Ktorý mechanický systém sa nazýva nestabilný. Rovnováha mechanického systému. Rovnovážné podmienky pre mechanické systémy

Je známe, že pre rovnováhu systému s ideálnymi obmedzeniami je potrebné a dostatočné, aby resp. (7)

Pretože variácie generalizovaných súradníc sú na sebe nezávislé a vo všeobecnom prípade nie sú rovné nule, je potrebné, aby
,
,…,
.

Pre rovnováhu systému s holonomickými obmedzujúcimi, stacionárnymi, ideálnymi obmedzeniami je nevyhnutné a dostatočné, aby všetky zovšeobecnené sily zodpovedajúce zvoleným generalizovaným súradniciam boli rovné nule.

Prípad potenciálnych síl:

Ak je systém v potenciálnom silovom poli, potom

,
,…,

,
,…,

To znamená, že rovnovážné polohy systému môžu byť len pre tie hodnoty generalizovaných súradníc, pri ktorých funguje sila U a potenciálna energia NS majú extrémne hodnoty ( max alebo min).

Pojem rovnovážnej stability.

Po určení polôh, v ktorých môže byť systém v rovnováhe, je možné určiť, ktoré z týchto polôh sú realizovateľné a ktoré nerealizovateľné, to znamená určiť, ktorá poloha je stabilná a ktorá nestabilná.

Vo všeobecnosti nevyhnutné znak rovnovážnej stability podľa Lyapunova možno formulovať nasledovne:

Vyveďme systém z rovnovážnej polohy nahlásením malých hodnôt modulu zovšeobecnených súradníc a ich rýchlostí. Ak po ďalšom zvážení systému zovšeobecnené súradnice a ich rýchlosti zostanú malé, to znamená, že sa systém nebude odchyľovať ďaleko od rovnovážnej polohy, potom je takáto rovnovážna poloha stabilná.

Dostatočná podmienka rovnovážnej stability systém je určený Lagrangeova-Dirichletova veta :

Ak v stave rovnováhy mechanického systému s ideálnymi spojmi má potenciálna energia minimálnu hodnotu, potom je takáto rovnovážna poloha stabilná.

,
- stabilný.

Táto prednáška sa zameriava na nasledujúce problémy:

1. Rovnovážné podmienky pre mechanické systémy.

2. Stabilita rovnováhy.

3. Príklad stanovenia rovnovážnych polôh a štúdium ich stability.

Štúdium týchto otázok je nevyhnutné na štúdium oscilačných pohybov mechanického systému vzhľadom na rovnovážnu polohu v disciplíne „Časti strojov“, na riešenie problémov v odboroch „Teória strojov a mechanizmov“ a „Odolnosť materiálov“.

Dôležitým prípadom pohybu mechanických systémov je ich oscilačný pohyb. Oscilácie sú opakujúce sa pohyby mechanického systému vzhľadom na určitú jeho polohu, ktoré sa v čase vyskytujú viac -menej pravidelne. Predmetová práca skúma oscilačný pohyb mechanického systému vzhľadom na rovnovážnu polohu (relatívnu alebo absolútnu).

Mechanický systém môže vibrovať dostatočne dlho iba v blízkosti stabilnej rovnovážnej polohy. Preto pred zostavením rovníc oscilačného pohybu je potrebné nájsť rovnovážné polohy a skúmať ich stabilitu.

Rovnovážné podmienky pre mechanické systémy.

Podľa zásady možných posunov (základná statická rovnica) na to, aby bol mechanický systém, na ktorý sú kladené ideálne, stacionárne, pridržiavacie a holonomické obmedzenia, v rovnováhe, je potrebné a dostatočné, aby boli všetky zovšeobecnené sily rovná nule v tomto systéme:

kde - zodpovedajúca generalizovaná sila j - generalizovaná súradnica;

s- počet generalizovaných súradníc v mechanickom systéme.

