளில் வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுக்கவும், அதாவது. ...

பகுதியை பாதியாக பிரிக்கவும். ஒரு புள்ளியைப் பெறுவோம். இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பை கணக்கிடுவோம்: இருந்தால், தேவையான ரூட், மற்றும் பிரச்சனை தீர்க்கப்படும். என்றால், ஒரு குறிப்பிட்ட அடையாளத்தின் எண்ணிக்கை: ஒன்று. பின்னர், பிரிவின் முனைகளில் அல்லது பிரிவின் முனைகளில், செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளன. அத்தகைய ஒரு பகுதியைக் குறிக்கலாம். வெளிப்படையாக, பிரிவின் நீளம் பிரிவின் நீளத்தை விட இரண்டு மடங்கு குறைவாக உள்ளது. நாங்கள் ஒரு பிரிவுடன் அதையே செய்வோம். இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு ரூட் அல்லது புதிய பிரிவைப் பெறுகிறோம், முதலியன (படம் 2).

வது பிரிவின் நடுவில். வெளிப்படையாக, பிரிவின் நீளம் சமமாக இருக்கும், அதன் பின்னர்

பணிநீக்கம் அளவுகோல்.உறவிலிருந்து (1) அது தோராயமாக கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்திற்காகப் பின்பற்றுகிறது சமத்துவமின்மை அல்லது சமத்துவமின்மை திருப்தி அடைந்தவுடன் கணக்கீடு முடிவடைகிறது. இவ்வாறு, மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கையை முன்கூட்டியே தீர்மானிக்க முடியும். ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக மதிப்பு எடுக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக.ஏறத்தாழ துல்லியத்துடன் நாம் அதை கண்டுபிடிப்போம். இந்த சிக்கல் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு சமம் அல்லது ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியத்தைக் கண்டுபிடிப்பது. ஒரு பிரிவை தொடக்கப் பிரிவாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த பிரிவின் முனைகளில், செயல்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளுடன் மதிப்புகளை எடுக்கும்: தேவையான துல்லியத்தை அடைய தேவையான பிரிவுகளின் எண்ணிக்கையை கண்டுபிடிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது:

எனவே, 6 வது பிரிவுக்குப் பிறகு, தேவையான துல்லியத்துடன் நாங்கள் காண்கிறோம். கணக்கீடு முடிவுகள் அட்டவணை 1 இல் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 1

	1,0000	1,0000	1,0000	1,1250	1,1250	1,1406	1,1406
	2,0000	1,5000	1,2500	1,2500	1,1875	1,1875	1,1562
	1,5000	1,2500	1,1250	1,1875	1,1406	1,1562	1,1484
Zn	-	-	-	-	-	-	-
Zn	+	+	+	+	+	+	+
	5,5938	0,7585	-0,2959	0,1812	-0,0691	0,0532	-0,0078
-	1,0000	0,5000	0,2500	0,1250	0,0625	0,0312	0,0156

1.4. எளிய மறு செய்கை முறை

சமன்பாட்டை சமமான சமன்பாட்டால் மாற்றலாம்

ஆரம்ப தோராயத்தை ஏதாவது ஒரு வகையில் தேர்வு செய்வோம். செயல்பாட்டின் மதிப்பை கணக்கிட்டு, சுத்திகரிக்கப்பட்ட மதிப்பை கண்டுபிடிப்போம். நாம் இப்போது சமன்பாடு (1) க்கு மாற்றுவோம் மற்றும் ஒரு புதிய தோராயத்தைப் பெறுவோம், முதலியன இந்த செயல்முறையை காலவரையின்றி தொடரும், நாம் ரூட்டுக்கான தோராயங்களின் வரிசையைப் பெறுகிறோம்:

சூத்திரம் (3) ஆகும் கணக்கீடு சூத்திரம்எளிய மறு செய்கை முறை.

வரிசை இணைகிறது என்றால், அதாவது, உள்ளது

மற்றும் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக உள்ளது, பின்னர், (3) இல் வரம்பை கடந்து (4) கணக்கில் எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, சமன்பாட்டின் வேர் (2).

முறையின் ஒருங்கிணைப்பு.எளிமையான மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பின்வரும் தேற்றத்தால் நிறுவப்பட்டது.

தேற்றம்.செயல்பாட்டை வரையறுக்கலாம் மற்றும் ஒரு இடைவெளியில், அதன் அனைத்து மதிப்புகளுடன் வேறுபடுத்தலாம். பின்னர், நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால்:

1) ஆரம்ப மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் மறு செய்கை செயல்முறை ஒன்றிணைகிறது;

2) கட்டுப்படுத்தும் மதிப்பு என்பது பிரிவின் சமன்பாட்டின் ஒரே மூலமாகும்.

ஆதாரம்மற்றும், நீங்கள் எழுதலாம்

சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தால் (ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் சில இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், புள்ளிகளுக்கு இடையில் வரையப்பட்ட நாண் சாய்வின் தொடுதல் மற்றும் (அதாவது, சில இடைநிலைகளில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம் இடையே உள்ள புள்ளி மற்றும்), கடைசி வெளிப்பாட்டில் உள்ள விகிதம் சமமாக இருக்கும், ரூட் தேடல் இடைவெளியில் சில இடைநிலை புள்ளி இருக்கும்.

முழு தேடல் இடைவெளியில் ஒரு பெயரை நீங்கள் உள்ளிட்டால், முந்தைய சமத்துவத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

அதேபோல். சமத்துவமின்மை இதற்கு உண்மையாக இருக்கும்: மற்றும் பல இவ்வாறு, முறை ஒன்றிணைவதற்கு, பின்வரும் சமத்துவமின்மை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

எனவே ஒன்றுக்கு குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்று அது பின்பற்றுகிறது. இதையொட்டி, மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் சிறியதாக, நீங்கள் எழுதலாம்:. விகிதத்தில் இருந்து எண் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. பின்னர் சமத்துவமின்மை உண்மை (கீழே உள்ள முடிவைப் பார்க்கவும்): ரூட்டின் உண்மையான மதிப்பு தோராயமான மதிப்பிலிருந்து ஒரு தொகையால் வேறுபட வேண்டும் என்ற நிபந்தனையை நாங்கள் அமைத்தால், அதாவது. , சமத்துவமின்மை வரை தோராயங்களை கணக்கிட வேண்டும்

அல்லது அப்போது கூட.

