Ako skontrolovať paritu funkcie. Funkčné vlastnosti. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému

dokoncaak pre všetky \\ (x \\) z jeho domény platí: \\ (f (-x) \u003d f (x) \\).

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi \\ (y \\):

Príklad: funkcia \\ (f (x) \u003d x ^ 2 + \\ cos x \\) je párna, pretože \\ (f (-x) \u003d (- x) ^ 2 + \\ cos ((- x)) \u003d x ^ 2 + \\ cos x \u003d f (x) \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Je volaná funkcia \\ (f (x) \\) zvláštnyak pre všetky \\ (x \\) z jeho domény platí: \\ (f (-x) \u003d - f (x) \\).

Graf nepárnej funkcie je symetrický k pôvodu:

Príklad: funkcia \\ (f (x) \u003d x ^ 3 + x \\) je nepárna, pretože \\ (f (-x) \u003d (- x) ^ 3 + (- x) \u003d - x ^ 3-x \u003d - (x ^ 3 + x) \u003d - f (x) \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne, sa nazývajú všeobecné funkcie. Takáto funkcia môže byť vždy jedinečne reprezentovaná ako súčet párnej a nepárnej funkcie.

Napríklad funkcia \\ (f (x) \u003d x ^ 2-x \\) je súčtom párnej funkcie \\ (f_1 \u003d x ^ 2 \\) a nepárneho \\ (f_2 \u003d -x \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Niektoré vlastnosti:

1) Súčin a kvocient dvoch funkcií rovnakej parity je párna funkcia.

2) Súčin a kvocient dvoch funkcií s rozdielnou paritou je nepárna funkcia.

3) Súčet a rozdiel párnych funkcií je párna funkcia.

4) Súčet a rozdiel nepárnych funkcií je nepárna funkcia.

5) Ak je \\ (f (x) \\) párna funkcia, potom rovnica \\ (f (x) \u003d c \\ (c \\ v \\ mathbb (R) \\)) má jedinečný koreň práve vtedy, keď, keď \\ (x \u003d 0 \\).

6) Ak \\ (f (x) \\) je párna alebo nepárna funkcia a rovnica \\ (f (x) \u003d 0 \\) má koreň \\ (x \u003d b \\), potom bude mať táto rovnica nevyhnutne druhú root \\ (x \u003d -b \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Funkcia \\ (f (x) \\) sa nazýva periodická na \\ (X \\), ak pre nejaké číslo \\ (T \\ ne 0 \\) \\ (f (x) \u003d f (x + T ) \\), kde \\ (x, x + T \\ v X \\). Najmenšie \\ (T \\), pre ktoré platí táto rovnosť, sa nazýva hlavné (hlavné) obdobie funkcie.

Periodická funkcia má ľubovoľné číslo v tvare \\ (nT \\), kde \\ (n \\ v \\ mathbb (Z) \\) bude tiež bodka.

Príklad: ľubovoľná trigonometrická funkcia je periodická;
funkcie \\ (f (x) \u003d \\ sin x \\) a \\ (f (x) \u003d \\ cos x \\) majú hlavnú periódu \\ (2 \\ pi \\), pre funkcie \\ (f (x) \u003d \\ mathrm (tg) \\, x \\) a \\ (f (x) \u003d \\ mathrm (ctg) \\, x \\) hlavné obdobie je \\ (\\ pi \\).

Ak chcete zostaviť graf periodickej funkcie, môžete vytvoriť jeho graf na ľubovoľnom segmente dĺžky \\ (T \\) (hlavné obdobie); potom sa graf celej funkcie ukončí posunutím zostrojenej časti o celočíselný počet období vpravo a vľavo:

\\ (\\ blacktriangleright \\) Doména \\ (D (f) \\) funkcie \\ (f (x) \\) je množina pozostávajúca zo všetkých hodnôt \\ (x \\), pre ktoré má funkcia význam (je definovaná) ).

Príklad: funkcia \\ (f (x) \u003d \\ sqrt x + 1 \\) má rozsah: \\ (x \\ in

Úloha 1 # 6364

Úroveň zadania: Rovná sa skúške

Pre aké hodnoty parametra \\ (a \\) platí rovnica

má jediné riešenie?

