லோகோபெடிக் போர்டல் / டைசர்த்ரியா / இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு இயல்பான மற்றும் தொடுநிலையின் சமன்பாடுகள்

இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு இயல்பான மற்றும் தொடுநிலையின் சமன்பாடுகள்

29.07.2023

அறிவுறுத்தல் அட்டை எண். 20

Takyryby/பொருள்: « இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மற்றும் அதன் உடல் பொருள்».

மகாசத்தி / நோக்கம்:

தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிய முடியும், அதே போல் OX அச்சுக்கு தொடுகோடு சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு. செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தையும், முடுக்கத்தையும் கண்டறிய முடியும்.

ஆய்வு செய்யப்பட்ட உண்மைகள் மற்றும் கருத்துகளை ஒப்பிடுவதற்கும், வகைப்படுத்துவதற்கும் திறன்களை உருவாக்குவதற்கான ஒரு நிபந்தனையை உருவாக்கவும்.

கல்விப் பணிக்கான பொறுப்பான அணுகுமுறையின் கல்வி, தொடு சமன்பாட்டைக் கண்டறியும் போது இறுதி முடிவுகளை அடைய விருப்பம் மற்றும் விடாமுயற்சி, அத்துடன் செயல்பாடு மற்றும் முடுக்கம் ஆகியவற்றின் மாற்றத்தின் விகிதத்தைக் கண்டறியும் போது.

தத்துவார்த்த பொருள்:

(வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்)

சார்பு வரைபடத்திற்கான தொடுகோடுக்கான சமன்பாடு:

எடுத்துக்காட்டு 1: அப்சிஸ்ஸா 2 உடன் புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: y = 4x-7

abscissa x o புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு k என்பது f / (x o) (k = f / (x o)) க்கு சமம். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சாய்வின் கோணம்

arctg k \u003d arctg f / (x o), அதாவது. k= f / (x o)= tg

எடுத்துக்காட்டு 2: சைனசாய்டு எந்த கோணத்தில் உள்ளது தோற்றத்தில் x- அச்சை வெட்டுகிறதா?

இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் அப்சிஸ்ஸா அச்சை வெட்டும் கோணமானது, இந்த புள்ளியில் f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் சாய்வின் கோணத்திற்கு சமம். வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்: வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருளைக் கருத்தில் கொண்டு, எங்களிடம் உள்ளது: மற்றும் a = 60°. பதில்: =60 0 .

ஒரு சார்பு அதன் டொமைனில் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒரு வழித்தோன்றல் இருந்தால், அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு சார்பு ஆகும். செயல்பாடு, இதையொட்டி, ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கலாம், இது அழைக்கப்படுகிறது இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்செயல்பாடுகள் (அல்லது இரண்டாவது வழித்தோன்றல்) மற்றும் சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 3: செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

ஆரம்பத்தில், இந்தச் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் f "(x) \u003d (x 3 -4x 2 + 2x-7) '= 3x 2 -8x + 2,

பின்னர், பெறப்பட்ட முதல் வழித்தோன்றலின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. பதில்: f""x) = 6x-8.

(இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்)

புள்ளி ஒரு நேர் கோட்டில் நகரும் மற்றும் அதன் இயக்கத்தின் விதி கொடுக்கப்பட்டால், புள்ளியின் முடுக்கம் நேரத்தைப் பொறுத்து பாதையின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கு சமம்:

ஒரு பொருள் உடலின் வேகம் பாதையின் முதல் வழித்தோன்றலுக்கு சமம், அதாவது:

ஒரு பொருள் உடலின் முடுக்கம் வேகத்தின் முதல் வழித்தோன்றலுக்கு சமம், அதாவது:

எடுத்துக்காட்டு 4: s (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m) சட்டத்தின் படி உடல் ஒரு நேர் கோட்டில் நகரும். t = 3 s நேரத்தில் அதன் வேகத்தையும் முடுக்கத்தையும் தீர்மானிக்கவும். (பாதை மீட்டரில் அளவிடப்படுகிறது, நேரம் நொடிகளில்).
தீர்வு
v (டி) = s΄ (டி) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2t
அ (டி) = v΄ (டி) =(2+2t)'= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (மீ/வி). பதில்: 8 மீ/வி; 2 மீ/வி 2 .

நடைமுறை பகுதி:

1 விருப்பம்	விருப்பம் 2	3 விருப்பம்	4 விருப்பம்	5 விருப்பம்
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M வழியாக செல்லும் தொடுகோட்டின் x அச்சுக்கு சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு கண்டுபிடிக்கவும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
abscissa x 0 புள்ளியில் f செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டை எழுதவும்.
f (x) \u003d x 3 -1, x 0 \u003d 2	f (x) \u003d x 2 +1, x 0 \u003d 1	f (x) \u003d 2x-x 2, x 0 \u003d -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
abscissa x 0 உடன் புள்ளியில் f சார்புக்கு தொடுவானின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
x (t) விதியின்படி உடல் ஒரு நேர் கோட்டில் நகரும். இந்த நேரத்தில் அதன் வேகத்தையும் முடுக்கத்தையும் தீர்மானிக்கவும் நேரம் டி. (இடப்பெயர்ச்சி மீட்டரில் அளவிடப்படுகிறது, நேரம் நொடிகளில்).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x (t) \u003d t 4 -0.5t 2 \u003d 2, t \u003d 0.5

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்:

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள் என்ன என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்கள் - இது உடனடி வேகமா அல்லது சராசரி வேகமா?

எந்தப் புள்ளியின் மூலமாகவும் ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட ஒரு தொடுகோடு மற்றும் ஒரு வழித்தோன்றலின் கருத்துக்கு என்ன தொடர்பு?

புள்ளி M (x 0; f (x 0)) இல் உள்ள ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானின் வரையறை என்ன?

இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள் என்ன?

