Máme nasledujúce údaje rozdielne krajiny o indexe maloobchodných cien potravín (x) a indexe priemyselnej výroby (y).

	Index maloobchodných cien potravín (x)	Index priemyselnej produkcie (y)
1	100	70
2	105	79
3	108	85
4	113	84
5	118	85
6	118	85
7	110	96
8	115	99
9	119	100
10	118	98
11	120	99
12	124	102
13	129	105
14	132	112

Požadovaný:

1. Na charakterizovanie závislosti y od x vypočítajte parametre nasledujúcich funkcií:

A) lineárne;

B) výkon;

C) rovnostranná hyperbola.

3. Posúďte štatistickú významnosť regresných a korelačných parametrov.

4. Predpovedať hodnotu indexu priemyselnej výroby y s prognózovanou hodnotou indexu maloobchodných cien potravín х=138.

Riešenie:

1. Vypočítať parametre lineárnej regresie

Riešime systém normálnych rovníc pre a a b:

Zostavme tabuľku vypočítaných údajov, ako je uvedené v tabuľke 1.

Tabuľka 1 Odhadované údaje pre odhad lineárnej regresie

č. p / p	X	pri	hu	x2	y2
1	100	70	7000	10000	4900	74,26340	0,060906
2	105	79	8295	11025	6241	79,92527	0,011712
3	108	85	9180	11664	7225	83,32238	0,019737
4	113	84	9492	12769	7056	88,98425	0,059336
5	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
6	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
7	110	96	10560	12100	9216	85,58713	0,108467
8	115	99	11385	13225	9801	91,24900	0,078293
9	119	100	11900	14161	10000	95,77849	0,042215
10	118	98	11564	13924	9604	94,64611	0,034223
11	120	99	11880	14400	9801	96,91086	0,021102
12	124	102	12648	15376	10404	101,4404	0,005487
13	129	105	13545	16641	11025	107,1022	0,020021
14	132	112	14784	17424	12544	110,4993	0,013399
Celkom:	1629	1299	152293	190557	122267	1299,001	0,701866
priemer:	116,3571	92,78571	10878,07	13611,21	8733,357	X	X
	8,4988	11,1431	X	X	X	X	X
	72,23	124,17	X	X	X	X	X

Priemerná hodnota je určená vzorcom:

Stredná štvorcová odchýlka sa vypočíta podľa vzorca:

a výsledok zapíšte do tabuľky 1.

Umocnením výslednej hodnoty dostaneme rozptyl:

Parametre rovnice možno určiť aj pomocou vzorcov:

Takže regresná rovnica je:

Preto pri zvýšení indexu maloobchodných cien potravín o 1 sa index priemyselnej produkcie zvyšuje v priemere o 1,13.

Vypočítajte lineárny koeficient párovej korelácie:

Spojenie je priame, skôr blízke.

Definujme koeficient determinácie:

Odchýlka výsledku o 74,59 % sa vysvetľuje zmenou x faktora.

Nahradením skutočných hodnôt x do regresnej rovnice určíme teoretické (vypočítané) hodnoty .

preto sú parametre rovnice definované správne.

Vypočítajme priemernú chybu aproximácie - priemernú odchýlku vypočítaných hodnôt od skutočných:

V priemere sa vypočítané hodnoty líšia od skutočných o 5,01%.

Kvalitu regresnej rovnice vyhodnotíme pomocou F-testu.

F-test spočíva v testovaní hypotézy H 0 o štatistickej nevýznamnosti regresnej rovnice a indikátora tesnej súvislosti. Na tento účel sa vykoná porovnanie skutočnej F skutočnosti a kritickej (tabuľkovej) tabuľky F hodnôt Fisherovho F-kritéria.

Fakt F je určený vzorcom:

kde n je počet jednotiek populácie;

m je počet parametrov pre premenné x.

Získané odhady regresnej rovnice nám umožňujú použiť ju na prognózovanie.

Ak prognózovaná hodnota indexu maloobchodných cien potravín x = 138, potom prognózovaná hodnota indexu priemyselnej výroby bude:

2. Mocninná regresia má tvar:

Na určenie parametrov sa vykoná logaritmus výkonovej funkcie:

Na definovanie parametrov logaritmická funkcia zostavte systém normálnych rovníc pomocou metódy najmenších štvorcov:

Zostavme tabuľku vypočítaných údajov, ako je uvedené v tabuľke 2.

Tabuľka 2 Odhadované údaje na vyhodnotenie výkonovej regresie

č. p / p	X	pri	lg x	lg y	lg x * lg y	(log x) 2	(log y) 2
1	100	70	2,000000	1,845098	3,690196	4,000000	3,404387
2	105	79	2,021189	1,897627	3,835464	4,085206	3,600989
3	108	85	2,033424	1,929419	3,923326	4,134812	3,722657
4	113	84	2,053078	1,924279	3,950696	4,215131	3,702851
5	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
6	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
7	110	96	2,041393	1,982271	4,046594	4,167284	3,929399
8	115	99	2,060698	1,995635	4,112401	4,246476	3,982560
9	119	100	2,075547	2,000000	4,151094	4,307895	4,000000
10	118	98	2,071882	1,991226	4,125585	4,292695	3,964981
11	120	99	2,079181	1,995635	4,149287	4,322995	3,982560
12	124	102	2,093422	2,008600	4,204847	4,382414	4,034475
13	129	105	2,110590	2,021189	4,265901	4,454589	4,085206
14	132	112	2,120574	2,049218	4,345518	4,496834	4,199295
Celkom	1629	1299	28,90474	27,49904	56,79597	59,69172	54,05467
Priemerná	116,3571	92,78571	2,064624	1,964217	4,056855	4,263694	3,861048
	8,4988	11,1431	0,031945	0,053853	X	X	X
	72,23	124,17	0,001021	0,0029	X	X	X