Všimnite si, že keďže \\ (x ^ 2 \\) a \\ (\\ cos x \\) sú párne funkcie, potom ak má rovnica koreň \\ (x_0 \\), bude mať aj koreň \\ (- x_0 \\).
Nech je v skutočnosti \\ (x_0 \\) koreň, to znamená rovnosť \\ (2x_0 ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x_0) + a ^ 2 \u003d 0 \\) správny. Náhradník \\ (- x_0 \\): \\ (2 (-x_0) ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos (-x_0)) + a ^ 2 \u003d 2x_0 ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x_0) + a ^ 2 \u003d 0 \\).

Ak teda \\ (x_0 \\ ne 0 \\), potom bude mať rovnica už najmenej dva korene. Preto \\ (x_0 \u003d 0 \\). Potom:

Dostali sme dve hodnoty pre parameter \\ (a \\). Všimnite si, že sme použili skutočnosť, že \\ (x \u003d 0 \\) je presne koreňom pôvodnej rovnice. Ale nikdy sme nepoužili skutočnosť, že je jediný. Preto je potrebné výsledné hodnoty parametra \\ (a \\) dosadiť do pôvodnej rovnice a skontrolovať, pre ktoré bude \\ (a \\) koreň \\ (x \u003d 0 \\) skutočne jedinečný.

1) Ak \\ (a \u003d 0 \\), potom rovnica má tvar \\ (2x ^ 2 \u003d 0 \\). Je zrejmé, že táto rovnica má iba jeden koreň \\ (x \u003d 0 \\). Preto nám hodnota \\ (a \u003d 0 \\) vyhovuje.

2) Ak \\ (a \u003d - \\ mathrm (tg) \\, 1 \\), potom má rovnica tvar \ Rovnicu prepíšeme na \ Ako \\ (- 1 \\ leqslant \\ cos x \\ leqslant 1 \\)potom \\ (- \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ leqslant \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x) \\ leqslant \\ mathrm (tg) \\, 1 \\)... Preto hodnoty pravej strany rovnice (*) patria do segmentu \\ ([- \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1; \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1] \\).

Pretože \\ (x ^ 2 \\ geqslant 0 \\), ľavá strana rovnice (*) je väčšia alebo rovná \\ (0+ \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\).

Rovnosť (*) teda môže platiť, iba ak sú obidve strany rovnice \\ (\\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\). To znamená, že \\ [\\ begin (prípady) 2x ^ 2 + \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \u003d \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\\\ \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ cdot \\ mathrm (tg) \\ , (\\ cos x) \u003d \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\ end (prípady) \\ quad \\ Leftrowarrow \\ quad \\ begin (prípady) x \u003d 0 \\\\ \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x) \u003d \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ koniec (prípady) \\ quad \\ šípka doľava \\ quad x \u003d 0 \\] Preto nám vyhovuje hodnota \\ (a \u003d - \\ mathrm (tg) \\, 1 \\).

Odpoveď:

\\ (a \\ in \\ (- \\ mathrm (tg) \\, 1; 0 \\) \\)

Úloha 2 # 3923

Úroveň zadania: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \\ (a \\), pre každú z nich je graf funkcie \

symetrické o pôvode.

Ak je graf funkcie symetrický k počiatku, potom je takáto funkcia nepárna, to znamená, že \\ (f (-x) \u003d - f (x) \\) platí pre ľubovoľné \\ (x \\) z domény domény funkcia. Preto je potrebné vyhľadať tie hodnoty parametra, pre ktoré \\ (f (-x) \u003d - f (x). \\)

\\ [\\ begin (zarovnaný) & 3 \\ mathrm (tg) \\, \\ left (- \\ dfrac (ax) 5 \\ right) +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4 \u003d - \\ left (3 \\ mathrm (tg) \\, \\ doľava (\\ dfrac (sekera) 5 \\ doprava) +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ doprava) \\ quad \\ Rightarrow \\ quad -3 \\ mathrm (tg) \\, \\ dfrac (sekera) 5 + 2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4 \u003d - \\ doľava (3 \\ mathrm (tg) \\, \\ doľava (\\ dfrac (sekera) 5 \\ doprava) +2) \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ vpravo) \\ quad \\ Rightarrow \\\\ \\ Rightarrow \\ quad & \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4+ \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a - 3x) 4 \u003d 0 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad2 \\ sin \\ dfrac12 \\ left (\\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4+ \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ right) \\ cdot \\ cos \\ dfrac12 \\ left (\\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4- \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ right) \u003d 0 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad \\ sin (2 \\ pi a) \\ cdot \\ cos \\ frac34 x \u003d 0 \\ end (zarovnaný) \\]

Posledná rovnica musí byť splnená pre všetky \\ (x \\) z domény \\ (f (x) \\), preto \\ (\\ sin (2 \\ pi a) \u003d 0 \\ Rightarrow a \u003d \\ dfrac n2, n \\ in \\ mathbb (Z) \\).

