தன்னிச்சையான மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.
மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

பாடத்தின் 2 வது பகுதியில், தன்னிச்சையான மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்க்கும் நுட்பத்தை உருவாக்குவோம். , யாருடைய ஒருங்கிணைப்பு மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடுபொது வழக்கில் இது பிராந்தியத்தில் ஒரு நிலையான மற்றும் தொடர்ச்சியாக இருந்து வேறுபட்டது; மேலும் டிரிபிள் இன்டெக்ரலின் இயற்பியல் பயன்பாடுகளையும் அறிந்து கொள்ளுங்கள்

புதிய பார்வையாளர்கள் பகுதி 1 உடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன், அங்கு நாங்கள் அடிப்படைக் கருத்துகளை உள்ளடக்கியுள்ளோம் டிரிபிள் இன்டெகிரலைப் பயன்படுத்தி உடலின் அளவைக் கண்டறிவதில் சிக்கல். மீதமுள்ளவர்கள் அதைச் சிறிது மீண்டும் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன். மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள், இந்த கட்டுரையின் எடுத்துக்காட்டுகளில் நாம் தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம் - பகுதி ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாடுகள்

கூடுதலாக, இன்னும் ஒரு முக்கியமான விஷயம் உள்ளது: உங்களுக்கு உடல்நிலை சரியில்லை என்றால், முடிந்தால் இந்தப் பக்கத்தைப் படிப்பதை ஒத்திவைப்பது நல்லது. கணக்கீடுகளின் சிக்கலானது இப்போது அதிகரிக்கும் என்பது மட்டுமல்ல - பெரும்பாலான மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளில் கைமுறை சரிபார்ப்புக்கான நம்பகமான முறைகள் இல்லை, எனவே சோர்வான நிலையில் அவற்றைத் தீர்க்கத் தொடங்குவது மிகவும் விரும்பத்தகாதது. குறைந்த தொனிக்கு இது அறிவுறுத்தப்படுகிறது எளிதாக ஏதாவது தீர்க்கஅல்லது ஓய்வெடுக்கவும் (நான் பொறுமையாக இருக்கிறேன், நான் காத்திருப்பேன் =)), அதனால் மற்றொரு முறை ஒரு புதிய தலையுடன் நான் தொடர்ந்து மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளை முறியடிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 13

டிரிபிள் இன்டெக்ரலைக் கணக்கிடுங்கள்

நடைமுறையில், உடலும் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது , ஆனால் இது ஒரு நல்ல வழி அல்ல, ஏனெனில் "ve" தொகுதியின் பதவிக்கு "ஒதுக்கீடு" ஆகும்.

என்ன செய்யக்கூடாது என்பதை உடனே சொல்கிறேன். பயன்படுத்த தேவையில்லை நேர்கோட்டு பண்புகள்மற்றும் வடிவத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கும். நீங்கள் உண்மையிலேயே விரும்பினால், உங்களால் முடியும். இறுதியில், ஒரு சிறிய பிளஸ் உள்ளது - பதிவு நீண்டதாக இருந்தாலும், அது குறைவாக இரைச்சலாக இருக்கும். ஆனால் இந்த அணுகுமுறை இன்னும் நிலையானதாக இல்லை.

அல்காரிதத்தில் தீர்வுகள்கொஞ்சம் புதுமை இருக்கும். முதலில் நீங்கள் ஒருங்கிணைப்பின் களத்தைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு விமானத்தின் மீது உடலைத் திட்டமிடுவது வலிமிகுந்த பழக்கமான முக்கோணமாகும்:

உடல் மேலே இருந்து வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது விமானம், இது தோற்றம் வழியாக செல்கிறது. மூலம், நீங்கள் முதலில் வேண்டும் சரிபார்க்கவும்(மன ரீதியாக அல்லது வரைவில்), இந்த விமானம் முக்கோணத்தின் ஒரு பகுதியை "துண்டிக்கிறதா". இதைச் செய்ய, ஒருங்கிணைப்பு விமானத்துடன் அதன் வெட்டுக் கோட்டைக் காண்கிறோம், அதாவது. நாங்கள் எளிமையான அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்: - இல்லை, இது நேராக (வரைபடத்தில் இல்லை)"கடந்து செல்கிறது", மற்றும் விமானத்தின் மீது உடலின் கணிப்பு உண்மையில் ஒரு முக்கோணத்தைக் குறிக்கிறது.

இங்கே இடஞ்சார்ந்த வரைதல் சிக்கலானது அல்ல:

உண்மையில், திட்டம் மிகவும் எளிமையானது என்பதால், இதை மட்டும் கட்டுப்படுத்த முடிந்தது. சரி, அல்லது ஒரு ப்ரொஜெக்ஷன் வரைதல், உடலும் எளிமையாக இருப்பதால் =) இருப்பினும், எதையும் வரையாமல் இருப்பது ஒரு மோசமான தேர்வு என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்.

சரி, நிச்சயமாக, என்னால் உதவ முடியாது, ஆனால் இறுதிப் பணியை உங்களுக்குப் பிரியப்படுத்துகிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 19

மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரே மாதிரியான உடலின் ஈர்ப்பு மையத்தைக் கண்டறியவும், . இந்த உடலின் வரைபடங்களையும் அதன் முன்கணிப்பையும் ஒரு விமானத்தில் வரையவும்.