Pokračovanie tabuľky 2 Vypočítané údaje na vyhodnotenie výkonovej regresie

č. p / p	X	pri
1	100	70	74,16448	17,34292	0,059493	519,1886
2	105	79	79,62057	0,385112	0,007855	190,0458
3	108	85	82,95180	4,195133	0,024096	60,61728
4	113	84	88,59768	21,13866	0,054734	77,1887
5	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
6	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
7	110	96	85,19619	116,7223	0,11254	10,33166
8	115	99	90,88834	65,79901	0,081936	38,6174
9	119	100	95,52408	20,03384	0,044759	52,04598
10	118	98	94,35840	13,26127	0,037159	27,18882
11	120	99	96,69423	5,316563	0,023291	38,6174
12	124	102	101,4191	0,337467	0,005695	84,90314
13	129	105	107,4232	5,872099	0,023078	149,1889
14	132	112	111,0772	0,85163	0,00824	369,1889
Celkom	1629	1299	1296,632	446,4152	0,703074	1738,357
Priemerná	116,3571	92,78571	X	X	X	X
	8,4988	11,1431	X	X	X	X
	72,23	124,17	X	X	X	X

Riešením systému normálnych rovníc určíme parametre logaritmickej funkcie.

Dostaneme lineárnu rovnicu:

Jeho potenciovaním získame:

Nahradením skutočných hodnôt x do tejto rovnice získame teoretické hodnoty výsledku. Na základe nich vypočítame ukazovatele: tesnosť spojenia - korelačný index a priemernú chybu aproximácie.

Spojenie je celkom blízke.

V priemere sa vypočítané hodnoty líšia od skutočných o 5,02%.

Teda H 0 - hypotéza o náhodnosti odhadovaných charakteristík sa zamieta a uznáva sa ich štatistická významnosť a spoľahlivosť.

Získané odhady regresnej rovnice nám umožňujú použiť ju na prognózovanie. Ak prognózovaná hodnota indexu maloobchodných cien potravín x = 138, potom prognózovaná hodnota indexu priemyselnej výroby bude:

Na určenie parametrov tejto rovnice sa používa systém normálnych rovníc:

Urobme zmenu premenných

a získajte nasledujúci systém normálnych rovníc:

Riešením sústavy normálnych rovníc určíme parametre hyperboly.

Urobme tabuľku vypočítaných údajov, ako je uvedené v tabuľke 3.

Tabuľka 3 Vypočítané údaje pre odhad hyperbolickej závislosti

č. p / p	X	pri	z	yz
1	100	70	0,010000000	0,700000	0,0001000	4900
2	105	79	0,009523810	0,752381	0,0000907	6241
3	108	85	0,009259259	0,787037	0,0000857	7225
4	113	84	0,008849558	0,743363	0,0000783	7056
5	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
6	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
7	110	96	0,009090909	0,872727	0,0000826	9216
8	115	99	0,008695652	0,860870	0,0000756	9801
9	119	100	0,008403361	0,840336	0,0000706	10000
10	118	98	0,008474576	0,830508	0,0000718	9604
11	120	99	0,008333333	0,825000	0,0000694	9801
12	124	102	0,008064516	0,822581	0,0000650	10404
13	129	105	0,007751938	0,813953	0,0000601	11025
14	132	112	0,007575758	0,848485	0,0000574	12544
Celkom:	1629	1299	0,120971823	11,13792	0,0010510	122267
priemer:	116,3571	92,78571	0,008640844	0,795566	0,0000751	8733,357
	8,4988	11,1431	0,000640820	X	X	X
	72,23	124,17	0,000000411	X	X	X

Tabuľka 3 pokračovanie Údaje z výpočtu pre odhad hyperbolickej závislosti

1. Ktoré z uvedených meraní patrí do triedy názvov meracích váh:
a) čísla kódujúce temperament;


d) telefónne čísla.

2. Ktoré z nasledujúcich meraní patrí do triedy rádových meracích stupníc:

b) akademická hodnosť ako miera povýšenia;
c) systém merania metrických vzdialeností;
d) telefónne čísla.

3. Ktoré z nasledujúcich meraní patrí do triedy pomerov meracích stupníc:
a) čísla kódujúce temperament;
b) akademická hodnosť ako miera povýšenia;
c) systém merania metrických vzdialeností;
d) telefónne čísla.

4. Ktoré z nasledujúcich znakov sa týkajú kvantitatívnych druhov:

b) rodinné väzby členov rodiny;
c) pohlavie a vek osoby;
d) sociálne postavenie vkladateľa;
e) počet detí v rodine;
f) maloobchodný obrat obchodných podnikov.

5. Ktoré z nasledujúcich znakov súvisia s kvalitatívnymi druhmi:
a) počet zamestnancov vo firme;
b) rodinné väzby členov rodiny;
c) pohlavie a vek osoby;
d) sociálne postavenie vkladateľa;
e) počet detí v rodine;
f) maloobchodný obrat obchodných podnikov.

6. Aká stupnica sa používa na meranie úrovne ľudskej inteligencie:
a) mená;
b) radové;
c) interval;
d) vzťahy.

7. Štandardná odchýlka je:
a) druhá mocnina rozsahu variačného radu;
b) druhá odmocnina disperzie;
c) druhá mocnina variačného koeficientu;
G) Odmocnina od veľkosti rozsahu variácií.

8. Variačný koeficient série je určený pomerom:
a) štandardná odchýlka od aritmetického priemeru série;
b) rozptyl k mediánu série;
c) rozptyl na maximálnu hodnotu série;
d) absolútny ukazovateľ odchýlky od aritmetického priemeru série.

9. Mód daného variačného radu

x 10 15 35
n 1 2 3

toto:
a) 20;
b) 16;
v 3;
d) 35.

10. Aritmetický priemer populácie je:
a) hodnota prvku v strede série variácií;
b) polovičný rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami série variácií;
c) polovičný súčet maximálnych a minimálnych hodnôt série variácií;
d) pomer súčtu všetkých hodnôt obyvateľstva k ich celkovému počtu.