வழித்தோன்றல்.சில செயல்பாடுகளைக் கவனியுங்கள் ஒய்= f (எக்ஸ்) இரண்டு புள்ளிகளில் எக்ஸ் 0 மற்றும் எக்ஸ் 0 + : f(எக்ஸ் 0) மற்றும் f (எக்ஸ் 0 + ). இங்கே, வாதத்தில் சில சிறிய மாற்றங்களால் குறிக்கப்படுகிறது, அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்பு; முறையே, செயல்பாட்டின் இரண்டு மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு: f(எக்ஸ் 0 + ) - f (எக்ஸ் 0) அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்பு. வழித்தோன்றல்செயல்பாடுகள் ஒய்= f (எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ் 0 வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது:

இந்த வரம்பு இருந்தால், செயல்பாடு f (எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது வேறுபடுத்தக்கூடியதுபுள்ளியில் எக்ஸ் 0 . செயல்பாடு வழித்தோன்றல் f (எக்ஸ்) பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்.செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள் ஒய்= f (எக்ஸ்):

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் படம் 1 இல் இருந்து காணலாம்:

செகண்ட் ஏபியின் சாய்வின் கோணம் எங்கே.

எனவே, வேறுபாடு விகிதம் செக்கன்ட்டின் சாய்வுக்கு சமம். புள்ளி A ஐ சரிசெய்து புள்ளி B ஐ அதை நோக்கி நகர்த்தினால், அது காலவரையின்றி குறைந்து 0 ஐ நெருங்குகிறது, மற்றும் AB ஆனது தொடு ஏசியை நெருங்குகிறது. எனவே, வேறுபாடு விகிதத்தின் வரம்பு புள்ளி A இல் உள்ள தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமமாக இருக்கும். இது இதிலிருந்து பின்வருமாறு: ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது அந்த புள்ளியில் அந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வாகும்.இதில் அடங்கியிருப்பது இதுதான் வடிவியல் உணர்வுவழித்தோன்றல்.

தொடு சமன்பாடு. A புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டைப் பெறுவோம் ( எக்ஸ் 0 , f (எக்ஸ் 0)). பொது வழக்கில், ஒரு சாய்வுடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு f ’(எக்ஸ் 0) வடிவம் உள்ளது:

ஒய் = f ’(எக்ஸ் 0) · x + b.

கண்டுபிடிக்க பி, தொடுகோடு புள்ளி A வழியாக செல்கிறது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

f (எக்ஸ் 0) = f ’(எக்ஸ் 0) · எக்ஸ் 0 +b,

இங்கிருந்து பி = f (எக்ஸ் 0) – f ’(எக்ஸ் 0) · எக்ஸ் 0 , மற்றும் இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக பி, நாம் பெறுவோம் தொடுகோடு சமன்பாடு:

ஒய் =f (எக்ஸ் 0) + f ’(எக்ஸ் 0) · ( x-x 0) .

வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்.எளிமையான வழக்கைக் கவனியுங்கள்: ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்கம், மற்றும் இயக்க விதி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: ஒருங்கிணைப்பு எக்ஸ்நகரும் புள்ளி அறியப்பட்ட செயல்பாடு எக்ஸ் (டி) நேரம் டி. இருந்து நேர இடைவெளியில் டி 0 முதல் டி 0 + புள்ளி தூரத்தை நகர்த்துகிறது: எக்ஸ் (டி 0 + ) -எக்ஸ் (டி 0) = , மற்றும் அதன் சராசரி வேகம்சமமானது: வா = / . 0 இல், சராசரி வேகத்தின் மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை நோக்கி செல்கிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது உடனடி வேகம் v(டி 0) நேரத்தில் பொருள் புள்ளி டி 0 . ஆனால் வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

இங்கிருந்து v(டி 0)= x'(டி 0), அதாவது. வேகம் என்பது நேரத்தைப் பொறுத்து ஆயத்தொகையின் வழித்தோன்றல் ஆகும்.இதில் அடங்கியிருப்பது இதுதான் இயந்திர உணர்வுவழித்தோன்றல் . அதேபோல், முடுக்கம் என்பது நேரத்தைப் பொறுத்து வேகத்தின் வழித்தோன்றல் ஆகும்: அ = v'(டி).

பணி எடுத்துக்காட்டுகள்

பணி 1. பொதுவான தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களுக்கு எழுதவும் மற்றும் .

ஒரு நேர் கோடு என்பது செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களுக்கு பொதுவான தொடுகோடு ஆகும், அது ஒன்று மற்றும் மற்ற வரைபடங்களைத் தொட்டால், ஆனால் ஒரே புள்ளியில் அவசியமில்லை.

- abscissa x0 உடன் புள்ளியில் y=x2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாடு

- abscissa x1 உடன் புள்ளியில் y=x3 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாடு

அவற்றின் சரிவுகளும் இலவச விதிமுறைகளும் சமமாக இருந்தால் நேரான கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன. இங்கிருந்து

அமைப்பின் தீர்வு இருக்கும்

பொதுவான தொடுகோடு சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

16. வேறுபாடு விதிகள். சிக்கலான, தலைகீழ் மற்றும் மறைமுகமான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்.
வேறுபாடு விதிகள்
வேறுபடுத்தும் போது, ஒரு மாறிலியை ஒரு வழித்தோன்றலாக எடுக்கலாம்:

செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை வேறுபடுத்துவதற்கான விதி:

செயல்பாட்டு வேறுபாடு வேறுபாடு விதி:

செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வேறுபாட்டின் விதி (லீப்னிஸின் விதி):

பங்குச் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதி:

ஒரு செயல்பாட்டை மற்றொரு செயல்பாட்டின் சக்தியுடன் வேறுபடுத்துவதற்கான விதி:

கூட்டு செயல்பாடு வேறுபாடு விதி:

ஒரு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தும் போது மடக்கை விதி:

