Súradnice stredu bodu priamky s tromi bodmi. Súradnice stredového bodu. Kompletné lekcie - vedomostný hypermarket

So súradnicovou rovinou je spojená celá skupina úloh (zaradených do typov problémov s vyšetrením). Ide o úlohy začínajúce od tých najzákladnejších, ktoré sa riešia ústne (určenie súradnice alebo osi daného bodu alebo symetrického bodu a ďalších) a končia úlohami, ktoré vyžadujú vysoko kvalitné znalosti, porozumenie a dobré zručnosti ( úlohy súvisiace so sklonom priamky).

Postupne zvážime všetky. V tomto článku začneme základmi. to jednoduché úlohy určiť: úsečky a súradnice bodu, dĺžku segmentu, stredový bod segmentu, sínus alebo kosínus uhla sklonu priamky.Väčšina týchto úloh nebude zaujímavá. Považujem ale za potrebné ich predstaviť.

Faktom je, že nie každý chodí do školy. Mnoho ľudí robí Zjednotenú štátnu skúšku 3-4 roky alebo viac po jej skončení a matne si pamätá, čo je to os x a os. Analyzujeme ďalšie úlohy súvisiace s rovinou súradníc, nenechajte si ujsť, prihláste sa na odber a aktualizujte blog. Teraz n veľa teórie.

Stavme na súradnicová rovina bod A so súradnicami x = 6, y = 3.

Hovoria, že úsečka bodu A je šesť, súradnica bodu A sú tri.

Zjednodušene povedané, os oh je osou x-osa osa os-os chrbta.

To znamená, že osa x je bod na osi x, do ktorého sa premieta bod špecifikovaný na súradnicovej rovine; Súradnica je bod na osi oy, do ktorého sa premieta určený bod.

Dĺžka segmentu v súradnicovej rovine

Vzorec na určenie dĺžky segmentu, ak sú známe súradnice jeho koncov:

Ako vidíte, dĺžka segmentu je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka s rovnakými nohami

X B - X A a Y B - Y A

* * *

Stred segmentu. Jej súradnice.

Vzorec na nájdenie súradníc stredového bodu segmentu:

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi

Vzorec pre rovnicu priamky prechádzajúcou dvoma danými bodmi je:

kde (x 1; y 1) a (x 2; y 2 ) súradnice daných bodov.

Nahradením hodnôt súradníc vo vzorci sa zredukuje na tvar:

y = kx + b, kde k je sklon priamky

Tieto informácie budeme potrebovať pri riešení ďalšej skupiny problémov týkajúcich sa súradnicovej roviny. Bude o tom článok, to si nenechajte ujsť!

Čo ešte môžete pridať?

Uhol sklonu priamky (alebo segmentu) je uhol medzi osou oX a touto priamkou v rozmedzí od 0 do 180 stupňov.

Uvažujme o úlohách.

Z bodu (6; 8) je kolmica spustená na os osi. Nájdite súradnicu základne kolmice.

Základňa kolmice spadnutej na os súradnice bude mať súradnice (0; 8). Ordinácia je osem.

Odpoveď: 8

Nájdite vzdialenosť od bodu A so súradnicami (6; 8) k osi súradnice.

Vzdialenosť od bodu A k súradnici je rovná osi x bodu A.

Odpoveď: 6.

A(6; 8) okolo osi Vôl.

Bod symetrický k bodu A vzhľadom na os oX má súradnice (6; - 8).

Ordináta je mínus osem.

Odpoveď: - 8

Nájdite súradnicu bodu symetrickú k bodu A(6; 8) vzhľadom na pôvod.

Bod symetrický k bodu A vzhľadom na pôvod má súradnice ( - 6; - 8).

Jeho súradnica je - 8.

Odpoveď: –8

Nájdite os x stredového bodu úsečky spájajúcej bodyO(0; 0) a A(6;8).

Na vyriešenie problému je potrebné nájsť súradnice stredového bodu segmentu. Súradnice koncov nášho segmentu sú (0; 0) a (6; 8).

Vypočítame podľa vzorca:

Mám (3; 4). Na osi x sú tri.

