Aj m je nepárna funkcia. Funkčné vlastnosti. Skúmanie funkcie pre extrém

dokonca ak pre všetky \ (x \) z definičnej oblasti platí: \ (f (-x) = f (x) \).

Graf párnej funkcie je symetrický k osi \ (y \):

Príklad: funkcia \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) je párna, pretože \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Volá sa funkcia \ (f (x) \) zvláštny ak pre všetky \ (x \) z jeho domény platí: \ (f (-x) = - f (x) \).

Graf nepárnej funkcie je symetrický k pôvodu:

Príklad: funkcia \ (f (x) = x ^ 3 + x \) je nepárna, pretože \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) =- x ^ 3-x =- (x ^ 3 + x) =- f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne, sa nazývajú funkcie všeobecný pohľad... Takáto funkcia môže byť vždy jedinečne reprezentovaná ako súčet párnej a nepárnej funkcie.

Napríklad funkcia \ (f (x) = x ^ 2 -x \) je súčtom párnej funkcie \ (f_1 = x ^ 2 \) a nepárnej \ (f_2 = -x \).

\ (\ blacktriangleright \) Niektoré vlastnosti:

1) Súčin a podiel dvoch funkcií tej istej parity je párna funkcia.

2) Súčin a podiel dvoch funkcií s rôznou paritou je nepárna funkcia.

3) Súčet a rozdiel párnych funkcií je párna funkcia.

4) Súčet a rozdiel nepárnych funkcií je nepárna funkcia.

5) Ak \ (f (x) \) je rovnomerná funkcia, potom rovnica \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) má jedinečný koreň práve vtedy, keď \ ( x = 0 \).

6) Ak \ (f (x) \) je párna alebo nepárna funkcia a rovnica \ (f (x) = 0 \) má koreň \ (x = b \), bude mať táto rovnica nevyhnutne druhú koreň \ (x = -b \).

\ (\ blacktriangleright \) Funkcia \ (f (x) \) sa nazýva periodická na \ (X \), ak \ (f (x) = f (x + T) \), kde \ (x, x + T \ v X \). Najmenšie \ (T \), pre ktoré táto rovnosť platí, sa nazýva hlavné (hlavné) obdobie funkcie.

Periodická funkcia má ľubovoľný počet tvarov \ (nT \), kde \ (n \ in \ mathbb (Z) \) bude tiež bodka.

Príklad: akákoľvek trigonometrická funkcia je periodická;
pre funkcie \ (f (x) = \ sin x \) a \ (f (x) = \ cos x \) je hlavné obdobie \ (2 \ pi \), pre funkcie \ (f (x) = \ mathrm (tg) \, x \) a \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) hlavné obdobie je \ (\ pi \).

Aby ste mohli vykresliť graf periodickej funkcie, môžete jeho graf vykresliť na ľubovoľnom segmente dĺžky \ (T \) (hlavné obdobie); potom sa graf celej funkcie dokončí posunutím zostrojenej časti o celé číslo periódy doprava a doľava:

\ (\ blacktriangleright \) Doména \ (D (f) \) funkcie \ (f (x) \) je množina pozostávajúca zo všetkých hodnôt argumentu \ (x \), pre ktoré má funkcia význam (definované).

Príklad: funkcia \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) má rozsah: \ (x \ in

Úloha 1 # 6364

Úroveň úlohy: Rovná sa skúške

Pre aké hodnoty parametra \ (a \) rovnica

má jediné riešenie?

Všimnite si toho, že pretože \ (x ^ 2 \) a \ (\ cos x \) sú rovnomerné funkcie, potom ak rovnica má koreň \ (x_0 \), bude mať aj koreň \ (- x_0 \).
Skutočne nech \ (x_0 \) je koreň, to znamená rovnosť \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \) správny. Náhradník \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).