தீர்வு: விரும்பிய உடல் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்கள் மற்றும் விமானத்தால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது அடுத்தடுத்த கட்டுமானத்திற்கு வசதியானது. பிரிவுகளில் உள்ளது: . "a" ஐ அளவுகோலாகத் தேர்ந்தெடுத்து முப்பரிமாண வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

வரைபடத்தில் ஏற்கனவே ஈர்ப்பு புள்ளியின் ஆயத்த மையம் உள்ளது, இருப்பினும், அது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியாது.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு உடலைத் திட்டமிடுவது வெளிப்படையானது, இருப்பினும், அதை பகுப்பாய்வு ரீதியாக எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இதுபோன்ற எளிய வழக்குகள் எப்போதும் ஏற்படாது. விமானங்கள் வெட்டும் கோட்டைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கணினியைத் தீர்க்க வேண்டும்:

மதிப்பை 1 வது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்: நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் "பிளாட்" நேராக:

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி உடலின் ஈர்ப்பு மையத்தின் ஆயங்களை கணக்கிடுகிறோம்
, உடலின் அளவு எங்கே.

ஒரு பொருள் உடல் கொடுக்கப்படட்டும், இது ஒரு இடஞ்சார்ந்த பகுதி P நிறை நிறைந்தது. ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் P € P வெகுஜன விநியோக அடர்த்தி அறியப்பட்டால், இந்த உடலின் நிறை m ஐக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். P பகுதியை முறையே தொகுதிகளுடன் ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத கனசதுர (அதாவது தொகுதி கொண்ட) பகுதிகளாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொரு பகுதி பகுதிகளிலும் ft* நாம் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி P* ஐ தேர்வு செய்கிறோம். தோராயமாக, பகுதி பகுதிக்குள் அடி* அடர்த்தி நிலையானது மற்றும் /*(P*) க்கு சமம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் உடலின் இந்த பகுதியின் நிறை Atk தோராயமான சமத்துவம் Atpk ஆல் வெளிப்படுத்தப்படும் மற்றும் முழு உடலின் நிறை தோராயமாக சமமாக இருக்கும் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் மூன்று ஒருங்கிணைந்த பண்புகள் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளில் மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு உருளை மற்றும் கோள ஆயத்தொகுப்புகள் d -* 0 இல், தொகை (1) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பைக் கொண்டிருந்தால், பகுதிப் பகுதிகளின் விட்டத்தில் பெரியதாக இருக்கட்டும். புள்ளிகளின் தேர்வு P* ∈ ft*, பின்னர் இந்த வரம்பு கொடுக்கப்பட்ட உடலின் நிறை m ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்படும், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு ஒரு மூடிய கனசதுர டொமைனில் ft அடியில் n குறுக்கிடாத கனசதுர பகுதிகளாக வரையறுக்கப்பட்டு அவற்றின் அளவுகள் முறையே குறிக்கப்படும். . ஒவ்வொரு பகுதி துணைப் பகுதியிலும் P* நாம் தன்னிச்சையாக ஒரு புள்ளி Pk(xk, yk, zk) ஐத் தேர்ந்தெடுத்து ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொகையை உருவாக்குவோம். பகுதி பகுதிகளின் விட்டத்தில் d மிகப்பெரியதாக இருக்கட்டும் வரையறை. d 0க்கான ஒருங்கிணைந்த தொகைகள் a வரம்பைக் கொண்டிருந்தால், A டொமைனை பகுதி துணை டொமைன்களாகப் பிரிக்கும் முறை அல்லது Pk ∈ Π* என்ற புள்ளிகளின் தேர்வைப் பொறுத்து இல்லை, இந்த வரம்பு முக்கோண ஒருங்கிணைப்பு என அழைக்கப்படுகிறது. க்யூ டொமைன் மீது f(x) y, z) சார்பு மற்றும் தேற்றம் 6 என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு மூடிய கனசதுர டொமைனில் f(x, y, z) தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அது இந்த டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கப்படும். மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகள் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகளைப் போலவே இருக்கின்றன.முக்கியமானவற்றை பட்டியலிடுவோம். க்யூப் டொமைன் L. 1. நேர்கோட்டில் செயல்பாடுகள் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருக்கட்டும். இந்த வழக்கில், செயல்பாடு கே டொமைனில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, வரையறையின்படி, ஒரு உடலின் வெகுஜனத்தைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலுக்குத் திரும்புகிறோம், வரம்பு (2) என்பது p(P) செயல்பாட்டின் மூன்று ஒருங்கிணைப்பு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். டொமைன் மீது P. இதன் பொருள், இங்கே dx dy dz - தொகுதி உறுப்பு dv செவ்வக ஆயங்களில். இதில் a மற்றும் (3 என்பது P டொமைனில் எல்லா இடங்களிலும் தன்னிச்சையான உண்மையான மாறிலிகள் ஆகும், பின்னர் 3. P டொமைனில் /(P) = 1 எனில், V என்பது டொமைன் Q இன் தொகுதியாகும். செயல்பாடு /(P) என்றால் ஒரு மூடிய கன டொமைனில் தொடர்ச்சியாக அடி மற்றும் M மற்றும் m ஆகியவை அடியில் அதன் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளாகும், பின்னர் V என்பது அடி பகுதியின் அளவு. 5. சேர்க்கை. டொமைன் அடியானது பொதுவான உள் புள்ளிகள் இல்லாமல் கனசதுர டொமைன்களாகப் பிரிக்கப்பட்டு, ft டொமைனில் f(P) ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், ஒவ்வொரு டொமைன்களிலும் f(P) ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது ft| மற்றும் ft2, உடன் 6. சராசரி மதிப்பு தேற்றம். தேற்றம் 7 (சராசரி மதிப்பு பற்றி). ஒரு மூடிய கனசதுர டொமைன் அடியில் f(P) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் வகையில் ஒரு டன் Pc € ft இருக்கும்: V என்பது டொமைன் அடியின் கன அளவு (டொமைன் இணைக்கப்பட்ட தொகுப்பு என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்) . § 7. கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு டிரிபிள் இன்டெக்ரலின் கணக்கீடு இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீட்டைப் போலவே, விஷயம் மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைக்கும் கணக்கீட்டிற்கு வருகிறது. சில டொமைன் அடிகளில் செயல்பாடு தொடர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். 1வது வழக்கு. பகுதி அடி என்பது yOz விமானத்தின் மீது ஒரு செவ்வக i2 ஆக திட்டமிடப்பட்ட ஒரு செவ்வக இணையான குழாய் ஆகும்; பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்.இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் மீண்டும் ஒரு வழியாக மாற்றுவதன் மூலம், இறுதியாகப் பெறுகிறோம், P பகுதி ஒரு செவ்வக இணையாக இருக்கும் போது, ​​மும்மடங்கு ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீட்டை மூன்று சாதாரண ஒருங்கிணைப்புகளின் வரிசை கணக்கீட்டிற்கு குறைத்துள்ளோம். xOy விமானத்தில் இணையான P இன் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷன் செவ்வகமாக இருக்கும் வடிவத்தில் ஃபார்முலா (2) மீண்டும் எழுதப்படலாம். 