கூட்டுச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

"இரண்டு அடுக்கு" சிக்கலான செயல்பாடு u = g(x) என்பது உள் செயல்பாடு என எழுதப்படுகிறது, இது வெளிப்புறச் சார்புக்கான வாதமாகும். f மற்றும் g ஆகியவை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் என்றால், சிக்கலான செயல்பாடு x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தக்கூடியது மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் சமம் இந்த சூத்திரம் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் வெளிப்புற செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது. உள் செயல்பாடு. இருப்பினும், உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் x என்ற புள்ளியிலும், வெளிப்புறச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் u = g(x) என்ற புள்ளியிலும் கணக்கிடப்படுவது முக்கியம்! ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு ஒன்றுக்கொன்று படிநிலையாக உள்ளமைக்கப்பட்ட பல "அடுக்குகளை" கொண்டிருக்கும் போது இந்த சூத்திரம் எளிதில் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான விதியை விளக்கும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள். இந்த விதி "வேறுபாடு" பிரிவில் உள்ள பல சிக்கல்களில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும். தீர்வு. , பின்னர், ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் விதியின் படி, நாம் பெறுகிறோம்

ஒரு சார்பு y = f[φ(x)] செயல்பாட்டின் செயல்பாடாகக் குறிப்பிடப்பட்டால் அது சிக்கலானது, இங்கு y = f(u), au=φ(x), u என்பது இடைநிலை வாதம். எந்தவொரு சிக்கலான செயல்பாட்டையும் அடிப்படை செயல்பாடுகளாக (எளிய) குறிப்பிடலாம், அவை அதன் இடைநிலை வாதங்கள்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

எளிய செயல்பாடுகள்: சிக்கலான செயல்பாடுகள்:

y \u003d x 2 y \u003d (x + 1) 2; u \u003d (x + 1); y \u003d u 2;

y = sinx; y \u003d sin2x; u \u003d 2x; ய=சினு;

y \u003d e x y \u003d e 2x; u \u003d 2x; y \u003d e u;

y \u003d lnx y \u003d ln (x + 2); u \u003d x + 2; y=lnu.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான பொதுவான விதி ஆதாரம் இல்லாமல் மேலே உள்ள தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது.

u \u003d φ (x) சார்பு x புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் u "x \u003d φ" (x) மற்றும் சார்பு y \u003d f (u) ஒரு வழித்தோன்றல் y "u \u003d f இருந்தால் " (u) தொடர்புடைய புள்ளி u இல், பின்னர் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y \u003d f [φ (x)] புள்ளியில் x சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது: y "x \u003d f " (u) u "(x).

இந்த தேற்றத்தின் குறைவான துல்லியமான ஆனால் குறுகிய உருவாக்கம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. : ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைநிலை மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கும் மற்றும் சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து இடைநிலை மாறியின் வழித்தோன்றலுக்கும் சமம்.

உதாரணமாக: y=sin2x 2 ; u \u003d 2x 2; ய=சினு;

y "x \u003d (sinu)" u (2x 2) "x \u003d cosu 4x \u003d 4x cos2x 2.

3. இரண்டாவது வரிசையின் வழித்தோன்றல். இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்.

y \u003d f (x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் முதல் வரிசை வழித்தோன்றல் அல்லது செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழித்தோன்றல் x இன் செயல்பாடு மற்றும் இரண்டாவது முறையாக வேறுபடுத்தப்படலாம். வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றல் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் அல்லது இரண்டாவது வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது குறிக்கப்படுகிறது: y "xx - (ஒய் இரண்டு பக்கவாதம் ஆன் x); f "(x) – ( eff இரண்டு பக்கவாதம் x மீது);

இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில், நாம் எழுதலாம்:

y "xx \u003d (y" x) "x; f" (x) \u003d "x d 2 y / dx 2 \u003d d / dx (dy / dx).

இரண்டாவது வழித்தோன்றல், இதையொட்டி, x இன் செயல்பாடாகும், மேலும் மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றலைப் பெற வேறுபடுத்தலாம்.

உதாரணமாக: y \u003d 2x 3 + x 2; y "xx \u003d [(2x 3 + x 2)" x] "x \u003d (6x 2 + 2x)" x \u003d 12x + 2;

இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள் உடனடி முடுக்கத்தின் அடிப்படையில் விளக்கப்படுகிறது, இது மாறி இயக்கத்தை வகைப்படுத்துகிறது.

S=f(t) என்பது இயக்கத்தின் சமன்பாடு என்றால்=S" t ; ஏ cf. =;

ஏ inst. =
ஏ cf =
=" டி ; ஏ inst. = " t = (S" t)" t = S" tt .

எனவே, நேரத்தைப் பொறுத்து பாதையின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மாறி இயக்கத்தின் உடனடி முடுக்கத்திற்கு சமம். இது 2வது வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் (இயந்திர) பொருள்.

உதாரணமாக: S=t 3/3 சட்டத்தின்படி ஒரு பொருள் புள்ளியின் நேர்கோட்டு இயக்கம் நிகழட்டும். ஒரு பொருள் புள்ளியின் முடுக்கம் S "tt இன் இரண்டாவது வழித்தோன்றலாக வரையறுக்கப்படும்: ஏ\u003d S "tt \u003d (t 3 / 3)" \u003d 2t.

4. செயல்பாடு வேறுபாடு.

ஒரு வழித்தோன்றலின் கருத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் கருத்து, இது முக்கியமான நடைமுறை பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

செயல்பாடு f( எக்ஸ்) ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது
= f " (எக்ஸ்);

தேற்றத்தின்படி (தேற்றத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளவில்லை) ஒரு எண்ணற்ற அளவு α(∆х)(
வழித்தோன்றலுடன் α(∆х)=0: = f " (х)+ α (∆х), எங்கிருந்து ∆f = f " (х) ∆х+α(∆х) ∆х.

செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு ஒரு தொகையைக் கொண்டுள்ளது என்பதை கடைசி சமத்துவத்திலிருந்து இது பின்பற்றுகிறது, இதன் ஒவ்வொரு காலமும் ∆х→ 0 என எண்ணற்ற மதிப்பாகும்.

எண்ணற்ற சிறிய ∆х ஐப் பொறுத்து இந்தத் தொகையின் ஒவ்வொரு எண்ணற்ற சிறிய மதிப்பின் சிறுமையின் வரிசையைத் தீர்மானிப்போம்:

எனவே, எல்லையற்ற f (х) ∆х மற்றும் ∆x அதே அளவு வரிசையைக் கொண்டிருக்கும்.

எனவே, முடிவிலி மதிப்பான α(∆х)∆х ஆனது எல்லையற்ற மதிப்பு ∆х உடன் சிறியதன்மையின் அதிக வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. இதன் பொருள், ∆f இரண்டாவது வார்த்தைக்கான வெளிப்பாடுகளில் α(∆х)∆х முதல் காலமான f ஐ விட ∆х→0 ஆக 0 வேகமாக இருக்கும் " (x)∆x.

இது முதல் கால f " (x)∆x என்பது x புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வேறுபாடு எனப்படும். இது குறிக்கப்படுகிறது dy (de y) அல்லது df (de ef). எனவே dy=df= f " (x)∆x அல்லது dy= f " (x)dx, ஏனெனில் வாதத்தின் வேறுபாடு dx அதன் அதிகரிப்பு ∆x க்கு சமம் (df= f சூத்திரத்தில் இருந்தால் " (x)dx f(x)=x என்பதை ஏற்றுக்கொள்கிறோம், பிறகு நாம் getdf=dx=x"x ∆x, butx"x =1, அதாவது dx=∆x). எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு இந்த செயல்பாட்டின் தயாரிப்புக்கும் வாதத்தின் வேறுபாடுக்கும் சமம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு என்பது ∆f செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதியாகும், இது வாதம் ∆x ஐப் பொறுத்த வரையில் உள்ள வேறுபாட்டின் பகுப்பாய்வு அர்த்தமாகும். சார்பு வேறுபாடானது செயல்பாடு அதிகரிப்பில் இருந்து α(∆х)∆х என்ற எண்ணற்ற மதிப்பால் வேறுபடுகிறது. ∆х ஐ விட அதிக அளவு சிறியது. உண்மையில் ∆f=f " (х)∆х+α(∆х)∆х அல்லது ∆f=df+α(∆х)∆х; எங்கிருந்து df= ∆f- α(∆х)∆х.

உதாரணமாக: y \u003d 2x 3 + x 2; dy \u003d? dy \u003d y "dx \u003d (2x 3 + x 2)" x dx \u003d (6x 2 + 2x) dx.

அதிக வரிசையின் எல்லையற்ற சிறிய மதிப்பை α(∆x)∆x புறக்கணித்தல் விட சிறியது ∆எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம் df≈∆f≈ f " (x)dx அதாவது. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு தோராயமாக ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கு பயன்படுத்தப்படலாம், ஏனெனில் வேறுபாடு பொதுவாக கணக்கிட எளிதானது. ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கும் வேறுபாடு பயன்படுத்தப்படலாம். y= f(x) செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலை x புள்ளியில் தெரிந்து கொள்வோம். சில நெருங்கிய புள்ளியில் (x+∆x) f(x+∆x) செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம். இதைச் செய்ய, தோராயமான சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ∆у ≈dy அல்லது ∆у ≈f " (x) ∆x. ∆y=f(x+∆x)-f(x) என்று கருதினால், f(x+∆x)-f (x) ≈f கிடைக்கும் " (x) dx , எங்கிருந்து f(х+∆х) = f(х)+f " (x) dx. இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் சிக்கலை தீர்க்கிறது.

வழித்தோன்றல்(ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடுகள்) - வேறுபட்ட கால்குலஸின் அடிப்படைக் கருத்து, ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது (ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில்). அத்தகைய வரம்பு இருந்தால், வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கு அதன் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான விகிதத்தின் வரம்பாக இது வரையறுக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு (சில புள்ளியில்) வேறுபட்டது (ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில்) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல். சில செயல்பாடுகளைக் கவனியுங்கள் ஒய் = f (எக்ஸ் ) இரண்டு புள்ளிகளில் எக்ஸ் 0 மற்றும் எக்ஸ் 0 + : f (எக்ஸ் 0) மற்றும் f (எக்ஸ் 0 + ). இங்கே, வாதத்தில் சில சிறிய மாற்றங்களால் குறிக்கப்படுகிறது, அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்பு; முறையே, செயல்பாட்டின் இரண்டு மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு: f (எக்ஸ் 0 + )  f (எக்ஸ் 0 ) என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்பு.வழித்தோன்றல்செயல்பாடுகள் ஒய் = f (எக்ஸ் ) புள்ளியில் எக்ஸ் 0 வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது:

இந்த வரம்பு இருந்தால், செயல்பாடு f (எக்ஸ் ) என்று அழைக்கப்படுகிறது வேறுபடுத்தக்கூடியதுபுள்ளியில் எக்ஸ் 0 . செயல்பாடு வழித்தோன்றல் f (எக்ஸ் ) பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள். செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள் ஒய் = f (எக்ஸ் ):

செகண்ட் ஏபியின் சாய்வின் கோணம் எங்கே.