Odpoveď: 3

* Rovnicu stredného bodu segmentu je možné určiť bez výpočtu podľa vzorca tým, že tento segment postavíte na rovinu súradníc na hárku v bunke. Prostredníctvom buniek bude ľahké určiť stred segmentu.

Nájdite os x stredového bodu úsečky spájajúcej body A(6; 8) a B(–2;2).

Na vyriešenie problému je potrebné nájsť súradnice stredového bodu segmentu. Súradnice koncov nášho segmentu sú (–2; 2) a (6; 8).

Vypočítame podľa vzorca:

Mám (2; 5). Na osi x sú dve.

Odpoveď: 2

* Rovnicu v strede segmentu je možné určiť bez výpočtu podľa vzorca tým, že tento segment postavíte na rovinu súradníc na hárku v bunke.

Nájdite dĺžku úsečky spájajúcej body (0; 0) a (6; 8).

Dĺžka segmentu na daných súradniciach jeho koncov sa vypočíta podľa vzorca:

v našom prípade máme O (0; 0) a A (6; 8). Prostriedky,

* Na poradí súradníc nezáleží na ich odpočítaní. Je možné odpočítať os x a súradnicu bodu A z vodorovnej osi a súradnice bodu O:

Odpoveď: 10

Nájdite kosínus sklonu úsečky spájajúcej body O(0; 0) a A(6; 8), s úsečkou.

Uhol sklonu segmentu je uhol medzi týmto segmentom a osou oX.

Z bodu A pustíme kolmicu na os oX:

To znamená, že uhol sklonu segmentu je uholSAIv správny trojuholník AVO.

Kosínus ostrého uhla v pravom trojuholníku je

pomer priľahlej nohy k prepone

Je potrebné nájsť preponuOA.

Podľa Pythagorovej vety:V pravouhlom trojuholníku je štvorec prepony rovný súčtu štvorcov nôh.

Kosínus svahu je teda 0,6

Odpoveď: 0.6

Z bodu (6; 8) klesá kolmica na os x. Nájdite os x základne kolmice.

Bodom (6; 8) je nakreslená rovnobežná čiara rovnobežná s osou x. Nájdite súradnicu jej priesečníka s osou OU.

Nájdite vzdialenosť od bodu A so súradnicami (6; 8) k osi osi x.

Nájdite vzdialenosť od bodu A so súradnicami (6; 8) k pôvodu.

Pri probléme C2 sa veľmi často vyžaduje práca s bodmi, ktoré delia segment na polovicu. Súradnice takýchto bodov sa dajú ľahko vypočítať, ak sú známe súradnice koncov segmentu.

Nech je teda segment definovaný svojimi koncami - body A = (x a; y a; z a) a B = (x b; y b; z b). Potom súradnice stredného bodu segmentu - označujeme ho bodom H - nájdete podľa vzorca:

Inými slovami, súradnice stredného bodu segmentu sú aritmetickým priemerom súradníc jeho koncov.

· Úloha ... Jednotková kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umiestnená v súradnicovom systéme tak, aby osi x, y a z smerovali pozdĺž hrán AB, AD a AA 1 a pôvod sa zhodoval s bodom A. Bod K je stredný bod okraja A 1 B 1. Nájdite súradnice tohto bodu.

Riešenie... Pretože bod K je stredným bodom segmentu A 1 B 1, jeho súradnice sa rovnajú aritmetickému priemeru súradníc koncov. Zapíšte si súradnice koncov: A 1 = (0; 0; 1) a B 1 = (1; 0; 1). Teraz nájdeme súradnice bodu K:

Odpoveď: K = (0,5; 0; 1)

· Úloha ... Jednotková kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umiestnená v súradnicovom systéme tak, aby osi x, y a z smerovali pozdĺž hrán AB, AD a AA 1 a pôvod sa zhodoval s bodom A. Nájdite súradnice bodu L, v ktorom pretínajú uhlopriečky štvorca A 1 B 1 C 1 D 1.