Ak teda \ (x_0 \ ne 0 \), potom rovnica už bude mať najmenej dva korene. Preto \ (x_0 = 0 \). Potom:

Pre parameter \ (a \) sme dostali dve hodnoty. Všimli sme si, že sme použili skutočnosť, že \ (x = 0 \) je presne koreň pôvodnej rovnice. Nikdy sme však nevyužili skutočnosť, že je jediný. Preto je potrebné výsledné hodnoty parametra \ (a \) dosadiť do pôvodnej rovnice a skontrolovať, pre ktoré konkrétne \ (a \) bude koreň \ (x = 0 \) skutočne jedinečný.

1) Ak \ (a = 0 \), potom rovnica má tvar \ (2x ^ 2 = 0 \). Je zrejmé, že táto rovnica má iba jeden koreň \ (x = 0 \). Preto nám vyhovuje hodnota \ (a = 0 \).

2) Ak \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), potom rovnica má tvar \ Rovnicu prepíšeme ako \ Pretože \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \) potom \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... Preto hodnoty pravej strany rovnice (*) patria do segmentu \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).

Pretože \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), ľavá strana rovnice (*) je väčšia alebo rovná \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).

Rovnosť (*) teda môže platiť iba vtedy, ak sú obe strany rovnice \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). To znamená, že \ [\ begin (prípady) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (prípady) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (prípady) \ quad \ Leftrightarrow \ quad x = 0 \] Preto nám vyhovuje hodnota \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \).

Odpoveď:

\ (a \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

Úloha 2 # 3923

Úroveň úlohy: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \ (a \), pre každý z nich graf funkcie \

symetrické k pôvodu.

Ak je graf funkcie symetrický k pôvodu, potom je takáto funkcia nepárna, to znamená, že \ (f (-x) = - f (x) \) platí pre akékoľvek \ (x \) z domény funkciu. Preto je potrebné nájsť tie hodnoty parametra, pre ktoré \ (f (-x) = - f (x). \)

\ [\ begin (zarovnané) & 3 \ mathrm (tg) \, \ left ( - \ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a -3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \, \ dfrac (sekera) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) 4 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ koniec (zarovnané) \]

Posledná rovnica musí byť splnená pre všetky \ (x \) z domény \ (f (x) \), preto \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Rightarrow a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).

Odpoveď:

\ (\ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)

Úloha 3 # 3069

Úroveň úlohy: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \ (a \), pre ktoré má rovnica \ 4 riešenia, kde \ (f \) je rovnomerná periodická funkcia s bodkou \ (T = \ dfrac (16) 3 \ ) definovaných na celom číselnom rade a \ (f (x) = ax ^ 2 \) pre \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)

(Úloha od predplatiteľov)

Pretože \ (f (x) \) je párna funkcia, jeho graf je symetrický k osi osi, preto pre \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (f (x) = ax ^ 2 \). Preto pre \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \), a toto je segment dĺžky \ (\ dfrac (16) 3 \), funkcie \ (f (x) = ax ^ 2 \).

1) Nechajte \ (a> 0 \). Potom bude graf funkcie \ (f (x) \) vyzerať takto:


Potom, aby mala rovnica 4 riešenia, je potrebné, aby graf \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) prešiel bodom \ (A \):


Preto, \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (zhromaždené) \ begin (zarovnané) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ koniec (zarovnaný) \ koniec (zhromaždený) \ vpravo. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (zhromaždené) \ begin (zarovnané) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (zarovnané) \ koniec (zhromaždený) \ vpravo. \] Pretože \ (a> 0 \), potom je vhodný \ (a = \ dfrac (18) (23) \).

2) Nechajte \ (a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Je potrebné, aby graf \ (g (x) \) prešiel bodom \ (B \): \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (zhromaždené) \ begin (zarovnané) & a = \ dfrac (18) ( 23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (zarovnané) \ end (zhromaždené) \ right. \] Pretože \ (a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Prípad, keď \ (a = 0 \) nesedí, odvtedy \ (f (x) = 0 \) pre všetky \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) a rovnica bude mať iba 1 koreň.

Odpoveď:

\ (a \ in \ left \ (- \ dfrac (18) (41); \ dfrac (18) (23) \ right \) \)

Úloha 4 # 3072

Úroveň úlohy: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty \ (a \), pre ktoré rovnica \

má aspoň jeden koreň.

