पहले आदेश लाइनें उदाहरण हैं। दूसरे क्रम की व्याख्यान पंक्ति। विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त

प्रतिलिपि

अध्याय 1 योजना एक योजना पर आधारित है। 1। इलिप्स, हाइपरबोला, परबोला परिभाषा। एक दीर्घवृत्त समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं F 1 और F के बीच की दूरी F 1 और F के बीच की दूरी को पार करने वाला एक स्थिर मान है। एम (, एक्स) एफ 1 एक्स एफ एक्स अंजीर। अंक एफ 1 और एफ को दीर्घवृत्त का केंद्र बिंदु कहा जाता है, और उनके बीच की दूरी एफएफ 1 फोकल दूरी है, जिसे सी कहा जाता है। बिंदु M को दीर्घवृत्त से संबंधित होने दें। एफ 1 एम और एफ एम सेगमेंट को एम। लेट एफ 1 एफ \u003d सी का फोकल रेडी कहा जाता है। परिभाषा के अनुसार, ए\u003e सी। एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्स पर विचार करें, जिसमें foci F 1 और F मूल के बारे में सममित रूप से फरसीसा अक्ष पर स्थित हैं। इस समन्वय प्रणाली में, दीर्घवृत्त को विहित समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है: x + \u003d 1, a b 1

2। जहाँ b \u003d a c को पैरामीटर a और b कहा जाता है, क्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्धचालक। एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता संख्या to के बराबर है जो कि अर्ध-अक्षीय धुरी के लिए अपनी फोकल दूरी के आधे के अनुपात के बराबर है, अर्थात। ε \u003d। दीर्घवृत्त की विलक्षणता विषमताओं को संतुष्ट करती है 0 ity< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 कैनोनिकल हाइपरबोला समीकरण में फॉर्म x a \u003d b 1, है। जहाँ b \u003d c a a और b को संख्या कहा जाता है, क्रमशः, हाइपरबोला का वास्तविक और काल्पनिक अर्धवृत्त। असमानता से परिभाषित क्षेत्र के अंदर कोई हाइपरबोला नहीं है। x a b परिभाषा। हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख सीधी रेखाएं हैं, समीकरणों द्वारा दिए गए b \u003d x, \u003d x हैं। a। हाइपरबोला के बिंदु M (x,) का फोकल रेडी सूत्र r 1 \u003d 1 x a, r \u003d ε x + a से सूत्र द्वारा पाया जा सकता है। हाइपरबोला की विलक्षणता, दीर्घवृत्त के रूप में, सूत्र। \u003d के साथ निर्धारित होती है। यह सत्यापित करना आसान है कि हाइपरबोला की विलक्षणता के लिए असमानता 1 ए 1 सच है। परिभाषा। एक पेराबोला प्लेन के सभी बिंदुओं का एक सेट होता है, जिसके लिए दिए गए बिंदु F की दूरी किसी दिए गए सीधी रेखा d की दूरी के बराबर होती है जो बिंदु F से नहीं गुजरती है। बिंदु F को पेराबोला का फोकस कहा जाता है, और सीधे बिंदु d को डाइरेक्टर कहा जाता है। फ़ोकस से डायरेक्ट्री तक की दूरी को पैराबोला का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p से निरूपित किया जाता है। d M (x,) F x अंजीर। ४ ३

4 आइए हम सेगमेंट एफडी के मध्य में कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम के ओरिजिनल ओ को चुनें, जो पॉइंट एफ से लाइन डी तक गिरा हुआ सीधा है। इस निर्देशांक प्रणाली में, फोकस F में निर्देशांक F p p; 0 है, और निर्देशांक d को समीकरण x + \u003d 0. द्वारा दिया गया है। parabola का विहित समीकरण है: \u003d px। Parabola, OF अक्ष के बारे में सममित है, जिसे Parabola धुरी कहा जाता है। पराबोला के साथ इस अक्ष के चौराहे के बिंदु O को परबोला के शीर्ष कहा जाता है। बिंदु M (x,) का फोकल त्रिज्या अर्थात्। फ़ोकस करने के लिए इसका p दूरी सूत्र r \u003d x + द्वारा पाया जाता है। 10B .. एक दूसरी-क्रम रेखा का सामान्य समीकरण एक दूसरी-क्रम रेखा उस समतल पर बिंदुओं का समुच्चय है जिसका निर्देशांक x है और जो समीकरण ax + a + x + a + a + a \u003d 0, 11 1 को a11, a1, a, a10, a00 से संतुष्ट करता है। कुछ वास्तविक संख्याये, और ए, ए, एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं। इस समीकरण को द्वितीय-क्रम वक्र का सामान्य समीकरण कहा जाता है और इसे वेक्टर रूप rr rr (Ax, x) + (b, x) + a \u003d 0 में भी लिखा जा सकता है, जहाँ 00 a11 a1 rr A \u003d, a1 ab \u003d (a10), a0; , x \u003d (x); T चूंकि A \u003d A, A द्विघात रूप r r f f (x) \u003d (Ax, x) \u003d a x + a + X + एक एलीप, हाइपरबोला और पेराबोला का एक मैट्रिक्स है जो विमान में दूसरे क्रम के घटता के उदाहरण हैं। इन वक्रों के अतिरिक्त, दूसरे प्रकार के दूसरे क्रम के घटता हैं जो x रेखाओं से जुड़े होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण \u003d 0, जहां 0, बी 0, बी 4

5 विमान पर लाइनों को जोड़ने वाली एक जोड़ी को परिभाषित करता है। समन्वय प्रणाली जिसमें वक्र का समीकरण सबसे सरल रूप लेता है उसे विहित कहा जाता है। परिवर्तनों की संरचना का उपयोग करना: कोण α के माध्यम से कुल्हाड़ियों का रोटेशन, बिंदु से उत्पत्ति का समानांतर अनुवाद (x0; 0) और फ़ार्किसा अक्ष के बारे में प्रतिबिंब, दूसरे क्रम के वक्र का समीकरण विहित समीकरणों में से एक तक कम हो जाता है, जिनमें से मुख्य ऊपर सूचीबद्ध थे। 11BExamples 1. एब्सिस्सा अक्ष पर स्थित मूल और foci पर एक केंद्र के साथ एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को बनाते हैं, अगर यह ज्ञात हो कि इसकी विलक्षणता and \u003d और बिंदु N (3;) 3 दीर्घवृत्त पर स्थित है। x a b दीर्घवृत्त का समीकरण: + \u003d 1. हमारे पास वह \u003d है। b a 3 9 इससे हम गणना करते हैं कि a \u003d b बिंदु N (3;) के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें + \u003d 1 और आगे b \u003d 9 और a b 81 \u003d a \u003d 16 मिलता है। नतीजतन, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण 5 x + \u003d 1. 16 है, 9. मूल पर केंद्र के साथ हाइपरबोला के विहित समीकरण को लिखें और एब्सकॉइस पर स्थित फ़ॉसी यदि हाइपरबोला के बिंदु M 1 (5; 3) और सनकी ε \u003d दिए गए हैं; x हाइपरबोला का कैनोनिकल समीकरण \u003d 1. समानता से a + b \u003d हमारे पास b \u003d a 5 9. इसलिए \u003d 1 और a \u003d 16 है। इसलिए, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण \u003d a a x 16 5

6 3. Parabola \u003d 10x पर उन बिंदुओं का पता लगाएं जिसका फोकल त्रिज्या 1.5 है। ध्यान दें कि परबोला दाहिने आधे तल में स्थित है। यदि M (x; एक Parabola पर स्थित है, तो x 0. Parameter p \u003d 5. Let (;)) M x आवश्यक बिंदु है, Parabola का F फोकस, () निर्देशक है। फिर एफ, 5; 0, डी: x \u003d, 5। चूंकि FM \u003d ρ (M, d), फिर x +, 5 \u003d 1.5, 10 उत्तर: () 1 10; 10 x \u003d, \u003d 100, \u003d \u003d 10. तो, हमें दो अंक मिले। एम 10; 10 M, () 4. समीकरण x \u003d 1 द्वारा दी गई हाइपरबोला की दाईं शाखा पर, एक बिंदु खोजें, जिसके दाएं फोकस की दूरी बाएं फोकस से इसकी दूरी की तुलना में 16 9 2 गुना कम है। हाइपरबोला की दाईं शाखा के लिए, फोकल राडियम को सूत्र r 1 \u003d a x a और r \u003d and x + a द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसलिए, हम समीकरण + x + a \u003d () x a) प्राप्त करते हैं। दिए गए हाइपरबोला के लिए a \u003d 4, 5 c \u003d \u003d 5 और। \u003d। इसलिए, x \u003d 9.6। इसलिए हमारे पास \u003d we x 16 \u003d have d उत्तर: दो अंक M 1 (9.6; 0.6 119), ((0.6; 0.6 119) M. 5. किसी भी बिंदु के लिए लाइन का समीकरण ज्ञात करें, जिसके लिए दूरी का अनुपात F से (3; 0) को सीधी रेखा 1 x 8 \u003d 0 की दूरी पर (\u003d है। लाइन और उसके मापदंडों के नाम निर्दिष्ट करें। एम एक्स; आवश्यक रेखा समानता सत्य है: एक मनमाना बिंदु () FM (x 3) + 1 \u003d \u003d के लिए। ρ (एमएल), x। ६