Riešenie... Z priebehu planimetrie je známe, že priesečník uhlopriečok štvorca je rovnako vzdialený od všetkých jeho vrcholov. Najmä A 1 L = C 1 L, t.j. bod L je stredný bod segmentu A 1 C 1. Ale A 1 = (0; 0; 1), C1 = (1; 1; 1), takže máme:

Odpoveď: L = (0,5; 0,5; 1)

Najjednoduchšie problémy analytickej geometrie.
Akcie s vektormi v súradniciach

Je veľmi žiaduce naučiť sa riešiť úlohy, ktoré budú zvažované na plnom stroji, a vzorce zapamätať si, dokonca ani špeciálne memorovanie, budú si ich pamätať =) To je veľmi dôležité, pretože ostatné problémy analytickej geometrie sú založené na najjednoduchších elementárnych príkladoch a bude nepríjemné tráviť viac času jedením pešiakov. Nie je potrebné zapínať horné gombíky na tričku, veľa vecí je vám známych zo školy.

Prezentácia materiálu bude prebiehať súbežne - pre lietadlo aj pre priestor. Z toho dôvodu, že všetky vzorce ... uvidíte sami.

Zavedenie karteziánskych súradníc vo vesmíre. Vzdialenosť medzi bodmi. Súradnice stredového bodu.

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: Zvážte koncept súradnicového systému a súradníc bodu v priestore; odvodiť vzorec pre vzdialenosť v súradniciach; odvodiť vzorec pre súradnice stredného bodu segmentu.

Vývoj: Podporovať rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov; prispievať k rozvoju riešenia problémov a k rozvoju logického myslenia žiakov.

Vzdelávacie: Výchova kognitívna aktivita, zmysel pre zodpovednosť, kultúra komunikácie, kultúra dialógu.

Vybavenie: potreby na kreslenie, prezentácia, CRC

Typ lekcie: Lekcia učenia sa nového materiálu

Štruktúra lekcie:

Organizačný čas.

Aktualizácia základných znalostí.

Učenie sa nového materiálu.

Aktualizácia nových znalostí

Zhrnutie lekcie.

Počas vyučovania

Správa z histórie " Karteziánsky súradnicový systém “(Učiaci sa)

Na vyriešenie geometrického, fyzikálneho a chemického problému môžete použiť rôzne súradnicové systémy: obdĺžnikové, polárne, valcové, sférické.

V kurze všeobecného vzdelávania sa obdĺžnikový súradnicový systém študuje v rovine a vo vesmíre. V opačnom prípade sa nazýva karteziánsky súradnicový systém podľa francúzskeho vedca filozofa Rene Descartesa (1596 - 1650), ktorý ako prvý uviedol súradnice do geometrie.

(Príbeh študenta o Reném Descartesovi.)

René Descartes sa narodil v roku 1596 v meste Lae na juhu Francúzska, v šľachtickej rodine. Otec chcel z Rene urobiť dôstojníka. Za týmto účelom poslal Rene v roku 1613 do Paríža. Descartes musel mnoho rokov zostať v armáde, zúčastniť sa vojenských ťažení v Holandsku, Nemecku, Maďarsku, Česku, Taliansku, pri obliehaní hugenotskej pevnosti La Roshali. Rene sa však zaujímal o filozofiu, fyziku a matematiku. Krátko po príchode do Paríža sa stretol so študentom Vietu, významného matematika tej doby - Mersenom, a potom s ďalšími francúzskymi matematikmi. Kým bol v armáde, Descartes venoval všetok svoj voľný čas štúdiu matematiky. Študoval nemeckú algebru, francúzsku a grécku matematiku.

Po zajatí La Roshalie v roku 1628 Descartes opúšťa armádu. Vedie izolovaný život, aby realizoval rozsiahle plány vedeckej práce.

Descartes bol svojho času najväčší filozof a matematik. Najslávnejšie Descartesovo dielo je jeho „geometria“. Descartes predstavil súradnicový systém, ktorý dnes používa každý. Založil korešpondenciu medzi číslami a úsečkami a zaviedol tak do geometrie algebraickú metódu. Tieto Descartove objavy dali obrovský impulz pre rozvoj geometrie i ďalších odvetví matematiky a optiky. Teraz je možné graficky znázorniť závislosť veličín na súradnicovej rovine, číslach - ako segmenty a vykonávať aritmetické operácie na segmentoch a ďalších geometrické hodnoty ako aj rôzne funkcie. Bola to úplne nová metóda, ktorá sa vyznačovala krásou, milosťou a jednoduchosťou.