Odpoveď:

\\ (\\ dfrac n2, n \\ v \\ mathbb (Z) \\)

Úloha 3 # 3069

Úroveň zadania: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \\ (a \\), pre každé z ktorých má rovnica \\ 4 riešenia, kde \\ (f \\) je rovnomerná periodická funkcia s bodkou \\ (T \u003d \\ dfrac (16) 3 \\ ) definované v celom číselnom rade a \\ (f (x) \u003d ax ^ 2 \\) pre \\ (0 \\ leqslant x \\ leqslant \\ dfrac83. \\)

(Úloha od predplatiteľov)

Úloha 4 # 3072

Úroveň zadania: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty \\ (a \\), pre každú z nich rovnicu \

má aspoň jeden koreň.

(Úloha od predplatiteľov)

Rovnicu prepíšeme na \ a zvážte dve funkcie: \\ (g (x) \u003d 7 \\ sqrt (2x ^ 2 + 49) \\) a \\ (f (x) \u003d 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \\ ).
Funkcia \\ (g (x) \\) je párna, má minimálny bod \\ (x \u003d 0 \\) (navyše \\ (g (0) \u003d 49 \\)).
Funkcia \\ (f (x) \\) klesá pre \\ (x\u003e 0 \\) a pre \\ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
V skutočnosti pre \\ (x\u003e 0 \\) sa druhý modul otvorí pozitívne (\\ (| x | \u003d x \\)), preto bude bez ohľadu na to, ako sa prvý modul otvorí, \\ (f (x) \\) rovnaké do \\ (kx + A \\), kde \\ (A \\) je výraz z \\ (a \\) a \\ (k \\) je buď \\ \u200b\u200b(- 9 \\) alebo \\ (- 3 \\). Pre \\ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Nájdite hodnotu \\ (f \\) v maximálnom bode: \\

Aby rovnica mala aspoň jedno riešenie, musia mať grafy funkcií \\ (f \\) a \\ (g \\) aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ Pri riešení tejto sady systémov dostaneme odpoveď: \\]

Odpoveď:

\\ (a \\ v \\ (- 7 \\) \\ šálke \\)

Úloha 5 # 3912

Úroveň zadania: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \\ (a \\), pre každú rovnicu \

má šesť rôznych riešení.

Urobme náhradu \\ ((\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) \u003d t \\), \\ (t\u003e 0 \\). Potom má rovnica tvar \ Postupne si napíšeme podmienky, za ktorých bude mať pôvodná rovnica šesť riešení.
Upozorňujeme, že kvadratická rovnica \\ ((*) \\) môže mať najviac dve riešenia. Akákoľvek kubická rovnica \\ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D \u003d 0 \\) môže mať najviac tri riešenia. Ak má teda rovnica \\ ((*) \\) dve rôzne riešenia (kladné!, Pretože \\ (t \\) musí byť väčšie ako nula) \\ (t_1 \\) a \\ (t_2 \\), potom po vykonaní opačného smeru zmena, dostaneme: \\ [\\ doľava [\\ begin (zhromaždené) \\ begin (zarovnané) & (\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) \u003d t_1 \\\\ & (\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) \u003d t_2 \\ end (zarovnaný) \\ end (zhromaždený) \\ vpravo. \\] Pretože akékoľvek kladné číslo môže byť do istej miery reprezentované ako \\ (\\ sqrt2 \\), napríklad \\ (t_1 \u003d (\\ sqrt2) ^ (\\ log _ (\\ sqrt2) t_1) \\), potom sa prvá rovnica množiny prepíše na \ Ako sme už povedali, akákoľvek kubická rovnica má najviac tri riešenia, preto každá rovnica z množiny bude mať najviac tri riešenia. To znamená, že celá sada nebude mať viac ako šesť riešení.
To znamená, že ak má mať pôvodná rovnica šesť riešení, musí mať kvadratická rovnica \\ ((*) \\) dve rôzne riešenia a každá získaná kubická rovnica (zo súboru) musí mať tri rôzne riešenia (a žiadne riešenie jednej rovnice nemusí byť). sa musí zhodovať s ktorým - alebo rozhodnutím druhého!)
Je zrejmé, že ak má kvadratická rovnica \\ ((*) \\) jedno riešenie, nedostaneme šesť riešení pôvodnej rovnice.

