Štruktúra niektorých množín čísel. Štruktúra niektorých numerických množín Množina reálnych čísel má mohutnosť kontinua

Keď som teda ukončil otázku kontinua jednej dimenzie, považujem za konzistentné obrátiť sa na kontinuum dvoch dimenzií. Predtým si samozrejme každý myslel, že lietadlo obsahuje viac bodov ako priamka; preto boli všetci mimoriadne prekvapení, keď Cantor ukázal, že mohutnosť dvojrozmerného kontinua sa presne rovná mohutnosti kontinua jednej dimenzie. Ak namiesto toho vezmeme štvorec ω. strana 1, a namiesto toho-segment dĺžky jedna, potom je potrebné preukázať možnosť vytvorenia vzájomnej korešpondencie medzi bodmi oboch množín (obr. 125).

Dôvodom, prečo sa toto tvrdenie zdá byť také paradoxné, je pravdepodobne problém zbaviť sa myšlienky určitej kontinuity korešpondencie, zatiaľ čo v skutočnosti sa korešpondencia, ktorú máme v úmysle vytvoriť, ukazuje ako veľmi nespojitá, alebo ak ako anorganické .... Obrazne povedané, ničí do takej miery, okrem „sily“, všetko, čo je charakteristické pre ploché a lineárne obrazy ako také, ako keby sa všetky body námestia naliali do vrecka a potom sa najdôkladnejšie premiešali.

Množina bodov štvorca sa zhoduje so sadou všetkých dvojíc desatinných zlomkov formulára

ktoré, ako predtým, predpokladáme, že sú napísané v nekonečnej forme. Vylúčime preto tie hraničné body, pre ktoré jeden zo súradníc y zmizne; inými slovami, vylúčime obe strany štvorca susediace so začiatkom súradníc O, pričom ponecháme obe ostatné strany. Je však ľahké zaistiť, aby to nezmenilo mohutnosť súboru bodov. A tak hlavnou myšlienkou Cantorovho dôkazu je zlúčenie oboch týchto desatinných zlomkov do jedného nového desatinného zlomku z, pomocou ktorého by bolo zase možné jednoznačne určiť x, y a ktoré by potrebovali presne raz všetky hodnoty Keď bod raz preteká po celom námestí. Ak uvažujeme z ako os x, potom získame požadovanú individuálnu korešpondenciu štvorca a segmentu jednotky; v tomto prípade v súlade s konvenciami týkajúcimi sa štvorca pre tento segment vezmeme do úvahy účet iba jeden koncový bod

Najprv sa pokúsime dosiahnuť také zlúčenie dvoch súradníc y do jednej vložením

skutočne je možné sa z tohto zlomku jednoznačne zotaviť oddelením párnych a nepárnych desatinných miest.

Ale tu, kvôli dvojitému spôsobu zápisu desatinných zlomkov, vyvstáva nasledujúca námietka: také z neprechádza celým rozsahom hodnôt, keď prechádza všetkými pármi nekonečných desatinných zlomkov, to znamená celým súborom bodov je platný, aj keď z toho vždy vyplýva nekonečná frakcia pre z, ale existujú také nekonečné zlomky ako napr

ktoré sa získavajú iba z konečnej frakcie alebo y, v našom prípade z

Najľahší spôsob, ako túto obtiažnosť obísť, je použiť nasledujúcu úpravu Cantorovej metódy, ktorú navrhol Koenig z Budapešti. Koenig chápe a, b, c nie samostatné číslice, ale známe komplexy číslic, povedal by som, „molekuly“ desatinnej zlomky, ktoré do jedného celku kombinujú akékoľvek významné číslice iné ako nula, pričom všetky bezprostredne predchádzajúce nuly ; vďaka tomu vynikne úloha núl. Potom musí mať ľubovoľný nekonečný desatinný zlomok nekonečne veľa molekúl, pretože všetky nenulové číslice sa v ňom objavujú znova a znova a naopak. Napríklad vo zlomku

pretože také „molekuly“ by sa mali brať

Teraz dovoľte vyššie uvedené pravidlo zhody a symboly z označujú takéto molekuly. Potom akýkoľvek pár bude opäť jedinečne zodpovedať nekonečnej frakcii z, ktorá zase určuje x a y. Teraz je však možné akúkoľvek frakciu z jednoznačne rozdeliť na dve frakcie a a y s nekonečným počtom „molekúl“ a zlomok z sa môže objaviť iba raz, keď ako kvalitu vezmeme všetky možné páry nekonečných desatinných zlomkov. A skutočne poskytuje individuálne mapovanie segmentu na štvorec; preto majú rovnakú mohutnosť.

Úplne analogickým spôsobom je samozrejme možné ukázať, že kontinua troch, štyroch dimenzií majú rovnakú silu ako jednorozmerné kontinuum. Pozoruhodné však je, že kontinuum nekonečne mnohých dimenzií - presnejšie spočítateľný súbor dimenzií - má rovnakú mohutnosť; o takom priestore nekonečne veľkého počtu dimenzií sa teraz v Göttingene hovorí obzvlášť často. Je definovaný ako súhrn všetkých týchto číselných systémov, ktoré môže počítať iba spočítateľne nekonečná množina premenných

ak každý z nich prechádza celým rozsahom skutočných hodnôt. Toto je, striktne povedané, iba nový spôsob vyjadrovania pojmov, ktoré sa už dlho používajú v matematike. Skutočne sme vždy zvažovali súčet všetkých mocninových alebo trigonometrických sérií; spočítateľná nekonečná množina koeficientov týchto radov je v podstate nič iné ako rovnaká množina nekonečného počtu nezávislých premenných, ktoré však vždy podliehajú stále známym podmienkam konvergencie radu.