Opakovanie. Obdĺžnikový súradnicový systém v rovine.

Otázky:

Čo sa nazýva súradnicový systém v rovine?

Ako sa určujú súradnice bodu v rovine?

Aké sú súradnice pôvodu?

Aký je vzorec pre súradnice stredu úsečky a vzdialenosť medzi bodmi v rovine?

Učenie sa nového materiálu:

Obdĺžnikový súradnicový systém v priestore je trojica vzájomne kolmých súradnicových čiar so spoločným pôvodom. Spoločný pôvod je označený písmenomO.

Oh - os x na osi,

Oy - os osi,

Oz- osová aplikácia

Tri lietadlá prechádzajú osami súradníc Ox a Oy, Oy a Oz, O.za Oh, sa nazývajú súradnicové roviny: Oxy, Oyz, O.zNS.

V obdĺžnikovej súradnicovej sústave je každý bod M v priestore spojený s trojicou čísel - súradnicami.

M (x, y,z), kde x je os x, y je ordináta,z- aplikácia.

Súradnicový systém vo vesmíre

Súradnice bodov

Vzdialenosť medzi bodmi

1 (X 1 ; y 1 ; z 1 ) a A. 2 (X 2 ; y 2 ; z 2 )

Potom vzdialenosť medzi bodmi A 1 a A. 2 sa počíta takto:

Súradnice stredného bodu segmentu v priestore

Existujú dva ľubovoľné body A 1 (X 1 ; y 1 ; z 1 ) a A. 2 (X 2 ; y 2 ; z 2 ). Potom stred segmentu A 1 A 2 bude bod C so súradnicami x, y, z, kde

Získanie zručností v riešení:

1) Nájdite súradnice ortogonálnych projekcií bodovA (1, 3, 4) a

B (5, -6, 2) na:

lietadloOxy ; b) lietadloOyz ; c) osVôl ; d) osOz .

Odpoveď: a) (1, 3, 0), (5, -6, 0); b) (0, 3, 4), (0, -6, 2); c) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

d) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) V akej vzdialenosti je bodA (1, -2, 3) zo súradnicovej roviny:

a)Oxy ; b)Oxz ; v)Oyz ?

Odpoveď: a) 3; b) 2; v 1

3) Nájdite súradnice stredného bodu segmentu:

a)AB , akA (1, 2, 3) aB (-1, 0, 1); b)CD , akC. (3, 3, 0) aD (3, -1, 2).

Odpoveď: a) (1, 1, 2); b) (3, 1, 1).

5. Domáca úloha: učebnica A.V. Pogorelova „Geometria 10-11“ s. 23 - 25, s. 53 odpovedzte na otázky č. 1 - 3; №7, №10(1)

6. Zhrnutie lekcie.

stôl

Na povrchu

Vo vesmíre

Definícia. Súradnicový systém je sada dvoch pretínajúcich sa súradnicových osí, bodu, v ktorom sa tieto osi pretínajú - pôvod - a jednotkových segmentov na každej z osí.

Definícia. Súradnicový systém je sada troch súradnicových osí, bodu, v ktorom sa tieto osi pretínajú - pôvod súradníc - a segmentov jednotiek na každej z osí.

2 nápravy,

ОУ - os súradnice,

ОХ - os x úsečky

3 nápravy,

ОХ - os x na osi,

ОУ - os súradnice,

ОZ - os aplikátora.

OX kolmo na OA

OX je kolmý na OA,

OX je kolmá na OZ,

OA kolmo na OZ

(Oh; oh)

(OOO)

Smer, jednotkový segment

Vzdialenosť medzi bodmi.

Vzdialenosť medzi bodmi

Súradnice stredového bodu.

Súradnice stredového bodu

Otázky:

Ako je zavedený karteziánsky súradnicový systém? Z čoho pozostáva?

Ako sa určujú súradnice bodu v priestore?

Aká je súradnica priesečníka súradnicových osí?

Aká je vzdialenosť od počiatku k danému bodu?

Aký je vzorec pre súradnice stredného bodu segmentu a vzdialenosť medzi bodmi v priestore?

Hodnotenie študentov

7 reflexia

Na hodine

Som zistil …

Učil som sa…

Páči sa mi to…

Bol som bezradný ...

