Výskumná práca „Rozvíja mentálna aritmetika mentálne schopnosti dieťaťa“? čo je aritmetika? Základná veta aritmetiky. Binárna aritmetika Od „troch jabĺk“ po deduktívne zákony

Z viac ako 500 tisíc hlinených tabuliek, ktoré našli archeológovia počas vykopávok v starovekej Mezopotámii, asi 400 obsahuje matematické informácie. Väčšina z nich bola rozlúštená a umožňuje získať celkom jasnú predstavu o úžasných algebraických a geometrických úspechoch babylonských vedcov.

Názory na čas a miesto zrodu matematiky sa rôznia. Mnoho výskumníkov tejto problematiky pripisuje jej vznik rôznym národom a datuje ju do rôznych období. Starovekí Gréci ešte nemali na túto vec jediný názor, medzi ktorými bola obzvlášť rozšírená verzia, že Egypťania prišli s geometriou, a fénickí obchodníci, ktorí potrebovali takéto znalosti na obchodné výpočty a aritmetiku. Herodotos v „Histórii“ a Strabón v „Geografii“ dali prednosť Feničanom. Platón a Diogenes Laertius považovali Egypt za rodisko aritmetiky a geometrie. To je aj názor Aristotela, ktorý veril, že matematika sa zrodila vďaka prítomnosti voľného času medzi miestnymi kňazmi.

Táto poznámka nasleduje po pasáži, že v každej civilizácii sa najprv rodia praktické remeslá, potom umenie pre potešenie a až potom vedy zamerané na poznanie. Eudemus, žiak Aristotela, rovnako ako väčšina jeho predchodcov, tiež považoval Egypt za rodisko geometrie a dôvodom jeho vzniku boli praktické potreby zememeračstva. Geometria podľa Evdema prechádza pri svojom zdokonaľovaní tromi štádiami: vznik praktických zručností v zememeračstve, vznik prakticky orientovanej aplikovanej disciplíny a jej premena na teoretickú vedu. Podľa všetkého pripísal Eudemus prvé dve etapy Egyptu a tretie gréckej matematike. Pravda, napriek tomu priznal, že teória výpočtu plôch vznikla riešením kvadratických rovníc, ktoré boli babylonského pôvodu.

Malé hlinené plaky nájdené v Iráne sa údajne používali na zaznamenávanie meraní obilia od roku 8000 pred Kristom. Nórsky inštitút pre paleografiu a históriu,
Oslo.

Historik Joseph Flavius ​​​​("Staroveké Judea", kniha 1, kap. 8) má svoj vlastný názor. Hoci Egypťanov nazýva prvými, je si istý, že aritmetiku a astronómiu ich naučil praotec Židov Abrahám, ktorý utiekol do Egypta počas hladomoru, ktorý postihol krajinu Kanaán. No egyptský vplyv v Grécku bol dostatočne silný na to, aby Grékom vnútil podobný názor, ktorý s ich ľahkou rukou stále koluje v historickej literatúre. Dobre zachované hlinené tabuľky pokryté klinovým písmom nájdené v Mezopotámii a pochádzajúce z roku 2000 pred Kristom. a pred rokom 300 nášho letopočtu svedčia o trochu inom stave vecí a o tom, aká bola matematika v starovekom Babylone. Bola to pomerne zložitá zliatina aritmetiky, algebry, geometrie a dokonca aj základov trigonometrie.

Matematika sa vyučovala na pisárskych školách a každý absolvent mal na tú dobu dosť vážne vedomosti. Zrejme presne o tom hovorí Aššurbanipal, kráľ Asýrie v 7. storočí. BC, v jednom zo svojich nápisov, hovoriac, že ​​sa naučil nájsť „komplexné vzájomné vzťahy a množiť sa“. Život nútil Babylončanov uchýliť sa k výpočtom na každom kroku. Aritmetika a jednoduchá algebra boli potrebné v domácnosti, pri výmene peňazí a platení za tovar, počítaní jednoduchých a zložených úrokov, daní a podielu úrody odovzdanej štátu, chrámu alebo vlastníkovi pôdy. Matematické a pomerne zložité výpočty si vyžadovali rozsiahle architektonické projekty, inžinierske práce pri výstavbe zavlažovacieho systému, balistiku, astronómiu a astrológiu.

Dôležitou úlohou matematiky bolo určiť načasovanie poľnohospodárskych prác, cirkevných sviatkov a iných kalendárnych potrieb. Aké veľké úspechy dosiahli staroveké mestské štáty medzi Tigrisom a Eufratom v tom, čo Gréci neskôr tak prekvapivo presne nazvali mathema ("vedomosti"), posúďme pri rozlúštení mezopotámskych hlinených klinových písmen. Mimochodom, u Grékov pojem matematika najskôr označoval zoznam štyroch vied: aritmetiku, geometriu, astronómiu a harmonickú, vlastnú matematiku začal označovať až oveľa neskôr. V Mezopotámii už archeológovia našli a nachádzajú klinové tabuľky so záznamami matematického charakteru, čiastočne v akkadčine, čiastočne v sumerčine, ako aj matematické referenčné tabuľky. Ten výrazne uľahčil výpočty, ktoré bolo potrebné robiť na dennej báze, takže množstvo dešifrovaných textov pomerne často obsahuje výpočty úrokov.

Názvy aritmetických operácií zo skoršieho, sumerského obdobia mezopotámskej histórie sa zachovali. Takže operácia sčítania sa nazývala „akumulácia“ alebo „sčítanie“, pri odčítaní sa používalo sloveso „vytiahnuť“ a výraz pre násobenie znamenal „jesť“. Zaujímavosťou je, že v Babylone používali rozsiahlejšiu násobilku – od 1 do 180 000 ako tú, ktorú sme sa museli učiť v škole, t.j. počítané na čísla od 1 do 100. V starovekej Mezopotámii vznikli jednotné pravidlá pre aritmetické operácie nielen s celými číslami, ale aj so zlomkami, v umení operovania, s ktorým Babylončania výrazne prevyšovali Egypťanov. Napríklad v Egypte zostali operácie so zlomkami ešte dlho primitívne, pretože poznali iba alikvotné zlomky (t. j. zlomky s čitateľom rovným 1). Od čias Sumerov v Mezopotámii bolo hlavnou počítacou jednotkou vo všetkých ekonomických záležitostiach číslo 60, hoci bol známy aj desiatkový číselný systém, ktorý sa používal medzi Akkaďanmi.

Najznámejšia z matematických tabuliek starobabylonského obdobia, uložená v knižnici Kolumbijskej univerzity (USA). Obsahuje zoznam pravouhlých trojuholníkov s racionálnymi stranami, teda trojíc pytagorovských čísel x2 + y2 = z2 a naznačuje, že Pytagorovu vetu poznali Babylončania najmenej tisíc rokov pred narodením jej autora. 1900 - 1600 pred Kr.

V úlohách vedúcich ku kubickej rovnici bola tretia neznáma veličina – „hĺbka“ a súčin troch neznámych sa nazýval „objem“. Neskôr, s rozvojom algebraického myslenia, sa neznáme začalo chápať abstraktnejšie. Niekedy sa ako ilustrácia algebraických vzťahov v Babylone používali geometrické kresby. Neskôr, v starovekom Grécku, sa stali hlavným prvkom algebry, zatiaľ čo pre Babylončanov, ktorí uvažovali predovšetkým algebraicky, boli kresby iba prostriedkom prehľadnosti a výrazy „čiara“ a „plocha“ znamenali najčastejšie bezrozmerné čísla. Preto existovali riešenia problémov, kde sa „plocha“ pridávala na „stranu“ alebo uberala od „objemu“ atď. Mimoriadny význam v staroveku malo presné meranie polí, záhrad, budov – každoročné záplavy riek priniesli veľké množstvo bahna, ktoré polia zasypalo a zničilo hranice medzi nimi a po poklese vody zememerači, na príkaz ich vlastníkov, často museli premeriavať prídely. V archívoch klinového písma sa zachovalo mnoho takýchto zememeračských máp zostavených pred viac ako 4 000 rokmi.