2வது வழக்கு. இப்போது Q பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது மேற்பரப்பு 5 அது Oz அச்சுக்கு இணையான எந்த நேர்கோட்டையும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு மேல் அல்லது முழுப் பிரிவிலும் வெட்டுகிறது (படம் 22). z = tpi(x,y) என்பது கீழே இருந்து மேற்பரப்பு 5 எல்லைப் பகுதி P இன் சமன்பாடாக இருக்கட்டும், மேலும் மேற்பரப்பு S2 எல்லைப் பகுதி P க்கு z = y) சமன்பாடு இருக்கட்டும். S\ மற்றும் S2 ஆகிய இரண்டு மேற்பரப்புகளும் xOy விமானத்தின் ஒரே பகுதியில் திட்டமிடப்படட்டும். அதை D ஆல் குறிப்போம், அதை L ஆல் கட்டுப்படுத்தும் வளைவு. உடலின் Q யின் மீதமுள்ள எல்லை 5 ஆனது Oz அச்சுக்கு இணையான ஜெனரேட்டர்களுடன் ஒரு உருளை மேற்பரப்பில் உள்ளது, மேலும் L உடன் வழிகாட்டியாக உள்ளது. பின்னர், ஃபார்முலா (3) உடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், xOy விமானத்தின் D பகுதி இரண்டு வளைவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு என்றால், சூத்திரத்தில் (4) இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் மீண்டும் ஒன்றாகக் குறைக்கலாம், மேலும் இறுதியாகப் பெறுவோம். இந்த சூத்திரம் சூத்திரத்தின் (2) பொதுமைப்படுத்தலாகும். படம்-23 உதாரணம். ப்ளேன்களால் கட்டப்பட்ட டெட்ராஹெட்ரானின் அளவைக் கணக்கிடவும். xOy விமானத்தின் மீது டெட்ராஹெட்ரானின் ப்ராஜெக்ஷன் ஒரு முக்கோணமாகும், இதனால் x 0 முதல் 6 வரை மாறுபடும், மேலும் நிலையான x (0 ^ x ^ 6) y இலிருந்து மாறுகிறது. 0 முதல் 3 - | (படம் 23). x மற்றும் y இரண்டும் நிலையானதாக இருந்தால், புள்ளியானது விமானத்திலிருந்து விமானத்திற்கு செங்குத்தாக நகரும் மற்றும் 0 முதல் 6 - x - 2y வரையிலான வரம்பில் மாறலாம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் §8 ஐப் பெறுகிறோம். உருளை மற்றும் கோள ஆயங்களில் மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு மூன்று ஒருங்கிணைப்பில் மாறிகளை மாற்றுவதற்கான கேள்வி இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் விஷயத்தில் அதே வழியில் தீர்க்கப்படுகிறது. மூடிய கனசதுர டொமைன் அடியில் f(x, y, z) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும், மேலும் மூடிய கனசதுர டொமைன் அடி*யில் அவற்றின் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். செயல்பாடுகள் (1) அனைத்துப் புள்ளிகளுக்கும் இடையே rj, () ft*, ஒருபுறம், மற்றும் டொமைனின் அனைத்து புள்ளிகள் (zh, y, z) ஆகிய புள்ளிகளுக்கும் இடையே ஒரு கடிதத் தொடர்பை ஏற்படுத்துகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மற்ற. மூன்று ஒருங்கிணைப்பில் மாறிகளை மாற்றுவதற்கான சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்: செயல்பாடுகளின் அமைப்பின் ஜகோபியன் எங்கே (1). நடைமுறையில், மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடும்போது, ​​அவை பெரும்பாலும் செவ்வக ஆயங்களை உருளை மற்றும் கோள ஆயங்களுடன் மாற்றுவதைப் பயன்படுத்துகின்றன. 8.1 உருளை ஆயத்தொகுப்புகளில் டிரிபிள் ஒருங்கிணைப்பு, ஒரு உருளை ஆய அமைப்பில், புள்ளி P இன் நிலை மூன்று எண்கள் p மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இங்கு p மற்றும் (p என்பது xOy விமானத்தின் மீது P1 புள்ளியின் ப்ராஜெக்ஷனின் துருவ ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும், மேலும் z என்பது புள்ளி P இன் பயன்பாடு (படம். 24) எண்கள் உருளை ஆயப் புள்ளிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. உருளை ஆய அமைப்புகளில், ஆயப் பரப்புகள் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் மூன்று ஒருங்கிணைந்த பண்புகள் என்பது தெளிவாகிறது. உருளை மற்றும் கோள ஆயங்களில் முறையே மூன்று ஒருங்கிணைப்புகள் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன: ஒரு வட்ட உருளை, அதன் அச்சு Oz அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது, Oz அச்சுக்கு அருகில் இருக்கும் ஒரு அரை-தளம் மற்றும் xOy விமானத்திற்கு இணையான ஒரு விமானம். உருளை ஆயத்தொகுப்புகளுடன் தொடர்புடையது. பின்வரும் கார்ட்டீசியன் சூத்திரங்கள் (படம் 24 ஐப் பார்க்கவும்) அமைப்பு (3) க்கு, பகுதியின் அடிப்பகுதியை மேப்பிங் செய்ய, செவ்வக ஆயங்களில் உள்ள மூன்று ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து உருளை ஆயத்தொகுப்புகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புக்கு மாறுவதற்கான சூத்திரமும் (2) எங்களிடம் உள்ளது. வடிவம் (4) வெளிப்பாடு உருளை ஆயத்தொகுதிகளில் ஒரு தொகுதி உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு தொகுதி உறுப்புக்கான இந்த வெளிப்பாடு வடிவியல் பரிசீலனைகளிலிருந்தும் பெறலாம். ஒருங்கிணைந்த பரப்புகளால் P பகுதியை அடிப்படை துணைப் பகுதிகளாகப் பிரித்து, அதன் விளைவாக வரும் வளைவுப் ப்ரிஸங்களின் தொகுதிகளைக் கணக்கிடுவோம் (படம் 25). அதிக வரிசையின் எண்ணற்ற அளவை நிராகரித்து, நாம் பெறுவதைக் காணலாம், இது உருளை ஆயத்தொகுப்புகளில் பின்வரும் அளவை ஒரு தொகுதி உறுப்பாக எடுக்க அனுமதிக்கிறது எடுத்துக்காட்டு 1. மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலின் அளவைக் கண்டறியவும் 4 உருளை ஆயங்களில், கொடுக்கப்பட்ட பரப்புகளில் சமன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கும் (சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும் (3)). இந்த மேற்பரப்புகள் r கோட்டுடன் வெட்டுகின்றன, இது சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (சிலிண்டர்), (விமானம்), படம் 26 மற்றும் அதன் ப்ராஜெக்ஷன் மூலம் xOy விமானத்தின் மீது அமைப்பு மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது, எனவே, தேவையான அளவு சூத்திரம் (4) மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது. எந்த. கோள ஆயத்தொகுப்புகளில் மும்மடங்கு ஒருங்கிணைப்பு ஒரு கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், விண்வெளியில் உள்ள புள்ளி P(x, y, z) நிலை மூன்று எண்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அங்கு r என்பது தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம், ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மற்றும் xOy விமானத்தின் மீது P புள்ளியின் ஆரம் திசையன் OR இன் ப்ராஜெக்ஷன், மற்றும் c என்பது Oz அச்சில் இருந்து அளவிடப்படும் Oz அச்சு மற்றும் P இன் ஆரம் திசையன் OR இடையே உள்ள கோணம் (படம். 27) என்பது தெளிவாகிறது. இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் மேற்பரப்புகளை ஒருங்கிணைக்கவும்: r = const - தோற்றத்தில் மையம் கொண்ட கோளங்கள்; ip = Oz அச்சில் இருந்து வெளிப்படும் const அரை-விமானங்கள்; в = const - Oz அச்சுடன் வட்ட வடிவ கூம்புகள். அரிசி. 27 படத்தில் இருந்து கோள மற்றும் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகள் பின்வரும் உறவுகளால் தொடர்புடையவை என்பது தெளிவாகிறது.செயல்பாடுகளின் ஜகோபியனைக் கணக்கிடுவோம் (5). இதன் விளைவாக, சூத்திரம் (2) கோள ஆயத்தொகுப்புகளில் தொகுதி உறுப்பு வடிவத்தையும் எடுக்கும் - தொகுதி உறுப்புக்கான வெளிப்பாட்டை வடிவியல் பரிசீலனைகளிலிருந்தும் பெறலாம். r மற்றும் r + dr, கூம்புகள் b மற்றும் b + d$ மற்றும் அரை-விமானங்களின் கோளங்களால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட விண்வெளியில் உள்ள ஒரு அடிப்படைப் பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம். பின்னர் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் மூன்று ஒருங்கிணைப்பு பண்புகள் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு உருளை மற்றும் கோள ஆயங்களில் மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு எடுத்துக்காட்டு 2. குவிவு கோளங்களால் கூம்பிலிருந்து வெட்டப்பட்ட ஒரு குவிந்த உடலின் கன அளவைக் கண்டறியவும் -4 நாம் கடந்து செல்கிறோம். கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து தெளிவாகிறது. மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து மாற்றப்பட்ட கோணம் 9: எங்கிருந்து வரம்புகளைக் காண்கிறோம்