சமத்துவமின்மையின் வழிமுறை இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்களைக் கருதுங்கள்: மற்றும். இங்கிருந்து.

சராசரி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

பின்னர், நிபந்தனையின் அடிப்படையில், நாம் எழுதலாம்:

மறுபுறம், அது இருக்கட்டும். அது வெளிப்படையானது. எனவே, அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாங்கள் பெறுகிறோம்

பிறகு அல்லது.

முந்தைய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பெறலாம்:

சமத்துவத்தின் வரம்புக்கு நாங்கள் செல்கிறோம் (3), செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக, நாம் பெறுகிறோம், அதாவது - சமன்பாட்டின் வேர் (2). வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, ஏனென்றால் என்றால், பிறகு, எங்கே. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்றால் அடையப்படும். அதாவது - வேர் ஒன்றுதான்.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

படிவத்திற்கு சமன்பாட்டைக் குறைத்தல்
சமத்துவமின்மையை அமல்படுத்த

பொது வழக்கில், அசல் சமன்பாட்டின் சமமான மாற்றத்தை நிகழ்த்துவதன் மூலம் பொருத்தமான மறுபடியும் படிவத்தைப் பெற முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, அதை குணகத்தால் பெருக்குவதன் மூலம்: பின்னர் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சேர்த்து, குறிக்கும் போது, ​​நாம் போதுமான நிபந்தனையை நிறைவேற்ற வேண்டும். இங்கிருந்து தேவையான மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது. முழு பிரிவிலும் நிபந்தனை திருப்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால், இந்த பிரிவின் மிகப்பெரிய மதிப்பு தேர்வுக்கு பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், அதாவது.

இந்த விகிதம் குணகத்தின் மதிப்புகளின் வரம்பை வரையறுக்கிறது, இது வரம்பிற்குள் மதிப்பை மாற்றுகிறது.

வழக்கமாக எடுக்கப்படும்.

அத்தி. புள்ளிவிவரங்கள் 3-6 வரிகளின் பரஸ்பர ஏற்பாடு மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டு செயல்முறைகளின் நான்கு நிகழ்வுகளைக் காட்டுகிறது. அரிசி. 3 மற்றும் 4 வழக்குடன் தொடர்புடையது, மற்றும் மறுசீரமைப்பு செயல்முறை இணைகிறது. மேலும், (படம். 3) என்றால், ஒருங்கிணைப்பு ஒருதலைப்பட்சமாகவும், (படம் 4) என்றால், ஒருங்கிணைப்பு இரு பக்கமாகவும், ஊசலாட்டமாகவும் இருக்கும். அரிசி. 5 மற்றும் 6 வழக்குக்கு ஒத்திருக்கிறது - மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை வேறுபடுகிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு பக்க (படம் 5) மற்றும் இரண்டு பக்க (படம் 6) வேறுபாடு இருக்கலாம்.

முறை பிழை.பிழை மதிப்பீடு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது (5).

பணிநீக்கம் அளவுகோல்.மதிப்பீடு (5) இலிருந்து சமத்துவமின்மை திருப்தி அடையும் வரை கணக்கீடுகள் தொடரப்பட வேண்டும். மதிப்பீடு எளிமைப்படுத்தப்பட்டால்:

உதாரணம் 1.சமன்பாட்டைத் துல்லியமாகத் தீர்க்க எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். சமன்பாட்டை படிவமாக மாற்றுகிறோம்:

, அதாவது .

சமன்பாட்டின் வேர் பிரிவில் உள்ளதா என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. பிரிவின் முனைகளில் உள்ள மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு, நமக்கு கிடைக்கும் :, a, அதாவது, பிரிவின் முனைகளில் உள்ள செயல்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளது,

எனவே, பிரிவுக்குள் ஒரு வேர் உள்ளது. வேரின் இடம் தெளிவாக படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 7

செயல்பாட்டின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவோம்:

ஒரு பிரிவில் இருந்து, இந்த பிரிவில் டெரிவேடிவ் ஏகபோகமாக அதிகரிக்கிறது மற்றும் பிரிவின் வலது முனையில், அதாவது புள்ளியில் அதன் அதிகபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். . எனவே, பின்வரும் மதிப்பீடு செல்லுபடியாகும்:

இவ்வாறு, நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது, கணக்கீடுகளின் முடிவிற்கான அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம். மேசை 2 கணக்கீடு சூத்திரத்தால் பெறப்பட்ட தோராயங்களைக் காட்டுகிறது. ஆரம்ப தோராயமாக மதிப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

அட்டவணை 2

		0,8415	0,8861	0,8712	0,8774	0,8765

பணிநீக்கம் அளவுகோல் நிறைவேற்றப்படும் போது, . ஒருங்கிணைப்பு இரு பக்கமாகும், அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பின் தரமான தன்மை படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 4. தேவையான துல்லியத்துடன் வேரின் தோராயமான மதிப்பு.

உதாரணம் 2. 0.025 துல்லியத்துடன் எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு பிரிவில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். தீர்க்க, அசல் சமன்பாடு படிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்க, மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். பின்னர் கணக்கீடு சூத்திரம் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஆரம்ப தோராயமாக, குறிப்பிட்ட பிரிவின் மேல் எல்லையை நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

		0,8	0,78

அப்போதிருந்து, பின்னர்.

1.5. நியூட்டனின் முறை (தொடுதல் முறை)

நியூட்டனின் முறை நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளை தீர்க்க மிகவும் திறமையான முறையாகும். வேர், அதாவது. ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகவும், இடைவெளியில் இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாகவும் வேறுபடுவதாக நாங்கள் கருதுகிறோம். நாங்கள் வைத்தோம் . ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுதலை வரையலாம் (படம் 8).