(Úloha od predplatiteľov)

Rovnicu prepíšeme ako \ a vezmite do úvahy dve funkcie: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) a \ (f (x) = 3 | x -7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Funkcia \ (g (x) \) je rovnomerná, má minimálny bod \ (x = 0 \) (navyše \ (g (0) = 49 \)).
Funkcia \ (f (x) \) pre \ (x> 0 \) klesá a pre \ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Pre \ (x> 0 \) sa druhý modul skutočne rozširuje pozitívne (\ (| x | = x \)), preto bez ohľadu na to, ako sa prvý modul rozširuje, \ (f (x) \) sa bude rovnať \ (kx + A \), kde \ (A \) je výraz z \ (a \) a \ (k \) je \ (- 9 \) alebo \ (- 3 \). Pre \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Nájdite hodnotu \ (f \) v maximálnom bode: \

Aby mala rovnica aspoň jedno riešenie, musia mať grafy funkcií \ (f \) a \ (g \) aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ \\]

Odpoveď:

\ (a \ v \ (- 7 \) \ šálke \)

Úloha 5 # 3912

Úroveň úlohy: Rovná sa skúške

Nájdite všetky hodnoty parametra \ (a \), pre ktoré rovnica \

má šesť rôznych riešení.

Urobme náhradu \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Potom má rovnica tvar \ Postupne budeme zapisovať podmienky, za ktorých bude mať pôvodná rovnica šesť riešení.
Všimnite si toho, že kvadratická rovnica \ ((*) \) môže mať najviac dve riešenia. Akákoľvek kubická rovnica \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) môže mať najviac tri riešenia. Ak má teda rovnica \ ((*) \) dve rôzne riešenia (kladné !, pretože \ (t \) musí byť väčšie ako nula) \ (t_1 \) a \ (t_2 \), potom po obrátení zmeníme, dostaneme: \ [\ left [\ begin (zhromaždené) \ begin (zarovnané) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ koniec (zarovnaný) \ koniec (zhromaždený) \ vpravo. \] Pretože akékoľvek kladné číslo môže byť do určitej miery reprezentované ako \ (\ sqrt2 \), napríklad \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), potom sa prvá rovnica množiny prepíše ako \ Ako sme už povedali, každá kubická rovnica má najviac tri riešenia, preto každá rovnica zo sady bude mať najviac tri riešenia. To znamená, že celá sada nebude mať viac ako šesť riešení.
To znamená, že na to, aby mala pôvodná rovnica šesť riešení, musí mať kvadratická rovnica \ ((*) \) dve rôzne riešenia a každá získaná kubická rovnica (zo sady) musí mať tri rôzne riešenia (a žiadne riešenie jednej rovnice sa musí zhodovať s ktorým - alebo rozhodnutím druhého!)
Je zrejmé, že ak má kvadratická rovnica \ ((*) \) jedno riešenie, potom nedostaneme šesť riešení pôvodnej rovnice.

Preto je plán riešenia jasný. Napíšeme si bod po bode podmienky, ktoré treba splniť.

1) Aby mala rovnica \ ((*) \) dve rôzne riešenia, musí byť jej diskriminant kladný: \

2) Tiež potrebujete, aby boli oba korene kladné (pretože \ (t> 0 \)). Ak je súčin dvoch koreňov kladný a ich súčet je kladný, potom samotné korene budú kladné. Preto potrebujete: \ [\ begin (prípady) 12-a> 0 \\-(a-10)> 0 \ end (prípady) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]

Preto sme si už poskytli dva rôzne pozitívne korene \ (t_1 \) a \ (t_2 \).