Ak pre študovaný systém boli diferenciálne pohybové rovnice zostavené vo forme Lagrangeových rovníc druhého druhu, potom na určenie možných rovnovážnych polôh stačí zovšeobecniť sily na nulu a výsledné rovnice vyriešiť vzhľadom na zovšeobecnené súradnice.

Ak je mechanický systém v potenciálnom silovom poli v rovnováhe, potom z rovníc (1) získame nasledujúce podmienky rovnováhy:

Preto má v rovnovážnej polohe potenciálna energia extrémnu hodnotu. Nie každá rovnováha definovaná vyššie uvedenými vzorcami sa dá v praxi realizovať. V závislosti od správania systému pri odchýlke od rovnovážnej polohy sa hovorí o stabilite alebo nestabilite tejto polohy.

Stabilné vyváženie

Definícia pojmu stability rovnovážnej polohy bola uvedená v neskorý XIX storočia v dielach ruského vedca A.M. Lyapunova. Uvažujme o tejto definícii.

Na zjednodušenie výpočtov sa ďalej dohodneme na zovšeobecnených súradniciach q 1 , q 2 ,...,q s počítať z rovnovážnej polohy systému:

kde

Rovnovážna poloha sa nazýva stabilná, ak je určená ľubovoľne malým počtommôžete nájsť také odlišné číslo , že v prípade, že počiatočné hodnoty generalizovaných súradníc a rýchlostí neprekročia:

hodnoty generalizovaných súradníc a rýchlostí počas ďalšieho pohybu systému neprekročia .

Inými slovami, rovnovážna poloha systému q 1 = q 2 = ...= q s = Volá sa 0 udržateľné ak je možné vždy nájsť také dostatočne malé počiatočné hodnotypri ktorom pohyb systémuneopustí žiadne dané ľubovoľne malé susedstvo rovnovážnej polohy... V prípade systému s jedným stupňom voľnosti je možné stabilný pohyb systému vizualizovať vo fázovej rovine (obr. 1).Pre stabilnú rovnovážnu polohu je pohyb reprezentujúceho bodu začínajúci v danej oblasti [ ] , v budúcnosti neprekročí túto oblasť.

Obr

Rovnovážna poloha sa nazýva asymptoticky stabilný , ak sa systém časom priblíži k rovnovážnej polohe, tzn

Stanovenie podmienok stability pre rovnovážnu polohu je dosť ťažký problém, preto sa obmedzujeme na najjednoduchší prípad: štúdium rovnovážnej stability konzervatívnych systémov.

Stanovia sa dostatočné podmienky pre stabilitu rovnovážnych polôh pre takéto systémy Lagrangeova - Dirichletova veta : rovnovážna poloha konzervatívneho mechanického systému je stabilná, ak v rovnovážnej polohe má potenciálna energia systému izolované minimum .

Potenciálna energia mechanického systému je určená s konštantou. Vyberme túto konštantu tak, aby v rovnovážnej polohe bola potenciálna energia rovná nule:

P (0) = 0.

Potom pre systém s jedným stupňom voľnosti bude podmienkou dostatočná podmienka existencie izolovaného minima spolu s nevyhnutnou podmienkou (2)

Pretože v rovnovážnej polohe má potenciálna energia izolované minimum a P (0) = 0 , potom v nejakom konečnom susedstve tejto polohy

П (q) = 0.

Volajú sa funkcie, ktoré majú konštantný znak a sú rovné nule iba pre nulové hodnoty všetkých ich argumentov jednoznačný... V dôsledku toho, aby bola rovnovážna poloha mechanického systému stabilná, je potrebné a dostatočné, aby v blízkosti tejto polohy bola potenciálna energia pozitívnou určitou funkciou zovšeobecnených súradníc.

Pre lineárne systémy a pre systémy, ktoré je možné redukovať na lineárne pre malé odchýlky od rovnovážnej polohy (linearizované), môže byť potenciálna energia reprezentovaná vo forme kvadratickej formy generalizovaných súradníc.

kde - generalizované koeficienty tuhosti.