தொடு சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

முதல் குறுக்குவெட்டு அச்சில் இந்த தொடுகோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் அப்சிசாவை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

நாங்கள் ஒரு புள்ளியுடன் அதையே செய்வோம், பின்னர் ஒரு புள்ளியுடன், முதலியன, இதன் விளைவாக, தோராயங்களின் வரிசையைப் பெறுகிறோம், மற்றும்

சூத்திரம் (6) ஆகும் நியூட்டனின் முறையின் கணக்கீடு சூத்திரம்.

நியூட்டனின் முறை எளிமையான மறு செய்கை முறையின் சிறப்பு நிகழ்வாகக் கருதப்படலாம்.

முறை ஒருங்கிணைப்பு... நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பின்வரும் தேற்றத்தால் நிறுவப்பட்டது.

தேற்றம்.சமன்பாட்டின் எளிய வேராக இருக்கட்டும் மற்றும் இந்த வேரின் சில சுற்றுப்புறங்களில் செயல்பாடு இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுகிறது. இந்த அண்டை பகுதியிலிருந்து ஆரம்ப தோராயத்தின் தன்னிச்சையான தேர்வுக்கு, வேரின் ஒரு சிறிய சுற்றுப்புறம் உள்ளது, சூத்திரம் (6) வரையறுக்கப்பட்ட மறு செய்கை வரிசை இந்த சுற்றுப்புறத்திற்கு அப்பால் செல்லாது மற்றும் பின்வரும் மதிப்பீடு செல்லுபடியாகும்:

நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு ஆரம்ப தோராயமானது வேருக்கு எவ்வளவு நெருக்கமாக உள்ளது என்பதைப் பொறுத்தது.

ஆரம்ப தோராயத்தின் தேர்வு.ரூட் கொண்ட ஒரு பிரிவாக இருக்கட்டும். ஆரம்ப தோராயமாக, பிரிவின் முனைகளில் ஒன்றை நாம் தேர்வுசெய்தால், மறு செய்கைகள் (6) ஒன்றிணைந்து, ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அரிசி. பிரிவின் வலது முனை ஆரம்ப தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டபோது 8 வழக்குக்கு ஒத்திருக்கிறது: (இங்கே).

முறை பிழை.மதிப்பீடு (7) நடைமுறை பயன்பாட்டிற்கு சிரமமாக உள்ளது. நடைமுறையில், பின்வரும் பிழை மதிப்பீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

பட்டப்படிப்பு அளவுகோல் . மதிப்பீடு (8) நியூட்டனின் முறையின் மறு செய்கைகளை நிறுத்துவதற்கான பின்வரும் அளவுகோலை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்திற்கு, சமத்துவமின்மை வரை கணக்கீடுகள் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும்

உதாரணமாக... அருகிலுள்ள 0.0001 க்கு நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் எதிர்மறை மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள். வேரைப் பிரித்த பிறகு, இடைவெளியில் வேர் உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம். இந்த இடைவெளியில் மற்றும். முதல் மற்றும் பின்னர், ஆரம்ப தோராயத்திற்கு எடுக்கப்படலாம்.

-11		-5183	0,6662
-10,3336	307,3	4276,8	0,0718
-10,2618	3,496	4185,9	0,0008
-10,261	0,1477	-	-

. அதனால் தான். எனவே, இதன் விளைவாக, நாங்கள் பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம், எனவே.

அப்போதிருந்து

எல்லா மக்களும் இயற்கையாகவே அறிவுக்காக பாடுபடுகிறார்கள். (அரிஸ்டாட்டில். மெட்டாபிசிக்ஸ்)

எண் முறைகள்: நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள் நடைமுறையில் எழுகின்றன, உதாரணமாக, பொருளாதாரத்தில், ஒரு வணிகத்தை வளர்ப்பது, லாபம் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எட்டும்போது, ​​மருத்துவத்தில், மருந்துகளின் விளைவைப் படிக்கும்போது, ​​எப்போது செறிவு என்பதை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் ஒரு பொருளின் கொடுக்கப்பட்ட அளவை அடைகிறது, முதலியன.

தேர்வுமுறை சிக்கல்களில், ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மறைந்து போகும் புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம், இது அவசியமான நிபந்தனை உள்ளூர்எக்ஸ்ட்ரம்.

புள்ளிவிவரங்களில், குறைந்தபட்ச சதுர முறை அல்லது அதிகபட்ச சாத்தியக்கூறு முறை மூலம் மதிப்பீடுகளை உருவாக்கும் போது, ​​நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளையும் தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்.

எனவே, தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பது தொடர்பான ஒரு முழு வகுப்பு பிரச்சனைகள் எழுகின்றன நேரியல் அல்லாதசமன்பாடுகள் அல்லது சமன்பாடுகள் போன்ற சமன்பாடுகள்

எளிமையான வழக்கில், நாம் பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு உள்ளது ( ஒரு, b) மற்றும் சில மதிப்புகளைக் கருதுதல்.

ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் எக்ஸ் இந்த பிரிவில் இருந்து நாம் ஒரு எண்ணை பொருத்த முடியும், இது செயல்பாட்டுபோதை, கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய கருத்து.

செயல்பாட்டின் வேர்கள் என்று அழைக்கப்படும் அத்தகைய மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

பார்வைக்கு, செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்அப்சிஸ்ஸாவுடன்.

அரைக்கும் முறை

ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான எளிய முறை பாதியாகும் முறை, அல்லது இருவகை.

இந்த முறை உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளது மற்றும் ஒரு பிரச்சனையை தீர்க்கும் போது அனைவரும் ஒரே மாதிரியாக செயல்படுவார்கள்.

வழிமுறை பின்வருமாறு.

நாம் இரண்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடித்தோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் பல்வேறுஅறிகுறிகள், இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையில் குறைந்தபட்சம் செயல்பாட்டின் ஒரு வேர் உள்ளது.