11. Známe údaje o dĺžke služby siedmich predavačov: 2; 3; 2; päť; 10; 7; 1 rok starý Nájdite priemernú hodnotu ich pracovných skúseností.
a) 4,3 roka;
b) 5 rokov;
c) 3 roky;
d) 3,8 roka.

12. Distribučné číslo je:
a) postupnosť vzorových údajov;
b) usporiadané usporiadanie údajov podľa kvantitatívneho atribútu;
c) číselná postupnosť údajov;
d) postupnosť hodnôt zoradená podľa kvalitatívnych znakov.

13. Frekvencia variantov variačného radu sa nazýva:
a) veľkosť vzorky;
b) hodnotu variantov variačného radu;
c) počet jednotlivých variantov alebo skupín variácií;
d) počet skupín variačných sérií.

14. Móda je:
a) maximálna hodnota vlastnosti populácie;
b) najbežnejšia hodnota;
c) aritmetický priemer obyvateľstva.

15. Známe údaje o pracovných skúsenostiach predavačov: 2; 3; 2; päť; 10; 7; 1. Nájdite medián ich pracovných skúseností:
a) 4,5 roka;
b) 4,3 roka;
c) 3 roky;
d) 5 rokov.

16. Rozsah variácií tohto radu variácií:
x 10 15 20 30
n 1 2 3 2

toto:
a) 15;
b) 10;
c) 30;
d) 20.

17. Počet objednaných sérií sa delí na polovicu:
a) móda;
b) aritmetický priemer;
c) harmonický priemer;
d) medián.

18. Štatistické zoskupenie je:
a) kombinovanie alebo oddeľovanie údajov podľa základných znakov;
b) vedecká organizácia štatistického pozorovania;
c) druhy podávania správ;
d) priamy zber hromadných údajov.

19. Koeficient oscilácie je:
a) absolútny ukazovateľ;
b) priemerný;
c) relatívny ukazovateľ variácie.

20. Rozptyl variačného radu charakterizuje:
a) priemerná hodnota jednotlivých charakteristík;
b) rozptyl jednotlivých hodnôt znakov od priemernej hodnoty;
c) smerodajná odchýlka.

21. Rovnica rovno lineárna funkcia regresia zobrazuje dynamiku vývoja:
a) s premenlivým zrýchlením;

c) uniforma;
d) rovnomerne zrýchlené.

22. Ak je hodnota korelačného koeficientu 0,6, potom na stupnici Chadd.ka:
a) prakticky neexistuje žiadne spojenie;
b) spojenie je slabé;
c) komunikácia je mierna;
d) spojenie je silné.

23. Údaje predstavujú skóre dospelých v Stanford-Binetovom IQ teste 104, 87, 101, 130, 148, 92, 97, 105, 134, 121. Nájdite rozsah variácií:
a) 61;
b) 60;
c) 75.

24. Nájdite aritmetický vážený priemer pre nasledujúce intervaly:

li ni
10-14 1
15-19 1
20-24 4
25-29 2
30-34 4

a) 24;
b) 24,92;
c) 25,38 hod.

25. Vypočítajte medián nasledujúceho riadku 2.1; 1,5; 1,6; 2,1; 2.4:
a) 2;
b) 1,5;
c) 2.1.

26. Vypočítajte režim nasledujúceho intervalového radu

frekvencia 5-7 8-10 11-13 14-16
interval 4 7 26 41

a) 14;
b) 14,54;
c) 15,23;

27. Ktoré z uvedených meraní patrí do triedy názvov meracích stupníc:
a) diagnóza pacienta;
b) čísla áut;
c) tvrdosť minerálu;
d) kalendárny čas;
d) hmotnosť osoby.

28. Ktoré z nasledujúcich meraní patrí do triedy radových meracích stupníc:
a) diagnóza pacienta;
b) čísla áut;
c) tvrdosť minerálu;
d) kalendárny čas;
d) hmotnosť osoby.

29. Ktoré z nasledujúcich meraní patrí do triedy intervalových meracích stupníc:
a) diagnóza pacienta;
b) čísla áut;
c) tvrdosť minerálu;
d) kalendárny čas;
d) hmotnosť osoby.
30. Ktoré z nasledujúcich meraní patrí do triedy pomerov meracích stupníc:
a) diagnóza pacienta;
b) čísla áut;
c) tvrdosť minerálu;
d) kalendárny čas;
d) hmotnosť osoby.

31. Aká stupnica sa používa na meranie času:
a) interval;
b) vzťahy;
c) Čaddok.

32. Kvantitatívne druhy zahŕňajú tieto znaky:
a) výška človeka;
b) vyznamenania za zásluhy;
c) farba očí;
d) ŠPZ.

33. Kvalitatívne druhy zahŕňajú tieto znaky:
a) výška človeka;
b) vyznamenania za zásluhy;
c) farba očí;
d) čísla áut

34. Vypočítajte módu

xi 5 8 10 13 14
nie 7 4 5 9 1

a) 10;
b) 11;
c) 13

35. Vo veľkých triedach je za štvrťrok menší pokrok v získavaní vedomostí ako v malých triedach. Čo je to ukazovateľ výkonnosti?
a) počet žiakov v triede;
b) úspech pri získavaní vedomostí,
c) počet žiakov s úspešnosťou v získavaní vedomostí.

36. Dĺžka intervalu v intervalovom rade je:
a) rozsah variácie vydelený aritmetickým priemerom;
b) rozsah variácie vydelený počtom skupín;
c) rozptyl delený veľkosťou vzorky.

37. Príklad párovej korelácie: žiaci, ktorí sa naučili čítať skôr ako ostatní, dosahujú lepšie výsledky. Ktorá z týchto vlastností: skorá schopnosť čítať alebo vysoké výsledky študentov sú faktoriálnou vlastnosťou?
a) schopnosť čítať skoro;
b) vysoký akademický výkon;
c) žiadny z nich.