Plán riešenia sa tak stáva jasným. Napíšme si bod po bode podmienky, ktoré musia byť splnené.

1) Aby rovnica \\ ((*) \\) mala dve rôzne riešenia, musí byť jej diskriminátor pozitívny: \

2) Potrebujete tiež, aby obidva korene boli kladné (pretože \\ (t\u003e 0 \\)). Ak je produkt dvoch koreňov pozitívny a ich súčet je pozitívny, potom samotné korene budú pozitívne. Preto potrebujete: \\ [\\ begin (prípady) 12-a\u003e 0 \\\\ - (a-10)\u003e 0 \\ end (prípady) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a<10\]

Preto sme si už poskytli dva rôzne pozitívne korene \\ (t_1 \\) a \\ (t_2 \\).

3) Pozrime sa na takúto rovnicu \ Pre ktoré \\ (t \\) bude mať tri rôzne riešenia?
Zvážte funkciu \\ (f (x) \u003d x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \\).
Môže byť faktorizovaný: \ Preto sú jeho nuly \\ (x \u003d -1; 2 \\).
Ak nájdeme deriváciu \\ (f "(x) \u003d 3x ^ 2-6x \\), dostaneme dva krajné body \\ (x_ (max) \u003d 0, x_ (min) \u003d 2 \\).
Graf teda vyzerá takto:


Vidíme, že ľubovoľná vodorovná čiara \\ (y \u003d k \\), kde \\ (0 \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t \\) mal tri rôzne riešenia, je potrebné \\ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Potrebujete teda: \\ [\\ begin (prípady) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Okamžite si tiež všimnime, že ak sú čísla \\ (t_1 \\) a \\ (t_2 \\) odlišné, potom čísla \\ (\\ log _ (\\ sqrt2) t_1 \\) a \\ (\\ log _ (\\ sqrt2) t_2 \\) budú odlišné, teda rovnice \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t_1 \\) a \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t_2 \\) bude mať nezhodné korene.
Systém \\ ((**) \\) možno prepísať takto: \\ [\\ begin (prípady) 1

Preto sme určili, že obidva korene rovnice \\ ((*) \\) musia ležať v intervale \\ ((1; 4) \\). Ako mám napísať túto podmienku?
Korene nebudeme výslovne vypisovať.
Uvažujme funkciu \\ (g (t) \u003d t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \\). Jeho grafom je parabola s vetvami smerom hore, ktorá má dva priesečníky s osou úsečky (túto podmienku sme napísali v bode 1)). Ako by mal vyzerať jeho graf, aby sa priesečníky s osou úsečky nachádzali v intervale \\ ((1; 4) \\)? Takže:


Po prvé, hodnoty \\ (g (1) \\) a \\ (g (4) \\) funkcie v bodoch \\ (1 \\) a \\ (4 \\) musia byť kladné, a po druhé, vrchol parabola \\ (t_0 \\) musí byť tiež v rozsahu \\ ((1; 4) \\). Preto môžeme napísať systém: \\ [\\ begin (cases) 1 + a-10 + 12-a\u003e 0 \\\\ 4 ^ 2 + (a-10) \\ cdot 4 + 12-a\u003e 0 \\\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Potrebujeme teda pretínať hodnoty parametra \\ (a \\) nájdené v 1., 2. a 3. bode a dostaneme odpoveď: \\ [\\ begin (prípady) a \\ v (- \\ infty; 8-2 \\ sqrt3) \\ pohár (8 + 2 \\ sqrt3; + \\ infty) \\\\ a<10\\ 4

Definícia1. Funkcia sa volá dokonca (zvláštny ), ak spolu s každou hodnotou premennej
hodnota - xtiež patrí
a rovnosť

Funkcia môže byť teda párna alebo nepárna, iba ak je oblasť jej definície symetrická s počiatkom na číselnom rade (čísla xa - xsúčasne patria
). Napríklad funkcia
nie je párne a nepárne, pretože je to doména definície
nie súmerné o pôvode.