பகுதியை பாதியாக பிரித்து அறிமுகப்படுத்துங்கள் சராசரிபுள்ளி

பின்னர் ஒன்று அல்லது .

முனைகளின் மதிப்புகள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்ட பிரிவின் பாதியை விட்டுவிடுவோம். இப்போது நாம் மீண்டும் இந்த பிரிவை பாதியாக பிரித்து அதன் ஒரு பகுதியை விட்டு, செயல்பாட்டின் வெவ்வேறு அடையாளங்களைக் கொண்ட எல்லைகளில், மற்றும் தேவையான துல்லியம் அடைய.

வெளிப்படையாக, செயல்பாட்டின் வேர் அமைந்துள்ள பகுதியை படிப்படியாகக் குறைப்போம், எனவே, அதை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு துல்லியத்துடன் வரையறுப்போம்.

விவரிக்கப்பட்ட அல்காரிதம் எந்த தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கும் பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

பாதியளிக்கும் முறையின் நன்மைகளில் அதன் அதிக நம்பகத்தன்மை மற்றும் எளிமை ஆகியவை அடங்கும்.

இந்த முறையின் தீமை என்னவென்றால், நீங்கள் அதைப் பயன்படுத்தத் தொடங்குவதற்கு முன், நீங்கள் வெவ்வேறு புள்ளிகளைக் கொண்ட செயல்பாட்டின் மதிப்புகள், இரண்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். வெளிப்படையாக, இந்த முறை பன்மடங்கு வேர்களுக்கு கூட பொருந்தாது மற்றும் சிக்கலான வேர்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு பொதுமைப்படுத்த முடியாது.

முறையின் ஒருங்கிணைப்பு வரிசை நேரியல், ஒவ்வொரு அடியிலும் துல்லியம் இரட்டிப்பாகிறது, மேலும் மறு செய்கைகள் செய்யப்படுகின்றன, மிகவும் துல்லியமாக வேர் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

நியூட்டனின் முறை: தத்துவார்த்த அடித்தளங்கள்

கிளாசிக்கல் நியூட்டனின் முறைஅல்லது தொடுகோடுகள்சமன்பாட்டின் வேர் சில தோராயமாக இருந்தால் , அடுத்த தோராயமானது புள்ளியில் வரையப்பட்ட செயல்பாட்டின் தொடுதலின் வேர் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டிற்கு தொடுகோட்டின் சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

தொடு சமன்பாட்டில் நாம் வைத்து மற்றும்.

பின்னர் நியூட்டனின் முறையின் தொடர்ச்சியான கணக்கீட்டு வழிமுறை பின்வருமாறு:

தொடுதல் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு இருபடி, ஒருங்கிணைப்பு வரிசை 2 ஆகும்.

இவ்வாறு, நியூட்டனின் தொடுதல் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு மிக வேகமாக உள்ளது.

இந்த அற்புதமான உண்மையை நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

முறை எந்த மாற்றமும் இல்லாமல் சிக்கலான வழக்குக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

வேர் இரண்டாவது பெருக்கத்தின் வேர் அல்லது அதற்கு மேல் இருந்தால், ஒன்றிணைவு வரிசை குறைந்து நேரியல் ஆகிறது.

உடற்பயிற்சி 1... தொடுதல் முறையைப் பயன்படுத்தி, பிரிவில் உள்ள சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும் (0, 2).

உடற்பயிற்சி 2.தொடுதல் முறையைப் பயன்படுத்தி, பிரிவில் உள்ள சமன்பாட்டின் தீர்வைக் கண்டறியவும் (1, 3).

நியூட்டனின் முறையின் தீமைகள் அதன் இருப்பிடத்திற்கு காரணமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் நிபந்தனை எல்லா இடங்களிலும் திருப்தி அடைந்தால் மட்டுமே தன்னிச்சையான தொடக்க தோராயமாக ஒன்றிணைவது உறுதி. இல்லையெனில், வேரின் சில சுற்றுப்புறங்களில் மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பு ஏற்படுகிறது.

நியூட்டனின் முறையின் தீமை ஒவ்வொரு அடியிலும் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட வேண்டும்.

நியூட்டனின் முறையின் காட்சிப்படுத்தல்

சமன்பாடு என்றால் நியூட்டனின் முறை (தொடுதல் முறை) பயன்படுத்தப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்) = 0 ஒரு வேர் உள்ளது, மேலும் பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

1) செயல்பாடு ஒய்= எஃப்(எக்ஸ்) வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான;

2) எஃப்(ஒரு)· எஃப்(b) < 0 (பிரிவின் முனைகளில் செயல்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுக்கும் [ ஒரு; b]);

3) வழித்தோன்றல்கள் f "(எக்ஸ்) மற்றும் f ""(எக்ஸ்) பிரிவில் அடையாளத்தைப் பாதுகாக்கவும் [ ஒரு; b] (அதாவது, செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) பிரிவில் அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது [ ஒரு; b], குவிந்த திசையை பராமரிக்கும் போது);

முறையின் முக்கிய யோசனை பின்வருமாறு: பிரிவில் [ ஒரு; b] அத்தகைய எண் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது எக்ஸ் 0 , எதில் எஃப்(எக்ஸ் 0 ) அதே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது எஃப்"" (எக்ஸ் 0 ), அதாவது, நிலை எஃப்(எக்ஸ் 0 )· எஃப்"" (எக்ஸ்) > 0 ... இவ்வாறு, ஒரு அப்சிஸாவுடன் ஒரு புள்ளி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது எக்ஸ் 0 வளைவுக்கு தொடுதல் எங்கே ஒய்= எஃப்(எக்ஸ்) பிரிவில் [ ஒரு; b] அச்சைக் கடக்கிறது எருது... ஒரு புள்ளிக்கு எக்ஸ் 0 முதலில் பிரிவின் முனைகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது வசதியானது.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்துடன் நியூட்டனின் முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எங்களுக்கு அதிகரிக்கும் செயல்பாடு வழங்கப்படட்டும் y = f (x) = x 2 -2,பிரிவில் தொடர்ந்து (0; 2), மற்றும் கொண்டிருத்தல் f "(x) = 2 எக்ஸ் > 0 மற்றும் எஃப் "" (x) = 2 > 0 .