7 इसलिए हमारे पास [(x 3) +] \u003d (x 8) है। कोष्ठक का विस्तार और शब्दों को फिर से व्यवस्थित करते हुए, हम (x +) + \u003d 50 प्राप्त करते हैं, अर्थात्। (x +) + \u003d उत्तर: आवश्यक रेखा एक बिंदु पर केंद्र के साथ एक दीर्घवृत्त है और अर्धवृत्त a \u003d 5 और b \u003d निर्देशांक O () x के हाइपरबोला पुराने निर्देशांक का समीकरण ज्ञात करें; 0; ;,;। नई प्रणाली (सी; 0) \u003d 8 में नई प्रणाली (x?) और नए वाले (zt) मैट्रिक्स समानता 1 1 x z 1 z + t \u003d 1 1 t \u003d z t से संबंधित हैं। इसलिए, समीकरण x \u003d 8 z + t z t \u003d 8, zt \u003d 4. उत्तर: zt \u003d 4. γ: 4x 4x + 8x + 4+ 3 \u003d 0 to cano- 7. वक्र को एक अद्वितीय रूप में लाएं। नए निर्देशांकों में प्रपत्र को द्विघात रूप मानें () q x, \u003d 4x 4x +। फार्म क्यू के मैट्रिक्स में 5 और 0 और इसी orthonormal वैक्टर के eigenvalues \u200b\u200bहैं और हमें नए निर्देशांक प्रणाली में पास करते हैं: 7

8 z 1 1 x। t \u003d 5 1 चलो नए (zt) के माध्यम से पुराने निर्देशांक (x?) को व्यक्त करते हैं; : 1 1 z + tx 1 z \u003d 1 t \u003d, 1 zt का अर्थ है, x \u003d z + t, \u003d z + t इन भावों को वक्र equation के समीकरण में बदलकर, हम 0 \u003d 4x 4x + 8x \u003d x + z + 1 t, \u003d 1 z + t प्राप्त करते हैं ( ) () () () \u003d 5z 4 5z + 3 \u003d z 5 4 z 5 + 3 \u003d z 5 1 z 5 3. इसलिए, नए निर्देशांक में वक्र equation समीकरण 1 3 γ: zz \u003d द्वारा दिया गया है। सेटिंग \u003d z, x \u003d t, हम z: \u003d, 1 प्राप्त करते हैं, जिसे हम वक्रता के विहित समीकरण का पता लगाते हैं in: \u003d 0 कैनोनिकल निर्देशांक में \u003d 5 x 1 1 x ध्यान दें कि वक्र parallel समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी है। 1B आर्थिक और वित्तीय समस्याओं के लिए परिशिष्ट 8. बता दें कि अन्या, बोरिस और दिमित्री में फल की खरीद के लिए 150 रूबल हैं। यह ज्ञात है कि 1 किलो नाशपाती की कीमत 15 मुद्रा इकाइयों और 1 किलो सेब की 10 मुद्रा इकाइयों की लागत होती है। इसके अलावा, तीन 8 में से प्रत्येक

9 का अपना उपयोगिता फ़ंक्शन है, जिसके लिए वह खरीदते समय अधिकतम करना चाहता है। बता दें कि ए 1 किलो नाशपाती और एक्स किलो सेब खरीदे जाने हैं। ये उपयोगिता कार्य इस प्रकार हैं: अनी के लिए u \u003d x + x, बोरिस के लिए 1 A 1 x u B \u003d + x, और दिमित्री के लिए ud \u003d X1 x। अन्या, बोरिस और दिमित्री के लिए एक खरीद योजना (X1, x) ढूंढना आवश्यक है, जिसमें वे अपनी उपयोगिता फ़ंक्शन का अधिकतम लाभ प्रदान करते हैं। x अंजीर। 5 विचाराधीन समस्या को ज्यामितीय रूप से हल किया जा सकता है। इस समस्या को हल करने के लिए, एक स्तर रेखा की अवधारणा को पेश किया जाना चाहिए। x x 1 अंजीर। 6 फंक्शन z \u003d f (x,) की स्तर रेखा समतल पर उन सभी बिंदुओं का समूह है, जिस पर फंक्शन h के बराबर एक स्थिर मान रखता है। x ९

10 इस मामले में, समाधान के लिए, हम विमान पर ज्यामितीय क्षेत्रों की प्रारंभिक अवधारणाओं का भी उपयोग करेंगे, रैखिक असमानताओं द्वारा निर्दिष्ट (उपधारा 1.4 देखें)। x x 1 अंजीर। 7 कार्यों की स्तर रेखाएं ua, u B और u D क्रमशः एनी, बोरिस और दिमित्री के लिए सीधी रेखाओं, दीर्घवृत्त और हाइपरबोलस का प्रतिनिधित्व करती हैं। समस्या के अर्थ के भीतर, हम मानते हैं कि X1 0, x 0. दूसरी तरफ, बजट बाधा को असमानता 15x1 + 10x 150 के रूप में लिखा जाता है। अंतिम असमानता को 10 से विभाजित करने पर, हमें 3x1 / + 30, या + 1 मिलता है। यह देखना आसान है कि X1 x इस असमानता के समाधान का डोमेन है। एक साथ nonnegativity शर्तों के साथ एक त्रिकोण है जो लाइनों द्वारा घिरा हुआ है X1 \u003d 0, x \u003d 0 और 3x1 + x \u003d

11 X * X * अंजीर। 8 अंजीर। 9 ज्यामितीय पैटर्न के आधार पर, अब यह स्थापित करना आसान है कि uamax \u003d ua (0.15) \u003d 15, ubmax \u003d ub (0.15) \u003d 5 और udmax \u003d ud (Q)। बजट त्रिकोण के किनारे के स्तर के हाइपरबोला के स्पर्श के बिंदु Q के निर्देशांक को पहले से ही विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जानी चाहिए। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि बिंदु Q तीन समीकरणों को संतुष्ट करता है: xx 1 \u003d h, 3x1 + x \u003d 30, h 3 x "\u003d \u003d। X1 X * Fig।

12 समीकरणों से एच को हटाते हुए, हम बिंदु Q \u003d (x, x) \u003d (5; 7.5) के निर्देशांक प्राप्त करते हैं। 1 उत्तर: क्यू \u003d (एक्स 1, एक्स) \u003d (5; 7.5)। 9. फर्म की लागत और मुनाफे का नॉनलाइनर मॉडल। एक फर्म क्रमशः उत्पादन की एक्स और इकाइयों की मात्रा में दो प्रकार ए और बी के बहुउद्देशीय उपकरण का उत्पादन करती है। इस मामले में, वर्ष के लिए कंपनी की आय आय फ़ंक्शन Rx (,) \u003d 4x + द्वारा व्यक्त की जाती है, और उत्पादन लागत लागत फ़ंक्शन 1 1 Cx (,) \u003d 7.5+ x + 4 द्वारा व्यक्त की जाती है, जो कंपनी अधिकतम लाभ प्राप्त करती है। उत्पादन योजना (x) निर्धारित करें। ) 3 बजे

13 लाभ फ़ंक्शन को आय फ़ंक्शन और लागत फ़ंक्शन के बीच अंतर के रूप में संकलित किया जाता है: 1 1 function (x,) \u003d R (x,) C (x,) \u003d 4x + 7.5 x। 4 परिवर्तन किए जाने के बाद, अंतिम अभिव्यक्ति फॉर्म 1 1 x (x,) \u003d 9 (x 8) (1) से कम हो जाती है। 4 लाभ फ़ंक्शन की स्तर रेखाएँ (x 8) (1) \u003d h हैं। 4 प्रत्येक स्तर रेखा 0 h 9 मूल पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त है। प्राप्त अभिव्यक्ति से यह देखना आसान है कि लाभ फ़ंक्शन का अधिकतम 9 है और x \u003d 8, \u003d 1. उत्तर: x \u003d 8, \u003d 1. 13BExercises और परीक्षण प्रश्न 1 पर प्राप्त किया गया है। एक सर्कल के लिए सामान्य समीकरण लिखें। केंद्र और सर्कल के त्रिज्या के निर्देशांक का पता लगाएं: ए) x + + 8x 6 \u003d 0; b) x x \u003d 0 ... बिंदु M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0) .. 3 से गुजरने वाले वृत्त का एक समीकरण बनाइए। 3। एक दीर्घवृत्त परिभाषित करें और इसके विहित समीकरण लिखें। एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को लिखें, यदि 1 इसकी विलक्षणता ε \u003d है, और अर्ध-प्रमुख धुरी एक दीर्घवृत्त के समीकरण को लिखने के लिए बराबर है, जिसके फोकस मूल के बारे में सहानुभूतिपूर्वक मूल रूप से जानते हैं, इसके अतिरिक्त, कि इसके फोकस और c \u003d 4 के बीच की दूरी cccentricity है। दीर्घवृत्त के विलक्षणता का निर्धारण। एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता का पता लगाएं यदि इसकी प्रमुख धुरी लघु अक्ष से चार गुना है। 33