Funkcia
dokonca, od
symetrické o pôvode a.

Funkcia
nepárne odvtedy
a
.

Funkcia
nie je párne a nepárne, pretože hoci
a je symetrický vzhľadom na pôvod, rovnosti (11.1) nie sú splnené. Napríklad,.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi OUkeďže keby bod

tiež patrí ku grafike. Graf nepárnej funkcie je symetrický k pôvodu, pretože ak
patrí grafu, potom bodu
patrí tiež ku grafike.

Pri preukazovaní párnych alebo nepárnych funkcií sú užitočné nasledujúce tvrdenia.

Veta1. a) Súčet dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna (nepárna) funkcia.

b) Súčin dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna funkcia.

c) Súčinom párnej a nepárnej funkcie je nepárna funkcia.

d) Ak f- rovnomerná funkcia na televízore Xa funkcia g definované na množine
, potom funkcia
- rovnomerné.

e) Ak f- nepárna funkcia na súprave Xa funkcia g definované na množine
a párne (nepárne), potom funkcia
- Párny Nepárny).

Dôkazy... Dokážme napríklad b) a d).

b) Nech
a
- rovnomerné funkcie. Potom teda. Podobne sa uvažuje aj o prípade nepárnych funkcií
a
.

d) Nech f Je rovnomerná funkcia. Potom.

Zvyšok vety je dokázaný podobne. Veta je dokázaná.

Veta2. Akákoľvek funkcia
definované na množine X, symetrické s počiatkom, možno reprezentovať ako súčet párnych a nepárnych funkcií.

Dôkazy... Funkcia
možno napísať ako

.

Funkcia
- dokonca, od
a funkcia
- zvláštne, pretože. Touto cestou,
kde
- párne, a
- nepárna funkcia. Veta je dokázaná.

Definícia2. Funkcia
zavolal periodicky ak existuje číslo
, také, že pre hocikoho
čísla
a
tiež patrí do domény
a rovnosti držia

Také číslo Tzavolal obdobie funkcie
.

Definícia 1 znamená, že ak T- funkčné obdobie
, potom číslo - Ttiež je obdobie funkcie
(od kedy pri výmene Tna - Trovnosť je zachovaná). Metódou matematickej indukcie možno preukázať, že ak T- funkčné obdobie fpotom
, je tiež obdobím. Z toho vyplýva, že ak má funkcia bodku, potom má nekonečne veľa období.

Definícia3. Najmenšia z kladných periód funkcie sa nazýva jej hlavný obdobie.

Veta3. Ak T- hlavné obdobie funkcie f, potom zostávajúce obdobia sú jej násobky.

Dôkazy... Predpokladajme opak, to znamená, že existuje bodka funkcie f (\u003e 0), nie viacnásobné T... Potom rozdelenie na Tso zvyškom dostaneme
kde
... preto

t.j. - funkčné obdobie fa
, a to je v rozpore s tým T- hlavné obdobie funkcie f... Získaný rozpor implikuje tvrdenie vety. Veta je dokázaná.

Je dobre známe, že trigonometrické funkcie sú periodické. Hlavné obdobie
a
je rovna
,
a
... Nájdite obdobie funkcie
... Poďme
- obdobie tejto funkcie. Potom

(ako
.

oror alebo
.

Hodnota T, určené z prvej rovnosti, nemôže byť obdobím, pretože záleží na x, t.j. je funkcia xskôr ako konštantné číslo. Obdobie sa určuje od druhej rovnosti:
... Existuje nekonečne veľa období, s
najmenšie kladné obdobie sa získa, keď
:
... Toto je hlavné obdobie funkcie
.

Príkladom zložitejšej periodickej funkcie je Dirichletova funkcia

Všimnite si, že ak TJe teda racionálne číslo
a
sú racionálne čísla s racionálnymi xa iracionálne s iracionálnymi x... preto

pre akékoľvek racionálne číslo T... Preto akékoľvek racionálne číslo Tje obdobie Dirichletovej funkcie. Je zrejmé, že táto funkcia nemá hlavné obdobie, pretože existujú kladné racionálne čísla ľubovoľne blízke nule (napríklad racionálne číslo je možné vytvoriť výberom nľubovoľne blízky nule).