வரைதல்1 ... f (x) = x 2 -2

உள்ள தொடுதலின் சமன்பாடு பொதுவான பார்வைஒரு யோசனை உள்ளது:

y-y 0 = f" (x 0) (x-x 0).

எங்கள் விஷயத்தில்: y-y 0 = 2x 0 (x-x 0).புள்ளி x 0 என, புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் B 1 (b; f (b)) = (2,2).செயல்பாட்டிற்கு தொடுகோட்டை வரையவும் y = f (x)புள்ளி B 1 இல், மற்றும் தொடுதல் மற்றும் அச்சின் வெட்டும் புள்ளியைக் குறிக்கவும் எருதுபுள்ளி x 1... முதல் தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை நாங்கள் பெறுகிறோம்: y-2 = 2 2 (x-2), y = 4x-6.

எரு: x 1 =

வரைதல்2. முதல் மறு செய்கை முடிவு

y = f (x) எருதுபுள்ளி மூலம் x 1, நாம் புள்ளியைப் பெறுகிறோம் பி 2 = (1.5; 0.25)... செயல்பாட்டிற்கு தொடுதலை மீண்டும் வரையவும் y = f (x)புள்ளி В 2 இல், மற்றும் தொடுதல் மற்றும் அச்சின் வெட்டும் புள்ளியைக் குறிக்கவும் எருதுபுள்ளி x 2.

இரண்டாவது தொடு கோட்டின் சமன்பாடு: ஒய்-0.25=2*1.5(எக்ஸ்-1.5), ஒய் = 3 எக்ஸ் - 4.25.

தொடுதல் மற்றும் அச்சின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி எரு: x 2 =.

வரைதல்3. நியூட்டனின் முறையின் இரண்டாவது மறு செய்கை

பின்னர் நாம் செயல்பாட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் காண்கிறோம் y = f (x)மற்றும் அச்சுக்கு செங்குத்தாக எருதுபுள்ளி x 2 மூலம், நாம் புள்ளி B 3 மற்றும் பலவற்றைப் பெறுகிறோம்.

வரைதல்4. தொடுதல் முறையின் மூன்றாவது படி

முதல் வேர் தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

= 1.5.

இரண்டாவது வேர் தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

=

மூன்றாவது வேர் தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இதனால் , நான்-வேரின் தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

பதிலில் தேவைப்படும் தசம இடங்களின் பொருத்தம் அல்லது கொடுக்கப்பட்ட துல்லியம் ஈ அடையும் வரை கணக்கீடுகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன - சமத்துவமின்மை நிறைவேறும் வரை | xi- xi-1 | < இ.

எங்கள் விஷயத்தில், கால்குலேட்டரில் கணக்கிடப்பட்ட உண்மையான பதிலுடன் மூன்றாவது படியில் பெறப்பட்ட தோராயத்தை ஒப்பிடுவோம்:

படம் 5. ஒரு கால்குலேட்டரில் கணக்கிடப்பட்ட ரூட் 2

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஏற்கனவே மூன்றாவது படியில், 0.000002 க்கும் குறைவான பிழை கிடைத்தது.

இவ்வாறு, "2 இன் சதுர வேர்" அளவின் மதிப்பை எந்த அளவிலும் துல்லியத்துடன் கணக்கிட முடியும். இந்த அற்புதமான முறை நியூட்டனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது மற்றும் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

நியூட்டனின் முறை: சி ++ பயன்பாடு

இந்த கட்டுரையில், C ++ இல் கன்சோல் பயன்பாட்டை எழுதுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கணக்கிடும் செயல்முறையை தானியக்கமாக்குவோம். நாங்கள் அதை விஷுவல் சி ++ 2010 எக்ஸ்பிரஸில் உருவாக்குவோம், இது ஒரு இலவச மற்றும் மிகவும் வசதியான சி ++ மேம்பாட்டுச் சூழல்.

விஷுவல் சி ++ 2010 எக்ஸ்பிரஸுடன் ஆரம்பிக்கலாம். நிரலின் தொடக்க சாளரம் தோன்றும். இடது மூலையில், "திட்டத்தை உருவாக்கு" என்பதைக் கிளிக் செய்யவும்.

அரிசி. விஷுவல் சி ++ 2010 எக்ஸ்பிரஸ் தொடக்கப் பக்கம்

தோன்றும் மெனுவில், "Win32 கன்சோல் பயன்பாடு" என்பதைத் தேர்ந்தெடுத்து, "Newton_Method" என்ற பயன்பாட்டின் பெயரை உள்ளிடவும்.