Moja nálada…

Literatúra.

A.V. Pogorelov. Výučba 10-11. M. „Vzdelávanie“, 2010

JE. Petrakov. Matematické kruhy v ročníkoch 8-10. M, „Vzdelávanie“, 1987

Nasledujúci článok poukáže na problémy s hľadaním súradníc stredného bodu segmentu, ak ako počiatočné údaje existujú súradnice jeho extrémnych bodov. Ale skôr, ako sa pustíme do skúmania problému, predstavíme niekoľko definícií.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Oddiel- priama čiara spájajúca dva ľubovoľné body, nazývaná konce segmentu. Nech sú to napríklad body A a B a podľa toho segment A B.

Ak segment A B pokračuje v oboch smeroch z bodov A a B, dostaneme priamku A B. Potom je segment A B súčasťou výslednej priamky ohraničenej bodmi A a B. Segment A B spája body A a B, ktoré sú jeho koncami, ako aj množinu bodov ležiacich medzi nimi. Ak napríklad vezmeme ľubovoľný bod K ležiaci medzi bodmi A a B, môžeme povedať, že bod K leží na segmente A B.

Definícia 2

Dĺžka segmentu- vzdialenosť medzi koncami segmentu v danej mierke (segment jednotkovej dĺžky). Dĺžka segmentu A B je označená nasledovne: A B.

Definícia 3

Stred segmentu- bod ležiaci na segmente a v rovnakej vzdialenosti od jeho koncov. Ak je stred segmentu A B označený bodom C, potom bude rovnosť platiť: A C = C B

Počiatočné údaje: súradnicová čiara O x a na nej nesúvisiace body: A a B. Tieto body zodpovedajú reálne čísla x A a x B. Bod C - stredový bod segmentu A B: je potrebné určiť súradnicu x C.

Pretože bod C je stredným bodom segmentu A B, bude platiť nasledujúca rovnosť: | A C | = | C B | ... Vzdialenosť medzi bodmi je určená modulom rozdielu medzi ich súradnicami, t.j.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Potom sú možné dve rovnosti: x C - x A = x B - x C a x C - x A = - (x B - x C)

Z prvej rovnosti odvodíme vzorec pre súradnice bodu C: x C = x A + x B 2 (polovica súčtu súradníc koncov segmentu).

Z druhej rovnosti dostaneme: x A = x B, čo je nemožné, pretože v pôvodných údajoch - nesúladné body. Preto vzorec na určenie súradníc stredového bodu segmentu A B s koncami A (x A) a B (x B):

Výsledný vzorec bude základom pre určenie súradníc stredového bodu segmentu v rovine alebo v priestore.

Počiatočné údaje: obdĺžnikový súradnicový systém v rovine O x y, dva ľubovoľné nesúbežné body s danými súradnicami A x A, y A a B x B, y B. Bod C je stredným bodom segmentu A B. Pre bod C je potrebné určiť súradnice x C a y C.

Zoberme si na analýzu prípad, keď sa body A a B nezhodujú a neležia na rovnakej súradnicovej čiare alebo priamke kolmej na jednu z osí. A x, A y; B x, B y a C x, C y - priemety bodov A, B a C na súradnicové osi (priamky O x a O y).

Podľa konštrukcie sú čiary A A x, B B x, C C x rovnobežné; rovné čiary sú tiež navzájom rovnobežné. Spolu s tým podľa Thalesovej vety znamená rovnosť A C = C B rovnosti: A x C x = C x B x a A y C y = C y B y, a tie zase naznačujú, že bod C x je stred segmentu A x B x, a C y je stredový bod segmentu A y B y. A potom, na základe vzorca získaného skôr, dostaneme:

x C = x A + x B 2 a y C = y A + y B 2

Rovnaké vzorce je možné použiť v prípade, keď body A a B ležia na rovnakej súradnicovej čiare alebo na priamke kolmej na jednu z osí. Podrobnú analýzu tohto prípadu nevykonáme, zvážime ho iba graficky:

Ak zhrnieme všetky vyššie uvedené skutočnosti, súradnice stredového bodu segmentu A B v rovine so súradnicami koncov A (x A, y A) a B (x B, y B) definovaný ako:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Počiatočné údaje: súradnicový systém О x y z a dva ľubovoľné body s danými súradnicami A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je potrebné určiť súradnice bodu C, ktorý je stredom segmentu A B.