Veta4. Ak je funkcia f uvedený na súbore Xa má menštruáciu Ta funkcia g uvedený na súbore
, potom komplexná funkcia
má tiež bodku T.

Dôkazy... Preto máme

to znamená, že tvrdenie vety je dokázané.

Napríklad od r cos x má menštruáciu
, potom funkcie
mať menštruáciu
.

Definícia4. Nazývajú sa funkcie, ktoré nie sú periodické neperiodické .

Rovnomerná funkcia.

Rovnomerné sa nazýva funkcia, ktorej znamienko sa pri zmene znamienka nezmení x.

x rovnosť platí f(–x) = f(x). Podpísať x neovplyvňuje označenie r.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi súradníc (obr. 1).

Príklady párnej funkcie:

r \u003d cos x

r = x 2

r = –x 2

r = x 4

r = x 6

r = x 2 + x

Vysvetlenie:
Zoberme si funkciu r = x 2 alebo r = –x 2 .
Pre akúkoľvek hodnotu x funkcia je pozitívna. Podpísať x neovplyvňuje označenie r... Graf je symetrický okolo osi súradníc. Toto je rovnomerná funkcia.

Zvláštna funkcia.

Zvláštny sa nazýva funkcia, ktorej znamienko sa mení pri zmene znamienka x.

Inými slovami, pre akýkoľvek význam x rovnosť platí f(–x) = –f(x).

Graf nepárnej funkcie je okolo počiatku symetrický (obr. 2).

Príklady nepárnej funkcie:

r \u003d hriech x

r = x 3

r = –x 3

Vysvetlenie:

Vezmite funkciu y \u003d - x 3 .
Všetky hodnoty o bude to mať znamienko mínus. To je znamenie x ovplyvňuje znamenie r... Ak je nezávislou premennou kladné číslo, potom je funkcia tiež kladná, ak je nezávislou premennou záporné číslo, potom je funkcia aj záporná: f(–x) = –f(x).
Funkčný graf je okolo počiatku symetrický. Toto je nepárna funkcia.

Vlastnosti párnych a nepárnych funkcií:

POZNÁMKA:

Nie všetky funkcie sú nepárne alebo nepárne. Existujú funkcie, ktoré sa tejto gradácii nepodriaďujú. Napríklad funkcia root o = √x neplatí pre párne alebo nepárne funkcie (obr. 3). Pri uvádzaní vlastností týchto funkcií je potrebné uviesť vhodný popis: párny ani nepárny.

Periodické funkcie.

Ako viete, periodicita je opakovanie určitých procesov v určitom intervale. Funkcie popisujúce tieto procesy sa nazývajú periodické funkcie... To znamená, že ide o funkcie, ktorých grafy obsahujú prvky, ktoré sa opakujú v určitých číselných intervaloch.

V júli 2020 zaháji NASA expedíciu na Mars. Kozmická loď dodá na Mars elektronický nosič s menami všetkých registrovaných členov expedície.

Ak tento príspevok vyriešil váš problém alebo sa vám iba páčil, zdieľajte odkaz na neho so svojimi priateľmi v sociálnych sieťach.

Jeden z týchto variantov kódu by sa mal skopírovať a prilepiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou ... Podľa prvej možnosti sa program MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJaxu. Ak vložíte prvý kód, bude ho treba pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, načítajú sa stránky pomalšie, ale nebudete musieť neustále monitorovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJaxu je v službe Blogger alebo WordPress: na informačný panel svojho webu pridajte widget na vloženie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte doň prvú alebo druhú verziu kódu na stiahnutie a umiestnite widget bližšie k začiatku šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značky MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vkladať matematické vzorce do svojich webových stránok.

Ďalší Silvester ... mrazivé počasie a snehové vločky na okennej tabuli ... To všetko ma prinútilo znova napísať o ... fraktáloch a o tom, čo o tom vie Wolfram Alpha. O tom je zaujímavý článok, ktorý obsahuje príklady dvojrozmerných fraktálnych štruktúr. Tu sa pozrieme na zložitejšie príklady 3D fraktálov.