१४ .६। हाइपरबोला को परिभाषित करें और इसके विहित समीकरण लिखें। एक सीधी रेखा बिंदु M (0; 0.5) और हाइपरबोला के दाहिने शीर्ष के माध्यम से खींची जाती है, जो समीकरण \u003d 1 द्वारा दी गई है। सीधी रेखा और हाइपरबोला के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु के निर्देशांक का पता लगाएं हाइपरबोला की विलक्षणता की एक परिभाषा दें। इसकी विहित समीकरण लिखिए यदि a \u003d 1, b \u003d 5. इस अतिशयोक्ति की विलक्षणता क्या है ।8। इसके विहित समीकरण द्वारा दिए गए हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख समीकरणों को लिखें। हाइपरबोला का समीकरण 3 बनाइए, यदि उसके एसिम्पोट को समीकरणों \u003d and x द्वारा दिया जाता है और हाइपरबोला 5 बिंदु M (10; 3 3) .. 9 से गुजरता है। एक पेराबोला को परिभाषित करें और इसके विहित समीकरण को लिखें। एक पेराबोला के विहित समीकरण को बनाओ, अगर एब्सिस्सा अक्ष समरूपता की अपनी धुरी है, तो इसका शीर्ष मूल में है और ऑर्ब अक्ष पर लंबोस्पेक्टर के तार की लंबाई 8 है, और वर्टेक्स से इस कॉर्ड की दूरी parabola \u003d 1x पर है, जिसका केंद्रबिंदु त्रिज्या है। और एक निश्चित उत्पाद की मांग कार्य p \u003d 4q 1, p \u003d + द्वारा दी जाती है। एक बाजार संतुलन बिंदु खोजें। 1 q रेखांकन उत्पन्न करें ... 1। एंड्रे, कात्या और निकोले संतरे और केले खरीदने जा रहे हैं। संतरे के एक्स किलो और केले के एक्स किलो खरीदें। तीनों में से प्रत्येक की अपनी उपयोगिता कार्य है, जो दर्शाता है कि वह अपनी खरीद को कितना उपयोगी मानता है। ये उपयोगिता फ़ंक्शंस इस प्रकार हैं: एंड्री के लिए u \u003d x + x, कट्या के लिए 1 4 A 4 1 u K \u003d x + x और निकोले के लिए un \u003d X1 x। a) स्तर h \u003d 1, 3. b के मूल्यों के लिए उपयोगिता फ़ंक्शन के स्तर की रेखाओं को प्लॉट करें। प्रत्येक के लिए, खरीद वरीयता क्रम rr r \u003d (4,1), s \u003d (3,8), t \u003d (1,1) के क्रम में व्यवस्थित करें )। 34

विश्लेषणात्मक ज्यामिति मॉड्यूल। विमान पर और अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति 7 विमान पर व्याख्यान 7 सार द्वितीय-क्रम लाइनें: दीर्घवृत्त, हाइपरबोला, पेराबोला। परिभाषा, सामान्य विशेषताएँ।

LECTURE N15। दूसरे क्रम के घटता। १. सर्किल ... १.लिप्स ... १.हाइपरबोला .... ४.परबोला .... ४ १. सर्किल एक सेकंड-ऑर्डर कर्व दूसरी पंक्ति के समीकरण द्वारा निर्धारित रेखा है जो सम्मान के साथ

8 दूसरे क्रम के कर्व्स 81 सर्किल एक बिंदु से समबाहु समतल के बिंदुओं का सेट, जिसे केंद्र कहा जाता है, एक दूरी पर त्रिज्या कहलाता है, एक वृत्त कहलाता है

व्याख्यान 13 विषय: दूसरे क्रम के घटता विमान में दूसरे क्रम के घटता: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय। उनके ज्यामितीय गुणों के आधार पर दूसरे क्रम के घटता के लिए समीकरणों की व्युत्पत्ति। एक दीर्घवृत्त के आकार का अध्ययन,

हाइपरबोला के दूसरे क्रम की लेक्टियर लाइन्स एक उदाहरण के रूप में, हम एक वृत्त, एक परवलय, एक दीर्घवृत्त और एक वृत्त को परिभाषित करने वाले समीकरणों का पता लगाते हैं। एक वृत्त किसी दिए गए समबाह्य समतल के बिंदुओं का एक समूह है।

दूसरे क्रम के सर्किल एलिप्से हाइपरबोला परबोला को एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को विमान पर दिए जाने दें। एक दूसरे क्रम का वक्र उन बिंदुओं का एक समूह है, जिनके निर्देशांक संतुष्ट करते हैं

अंतरिक्ष में सीधी रेखा और विमान रैखिक बीजगणित (व्याख्यान 11) 11/24/2012 2/37 अंतरिक्ष में सीधी रेखा और विमान दो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2,) के बीच की दूरी z 2)

शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय रूसी संघ यारोस्लाव स्टेट यूनिवर्सिटी बीजगणित और गणितीय तर्क के P.G.Demidova विभाग दूसरे आदेश भाग I के विधायी निर्देश

3. हाइपरबोला और इसके गुण परिभाषा 3 .. एक हाइपरबोला कुछ आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में परिभाषित एक वक्र है जो समीकरण 0. (3.) और समानता (3.) को विहित समीकरण कहा जाता है

व्यावहारिक सबक 1 विषय: हाइपरबोला योजना 1 हाइपरबोला की हाइपरबोला जियोमेट्रिक गुणों की परिभाषा और विहित समीकरण हाइपरबोला की एक म्यूचुअल स्थिति और इसके केंद्र से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा

व्याख्यान नोट 13 ELLIPSE, HYPERBALL और PARABOLA 0. व्याख्यान योजना व्याख्यान दीर्घवृत्त, हाइपरबोला और परबोला। 1. दीर्घवृत्त। 1.1। एलीपस परिभाषा; 1.2। विहित समन्वय प्रणाली का निर्धारण; 1.3। समीकरण की व्युत्पत्ति

HYPERBALL PARABOL व्यावहारिक पाठ विषय का वैकल्पिक तरीका: दीर्घवृत्त की परिभाषा और विलक्षण समीकरण एक दीर्घवृत्तीय गुण एक दीर्घवृत्त की ज्यामितीय गुण विलक्षणता पर एक दीर्घवृत्त के आकार की निर्भरता

सेकंड प्रॉब्लम 1. प्लेन पर सीधी रेखा। 1. दो सीधी रेखाएँ सदिश समीकरण (, rn) \u003d D और r \u003d r + a, और (a,) 0. द्वारा दी गई हैं, सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के त्रिज्या सदिश का पता लगाएं। 0 टी। एक त्रिज्या वेक्टर के साथ एक बिंदु М 0 दिया

दूसरे क्रम के घटता। परिभाषा: दूसरे क्रम का एक वक्र) विमान के बिंदुओं का समुच्चय (M) है, कार्टेशियन X, Y का समन्वय करता है, जिसमें से दूसरे अंश के बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

ग्रह पर अलंकृत रेखाएँ .. ग्रह के सबसे पहले अस्तर (अस्तर में अस्तर) ... ग्रह में अस्तर के विभाजन के आधार प्रकार एक अरेखित वेक्टर n एक सीधा रेखा के लिए लंबवत n को सामान्य कहा जाता है

दीर्घवृत्त और उसके गुण परिभाषा .. एक दीर्घवृत्त दूसरे क्रम का एक वक्र होता है जिसे समीकरण b, b 0. (।) समानता () में से कुछ आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में परिभाषित किया जाता है।

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 व्याख्यान 9 ELLIPSE, HYPERBALL और PARABOL 1. एक दीर्घवृत्त की कैनोनिकल समीकरण 1. एक दीर्घवृत्त एक विमान पर बिंदु M का ठिकाना है, प्रत्येक से दूरी का योग।

तीन-दिवसीय अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक जियोमेट्री लेसन प्लान के तत्व विमान के वेक्टर समीकरण को लिखें और इस समीकरण में शामिल मात्राओं के अर्थ को समझाएं सामान्य समीकरण विमान

पाठ 12 दीर्घवृत्त, हाइपरबोला और परबोला। विहित समीकरण। एक दीर्घवृत्त एक विमान पर बिंदु M का एक स्थान है, जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं F 1 और F 2 से दूरियों का योग कहा जाता है।

LINEAR ALGEBRA व्याख्यान दूसरे क्रम के घटता समीकरणों का समीकरण वृत्त एक वृत्त एक बिंदु से एक बिंदु के समबाहु का एक स्थान है, जिसे वृत्त r के केंद्र में कहा जाता है

यूराल संघीय विश्वविद्यालय, इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स एंड कंप्यूटर साइंस, डिपार्टमेंट ऑफ एलजेबरा एंड डिसक्रीट मैथमेटिक्स इंट्रोडक्टरी नोट्स इस व्याख्यान में तीसरे सेकंड-ऑर्डर कर्व, पेराबोला की जांच की गई है।

एक विमान पर व्याख्यान 9.30 अध्याय विश्लेषणात्मक ज्यामिति एक विमान पर समन्वय प्रणाली एक आयताकार और ध्रुवीय समन्वय प्रणाली एक विमान पर एक समन्वय प्रणाली एक विधि है जो आपको निर्धारित करने की अनुमति देती है

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय यारोस्लाव स्टेट यूनिवर्सिटी के नाम पर रखा गया पी। जी। डिमिडोवा डिपार्टमेंट ऑफ अलजेब्रा एंड मैथमेटिकल लॉजिक एस। आई। याब्लोकोवा कर्व्स ऑफ़ अदर ऑर्डर पार्ट वर्कशॉप

एक ग्रह और अंतरिक्ष व्याख्यान में विश्लेषणात्मक ज्यामितीय के शीर्ष स्थान .. विमान पी और एन पर लाइनें। एक विमान पर निर्देशांक की विधि .. कार्तीय निर्देशांक में रेखा .. समानता और लंब की स्थिति

रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति विषय: दूसरे क्रम के घटता व्याख्याता रोझकोवा एस.वी. 01 15. दूसरे क्रम के घटता दूसरे क्रम के घटता 1) पतित और) गैर पतित पतित