A x, A y, A z; B x, B y, B z a C x, C y, C z - projekcie všetkých uvedených bodov na os súradnicového systému.

Podľa Thalesovej vety platia nasledujúce rovnosti: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

Body C x, C y, C z sú teda stredmi segmentov A x B x, A y B y, A z B z, v tomto poradí. Potom, Na určenie súradníc stredového bodu segmentu v priestore platia nasledujúce vzorce:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Získané vzorce sú použiteľné aj v prípadoch, keď body A a B ležia na jednej zo súradnicových čiar; na priamke kolmej na jednu z osí; v jednej súradnicovej rovine alebo v rovine kolmej na jednu zo súradnicových rovín.

Určenie súradníc stredného bodu segmentu prostredníctvom súradníc vektorov polomeru jeho koncov

Vzorec na nájdenie súradníc stredného bodu segmentu je tiež možné odvodiť podľa algebraickej interpretácie vektorov.

Počiatočné údaje: pravouhlý karteziánsky súradnicový systém O x y, body s danými súradnicami A (x A, y A) a B (x B, x B). Bod C je stredným bodom segmentu A B.

Podľa geometrickej definície akcií na vektory bude platiť nasledujúca rovnosť: O C → = 1 2 · O A → + O B →. Bod C je v tomto prípade priesečníkom uhlopriečok rovnobežníka postaveného na základe vektorov O A → a O B →, t.j. stred uhlopriečok. Súradnice vektora polomeru bodu sa rovnajú súradniciam bodu, potom sú rovnosti pravdivé: OA → = (x A, y A), OB → = (x B, y B) . Vykonajme niekoľko operácií s vektormi na súradniciach a získajme:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Bod C má preto súradnice:

x A + x B 2, y A + y B 2

Analogicky je určený vzorec na nájdenie súradníc stredového bodu segmentu v priestore:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Príklady riešenia problémov pri hľadaní súradníc stredového bodu segmentu

Medzi úlohy zahŕňajúce použitie vyššie uvedených vzorcov patria jednak úlohy, ktorých sa priamo týka otázka výpočtu súradníc stredového bodu segmentu, jednak úlohy, ktoré znamenajú uvedenie daných podmienok na túto otázku: výraz „medián“. “sa často používa, cieľom je nájsť súradnice jednej z koncov segmentu a tiež bežné problémy so symetriou, ktorých riešenie by vo všeobecnosti nemalo po preštudovaní tejto témy spôsobovať problémy. Uvažujme o typických príkladoch.

Príklad 1

Počiatočné údaje: v rovine - body s danými súradnicami A ( - 7, 3) a B (2, 4). Je potrebné nájsť súradnice stredného bodu segmentu A B.

Riešenie

Označme stred segmentu A B bodom C. Jeho súradnice budú definované ako polovičný súčet súradníc koncov segmentu, t.j. body A a B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Odpoveď: súradnice stredu segmentu A B - 5 2, 7 2.

Príklad 2

Počiatočné údaje: sú známe súradnice trojuholníka A B C: A ( - 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Je potrebné nájsť dĺžku mediánu A M.

Riešenie

1. Podľa hypotézy problému je M medián, a preto M je stredný bod segmentu B C. V prvom rade nájdeme súradnice stredového bodu segmentu B C, t.j. bod M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( - 8) 2 = - 3

1. Pretože teraz poznáme súradnice oboch koncov mediánu (body A a M), pomocou vzorca môžeme určiť vzdialenosť medzi bodmi a vypočítať dĺžku mediánu A M:

A M = (6 - ( - 1)) 2 + ( - 3 - 0) 2 = 58

Odpoveď: 58

Príklad 3

Počiatočné údaje: v obdĺžnikovej súradnicovej sústave trojrozmerného priestoru je daný rovnobežnosten A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Sú dané súradnice bodu C 1 (1, 1, 0) a tiež je definovaný bod M, ktorý je stredom uhlopriečky B D 1 a má súradnice M (4, 2, - 4). Je potrebné vypočítať súradnice bodu A.