Fraktál je možné vizualizovať (popísať) ako geometrický útvar alebo teleso (to znamená, že obidva sú súborom, v tomto prípade súborom bodov), ktorých podrobnosti majú rovnaký tvar ako pôvodná figúra samotná. To znamená, že ide o sebapodobnú štruktúru, vzhľadom na detaily ktorej so zväčšením uvidíme rovnaký tvar ako bez zväčšenia. Zatiaľ čo v prípade pravidelného geometrického tvaru (nie fraktálu) sa pri priblížení zobrazia detaily, ktoré majú jednoduchší tvar ako samotný pôvodný tvar. Napríklad pri dostatočne veľkom zväčšení vyzerá časť elipsy ako segment priamky. To sa u fraktálov nestáva: pri akomkoľvek ich zvýšení sa opäť dočkáme rovnakého zložitého tvaru, ktorý sa pri každom zvýšení bude opakovať stále dokola.

Benoit Mandelbrot, zakladateľ vedy o fraktáloch, vo svojom článku Fractals and Art for Science (Fraktály a umenie pre vedu) napísal: „Fraktály sú geometrické tvary, ktoré sú rovnako zložité v ich detailoch ako v ich všeobecnej podobe. Časť fraktálu sa zväčší na veľkosť celok, bude to vyzerať ako celok, alebo presne, alebo možno s miernou deformáciou. ““

Skryť show

Spôsoby nastavenia funkcie

Nech je funkcia daná vzorcom: y \u003d 2x ^ (2) -3. Priradením ľubovoľných hodnôt k nezávislej premennej x môžete pomocou tohto vzorca vypočítať zodpovedajúce hodnoty závislej premennej y. Napríklad ak x \u003d -0,5, potom pomocou vzorca zistíme, že zodpovedajúca hodnota y je y \u003d 2 \\ cdot (-0,5) ^ (2) -3 \u003d -2,5.

Ak vezmeme akúkoľvek hodnotu prijatú argumentom x vo vzorci y \u003d 2x ^ (2) -3, môžete vypočítať iba jednu funkčnú hodnotu, ktorá jej zodpovedá. Funkciu je možné reprezentovať ako tabuľku:

Pomocou tejto tabuľky môžete zistiť, že pre hodnotu argumentu −1 bude zodpovedať hodnota funkcie −3; a hodnota x \u003d 2 bude zodpovedať y \u003d 0 atď. Je tiež dôležité vedieť, že každej hodnote argumentu v tabuľke zodpovedá iba jedna hodnota funkcie.

Je tiež možné definovať funkcie pomocou grafov. Pomocou grafu sa zistí, ktorá hodnota funkcie zodpovedá istej hodnote x. Najčastejšie to bude približná hodnota funkcie.

Párna a nepárna funkcia

Funkcia je rovnomerná funkciakeď f (-x) \u003d f (x) pre ľubovoľné x z domény. Táto funkcia bude symetrická okolo osi Oy.

Funkcia je nepárna funkciakeď f (-x) \u003d - f (x) pre ľubovoľné x z domény. Takáto funkcia bude symetrická okolo počiatku O (0; 0).

Funkcia je ani nie, ani nepárne a zavolal všeobecná funkciakeď to nie je symetrické okolo osi alebo počiatku.

Pozrime sa na paritu nižšie uvedenej funkcie:

f (x) \u003d 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) \u003d (- \\ infty; + \\ infty) so symetrickou definičnou oblasťou pôvodu. f (-x) \u003d 3 \\ cdot (-x) ^ (3) -7 \\ cdot (-x) ^ (7) \u003d -3x ^ (3) + 7x ^ (7) \u003d - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) \u003d -f (x).

Preto je funkcia f (x) \u003d 3x ^ (3) -7x ^ (7) nepárna.

Periodická funkcia

Funkcia y \u003d f (x), v ktorej doméne platí rovnosť f (x + T) \u003d f (x-T) \u003d f (x) pre ľubovoľné x, sa nazýva periodická funkcia s periódou T \\ neq 0.

Opakovanie grafu funkcie na ľubovoľnom segmente osi úsečky, ktorý má dĺžku T.

Intervaly, kde je funkcia pozitívna, to znamená, že f (x)\u003e 0 sú segmenty osi úsečky, ktoré zodpovedajú bodom funkčného grafu, ktoré ležia nad osou úsečky.

f (x)\u003e 0 zapnuté (x_ (1); x_ (2)) \\ pohár (x_ (3); + \\ infty)

Medzery, kde je funkcia záporná, t. J. F (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f (x)< 0 на (- \\ infty; x_ (1)) \\ pohár (x_ (2); x_ (3))

Obmedzená funkcia

Ohraničené zdola je zvykom volať funkciu y \u003d f (x), x \\ v X, keď existuje číslo A, pre ktoré platí nerovnosť f (x) \\ geq A pre akékoľvek x \\ v X.