டிரிபிள் இன்டெகிரலைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை இரட்டை ஒருங்கிணைப்புக்கான தொடர்புடைய செயல்பாட்டைப் போன்றது. அதை விவரிக்க, வழக்கமான முப்பரிமாண மண்டலத்தின் கருத்தை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வரையறை 9.1. முப்பரிமாண பகுதி V ஒரு மூடிய மேற்பரப்பு S ஆல் கட்டுப்படுத்தப்பட்டால் வழக்கமானது என அழைக்கப்படுகிறது:

1. Oz அச்சுக்கு இணையான மற்றும் பிராந்தியத்தின் உள் புள்ளியின் மூலம் வரையப்பட்ட எந்த நேர்கோடும் S இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது;
2. முழு பகுதி V ஆனது Oxy விமானத்தின் மீது வழக்கமான இரு பரிமாண பகுதி D ஆக திட்டமிடப்பட்டுள்ளது;
3. V பிராந்தியத்தின் எந்தப் பகுதியும், அதிலிருந்து எந்த ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுக்கும் இணையான விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்டு, பண்புகள் 1) மற்றும் 2) உள்ளன.

z=χ(x,y) மற்றும் z=ψ(x,y) ஆகிய மேற்பரப்புகளால் கீழேயும் மேலேயும் வரம்பிடப்பட்ட வழக்கமான பகுதி V ஐக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் Oxy விமானத்தின் மீது வழக்கமான பகுதி D க்குள் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது, அதன் உள்ளே x மாறுபடும் a b க்கு, y=φ1(x) மற்றும் y=φ2(x) (படம் 1) வளைவுகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. டொமைன் V இல் f(x, y, z) ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டை வரையறுப்போம்.