எனவே, வேறுபாடு விகிதம் செக்கன்ட்டின் சாய்வுக்கு சமம். புள்ளி A ஐ சரிசெய்து புள்ளி B ஐ அதை நோக்கி நகர்த்தினால், அது காலவரையின்றி குறைந்து 0 ஐ நெருங்குகிறது, மற்றும் AB ஆனது தொடு ஏசியை நெருங்குகிறது. எனவே, வேறுபாடு விகிதத்தின் வரம்பு புள்ளி A இல் உள்ள தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமமாக இருக்கும். இது இதிலிருந்து பின்வருமாறு: ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது அந்த புள்ளியில் அந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வாகும்.இதில் அடங்கியிருப்பது இதுதான் வடிவியல் பொருள் வழித்தோன்றல்.

தொடு சமன்பாடு. A புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாட்டைப் பெறுவோம் ( எக்ஸ் 0 , f (எக்ஸ் 0 )). பொது வழக்கில், ஒரு சாய்வுடன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு f ’(எக்ஸ் 0 ) இது போல் தெரிகிறது:

ஒய் = f ’(எக்ஸ் 0 ) · x + b.

f (எக்ஸ் 0 ) = f ’(எக்ஸ் 0 ) · எக்ஸ் 0 +b ,

இங்கிருந்து பி = f (எக்ஸ் 0 ) – f ’(எக்ஸ் 0 ) · எக்ஸ் 0 , மற்றும் இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக பி, நாம் பெறுவோம் தொடுகோடு சமன்பாடு:

ஒய் =f (எக்ஸ் 0 ) + f ’(எக்ஸ் 0 ) · ( x-x 0 ) .

வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள். எளிமையான வழக்கைக் கவனியுங்கள்: ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்கம், மற்றும் இயக்க விதி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: ஒருங்கிணைப்பு எக்ஸ்நகரும் புள்ளி அறியப்பட்ட செயல்பாடு எக்ஸ் (டி) நேரம் டி. இருந்து நேர இடைவெளியில் டி 0 முதல் டி 0 + புள்ளி தூரத்தை நகர்த்துகிறது: எக்ஸ் (டி 0 + )  எக்ஸ் (டி 0) = , மற்றும் அதன் சராசரி வேகம் சமமானது: v அ =  . 0 இல், சராசரி வேகத்தின் மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை நோக்கி செல்கிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது உடனடி வேகம் v ( டி 0 ) நேரத்தில் பொருள் புள்ளி டி 0 . ஆனால் வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

இங்கிருந்து v (டி 0 ) = x' (டி 0 ), அதாவது. வேகம் என்பது ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் மூலம் நேரம். இதில் அடங்கியிருப்பது இதுதான் இயந்திர உணர்வுவழித்தோன்றல் . அதேபோல், முடுக்கம் என்பது நேரத்தைப் பொறுத்து வேகத்தின் வழித்தோன்றல் ஆகும்: அ = v' (டி).

8. வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணை

"வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்" என்ற கட்டுரையில் வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன என்பதைப் பற்றி பேசினோம். ஒரு சார்பு ஒரு வரைபடத்தால் கொடுக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அதன் வழித்தோன்றல், செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சாய்வின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும். மேலும் செயல்பாடு ஒரு சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டால், வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாட்டின் விதிகள் உங்களுக்கு உதவும், அதாவது, வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான விதிகள்.

இந்த வரம்பு இருந்தால், செயல்பாடு f (எக்ஸ் ) என்று அழைக்கப்படுகிறது வேறுபடுத்தக்கூடியதுபுள்ளியில் எக்ஸ் 0 . செயல்பாடு வழித்தோன்றல் f (எக்ஸ் ) பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

செகண்ட் ஏபியின் சாய்வின் கோணம் எங்கே.

ஒய் = f ’(எக்ஸ் 0 ) · x + b.

f (எக்ஸ் 0 ) = f ’(எக்ஸ் 0 ) · எக்ஸ் 0 +b ,

இங்கிருந்து பி = f (எக்ஸ் 0 ) – f ’(எக்ஸ் 0 ) · எக்ஸ் 0 , மற்றும் இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக பி, நாம் பெறுவோம் தொடுகோடு சமன்பாடு:

ஒய் =f (எக்ஸ் 0 ) + f ’(எக்ஸ் 0 ) · ( x-x 0 ) .

வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள். எளிமையான வழக்கைக் கவனியுங்கள்: ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்கம், மற்றும் இயக்க விதி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: ஒருங்கிணைப்பு எக்ஸ்நகரும் புள்ளி அறியப்பட்ட செயல்பாடு எக்ஸ் (டி) நேரம் டி. இருந்து நேர இடைவெளியில் டி 0 முதல் டி 0 + புள்ளி தூரத்தை நகர்த்துகிறது: எக்ஸ் (டி 0 + ) எக்ஸ் (டி 0) = , மற்றும் அதன் சராசரி வேகம் சமமானது: v அ =  . 0 இல், சராசரி வேகத்தின் மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை நோக்கி செல்கிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது உடனடி வேகம் v ( டி 0 ) நேரத்தில் பொருள் புள்ளி டி 0 . ஆனால் வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

8. வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணை

§ 2. ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறை.

செயல்படட்டும் ஒய்= f(எக்ஸ்) இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ( அ;பி) வாதத்தின் மதிப்பைக் கவனியுங்கள்

(அ;பி) . வாதத்தை அதிகரிப்போம் ∆ எக்ஸ் 0 அதனால் நிபந்தனை ( எக்ஸ் 0 +∆ எக்ஸ்)

அ;பி) y 0 மற்றும் y 1 மூலம் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் குறிப்போம்:

ஒய் 0 = f(எக்ஸ் 0 ), ஒய் 1 = f(எக்ஸ் 0 +∆ எக்ஸ்). இருந்து நகரும் போது எக்ஸ் 0 செய்ய எக்ஸ் 0 +∆ எக்ஸ்செயல்பாடு அதிகரிக்கப்படும்