Riešenie

Uhlopriečky rovnobežnostena majú priesečník v jednom bode, ktorý je stredom všetkých uhlopriečok. Na základe tohto tvrdenia je možné mať na pamäti, že bod M, známy z podmienok problému, je stredovým bodom segmentu A C 1. Na základe vzorca pre hľadanie súradníc stredového bodu segmentu v priestore nájdeme súradnice bodu A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C1 = 2 ( - 4) - 0 = - 8

Odpoveď: súradnice bodu A (7, 3, - 8).

Ak si v texte všimnete chybu, vyberte ju a stlačte kombináciu klávesov Ctrl + Enter

• Súradnice stredového bodu.

Ciele lekcie

• Rozšírte obzory konceptov.
• Zoznámte sa s novými definíciami a pripomeňte si niektoré už preštudované.
• Naučte sa uplatňovať vlastnosti tvarov pri riešení problémov.
• Rozvoj - rozvíjať pozornosť študentov, vytrvalosť, vytrvalosť, logické myslenie, matematická reč.
• Vzdelávacie - prostredníctvom hodiny si jeden k druhému vychovajte pozorný prístup, vštepte schopnosť počúvať kamarátov, vzájomnú pomoc, nezávislosť.

Ciele lekcie

• Otestujte schopnosť žiakov riešiť problémy.

Plán lekcie

1. Úvod.
2. Opakovanie predtým študovaného materiálu.
3. Súradnice stredového bodu.
4. Logické úlohy.

úvod

Predtým, ako prejdeme k samotnému materiálu na túto tému, by som chcel hovoriť o segmente, nielen ako o matematickej definícii. Skúsilo to veľa vedcov pozrieť sa na segment inak, videl na ňom niečo neobvyklé. Niektorí talentovaní Umelci vyrábajú geometrické tvary, ktoré vyjadrujú náladu a emócie.

Existuje mnoho teórií o tom, ako farba ovplyvňuje našu náladu a prečo.

Farbu je cítiť, úzko súvisí s našimi emóciami. Farba prírody, architektúry, rastlín, oblečenia, ktoré nás obklopuje, postupne ovplyvňuje našu náladu.

Podľa odborníkov môže farebná škála na človeka pôsobiť.

• Červená farba môže rozveseliť, dodať silu.
• Ružová farba symbolizuje mier a pokoj.
• Oranžová je teplá, nepokojná farba, ktorá dodáva energiu a povznáša.
• V cisárskej Číne žltá bol považovaný za takú posvätnú farbu, že iba cisár mohol nosiť žlté šaty. Egypťania a Mayovia považovali slnko za žlté a vážili si jeho život udržujúcu silu. Žlté kvety môžu povzbudiť a potešiť, keď sa necítite dobre.
• zelená- liečivá farba. Poskytuje pocit rovnováhy a harmónie.
• Modrá zvyšuje kreativitu.
• Fialová- farba ohľaduplnosti, duchovnosti a mieru. Je spojená s intuíciou a záujmom o ostatných.
• biely zvyčajne považovaná za farbu čistoty a nevinnosti. Je tiež spojená s inšpiráciou, osvietením, spiritualitou a láskou.

Ale koľko ľudí má toľko názorov. Každý má svoju pravdu.

Existuje aj zaujímavá teória, ako je to prepojené tvar čiary alebo segmentu s jeho charakterom.

Forma, podobne ako farba, je vlastnosťou predmetu. Formulár- sú to vonkajšie obrysy viditeľného objektu, ktoré odrážajú jeho priestorové aspekty (forma, preložené z latinčiny, - vonkajší pohľad). Všetko, čo nás obklopuje, má určitý tvar. Úlohou umelca je porozumieť a vykresliť jeho konštruktívnu štruktúru a sémantický obsah. A my ako diváci musíme byť schopní čítať obraz, dešifrovať charakter a význam rôzne formy... Na hárku papiera a obrazovke počítača sa po zatvorení čiary vytvorí tvar. Povaha formy preto závisí od povahy línie, s ktorou je vytvorená.

Ktorým z týchto riadkov môžete vyjadriť pokoj, hnev, ľahostajnosť, vzrušenie, radosť?