Zovšeobecnené koeficientysú konštantné čísla, ktoré je možné určiť priamo z expanzie potenciálnej energie v sérii alebo z hodnôt druhých derivátov potenciálnej energie vzhľadom na generalizované súradnice v rovnovážnej polohe:

Zo vzorca (4) vyplýva, že generalizované koeficienty tuhosti sú symetrické vzhľadom na indexy

Pre tak to dostatočné podmienky stabilita rovnovážnej polohy, potenciálna energia by mala byť pozitívnou definitívnou kvadratickou formou jej generalizovaných súradníc.

V matematike existuje Silvesterovo kritérium poskytnutie potrebných a dostatočných podmienok pre pozitívnu definitivitu kvadratických foriem: kvadratická forma (3) bude kladná definitívna, ak bude determinant zložený z jej koeficientov a všetkých jej hlavných diagonálnych vedľajších činiteľov kladný, t.j. ak koeficienty splní podmienky

.....

Najmä pre lineárny systém s dvoma stupňami voľnosti budú mať potenciálna energia a podmienky Sylvestrovho kritéria formu

Podobným spôsobom je možné študovať polohy relatívnej rovnováhy, ak je namiesto potenciálnej energie zavedená potenciálna energia redukovaného systému.

NS Príklad určovania rovnovážnych polôh a skúmania ich stability

Obr

Zvážte mechanický systém pozostávajúci z trubice AB, ktorý je pivot OO 1 spojené s horizontálnou osou otáčania, a loptička, ktorá sa pohybuje rúrkou bez trenia a je spojená s bodom A rúrka s pružinou (obr. 2). Určme rovnovážné polohy systému a odhadnime ich stabilitu pre nasledujúce parametre: dĺžka trubice l 2 = 1 m , dĺžka tyče l 1 = 0,5 m . dĺžka nedeformovanej pružiny l 0 = 0,6 m, pružina c= 100 N / m. Hmotnosť trubice m 2 = 2 kg, prúty - m 1 = 1 kg a lopta - m 3 = 0,5 kg. Vzdialenosť OA rovná sa l 3 = 0,4 m.

Poznamenajme si výraz pre potenciálnu energiu uvažovaného systému. Skladá sa z potenciálnej energie troch telies v rovnomernom gravitačnom poli a potenciálnej energie deformovanej pružiny.

Potenciálna energia telesa v gravitačnom poli sa rovná súčinu hmotnosti tela výškou jeho ťažiska nad rovinou, v ktorej je potenciálna energia považovaná za nulovú. Nech je potenciálna energia nulová v rovine prechádzajúcej osou otáčania tyče OO 1, potom pre gravitáciu

Pre elastickú silu je potenciálna energia určená veľkosťou deformácie

Nájdeme možné rovnovážné polohy systému. Hodnoty súradníc v rovnovážnych polohách sú koreňmi nasledujúceho systému rovníc.

Podobný systém rovníc je možné zostaviť pre akýkoľvek mechanický systém s dvoma stupňami voľnosti. V niektorých prípadoch je možné získať presné riešenie systému. V prípade systému (5) také riešenie neexistuje, preto treba hľadať korene pomocou numerických metód.

Riešením systému transcendentálnych rovníc (5) získame dve možné rovnovážne polohy:

Na posúdenie stability získaných rovnovážnych polôh nájdeme všetky druhé deriváty potenciálnej energie vzhľadom na zovšeobecnené súradnice a z nich určíme zovšeobecnené koeficienty tuhosti.

Umožňuje analýzu všeobecné vzorce pohybu, ak je známa závislosť potenciálnej energie od súradníc. Uvažujme napríklad o jednorozmernom pohybe hmotného bodu (častice) pozdĺž osi 0x v potenciálnom poli znázornenom na obr. 4.12.

Obrázok 4.12. Pohyb častíc v blízkosti stabilných a nestabilných rovnovážnych polôh

Pretože v homogénnom gravitačnom sile je potenciálna energia úmerná výške vzostupu tela, možno si predstaviť ľadový tobogán (zanedbávajúce trenie) s profilom zodpovedajúcim funkcii N (x) na obrázku.