Spočiatku neboli jednotky merania veľmi presné, pretože dĺžka sa merala prstami, dlaňami, lakťami, ktoré sú pre rôznych ľudí rôzne. Lepšia situácia bola pri veľkých množstvách, na meranie ktorých používali trstinu a lano určitých veľkostí. Ale aj tu sa výsledky meraní často navzájom líšili, podľa toho, kto a kde meral. Preto boli v rôznych mestách Babylonie prijaté rôzne miery dĺžky. Napríklad v meste Lagash bol „lakť“ 400 mm a v Nippur a samotnom Babylone 518 mm. Mnohé dochované materiály klinového písma boli učebnicami pre babylonských školákov, ktoré poskytovali riešenia na rôzne jednoduché problémy, s ktorými sa často stretávali v praktickom živote. Nie je však jasné, či ich študent riešil v duchu, alebo robil predbežné výpočty s vetvičkou na zemi – na tabuľkách sú napísané len podmienky matematických úloh a ich riešenie.

Geometrické úlohy s kresbami lichobežníkov a trojuholníkov a riešenie Pytagorovej vety. Rozmery taniera: 21,0x8,2. 19. storočie pred Kr. Britské múzeum

Hlavnú časť kurzu matematiky v škole tvorilo riešenie aritmetických, algebraických a geometrických úloh, pri formulovaní ktorých bolo zvykom pracovať s konkrétnymi predmetmi, plochami a objemami. Na jednej z klinových tabuliek sa zachoval nasledujúci problém: „Za koľko dní sa dá vyrobiť kus látky určitej dĺžky, ak vieme, že sa denne vyrobí toľko lakťov (dĺžková miera) tejto látky? Druhá zobrazuje úlohy súvisiace so stavebnými prácami. Napríklad: "Koľko zeminy bude treba na násyp, ktorého rozmery sú známe a koľko zeminy musí premiestniť každý robotník, ak je známy ich celkový počet?" alebo „Koľko hliny by si mal pripraviť každý robotník, aby postavil múr určitej veľkosti?“

Študent tiež musel vedieť počítať koeficienty, počítať súčty, riešiť úlohy o meraní uhlov, výpočte plôch a objemov priamočiarych útvarov – to bola bežná množina pre elementárnu geometriu. Zaujímavé sú názvy geometrických útvarov zachované zo sumerských čias. Trojuholník sa nazýval „klin“, lichobežník sa nazýval „čelo býka“, kruh sa nazýval „obruč“, nádoba bola označená výrazom „voda“, objem bol „zem, piesok“, oblasť sa nazývala „pole“. Jeden z klinových textov obsahuje 16 problémov s riešeniami, ktoré sa týkajú priehrad, valov, studní, vodných hodín a zemných prác. Jedným problémom je nákres týkajúci sa kruhového hriadeľa, iný uvažuje zrezaný kužeľ, ktorý určuje jeho objem vynásobením výšky polovicou súčtu plôch hornej a dolnej základne.

Babylonskí matematici riešili aj planimetrické úlohy pomocou vlastností pravouhlých trojuholníkov, ktoré následne sformuloval Pytagoras vo forme vety o rovnosti štvorca prepony v pravouhlom trojuholníku k súčtu štvorcov nôh. Inými slovami, slávnu Pytagorovu vetu poznali Babylončania najmenej tisíc rokov pred Pytagorasom. Okrem planimetrických úloh riešili aj stereometrické úlohy súvisiace s určovaním objemu rôznych druhov priestorov, telies a široko zaužívané kreslenie plánov polí, plôch, jednotlivých budov, väčšinou však nie v mierke. Najvýznamnejším úspechom matematiky bolo zistenie, že pomer uhlopriečky a strany štvorca nemožno vyjadriť ako celé číslo ani jednoduchý zlomok. Tak sa do matematiky dostal pojem iracionality.

Predpokladá sa, že objav jedného z najdôležitejších iracionálnych čísel - čísla π, vyjadrujúceho pomer obvodu kruhu k jeho priemeru a rovnajúci sa nekonečnému zlomku ≈ 3,14 ..., patrí Pytagorasovi. Podľa inej verzie, pre číslo π, hodnotu 3,14 prvýkrát navrhol Archimedes o 300 rokov neskôr, v 3. storočí pred Kristom. pred Kr. Podľa iného to ako prvý vypočítal Omar Khayyam, vo všeobecnosti ide o 11. - 12. storočie. AD S istotou je známe len to, že grécke písmeno π prvýkrát označovalo tento pomer v roku 1706 anglickým matematikom Williamom Jonesom a až potom, čo si toto označenie v roku 1737 vypožičal švajčiarsky matematik Leonhard Euler, sa stal všeobecne akceptovaným. Číslo π je najstaršou matematickou hádankou, tento objav treba hľadať aj v starovekej Mezopotámii.

Babylonskí matematici si boli dobre vedomí najdôležitejších iracionálnych čísel a riešenie problému výpočtu plochy kruhu možno nájsť aj v dekódovaní klinových hlinených tabuliek matematického obsahu. Podľa týchto údajov bolo π brané ako rovné 3, čo však na praktické účely zememeračstva úplne postačovalo. Výskumníci sa domnievajú, že šesťdesiatkový systém bol vybraný v starovekom Babylone z metrologických dôvodov: číslo 60 má veľa deliteľov. Hexadecimálny zápis celých čísel sa nerozšíril mimo Mezopotámie, ale v Európe až do 17. storočia. široko používané boli ako šesťdesiatkové zlomky, tak aj obvyklé delenie kruhu na 360 stupňov. Hodina a minúty, rozdelené na 60 častí, tiež pochádzajú z Babylonu.

Geniálny nápad Babylončanov používať minimálny počet digitálnych znakov na písanie čísel je pozoruhodný. Napríklad Rimania si ani nemysleli, že to isté číslo môže označovať rôzne množstvá! Na to použili písmená svojej abecedy. Výsledkom bolo, že štvormiestne číslo, napríklad 2737, obsahovalo až jedenásť písmen: MMDCCXXXVII. A hoci v našej dobe existujú extrémni matematici, ktorí dokážu rozdeliť LXXVIII do stĺpca CLXVI alebo vynásobiť CLIX LXXIV, možno len ľutovať tých obyvateľov Večného mesta, ktorí museli vykonávať zložité kalendárne a astronomické výpočty s pomocou takéhoto matematického bilancovania alebo vypočítaných rozsiahlych architektonických projektov a rôznych inžinierskych objektov.

Grécky číselný systém bol tiež založený na používaní písmen abecedy. Najprv bol v Grécku prijatý podkrovný systém, ktorý používal na označenie jednotky zvislú čiaru a pre čísla 5, 10, 100, 1000, 10 000 (v podstate išlo o desiatkový systém) - počiatočné písmená ich gréckych mien. . Neskôr, okolo 3. stor. pred Kristom sa rozšíril iónsky číselný systém, v ktorom sa na označenie čísel používalo 24 písmen gréckej abecedy a tri archaické písmená. A na rozlíšenie čísel od slov Gréci umiestnili vodorovnú čiaru na príslušné písmeno. V tomto zmysle stála babylonská matematická veda nad neskoršou gréckou alebo rímskou, pretože je to ona, kto vlastní jeden z najvýznamnejších úspechov vo vývoji systémov zápisu čísel - princíp pozičnosti, podľa ktorého rovnaký číselný znak (symbol) má rôzny význam v závislosti od miesta, kde sa nachádza. Mimochodom, egyptský číselný systém bol horší ako babylonský a moderný egyptský číselný systém.

