Lineárna funkcia a jej graf. Lineárna funkcia a jej graf Ochrana osobných údajov

Aký je dôvod jeho názvu. Ide o reálnu funkciu jednej reálnej premennej.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Ak všetky premenné x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle x_(1),x_(2),\bodky ,x_(n)) a koeficienty a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\bodky ,a_(n)) sú reálne čísla, potom graf lineárnej funkcie v (n + 1) (\displaystyle (n+1))-rozmerný priestor premenných x 1 , x 2 , … , x n , y (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n),y) je n (\displaystyle n)-rozmerná nadrovina

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + anxn (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\bodky +a_ (n)x_(n))

  najmä keď n = 1 (\displaystyle n=1)- priamka na rovine.

  abstraktná algebra

  Termín „lineárna funkcia“ alebo presnejšie „lineárna homogénna funkcia“ sa často používa na lineárne zobrazenie vektorového priestoru. X (\displaystyle X) cez nejaké pole k (\displaystyle k) v tomto poli, teda pre takéto zobrazenie f: X → k (\displaystyle f:X\to k), ktorý pre ľubovoľné prvky x , y ∈ X (\displaystyle x,y\in X) a akékoľvek α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k) spravodlivá rovnosť

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))

  okrem toho sa v tomto prípade namiesto pojmu „lineárna funkcia“ používajú aj pojmy lineárna funkčná a lineárna forma – tiež vo význame lineárna homogénne funkcie určitej triedy.

  Pojem numerickej funkcie. Spôsoby nastavenia funkcie. Vlastnosti funkcie.

  Číselná funkcia je funkcia, ktorá pôsobí z jedného číselného priestoru (množiny) do iného číselného priestoru (množiny).

  Existujú tri hlavné spôsoby definovania funkcie: analytická, tabuľková a grafická.

  1. Analytický.

  Metóda určenia funkcie pomocou vzorca sa nazýva analytická. Táto metóda je hlavná v podložke. analýzy, ale v praxi to nie je pohodlné.

  2. Tabuľkový spôsob nastavenia funkcie.

  Funkciu je možné definovať pomocou tabuľky obsahujúcej hodnoty argumentov a im zodpovedajúce funkčné hodnoty.

  3. Grafický spôsob nastavenia funkcie.

  Funkcia y \u003d f (x) sa volá graficky, ak je vytvorený jej graf. Tento spôsob nastavenia funkcie umožňuje určiť hodnoty funkcie len približne, keďže zostrojenie grafu a nájdenie hodnôt funkcie na ňom je spojené s chybami.

  Vlastnosti funkcie, ktoré treba brať do úvahy pri vykresľovaní jej grafu:

  1) Rozsah funkcie.

  Rozsah funkcií, teda tie hodnoty, ktoré môže nadobudnúť argument x funkcie F =y (x).

  2) Intervaly rastúcej a klesajúcej funkcie.

  Funkcia sa nazýva zvyšovanie na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sa z uvažovaného intervalu prevezmú dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2 a x 1 > x 2, potom y (x 1) > y (x 2).

  Funkcia sa nazýva klesajúca na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sa z uvažovaného intervalu prevezmú dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

  3) Funkčné nuly.

  Body, v ktorých funkcia F \u003d y (x) pretína os x (získajú sa riešením rovnice y (x) \u003d 0) a nazývajú sa nuly funkcie.

  4) Párne a nepárne funkcie.

  Funkcia sa nazýva párna, ak pre všetky hodnoty argumentu z rozsahu

  
  
  

  y(-x) = y(x).

  Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y.

  Funkcia sa nazýva nepárna, ak pre všetky hodnoty argumentu z rozsahu

  y(-x) = -y(x).

  Graf párnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.

  Mnohé funkcie nie sú ani párne, ani nepárne.

  5) Periodicita funkcie.

  Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje číslo P také, že pre všetky hodnoty argumentu z domény definície

  y(x + P) = y(x).

  
  

  Lineárna funkcia, jej vlastnosti a graf.

  Lineárna funkcia je funkciou formy y = kx + b, definované na množine všetkých reálnych čísel.

  k– faktor sklonu (skutočné číslo)

  b- voľný termín (reálne číslo)

  X je nezávislá premenná.

  · V konkrétnom prípade, ak k = 0, dostaneme konštantnú funkciu y = b, ktorej grafom je priamka rovnobežná s osou Ox, prechádzajúca bodom so súradnicami (0; b).