38. Ktorú z nasledujúcich metód možno použiť pri porovnávaní priemerov troch alebo viacerých vzoriek:
a) Študentský test;
b) Fisherov test;
c) analýza rozptylu.

39. Veľkosť vzorky série variácií

xi 10 15 20 30
nie 1 2 3 2

a) 5;
b) 8;
v 12;
d) 30.

40. Móda variačnej série

xi 10 15 20 25
nie 1 5 4 3

a) 15;
b) 5;
c) 23;
d) 3.

41. Rovnica parabolickej regresnej funkcie odráža dynamiku vývoja:
a) s premenlivým zrýchlením;
b) so spomalením rastu na konci obdobia;
c) uniforma;
d) rovnomerne zrýchlené.

42. Regresný koeficient B ukazuje:
a) očakávaná hodnota závislej premennej, keď je prediktorová hodnota nulová
b) očakávaná hodnota závislej premennej pri zmene prediktora o jednotku
c) pravdepodobnosť regresnej chyby
d) problém ešte nie je úplne vyriešený

43. Vzor je:
a) celý súbor predmetov, na ktorých je postavená úvaha výskumníka;
b) súbor objektov dostupných pre empirický výskum;
c) všetky možné hodnoty rozptylu;
d) rovnako ako randomizácia.

44. Ktorý z uvedených korelačných koeficientov vykazuje najväčšiu súvislosť premenných:
a) -0,90;
b) 0;
c) 0,07;
d) 0,01.

45. Všeobecná populácia je:
a) celý súbor predmetov, na ktorých je postavená úvaha výskumníka;
b) súbor objektov dostupných pre empirický výskum;
c) všetky možné hodnoty matematického očakávania;
d) normálne rozdelenie.

46. ​​Ako sa porovnáva veľkosť vzorky a všeobecnej populácie:
a) vzorka je zvyčajne oveľa menšia ako bežná populácia;
b) populácia vždy menej ako vzorka;
c) vzorka a všeobecná populácia sa takmer vždy zhodujú;
d) neexistuje správna odpoveď.

47. Bodkovaný bisériový korelačný koeficient je špeciálnym prípadom korelačného koeficientu:
a) Spearman
b) Pearson;
c) Kendala;
d) všetky odpovede sú správne.

48. Keď minimálna úroveň význam je zvykom zamietnuť nulovú hypotézu?
a) úroveň 5 %.
b) úroveň 7 %.
c) úroveň 9 %.
d) úroveň 10 %.

49. Ktorá z nasledujúcich metód sa zvyčajne používa pri porovnávaní priemerov dvoch normálnych vzoriek:
a) Študentský test;
b) Fisherov test;
c) jednosmerná analýza rozptylu;
d) korelačná analýza.

50. Pomocou ktorých sa testujú štatistické hypotézy:
a) štatistika
b) parametre;
c) pokusy;
d) pozorovania.

51. Ktorá z nasledujúcich hodnôt korelačného koeficientu nie je možná:
a) -0,54;
b) 2,18;
c) 0; d) 1.

52. Akú transformáciu je potrebné vykonať pri porovnaní dvoch korelačných koeficientov:
študentka
b) Fisher;
c) Pearson;
d) Spearman.

53. Aký je medián distribúcie:
a) rovnaké ako osi;
b) rovnaké ako móda;
c) aritmetický priemer;
d) 50 % distribučný kvantil;
e) neexistuje správna odpoveď.

54. Bodkovaný bisériový korelačný koeficient je špeciálnym prípadom korelačného koeficientu:
a) Spearman
b) Pearson;
c) Kendall;
d) všetky odpovede sú správne.

55. Ktorá z nasledujúcich premenných je diskrétna:
a) typ temperamentu;
b) úroveň inteligencie;
c) reakčný čas;
d) všetky odpovede sú správne.

56. V akom rozsahu sa môže korelačný koeficient meniť:
a) od -1 do 1;
b) od 0 do 1;
c) od 0 do 100;
d) v akomkoľvek.

57. O tom, aké štatistické hypotézy sa predkladajú:
a) koncepty;
b) štatistik;
c) vzorky;
d) parametre.

58. Ako sa volá neparametrický analóg? analýza rozptylu:
a) Študentský test;
b) Kruskal-Wallisova metóda;
c) Wilcoxonov test;
d) Mann-Whitneyho test.

59. Koncept korelačného koeficientu bol prvýkrát vyvinutý v prácach:
a) Rybár;
b) študent;
c) Pearson;
d) Spearman.

60. Ktorá z nasledujúcich štatistík je nestranným odhadom očakávanej hodnoty:
a) aritmetický priemer;
b) móda;
c) medián;
d) všetky odpovede sú správne.

61. Ako sa porovnávajú Pearsonove a Spearmanove korelačné koeficienty:
a) Pearsonov koeficient je špeciálny prípad Spearmana;
b) Spearmanov koeficient je špeciálny prípad Pearsona;
c) tieto koeficienty majú odlišnú konštrukčnú logiku;
d) sú rovnaké.

62. Podľa teoretických predpokladov analýzy rozptylu F-pomer nemôže byť:
a) sa rovná 1;
b) viac ako 1;
c) menej ako 1;
d) neexistuje správna odpoveď.

Pridelenie služby. Pomocou tejto online kalkulačky môžete nájsť parametre nelineárnej regresnej rovnice (exponenciálna, exponenciálna, rovnostranná hyperbola, logaritmická, exponenciálna) (pozri príklad).