Egypťania používali nepozičný desiatkový systém, v ktorom boli čísla od 1 do 9 označené zodpovedajúcim počtom zvislých čiar a pre postupné mocniny 10 boli zavedené jednotlivé hieroglyfické symboly. Pre malé čísla sa babylonský číselný systém vo všeobecnosti podobal egyptskému. Jedna zvislá klinovitá čiara (v raných sumerských tabuľkách - malý polkruh) znamenala jednotku; opakovaný požadovaný počet krát, tento znak slúžil na písanie čísel menších ako desať; na označenie čísla 10 zaviedli Babylončania, podobne ako Egypťania, nový symbol - široký klinovitý znak s hrotom nasmerovaným doľava, ktorý svojím tvarom pripomína uhlovú zátvorku (v raných sumerských textoch - malý kruh). Tento znak, opakovaný primeraným počtom krát, slúžil na označenie čísel 20, 30, 40 a 50. Väčšina moderných historikov verí, že staroveké vedecké poznatky mali čisto empirický charakter.

Pokiaľ ide o fyziku, chémiu, prírodnú filozofiu, ktoré boli založené na pozorovaniach, zdá sa, že je to pravda. Koncept zmyslovej skúsenosti ako zdroja poznania však stojí pred neriešiteľnou otázkou, pokiaľ ide o takú abstraktnú vedu, akou je matematika pracujúca so symbolmi. Obzvlášť významné boli úspechy babylonskej matematickej astronómie. Či však náhly skok pozdvihol mezopotámskych matematikov z úrovne utilitárnej praxe na rozsiahle poznatky, ktoré im umožnili aplikovať matematické metódy na predpovedanie polôh Slnka, Mesiaca a planét, zatmení a iných nebeských javov, alebo či vývoj prebiehal postupne, bohužiaľ nevieme. História matematických vedomostí vo všeobecnosti vyzerá zvláštne.

Vieme, ako sa naši predkovia naučili počítať na prstoch rúk a nôh, robili primitívne číselné záznamy v podobe zárezov na palici, uzlov na lane alebo kamienkov poukladaných v rade. A potom – bez akéhokoľvek prechodného prepojenia – zrazu informácie o matematických úspechoch Babylončanov, Egypťanov, Číňanov, Hindov a iných starovekých vedcov, také solídne, že ich matematické metódy obstáli v skúške časom až do polovice nedávno skončeného II tisícročia, tj. už viac ako tritisíc rokov...

Čo sa skrýva medzi týmito odkazmi? Prečo starí mudrci okrem praktického významu uctievali matematiku ako posvätné poznanie a mená bohov dávali číslam a geometrickým útvarom? Je za tým práve úctivý postoj k Poznaniu ako takému? Možno príde čas, keď archeológovia nájdu odpovede na tieto otázky. Medzitým nezabudnime na to, čo pred 700 rokmi povedal Oxfordčan Thomas Bradwardine: „Ten, kto má tú nehanebnosť popierať matematiku, mal už od začiatku vedieť, že nikdy nevstúpi do brán múdrosti.“

čo je aritmetika? Kedy ľudstvo začalo používať čísla a pracovať s nimi? Kam siahajú korene takých každodenných pojmov, akými sú čísla, sčítanie a násobenie, z ktorých sa človek stal neoddeliteľnou súčasťou svojho života a svetonázoru? Staroveké grécke mysle obdivovali také vedy ako geometriu ako najkrajšie symfónie ľudskej logiky.

Aritmetika možno nie je taká hlboká ako iné vedy, ale čo by sa s nimi stalo, keby človek zabudol na elementárnu násobilku? U nás zaužívané logické myslenie, využívajúce čísla, zlomky a iné nástroje, nebolo pre ľudí jednoduché a našim predkom bolo dlho nedostupné. V skutočnosti pred vývojom aritmetiky nebola žiadna oblasť ľudského poznania skutočne vedecká.

Aritmetika je ABC matematiky

Aritmetika je veda o číslach, s ktorou sa každý začína zoznamovať s fascinujúcim svetom matematiky. Ako povedal M. V. Lomonosov, aritmetika je bránou učenia, otvára nám cestu k svetovému poznaniu. Ale má pravdu, dá sa oddeliť poznanie sveta od poznania číslic a písmen, matematiky a reči? Možno za starých čias, ale nie v modernom svete, kde rýchly rozvoj vedy a techniky diktuje svoje vlastné zákony.

Slovo „aritmetika“ (grécky „aritmos“) gréckeho pôvodu znamená „číslo“. Študuje čísla a všetko, čo sa s nimi dá spojiť. Toto je svet čísel: rôzne operácie s číslami, numerické pravidlá, riešenie problémov, ktoré súvisia s násobením, odčítaním atď.

Základný predmet aritmetiky

Základom aritmetiky je celé číslo, ktorého vlastnosti a vzorce sa zohľadňujú vo vyššej aritmetike alebo V skutočnosti sila celej budovy - matematiky závisí od toho, ako správne sa pristupuje k takému malému bloku ako prirodzenému číslu.

Preto na otázku, čo je aritmetika, možno odpovedať jednoducho: je to veda o číslach. Áno, o bežnej sedmičke, deviatke a celej tejto rôznorodej komunite. A tak, ako nemôžete napísať dobrú alebo dokonca najpriemernejšiu poéziu bez základnej abecedy, nemôžete vyriešiť ani len základný problém bez aritmetiky. To je dôvod, prečo všetky vedy pokročili až po rozvoji aritmetiky a matematiky, ktoré predtým boli len súborom predpokladov.

Aritmetika je fantómová veda

Čo je aritmetika - prírodná veda alebo fantóm? V skutočnosti, ako tvrdili starí grécki filozofi, ani čísla, ani čísla v skutočnosti neexistujú. Toto je len fantóm, ktorý sa vytvára v ľudskom myslení pri zvažovaní životného prostredia s jeho procesmi. V skutočnosti nikde naokolo nevidíme nič také, čo by sa dalo nazvať číslom, skôr je číslo spôsob, akým ľudská myseľ študuje svet. Alebo je to možno štúdium nás samých zvnútra? Filozofi sa o tom hádajú už mnoho storočí za sebou, takže sa nezaväzujeme poskytnúť vyčerpávajúcu odpoveď. Tak či onak, aritmetika dokázala zaujať svoje pozície tak pevne, že v modernom svete nemožno nikoho považovať za sociálne prispôsobeného bez toho, aby poznal jej základy.

Ako vzniklo prirodzené číslo?

Samozrejme, hlavným objektom, s ktorým aritmetika pracuje, je prirodzené číslo, ako napríklad 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... atď. Aritmetika prirodzených čísel je výsledkom počítania bežných predmetov, ako sú kravy na lúke. Napriek tomu definícia „veľa“ alebo „mála“ kedysi prestala ľuďom vyhovovať a museli vynájsť pokročilejšie techniky počítania.

Ale skutočný prielom nastal, keď ľudské myslenie dospelo k bodu, že je možné označiť 2 kilogramy, 2 tehly a 2 detaily rovnakým číslom „dva“. Faktom je, že musíte abstrahovať od foriem, vlastností a významu objektov, potom môžete s týmito objektmi vykonávať niektoré akcie vo forme prirodzených čísel. Tak sa zrodila aritmetika čísel, ktorá sa ďalej rozvíjala a rozširovala a zaujímala stále väčšie pozície v živote spoločnosti.