வரையறை 9.2. பகுதி V மீது f(x, y, z) செயல்பாட்டின் மூன்று ஒருங்கிணைப்பை படிவத்தின் வெளிப்பாடு என்று அழைப்போம்:

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் அதே பண்புகளை டிரிபிள் ஒருங்கிணைப்பு கொண்டுள்ளது. ஆதாரம் இல்லாமல் அவற்றைப் பட்டியலிடுகிறோம், ஏனெனில் அவை இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைப் போலவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு.

தேற்றம் 9.1. வழக்கமான டொமைன் V மீது f(x,y,z) செயல்பாட்டின் மூன்று ஒருங்கிணைப்பு அதே டொமைனில் உள்ள மூன்று ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

. (9.3)

ஆதாரம்.

ஆயத் தளங்களுக்கு இணையான விமானங்களால் V பகுதியை n வழக்கமான பகுதிகளாகப் பிரிப்போம். பின்னர் சொத்து 1 இல் இருந்து அது பின்வருமாறு

பிராந்தியத்தின் மீது f(x,y,z) செயல்பாட்டின் மூன்று ஒருங்கிணைப்பு எங்கே.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (9.2), முந்தைய சமத்துவத்தை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

f(x,y,z) செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் நிபந்தனையிலிருந்து, இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பு உள்ளது மற்றும் இது மூன்று ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமாக உள்ளது. பின்னர், இல் வரம்பை கடந்து, நாம் பெறுகிறோம்:

கே.இ.டி.

கருத்து.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் விஷயத்தைப் போலவே, ஒருங்கிணைப்பின் வரிசையை மாற்றுவது மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பை மாற்றாது என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

உதாரணமாக. V என்பது ஒரு முக்கோண பிரமிடு புள்ளிகள் (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) மற்றும் (0, 0, 1) ஆகிய புள்ளிகளில் உள்ள ஒரு முக்கோணப் பிரமிடாக உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவோம். Oxy விமானத்தின் மீது அதன் கணிப்பு செங்குத்துகள் (0, 0), (1, 0) மற்றும் (0, 1) கொண்ட ஒரு முக்கோணமாகும். மண்டலம் கீழே இருந்து விமானம் z = 0, மற்றும் மேலே இருந்து விமானம் x + y + z = 1. மூன்று மடங்கு ஒருங்கிணைப்புக்கு செல்லலாம்:

ஒருங்கிணைப்பு மாறியைச் சார்ந்து இல்லாத காரணிகள் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

முப்பரிமாண இடத்தில் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள்.

1. உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு.

P(ρ,φ,z) புள்ளியின் உருளை ஆயத்தொலைவுகள் துருவ ஆயத்தொலைவுகள் ρ, φ ஆக்சி விமானம் மற்றும் இந்த புள்ளி z (படம். 2) மீது இந்த புள்ளியின் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆகும்.

உருளையிலிருந்து கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளுக்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படலாம்:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு.

கோள ஆயங்களில், விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் நிலை நேரியல் ஒருங்கிணைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது ρ - புள்ளியில் இருந்து கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றம் (அல்லது கோள அமைப்பின் துருவம்), φ - நேர்மறை இடையே துருவ கோணம் செமி-அச்சு ஆக்ஸ் மற்றும் புள்ளியின் ப்ராஜெக்ஷன் ஆக்ஸி விமானம், மற்றும் θ - அச்சு Oz மற்றும் பிரிவு OP இன் நேர்மறை அரை அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம் (படம் 3). இதில்

கோள வடிவத்திலிருந்து கார்ட்டீசியன் ஆயங்களுக்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்களை அமைப்போம்:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

ஜேக்கபியன் மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள்.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பில் மாறிகளை மாற்றுவதற்கான பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஆக்ஸி விமானத்தில் ஒரு பகுதி D கொடுக்கப்பட வேண்டும், L ஒரு கோட்டால் வரம்பில் உள்ளது. x மற்றும் y ஆகியவை புதிய மாறிகள் u மற்றும் v இன் ஒற்றை மதிப்பு மற்றும் தொடர்ச்சியாக வேறுபடக்கூடிய செயல்பாடுகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Ouv ஐக் கருத்தில் கொள்வோம், இதில் P΄(u, v) புள்ளியானது D பகுதியில் இருந்து P(x, y) புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது. அத்தகைய புள்ளிகள் அனைத்தும் Ouv விமானத்தில் D΄ பகுதியை உருவாக்குகின்றன. வரி L΄. சூத்திரங்கள் (9.6) D மற்றும் D΄ பகுதிகளின் புள்ளிகளுக்கு இடையே ஒன்றுக்கு ஒன்று கடிதத் தொடர்பை ஏற்படுத்துகின்றன என்று நாம் கூறலாம். இந்த வழக்கில், வரிகள் u = const மற்றும்

Ouv விமானத்தில் உள்ள v = const ஆனது Oxy விமானத்தில் உள்ள சில கோடுகளுடன் ஒத்திருக்கும்.

u = const, u+Δu = const, v = const மற்றும் v+Δv = const என்ற நேர்கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட Ouv விமானத்தில் ΔS΄ செவ்வகப் பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது Oxy விமானத்தில் ΔS வளைந்த பகுதிக்கு ஒத்திருக்கும் (படம் 4). பரிசீலனையில் உள்ள பகுதிகளின் பகுதிகளும் ΔS΄ மற்றும் ΔS ஆல் குறிக்கப்படும். இந்த வழக்கில், ΔS΄ = Δu Δv. ΔS பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த வளைவு நாற்கர P1, P2, P3, P4 ஆகியவற்றின் முனைகளைக் குறிப்போம்.

