Rovnice s parametrom. Rovnice s parametrom Kvadratické rovnice s parametrom

1. Problém.
Pri akých hodnotách parametra a rovnica ( a - 1)x 2 + 2x + a - 1 \u003d 0 má presne jeden koreň?

1. Riešenie.
Kedy a \u003d 1 rovnica má tvar 2 x \u003d 0 a zjavne má jedinečný koreň x \u003d 0. Ak a № 1, potom je táto rovnica druhá mocnina a má jednu odmocninu pre tie hodnoty parametra, pre ktoré je diskriminátor druhej mocniny nula. Vyrovnaním diskriminátora na nulu získame pre parameter rovnicu a 4a 2 - 8a \u003d 0, odkiaľ a \u003d 0 alebo a = 2.

1. Odpoveď:rovnica má jediný koreň v a O (0; 1; 2).

2. Úloha.
Nájdite všetky hodnoty parametrov apre ktoré má rovnica dva rôzne korene x 2 +4sekera+8a+3 = 0.
2. Riešenie.
Rovnica x 2 +4sekera+8a+3 \u003d 0 má dva odlišné korene práve vtedy, ak D = 16a 2 -4(8a+3)\u003e 0. Získame (po redukcii spoločným faktorom 4) 4 a 2 -8a-3\u003e 0, odkiaľ

2. Odpoveď:

3. Úloha.
Je o tom známe
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Zostrojte funkciu f 1 (x) o a = 1.
b) V akej hodnote a funkčné grafy f 1 (x) a f 2 (x) majú jeden spoločný bod?

3. Riešenie.
3.a. Transformujeme sa f 1 (x) nasledujúcim spôsobom
Graf tejto funkcie na a \u003d 1 je znázornený na obrázku vpravo.
3.b. Hneď si všimnite, že grafy funkcií r = kx+b a r = sekera 2 +bx+c (a Č. 0) pretínajú sa v jednom bode vtedy a len vtedy, ak je kvadratická rovnica kx+b = sekera 2 +bx+c má jediný koreň. Používanie pohľadu f 1 z 3.a, dajte rovnicu diskriminujúcemu z rovnice a = 6x-x 2-6 na nulu. Z rovnice 36-24-4 a \u003d 0 dostaneme a \u003d 3. To isté urobíme s rovnicou 2 x-a = 6x-x 2 -6 nález a \u003d 2. Je ľahké overiť, či tieto hodnoty parametra vyhovujú podmienkam problému. Odpoveď: a \u003d 2 alebo a = 3.

4. Výzva.
Nájdite všetky hodnoty apre ktoré je súbor riešení nerovnosti x 2 -2sekera-3a і 0 obsahuje segment.

4. Riešenie.
Prvá súradnica vrcholu paraboly f(x) = x 2 -2sekera-3a rovná sa x 0 = a... Z vlastností kvadratickej funkcie podmienka f(x) і 0 v intervale je ekvivalentné množine troch systémov
má rovno dve riešenia?

5. Riešenie.
Túto rovnicu prepíšeme do formy x 2 + (2a-2)x - 3a+7 \u003d 0. Toto je kvadratická rovnica, má presne dve riešenia, ak je jej diskriminátor prísne väčší ako nula. Pri výpočte diskriminujúceho zistíme, že podmienkou prítomnosti presne dvoch koreňov je splnenie nerovnosti a 2 +a-6\u003e 0. Riešením nerovnosti nájdeme a < -3 или a \u003e 2. Prvá z nerovností samozrejme nemá riešenie v prirodzených číslach a najmenej prirodzené riešenie druhej je číslo 3.

5. Odpoveď: 3.

6. Problém (stupeň 10)
Nájdite všetky hodnoty apri ktorej je graf funkcie alebo po zjavných transformáciách a-2 = | 2-a| ... Posledná rovnica je ekvivalentná nerovnosti a i 2.

6. Odpoveď: a O)