3) Pozrime sa na takú rovnicu \ Pre ktoré \ (t \) bude mať tri rôzne riešenia?
Uvažujme funkciu \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Možno faktorizovať: \ Jeho nuly sú preto \ (x = -1; 2 \).
Ak nájdeme deriváciu \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), potom dostaneme dva krajné body \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Preto graf vyzerá takto:


Vidíme, že každá vodorovná čiara \ (y = k \), kde \ (0 \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \) mal tri rôzne riešenia, je potrebné, aby \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Potrebujete teda: \ [\ začať (prípady) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Hneď si tiež všimneme, že ak sú čísla \ (t_1 \) a \ (t_2 \) odlišné, potom čísla \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) a \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) budú preto iné, rovnice \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \) a \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \) bude mať nezhodné korene.
Systém \ ((**) \) je možné prepísať nasledovne: \ [\ začať (prípady) 1

Zistili sme teda, že oba korene rovnice \ ((*) \) musia ležať v intervale \ ((1; 4) \). Ako napíšete túto podmienku?
Korene explicitne nevypíšeme.
Uvažujme funkciu \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Jeho graf je parabola s vetvami nahor, ktorá má dva body priesečníka s osou x (túto podmienku sme napísali v bode 1)). Ako by mal vyzerať jeho graf, aby priesečníky s osou x boli v intervale \ ((1; 4) \)? Takže:


Po prvé, hodnoty \ (g (1) \) a \ (g (4) \) funkcie v bodoch \ (1 \) a \ (4 \) musia byť kladné, a za druhé, vrchol parabola \ (t_0 \) musí byť tiež v rozsahu \ ((1; 4) \). Preto môžeme napísať systém: \ [\ začať (prípady) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\ (a \) má vždy aspoň jeden koreň \ (x = 0 \). Na splnenie podmienky problému je preto potrebná rovnica \

mal štyri rôzne nenulové korene, ktoré spolu s \ (x = 0 \) predstavovali aritmetickú postupnosť.

Všimnite si toho, že funkcia \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) je rovnomerná, takže ak \ (x_0 \) je koreň rovnice \ ((* ) \), potom \ (- x_0 \) bude tiež jeho koreň. Potom je potrebné, aby koreňmi tejto rovnice boli čísla zoradené vzostupne: \ ( - 2d, -d, d, 2d \) (potom \ (d> 0 \)). Potom týchto päť čísel vytvorí aritmetický priebeh (s rozdielom \ (d \)).

Aby tieto korene boli čísla \ ( - 2d, -d, d, 2d \), je potrebné, aby čísla \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) boli koreňmi rovnica \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Potom podľa Vietovej vety:

Rovnicu prepíšeme ako \ a vezmite do úvahy dve funkcie: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) a \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) ...
Funkcia \ (g (x) \) má maximálny bod \ (x = 0 \) (navyše \ (g _ (\ text (vert)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a -4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \)... Derivátová nula: \ (x = 0 \). Pre \ (x<0\) имеем: \(g">0 \), pre \ (x> 0 \): \ (g "<0\) .
Funkcia \ (f (x) \) pre \ (x> 0 \) sa zvyšuje a pre \ (x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Skutočne, pre \ (x> 0 \) sa prvý modul otvorí pozitívne (\ (| x | = x \)), preto bez ohľadu na to, ako sa otvorí druhý modul, \ (f (x) \) bude rovnaká na \ (kx + A \), kde \ (A \) je výraz z \ (a \) a \ (k \) sa rovná buď \ ​​(13-10 = 3 \) alebo \ (13 + 10 = 23 \). Pre \ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Nájdite hodnotu \ (f \) v minimálnom bode: \

Aby mala rovnica aspoň jedno riešenie, musia mať grafy funkcií \ (f \) a \ (g \) aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ Po vyriešení tejto sady systémov dostaneme odpoveď: \\]

Odpoveď:

\ (a \ v \ (- 2 \) \ šálke \)

. Na tento účel použite milimetrový papier alebo grafickú kalkulačku. Vyberte ľubovoľný násobok hodnôt číselných vysvetľujúcich premenných x (\ Displaystyle x) a zapojte ich do funkcie na výpočet hodnôt závislej premennej y (\ Displaystyle y)... Nakreslite nájdené súradnice bodov do súradnicovej roviny a potom tieto body spojte a vytvorte graf funkcie.