व्याख्यान ११ १. १.१ अध्याय १। परिभाषा। इस शंकु के जेनरेट्रिक्स पर एक विमान द्वारा एक सही परिपत्र शंकु के अनुभाग पर विचार करें। कब विभिन्न अर्थ अक्षीय में शीर्ष पर कोण α

व्याख्यान ९ १। परिभाषा। इस शंकु के जेनरेट्रिक्स पर एक विमान द्वारा एक सही परिपत्र शंकु के अनुभाग पर विचार करें। अक्षीय में शीर्ष पर कोण α के विभिन्न मूल्यों के लिए

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विकल्प 1 1 बिंदु M 1 (18) और M (1) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा का ढलान k ज्ञात करें; पैरामीट्रिक फॉर्म में एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखिए। A के साथ त्रिभुज के भुजाओं और माध्यिका के लिए समीकरण बनाएँ ()

परीक्षा... दिए गए ए, बी और डी। एबी 9 डी का पता लगाएं यदि: 4 7 () 6 9 6 ए \u003d 3 9 7, बी \u003d, डी \u003d 3 8 3. 3 7 7 3 7 मेट्रिसेस ए 3 और बी 3. को गुणा करें। तत्वों से मिलकर C का आकार 3 3 होगा

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दूसरे क्रम के सतहों। थ्री-डायमेंशनल स्पेस में एक सतह को F (x; y; z) \u003d 0 या z / f (x; y) के समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है। दो सतहों का चौराहा अंतरिक्ष में एक रेखा को परिभाषित करता है, अर्थात। अंतरिक्ष में लाइन

कार्टेशियन निर्देशांक में, पहली डिग्री का एक समीकरण एक निश्चित सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

कार्टेसियन निर्देशांक में पहली डिग्री के एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाने वाली रेखाओं को प्रथम-ऑर्डर लाइनें कहा जाता है। इसलिए, प्रत्येक सीधी रेखा पहले क्रम की एक रेखा है।

लाइन का सामान्य समीकरण (पहली डिग्री के एक सामान्य समीकरण के रूप में) फार्म के एक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ओह + वू + से = 0.

सीधी रेखा के अधूरे समीकरणों पर विचार करें।

1. से \u003d 0. सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: अह + वु \u003d 0; सीधी रेखा मूल से होकर गुजरती है।

2. में = 0 (तथा ¹ 0)। समीकरण का रूप है ओह + से \u003d 0 या एक्स = तथाकहाँ पे तथा\u003d रेखा बिंदु से होकर गुजरती है तथा(तथा; 0), यह अक्ष के समानांतर है OU... संख्या तथा ओह (चित्र .1)।

चित्र: 1

यदि एक तथा \u003d 0, तब रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है OU. Y- अक्ष समीकरण का रूप है: एक्स = 0.

3. तथा = 0 (में ¹ 0)। समीकरण है: वू + से \u003d 0 या पर = खकहाँ पे ख \u003d। सीधी रेखा बिंदु से होकर जाती है में(0; ख), यह अक्ष के समानांतर है ओह... संख्या ख उस सेगमेंट का मान है जो अक्ष पर सीधी रेखा से कट जाता है OU (रेखा चित्र नम्बर 2)।

चित्र: 2

यदि b \u003d 0 है, तो सीधी रेखा abscissa अक्ष ऑक्स के साथ मेल खाती है। एब्सिसा एक्सिस ऑक्स के समीकरण का रूप है: y \u003d 0।

कुल्हाड़ियों पर लाइन खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:

नंबर कहां हैं तथा तथा ख समन्वय अक्षों पर सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों के मान हैं (चित्र 3)।

(एक्स 0 ; पर 0) सामान्य वेक्टर के लंबवत = {ए; बी), सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

तथा(एक्स – एक्स 0) + में(पर – पर 0) = 0.

दिए गए बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण(एक्स 0 ; पर 0) दिशा वेक्टर के समानांतर = {एल; म), का रूप है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण M 1 (एक्स 1 ; पर 1) और म 2 (एक्स 2 ; पर 2) समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सीधी रेखा k का ढलानअक्ष को सीधी रेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा कहा जाता है ओह, जिसे अक्ष की सकारात्मक दिशा से सीधी रेखा के वामावर्त में गिना जाता है, क \u003d tgα।

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण की तरह लगता है:

y \u003d kx + ख,

कहाँ पे क \u003d tgα, ख- सेगमेंट का आकार अक्ष पर एक सीधी रेखा से कट जाता है OU(अंजीर। 4)।

दिए गए बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण(एक्स 0 ; पर 0) इस दिशा में (ढलान कज्ञात), सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

y y 0 = क(एक्स – एक्स 0).

किसी बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के बंडल का समीकरण(एक्स 0 ; पर ०) (ढलान क अज्ञात), सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

y y 0 = क(एक्स – एक्स 0).

सीधी रेखाओं के चौराहे के बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के एक पेंसिल का समीकरण

तथा 1 एक्स + में 1 पर + से 1 \u003d 0 और तथा 2 एक्स + में 2 पर + से 2 \u003d 0, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

α( तथा 1 एक्स + में 1 पर + से 1) + β ( तथा 2 एक्स + में 2 पर + से 2) = 0.

कोणj एक सीधी रेखा से वामावर्त गिना य \u003d के 1 एक्स + ख 1 से सीधे य \u003d के 2 एक्स + ख 2, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है (चित्र 5):

सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई सीधी रेखाओं के लिए तथा 1 एक्स + में 1 पर + से 1 \u003d 0 और तथा 2 एक्स + में 2 पर + से 2 \u003d 0, दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

दो सीधी रेखाओं के लिए समानता की स्थिति है: क 1 = क 2 या।

दो सीधी रेखाओं की लम्बवत स्थिति है: या तथा 1 तथा 2 + में 1 में 2 = 0.

रेखा के सामान्य समीकरण का रूप है:

एक्सcosα + ysinα - पी = 0,

कहाँ पे पी -मूल से सीधी रेखा की ओर गिराए गए लम्ब की लंबाई, α अक्ष की सकारात्मक दिशा के लंब के झुकाव का कोण है ओह(अंजीर। 6)।

सीधी रेखा के सामान्य समीकरण देने के लिए ओह + वू + से \u003d 0 से सामान्य रूप में, आपको इसकी सभी शर्तों को गुणा करना होगा सामान्यीकरण कारक μ \u003d, मुक्त पद के विपरीत संकेत के साथ लिया गया से.

बिंदु M से दूरी(एक्स 0 ; पर 0) आह को सीधा करने के लिए + वू + से \u003d 0 सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सीधी रेखा ए के बीच कोणों के द्विभाजक के समीकरण 1 एक्स + में 1 पर + से 1 \u003d 0 और तथा 2 एक्स + में 2 पर + से 2 \u003d 0 का फॉर्म है:

उदाहरण 4... त्रिभुज के कोने दिए गए हैं एबीसी: तथा (–5; –7), में (7; 2), से (-6; 8)। खोजें: 1) साइड की लंबाई एबी; 2) पक्ष समीकरण एबी तथा जैसा और उनकी ढलान; 3) आंतरिक कोने में; 4) माध्य समीकरण एई; 5) समीकरण और ऊंचाई की लंबाई सीडी; 6) द्विभाजक का समीकरण एके; 7) एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण इ पक्ष के समानांतर एबी; 8) बिंदु निर्देशांक मबिंदु पर सममित रूप से स्थित है तथा अपेक्षाकृत सीधे सीडी.

1. दूरी घ दो बिंदुओं के बीच तथा(एक्स 1 ; पर 1) और में(एक्स 2 ; पर 2) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

पक्ष की लंबाई ज्ञात कीजिए एबी दो बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में तथा(-7; -8) और में(8; –3):

2. बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण तथा(एक्स 1 ; पर 1) और में(एक्स 2 ; y 2), का रूप है:

बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना तथा तथा में, हम पक्ष समीकरण प्राप्त करते हैं एबी:

3(एक्स+ 5) = 4(पर+ 7); 3एक्स– 4पर– 13 = 0 (एबी).

ढलान को खोजने के लिए के एबी सीधे ( एबी) हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं पर:

4y= 3एक्स– 13;

- सीधी रेखा का समीकरण ( एबी) ढलान के साथ,

इसी प्रकार, बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना में तथा से, हम सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं ( रवि):

6एक्स– 42 = –13पर+ 26; 6x +13y– 68 = 0 (ईसा पूर्व).

आइए हम सीधी रेखा के समीकरण को हल करते हैं ( रवि) अपेक्षाकृत पर: .

3. दो सीधी रेखाओं के बीच कोण j की स्पर्शरेखा, जिनमें से ढलान बराबर हैं क 1 और क 2 सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

भीतर का कोना में सीधी रेखाओं द्वारा गठित ( एबी) तथा ( रवि), और यह एक तीव्र कोण है जिसके द्वारा सीधी रेखा को मुड़ना चाहिए रवि सकारात्मक दिशा में (वामावर्त) जब तक यह सीधी रेखा से मेल नहीं खाता ( एबी). इसलिए, हम सूत्र में स्थानापन्न करते हैं क 1 = , क 2 = :

Ð में \u003d arctg \u003d arctan 1.575 "57.59 °।

4. माध्य समीकरण को खोजने के लिए ( एई), हम पहले बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करते हैं इ, जो बीच में है रवि। ऐसा करने के लिए, हम एक खंड को दो समान भागों में विभाजित करने के लिए सूत्र लागू करते हैं:

इसलिए बात इ निर्देशांक है: इ(0,5; 5).

दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा के बिंदुओं के निर्देशांक में प्रतिस्थापन तथा तथा इ, हम माध्य समीकरण खोजें ( एई):

24एक्स – 11पर + 43 = 0 (एई).

5. ऊंचाई के बाद से सीडी पार्श्व की ओर लंबवत एबी, फिर सीधी रेखा ( एबी) सीधी रेखा के लंबवत है ( सीडी)। ऊँचाई का ढलान खोजने के लिए सीडी, हम दो लाइनों की लंबवत स्थिति का उपयोग करेंगे:

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण म(एक्स 0 ; पर 0) एक निश्चित दिशा (ढलान) में क ज्ञात), का रूप है:

y y 0 = क (x - x 0).

बिंदु के निर्देशांक को अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करना से(-6; 8) और, हम ऊंचाई समीकरण प्राप्त करते हैं सीडी:

पर – 8 = (एक्स -(–6)), 3पर – 24 = – 4एक्स– 24, 4एक्स + 3पर = 0 (सीडी).

बिंदु से दूरी म(एक्स 0 ; पर 0) सीधे करने के लिए अक्ष + बाय + सी \u003d 0 सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ऊंचाई लंबाई सीडी बिंदु से दूरी के रूप में खोजें से(-6; 8) सीधी रेखा के लिए () एबी): 3एक्स – 4पर - 13. सूत्र में आवश्यक मात्रा को प्रतिस्थापित करते हुए, हम लंबाई पाते हैं सीडी:

6. सीधी रेखाओं के बीच कोणों के द्विभाजक के समीकरण ऐक्स + बाय + सी \u003d 0 और
तथा 1 x + बी 1 y + सी 1 = 0 सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

बिसरेक्टर समीकरण एके सीधी रेखाओं के बीच कोणों के द्विभाजकों के समीकरणों में से एक के रूप में ( एबी) तथा ( जैसा).

आइए हम सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं ( जैसा) दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में तथा (-५;-–) और से (–6; 8):

हम अंतिम समीकरण को बदलते हैं:

15(एक्स+ 5) = – (पर+ 7); 15x + y + 82 = 0 (एसी).

सीधी रेखाओं के सामान्य समीकरणों से गुणांक को प्रतिस्थापित करना ( एबी) तथा ( जैसा), हम कोणों के द्विभाजकों के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम अंतिम समीकरण को बदलते हैं:

; (3एक्स – 4पर - 13) \u003d (5 (15) x + y + 82);

3 एक्स - 4 पर - 13 \u003d ± (75) एक्स +5पर + 410).

दो मामलों पर विचार करें:

1) 3 एक्स - 4 पर – 13 = 75एक्स +5पर + 410.y l एबी।

त्रिभुज एबीसी, ऊंचाई सीडी, माध्यिका एई, द्विभाजक एके, सीधे एल और बिंदु म समन्वित प्रणाली में साजिश रची ऊह (अंजीर। 7)।

दूसरे क्रम के घटता एक समतल पर समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाएँ कहलाती हैं जिसमें चर निर्देशांक होता है एक्स तथा y दूसरी डिग्री में निहित है। इनमें दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय शामिल हैं।

दूसरे क्रम के वक्र के समीकरण का सामान्य दृश्य इस प्रकार है:

कहाँ पे ए, बी, सी, डी, ई, एफ - संख्या और कम से कम गुणांक में से एक ए, बी, सी शून्य नहीं है।

दूसरे क्रम के घटता के साथ समस्याओं को हल करते समय, दीर्घवृत्त, हाइपरबोला और परबोला के विहित समीकरणों को सबसे अधिक बार माना जाता है। सामान्य समीकरणों से उन्हें पास करना आसान है, उदाहरण के लिए दीर्घवृत्त के साथ समस्याओं का 1 इस के लिए समर्पित होगा।

विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा। एक दीर्घवृत्त समतल पर सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि अंक के लिए दूरियों का योग, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है और foci के बीच की दूरी से अधिक है।

नीचे दिए गए चित्र में फ़ोकस को इंगित किया गया है।

दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है:

कहाँ पे ए तथा ख (ए > ख) - अर्धवृत्त की लंबाई, यानी, समतल अक्षों पर दीर्घवृत्त द्वारा काटे गए खंडों की आधी लंबाई।

दीर्घवृत्त के foci से गुजरने वाली सीधी रेखा इसकी समरूपता की धुरी है। दीर्घवृत्त की समरूपता की एक और धुरी एक सीधी रेखा है जो इस खंड के लंबवत खंड के मध्य से होकर गुजरती है। डॉट के बारे में इन पंक्तियों का प्रतिच्छेदन दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र के रूप में या केवल दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है।

अनुपस्थित अक्ष बिंदु पर दीर्घवृत्त को काटता है ( ए, के बारे में) तथा (- ए, के बारे में), और ऑर्डिनेट अक्ष बिंदुओं पर है ( ख, के बारे में) तथा (- ख, के बारे में)। इन चार बिंदुओं को दीर्घवृत्त के कोने कहा जाता है। एब्सिसा अक्ष पर दीर्घवृत्त के कोने के बीच के खंड को इसकी प्रमुख अक्ष कहा जाता है, और समन्वय अक्ष पर - लघु अक्ष। उनके खंडों को ऊपर से केंद्र तक दीर्घवृत्त के रूप में कहा जाता है।

यदि एक ए = ख , तब दीर्घवृत्त का समीकरण रूप लेता है। यह त्रिज्या के एक वृत्त का समीकरण है ए , और एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है। एक अंडाकार त्रिज्या के एक चक्र से प्राप्त किया जा सकता है ए यदि आप इसे में संपीड़ित करते हैं ए/ख अक्ष के साथ समय ओए .

उदाहरण 1।सामान्य समीकरण द्वारा दी गई रेखा की जाँच करें , एक दीर्घवृत्त।

फेसला। हम सामान्य समीकरण का रूपांतरण करते हैं। हम फ्री टर्म के हस्तांतरण को दाईं ओर, समीकरण के टर्म-बाय-टर्म डिवीजन में समान संख्या और फ्रैक्चर की कमी के साथ लागू करते हैं:

उत्तर। परिणामी समीकरण दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है। इसलिए, यह रेखा एक दीर्घवृत्त है।

उदाहरण 2।एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को लिखें यदि इसके अर्धवृत्त क्रमशः 5 और 4 हैं।

फेसला। हम दीर्घवृत्त और स्थानापन्न के विहित समीकरण के सूत्र को देखते हैं: प्रमुख अर्धविराम है ए \u003d 5, लघु अर्धवृत्त है ख \u003d 4। हमें दीर्घवृत्त के विहित समीकरण मिलते हैं:

अंक और, प्रमुख अक्ष पर हरे रंग में चिह्नित, जहां

कहा जाता है चाल.

बुलाया सनक अंडाकार।

मनोवृत्ति ख/ए दीर्घवृत्त के "चपटा" की विशेषता है। यह अनुपात जितना छोटा होगा, उतना ही दीर्घवृत्त प्रमुख अक्ष के साथ बढ़ेगा। हालांकि, दीर्घवृत्त के बढ़ाव की डिग्री अधिक बार सनकी के रूप में व्यक्त की जाती है, जिसके लिए सूत्र ऊपर दिया गया है। विभिन्न दीर्घवृत्त के लिए, सनकी 0 से 1 तक भिन्न होता है, हमेशा एक से कम शेष रहता है।

उदाहरण 3।एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को लिखें यदि foci के बीच की दूरी 8 और प्रमुख अक्ष 10 है।

फेसला। हम सरल निष्कर्ष देते हैं:

यदि प्रमुख अक्ष 10 है, तो उसका आधा, अर्थात् अर्धव्यास है ए = 5 ,

यदि foci के बीच की दूरी 8 है, तो संख्या सी निर्देशांक का फोकस 4 है।

स्थानापन्न और गणना:

परिणाम दीर्घवृत्त के विहित समीकरण है:

उदाहरण 4।एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को लिखें यदि इसकी प्रमुख धुरी 26 है और विलक्षणता है।

फेसला। प्रमुख अक्ष के आकार और विलक्षण समीकरण दोनों से निम्नानुसार है, दीर्घवृत्त के प्रमुख अर्धव्यास ए \u003d 13। सनकीपन के समीकरण से, हम संख्या व्यक्त करते हैं सीमामूली अर्धवृत्त की लंबाई की गणना करने के लिए आवश्यक:

.

हम मामूली अर्धवृत्त की लंबाई के वर्ग की गणना करते हैं:

हम दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करते हैं:

उदाहरण 5।विहित समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त के foci का निर्धारण करें।

फेसला। संख्या ज्ञात कीजिए सीदीर्घवृत्त के फोकस के पहले निर्देशांक को परिभाषित करना:

.

हम दीर्घवृत्त का ध्यान केंद्रित करते हैं:

उदाहरण 6।दीर्घवृत्त foci अक्ष पर स्थित हैं बैल मूल के बारे में सममित। एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को लिखें यदि:

1) foci 30 और प्रमुख अक्ष 34 के बीच की दूरी

2) माइनर एक्सिस 24 है, और फ़ोकस में से एक बिंदु पर है (-5; 0)

3) सनकीपन, और फोकस में से एक बिंदु पर है (6; 0)

हम एक साथ दीर्घवृत्त पर समस्याओं को हल करना जारी रखते हैं

यदि दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है (रेखाचित्र में इसे दीर्घवृत्त के ऊपरी दाहिने भाग में हरे रंग में दर्शाया गया है) और इस बिंदु से फोकस की दूरी है, तो दूरियों के सूत्र निम्नानुसार हैं:

दीर्घवृत्त से संबंधित प्रत्येक बिंदु के लिए, foci से दूरी का योग 2 के बराबर एक निरंतर मूल्य है ए.