Takéto hlboké pojmy ako nula a záporné číslo, zlomky, označenia čísel číslami a inými spôsobmi majú bohatú a zaujímavú históriu vývoja.

Aritmetickí a praktickí Egypťania

Dvoma najstaršími ľudskými spoločníkmi pri skúmaní sveta okolo nás a pri riešení každodenných problémov sú aritmetika a geometria.

Verí sa, že história aritmetiky pochádza zo starovekého východu: z Indie, Egypta, Babylonu a Číny. Tak vznikol Rinda papyrus egyptského pôvodu (tak pomenovaný, pretože patril majiteľovi rovnakého mena), pochádzajúci z 20. storočia. BC okrem iných cenných údajov obsahuje rozšírenie jedného zlomku na súčet zlomkov s rôznymi menovateľmi a čitateľom rovným jednej.

Napríklad: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Aký je však význam takéhoto zložitého rozkladu? Faktom je, že egyptský prístup netoleroval abstraktné úvahy o číslach, naopak, výpočty sa robili len pre praktické účely. To znamená, že Egypťan sa zapojí do takých vecí, ako sú výpočty, len preto, aby postavil napríklad hrobku. Bolo potrebné vypočítať dĺžku okraja konštrukcie a to prinútilo človeka sadnúť si za papyrus. Ako vidíte, egyptský pokrok vo výpočtoch bol spôsobený skôr hromadnou výstavbou ako láskou k vede.

Z tohto dôvodu výpočty nájdené na papyrusoch nemožno nazvať úvahami na tému zlomkov. S najväčšou pravdepodobnosťou ide o praktickú prípravu, ktorá v budúcnosti pomohla vyriešiť problémy so zlomkami. Starovekí Egypťania, ktorí nepoznali násobilky, robili dosť dlhé výpočty, rozložené na množstvo čiastkových úloh. Možno je to jedna z tých čiastkových úloh. Je ľahké vidieť, že výpočty s takýmito obrobkami sú veľmi pracné a neperspektívne. Možno z tohto dôvodu nevidíme veľký prínos Starovekého Egypta pre rozvoj matematiky.

Staroveké Grécko a filozofická aritmetika

Mnohé poznatky o starovekom východe si úspešne osvojili starí Gréci, známi milovníci abstraktných, abstraktných a filozofických úvah. Nemenej zaujímala ich prax, no ťažko nájsť tých najlepších teoretikov a mysliteľov. Vede to prospelo, pretože je nemožné ponoriť sa do aritmetiky bez toho, aby sme ju odtrhli od reality. Samozrejme, že môžete namnožiť 10 kráv a 100 litrov mlieka, ale ďaleko sa nedostanete.

Hlboko mysliaci Gréci zanechali významnú stopu v histórii a ich spisy sa dostali až k nám:

• Euklides a živly.
• Pytagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zeno.
• Anaxagoras.

A samozrejme Grékov, ktorí všetko premenili na filozofiu, a najmä pokračovateľov diela Pytagorasa, čísla natoľko fascinovali, že ich považovali za tajomstvo harmónie sveta. Čísla boli študované a skúmané do takej miery, že niektorým z nich a ich párom boli priradené špeciálne vlastnosti. Napríklad:

• Dokonalé čísla sú tie, ktoré sa rovnajú súčtu všetkých ich deliteľov, okrem samotného čísla (6=1+2+3).
• Priateľské čísla sú také čísla, z ktorých jedno sa rovná súčtu všetkých deliteľov druhého a naopak (Pytagorovci poznali iba jeden takýto pár: 220 a 284).

Gréci, ktorí verili, že vedu treba milovať a nie byť s ňou kvôli zisku, dosiahli veľký úspech skúmaním, hraním a sčítavaním čísel. Treba si uvedomiť, že nie všetky ich výskumy boli hojne využívané, niektoré zostali len „pre krásu“.

východní myslitelia stredoveku

Rovnako v stredoveku vďačila aritmetika za svoj rozvoj východným súčasníkom. Indiáni nám dali čísla, ktoré aktívne používame, napríklad pojem „nula“ a pozičný variant známy modernému vnímaniu. Od Al-kashiho, ktorý pôsobil v Samarkande v 15. storočí, sme zdedili, bez čoho je ťažké si predstaviť modernú aritmetiku.

Zoznámenie Európy s úspechmi Východu bolo v mnohých ohľadoch možné vďaka práci talianskeho vedca Leonarda Fibonacciho, ktorý napísal prácu „Kniha počítadla“, ktorá predstavila východné inovácie. Stala sa základným kameňom rozvoja algebry a aritmetiky, výskumu a vedeckých aktivít v Európe.

Ruská aritmetika

A nakoniec, aritmetika, ktorá našla svoje miesto a zakorenila sa v Európe, sa začala šíriť do ruských krajín. Prvá ruská aritmetika bola vydaná v roku 1703 - bola to kniha o aritmetike od Leontyho Magnitského. Dlho zostala jedinou učebnicou matematiky. Obsahuje počiatočné momenty algebry a geometrie. Čísla použité v príkladoch prvej učebnice aritmetiky v Rusku sú arabské. Hoci arabské číslice boli nájdené skôr, na rytinách zo 17. storočia.

Samotnú knihu zdobia obrazy Archimeda a Pytagora a na prvom hárku je obraz aritmetiky v podobe ženy. Sedí na tróne, pod ňou je v hebrejčine napísané slovo označujúce Božie meno a na schodoch, ktoré vedú k trónu, sú napísané slová „rozdelenie“, „násobenie“, „sčítanie“ atď. ktoré sa dnes považujú za bežné.

600-stranová učebnica pokrýva základy, ako sú sčítacie a násobilkové tabuľky a aplikácie v navigačných vedách.

Nie je prekvapujúce, že autor si pre svoju knihu vybral obrázky gréckych mysliteľov, pretože sám bol uchvátený krásou aritmetiky a povedal: „Aritmetika je čitateľ, existuje čestné, nezávideniahodné umenie ...“. Tento prístup k aritmetike je celkom opodstatnený, pretože jeho rozšírené zavedenie možno považovať za začiatok rýchleho rozvoja vedeckého myslenia v Rusku a všeobecného vzdelávania.

Nečíslované prvočísla

Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré má iba 2 kladných deliteľov: 1 a samo seba. Všetky ostatné čísla okrem 1 sa nazývajú zložené. Príklady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11 a všetky ostatné, ktoré nemajú iných deliteľov okrem 1 a samého seba.

Pokiaľ ide o číslo 1, je na osobitnom účte - existuje dohoda, že by sa nemalo považovať ani za jednoduché, ani za zložené. Na prvý pohľad jednoduché, jednoduché číslo v sebe skrýva množstvo nevyriešených záhad.

Euklidova veta hovorí, že prvočísel je nekonečne veľa a Eratosthenes prišiel so špeciálnym aritmetickým „sitom“, ktoré eliminuje neprvočísla a ostávajú len jednoduché.

Jeho podstatou je podčiarknuť prvé neprečiarknuté číslo a následne prečiarknuť tie, ktoré sú jeho násobkami. Tento postup opakujeme mnohokrát – a dostaneme tabuľku prvočísel.

Základná veta aritmetiky

Medzi pozorovaniami o prvočíslach treba zvláštnym spôsobom spomenúť základnú vetu aritmetiky.

Základná veta aritmetiky hovorí, že každé celé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo, alebo sa dá rozložiť na súčin prvočísel až do poradia faktorov a jedinečným spôsobom.