Príklad funkcie ohraničenej zdola: y \u003d \\ sqrt (1 + x ^ (2)) od y \u003d \\ sqrt (1 + x ^ (2)) \\ geq 1 pre ľubovoľné x.

Ohraničené na vrchu funkcia y \u003d f (x), x \\ v X sa volá, ak existuje číslo B, pre ktoré platí nerovnosť f (x) \\ neq B pre akékoľvek x \\ v X.

Príklad funkcie ohraničenej zdola: y \u003d \\ sqrt (1-x ^ (2)), x \\ v [-1; 1] keďže y \u003d \\ sqrt (1 + x ^ (2)) \\ neq 1 pre ľubovoľné x \\ v [-1; 1].

Obmedzené je zvykom volať funkciu y \u003d f (x), x \\ v X, keď existuje číslo K\u003e 0, pre ktoré nerovnosť \\ vľavo | f (x) \\ vpravo | \\ neq K pre ľubovoľné x \\ v X.

Príklad obmedzenej funkcie: y \u003d \\ sin x je ohraničený na celej číselnej osi, pretože \\ doľava | \\ sin x \\ vpravo | \\ neq 1.

Zvyšujúca a klesajúca funkcia

Je zvykom hovoriť o funkcii, ktorá sa zvyšuje v uvažovanom intervale ako zvyšujúca funkcia keď väčšia hodnota x zodpovedá väčšej hodnote funkcie y \u003d f (x). Z toho teda vyplýva, že z uvažovaného intervalu budú dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_ (1) a x_ (2) a x_ (1)\u003e x_ (2) y (x_ (1))\u003e y (x_ (2)).

Volá sa funkcia, ktorá klesá v uvažovanom intervale klesajúca funkcia potom, keď väčšia hodnota x bude zodpovedať menšej hodnote funkcie y (x). Z toho teda vyplýva, že z uvažovaného intervalu budú dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_ (1) a x_ (2) a x_ (1)\u003e x_ (2) y (x_ (1))< y(x_{2}) .

Zakorenená funkcia je zvykom nazývať body, v ktorých funkcia F \u003d y (x) pretína os úsečky (získavajú sa ako výsledok riešenia rovnice y (x) \u003d 0).

a) Ak sa párna funkcia zvýši pre x\u003e 0, potom sa zníži pre x< 0

b) Keď sa párna funkcia zníži pre x\u003e 0, potom sa zvýši pre x< 0

c) Keď sa nepárna funkcia zvýši pre x\u003e 0, potom sa zvýši aj pre x< 0

d) Keď nepárna funkcia klesá pre x\u003e 0, potom klesá pre x< 0

Funkčné extrémy

Minimálny bod funkcie y \u003d f (x) je zvykom nazývať taký bod x \u003d x_ (0), v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x \u003d x_ (0)) a pre nich potom nerovnosť f ( x)\u003e f (x_ (0)). y_ (min) - označenie funkcie v bode min.

Maximálny bod funkcie y \u003d f (x) je zvykom nazývať taký bod x \u003d x_ (0), v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x \u003d x_ (0)) a pre nich potom nerovnosť f ( X)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nevyhnutná podmienka

Podľa Fermatovej vety: f "(x) \u003d 0, keď funkcia f (x), ktorá je diferencovateľná v bode x_ (0), bude mať v tomto bode extrém.

Dostatočný stav

1. Keď derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom bude minimálny bod x_ (0);
2. x_ (0) - bude maximálnym bodom iba vtedy, keď derivácia zmení znamienko z mínus na plus pri prechode stacionárnym bodom x_ (0).

Najvyššia a najnižšia hodnota funkcie v intervale

Kroky výpočtu:

1. Derivát f "(x);
2. Nájdu sa stacionárne a kritické body funkcie a vyberú sa tie, ktoré patria do segmentu;
3. Hodnoty funkcie f (x) sa nachádzajú v stacionárnych a kritických bodoch a koncových bodoch segmentu. Menšie zo získaných výsledkov budú najmenšia hodnota funkcie, a viac - najväčší.