Tu sa opäť obmedzíme na zváženie „jednotkovej kocky“ kontinua, inými slovami, množiny všetkých bodov, ktoré spĺňajú podmienky, a ukážeme, že tieto body je možné uviesť do vzájomnej korešpondencie s bodmi jednotkového segmentu. súradníc sa rovná nule, a preto je bod zachovaný, všetky ostatné hraničné body. Pokračujeme, ako predtým, z obrazu súradníc bodov kontinua pomocou desatinných zlomkov,

R všetkých reálnych čísel, 2) množina všetkých bodov intervalu (0, 1); 3) množina všetkých iracionálnych čísel z tohto intervalu, 4) množina všetkých bodov priestoru R n, kde n je prirodzené; 5) množina všetkých transcendentálnych čísel; 6) množina všetkých spojitých funkcií skutočnej premennej K. m. Nemôže byť reprezentovaný ako spočítateľný súčet menších svetových čísiel. Pre akékoľvek svetové číslo a také, že

Najmä

Hypotéza kontinua tvrdí, že K. m. je prvé nespočetné svetové číslo, t.j.

Lit.: Kuratovsky K., Mostovsky A., Teória množín, trans. z angličtiny, M., 1970.

B. A. Efimov.

Encyklopédia matematiky. - M.: Sovietska encyklopédia... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pozrite sa, čo je „KONTINUÁLNA SILA“ v iných slovníkoch:

Kardinalita množiny, kardinálne číslo množiny (lat. Cardinalis ← cardo hlavná okolnosť, jadro, jadro) charakteristická pre množiny (vrátane nekonečna), zovšeobecňujúca koncepciu počtu (počtu) prvkov konečnej ... ... Wikipedia

Úlohou je dokázať alebo vyvrátiť pomocou teórie množín (pozri Teória množín) nasledujúce tvrdenie, nazývané hypotéza kontinua (K. g): mohutnosť kontinua je prvou mohutnosťou prevyšujúcou mohutnosť ... ...

Kardinálne číslo množiny A je takou vlastnosťou tejto množiny, ktorá je vlastná akejkoľvek množine B, ekvivalentnej A. V tomto prípade sa nazývajú dve množiny. rovnocenné (alebo rovnako silné a), ak je medzi nimi možné vytvoriť individuálny vzťah ... ... Encyklopédia matematiky

Filozof. kategórie, ktoré charakterizujú tak štruktúru hmoty, ako aj proces jej vývoja. Diskontinuita znamená „zrnitosť“, diskrétnosť časopriestorovej štruktúry a stavu hmoty, jej základných prvkov, typov a foriem ... ... Filozofická encyklopédia

- (Gödel) Kurt (1906 1978) matematik a logik, člen Národná akadémia Sciences of the United States and the American Philosophical Society, autor zásadného objavu obmedzení axiomatickej metódy a zásadných diel v týchto oblastiach ... ...

Matematik a logik, člen Národnej akadémie vied USA a Americkej filozofickej spoločnosti, autor zásadného objavu obmedzení axiomatickej metódy a základných diel v týchto oblastiach matematická logika ako teória ... ... Dejiny filozofie: encyklopédia

Mohutnosť množiny alebo svetové číslo množiny je zovšeobecnením pojmu kvantita (počet prvkov množiny), ktorý dáva zmysel pre všetky množiny, vrátane nekonečných. Existujú veľké, existujú menšie nekonečné množiny, medzi nimi ... ... Wikipedia

Filozof. kategória, ktorá charakterizuje nevyčerpateľnosť hmoty a pohybu, rozmanitosť javov a predmetov hmotného sveta, formy a tendencie jeho vývoja. Uznávajúc objektívnu existenciu B. v prírode, dialektickú. materializmus odmieta ... Filozofická encyklopédia

Doktrína všeobecných vlastností množín, väčšinou nekonečných. Pojem množiny alebo množiny je jedným z najjednoduchších matematických pojmov; nie je definovaný, ale môže byť vysvetlený pomocou príkladov. Je teda možné …… Veľká sovietska encyklopédia

§2. Množiny mohutnosti kontinua.

Všetky doposiaľ uvažované nekonečné množiny boli spočítateľné, to znamená rovné množine N. prirodzené čísla. Cantor vlastní nasledujúcu pozoruhodnú vetu, ktorá uvádza, že existuje nekonečné množiny, ktoré sa nedajú spočítať. Spôsob, akým je táto veta dokázaná, sa nazýva Cantorov „diagonálny proces“ alebo „diagonálna konštrukcia“. S úspechom sa používa v mnohých ďalších argumentoch.

Veta 2.1.

Veľa C. = {0, 1} N. všetky nekonečné sekvencie 0 a 1 sú nepočítateľné.

Dôkaz.

Nechajte X C.- akákoľvek spočítateľná podmnožina. Môžete napísať: X = (x 1, x 2, ...). Každý prvok množiny X je nekonečná postupnosť: x j =  j 1,  j 2,…, kde  jk  (0, 1). Zostrojme novú nekonečnú postupnosť y = 1- 11, 1- 22, 1- 33,…. Všimnite si, že j: y  x j, pretože j-té termíny týchto sekvencií sú rôzne:  jj  1- jj. Preto yX a teda X  C.... To znamená, že C. nespočetné.

Definícia.

Každý zástup je rovnako silný C. nazýva sa súbor mohutnosti kontinua.

Ako je uvedené v predchádzajúcej časti,)