அரிசி. 2. திட்ட உருவாக்கம்

// Newton_Method.cpp: கன்சோல் பயன்பாட்டிற்கான நுழைவு புள்ளியை வரையறுக்கிறது #stdafx.h ஐ சேர்க்கவும் #சேர்க்கிறது நேம்ஸ்பேஸ் எஸ்டிடியைப் பயன்படுத்துதல்; மிதவை f (இரட்டை x) // செயல்பாட்டின் மதிப்பை வழங்குகிறது f (x) = x ^ 2-2 float df (float x) // வழித்தோன்றலின் மதிப்பை வழங்குகிறது float d2f (float x) // இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மதிப்பு int _tmain (int argc, _TCHAR * argv) int வெளியேறு = 0, i = 0; // வெளியேறுதல் மற்றும் சுழற்சிக்கான மாறிகள் இரட்டை x0, xn; // ரூட்டுக்கான கணக்கிடப்பட்ட தோராயங்கள் இரட்டை a, b, eps; // பிரிவு எல்லைகள் மற்றும் தேவையான துல்லியம் கோட்<<"Please input \n=>"; சின் >> a >> b; // நாம் ரூட்டைத் தேடும் பிரிவின் எல்லைகளை உள்ளிடவும் கோட்<<"\nPlease input epsilon\n=>"; சின் >> eps; // உள்ளிடவும் தேவையான துல்லியம்கணக்கீடுகள் (a> b) // பயனர் பிரிவின் எல்லைகளை குழப்பினால், நாங்கள் அவற்றை மாற்றுகிறோம் பிரிவு கோட்<<"\nError! No roots in this interval\n"; (f (a) * d2f (a)> 0) x0 = a; // தொடக்கப் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்க, f (x0) * d2f (x0)> 0 என்பதைச் சரிபார்க்கவும்? xn = x0-f (x0) / df (x0); // முதல் தோராயத்தை எண்ணுங்கள் கோட்<<++i<<"-th iteration = "< அதே நேரத்தில் (fabs (x0-xn)> eps) // நாம் தேவையான துல்லியத்தை அடையும் வரை, தொடர்ந்து கணக்கிடும் xn = x0-f (x0) / df (x0); // நேரடியாக நியூட்டனின் சூத்திரம் கோட்<<++i<<"-th iteration = "< கோட்<<"\nRoot = "< கோட்<<"\nExit?=>"; ) போது (வெளியேறு! = 1); // பயனர் வெளியேறும் வரை = 1

அது எப்படி வேலை செய்கிறது என்று பார்ப்போம். திரையின் மேல் இடது மூலையில் உள்ள பச்சை முக்கோணத்தைக் கிளிக் செய்யவும் அல்லது F5 ஐ அழுத்தவும்.

ஒரு தொகுப்பு பிழை ஏற்பட்டால் "பிழை பிழை LNK1123: COFF க்கு மாற்ற முடியவில்லை: கோப்பு தவறானது அல்லது சிதைந்துள்ளது", பின்னர் இது முதல் சேவை பேக் 1 ஐ நிறுவுவதன் மூலம் அல்லது ப்ராஜெக்ட் அமைப்புகளில் பண்புகள் -> இணைப்பான் அதிகரிக்கும் இணைப்பை முடக்குகிறது.

அரிசி. 4. திட்டத்தின் தொகுப்பு பிழையைத் தீர்ப்பது

செயல்பாட்டின் வேர்களைத் தேடுவோம் f (x) =x2-2.

முதலில், "தவறான" உள்ளீட்டுத் தரவில் பயன்பாட்டின் செயல்பாட்டைச் சரிபார்க்கலாம். பிரிவில் எந்த வேர்களும் இல்லை, எங்கள் நிரல் பிழை செய்தியை அனுப்ப வேண்டும்.

எங்களிடம் ஒரு பயன்பாட்டு சாளரம் உள்ளது:

அரிசி. 5. உள்ளீட்டு தரவை உள்ளிடுவது

பிரிவு 3 மற்றும் 5 இன் எல்லைகளை அறிமுகப்படுத்துவோம், மேலும் துல்லியம் 0.05 ஆகும். நிரல், இந்த பிரிவில் வேர்கள் இல்லை என்று ஒரு பிழை செய்தியை வழங்கியது.

அரிசி. 6. பிழை "இந்த பிரிவில் வேர்கள் இல்லை!"

நாங்கள் இன்னும் வெளியேறப் போவதில்லை, எனவே "வெளியேறலாமா?" நாங்கள் "0" ஐ உள்ளிடுகிறோம்.

இப்போது சரியான உள்ளீட்டுத் தரவில் பயன்பாட்டின் செயல்பாட்டைச் சரிபார்க்கலாம். ஒரு பிரிவையும் 0.0001 துல்லியத்தையும் அறிமுகப்படுத்துவோம்.

அரிசி. 7. தேவையான துல்லியத்துடன் வேரின் கணக்கீடு

நாம் பார்க்க முடியும் என, தேவையான துல்லியம் ஏற்கனவே 4 வது மறு செய்கையில் அடையப்பட்டது.

விண்ணப்பத்திலிருந்து வெளியேற, "வெளியேறவா?" => 1.

செகண்ட் முறை

வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதைத் தவிர்க்க, நியூட்டனின் முறையை இரண்டு முந்தைய புள்ளிகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட தோராயமான மதிப்பைப் பெறுவதன் மூலம் எளிமைப்படுத்தலாம்:

திரும்பச் செய்யும் செயல்முறை பின்வருமாறு:

இது இரண்டு-படி மறு செயல்பாடாகும், ஏனெனில் இது அடுத்த தோராயத்தைக் கண்டுபிடிக்க முந்தைய இரண்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

செகண்ட் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு வரிசை தொடுதல் முறையை விட குறைவாக உள்ளது மற்றும் ஒற்றை வேரின் விஷயத்தில் சமமாக இருக்கும்.

இந்த குறிப்பிடத்தக்க மதிப்பு தங்க விகிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

வசதிக்காக கருதி இதை சரிபார்க்கலாம்.

இவ்வாறு, எல்லையற்ற உயர் வரிசை வரை

மீதமுள்ளவற்றை கைவிடுவதன் மூலம், மீண்டும் மீண்டும் வரும் உறவைப் பெறுகிறோம், அதற்கான தீர்வு இயற்கையாகவே படிவத்தில் தேடப்படுகிறது.

மாற்றுக்குப் பிறகு, எங்களிடம் உள்ளது: மற்றும்

எனவே ஒருங்கிணைப்பு நேர்மறையாக இருப்பது அவசியம்.

டெரிவேடிவ் பற்றிய அறிவு தேவையில்லை என்பதால், செகண்ட் முறையில் அதே அளவு கணக்கீடுகளுடன் (குறைந்த ஒருங்கிணைப்பு வரிசை இருந்தபோதிலும்), தொடுதல் முறையை விட ஒருவர் அதிக துல்லியத்தை அடைய முடியும்.