समीकरणों द्वारा परिभाषित सीधी रेखाएँ

कहा जाता है निर्देशकों दीर्घवृत्त (ड्राइंग में - किनारों पर लाल रेखाएं)।

उपरोक्त दो समीकरणों से यह निम्नानुसार है कि दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के लिए

,

इस बिंदु की दूरी कहां तक \u200b\u200bहै और निर्देशकों के लिए क्या है।

उदाहरण 7।एक दीर्घवृत्त दिया जाता है। इसके निर्देशकों के लिए एक समीकरण बनाएं।

फेसला। हम डायरेक्ट्रिक्स समीकरण को देखते हैं और पाते हैं कि दीर्घवृत्त के विलक्षणता को खोजने के लिए आवश्यक है, अर्थात्। इसके लिए सारा डेटा मौजूद है। हम गणना करते हैं:

.

हमें दीर्घवृत्त के निर्देशन का समीकरण मिलता है:

उदाहरण 8।एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को लिखें यदि इसके केंद्र बिंदु और निर्देश सीधी रेखाएं हैं।

वर्तमान निर्देशांक के संबंध में द्वितीय-डिग्री समीकरण द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें

समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन कम से कम एक है संख्या ए, बी या C 0. से भिन्न है। ऐसी रेखाओं को द्वितीय-क्रम रेखाएँ (वक्र) कहा जाता है। नीचे हम बताएंगे कि समीकरण (1) विमान पर एक वृत्त एलीप, हाइपरबोला या परबोला को परिभाषित करता है।

वृत्त

सबसे सरल दूसरा क्रम वक्र है। स्मरण करो कि एक बिंदु M 0 पर केंद्रित त्रिज्या R का एक वृत्त M के उस बिंदु का एक समुच्चय है जो M 0 \u003d R की स्थिति को संतुष्ट करता है। बता दें कि ऑक्सी सिस्टम में बिंदु M 0 में निर्देशांक x 0, y 0 है, और M (x, y) सर्कल का एक मनमाना बिंदु है। तो कोई

-विहित वृत्त समीकरण ... एक्स 0 \u003d वाई 0 \u003d 0 डालते हुए हमें एक्स 2 + वाई 2 \u003d आर 2 मिलता है

हम बताएंगे कि सर्कल के समीकरण को दूसरी डिग्री (1) के सामान्य समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, वृत्त समीकरण के दाईं ओर को वर्गित करें और प्राप्त करें:

इस समीकरण के लिए (1) के अनुरूप होने के लिए, यह आवश्यक है कि:

1) गुणांक B \u003d 0,

2)। तब हमें मिलता है: (2)

अंतिम समीकरण कहा जाता है सर्कल के सामान्य समीकरण ... समीकरण के दोनों किनारों को A adding 0 से विभाजित करना और x और y वाले शब्दों को एक पूर्ण वर्ग में जोड़ना, हमें यह मिलता है:

(2)

सर्कल के विहित समीकरण के साथ इस समीकरण की तुलना करने पर, हमें लगता है कि समीकरण (2) वास्तव में सर्कल का समीकरण है:

1) ए \u003d सी, 2) बी \u003d 0, 3) डी 2 + ई 2 -4 सेफ़\u003e 0।

जब ये स्थितियां पूरी हो जाती हैं, तो वृत्त का केंद्र बिंदु O, और उसके त्रिज्या पर स्थित होता है .

अंडाकार

y

एक्स

एफ 2 (सी, ओ)

एफ 1 (-सी, ओ)

परिभाषा के अनुसार, 2\u003e 2 c, अर्थात,\u003e c। दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम मानते हैं कि Foci F 1 और F 2 ऑक्सी अक्ष पर स्थित है, और इसलिए O खंड 1 F 2 के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है, तो F 1 (-c) 0), एफ 2 (सी, 0)।

चलो M (x, y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है, तो, दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, MF 1 + MF 2 \u003d 2 जो कि

यह दीर्घवृत्त का समीकरण है। आप इसे सरल रूप में रूपांतरित कर सकते हैं:

बराबरी:

वर्ग

चूंकि, तब 2 -c 2\u003e 0 2 -c 2 \u003d b 2 डालते हैं

तब अंतिम समीकरण फॉर्म लेगा:

विहित रूप में दीर्घवृत्त का समीकरण है।

दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है: b \u003d दीर्घवृत्त एक सर्कल में बदल जाता है। समीकरण रूप ले लेता है। अनुपात का उपयोग अक्सर एक दीर्घवृत्त की विशेषता के रूप में किया जाता है। इस मान को दीर्घवृत्त का विलक्षणता कहा जाता है, और, 0< <1 так как 0

एक दीर्घवृत्त के आकार का अध्ययन।

1) दीर्घवृत्त के समीकरण में x और y होते हैं, केवल एक सम डिग्री तक, इसलिए दीर्घवृत्त कुल्हाड़ियों ऑक्सी और ओए के बारे में सममित होता है, साथ ही बिंदु O (0,0) के बारे में, जिसे दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।

2) समन्वय अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के चौराहे के बिंदुओं को खोजें। Y \u003d 0 को सेट करना, हम A 1 (, 0) और A 2 (-, 0) खोजते हैं, जिस पर दीर्घवृत्त ऑक्स का अंतर करता है। एक्स \u003d 0 डालते हुए, हम बी 1 (0, बी) और बी 2 (0, -बी) पाते हैं। अंक ए 1, ए 2, बी 1, बी 2 को दीर्घवृत्त के कोने कहा जाता है। खंड ए 1 ए 2 और बी 1 बी 2, साथ ही साथ उनकी लंबाई 2 और 2 बी, दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु कुल्हाड़ियों को क्रमशः कहा जाता है। संख्या और बी क्रमशः प्रमुख और मामूली अर्धवृत्त हैं।

एक 1 (0,)

A2 (-, 0)

बी 2 (0, बी)

नतीजतन, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु रेखाओं x \u003d ±, y \u003d ± b द्वारा गठित आयत के अंदर स्थित होते हैं। (रेखा चित्र नम्बर 2।)

4) दीर्घवृत्त के समीकरण में, गैर-नकारात्मक शब्दों का योग एक के बराबर है। इसलिए, जैसे-जैसे एक शब्द बढ़ता जाएगा, दूसरा घटता जाएगा, अर्थात, अगर | x | बढ़ता है, तब | y | - घटता है और इसके विपरीत। कहा गया है कि सभी से, यह निम्नानुसार है कि दीर्घवृत्त आकृति 2 में दिखाया गया है। (अंडाकार बंद वक्र)।

11.1। मूल अवधारणा

वर्तमान निर्देशांक के सापेक्ष दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें

समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन A, B, या C में से कम से कम एक संख्या गैर-शून्य है। ऐसी रेखाओं को द्वितीय-क्रम रेखाएँ (वक्र) कहा जाता है। यह उस समीकरण के नीचे स्थापित किया जाएगा (11.1) विमान पर एक चक्र, दीर्घवृत्त, हाइपरबोला या पेराबोला को परिभाषित करता है। इस कथन पर आगे बढ़ने से पहले, हम सूचीबद्ध वक्रों के गुणों का अध्ययन करते हैं।

11.2। वृत्त

सबसे सरल दूसरा क्रम वक्र है। स्मरण करो कि त्रिज्या R का एक बिंदु एक बिंदु पर केंद्रित है, जो उस स्थिति को संतुष्ट करने वाले समतल के सभी बिंदुओं का समूह है। आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक बिंदु को x 0, y 0 और - और एक मनमाना बिंदु है (वृत्त देखें। 48)।

फिर उस स्थिति से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

(11.2)

समीकरण (11.2) किसी दिए गए सर्कल के किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट है और सर्कल पर झूठ नहीं बोलने वाले किसी भी बिंदु के निर्देशांक संतुष्ट नहीं करते हैं।

समीकरण (11.2) को कहा जाता है वृत्त का विहित समीकरण

विशेष रूप से, सेटिंग और, हम मूल पर केंद्रित सर्कल के समीकरण को प्राप्त करते हैं .

सरल परिवर्तनों के बाद वृत्त (11.2) का समीकरण रूप ले लेगा। जब दूसरे समीकरण वक्र के सामान्य समीकरण (11.1) के साथ इस समीकरण की तुलना करते हैं, तो यह देखना आसान है कि दो समीकरण सर्कल समीकरण के लिए संतुष्ट हैं:

1) x 2 और y 2 के लिए गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं;

2) वर्तमान निर्देशांक के उत्पाद xy युक्त कोई शब्द नहीं है।

उलटे समस्या पर विचार करें। मूल्यों को रखना और समीकरण (11.1) में, हम प्राप्त करते हैं

आइए इस समीकरण को रूपांतरित करें:

(11.4)

इसलिए यह इस प्रकार है कि समीकरण (11.3) हालत के तहत एक चक्र को परिभाषित करता है ... इसका केंद्र बिंदु पर है और त्रिज्या

.

अगर , तब समीकरण (11.3) का रूप है

.