Základná veta aritmetiky sa ukázala ako dosť ťažkopádna a jej pochopenie už nie je podobné tým najjednoduchším základom.

Prvočísla sú na prvý pohľad elementárnym pojmom, ale nie sú. Aj fyzika kedysi považovala atóm za elementárny, až kým v ňom nenašla celý vesmír. Prvočísla sú námetom nádherného príbehu matematika Dona Tzagira „Prvých päťdesiat miliónov prvočísiel“.

Od „troch jabĺk“ až po deduktívne zákony

To, čo možno skutočne nazvať posilneným základom celej vedy, sú zákony aritmetiky. Už v detstve sa každý stretáva s aritmetikou, študovaním počtu nôh a rúk bábik, kociek, jabĺk atď. Takto študujeme aritmetiku, ktorá sa potom mení na zložitejšie pravidlá.

Celý náš život nás oboznamuje s pravidlami aritmetiky, ktoré sa pre bežného človeka stali najužitočnejšími zo všetkého, čo veda dáva. Štúdium čísel je „aritmeticko-baby“, ktoré v ranom detstve uvádza človeka do sveta čísel v podobe čísel.

Vyššia aritmetika je deduktívna veda, ktorá študuje zákony aritmetiky. Väčšina z nich je nám známa, aj keď ich presné znenie možno nepoznáme.

Zákon sčítania a násobenia

Akékoľvek dve prirodzené čísla a a b môžu byť vyjadrené ako súčet a + b, čo bude tiež prirodzené číslo. Na sčítanie sa vzťahujú tieto zákony:

• komutatívny, ktorý hovorí, že súčet sa nemení z preskupenia pojmov, alebo a + b \u003d b + a.
• Asociatívne, ktorý hovorí, že súčet nezávisí od spôsobu, akým sú výrazy na miestach zoskupené, alebo a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Pravidlá aritmetiky, ako napríklad sčítanie, patria medzi elementárne, no používajú ich všetky vedy, nehovoriac o bežnom živote.

Akékoľvek dve prirodzené čísla a a b môžu byť vyjadrené ako súčin a*b alebo a*b, čo je tiež prirodzené číslo. Pre produkt platia rovnaké komutatívne a asociačné zákony ako pre pridávanie:

• a*b=b*a;
• a*(b*c)= (a* b)* c.

Je zaujímavé, že existuje zákon, ktorý kombinuje sčítanie a násobenie, nazývaný aj distributívny alebo distributívny zákon:

a(b+c)=ab+ac

Tento zákon nás vlastne učí pracovať so zátvorkami, otvárať ich, takže môžeme pracovať so zložitejšími vzorcami. Toto sú presne tie zákony, ktoré nás prevedú bizarným a zložitým svetom algebry.

Zákon aritmetického poriadku

Zákon poriadku používa ľudská logika každý deň, porovnáva hodinky a počíta bankovky. A napriek tomu je potrebné ho vydať vo forme konkrétnych formulácií.

Ak máme dve prirodzené čísla a a b, potom sú možné tieto možnosti:

• a sa rovná b alebo a=b;
• a je menšie ako b alebo a< b;
• a je väčšie ako b, alebo a > b.

Z troch možností môže byť spravodlivá len jedna. Základný zákon, ktorým sa riadi poriadok hovorí: Ak< b и b < c, то a< c.

Existujú aj zákony týkajúce sa poriadku operácií násobenia a sčítania: Ak< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Zákony aritmetiky nás učia pracovať s číslami, znamienkami a zátvorkami a všetko premieňajú na harmonickú symfóniu čísel.

Systémy polohového a nepolohového počtu

Dá sa povedať, že čísla sú matematický jazyk, od ktorého pohodlnosti veľa závisí. Existuje mnoho číselných systémov, ktoré sa, podobne ako abecedy rôznych jazykov, navzájom líšia.

Uvažujme číselné sústavy z hľadiska vplyvu pozície na kvantitatívnu hodnotu číslice na tejto pozícii. Napríklad rímsky systém je nepozičný, kde každé číslo je zakódované určitou množinou špeciálnych znakov: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Rovnajú sa číslam 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. V takomto systéme číslo nemení svoju kvantitatívnu definíciu v závislosti od toho, na akej pozícii je: prvé, druhé atď. Ak chcete získať ďalšie čísla, musíte pridať základné. Napríklad:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Nám známy číselný systém s arabskými číslicami je pozičný. V takomto systéme číslica čísla určuje počet číslic, napríklad trojciferné čísla: 333, 567 atď. Váha ktorejkoľvek číslice závisí od pozície, v ktorej sa tá či oná číslica nachádza, napríklad číslo 8 na druhej pozícii má hodnotu 80. To je typické pre desiatkovú sústavu, existujú aj iné polohové sústavy, napr. .

Binárna aritmetika

Binárna aritmetika pracuje s binárnou abecedou, ktorá pozostáva len z 0 a 1. A použitie tejto abecedy sa nazýva binárna číselná sústava.

Rozdiel medzi binárnou aritmetikou a desiatkovou aritmetikou je v tom, že význam pozície vľavo už nie je 10, ale 2-násobok. Binárne čísla sú v tvare 111, 1001 atď. Ako takýmto číslam rozumieť? Takže zvážte číslo 1100:

1. Prvá číslica vľavo je 1 * 8 = 8, pričom si uvedomíme, že štvrtá číslica, čo znamená, že ju treba vynásobiť 2, dostaneme pozíciu 8.
2. Druhá číslica 1*4=4 (pozícia 4).
3. Tretia číslica 0*2=0 (pozícia 2).
4. Štvrtá číslica 0*1=0 (pozícia 1).
5. Takže naše číslo je 1100=8+4+0+0=12.

To znamená, že pri prechode na novú číslicu vľavo sa jej význam v binárnom systéme vynásobí 2 a v desiatkovej sústave - 10. Takýto systém má jednu nevýhodu: ide o príliš veľké zvýšenie počtu potrebných číslic. písať čísla. Príklady vyjadrenia desatinných čísel ako binárnych čísel nájdete v nasledujúcej tabuľke.

Nižšie sú uvedené desatinné čísla v binárnom tvare.

Používajú sa aj osmičkové aj hexadecimálne systémy.

Táto záhadná aritmetika

Čo je to aritmetika, „dvakrát dva“ alebo neznáme tajomstvá čísel?Ako vidíte, aritmetika sa môže zdať na prvý pohľad jednoduchá, no jej očividná ľahkosť klame. Môžu ju študovať aj deti spolu s tetou Sovou z rozprávky „Baby Aritmetika“, alebo sa môžete ponoriť do hlbokého vedeckého výskumu takmer filozofického poriadku. V histórii prešla od počítania predmetov k uctievaniu krásy čísel. S istotou je známe len jedno: s vytvorením základných postulátov aritmetiky sa môže celá veda spoľahnúť na svoje silné rameno.

18

do obľúbených do obľúbených z obľúbených 7

Úvod do redakcie: Z viac ako 500 tisíc hlinených tabuliek, ktoré našli archeológovia počas vykopávok v starovekej Mezopotámii, asi 400 obsahuje matematické informácie. Väčšina z nich bola rozlúštená a umožňuje získať celkom jasnú predstavu o úžasných algebraických a geometrických úspechoch babylonských vedcov.

Názory na čas a miesto zrodu matematiky sa rôznia. Mnoho výskumníkov tejto problematiky pripisuje jej vznik rôznym národom a datuje ju do rôznych období. Starí Gréci ešte nemali na túto záležitosť jediný názor, medzi ktorými bola obzvlášť rozšírená verzia, že Egypťania vynašli geometriu, a fénickí obchodníci, ktorí potrebovali takéto znalosti na obchodné výpočty a aritmetiku.