Poučenie. Zadajte množstvo zdrojových údajov. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word. V Exceli sa automaticky vygeneruje aj šablóna riešenia. Poznámka: ak potrebujete určiť parametre parabolickej závislosti (y = ax 2 + bx + c), môžete použiť službu Analytical alignment.
Homogénny súbor jednotiek je možné obmedziť elimináciou anomálnych objektov pozorovania Irwinovou metódou alebo pravidlom troch sigma (eliminovať tie jednotky, pre ktoré sa hodnota vysvetľujúceho faktora odchyľuje od priemeru o viac ako trojnásobok štandardu). odchýlka).

Typy nelineárnej regresie

Tu je ε náhodná chyba (odchýlka, porucha), odrážajúca vplyv všetkých nezohľadnených faktorov.

Regresná rovnica prvého poriadku je párová lineárna regresná rovnica.

Regresná rovnica druhého rádu toto je polynomická regresná rovnica druhého rádu: y = a + bx + cx 2 .

Regresná rovnica tretieho rádu v tomto poradí polynomická regresná rovnica tretieho rádu: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Aby sa nelineárne závislosti dostali na lineárnu, používajú sa metódy linearizácie (pozri metódu zarovnania):

1. Zmena premenných.
2. Logaritmus oboch strán rovnice.
3. Kombinované.

y = f(x)	transformácia	Linearizačná metóda
y = b x a	Y = log(y); X = log(x)	Logaritmus
y = b e sekera	Y = log(y); X=x	Kombinované
y = 1/(ax+b)	Y = 1/y; X=x	Zmena premenných
y = x/(ax+b)	Y=x/y; X=x	Zmena premenných. Príklad
y = aln(x)+b	Y=y; X = log(x)	Kombinované
y = a + bx + cx2	xi = x; x2 = x2	Zmena premenných
y = a + bx + cx2 + dx3	xi = x; x 2 \u003d x 2; x 3 = x 3	Zmena premenných
y = a + b/x	x 1 = 1/x	Zmena premenných
y = a + sqrt(x)b	x 1 = sqrt(x)	Zmena premenných

Príklad. Podľa údajov prevzatých z príslušnej tabuľky postupujte takto:

1. Zostavte korelačné pole a sformulujte hypotézu o podobe vzťahu.
2. Vypočítajte parametre rovníc lineárnej, mocninnej, exponenciálnej, semilogaritmickej, inverznej, hyperbolickej párovej regresie.
3. Posúďte tesnosť vzťahu pomocou ukazovateľov korelácie a determinácie.
4. Použite priemerný (všeobecný) koeficient elasticity na porovnanie sily vzťahu medzi faktorom a výsledkom.
5. Odhadnite kvalitu rovníc pomocou priemernej chyby aproximácie.
6. Posúďte štatistickú spoľahlivosť výsledkov regresného modelovania pomocou Fisherovho F-testu. Podľa hodnôt charakteristík vypočítaných v odsekoch. 4, 5 a tento odsek, vyberte najlepšiu regresnú rovnicu a uveďte jej odôvodnenie.
7. Vypočítajte predpokladanú hodnotu výsledku, ak sa predpokladaná hodnota faktora zvýši o 15 % jeho priemernej úrovne. Určte interval spoľahlivosti predpovede pre hladinu významnosti α=0,05.
8. Vyhodnoťte získané výsledky a vyvodte závery v analytickej poznámke.

rok	Skutočná konečná spotreba domácností (v bežných cenách), miliardy rubľov (1995 - bilión rubľov), r	Priemerný peňažný príjem obyvateľstva na obyvateľa (za mesiac), rub. (1995 - tisíc rubľov), x
1995	872	515,9
2000	3813	2281,1
2001	5014	3062
2002	6400	3947,2
2003	7708	5170,4
2004	9848	6410,3
2005	12455	8111,9
2006	15284	10196
2007	18928	12602,7
2008	23695	14940,6
2009	25151	16856,9

Riešenie. V kalkulačke vyberte typy nelineárnej regresie. Dostávame nasledujúcu tabuľku.
Exponenciálna regresná rovnica je y = a e bx
Po linearizácii dostaneme: ln(y) = ln(a) + bx
Dostaneme empirické regresné koeficienty: b = 0,000162, a = 7,8132
Regresná rovnica: y = e 7,81321500 e 0,000162x = 2473,06858e 0,000162x

Mocninná regresná rovnica má tvar y = a x b
Po linearizácii dostaneme: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Empirické regresné koeficienty: b = 0,9626, a = 0,7714
Regresná rovnica: y = e 0,77143204 x 0,9626 = 2,16286 x 0,9626

Hyperbolická regresná rovnica je y = b/x + a + ε
Po linearizácii dostaneme: y=bx + a
Empirické regresné koeficienty: b = 21089190,1984, a = 4585,5706
Empirická regresná rovnica: y = 21089190,1984 / x + 4585,5706

Logaritmická regresná rovnica má tvar y = b ln(x) + a + ε
Empirické regresné koeficienty: b = 7142,4505, a = -49694,9535
Regresná rovnica: y = 7142,4505 ln(x) - 49694,9535

Exponenciálna regresná rovnica má tvar y = a b x + ε
Po linearizácii dostaneme: ln(y) = ln(a) + x ln(b)
Empirické regresné koeficienty: b = 0,000162, a = 7,8132
y = e 7,8132 *e 0,000162x = 2473,06858*1,00016x

X	r	1/x	log(x)	log(y)
515.9	872	0.00194	6.25	6.77
2281.1	3813	0.000438	7.73	8.25
3062	5014	0.000327	8.03	8.52
3947.2	6400	0.000253	8.28	8.76
5170.4	7708	0.000193	8.55	8.95
6410.3	9848	0.000156	8.77	9.2
8111.9	12455	0.000123	9	9.43
10196	15284	9,8E-5	9.23	9.63
12602.7	18928	7,9E-5	9.44	9.85
14940.6	23695	6.7E-5	9.61	10.07
16856.9	25151	5.9E-5	9.73	10.13

Ďalším typom jednofaktorovej regresie je aproximácia mocninnými polynómami v tvare:

Je prirodzené chcieť získať čo najjednoduchšiu závislosť obmedzujúcu sa na mocninné polynómy druhého stupňa, t.j. parabolická závislosť:
(5.5.2)

Parciálne derivácie vypočítame vzhľadom na koeficienty b 0 , b 1 A b 2 :

(5.5.3)

Prirovnaním derivátov k nule dostaneme normálny systém rovníc:

(5.5.4)

Riešenie sústavy normálnych rovníc (5.5.2) pre špecifický prípad hodnôt X i * , r i * ;
dostaneme optimálne hodnoty b 0 , b 1 A b 2 . Pre aproximáciu závislosťou (5.5.2) a ešte viac (5.5.1) neboli získané jednoduché vzorce na výpočet koeficientov a spravidla sa počítajú pomocou štandardných postupov v maticovej forme:

(5.5.5)

Obrázok 5.5.1 ukazuje typický príklad aproximácie parabolickej závislosti:

9 (5;9)

(1;1)

1

1 2 3 4 5 x

Obr.5.5.1. Súradnice experimentálnych bodov a aproximácia

ich parabolická závislosť

Príklad 5.1. Vykonajte aproximáciu experimentálnych výsledkov uvedených v tabuľke 5.1.1 pomocou lineárnej regresnej rovnice
.

Tabuľka 5.1.1

Experimentálne body vynesme podľa súradníc uvedených v tabuľke 5.1.1 do grafu znázorneného na obrázku 5.1.1.

pri

9

4

1 2 3 4 5 x

Podľa obr. 5.1.1, na ktorom nakreslíme priamku pre predbežné posúdenie, sme dospeli k záveru, že v umiestnení experimentálnych bodov existuje výrazná nelinearita, ktorá však nie je veľmi významná, a preto má zmysel aproximovať ich lineárnou závislosťou. Všimnite si, že na získanie správneho matematického záveru je potrebné zostrojiť priamku pomocou metódy najmenších štvorcov.

Pred regresnou analýzou je vhodné vypočítať

koeficient lineárnej korelácie medzi premennými X A pri:

Významnosť korelácie je určená kritickou hodnotou koeficientu lineárnej korelácie vypočítanou podľa vzorca:

Kritická hodnota študentského kritéria t Kréta sa zistí podľa štatistických tabuliek pre odporúčanú hladinu významnosti a = 0,05 a pre n-2 stupne slobody. Ak vypočítaná hodnota r xy nie menej ako kritická hodnota r Kréta, potom korelácia medzi premennými X A r považované za významné. Urobme výpočty:

Vzhľadom k tomu, že
sme dospeli k záveru, že korelácia medzi premennými X A pri je nevyhnutné a môže byť lineárne.

Vypočítajme koeficienty regresnej rovnice:

Dostali sme teda lineárnu regresnú rovnicu:

Podľa regresnej rovnice nakreslíme priamku na obrázku 5.1.2.

y (5;9,8)

9

4

(0;-0.2) 1 2 3 4 5 x

Obr.5.1.2. Súradnice experimentálnych bodov a aproximácia

ich lineárna závislosť

Pomocou regresnej rovnice vypočítame hodnoty funkcie pomocou experimentálnych bodov tabuľky 5.1.1 a rozdielu medzi experimentálnou a vypočítanou hodnotou funkcie, ktoré uvádzame v tabuľke 5.1.2.

Tabuľka 5.1.2

Vypočítajme odmocninu a jej pomer k strednej hodnote:

Vo vzťahu k štandardnej chybe k strednej hodnote bol získaný neuspokojivý výsledok, pretože bola prekročená odporúčaná hodnota 0,05.

Vyhodnoťme hladinu významnosti koeficientov regresnej rovnice podľa Studentovho kritéria:

Zo štatistickej tabuľky pre 3 stupne voľnosti, riadky vypíšeme s hladinou významnosti - a hodnotu študentského kritéria – t v tabuľke 5.1.3.

Tabuľka 5.1.3

Úroveň významnosti koeficientov regresnej rovnice:

Všimnite si, že podľa úrovne významnosti pre koeficient sa dosiahol uspokojivý výsledok a pre koeficient nevyhovujúce.

Zhodnoťme kvalitu získanej regresnej rovnice ukazovateľmi vypočítanými na základe analýzy rozptylu:

Vyšetrenie:

Výsledok kontroly je pozitívny, čo naznačuje správnosť vykonaných výpočtov.

Vypočítajme Fisherovo kritérium:

s dvoma stupňami voľnosti:

Podľa štatistických tabuliek nájdeme kritické hodnoty Fisherovho kritéria pre dve odporúčané gradácie hladiny významnosti:

Keďže vypočítaná hodnota Fisherovho kritéria presahuje kritickú hodnotu pre hladinu významnosti 0,01, budeme predpokladať, že hladina významnosti podľa Fisherovho kritéria je menšia ako 0,01, čo budeme považovať za vyhovujúce.

Vypočítajme koeficient viacnásobného určenia:

pre dva stupne voľnosti

Podľa štatistickej tabuľky pre odporúčanú hladinu významnosti 0,05 a zistených dvoch stupňov voľnosti zistíme kritickú hodnotu koeficientu viacnásobnej determinácie:

Keďže vypočítaná hodnota koeficientu viacnásobného určenia presahuje kritickú hodnotu pre hladinu významnosti
, potom hladina významnosti koeficientom viacnásobného určenia
a výsledok získaný pre daný ukazovateľ sa bude považovať za uspokojivý.

Takto získané vypočítané parametre z hľadiska pomeru smerodajnej chyby k strednej hodnote a hladiny významnosti podľa Studentovho kritéria sú nevyhovujúce, preto je vhodné zvoliť pre aproximáciu inú približnú závislosť.