यह एक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट है ... इस मामले में, वे कहते हैं: "वृत्त एक बिंदु में पतित हो गया है" (एक शून्य त्रिज्या है)।

यदि एक , तब समीकरण (11.4), और इसलिए समतुल्य समीकरण (11.3), किसी भी रेखा को परिभाषित नहीं करेगा, क्योंकि समीकरण के दाईं ओर (11.4) नकारात्मक है, और बाएं नकारात्मक नहीं है (कहो: "काल्पनिक सर्कल")।

11.3। अंडाकार

कैननिकल एलीपस समीकरण

अंडाकार समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक के दो से बिंदुओं के बीच की दूरी का योग, कहा जाता है चाल , फ़ॉसी के बीच की दूरी से अधिक एक निरंतर मूल्य है।

हम ध्यान केंद्रित करते हैं एफ 1 तथा एफ 2, उनके बीच की दूरी 2 है सी, और दीर्घवृत्त के मनमाने बिंदु से foci के लिए दूरी का योग - 2 के बाद ए(अंजीर देखें। 49)। परिभाषा से २ ए > 2सी, अर्थात। ए > सी.

दीर्घवृत्त समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि foci एफ 1 तथा एफ 2 अक्ष पर रखना, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2... तब foci के निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: और।

आज्ञाचक्र का एक मनमाना बिंदु हो। फिर, एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात्।

यह, संक्षेप में, दीर्घवृत्त का समीकरण है।

हम समीकरण (11.5) को सरल रूप में बदलते हैं:

चूंकि ए>सेफिर। हम डालते है

(11.6)

फिर अंतिम समीकरण रूप लेता है या

(11.7)

यह साबित किया जा सकता है कि समीकरण (11.7) मूल समीकरण के बराबर है। इसे कहते हैं विहित अंडाकार समीकरण .

दीर्घवृत्त एक दूसरे क्रम का वक्र है।

इसके समीकरण द्वारा एक दीर्घवृत्त के आकार का अध्ययन

आइए हम दीर्घवृत्त के आकार को स्थापित करते हैं, इसके विहित समीकरण का उपयोग करते हुए।

1. समीकरण (11.7) में केवल सम शक्तियां x और y समाहित हैं, इसलिए, यदि एक बिंदु एक दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो अंक, इसके भी हैं। यह इस प्रकार है कि दीर्घवृत्त कुल्हाड़ियों के बारे में सममित है, और साथ ही एक बिंदु के बारे में कहा जाता है जिसे ग्रहण का केंद्र कहा जाता है।

2. समन्वय अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन के बिंदु ज्ञात कीजिए। डालते हुए, हमें दो बिंदु मिलते हैं और जिस पर अक्ष दीर्घवृत्त को देखता है (चित्र 50 देखें)। समीकरण (11.7) में रखते हुए, हम अक्ष के चौराहे के बिंदुओं को अक्ष के साथ पाते हैं: और। अंक ए 1 , एक २ , बी १, बी २कहा जाता है दीर्घवृत्त लंबवत ... सेगमेंट ए 1 एक २ तथा बी १ बी २, साथ ही उनकी लंबाई 2 है ए और 2 ख तदनुसार नाम दिया गया बड़े और छोटे धुरों अंडाकार। नंबर ए तथा ख क्रमशः बड़े और छोटे कहलाते हैं अर्द्ध कुल्हाड़ियों अंडाकार।

3. समीकरण (11.7) से यह इस प्रकार है कि बाईं ओर का प्रत्येक पद एकता से अधिक नहीं है, अर्थात्। असमानताएं और / या। इसलिए, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित आयत के अंदर होते हैं।

4. समीकरण (11.7) में गैर-नकारात्मक शब्दों का योग एक के बराबर है। नतीजतन, एक शब्द में वृद्धि के साथ, दूसरा घट जाएगा, अर्थात, यदि यह बढ़ता है, तो यह कम हो जाता है और इसके विपरीत।

ऊपर से यह निम्नानुसार है कि दीर्घवृत्त में आकृति दिखाई गई है। 50 (अंडाकार बंद वक्र)।

दीर्घवृत्त के बारे में अधिक जानें

दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है। जब दीर्घवृत्त एक सर्कल में बदल जाता है, तो दीर्घवृत्त समीकरण (11.7) रूप लेता है। अनुपात का उपयोग अक्सर एक दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता के रूप में किया जाता है। एफ्लिप की अर्ध-प्रमुख धुरी के लिए फ़ॉसी के बीच की आधी दूरी को एलिप्से की विलक्षणता कहा जाता है और ओ 6 ओ को अक्षर ε ("एप्सिलॉन") द्वारा निरूपित किया जाता है:

और 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

इससे यह देखा जा सकता है कि दीर्घवृत्त जितना कम होगा, उतना ही दीर्घवृत्त कम होगा; यदि हम we \u003d 0 डालते हैं, तो दीर्घवृत्त एक सर्कल में बदल जाता है।

बता दें कि M (x; y) foci F 1 और F 2 के साथ एक दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 51 देखें)। खंड एफ 1 एम \u003d आर 1 और एफ 2 एम \u003d आर 2 की लंबाई को बिंदु rad का फोकल रेडी कहा जाता है। जाहिर है

निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं

सीधी रेखाएं कहलाती हैं

प्रमेय 11.1। यदि कुछ फोकस पर दीर्घवृत्त के मनमाने बिंदु से दूरी है, d इस फोकस के अनुरूप समान बिंदु से डायरेक्ट्री तक की दूरी है, तो अनुपात दीर्घवृत्त के विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है।

समानता (11.6) से यह इस प्रकार है। यदि, तब, समीकरण (11.7) एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसमें से प्रमुख अक्ष ओय अक्ष पर स्थित है, और ऑक्स अक्ष पर लघु अक्ष (चित्र 52 देखें)। इस तरह के दीर्घवृत्त के foci बिंदुओं पर हैं और, जहां .

11.4। अतिशयोक्ति

कैनोनिकल हाइपरबोला समीकरण

अतिशयोक्ति को समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक से दो के बीच के बिंदुओं के बीच की दूरी के अंतर का मापांक कहा जाता है चाल , फ़ॉसी के बीच की दूरी से लगातार कम मूल्य है।

हम ध्यान केंद्रित करते हैं एफ 1 तथा एफ 2 उनके बीच की दूरी 2c, और हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु से foci के माध्यम से दूरी के बीच अंतर के मापांक 2a... परिभाषा से 2a < 2c, अर्थात। ए < सी.

हाइपरबोला समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि फ़ॉसी एफ 1 तथा एफ 2 अक्ष पर रखना, और मूल खंड के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है एफ 1 एफ 2 (अंजीर देखें। 53)। फिर फ़ोकस में निर्देशांक और होंगे

हाइपरबोला का एक मनमाना बिंदु हो। फिर, हाइपरबोला की परिभाषा के अनुसार या, यह है कि सरलीकरण के बाद, जैसा कि दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करते समय किया गया था, हम प्राप्त करते हैं विहित हाइपरबोला समीकरण

(11.9)

(11.10)

हाइपरबोला दूसरे क्रम की एक पंक्ति है।

इसके समीकरण द्वारा हाइपरबोला के रूप का अध्ययन

आइए हम हाइपरबोला के रूप को स्थापित करते हैं, इसके काकोनिकल समीकरण का उपयोग करते हुए।

1. समीकरण (11.9) में x और y सम शक्तियां समाहित हैं। नतीजतन, हाइपरबोला अक्षों के बारे में सममित है और, साथ ही एक बिंदु के बारे में भी कहा जाता है हाइपरबोले का केंद्र।

2. समन्वय अक्षों के साथ हाइपरबोला के चौराहे के बिंदुओं का पता लगाएं। समीकरण (11.9) में डालते हुए, हम अक्ष के साथ हाइपरबोला के प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं को पाते हैं: और। (11.9) में डालते हुए, हमें वह मिलता है जो नहीं हो सकता। नतीजतन, हाइपरबोला ओय अक्ष को पार नहीं करता है।

अंक और कहा जाता है चोटियों हाइपरबोले, और सेगमेंट

वास्तविक अक्ष , अनुभाग - असली सेमियाक्सिस अतिशयोक्ति।

अंक जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है काल्पनिक अक्ष , संख्या b - काल्पनिक सेमियाक्सिस ... पक्षों के साथ आयत 2a तथा 2 बी बुलाया हाइपरबोला का मुख्य आयत .