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

சிறிய அதிகரிப்புகளான Δu மற்றும் Δv ஆகியவற்றை தொடர்புடைய வேறுபாடுகளுடன் மாற்றுவோம். பிறகு

இந்த வழக்கில், நாற்கர P1 P2 P3 P4 ஐ ஒரு இணையான வரைபடமாகக் கருதலாம் மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் இருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியை தீர்மானிக்க முடியும்:

(9.7)

வரையறை 9.3. தீர்மானிப்பான் φ(x, y) மற்றும் ψ(x, y) செயல்பாடுகளின் செயல்பாட்டு நிர்ணயிப்பான் அல்லது ஜகோபியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சமத்துவத்தில் (9.7) வரம்பைக் கடந்து, ஜேகோபியனின் வடிவியல் பொருளைப் பெறுகிறோம்:

அதாவது, ஜகோபியனின் தொகுதி என்பது எல்லையற்ற பகுதிகளான ΔS மற்றும் ΔS΄ பகுதிகளின் விகிதத்தின் வரம்பாகும்.

கருத்து. இதேபோல், ஜேகோபியன் என்ற கருத்தையும், n-பரிமாண இடத்திற்கான அதன் வடிவியல் அர்த்தத்தையும் நாம் வரையறுக்கலாம்: x1 = φ1(u1, u2,...,un), x2 = φ2(u1, u2,...,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), பின்னர்

(9.8)

இந்த வழக்கில், x1, x2,..., xn மற்றும் u1, u2,..., un ஆகிய இடைவெளிகளின் சிறிய பகுதிகளின் "தொகுதிகளின்" விகிதத்திற்கு ஜகோபியனின் தொகுதி ஒரு வரம்பைக் கொடுக்கிறது.

பல ஒருங்கிணைப்புகளில் மாறிகளின் மாற்றம்.

இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மாறிகளின் மாற்றத்தின் பொதுவான வழக்கைப் படிப்போம்.

D΄ டொமைனில் உள்ள z = F(u, v) செயல்பாட்டின் அதே மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும் ஒவ்வொரு மதிப்பும் D΄ டொமைனில் z = f(x,y) என்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும்.

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

ஒருங்கிணைந்த தொகையைக் கவனியுங்கள்

வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த தொகை D΄ டொமைன் மீது எடுக்கப்படுகிறது. இல் உள்ள வரம்பைக் கடந்து, இரட்டை ஒருங்கிணைப்பில் ஆயங்களை மாற்றுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்.

டெபாசிட் கோப்புகளிலிருந்து பதிவிறக்கவும்

மூன்று ஒருங்கிணைந்த.

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்.

டிரிபிள் ஒருங்கிணைப்பு, அதன் பண்புகள்.

டிரிபிள் இன்டெக்ரலில் மாறிகளின் மாற்றம். உருளை ஆயத்தொகுப்புகளில் மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு.

கோள ஆயத்தொகுப்புகளில் மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு.

செயல்படட்டும் u= f(x,y,z) வரையறுக்கப்பட்ட மூடிய பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது விவிண்வெளி ஆர் 3. பகுதியை பிரிப்போம் விதோராயமாக அன்று nஆரம்ப மூடிய பகுதிகள் வி 1 , … ,வி n, தொகுதிகள் கொண்டவை  வி 1 , …,  வி nமுறையே. குறிப்போம் ஈ- பகுதிகளின் விட்டம் மிகப்பெரியது வி 1 , … ,வி n. ஒவ்வொரு பகுதியிலும் வி கேஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் பி கே (எக்ஸ் கே , ஒய் கே ,z கே) மற்றும் அலங்காரம் ஒருங்கிணைந்த தொகைசெயல்பாடுகள் f(எக்ஸ், ஒய்,z)

எஸ் =

வரையறை.மூன்று ஒருங்கிணைந்தசெயல்பாட்டில் இருந்து f(எக்ஸ், ஒய்,z) பிராந்தியம் வாரியாக விஒருங்கிணைந்த தொகையின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
, அது இருந்தால்.

இதனால்,

(1)

கருத்து.ஒட்டுமொத்த தொகை எஸ்பகுதி எவ்வாறு பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பொறுத்தது வி மற்றும் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது பி கே (கே=1, …, n) இருப்பினும், ஒரு வரம்பு இருந்தால், அது பிராந்தியத்தைப் பிரிக்கும் விதத்தைப் பொறுத்தது அல்ல விமற்றும் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது பி கே. இரட்டை மற்றும் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் வரையறைகளை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், அவற்றில் முழுமையான ஒப்புமையைக் காண்பது எளிது.

டிரிபிள் இன்டெக்ரலின் இருப்புக்கு போதுமான நிபந்தனை.செயல்பாடாக இருந்தால் டிரிபிள் இன்டெக்ரல் (13) உள்ளது f(எக்ஸ், ஒய்,z) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது விமற்றும் தொடர்ந்து உள்ளது வி, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான துண்டு துண்டான மென்மையான மேற்பரப்புகளைத் தவிர வி.

மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் சில பண்புகள்.

1) என்றால் உடன்ஒரு எண் மாறிலி, பின்னர்

3) பகுதியில் சேர்க்கை. பகுதி என்றால் வி பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது வி 1 மற்றும் வி 2, பின்னர்

4) உடல் அளவு விசமம்

(2 )

கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் மூன்று ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு.