வேருக்கு அருகில் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையால் வகுப்பது அவசியம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், இது துல்லியத்தை இழக்க வழிவகுக்கிறது (குறிப்பாக பல வேர்களின் விஷயத்தில்), எனவே, ஒப்பீட்டளவில் சிறிய எண்ணைத் தேர்ந்தெடுத்து, செயல்படுவதற்கு முன் கணக்கீடுகளைச் செய்யுங்கள் மற்றும் அண்டை தோராயங்களின் வேறுபாட்டின் மாடுலஸ் குறையும் வரை அவற்றைத் தொடரவும்.

வளர்ச்சி தொடங்கியவுடன், கணக்கீடுகள் நிறுத்தப்பட்டு, கடைசி மறு செய்கை பயன்படுத்தப்படாது.

மறு செய்கைகளின் முடிவை தீர்மானிப்பதற்கான இந்த செயல்முறை வரவேற்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது கார்விக்.

பரபோலா முறை

மூன்று-படி முறையைக் கருதுங்கள், இதில் தோராயமானது முந்தைய மூன்று புள்ளிகளிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மற்றும்.

இதைச் செய்ய, செகண்ட் முறையைப் போலவே, புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் இடைச்செருகல் பரபோலாவுடன் செயல்பாட்டை மாற்றுகிறோம்.

நியூட்டனின் வடிவத்தில், இது வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

புள்ளிக்கு முழுமையான மதிப்பில் நெருக்கமாக இருக்கும் இந்த பல்லுறுப்புக்கோலின் வேர்களில் ஒன்றாக ஒரு புள்ளி வரையறுக்கப்படுகிறது.

பரபோலா முறையின் ஒருங்கிணைப்பு வரிசை செகண்ட் முறையை விட அதிகமாக உள்ளது, ஆனால் நியூட்டனின் முறையை விட குறைவாக உள்ளது.

முன்னர் கருதப்பட்ட முறைகளிலிருந்து ஒரு முக்கியமான வேறுபாடு என்னவென்றால், இது உண்மையானது உண்மையானது மற்றும் ஆரம்ப தோராயங்கள் உண்மையானதாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டாலும், பரபோலா முறை அசல் சிக்கலின் சிக்கலான வேருக்கு வழிவகுக்கும்.

இந்த முறை உயர் பட்ட பல்லுறுப்பு வேர்களைக் கண்டறிய மிகவும் வசதியானது.

எளிய மறு செய்கை முறை

சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள பிரச்சனையாக வடிவமைக்கலாம் :, அல்லது ஒரு நிலையான புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல்.

இருக்கட்டும் மற்றும் - சுருக்கம்: (குறிப்பாக, உண்மையில் - சுருக்கமானது, பார்க்க எளிதானது, இதன் பொருள்).

பனாச்சின் கோட்பாட்டின் படி, ஒரு தனித்துவமான நிலையான புள்ளி உள்ளது

இது ஒரு எளிய செயலாக்க நடைமுறையின் வரம்பாகக் காணப்படுகிறது

ஆரம்ப தோராயமானது இடைவெளியின் தன்னிச்சையான புள்ளியாகும்.

செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், ஒரு எண் சுருக்கத்திற்கான வசதியான அளவுகோலாகும். உண்மையில், லாக்ரேஞ்சின் தேற்றத்தால்

இவ்வாறு, வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால், அது சுருக்கமாகும்.

நிலை அத்தியாவசியமானது, ஏனெனில், எடுத்துக்காட்டாக, அன்று இருந்தால், நிலையான புள்ளி இல்லை, இருப்பினும் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் மதிப்பைப் பொறுத்தது. சிறிய, வேகமாக ஒருங்கிணைப்பு.

உடற்பயிற்சி:

1) மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி, கணினியைத் தீர்க்கவும்

2) நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி, கணினியைத் தீர்க்கவும்

0.001 துல்லியத்துடன் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்.

பணி எண் 1 மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பை 0.001 துல்லியத்துடன் தீர்க்கவும்.

தத்துவார்த்த பகுதி.

திரும்பும் முறை இஇது கணிதப் பிரச்சினைகளை எண்ணித் தீர்க்க ஒரு வழியாகும். அதன் சாராம்சம் அடுத்த, இன்னும் துல்லியமான தோராயத்தின் விரும்பிய மதிப்பின் தெரிந்த தோராயத்தின் (தோராய மதிப்பு) ஒரு தேடல் வழிமுறையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். குறிப்பிட்ட அல்காரிதம் மூலம் தோராயங்களின் வரிசை இணையும் போது இது வழக்கில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த முறை தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் முறை, மீண்டும் மீண்டும் மாற்றும் முறை, எளிமையான மறு செய்கை முறை போன்றவையும் அழைக்கப்படுகிறது.

நியூட்டனின் முறை, நியூட்டனின் அல்காரிதம் (தொடுதல் முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வேர் (பூஜ்யம்) கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு மறு எண் எண் முறையாகும். இந்த முறையை முதலில் ஆங்கில இயற்பியலாளர், கணிதவியலாளர் மற்றும் வானியலாளர் ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) முன்மொழிந்தார். ஒரு தீர்விற்கான தேடல் தொடர்ச்சியான தோராயங்களை உருவாக்குவதன் மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது மற்றும் எளிய மறு செய்கையின் கொள்கைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த முறை இருபடி ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது. முறையின் முன்னேற்றம் என்பது நாண் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறையாகும். மேலும், பல பரிமாண இடைவெளியில் முதல் வழித்தோன்றல் அல்லது சாய்வின் பூஜ்ஜியத்தை நிர்ணயிக்கத் தேவைப்படும் தேர்வுமுறை சிக்கல்களைத் தீர்க்க நியூட்டனின் முறை பயன்படுத்தப்படலாம். நியாயப்படுத்துதல்

எளிமையான மறு செய்கை முறை மூலம் சமன்பாட்டை எண்ணியல் ரீதியாக தீர்க்க, அது பின்வரும் படிவத்திற்கு குறைக்கப்பட வேண்டும் :, ஒரு சுருக்கம் மேப்பிங் எங்கே.