Príklad 5.2. Aproximácia experimentálneho rozdelenia náhodných čísel matematickou závislosťou

Experimentálne rozdelenie náhodných čísel uvedené v tabuľke 5.1.1 pri aproximácii lineárnou závislosťou neviedlo k uspokojivému výsledku, vr. bezvýznamnosťou koeficientu regresnej rovnice s voľným členom sa preto pre zlepšenie kvality aproximácie pokúsime nakresliť ju s lineárnou závislosťou bez voľného člena:

Vypočítajte hodnotu koeficientu regresnej rovnice:

Dostali sme teda regresnú rovnicu:

Podľa získanej regresnej rovnice vypočítame hodnoty funkcie a rozdiel medzi experimentálnymi a vypočítanými hodnotami funkcie, ktoré uvádzame vo forme tabuľky 5.2.1.

Tabuľka 5.2.1

X i

Podľa regresnej rovnice
na Obr.5.2.1 nakreslite priamku.

y(5;9.73 )

(0;0) 1 2 3 4 5 x

Obr.5.2.1. Súradnice experimentálnych bodov a aproximácia

ich lineárna závislosť

Na posúdenie kvality aproximácie vypočítame ukazovatele kvality podobne ako pri výpočtoch uvedených v príklade 5.1.

(zostal starý);

so 4 stupňami voľnosti;

pre

Na základe výsledkov aproximácie konštatujeme, že z hľadiska hladiny významnosti koeficientu regresnej rovnice bol dosiahnutý uspokojivý výsledok; pomer smerodajnej chyby k priemeru sa zlepšil, ale stále zostal nad odporúčanou hodnotou 0,05, preto sa odporúča opakovať aproximáciu so zložitejšou matematickou závislosťou.

Príklad 5.3. Na zlepšenie kvality aproximácie príkladov 5.1 a 5.2 vykonáme nelineárnu aproximáciu pomocou závislosti
. Za týmto účelom najprv vykonáme priebežné výpočty a ich výsledky umiestnime do tabuľky 5.3.1.

hodnoty

Tabuľka 5.3.1

X 2
(lnX) 2
lnX lnY

Okrem toho vypočítame:

Urobme aproximáciu závislosti
. Pomocou vzorcov (5.3.7), (5.3.8) vypočítame koeficienty b 0 A b 1 :

Pomocou vzorcov (5.3.11) vypočítame koeficienty A 0 A A 1 :

Na výpočet štandardnej chyby sa vykonali medzivýpočty uvedené v tabuľke 5.3.2.

Tabuľka 5.3.2

Y i	r i

Suma: 7,5968

Ukázalo sa, že štandardná chyba aproximácie je oveľa väčšia ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch, takže výsledky aproximácie sa považujú za nevhodné.

Príklad 5.4. Skúsme si priblížiť ešte jednu nelineárnu závislosť
. Podľa vzorcov (5.3.9), (5.3.10), podľa údajov tabuľky 5.3.1 vypočítame koeficienty b 0 A b 1 :

Máme strednú závislosť:

Pomocou vzorcov (5.3.13) vypočítame koeficienty C 0 A C 1 :

Mám konečnú závislosť:

Na výpočet štandardnej chyby vykonáme medzivýpočty a umiestnime ich do tabuľky 5.4.1.

Tabuľka 5.4.1

Y i	r i

Suma: 21,83152

Vypočítajme štandardnú chybu:

Ukázalo sa, že štandardná chyba aproximácie je oveľa väčšia ako v predchádzajúcom príklade, takže výsledky aproximácie sa považujú za nevhodné.

Príklad 5.5. Aproximácia experimentálneho rozdelenia náhodných čísel matematickou závislosťou r = b · lnx

Počiatočné údaje, ako v predchádzajúcich príkladoch, sú uvedené v tabuľke 5.4.1 a na obrázku 5.4.1.

Tabuľka 5.4.1

Na základe analýzy obr. 5.4.1 a tabuľky 5.4.1 si všimneme, že s menšími hodnotami argumentu (na začiatku tabuľky) sa funkcia mení výraznejšie ako s veľkými hodnotami (na koniec tabuľky), preto sa zdá vhodné zmeniť mierku argumentu a zaviesť z nej logaritmickú funkciu do regresnej rovnice a vykonať aproximáciu pomocou nasledujúcej matematickej závislosti:

. Podľa vzorca (5.4.3) vypočítame koeficient b:

Na posúdenie kvality aproximácie vykonáme medzivýpočty uvedené v tabuľke 5.4.2, pomocou ktorých vypočítame chybu a pomer štandardnej chyby k strednej hodnote.

Tabuľka 5.4.2

Keďže je prekročená odporúčaná hodnota 0,05 vo vzťahu k štandardnej chybe k strednej hodnote, výsledok bude považovaný za neuspokojivý. Najmä si všimneme, že najväčšia odchýlka dáva hodnotu x=1, pretože s touto hodnotou lnx=0. Preto vykonáme aproximáciu pomocou závislosti r = b 0 +b 1 lnx

Pomocné výpočty sú uvedené vo forme tabuľky 5.4.3.

Tabuľka 5.4.3

Pomocou vzorcov (5.4.6) a (5.4.7) vypočítame koeficienty b 0 a b 1 :

9 (5;9.12)

4

1 (1;0.93)

1 2 3 4 5 x

Pre posúdenie kvality aproximácie vykonáme pomocné výpočty a určíme úroveň významnosti zistených koeficientov a pomer smerodajnej chyby k strednej hodnote.

Úroveň významnosti mierne nad odporúčanou hodnotou 0,05 (
).

Vzhľadom na to, že pre hlavný ukazovateľ – pomer smerodajnej chyby k strednej hodnote, bolo dosiahnuté takmer dvojnásobné prekročenie odporúčanej úrovne 0,05, budú výsledky považované za prijateľné. Všimnite si, že vypočítaná hodnota Studentovho kritéria t b 0 =2,922 odlišné od kritických
relatívne malé množstvo.