விடுங்கள் டி உடல் திட்டம் விவிமானத்திற்கு xOy, மேற்பரப்புகள் z=φ 1 (எக்ஸ்,ஒய்),z=φ 2 (எக்ஸ், ஒய்) உடலைக் கட்டுப்படுத்துங்கள் விமுறையே கீழே மற்றும் மேலே. என்று அர்த்தம்

வி = {(எக்ஸ், ஒய், z): (எக்ஸ், ஒய்)டி , φ 1 (எக்ஸ்,ஒய்)≤ z ≤ φ 2 (எக்ஸ்,ஒய்)}.

அப்படிப்பட்ட உடலைக் கூறுவோம் z- உருளை. டிரிபிள் இன்டெக்ரல் (1) ஓவர் z- உருளை உடல் விஇரட்டை மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்ட ஒரு மறுதொடக்க முழுமைக்கு அனுப்புவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது:

(3 )

இந்த மறுதொடக்க ஒருங்கிணைப்பில், மாறியின் மேல் உள்ள உள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு முதலில் மதிப்பிடப்படுகிறது. z, இதில் எக்ஸ், ஒய்நிரந்தரமாகக் கருதப்படுகின்றன. பின்னர் பகுதியின் மீது விளைந்த செயல்பாட்டின் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு கணக்கிடப்படுகிறது டி.

என்றால் வி எக்ஸ்-உருளை அல்லது y-உருளை உடல், பின்னர் பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

முதல் சூத்திரத்தில் டி  உடல் திட்டம் விஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு yOz, மற்றும் இரண்டாவது - விமானத்திற்கு xOz

எடுத்துக்காட்டுகள். 1) உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள் வி, மேற்பரப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது z = 0, எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 = 4, z = எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 .

தீர்வு. ஃபார்முலா (2) இன் படி டிரிபிள் இன்டெகிராலைப் பயன்படுத்தி அளவைக் கணக்கிடுவோம்

சூத்திரத்தை (3) பயன்படுத்தி மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைக்க செல்லலாம்.

விடுங்கள் டி- வட்டம் எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 ≤ 4, φ 1 (எக்ஸ் , ஒய் ) = 0, φ 2 (எக்ஸ் , ஒய் )= எக்ஸ் 2 + ஒய் 2. பின்னர், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (3), நாம் பெறுகிறோம்

இந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட, துருவ ஆயத்தொகுப்புகளுக்குச் செல்லலாம். அதே நேரத்தில் வட்டம் டிதொகுப்பாக மாறுகிறது

டி ஆர் = { (ஆர் , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ ஆர் ≤ 2} .

2) உடல் வி மேற்பரப்புகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டது z=y , z= –y , x= 0 , x= 2, y= 1. கணக்கிடுங்கள்

விமானங்கள் z = y , z = –yஉடலை கீழே மற்றும் மேலே இருந்து முறையே கட்டுப்படுத்தவும், விமானங்கள் x= 0 , x= 2 பின் மற்றும் முன், முறையே, மற்றும் விமானத்தில் இருந்து உடலை கட்டுப்படுத்தவும் y=வலதுபுறத்தில் 1 வரம்புகள். வி –z-உருளை உடல், அதன் கணிப்பு டிவிமானத்திற்கு xOyஒரு செவ்வகமாகும் OABC. போடுவோம் φ 1 (எக்ஸ் , ஒய் ) = –ஒய்

டிரிபிள் ஒருங்கிணைப்புகள். உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்.
உருளை ஆயங்களில் மும்மடங்கு ஒருங்கிணைப்பு

மூன்று நாட்கள் இறந்தவர் பித்தகோரஸின் கால்சட்டை அணிந்து டீன் அலுவலகத்தில் கிடந்தார்.
ஃபிச்சன்ஹோல்ட்ஸின் கைகளில் அவர் இந்த உலகத்திலிருந்து அவரை அழைத்து வந்த ஒரு தொகுதியை வைத்திருந்தார்.
கால்களில் ஒரு டிரிபிள் இன்டெக்ரல் கட்டப்பட்டு, சடலம் மேட்ரிக்ஸில் சுற்றப்பட்டது,
பிரார்த்தனை செய்வதற்குப் பதிலாக, சில முட்டாள்தனமான நபர் பெர்னோலியின் தேற்றத்தைப் படித்தார்.

டிரிபிள் ஒருங்கிணைப்புகள் என்பது நீங்கள் பயப்படத் தேவையில்லை =) ஏனெனில் நீங்கள் இந்த உரையைப் படிக்கிறீர்கள் என்றால், பெரும்பாலும், நீங்கள் அதைப் பற்றி நன்கு புரிந்துகொள்வீர்கள். "சாதாரண" ஒருங்கிணைப்புகளின் கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறை, மற்றும் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள். இரட்டை இருக்கும் இடத்தில், அருகில் ஒரு மூன்று உள்ளது:

உண்மையில், பயப்படுவதற்கு என்ன இருக்கிறது? ஒருங்கிணைப்பு குறைவு, முழுமை அதிகம்....

பதிவைப் பார்ப்போம்:

- மூன்று ஒருங்கிணைந்த ஐகான்;
- ஒருங்கிணைந்த மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடு;
- வேறுபாடுகளின் தயாரிப்பு.
- ஒருங்கிணைப்பு பகுதி.