Herodotos v „Histórii“ a Strabón v „Geografii“ dali prednosť Feničanom. Platón a Diogenes Laertius považovali Egypt za rodisko aritmetiky a geometrie. To je aj názor Aristotela, ktorý veril, že matematika sa zrodila vďaka prítomnosti voľného času medzi miestnymi kňazmi. Táto poznámka nasleduje po pasáži, že v každej civilizácii sa najprv rodia praktické remeslá, potom umenie pre potešenie a až potom vedy zamerané na poznanie.

Eudemus, žiak Aristotela, rovnako ako väčšina jeho predchodcov, tiež považoval Egypt za rodisko geometrie a dôvodom jeho vzniku boli praktické potreby zememeračstva. Geometria podľa Evdema prechádza pri svojom zdokonaľovaní tromi štádiami: vznik praktických zručností v zememeračstve, vznik prakticky orientovanej aplikovanej disciplíny a jej premena na teoretickú vedu. Zdá sa, že prvé dve etapy Eudemus sa pripisujú Egyptu a tretia - gréckej matematike. Pravda, napriek tomu priznal, že teória výpočtu plôch vznikla riešením kvadratických rovníc, ktoré boli babylonského pôvodu.

Historik Joseph Flavius ​​​​("Staroveké Judea", kniha 1, kap. 8) má svoj vlastný názor. Hoci Egypťanov nazýva prvými, je si istý, že aritmetiku a astronómiu ich naučil praotec Židov Abrahám, ktorý utiekol do Egypta počas hladomoru, ktorý postihol krajinu Kanaán. No egyptský vplyv v Grécku bol dostatočne silný na to, aby Grékom vnútil podobný názor, ktorý s ich ľahkou rukou stále koluje v historickej literatúre. Dobre zachované hlinené tabuľky pokryté klinovým písmom nájdené v Mezopotámii a pochádzajúce z roku 2000 pred Kristom. a pred rokom 300 nášho letopočtu svedčia o trochu inom stave vecí a o tom, aká bola matematika v starovekom Babylone. Bola to pomerne zložitá zliatina aritmetiky, algebry, geometrie a dokonca aj základov trigonometrie.

Matematika sa vyučovala na pisárskych školách a každý absolvent mal na tú dobu dosť vážne vedomosti. Zrejme presne o tom hovorí Aššurbanipal, kráľ Asýrie v 7. storočí. pred Kr., v jednom zo svojich nápisov hovorí, že sa naučil nájsť

„komplexné recipročné a násobiť“.

Život nútil Babylončanov uchýliť sa k výpočtom na každom kroku. Aritmetika a jednoduchá algebra boli potrebné v domácnosti, pri výmene peňazí a platení za tovar, počítaní jednoduchých a zložených úrokov, daní a podielu úrody odovzdanej štátu, chrámu alebo vlastníkovi pôdy. Matematické a pomerne zložité výpočty si vyžadovali rozsiahle architektonické projekty, inžinierske práce pri výstavbe zavlažovacieho systému, balistiku, astronómiu a astrológiu. Dôležitou úlohou matematiky bolo určiť načasovanie poľnohospodárskych prác, cirkevných sviatkov a iných kalendárnych potrieb. Ako vysoko boli v starovekých mestských štátoch medzi Tigrisom a Eufratom úspechy v tom, čo Gréci neskôr prekvapivo presne nazvali μαθημα („vedomosť“), môžeme posúdiť rozlúštenie mezopotámskych hlinených klinových písma. Mimochodom, u Grékov termín μαθημα najskôr označoval zoznam štyroch vied: aritmetiku, geometriu, astronómiu a harmonickú, vlastnú matematiku začal označovať až oveľa neskôr.

V Mezopotámii už archeológovia našli a nachádzajú klinové tabuľky so záznamami matematického charakteru, čiastočne v akkadčine, čiastočne v sumerčine, ako aj matematické referenčné tabuľky. Ten výrazne uľahčil výpočty, ktoré bolo potrebné robiť na dennej báze, takže množstvo dešifrovaných textov pomerne často obsahuje výpočty úrokov. Názvy aritmetických operácií zo skoršieho, sumerského obdobia mezopotámskej histórie sa zachovali. Takže operácia sčítania sa nazývala „akumulácia“ alebo „sčítanie“, pri odčítaní sa používalo sloveso „vytiahnuť“ a výraz pre násobenie znamenal „jesť“.

Zaujímavosťou je, že v Babylone používali rozsiahlejšiu násobilku – od 1 do 180 000 ako tú, ktorú sme sa museli učiť v škole, t.j. vypočítané na číslach od 1 do 100.

V starovekej Mezopotámii sa vytvorili jednotné pravidlá pre aritmetické operácie nielen s celými číslami, ale aj so zlomkami, v umení operovať, s ktorým Babylončania výrazne prevyšovali Egypťanov. Napríklad v Egypte zostali operácie so zlomkami ešte dlho primitívne, pretože poznali iba alikvotné zlomky (t. j. zlomky s čitateľom rovným 1). Od čias Sumerov v Mezopotámii bolo hlavnou počítacou jednotkou vo všetkých ekonomických záležitostiach číslo 60, hoci bol známy aj desiatkový číselný systém, ktorý sa používal medzi Akkaďanmi. Babylonskí matematici široko používali šesťdesiatkový pozičný (!) systém počítania. Na jej základe boli zostavené rôzne výpočtové tabuľky. Okrem tabuliek násobenia a tabuliek recipročných hodnôt, pomocou ktorých sa delenie vykonávalo, existovali tabuľky odmocnín a kubických čísel.

Klinové texty venované riešeniu algebraických a geometrických problémov naznačujú, že babylonskí matematici boli schopní vyriešiť niektoré špeciálne problémy, vrátane až desiatich rovníc s desiatimi neznámymi, ako aj určitých druhov kubických rovníc a rovníc štvrtého stupňa. Kvadratické rovnice slúžili spočiatku najmä čisto praktickým účelom – meraniu plôch a objemov, čo sa premietlo aj do terminológie. Napríklad pri riešení rovníc s dvoma neznámymi sa jedna nazývala "dĺžka" a druhá - "šírka". Produkt neznámych sa nazýval „oblasť“. Tak ako teraz! V úlohách vedúcich ku kubickej rovnici bola tretia neznáma veličina – „hĺbka“ a súčin troch neznámych sa nazýval „objem“. Neskôr, s rozvojom algebraického myslenia, sa neznáme začalo chápať abstraktnejšie.

Niekedy sa ako ilustrácia algebraických vzťahov v Babylone používali geometrické kresby. Neskôr, v starovekom Grécku, sa stali hlavným prvkom algebry, zatiaľ čo pre Babylončanov, ktorí uvažovali predovšetkým algebraicky, boli kresby iba prostriedkom prehľadnosti a výrazy „čiara“ a „plocha“ znamenali najčastejšie bezrozmerné čísla. Preto existovali riešenia problémov, kde bola „plocha“ pridaná na „stranu“ alebo odpočítaná od „objemu“ atď.

Mimoriadny význam malo v dávnych dobách presné meranie polí, záhrad, budov – každoročné záplavy riek priniesli veľké množstvo bahna, ktoré polia zasypalo a zničilo hranice medzi nimi a po poklese vody sa zememeračom, tzv. poriadku ich vlastníkov, často museli premeriavať prídely. V archívoch klinového písma sa zachovalo mnoho takýchto zememeračských máp zostavených pred viac ako 4 000 rokmi.