அடுத்த தோராய புள்ளியின் முறையின் சிறந்த ஒருங்கிணைப்புக்கு, நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு படிவத்தில் தேடப்படுகிறது, பின்:

தோராயமான புள்ளி வேருடன் "போதுமான அளவு நெருக்கமானது" என்றும், கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது என்றும் கருதி, இறுதி சூத்திரம்:

இதைக் கருத்தில் கொண்டு, செயல்பாடு வெளிப்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

வேரின் சுற்றுப்புறத்தில், இந்த செயல்பாடு ஒரு சுருக்க வரைபடத்தை செய்கிறது, மேலும் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு எண் தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறை ஒரு மறு கணக்கீட்டு செயல்முறைக்கு குறைக்கப்படுகிறது:

.

வேலை விருப்பங்கள்

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

மாதிரி ஒதுக்கீடு

№1. 1)
2)

மறுசீரமைப்பு முறையால் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

இந்த அமைப்பை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

நாங்கள் வேர்களைப் பிரிப்பதை வரைபடமாகச் செய்கிறோம் (படம் 1). வரைபடத்தில் இருந்து கணினிக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது, அந்த பகுதியில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது டி: 0<என். எஸ்<0,3;-2,2<ஒய்<-1,8.

கணினிக்கான தீர்வைச் செம்மைப்படுத்த மறு செய்கை முறை பொருந்தும் என்பதை உறுதி செய்வோம், அதற்காக நாங்கள் பின்வரும் படிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

அப்போதிருந்து, நாங்கள் D களத்தில் இருக்கிறோம்

+ = ;

+ =

எனவே, ஒருங்கிணைப்பு நிலைமைகள் திருப்தி அடைகின்றன.

அட்டவணை 2

என். எஸ்
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

நாம் எடுக்கும் ஆரம்ப தோராயங்களுக்கு என். எஸ்=0,15, y 0 =-2.

(தாவல். # 2). பின்னர் பதில் எழுதப்படும்:

நியூட்டனின் முறையால் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

நாங்கள் வேர்களைப் பிரிப்பதை வரைபடமாகச் செய்கிறோம் (படம் 2). செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்க, செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையை தொகுப்போம் மற்றும் முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது (அட்டவணை I).

பின்வரும் நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில் x க்கான மதிப்புகள் எடுக்கப்படலாம்: முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து 1≤1.2x + 0.4≤1, அதாவது 1.16xx0.5; இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து, அதாவது. ... இதனால், .

அமைப்பு இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. D: 0.4 பகுதியைச் சேர்ந்த அவற்றில் ஒன்றை நாம் தெளிவுபடுத்துவோம்<எக்ஸ்<0,5;

0,76<ஒய்<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

அட்டவணை 3

எக்ஸ்	-1,1	-1	-0,8	-0,6	-0,2	-0,4		0,2	0,4	0,5
x 2	1.21		0,64	0,36	0,04	0,16		0,04	0.16	0,25
0,8x 2	0,97	0,8	0,51	0,29	0,032	0,13		0,032	0,13	0,2
1 -0,8x 2	0,03	0,2	0,49	0,71	0,97	0,87		0,97	0.87	0,8
	0,02	0,13	0,33	0,47	0,65	0,58	0,67	0,65	0,58	0.53
	± 0.14	± 0.36	± 0.57	± 0.69	± 0.81	± 0.76	± 0.82	± 0.81	± 0.76	± 0.73
1.2x	-1,32	-1,2	-0.9 பி "	-0,72	-0,24	-0,48		0,24	0,48	0,6
0,4+1,2எக்ஸ்	-0,92	-0,8	-0,56	-0,32	0,16	-0,08	0,4	0,64	0.88
2x-y	-1.17	-0,93	-0,59	-0,33	0,16	-0,08	0,41	0,69	2.06 1,08	1,57
	-1,03	-1,07	-1,01	-0,87	-0,56	-0,72	-0,41	-0,29	-1,26 -1,28	-0.57

நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி வேர்கள் சுத்திகரிக்கப்படுகின்றன:

எங்கே ; ;

;
;

அனைத்து கணக்கீடுகளும் அட்டவணை 3 இன் படி செய்யப்படுகின்றன

அட்டவணை 3			0,10	0,017	-0,0060	0,0247	-0,0027	-0,0256	0,0001	0,0004
		0,2701	0,0440	-0,0193	0,0794	-0,0080	-0,0764	-0,0003	0,0013
		2,6197	3,2199	2,9827	3,1673
		-0,0208	-2,25	0,1615	-2,199	0,1251	-2,1249	0,1452	-2,2017
		-1,1584	0,64	-1,523	0,8	-1,4502	0,7904	-1,4904	0,7861
		0,1198	-0,0282	-0,0131	0,059	-0,0007	-0,0523	-0,0002	0,0010
		0,9988	0,0208	0,9869	-0,1615	0,9921	-0,1251	-0,9894	-0,1452
	0,55	0,733	1,6963	1,7165
		0,128	0,8438	0,2	0,8059	0,1952	0,7525	0,1931	0,8079
		0,4	0,75	0,50	-0,733	0,4940	-0,7083	0,4913	-0,7339	0,4912	-0,7335	பதில்: எக்ஸ்≈0,491 ஒய்≈ 0,734
என்

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்

1) இரண்டு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான சாத்தியமான நிகழ்வுகளை வரைபடத்தில் வழங்கவும்.

2) n- நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான சிக்கலை உருவாக்குதல்.

3) இரண்டு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் போது எளிய மறு செய்கை முறையின் மறுசீரமைப்பு சூத்திரங்களைக் கொடுங்கள்.

4) நியூட்டனின் முறையின் உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்குங்கள்.

5) நடைமுறையில் நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தும் போது ஏற்படும் சிரமங்களை பட்டியலிடுங்கள்.

6) நியூட்டனின் முறையை நீங்கள் எப்படி மாற்றலாம் என்பதை விளக்கவும்.

7) எளிய மறு செய்கை மற்றும் நியூட்டன் முறைகளால் இரண்டு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையை தொகுதி வரைபடங்களின் வடிவத்தில் வரையவும்.

ஆய்வக வேலை எண் 3