• Do funkcie nahraďte kladné číselné hodnoty x (\ Displaystyle x) a zodpovedajúce záporné číselné hodnoty. Napríklad vzhľadom na funkciu F (x) = 2 x 2 + 1 (\ Displaystyle f (x) = 2x ^ (2) +1)... Pripojte nasledujúce hodnoty x (\ Displaystyle x):

Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický k osi y. Symetria sa týka zrkadlenia grafu okolo osi osi. Ak sa časť grafu vpravo od osi y (pozitívna vysvetľujúca premenná) zhoduje s časťou grafu vľavo od osi y (záporné hodnoty vysvetľujúcej premennej), graf je symetrický asi os y. Ak je funkcia symetrická k súradnici, je funkcia párna.

Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický k pôvodu. Počiatok je bod so súradnicami (0,0). Symetria o pôvode znamená kladnú hodnotu y (\ Displaystyle y)(s kladnou hodnotou x (\ Displaystyle x)) zodpovedá zápornej hodnote y (\ Displaystyle y)(so zápornou hodnotou x (\ Displaystyle x)), a naopak. Nepárne funkcie sú symetrické k pôvodu.

Skontrolujte, či má graf funkcie symetriu. Posledným typom funkcie je funkcia, ktorej graf nemá symetriu, to znamená, že neexistuje žiadne zrkadlenie tak na osi osi, ako ani na pôvod. Napríklad vzhľadom na funkciu.

• Do funkcie nahraďte niekoľko kladných a zodpovedajúcich záporných hodnôt x (\ Displaystyle x):
• Podľa získaných výsledkov neexistuje symetria. Hodnoty y (\ Displaystyle y) pre opačné hodnoty x (\ Displaystyle x) nezhodujú sa a nie sú opakom. Funkcia teda nie je ani párna, ani nepárna.
• Všimnite si toho, že funkcia F (x) = x 2 + 2 x + 1 (\ Displaystyle f (x) = x ^ (2) + 2x + 1) dá sa to napísať takto: F (x) = (x + 1) 2 (\ Displaystyle f (x) = (x + 1) ^ (2))... Keď je táto funkcia napísaná v tejto forme, zdá sa, že je vyrovnaná, pretože je prítomný rovnomerný exponent. Tento príklad však dokazuje, že druh funkcie nemožno rýchlo určiť, ak je nezávislá premenná uzavretá v zátvorkách. V takom prípade musíte otvoriť zátvorky a analyzovať prijaté exponenty.

Dozadu dopredu

Pozor! Náhľady snímok slúžia iba na informačné účely a nemusia predstavovať všetky možnosti prezentácie. Ak vás táto práca zaujíma, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

• formovať koncept rovnomernosti a zvláštnosti funkcie, naučiť sa schopnosť definovať a používať tieto vlastnosti pri štúdiu funkcií, vytváraní grafov;
• rozvíjať tvorivú činnosť žiakov, logické myslenie, schopnosť porovnávať, zovšeobecňovať;
• vychovávať tvrdú prácu, matematickú kultúru; rozvíjať komunikačné schopnosti .

Vybavenie: multimediálna inštalácia, interaktívna tabuľa, podklady.

Formy práce: frontálna a skupina s prvkami pátracích a výskumných aktivít.

Informačné zdroje:

1. Algebra9class A.G. Mordkovich. Učebnica.
2. Algebraský stupeň 9 A.G. Mordkovich. Kniha problémov.
3. Algebra stupeň 9. Úlohy pre vzdelávanie a rozvoj študentov. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

POČAS TRIED

1. Organizačný moment

Stanovenie cieľov a cieľov hodiny.

2. Kontrola domácich úloh

Č. 10,17 (Problémová kniha 9kl. A. G. Mordkovich).

a) o = f(NS), f(NS) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D ( f) = [– 2; + ∞)
2.E ( f) = [– 3; + ∞)
3. f(NS) = 0 pre NS ~ 0,4
4. f(NS)> 0 pre NS > 0,4 ; f(NS) < 0 при – 2 < NS < 0,4.
5. Funkcia sa zvyšuje s NS € [– 2; + ∞)
6. Funkcia je zospodu obmedzená.
7. o naim = - 3, o naib neexistuje
8. Funkcia je spojitá.