Spočiatku neboli jednotky merania veľmi presné, pretože dĺžka sa merala prstami, dlaňami, lakťami, ktoré sú pre rôznych ľudí rôzne. Lepšia situácia bola pri veľkých množstvách, na meranie ktorých používali trstinu a lano určitých veľkostí. Ale aj tu sa výsledky meraní často navzájom líšili, podľa toho, kto a kde meral. Preto boli v rôznych mestách Babylonie prijaté rôzne miery dĺžky. Napríklad v meste Lagash bol „lakť“ 400 mm a v Nippur a samotnom Babylone 518 mm.

Mnohé dochované materiály klinového písma boli učebnicami pre babylonských školákov, ktoré poskytovali riešenia na rôzne jednoduché problémy, s ktorými sa často stretávali v praktickom živote. Nie je však jasné, či ich študent riešil v duchu, alebo robil predbežné výpočty s vetvičkou na zemi – na tabuľkách sú napísané len podmienky matematických úloh a ich riešenie.

Hlavnú časť kurzu matematiky v škole tvorilo riešenie aritmetických, algebraických a geometrických úloh, pri formulovaní ktorých bolo zvykom pracovať s konkrétnymi predmetmi, plochami a objemami. Na jednej z klinových tabuliek sa zachoval nasledujúci problém: „Za koľko dní sa dá vyrobiť kus látky určitej dĺžky, ak vieme, že sa denne vyrobí toľko lakťov (dĺžková miera) tejto látky? Druhá zobrazuje úlohy súvisiace so stavebnými prácami. Napríklad: "Koľko zeminy bude treba na násyp, ktorého rozmery sú známe a koľko zeminy musí premiestniť každý robotník, ak je známy ich celkový počet?" alebo „Koľko hliny by si mal pripraviť každý robotník, aby postavil múr určitej veľkosti?“

Študent tiež musel vedieť počítať koeficienty, počítať súčty, riešiť úlohy o meraní uhlov, výpočte plôch a objemov priamočiarych útvarov – to bola bežná množina pre elementárnu geometriu.

Zaujímavé sú názvy geometrických útvarov zachované zo sumerských čias. Trojuholník sa nazýval "klin", lichobežník - "čelo býka", kruh - "obruč", kapacita bola označená pojmom "voda", objem - "zem, piesok", oblasť bola tzv. "lúka".

Jeden z klinových textov obsahuje 16 problémov s riešeniami, ktoré sa týkajú priehrad, valov, studní, vodných hodín a zemných prác. Jedným problémom je nákres týkajúci sa kruhového hriadeľa, iný uvažuje zrezaný kužeľ, ktorý určuje jeho objem vynásobením výšky polovicou súčtu plôch hornej a dolnej základne. Babylonskí matematici riešili aj planimetrické úlohy pomocou vlastností pravouhlých trojuholníkov, ktoré následne sformuloval Pytagoras vo forme vety o rovnosti štvorca prepony v pravouhlom trojuholníku k súčtu štvorcov nôh. Inými slovami, slávnu Pytagorovu vetu poznali Babylončania najmenej tisíc rokov pred Pytagorasom.

Okrem planimetrických úloh riešili aj stereometrické úlohy súvisiace s určovaním objemu rôznych druhov priestorov, telies a široko zaužívané kreslenie plánov polí, plôch, jednotlivých budov, väčšinou však nie v mierke.

Najvýznamnejším úspechom matematiky bolo zistenie, že pomer uhlopriečky a strany štvorca nemožno vyjadriť ako celé číslo ani jednoduchý zlomok. Tak sa do matematiky dostal pojem iracionality.

Verí sa, že objav jedného z najdôležitejších iracionálnych čísel – čísla π, vyjadrujúceho pomer obvodu kruhu k jeho priemeru a rovnajúceho sa nekonečnému zlomku = 3,14 ..., patrí Pytagorasovi. Podľa inej verzie, pre číslo π, hodnotu 3,14 prvýkrát navrhol Archimedes o 300 rokov neskôr, v 3. storočí pred Kristom. pred Kr. Podľa iného to ako prvý vypočítal Omar Khayyam, vo všeobecnosti je to 11-12 storočí. nl S istotou je známe len to, že grécke písmeno π prvýkrát označovalo tento pomer v roku 1706 anglickým matematikom Williamom Jonesom a až potom, čo si toto označenie v roku 1737 požičal švajčiarsky matematik Leonhard Euler, sa stal všeobecne akceptovaným.

Číslo π je najstaršou matematickou hádankou, tento objav treba hľadať aj v starovekej Mezopotámii. Babylonskí matematici si boli dobre vedomí najdôležitejších iracionálnych čísel a riešenie problému výpočtu plochy kruhu možno nájsť aj v dekódovaní klinových hlinených tabuliek matematického obsahu. Podľa týchto údajov bolo π brané ako rovné 3, čo však na praktické účely zememeračstva úplne postačovalo. Výskumníci sa domnievajú, že šesťdesiatkový systém bol vybraný v starovekom Babylone z metrologických dôvodov: číslo 60 má veľa deliteľov. Hexadecimálny zápis celých čísel sa nerozšíril mimo Mezopotámie, ale v Európe až do 17. storočia. široko používané boli ako šesťdesiatkové zlomky, tak aj obvyklé delenie kruhu na 360 stupňov. Hodina a minúty, rozdelené na 60 častí, tiež pochádzajú z Babylonu. Geniálny nápad Babylončanov používať minimálny počet digitálnych znakov na písanie čísel je pozoruhodný. Napríklad Rimania si ani nemysleli, že to isté číslo môže označovať rôzne množstvá! Na to použili písmená svojej abecedy. Výsledkom bolo, že štvormiestne číslo, napríklad 2737, obsahovalo až jedenásť písmen: MMDCCXXXVII. A hoci v našej dobe existujú extrémni matematici, ktorí dokážu rozdeliť LXXVIII do stĺpca CLXVI alebo vynásobiť CLIX LXXIV, možno len ľutovať tých obyvateľov Večného mesta, ktorí museli vykonávať zložité kalendárne a astronomické výpočty s pomocou takéhoto matematického bilancovania alebo vypočítaných rozsiahlych architektonických projektov a rôznych inžinierskych objektov.

Grécky číselný systém bol tiež založený na používaní písmen abecedy. Najprv bol v Grécku prijatý podkrovný systém, ktorý používal na označenie jednotky zvislú čiaru a pre čísla 5, 10, 100, 1000, 10 000 (v podstate išlo o desatinný systém) - počiatočné písmená ich gréckych mien. . Neskôr, okolo 3. stor. pred Kristom sa rozšíril iónsky číselný systém, v ktorom sa na označenie čísel používalo 24 písmen gréckej abecedy a tri archaické písmená. A na rozlíšenie čísel od slov Gréci umiestnili vodorovnú čiaru na príslušné písmeno.

V tomto zmysle stála babylonská matematická veda nad neskoršou gréckou alebo rímskou, pretože je to ona, kto vlastní jeden z najvýznamnejších úspechov vo vývoji systémov zápisu čísel - princíp pozičnosti, podľa ktorého rovnaký číselný znak (symbol) má rôzny význam v závislosti od miesta, kde sa nachádza.

Mimochodom, egyptský číselný systém bol horší ako babylonský a moderný egyptský číselný systém. Egypťania používali nepozičný desiatkový systém, v ktorom boli čísla od 1 do 9 označené zodpovedajúcim počtom zvislých čiar a pre postupné mocniny 10 boli zavedené jednotlivé hieroglyfické symboly. Pre malé čísla sa babylonský číselný systém vo všeobecnosti podobal egyptskému. Jedna zvislá klinovitá čiara (v raných sumerských tabuľkách - malý polkruh) znamenala jednotku; opakovaný požadovaný počet krát, tento znak slúžil na písanie čísel menších ako desať; na označenie čísla 10 zaviedli Babylončania, podobne ako Egypťania, nový symbol - široký klinovitý znak s hrotom nasmerovaným doľava, ktorý svojím tvarom pripomína uhlovú zátvorku (v raných sumerských textoch - malý kruh). Tento znak, opakovaný primeraným počtom krát, predstavoval čísla 20, 30, 40 a 50.