Príklad 5.6. Približme experimentálne údaje z príkladu 5.1 hyperbolickou závislosťou
. Na výpočet koeficientov b 0 a b 1 Vykonajte predbežné výpočty uvedené v tabuľke 5.6.1.

Tabuľka 5.6.1

X i	X i = 1/X i		X i 2	X i r i

Na základe výsledkov tabuľky 5.6.1 pomocou vzorcov (5.4.8) a (5.4.9) vypočítame koeficienty b 0 a b 1 :

Takto sme dostali rovnicu hyperbolickej regresie

.

Výsledky pomocných výpočtov na posúdenie kvality aproximácie sú uvedené v tabuľke 5.6.2.

Tabuľka 5.6.2

X i

Na základe výsledkov tabuľky 5.6.2 vypočítame štandardnú chybu a pomer štandardnej chyby k priemeru:

Vzhľadom na to, že pomer smerodajnej chyby k strednej hodnote presahuje odporúčanú hodnotu 0,05, konštatujeme, že aproximačné výsledky sú nevhodné.

Príklad 5.7.

Na výpočet konkrétnych hodnôt príjmu z prevádzky výložníkových žeriavov v závislosti od času údržby je potrebné získať parabolickú závislosť.

Vypočítajme koeficienty tejto závislosti b 0 , b 1 , b 11 v maticovej forme podľa vzorca:

Nelineárne regresné rovnice týkajúce sa ukazovateľa výkonu s optimálnymi hodnotami práce údržby vežových žeriavov boli získané pomocou postupu viacnásobnej regresie použitého balíka. Programy Statistica 6.0. Ďalej uvádzame výsledky regresnej analýzy pre výsledný ukazovateľ výkonnosti v tabuľke 5.7.1.

Tabuľka 5.7.1

Tabuľka 5.7.2 ukazuje výsledky nelineárnej regresie pre výslednú mieru výkonu a Tabuľka 5.7.3 ukazuje výsledky reziduálnej analýzy.

Tabuľka 5.7.2

Tabuľka 5.7.3

Ryža. 3.7.36. Analýza rezíduí.

Získali sme teda viacnásobnú regresnú rovnicu pre premennú
:

Pomer štandardnej chyby znamená:

14780/1017890=0,0145 < 0,05.

Keďže pomer štandardnej chyby k priemeru nepresahuje odporúčanú hodnotu 0,05, výsledky aproximácie možno považovať za prijateľné. Ako nevýhodu podľa tabuľky 5.7.2 treba poznamenať, že všetky vypočítané koeficienty prekračujú odporúčanú hladinu významnosti 0,05.

Lineárna regresia

Rovnica lineárnej regresie je rovnica priamky, ktorá aproximuje (približne opisuje) vzťah medzi náhodnými premennými X a Y.

Uvažujme náhodnú dvojrozmernú premennú (X, Y), kde -- závisí náhodné premenné. Predstavujeme jednu z veličín ako funkciu druhej. Obmedzíme sa na približnú reprezentáciu množstva ako lineárnej funkcie množstva X:

kde sú parametre, ktoré sa majú určiť. Dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi: najbežnejším z nich je metóda najmenších štvorcov. Funkcia g(x) sa nazýva rms regresia Y na X. Funkcia g(x) sa nazýva rms regresia Y na X.

kde F je celková kvadratická odchýlka.

Volíme a a b tak, aby súčet druhých mocnín odchýlok bol minimálny. Aby sme našli koeficienty a a b, pri ktorých F dosahuje svoju minimálnu hodnotu, prirovnáme parciálne derivácie k nule:

Nájdeme a a b. Po vykonaní elementárnych transformácií dostaneme systém dvoch lineárne rovnice vzhľadom na a a b:

kde je veľkosť vzorky.

V našom prípade A = 3888; B = 549; C=8224; D = 1182, N = 100.

Z tejto lineárnej nájdime a a b. Dostaneme stacionárny bod pre kde 1,9884; 0,8981.

Preto rovnica bude mať tvar:

y = 1,9884x + 0,8981

Ryža. 10

Parabolická regresia

Na základe pozorovaných údajov nájdeme vzorovú rovnicu krivky strednej (v našom prípade parabolickej) regresie. Na určenie p, q, r použijeme metódu najmenších štvorcov.

Obmedzujeme sa na reprezentáciu Y ako parabolickej funkcie X:

kde p, q a r sú parametre, ktoré sa majú určiť. Dá sa to urobiť metódou najmenších štvorcov.

Parametre p, q a r volíme tak, aby súčet kvadrátov odchýlok bol minimálny. Pretože každá odchýlka závisí od hľadaných parametrov, súčet štvorcových odchýlok je tiež funkciou F týchto parametrov:

Aby sme našli minimum, prirovnáme zodpovedajúce parciálne derivácie k nule:

Nájdite p, q a r. Po vykonaní elementárnych transformácií získame systém troch lineárnych rovníc pre p, q a r:

Riešenie tohto systému metódou inverzná matica, dostaneme: p = -0,0085; q = 2,0761;

Preto parabolická regresná rovnica bude mať tvar:

y = -0,0085 x 2 + 2,0761 x + 0,7462

Zostavme parabolickú regresiu. Pre uľahčenie pozorovania bude regresný graf na pozadí bodového grafu (pozri obrázok 13).

Ryža. 13

Teraz nakreslite čiary lineárnej regresie a parabolickej regresie na rovnaký graf pre vizuálne porovnanie (pozri obrázok 14).

Ryža. štrnásť

Lineárna regresia je znázornená červenou farbou, zatiaľ čo parabolická regresia je znázornená modrou farbou. Diagram ukazuje, že rozdiel je v tomto prípade väčší ako pri porovnaní dvoch lineárnych regresných čiar. Je potrebný ďalší výskum, ktorá regresia najlepšie vyjadruje vzťah medzi x a y, teda aký typ vzťahu medzi x a y.