∆y= ஒய் 1 -ஒய் 0 = f(எக்ஸ் 0 +∆ எக்ஸ்) -f(எக்ஸ் 0 ). என்றால், முயற்சியில் ∆ எக்ஸ்பூஜ்ஜியத்திற்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்திற்கு வரம்பு உள்ளது ∆yஅதை அழைத்த வாதம் அதிகரிப்புக்கு ∆ எக்ஸ்,

அந்த. ஒரு வரம்பு உள்ளது

=

,

இந்த வரம்பு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒய்= f(எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ் 0 . எனவே செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒய்= f(எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ்=எக்ஸ் 0 வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான விகிதத்திற்கு வரம்பு உள்ளது. செயல்பாடு வழித்தோன்றல் ஒய்= f(எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ்சின்னங்களால் குறிக்கப்படுகிறது (எக்ஸ்) அல்லது (எக்ஸ்) பெயர்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன , , ,. கடைசி மூன்று குறிப்புகள், மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல் எடுக்கப்பட்டது என்பதை வலியுறுத்துகின்றன எக்ஸ்.

செயல்பாடு என்றால் ஒய்= f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது, பின்னர் இந்த இடைவெளியில் வழித்தோன்றல் ( எக்ஸ்) என்பது ஒரு வாத செயல்பாடு எக்ஸ்.

§ 3. வழித்தோன்றலின் இயந்திர மற்றும் வடிவியல் பொருள்.

சார்பு வரைபடத்திற்கு இயல்பான மற்றும் தொடுகோடுகளின் சமன்பாடுகள்.

§ 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு புள்ளியின் உடனடி வேகம்

v = .

ஆனால் இதன் பொருள் வேகம் v பயணித்த தூரத்தின் வழித்தோன்றல் ஆகும் எஸ் நேரம் மூலம் டி ,

v =. இவ்வாறு, செயல்பாடு என்றால் ஒய்= f(எக்ஸ்) ஒரு பொருள் புள்ளியின் நேர்கோட்டு இயக்கத்தின் விதியை விவரிக்கிறது ஒய்இயக்கம் தொடங்கிய தருணத்திலிருந்து நேரம் வரை ஒரு பொருள் புள்ளியால் பயணிக்கும் பாதை எக்ஸ், பின்னர் வழித்தோன்றல் ( எக்ஸ்) ஒரு நேரத்தில் ஒரு புள்ளியின் உடனடி வேகத்தை தீர்மானிக்கிறது எக்ஸ். இது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்.

§ 1 இல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வையும் கண்டோம் ஒய்= f(எக்ஸ்) கே= டிஜிα= . இந்த தொடர்பு என்பது தொடுகோட்டின் சாய்வு வழித்தோன்றலுக்கு சமம் ( எக்ஸ்) இன்னும் கண்டிப்பாகச் சொன்னால், வழித்தோன்றல் ( எக்ஸ்) செயல்பாடுகள் ஒய்= f(எக்ஸ்) , சமமான வாதத்தின் மதிப்பைக் கொண்டு கணக்கிடப்படுகிறது எக்ஸ், அப்சிஸ்ஸா சமமாக இருக்கும் ஒரு புள்ளியில் இந்தச் சார்பின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு சாய்வுக்குச் சமம் எக்ஸ். இது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்.

மணிக்கு விடுங்கள் எக்ஸ்=எக்ஸ் 0 செயல்பாடு ஒய்= f(எக்ஸ்) மதிப்பைப் பெறுகிறது ஒய் 0 =f(எக்ஸ் 0 ) , மற்றும் இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஆயத்தொகுதிகளுடன் புள்ளியில் ஒரு தொடுகோடு உள்ளது ( எக்ஸ் 0 ;ஒய் 0) பின்னர் தொடுகோட்டின் சாய்வு

கே = ( எக்ஸ் 0) கொடுக்கப்பட்ட திசையில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல், பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் போக்கிலிருந்து அறியப்படுகிறது ( ஒய்-ஒய் 0 =கே(எக்ஸ்-எக்ஸ் 0)), நாம் தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்:

தொடுகோடு செங்குத்தாக உள்ள தொடர்பு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோடு, வளைவுக்கு இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. சாதாரணமானது தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், அதன் சாய்வு கேவிதிமுறைகள் தொடுகோட்டின் சாய்வுடன் தொடர்புடையது கேபகுப்பாய்வு வடிவவியலில் இருந்து அறியப்பட்ட தொடர்பு: கேவிதிமுறைகள் = ─ , அதாவது. ஆயத்தொலைவுகள் கொண்ட ஒரு புள்ளியின் வழியாக சாதாரணமாக செல்ல ( எக்ஸ் 0 ;ஒய் 0),கேவிதிமுறை = ─ . எனவே, இந்த இயல்பான சமன்பாடு:

(அதை வழங்கியது

).

§ 4. வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட ஒய்= f(எக்ஸ்) புள்ளியில் எக்ஸ், அவசியம்:

வாதம் எக்ஸ்அதிகரிப்பு ∆ எக்ஸ்;

∆ செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும் ஒய்=f(எக்ஸ்+∆எக்ஸ்) -f(எக்ஸ்);

ஒரு உறவை உருவாக்கவும் ;

∆க்கான இந்த விகிதத்தின் வரம்பைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்→0.

எடுத்துக்காட்டு 4.1. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் ஒய்=C=const.

வாதம் எக்ஸ்ஒரு அதிகரிப்பு கொடு ∆ எக்ஸ்.

எதுவாக எக்ஸ், ∆ஒய்=0: ∆ஒய்=f(எக்ஸ்+∆எக்ஸ்) ─f(எக்ஸ்)=С─С=0;

இங்கிருந்து =0 மற்றும் =0, அதாவது =0.

எடுத்துக்காட்டு 4.2. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் ஒய்=எக்ஸ்.

∆ ஒய்=f(எக்ஸ்+∆எக்ஸ்) ─f(எக்ஸ்)= எக்ஸ்+∆எக்ஸ்– எக்ஸ்=∆ எக்ஸ்;

1, =1, அதாவது =1.