Zo zákona o zachovaní energie E = K + P a zo skutočnosti, že kinetická energia K = E - P je vždy nezáporný, vyplýva z toho, že častica sa môže nachádzať iba v oblastiach, kde E> P... Na obrázku je častica s plnou energiou E sa môže pohybovať iba v oblastiach

V prvej oblasti bude jeho pohyb obmedzený (konečne): s danou zásobou plná energiačastica nemôže prekonať „sklíčka“ na svojej ceste (nazývajú sa potenciálne bariéry) a je odsúdený navždy zostať v „údolí“ medzi nimi. Navždy - z pohľadu klasickej mechaniky, ktorú teraz študujeme. Na konci kurzu uvidíme, ako kvantová mechanika pomáha častici dostať sa z väzenia v potenciálnej diere - regióne

V druhej oblasti nie je pohyb častice obmedzený (nekonečný), môže sa pohybovať nekonečne ďaleko od pôvodu doprava, ale vľavo je jeho pohyb stále obmedzený potenciálnou bariérou:

Video 4.6. Ukážka konečných a nekonečných pohybov.

V bodoch potenciálneho energetického extrému x MIN a x MAX sila pôsobiaca na častice je nulová, pretože derivácia potenciálnej energie je nulová:

Ak na tieto body umiestnime odpočívajúcu časticu, potom by tam zostala ... opäť navždy, nebyť kolísania jej polohy. V tomto svete nie je nič prísne v pokoji, častica môže zažiť malé odchýlky (výkyvy) z rovnovážnej polohy. V tomto prípade prirodzene vznikajú sily. Ak vrátia časticu do rovnovážnej polohy, potom sa takáto rovnováha nazýva udržateľné... Ak keď sú častice vychýlené, vznikajúce sily ju posunú ešte ďalej od rovnovážnej polohy, potom máme do činenia s nestabilné rovnováhy, a častica v tejto polohe zvyčajne dlho nezostane. Analogicky s klziskom ľadu je možné predpokladať, že pozícia bude stabilná pri minimálnej potenciálnej energii a nestabilná - pri maxime.

Dokážme, že je to skutočne tak. Pre časticu v extrémnom bode x M (x MIN alebo x MAX) sila, ktorá naň pôsobí F x (x M) = 0... Nechajte v dôsledku fluktuácií sa súradnica častíc zmeniť o malé množstvo X... S takouto zmenou súradnice začne sila pôsobiť na časticu

(prvočíslo označuje derivát vzhľadom na súradnicu X). Zvažujem to F x = -П ", získame výraz pre silu

V minimálnom bode je druhá derivácia potenciálnej energie kladná: U "(x MIN)> 0... Potom pre kladné odchýlky od rovnovážnej polohy X > 0 výsledná sila je záporná a pri X<0 sila je kladná. V oboch prípadoch sila bráni zmene súradnice častíc a rovnovážna poloha pri minimálnej potenciálnej energii je stabilná.

Naopak, v maximálnom bode je druhá derivácia záporná: U "(x MAX)<0 ... Potom zvýšenie súradnice častice Δx vedie k vzniku pozitívnej sily, ktorá ďalej zvyšuje odchýlku od rovnovážnej polohy. O X<0 sila je negatívna, to znamená, že v tomto prípade tiež prispieva k ďalšiemu vychýleniu častice. Táto rovnovážna poloha je nestabilná.

Stabilnú rovnovážnu polohu je teda možné nájsť spoločným riešením rovnice a nerovnosti

Video 4.7. Potenciálne diery, potenciálne bariéry a rovnováha: stabilné a nestabilné.

Príklad... Potenciálna energia diatomickej molekuly (napr. H 2 alebo Asi 2) je opísaný výrazom formulára

kde r je vzdialenosť medzi atómami, a A, B- pozitívne konštanty. Určte rovnovážnu vzdialenosť r M medzi atómami molekuly. Je diatomická molekula stabilná?