(Použili ste algoritmus výskumu funkcií?) Šmykľavka.

2. Skontrolujme tabuľku, ktorá sa nás na snímke pýtala.

Vyplňte stôl
	Doména	Funkčné nuly	Intervaly stálosti		Súradnice bodov priesečníka grafu s Oy
		x = –5, x = 2	х € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		х € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizácia znalostí

- Dané funkcie.
- Zadajte rozsah pre každú funkciu.
- Porovnajte hodnotu každej funkcie pre každú dvojicu hodnôt argumentov: 1 a - 1; 2 a - 2.
- Ktoré z týchto funkcií v oblasti definičných rovností sú splnené f(– NS) = f(NS), f(– NS) = – f(NS)? (zadajte získané údaje do tabuľky) Šmykľavka

		f(1) a f(– 1)	f(2) a f(– 2)	grafy	f(– NS) = –f(NS)	f(– NS) = f(NS)
1. f(NS) =
2. f(NS) = NS 3
3. f(NS) = | NS |
4.f(NS) = 2NS – 3
5. f(NS) =	NS ≠ 0
6. f(NS)=	NS > –1		a nie sú definované.

4. Nový materiál

- Pri tejto práci, chlapci, sme identifikovali ešte jednu vlastnosť funkcie, ktorá vám nie je známa, ale nie je menej dôležitá ako ostatné - je to párna a nepárna funkcia. Zapíšte si tému hodiny: „Párne a nepárne funkcie“, našou úlohou je naučiť sa určovať rovnomernosť a nepárne funkcie, zistiť význam tejto vlastnosti pri štúdiu funkcií a vykresľovania.
Hľadajme teda definície v učebnici a čítajme (s. 110) ... Šmykľavka

Def. 1 Funkcia o = f (NS) uvedené na množine sa nazýva X dokonca ak za akúkoľvek hodnotu NSЄ X sa vykoná rovnosť f (–x) = f (x). Uveďte príklady.

Def. 2 Funkcia y = f (x) uvedené na množine X sa nazýva zvláštny ak za akúkoľvek hodnotu NSЄ X platí rovnosť f (–x) = –f (x). Uveďte príklady.

Kde sme sa stretli s výrazmi „párny“ a „nepárny“?
Ktorá z týchto funkcií bude podľa vás rovnomerná? Prečo? Čo je zvláštne? Prečo?
Pre akúkoľvek funkciu formulára o= x n, kde n- celé číslo, dá sa tvrdiť, že funkcia je nepárna pre n- nepárne a funkcia je párna pre n- dokonca.
- Zobraziť funkcie o= a o = 2NS- 3 nie sú ani párne, ani nepárne, pretože rovnosti nie sú uspokojené f(– NS) = – f(NS), f(– NS) = f(NS)

Štúdium otázky, či je funkcia párna alebo nepárna, sa nazýva štúdium funkcie pre paritu.Šmykľavka

Definície 1 a 2 sa zaoberali hodnotami funkcie pre x a - x, preto sa predpokladá, že funkcia je definovaná aj pre hodnotu NS, a na - NS.

Def 3. Ak nastavené číslo spolu s každým z jeho prvkov x obsahuje opačný prvok -x, potom množinu NS nazývaný symetrický súbor.

Príklady:

(–2; 2), [–5; 5]; (∞; ∞) sú symetrické množiny a [–5; 4] sú asymetrické.

- Je oblasť definície párnych funkcií symetrická množina? Zvláštne?
- Ak D ( f) Je asymetrická množina, teda akú funkciu?
- Ak teda funkcia o = f(NS) Je párne alebo nepárne, potom je jeho doménou definícia D ( f) Je symetrická množina. Platí opak, ak je doménou funkcie symetrická množina, potom je to párne alebo nepárne?
- To znamená, že prítomnosť symetrického súboru definičných domén je nevyhnutnou podmienkou, ale nie dostačujúcou.
- Ako teda skúmate funkciu pre paritu? Skúsme zostaviť algoritmus.