எடுத்துக்காட்டு 4.3. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் ஒய்=எக்ஸ் 2.

∆ ஒய்= (எக்ஸ்+∆ எக்ஸ்)2–எக்ஸ் 2= 2 எக்ஸ்∙∆ எக்ஸ்+ (∆ எக்ஸ்)2;

= 2 எக்ஸ்+ ∆ எக்ஸ், = 2 எக்ஸ், அதாவது =2 எக்ஸ்.

எடுத்துக்காட்டு 4.4. y=sin செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்.

∆ ஒய்=பாவம்( எக்ஸ்+∆எக்ஸ்) -பாவம் எக்ஸ்= 2பாவம் cos( எக்ஸ்+);

=

;

=

= காஸ் எக்ஸ், அதாவது = காஸ் எக்ஸ்.

எடுத்துக்காட்டு 4.5. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் ஒய்=

.

=

, அதாவது = .

வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்

ஒரே மாதிரியான இயக்கத்தின் விதிக்கு வடிவம் உள்ளது என்பது இயற்பியலில் இருந்து அறியப்படுகிறது s = v t, எங்கே கள்- பாதை நேரம் வரை பயணித்தது டி, vசீரான இயக்கத்தின் வேகம்.

இருப்பினும், முதல் இயற்கையில் நிகழும் பெரும்பாலான இயக்கங்கள் சீரற்றவை, பின்னர் பொதுவாக, வேகம் மற்றும், அதன் விளைவாக, தூரம் கள்காலத்தைப் பொறுத்து இருக்கும் டி, அதாவது காலத்தின் செயல்பாடாக இருக்கும்.

எனவே, பொருள் புள்ளி சட்டத்தின்படி ஒரு திசையில் ஒரு நேர்கோட்டில் நகரட்டும் s=s(t).

ஒரு கணம் கவனிக்கவும் டி 0 . இந்த கட்டத்தில், புள்ளி பாதையை கடந்துவிட்டது s=s(t 0 ). வேகத்தை தீர்மானிப்போம் vநேரத்தில் பொருள் புள்ளி டி 0 .

இதைச் செய்ய, வேறு சில தருணங்களைக் கவனியுங்கள் டி 0 + Δ டி. இது பயணித்த தூரத்தை ஒத்துள்ளது கள் =கள்(டி 0 + Δ டி) பின்னர் நேர இடைவெளிக்கு Δ டிபுள்ளி Δs பாதையில் பயணித்தது =கள்(டி 0 + Δ t)–s(t).

உறவைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது நேர இடைவெளியில் சராசரி வேகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது Δ டி. சராசரி வேகம் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தின் வேகத்தை துல்லியமாக வகைப்படுத்த முடியாது டி 0 (இயக்கம் சீரற்றதாக இருப்பதால்). சராசரி வேகத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த உண்மையான வேகத்தை இன்னும் துல்லியமாக வெளிப்படுத்த, நீங்கள் ஒரு சிறிய நேர இடைவெளியை எடுக்க வேண்டும் Δ டி.

எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் இயக்கத்தின் வேகம் டி 0 (உடனடி வேகம்) என்பது இடைவெளியில் சராசரி வேகத்தின் வரம்பு டி 0 முதல் டி 0 +Δ டிபோது Δ டி→0:

அந்த. சீரற்ற இயக்கத்தின் வேகம்நேரத்தைப் பொறுத்து பயணித்த தூரத்தின் வழித்தோன்றல் ஆகும்.

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு வளைவுக்கான தொடுகோட்டின் வரையறையை முதலில் அறிமுகப்படுத்துவோம்.

ஒரு வளைவு மற்றும் அதன் மீது ஒரு நிலையான புள்ளி இருக்கட்டும் எம் 0(படத்தைப் பார்க்கவும்) மற்றொரு விஷயத்தைக் கவனியுங்கள் எம்இந்த வளைவு மற்றும் ஒரு செகண்ட் வரையவும் எம் 0 எம். புள்ளி என்றால் எம்வளைவு மற்றும் புள்ளியுடன் நகரத் தொடங்குகிறது எம் 0நிலையானது, செகண்ட் அதன் நிலையை மாற்றுகிறது. புள்ளியின் வரம்பற்ற தோராயமாக இருந்தால் எம்புள்ளிக்கு வளைவு எம் 0எந்தப் பக்கத்திலும், செகண்ட் ஒரு குறிப்பிட்ட நேர்கோட்டின் நிலையை எடுக்க முனைகிறது எம் 0 டி, பின்னர் நேர் கோடு எம் 0 டிகொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் உள்ள வளைவின் தொடுகோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எம் 0.

அந்த., தொடுகோடுகொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் வளைவுக்கு எம் 0செகண்டின் வரம்பு நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது எம் 0 எம்போது புள்ளி எம்ஒரு புள்ளியில் வளைவுடன் செல்கிறது எம் 0.

இப்போது தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் y=f(x)மற்றும் இந்த செயல்பாட்டிற்கு தொடர்புடைய வளைவு. சில மதிப்புகளுக்கு எக்ஸ் 0 செயல்பாடு ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் y0=f(x0).இந்த மதிப்புகள் எக்ஸ் 0 மற்றும் ஒய்வளைவில் 0 என்பது ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது M 0 (x 0; y 0).ஒரு வாதம் கொடுப்போம் x0அதிகரிப்பு Δ எக்ஸ். வாதத்தின் புதிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் அதிகரித்த மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது ஒய் 0 +Δ y=f(x 0 –Δ எக்ஸ்). எங்களுக்கு ஒரு புள்ளி கிடைக்கிறது எம்(x 0+Δ எக்ஸ்; y 0+Δ y).ஒரு செகண்ட் வரைவோம் எம் 0 எம்மற்றும் அச்சின் நேர்மறை திசையுடன் செகண்டால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தை φ ஆல் குறிக்கவும் எருது. ஒரு உறவை உருவாக்கி அதைக் கவனிக்கலாம்.