Riešenie... Prvý termín popisuje odpudzovanie atómov na malé vzdialenosti (molekula odoláva stlačeniu), druhý opisuje príťažlivosť na veľké vzdialenosti (molekula odoláva lámaniu). V súlade s vyššie uvedeným sa rovnovážna vzdialenosť zistí riešením rovnice

Rozlišovaním potenciálnej energie získavame

Teraz nájdeme druhú deriváciu potenciálnej energie

a dosadiť tam hodnotu rovnovážnej vzdialenosti r M :

Rovnovážna poloha je stabilná.

Na obr. 4.13 predstavuje experiment na štúdium potenciálnych kriviek a podmienok rovnováhy lopty. Ak je loptička umiestnená na modeli potenciálnej krivky vo výške väčšej ako je výška potenciálnej bariéry (energia lopty je väčšia ako energia bariéry), potom lopta prekoná potenciálnu bariéru. Ak je počiatočná výška lopty menšia ako výška bariéry, lopta zostane v potenciálnej jamke.

Lopta umiestnená v najvyššom bode potenciálnej bariéry je v nestabilnej rovnováhe, pretože akýkoľvek vonkajší vplyv vedie k prechodu lopty do najnižšieho bodu potenciálnej jamky. V dolnom bode potenciálnej jamky je lopta v stabilnej rovnováhe, pretože akýkoľvek vonkajší vplyv vedie k návratu lopty do dolného bodu potenciálnej jamky.

Ryža. 4.13. Experimentálna štúdia potenciálnych kriviek

Ďalšie informácie

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF - Príloha časopisu „Quant“ - úvahy o stabilnej a nestabilnej rovnováhe (A. Leonovich);

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278-Targ S.M. Krátky kurz teoretickej mechaniky, Vydavateľstvo, Stredná škola, 1986 - s. 11–15, §2 - úvodné ustanovenia statiky.

Predstavujeme rovnice (16) z § 107 a (35) alebo (38) v tvare:

Ukážme, že z týchto rovníc, ktoré sú dôsledkom zákonov uvedených v § 74, sú získané všetky pôvodné výsledky statiky.

1. Ak je mechanický systém v pokoji, potom sú rýchlosti všetkých jeho bodov rovné nule, a teda kde O je akýkoľvek bod. Potom rovnice (40) poskytujú:

Podmienky (40) sú teda nevyhnutné podmienky pre rovnováhu akéhokoľvek mechanického systému. Tento výsledok obsahuje predovšetkým zásadu tuhnutia formulovanú v § 2.

Ale pre akékoľvek systémové podmienky (40) zjavne nie sú dostatočné rovnovážne podmienky. Napríklad, ak je to znázornené na obr. 274 bodov a sú voľné, potom sa môžu pôsobením síl pohybovať k sebe, aj keď podmienky (40) pre tieto sily budú splnené.

Potrebné a dostatočné podmienky pre rovnováhu mechanického systému budú stanovené v častiach 139 a 144.

2. Dokážme, že podmienky (40) sú nielen nevyhnutné, ale aj dostatočné rovnovážne podmienky pre sily pôsobiace na absolútne tuhé teleso. Nechajte sústavu síl, aby začala pôsobiť na voľné tuhé teleso v pokoji, pričom spĺňa podmienky (40), kde O je ľubovoľný bod, t.j. najmä bod C. Potom dajú rovnice (40), a pretože teleso bolo pôvodne na odpočinok, potom V bode C je nehybný a telo môže mať rotáciu iba s uhlovou rýchlosťou c okolo nejakej okamžitej osi (pozri § 60). Potom podľa vzorca (33) bude telo mať. Existuje však projekcia vektora na os, a pretože z toho a odkiaľ to vyplýva, a teda keď sú splnené podmienky (40), telo zostane v pokoji.