Šmykľavka

Algoritmus na skúmanie funkcie pre paritu

1. Určte, či je funkčná doména symetrická. Ak nie, potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Ak áno, prejdite na krok 2 algoritmu.

2. Napíšte výraz pre f(–NS).

3. Porovnaj f(–NS). a f(NS):

• keby f(–NS).= f(NS), potom je funkcia párna;
• keby f(–NS).= – f(NS), potom je funkcia nepárna;
• keby f(–NS) ≠ f(NS) a f(–NS) ≠ –f(NS), potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Príklady:

Preskúmajte funkciu pre paritu a) o= x 5 +; b) o=; v) o= .

Riešenie.

a) h (x) = x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) U (0; + ∞), symetrická množina.

2) h ( - x) = (–x) 5 + - x5 - = - (x 5 +),

3) h ( - x) = - h (x) => funkcia h (x)= x 5 + nepárne.

b) y =,

o = f(NS), D (f) = (–∞; –9)? (–9; + ∞), asymetrická množina, takže funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

v) f(NS) =, y = f (x),

1) D ( f) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Možnosť 2

1. Je daná množina symetrická: a) [–2; 2]; b) (∞; 0], (0; 7)?

a); b) y = x · (5 - x 2). 2. Skúmajte funkciu pre paritu:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. Na obr. vynesené o = f(NS), pre všetkých NS splnenie podmienky NS? 0.
Zostavte graf funkcií o = f(NS), ak o = f(NS) Je rovnomerná funkcia.

3. Na obr. vynesené o = f(NS), pre všetky x spĺňajúce podmienku x? 0.
Zostavte graf funkcií o = f(NS), ak o = f(NS) Je zvláštna funkcia.

Vzájomné overovanie šmykľavka.

6. Zadanie doma: №11.11, 11.21,11.22;

Dôkaz o geometrickom význame vlastnosti parity.

*** (Nastavenie možnosti USE).

1. Nepárna funkcia y = f (x) je definovaná na celom číselnom rade. Pre každú nezápornú hodnotu premennej x sa hodnota tejto funkcie zhoduje s hodnotou funkcie g ( NS) = NS(NS + 1)(NS + 3)(NS- 7). Nájdite hodnotu funkcie h ( NS) = pre NS = 3.

7. Zhrnutie

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia - premenlivá závislosť o z premennej X ak každá hodnota NS zodpovedá jednej hodnote o... Variabilné NS nazýva sa nezávislá premenná alebo argument. Variabilné o nazývaná závislá premenná. Všetky hodnoty nezávislej premennej (premenná X) tvoria doménu funkcie. Všetky hodnoty, ktoré závislá premenná (premenná r), tvorí rozsah hodnôt funkcie.

Funkčný graf zavolajte množinu všetkých bodov súradnicová rovina, ktorých vodorovné osy sú rovné hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie, to znamená, že hodnoty premennej sú vykreslené pozdĺž osi x X, a ordináta predstavuje hodnoty premennej r... Na vykreslenie grafu funkcie potrebujete poznať vlastnosti funkcie. Hlavné vlastnosti funkcie budú prediskutované neskôr!

Na vykreslenie funkcie v grafe odporúčame použiť náš program - Grafické funkcie online. Ak máte pri štúdiu materiálu na tejto stránke akékoľvek otázky, môžete sa ich kedykoľvek opýtať na našom fóre. Aj na fóre vám pomôžu vyriešiť problémy z matematiky, chémie, geometrie, teórie pravdepodobnosti a mnohých ďalších predmetov!

Základné vlastnosti funkcií.

1) Funkčná doména a funkčná doména.