இப்போது Δ என்றால் எக்ஸ்→0, பின்னர், செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக Δ மணிக்கு→0, எனவே புள்ளி எம், வளைவு வழியாக நகரும், காலவரையின்றி புள்ளியை நெருங்குகிறது எம் 0. பிறகு செகண்ட் எம் 0 எம்புள்ளியில் உள்ள வளைவுக்கு ஒரு தொடுகோடு நிலையை எடுக்க முனையும் எம் 0, மற்றும் Δ இல் கோணம் φ→α எக்ஸ்→0, இங்கு α என்பது தொடுகோடு மற்றும் அச்சின் நேர் திசைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கிறது எருது. tg φ சார்பு தொடர்ந்து φ≠π/2 இல் φ ஐச் சார்ந்து இருப்பதால், பின்னர் φ→α tg φ → tg α இல், எனவே, தொடுகோட்டின் சாய்வு:

அந்த. f"(x)= tgα.

இவ்வாறு, வடிவியல் y "(x 0)புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வைக் குறிக்கிறது x0, அதாவது வாதத்தின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு எக்ஸ், வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோணத்தால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் தொடுகோடு சமம் f(x)தொடர்புடைய புள்ளியில் M 0 (x; y)நேர்மறை அச்சு திசையுடன் எருது

உதாரணமாக.வளைவுக்கான தொடுகோடு சாய்வைக் கண்டறியவும் y = x 2 புள்ளியில் எம்(-1; 1).

நாம் ஏற்கனவே பார்த்தோம் ( எக்ஸ் 2)" = 2எக்ஸ். ஆனால் வளைவுக்கான தொடுகோடு சாய்வு tg α = ஒய்"| x=-1 = - 2.

வழித்தோன்றலின் வடிவியல், இயந்திர, பொருளாதார பொருள்

ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறை.

விரிவுரை எண் 7-8

நூல் பட்டியல்

1 உகோபோடோவ், வி. ஐ. கணிதம்: பாடநூல்.- செல்யாபின்ஸ்க்: செல்யாப். நிலை அன்-டி, 2006.- 251 பக்.

2 எர்மகோவ், வி.ஐ. உயர் கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு. பயிற்சி. -எம்.: இன்ஃப்ரா-எம், 2006. - 575 பக்.

3 எர்மகோவ், வி.ஐ. உயர் கணிதத்தின் பொதுவான பாடநெறி. பாடநூல். -எம்.: இன்ஃப்ரா-எம், 2003. - 656 பக்.

தீம் "வழித்தோன்றல்"

இலக்கு:ஒரு வழித்தோன்றலின் கருத்தை விளக்குங்கள், ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி மற்றும் வேறுபாடு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பைக் கண்டறியவும், எடுத்துக்காட்டுகளுடன் ஒரு வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துவதன் பொருந்தக்கூடிய தன்மையைக் காட்டவும்.

பொருளாதாரத்தில் இந்த வரம்பு விளிம்பு உற்பத்தி செலவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறை. வழித்தோன்றலின் வடிவியல் மற்றும் இயந்திர பொருள், வரைபடத்திற்கு ஒரு சார்பின் தொடுநிலையின் சமன்பாடு.

ஒரு சிறிய பதில் தேவை (கூடுதல் தண்ணீர் இல்லை)

இறந்த_வெள்ளை_பனி

வழித்தோன்றல் என்பது வேறுபட்ட கால்குலஸின் அடிப்படைக் கருத்தாகும், இது ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது.
வடிவியல்?
புள்ளியில் செயல்படும் தொடுகோடு... .
செயல்பாடு அதிகரிப்பு நிலை: f "(x) > 0.
குறையும் செயல்பாடு நிலை: f "(x)< 0.
ஊடுருவல் புள்ளி (தேவையான நிபந்தனை): f "" (x0) = 0.
மேலே குவிந்துள்ளது: f "" (x) கீழே குவிந்துள்ளது: f "" (x) >0
இயல்பான சமன்பாடு: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
மெக்கானிக்கலா?
வேகம் என்பது தூரத்தைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல், முடுக்கம் என்பது வேகத்தைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல், மற்றும் தூரத்தைப் பொறுத்தவரை இரண்டாவது வழித்தோன்றல்...
x0 புள்ளியில் f செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சமன்பாடு
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

பயனர் நீக்கப்பட்டார்

டெல்டா y செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் டெல்டா y மற்றும் டெல்டா x விகிதத்தில் வரம்பு இருந்தால், டெல்டா x பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, இந்த வரம்பு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. y = f (x) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் x மற்றும் y "அல்லது f "(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது
நேர்கோட்டு இயக்கத்தின் வேகம் v என்பது t: v = ds/dt நேரத்தைப் பொறுத்து பாதை s இன் வழித்தோன்றலாகும். இது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்.
abscissa x பூஜ்ஜியத்துடன் புள்ளியில் உள்ள வளைவு y \u003d f (x) க்கு தொடுவானின் சாய்வு f "(x பூஜ்யம்) என்பதன் வழித்தோன்றலாகும். இது வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்.
புள்ளி M பூஜ்ஜியத்தில் உள்ள தொடுகோடு வளைவு M zero T என்ற நேர்கோடு என அழைக்கப்படுகிறது, இதன் சாய்வானது டெல்டா x பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது secant M பூஜ்ஜியம் M ஒன்றின் சாய்வின் வரம்பிற்கு சமமாக இருக்கும்.
tg phi = lim tg alpha டெல்டா x பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகிறது = லிம் (டெல்டா x/டெல்டா y) டெல்டா x பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகிறது
வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்திலிருந்து, தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
y - y null = f "(x null) (x - x null)

தொடர்புடைய பொருட்கள்:

தள வரைபடம்