3. Z predchádzajúcich výsledkov vyplývajú najmä počiatočné polohy 1 a 2, formulované v § 2, pretože je zrejmé, že dve sily znázornené na obr. 2, spĺňajú podmienky (40) a sú vyvážené, a že ak k silám pôsobiacim na telo pripočítame (alebo od nich odčítame) vyvážený systém síl, tj. Podmienky (40), potom ani tieto podmienky, ani rovnice (40 ), určovanie pohybu tela sa nezmení.

Budem uvažovať o materiálnom bode, ktorého pohyb je obmedzený tak, že má iba jeden stupeň voľnosti.

To znamená, že jeho polohu je možné určiť pomocou jednej veličiny, napríklad súradnice x. Príkladom je guľa kĺzajúca sa bez trenia na drôte nehybne upevnenom, ohnutom vo zvislej rovine (obr. 26.1, a).

Ďalším príkladom je guľa pripevnená na konci pružiny, kĺzajúca bez trenia k vodorovnému vodidlu (obr. 26.2, a).

Na loptu pôsobí konzervatívna sila: v prvom prípade je to gravitačná sila, v druhom pružná sila deformovanej pružiny. Grafy potenciálnej energie sú znázornené na obr. 26.1, b a 26.2, b.

Pretože sa loptičky pohybujú po drôte bez trenia, sila, ktorou drôt pôsobí na loptu, je v oboch prípadoch kolmá na rýchlosť lopty, a preto na loptu nepôsobí. Úspora energie preto prebieha:

Z (26.1) vyplýva, že kinetická energia sa môže zvýšiť iba v dôsledku poklesu zábavnej energie. Preto ak je lopta v takom stave, že jej rýchlosť je nulová a potenciálna energia má minimálnu hodnotu, potom sa bez vonkajšieho vplyvu nebude môcť pohybovať, to znamená, že bude v rovnováhe.

Minimum U zodpovedá hodnotám v grafoch rovnakých (na obr. 26.2 je dĺžka nedeformovanej skupiny) Podmienka minimálnej potenciálnej energie má tvar

V súlade s t (22.4) je podmienka (26.2) ekvivalentná skutočnosti, že

(v prípade, keď U je funkciou iba jednej premennej). Poloha zodpovedajúca minimu potenciálnej energie má teda tú vlastnosť, že sila pôsobiaca na telo je nulová.

V prípade znázornenom na obr. 26.1, podmienky (26.2) a (26.3) sú tiež splnené pre x rovnajúce sa (t.j. pre maximum U). Poloha gule určená touto hodnotou bude tiež v rovnováhe. Avšak táto rovnováha, na rozdiel od rovnováhy pri, bude nestabilná: stačí mierne vyviesť loptu z tejto polohy, pretože vzniká sila, ktorá loptičku z polohy vyberie. Sily vyplývajúce z posunutia gule zo stabilnej rovnovážnej polohy (pre ktorú) sú nasmerované tak, že majú tendenciu vrátiť loptu do rovnovážnej polohy.

Keď poznáme formu funkcie t, ktorá vyjadruje potenciálnu energiu, je možné vyvodiť niekoľko záverov o povahe pohybu súčiastky. Vysvetlíme to pomocou grafu zobrazeného na obr. 26,1, b. Ak má celková energia hodnotu uvedenú na obrázku, potom sa častica môže pohybovať buď v rozmedzí od do alebo v rozsahu od do nekonečna. Častica nemôže preniknúť do oblasti, pretože potenciálna energia nemôže byť väčšia ako celková energia (ak by sa to stalo, kinetická energia by sa stala negatívnou). Región je teda potenciálnou bariérou, cez ktorú častica nemôže preniknúť, pričom má danú zásobu celkovej energie. Táto oblasť sa nazýva potenciálna jama.

Ak sa častica počas pohybu nemôže vzdialiť do nekonečna, pohyb sa nazýva konečný. Ak môže častica ísť ľubovoľne ďaleko, pohyb sa nazýva nekonečný. Častica v potenciálnej vrte robí konečný pohyb. Pohyb častice s negatívnou celkovou energiou v centrálnom poli atraktívnych síl bude tiež konečný (predpokladá sa, že potenciálna energia mizne v nekonečne).