3. समीकरण (11.9) से यह निम्नानुसार है कि कम किया जाने वाला मूल्य एक से कम नहीं है, अर्थात। इसका मतलब है कि हाइपरबोला के बिंदु सीधी रेखा (हाइपरबोला की दाईं शाखा) के दाईं ओर और सीधी रेखा (हाइपरबोला की बाईं शाखा) के बाईं ओर स्थित हैं।

4. हाइपरबोला के समीकरण (11.9) से यह देखा जा सकता है कि जब यह बढ़ता है, तब यह भी बढ़ जाता है। यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि अंतर स्थिर रहता है, एक के बराबर।

जो कहा गया है, वह इस प्रकार है कि हाइपरबोला का आकार चित्र 54 में दिखाया गया है (एक वक्र जिसमें दो अनबाउंड शाखाएं होती हैं)।

हाइपरबोला एसिम्पोटोट्स

रेखा L को एसिम्प्टोट कहा जाता है यदि कोई वक्र K की एक बिंदु M से दूरी के बिना एक सीधी वक्र K है, तो यह सीधी रेखा मूल से एक वक्र K के साथ बिंदु M की एक निर्बाध दूरी पर शून्य हो जाती है। चित्र 55 एक स्पर्शोन्मुख अवधारणा को दर्शाता है: रेखा L, वक्र K के लिए स्पर्शोन्मुख है।

बता दें कि हाइपरबोला में दो स्पर्शक हैं:

(11.11)

चूंकि सीधी रेखाएं (11.11) और हाइपरबोला (11.9) समन्वित अक्षों के संबंध में सममित हैं, यह संकेतित लाइनों के केवल उन बिंदुओं पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जो पहली तिमाही में स्थित हैं।

हाइपरबोला पर एक बिंदु के रूप में एक समान एब्सिस्सा एक्स होने वाली एक सीधी रेखा पर ले जाएं (चित्र 56 देखें), और लाइन के निर्देशांक और हाइपरबोला की शाखा के बीच के अंतर को पाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे x बढ़ता है, अंश का भाजक बढ़ता है; अंश एक स्थिर है। इसलिए, खंड की लंबाई Zero शून्य हो जाता है। चूँकि ΜΝ बिंदु line से सीधी रेखा की दूरी d से अधिक है, तो d और भी अधिक शून्य हो जाता है। तो, लाइनें हाइपरबोला (11.9) के स्पर्शोन्मुख हैं।

हाइपरबोला (11.9) का निर्माण करते समय, सबसे पहले हाइपरबोला के मुख्य आयत (चित्र देखें। 57) का निर्माण करना उचित है, इस आयत के विपरीत कोने से गुजरने वाली सीधी रेखाएँ खींचें - हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख और कोने और हाइपरबोलस को चिह्नित करें।

समबाहु हाइपरबोला समीकरण।

जिनके स्पर्शोन्मुख समन्वय अक्ष हैं

एक हाइपरबोला (11.9) को समबाहु कहा जाता है यदि उसके अर्धवृत्त बराबर () हैं। उसका विहित समीकरण

(11.12)

एक समबाहु हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख समीकरण हैं और इसलिए, समन्वित कोणों के द्विभाजक हैं।

एक नए समन्वय प्रणाली में इस हाइपरबोला के समीकरण पर विचार करें (चित्र 58 देखें), एक कोण से समन्वय अक्षों को घुमाकर पुराने से प्राप्त किया गया। हम समन्वय अक्षों के घूर्णन के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:

समीकरण में x और y के मानों को प्रतिस्थापित करें (11.12):

एक समबाहु हाइपरबोला का समीकरण, जिसके लिए अक्ष ऑक्स और ओए विषमताएं हैं, का रूप होगा।

हाइपरबोले के बारे में अधिक जानें

सनक हाइपरबोला (11.9) को foci के बीच की दूरी के अनुपात को हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष के परिमाण के रूप में कहा जाता है, जिसे .9 द्वारा निरूपित किया जाता है:

हाइपरबोला के बाद से, हाइपरबोला की विलक्षणता एक से अधिक है:। सनकीपन हाइपरबोला के आकार की विशेषता है। वास्तव में, यह समानता (11.10) के बाद से है अर्थात्। तथा .

इससे यह देखा जा सकता है कि हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी कम होती है, उसके अर्धव्यासों का अनुपात उतना ही कम होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी मुख्य आयत अधिक है।

एक समबाहु हाइपरबोला की विलक्षणता है। वास्तव में,

फोकल राडी तथा हाइपरबोला की दाईं शाखा के बिंदुओं के लिए फार्म है और, और बाईं शाखा के लिए, तथा .

सीधी रेखाओं को हाइपरबोले डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। जब से हाइपरबोला 1\u003e 1 के लिए, तब। इसका मतलब यह है कि सही डाइरेक्ट्री केंद्र और हाइपरबोला के दाहिने शीर्ष के बीच स्थित है, बाईं ओर केंद्र और बाएं शीर्ष के बीच है।

हाइपरबोला डाइरेक्सेस में दीर्घवृत्त् डायरेक्ट्रीज़ के समान गुण होते हैं।

समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र भी एक हाइपरबोला है, वास्तविक अक्ष 2b, जो ओय अक्ष पर स्थित है, और काल्पनिक अक्ष 2 ए - ऑक्स अक्ष पर। चित्र 59 में, इसे बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

जाहिर है, हाइपरबोलस और सामान्य एसिम्पटोट हैं। ऐसे हाइपरबोल्स को संयुग्म कहा जाता है।

11.5। परवलय

कैनोनिकल परबोला समीकरण

एक पेराबोला विमान के सभी बिंदुओं का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक एक दिए गए बिंदु से समान रूप से दूर है, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक सीधी रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी को पैराबोला का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p\u003e 0) द्वारा निरूपित किया जाता है।

पेराबोला समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, हम ऑक्सी कोऑर्डिनेट सिस्टम का चयन करते हैं ताकि ऑक्स अक्ष फोकस फ़्रीपेन्ड्रिकल से डायरेक्ट्रिक्स से फ़्रेक्स की ओर दिशा में से गुजरे, और निर्देशांक ओ की उत्पत्ति फ़ोकस और डायरेक्ट्री के बीच मध्य में स्थित हो (चित्र 60 देखें)। चुने हुए सिस्टम में, फोकस F में निर्देशांक हैं, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण में फॉर्म, या है।

1. समीकरण (11.13) में चर y को एक समान शक्ति में शामिल किया गया है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्सी अक्ष के बारे में सममित है; ऑक्स अक्ष परबोला की समरूपता का अक्ष है।

2. चूँकि ०\u003e ०, यह (११.१३) से है नतीजतन, परबोला ओय अक्ष के दाईं ओर स्थित है।

3. हमारे पास y \u003d 0. नतीजतन, परवल मूल से गुजरता है।

4. एक्स में एक अबाधित वृद्धि के साथ, मॉड्यूल आप भी तेजी से बढ़ता है। Parabola का चित्र 61 में दिखाया गया रूप (आकार) है। बिंदु O (0; 0) को Parabola का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM \u003d r को बिंदु M का केंद्र त्रिज्या कहा जाता है।

समीकरण ,, ( p\u003e 0) परवल को भी परिभाषित करते हैं, उन्हें चित्र 62 में दिखाया गया है

यह दिखाना आसान है कि ग्राफ वर्ग ट्रिनोमियल , जहां, बी और सी किसी भी वास्तविक संख्या हैं, इसकी उपरोक्त परिभाषा के अर्थ में एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है।

11.6। द्वितीय-क्रम लाइनों का सामान्य समीकरण

समन्वित अक्षों के समानांतर समरूपता के अक्षों के साथ दूसरे क्रम के घटता के समीकरण

आइए पहले एक बिंदु पर केन्द्रित एक दीर्घवृत्त के समीकरण को खोजें, जो सममिति के अक्षों को समन्वय अक्षों ऑक्सी और Oy के समांतर है, और अर्धव्यास, क्रमशः समान हैं ए तथा ख... हम दीर्घवृत्त O 1 के केंद्र में नए समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति, जिसका अक्ष और अर्धवृत्त हैं ए तथा ख (अंजीर देखें। 64):

अंत में, चित्र 65 में दिखाए गए परवलों के संगत समीकरण हैं।

समीकरण

एक दीर्घवृत्त, हाइपरबोला, परबोला और परिवर्तनों के बाद एक वृत्त के समीकरण (समीकरणों को खोलते हुए, समीकरण की सभी शर्तों को एक दिशा में ले जाते हैं, समान शब्द लाते हैं, गुणांक के लिए नए पदनामों को प्रपत्र के एकल समीकरण का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

जहां गुणांक A और C एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।

सवाल उठता है: क्या फॉर्म का कोई समीकरण (11.14) दूसरे क्रम के घटता (सर्कल, दीर्घवृत्त, हाइपरबोला, परबोला) में से एक का निर्धारण करता है? इसका उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय 11.2... समीकरण (11.14) हमेशा निर्धारित करता है: या तो एक वृत्त (A \u003d C के लिए), या एक दीर्घवृत्त (A C\u003e 0 के लिए), या एक हाइपरबोला (A C के लिए)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

सामान्य द्वितीय क्रम समीकरण

अब दो अज्ञात के साथ सामान्य द्वितीय-डिग्री समीकरण पर विचार करें:

यह निर्देशांक के उत्पाद (B¹ 0) के साथ एक शब्द की उपस्थिति से समीकरण (11.14) से भिन्न होता है। यह संभव है, इस समीकरण को बदलने के लिए, कोण को समन्वय अक्षों को घुमाकर, ताकि इसमें निर्देशांक के उत्पाद के साथ कोई शब्द न हो।

कुल्हाड़ियों को घुमाने के सूत्र का उपयोग करना

नए के माध्यम से पुराने निर्देशांक व्यक्त करें:

हम कोण को चुनते हैं ताकि x "· y" पर गुणांक लुप्त हो जाए, ताकि समानता हो

इस प्रकार, जब कुल्हाड़ियों को कोण ए (11.17) को संतुष्ट करते हुए घुमाया जाता है, तो समीकरण (11.15) को समीकरण (11.14) तक घटा दिया जाता है।

निष्कर्ष: सामान्य द्वितीय-क्रम समीकरण (11.15) विमान पर निम्नलिखित घटता को परिभाषित करता है (अध: पतन और क्षय के मामलों को छोड़कर): एक चक्र, एक दीर्घवृत्त, एक हाइपरबोला, एक परबोला।

नोट: यदि A \u003d C, तो समीकरण (11.17) निरर्थक हो जाता है। इस स्थिति में cos2α \u003d 0 (देखें (11.16)), फिर 2α \u003d 90 °, यानी α \u003d 45 °। इसलिए, जब ए \u003d सी, समन्वय प्रणाली को 45 ° घुमाया जाना चाहिए।