V tomto prípade neexistuje jednoznačná odpoveď. Ostnatá čiara môže napríklad vyjadrovať hnev, schadenfreude alebo násilnú radosť hraničiacu s nerozvážnosťou.

Aká nálada alebo emócia zodpovedá každému z týchto riadkov?

Ako závisí tvar od povahy čiary, ktorou je vytvorený?

Opakovanie predtým naučeného materiálu

Vo vesmíre

Existujú dva ľubovoľné body A1 (x 1; y 1; z 1) a A2 (x 2; y 2; z 2). Potom bude bodom stredový bod segmentu A1A2 S so súradnicami x, y, z, kde

Rozdelenie segmentu v danom pomere

Ak x 1 a y 1 sú súradnice bodu A a x 2 a y 2 súradnice bodu B, potom súradnice x a y bodu C, deliace segment AB vo vzťahu, sú určené vzorcami

Plocha trojuholníka podľa známych súradníc jeho vrcholov A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) sa vypočíta podľa vzorca.

Číslo získané pomocou tohto vzorca by sa malo brať v absolútnej hodnote.

Príklad č. 1

Nájdite stred úsečky AB.

Odpoveď: Súradnice stredného bodu segmentu sú (1,5; 2)

Príklad č. 2.

Nájdite stred úsečky AB.

Odpoveď: Súradnice stredného bodu segmentu sú (21; 0)

Príklad č. 3.

Nájdite súradnice bodu C, ak AC = 5,5 a CB = 19,5.

A (1; 7), B (43; -4)

Odpoveď: Súradnice bodu C (10,24; 4,58)

Úlohy

Problém číslo 1

Nájdite stredový bod úsečky DB.

Problém číslo 2.

Nájdite stred segmentu CD.

Ako sa vyrábajú sochy.

O mnohých známych sochároch sa hovorí, že na otázku, ako sa dajú vyrobiť také nádherné sochy, odpovedala: „Vezmem blok mramoru a odstrihnem z neho všetko nepotrebné“. V. rôzne knihy to sa dá prečítať o Michelangelovi, o Thorvaldsenovi, o Rodinovi.

Rovnakým spôsobom môžete získať akýkoľvek ohraničený byt geometrický tvar: musíte vziať nejaký štvorec, na ktorom leží, a potom odrezať všetko nepotrebné. Nie je však potrebné odrezať hneď, ale postupne, na každom kroku odhodiť kus v tvare kruhu. V tomto prípade je samotný kruh vyhodený a jeho okraj - kruh - zostáva na obrázku.

Na prvý pohľad sa zdá, že týmto spôsobom je možné získať iba určitý typ postavy. Ide ale o to, že nie je zahodený jeden alebo dva kruhy, ale nekonečná, presnejšie, spočítateľná sada kruhov. Týmto spôsobom je možné získať akýkoľvek tvar. Aby sme sa o tom presvedčili, stačí vziať do úvahy, že množina kruhov, pre ktoré sú polomer aj obe súradnice stredu racionálne, je spočítateľná.

A teraz, aby sme získali akýkoľvek tvar, stačí vziať štvorec, ktorý ho obsahuje (blok mramoru) a prerásť všetky kruhy vyššie uvedeného typu, ktoré neobsahujú ani jeden bod tvaru, ktorý potrebujeme. Ak nevyhodíte kruhy nie zo štvorca, ale z celého lietadla, potom pomocou opísanej techniky môžete získať neobmedzené množstvo figúrok.

Otázky

1. Čo je to úsečka?
   
2. Z čoho pozostáva segment?
3. Ako môžete nájsť stred úsečky?

Zoznam použitých zdrojov

1. Kuznetsov A.V., učiteľ matematiky (ročníky 5-9), Kyjev
2. „Slobodný Štátna skúška 2006. Matematika. Vzdelávacie a školiace materiály pre odbornú prípravu študentov / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect -Center, 2006 “
3. K. Mazur „Riešenie hlavných súťažných problémov v matematike zbierky, ktorú upravil M. I. Skanavi“
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7 - 9: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie"

Pracoval na lekcii

A. V. Kuznecov

S.A. Poturnak

Tatiana Prosnyakova