  · Ak b = 0, tak dostaneme funkciu y = kx, čo je priama úmernosť.

  o Geometrický význam koeficientu b je dĺžka segmentu, ktorý priamka odreže pozdĺž osi Oy, počítajúc od začiatku.

  o Geometrický význam koeficientu k je uhol sklonu priamky ku kladnému smeru osi Ox, uvažuje sa proti smeru hodinových ručičiek.

  Vlastnosti lineárnej funkcie:

  1) Definičný obor lineárnej funkcie je celá reálna os;

  2) Ak k ≠ 0, potom rozsahom lineárnej funkcie je celá reálna os.

  Ak k = 0, potom rozsah lineárnej funkcie pozostáva z čísla b;

  3) Rovnomernosť a nepárnosť lineárnej funkcie závisí od hodnôt koeficientov k a b.

  a) b ≠ 0, k = 0, teda y = b je párne;

  b) b = 0, k ≠ 0, teda y = kx je nepárne;

  c) b ≠ 0, k ≠ 0, teda y = kx + b je všeobecná funkcia;

  d) b = 0, k = 0, teda y = 0 je párna aj nepárna funkcia.

  4) Lineárna funkcia nemá vlastnosť periodicity;

  5) Priesečníky so súradnicovými osami:

  Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, preto (-b / k; 0) je priesečník s osou x.

  Oy: y = 0k + b = b, teda (0; b) je priesečník s osou y.

  Komentujte. Ak b = 0 ak = 0, potom funkcia y = 0 zmizne pre akúkoľvek hodnotu x. Ak b ≠ 0 a k = 0, potom funkcia y = b nezaniká pre žiadne hodnoty premennej x.

  6) Intervaly stálosti znamienka závisia od koeficientu k.

  a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

  y = kx + b je kladné pre x od (-b/k; +∞),

  y = kx + b je záporné pre x od (-∞; -b/k).

  b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

  y = kx + b je kladné pre x od (-∞; -b/k),

  y = kx + b je záporné pre x od (-b/k; +∞).

  c) k = 0, b > 0; y = kx + b je kladné v celej doméne,

  k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

  7) Intervaly monotónnosti lineárnej funkcie závisia od koeficientu k.

  k > 0, teda y = kx + b sa zvyšuje v celej doméne,

  k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

  11. Funkcia y \u003d ax 2 + bx + c, jej vlastnosti a graf.

  Funkcia y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c sú konštantné hodnoty, a ≠ 0) sa nazýva kvadratický. V najjednoduchšom prípade, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), je graf zakrivená čiara prechádzajúca počiatkom. Krivka slúžiaca ako graf funkcie y \u003d ax 2 je parabola. Každá parabola má os symetrie tzv os paraboly. Bod O priesečníka paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly.

  Graf je možné zostaviť podľa nasledujúcej schémy: 1) Nájdite súradnice vrcholu paraboly x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Postavíme niekoľko ďalších bodov, ktoré patria do paraboly, pri zostavovaní môžete použiť symetriu paraboly vzhľadom na priamku x = -b / 2a. 3) Naznačené body spojíme hladkou čiarou. Príklad. Zostrojte graf funkcie v \u003d x 2 + 2x - 3. Riešenia. Grafom funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor. Abscisa vrcholu paraboly x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, jej súradnice y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Takže vrchol paraboly je bod (-1; -4). Urobme tabuľku hodnôt pre niekoľko bodov, ktoré sa nachádzajú napravo od osi symetrie paraboly - priamka x = -1. Vlastnosti funkcie.

  Definícia lineárnej funkcie

  Uveďme definíciu lineárneho funkcie

  Definícia

  Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.

  Graf lineárnej funkcie je priamka. Číslo $k$ sa nazýva sklon čiary.

  Pre $b=0$ sa lineárna funkcia nazýva funkcia priama úmernosť$y=kx$.

  Zvážte obrázok 1.

  Ryža. jeden. Geometrické význam sklon priamky

  Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $BC=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:

  \ \

  Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:

  \[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

  Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.

  Z toho možno vyvodiť nasledujúci záver:

  Záver

  Geometrický význam koeficientu $k$. Sklon priamky $k$ sa rovná dotyčnici sklonu tejto priamky k osi $Ox$.

  Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu

  Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.

  1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. Preto sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
  2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
  3. Graf (obr. 2).

  

  Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.

  Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k

  1. Rozsah sú všetky čísla.
  2. Rozsah sú všetky čísla.
  3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
  4. Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Pre $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

  Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$

  1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
  2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
  3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
  4. Graf (obr. 3).