Väčšina moderných historikov verí, že staroveké vedecké poznatky mali čisto empirický charakter. Pokiaľ ide o fyziku, chémiu, prírodnú filozofiu, ktoré boli založené na pozorovaniach, zdá sa, že je to pravda. Koncept zmyslovej skúsenosti ako zdroja poznania však stojí pred neriešiteľnou otázkou, pokiaľ ide o takú abstraktnú vedu, akou je matematika pracujúca so symbolmi.

Obzvlášť významné boli úspechy babylonskej matematickej astronómie. Či však náhly skok pozdvihol mezopotámskych matematikov z úrovne utilitárnej praxe na rozsiahle poznatky, ktoré im umožnili aplikovať matematické metódy na predpovedanie polôh Slnka, Mesiaca a planét, zatmení a iných nebeských javov, alebo či vývoj prebiehal postupne, bohužiaľ nevieme.

História matematických vedomostí vo všeobecnosti vyzerá zvláštne. Vieme, ako sa naši predkovia naučili počítať na prstoch rúk a nôh, robili primitívne číselné záznamy v podobe zárezov na palici, uzlov na lane alebo kamienkov poukladaných v rade. A potom – bez akéhokoľvek prechodného prepojenia – zrazu informácie o matematických úspechoch Babylončanov, Egypťanov, Číňanov, Hindov a iných starovekých vedcov, také solídne, že ich matematické metódy obstáli v skúške časom až do polovice nedávno skončeného II tisícročia, tj. už viac ako tritisíc rokov...

Čo sa skrýva medzi týmito odkazmi? Prečo starí mudrci okrem praktického významu uctievali matematiku ako posvätné poznanie a mená bohov dávali číslam a geometrickým útvarom? Je za tým práve úctivý postoj k Poznaniu ako takému?

Možno príde čas, keď archeológovia nájdu odpovede na tieto otázky. Medzitým nezabudnime na to, čo pred 700 rokmi povedal Oxfordčan Thomas Bradwardine:

"Ten, kto má tú nehanebnosť popierať matematiku, mal od začiatku vedieť, že nikdy nevstúpi do brán múdrosti."

Matematika začína aritmetikou. S aritmetikou vstupujeme, ako povedal M. V. Lomonosov, do „brán učenia“.

Slovo „aritmetika“ pochádza z gréckeho aritmos, čo znamená „číslo“. Táto veda študuje operácie s číslami, rôzne pravidlá ich manipulácie, učí vás riešiť problémy, ktoré sa scvrkávajú na sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísel. Aritmetiku si často predstavujeme ako nejaký prvý krok v matematike, na základe ktorého je možné študovať jej zložitejšie úseky – algebru, matematickú analýzu atď.Aritmetika pochádza z krajín starovekého východu: Babylon, Čína, India, Egypt. Napríklad egyptský papyrus Rinda (pomenovaný podľa svojho majiteľa G. Rinda) pochádza z 20. storočia. pred Kr e.

Poklady matematických vedomostí nahromadené v krajinách starovekého východu rozvíjali a pokračovali vedci starovekého Grécka. História nám zachovala mnoho mien vedcov zapojených do aritmetiky v starovekom svete - Anaxagoras a Zeno, Euclid, Archimedes, Eratosthenes a Diophantus. Meno Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) sa tu leskne ako jasná hviezda. Pythagorejci uctievali čísla a verili, že obsahujú všetku harmóniu sveta. Jednotlivým číslam a párom čísel boli priradené špeciálne vlastnosti. Čísla 7 a 36 sa tešili veľkej úcte, zároveň sa upriamila pozornosť na takzvané dokonalé čísla, priateľské čísla atď.

V stredoveku je rozvoj aritmetiky spojený aj s východom: Indiou, krajinami arabského sveta a Strednou Áziou. Od Indov k nám prišli čísla, ktoré používame, nula a pozičný číselný systém; z al-Kashi (XV. storočie), Ulugbek - desatinné zlomky.

Vďaka rozvoju obchodu a vplyvu orientálnej kultúry od XIII. rastúci záujem o aritmetiku v Európe. Malo by sa pamätať na meno talianskeho vedca Leonarda z Pisy (Fibonacci), ktorého práca „Kniha počítadla“ predstavila Európanom hlavné úspechy matematiky Východu a bola začiatkom mnohých štúdií aritmetiky a algebry.

Spolu s vynálezom tlače (polovica 15. storočia) sa objavili prvé tlačené matematické knihy. Prvá tlačená kniha o aritmetike bola vydaná v Taliansku v roku 1478. Kompletná aritmetika od nemeckého matematika M. Stiefela (začiatok 16. storočia) už obsahuje záporné čísla a dokonca aj myšlienku logaritmu.

Okolo 16. stor vývoj čisto aritmetických otázok vtiekol do hlavného prúdu algebry, ako významný míľnik možno zaznamenať vzhľad diel francúzskeho vedca F. Vietu, v ktorých sú čísla označené písmenami. Odvtedy sú základné aritmetické pravidlá úplne pochopené z hľadiska algebry.

Základným predmetom aritmetiky je číslo. Prirodzené čísla, t.j. čísla 1, 2, 3, 4, ... atď., vznikli sčítaním konkrétnych položiek. Prešlo mnoho tisícročí, kým sa človek dozvedel, že dvaja bažanti, dve ruky, dvaja ľudia atď. možno nazvať rovnakým slovom „dva“. Dôležitou úlohou aritmetiky je naučiť sa prekonávať špecifický význam mien počítaných predmetov, nechať sa odvrátiť od ich tvaru, veľkosti, farby atď. V aritmetike sa čísla sčítavajú, odčítavajú, násobia a delia. Umenie rýchlo a presne vykonávať tieto operácie na ľubovoľných číslach sa dlho považovalo za najdôležitejšiu úlohu aritmetiky.Aritmetické operácie s číslami majú rôzne vlastnosti. Tieto vlastnosti možno opísať slovami, napríklad: „Súčet sa nemení od zmeny miesta výrazov“, možno napísať písmenami: a + b = b + a, možno vyjadriť špeciálnymi výrazmi.

Medzi dôležitými pojmami zavedenými aritmetikou je potrebné poznamenať proporcie a percentá. Väčšina konceptov a metód aritmetiky je založená na porovnávaní rôznych vzťahov medzi číslami. V dejinách matematiky prebiehal proces spájania aritmetiky a geometrie mnoho storočí.

Slovo "aritmetika" možno chápať ako:

akademický predmet zaoberajúci sa predovšetkým racionálnymi číslami (celými číslami a zlomkami), operáciami s nimi a problémami riešenými pomocou týchto operácií;


časť historickej budovy matematiky, v ktorej sa nahromadili rôzne informácie o výpočtoch;


"teoretická aritmetika" - časť modernej matematiky, ktorá sa zaoberá konštrukciou rôznych číselných systémov (prirodzené, celočíselné, racionálne, reálne, komplexné čísla a ich zovšeobecnenia);


"formálna aritmetika" - časť matematickej logiky, ktorá sa zaoberá analýzou axiomatickej teórie aritmetiky;


„vyššia aritmetika“ alebo teória čísel, samostatne sa rozvíjajúca časť matematiky A

/Encyklopedický slovník mladého matematika, 1989/