Rozsah funkcií je množina všetkých platných platných hodnôt argumentu X(variabilný X), pre ktoré je funkcia y = f (x) definované.
Rozsah hodnôt funkcie je množina všetkých skutočných hodnôt r ktorú funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Hodnoty NS na ktorom y = 0 sa volá funkčné nuly... Sú to osi x priesečníkov grafu funkcie s osou Ox.

3) Intervaly stálosti funkcie.

Intervaly konštantného znaku funkcie - také intervaly hodnôt X, na ktorom sú hodnoty funkcie r volajú sa buď iba pozitívne, alebo iba negatívne intervaly stálosti funkcie.

4) Monotonicita funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, pre ktorú väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Znižujúca sa funkcia (v určitom intervale) - funkcia, pre ktorú väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

5) Paritná (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičná doména je symetrická k pôvodu a pre ľubovoľnú NS f (-x) = f (x)... Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi osi.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičná doména je symetrická k pôvodu a pre ľubovoľnú NS z oblasti definície, rovnosti f (-x) = - f (x). Graf nepárnej funkcie je symetrický k pôvodu.

Rovnomerná funkcia
1) Definičná oblasť je symetrická k bodu (0; 0), to znamená k bodu a patrí do definičnej oblasti, potom do bodu -a tiež patrí do definičnej oblasti.
2) Pre akúkoľvek hodnotu X f (-x) = f (x)
3) Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oy.

Zvláštna funkcia má nasledujúce vlastnosti:
1) Definičná oblasť je symetrická k bodu (0; 0).
2) pre akúkoľvek hodnotu X patriace do domény, rovnosť f (-x) = - f (x)
3) Graf nepárnej funkcie je symetrický k pôvodu (0; 0).

Nie každá funkcia je párna alebo nepárna. Funkcie všeobecný pohľad nie sú ani párne, ani nepárne.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že | f (x) | ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak také číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f (x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre akékoľvek x z oblasti funkcie platí toto: f (x + T) = f (x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetko trigonometrické funkcie sú periodické. (Trigonometrické vzorce).

Funkcia f sa nazýva periodický, ak existuje také číslo, že pre akékoľvek X z oblasti definície, rovnosti f (x) = f (x-T) = f (x + T). T je obdobie funkcie.

Akákoľvek periodická funkcia má nekonečnú množinu období. V praxi sa zvyčajne zvažuje najkratšie pozitívne obdobie.

Hodnoty periodickej funkcie sa opakujú po intervale rovnajúcom sa bodke. Toto sa používa pri vytváraní grafov.

- (mat.) Funkcia y = f (x) sa volá, aj keď sa nezmení, keď nezávislá premenná zmení iba znamienko, teda ak f (x) = f (x). Ak f (x) = f (x), potom sa funkcia f (x) nazýva nepárna. Napríklad y = cosx, y = x2 ... ...

F (x) = x je príkladom nepárnej funkcie. f (x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f (x) = x3 ... Wikipedia

Funkcia spĺňajúca rovnosť f (x) = f (x). Pozrite sa na párne a nepárne funkcie ... Veľká sovietska encyklopédia

F (x) = x je príkladom nepárnej funkcie. f (x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f (x) = x3 ... Wikipedia

F (x) = x je príkladom nepárnej funkcie. f (x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f (x) = x3 ... Wikipedia

F (x) = x je príkladom nepárnej funkcie. f (x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f (x) = x3 ... Wikipedia

F (x) = x je príkladom nepárnej funkcie. f (x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f (x) = x3 ... Wikipedia

Špeciálne funkcie zavedené francúzskym matematikom E. Mathieuom v roku 1868 pri riešení úloh na kmitaní eliptickej membrány. M. f. sa tiež používajú na štúdium šírenia elektromagnetických vĺn v eliptickom valci ... Veľká sovietska encyklopédia

Tu je presmerovaná požiadavka „hriechu“; pozri aj ďalšie významy. Sem je presmerovaná požiadavka „sec“; pozri aj ďalšie významy. Sem je presmerovaná požiadavka Sinus; pozri aj ďalšie významy ... Wikipedia