குறிப்பாக கவனம் செலுத்துவோம் ஒருங்கிணைப்பு பகுதிகள். உள்ளே இருந்தால் இரட்டை ஒருங்கிணைந்தஅது பிரதிபலிக்கிறது தட்டையான உருவம், பின்னர் இங்கே - இடஞ்சார்ந்த உடல், இது, அறியப்பட்டபடி, தொகுப்பால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மேற்பரப்புகள். எனவே, மேலே உள்ளவற்றைத் தவிர, நீங்கள் செல்ல வேண்டும் விண்வெளியின் அடிப்படை மேற்பரப்புகள்மற்றும் எளிமையான முப்பரிமாண வரைபடங்களை உருவாக்க முடியும்.

சிலர் மனச்சோர்வடைந்துள்ளனர், எனக்கு புரிகிறது... ஐயோ, கட்டுரைக்கு "டம்மிகளுக்கான டிரிபிள் இன்டிக்ரேல்ஸ்" என்று தலைப்பிட முடியாது, மேலும் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய/செய்யக்கூடிய சில விஷயங்கள் உள்ளன. ஆனால் பரவாயில்லை - அனைத்து பொருட்களும் மிகவும் அணுகக்கூடிய வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன மற்றும் குறுகிய காலத்தில் தேர்ச்சி பெறலாம்!

டிரிபிள் இன்டெகிராலைக் கணக்கிடுவது என்றால் என்ன, அது என்ன?

மூன்று ஒருங்கிணைந்த வழிமுறைகளைக் கணக்கிட NUMBER ஐக் கண்டறியவும்:

எளிமையான வழக்கில், எப்போது டிரிபிள் இன்டெக்ரல் என்பது உடலின் தொகுதிக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம். மற்றும் உண்மையில், படி ஒருங்கிணைப்பின் பொதுவான பொருள், தயாரிப்பு சமம் எல்லையற்றஉடலின் ஒரு அடிப்படை "செங்கல்" அளவு. மற்றும் மும்மடங்கு ஒருமைப்பாடு தான் ஒன்றுபடுகிறது இவை அனைத்தும் எண்ணற்ற துகள்கள்பரப்பளவில், உடலின் அளவின் ஒருங்கிணைந்த (மொத்த) மதிப்பை விளைவிக்கிறது: .

கூடுதலாக, மூன்று ஒருங்கிணைப்பு முக்கியமானது உடல் பயன்பாடுகள். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் - பாடத்தின் 2 வது பகுதியில், அர்ப்பணிக்கப்பட்டது தன்னிச்சையான மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடுகள், பொது வழக்கில் செயல்பாடு ஒரு மாறிலியில் இருந்து வேறுபட்டது மற்றும் பிராந்தியத்தில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. இந்த கட்டுரையில், அளவைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை விரிவாகக் கருதுவோம், இது எனது அகநிலை மதிப்பீட்டின்படி, 6-7 மடங்கு அதிகமாக நிகழ்கிறது.

ஒரு மூன்று ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

பதில் தர்க்கரீதியாக முந்தைய பத்தியில் இருந்து பின்வருமாறு. தீர்மானிக்க வேண்டும் உடல் பயண ஒழுங்குமற்றும் செல்ல மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது. பின்னர் மூன்று ஒற்றை ஒருங்கிணைப்புகளை தொடர்ச்சியாக கையாளவும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முழு சமையலறை மிகவும் மிகவும் நினைவூட்டுகிறது இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள், இப்போது நாம் கூடுதல் பரிமாணத்தைச் சேர்த்துள்ளோம் (தோராயமாக, உயரம்). மேலும், அநேகமாக, உங்களில் பலர் ஏற்கனவே மூன்று ஒருங்கிணைப்புகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை யூகித்திருக்கலாம்.

மீதமுள்ள சந்தேகங்களை அகற்றுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

காகிதத்தில் ஒரு பத்தியில் எழுதுங்கள்:

மற்றும் பின்வரும் கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்கவும். இந்த சமன்பாடுகளை எந்த மேற்பரப்புகள் வரையறுக்கின்றன என்று உங்களுக்குத் தெரியுமா? இந்த சமன்பாடுகளின் முறைசாரா அர்த்தம் உங்களுக்கு புரிகிறதா? இந்த மேற்பரப்புகள் விண்வெளியில் எவ்வாறு அமைந்துள்ளன என்பதை உங்களால் கற்பனை செய்ய முடியுமா?

"ஆம் என்பதை விட இல்லை" என்ற பொதுவான பதிலுக்கு நீங்கள் சாய்ந்திருந்தால், பாடத்தின் மூலம் வேலை செய்வதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள், இல்லையெனில் நீங்கள் மேலும் முன்னேற மாட்டீர்கள்!

தீர்வு: நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

கண்டுபிடிக்கும் பொருட்டு உடல் பயண ஒழுங்குமற்றும் செல்ல மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டதுஇது என்ன வகையான உடல் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள உங்களுக்கு (அனைத்தும் எளிமையானது) தேவை. மேலும் பல சந்தர்ப்பங்களில், வரைபடங்கள் அத்தகைய புரிதலுக்கு பெரிதும் உதவுகின்றன.

நிபந்தனையின்படி, உடல் பல மேற்பரப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. எங்கு கட்டத் தொடங்குவது? பின்வரும் நடைமுறையை நான் பரிந்துரைக்கிறேன்:

முதலில் சித்தரிக்கலாம் இணையான ஆர்த்தோகனல்ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் உடலின் முன்கணிப்பு. முதல் முறையாக இந்த ப்ரொஜெக்ஷன் என்ன அழைக்கப்படுகிறது என்று சொன்னேன், lol =)

கணிப்பு அச்சில் மேற்கொள்ளப்படுவதால், முதலில் அதைச் சமாளிப்பது நல்லது மேற்பரப்புகள், இந்த அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும். அத்தகைய மேற்பரப்புகளின் சமன்பாடுகள் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் "z" என்ற எழுத்து இல்லை. பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலில் அவற்றில் மூன்று உள்ளன:

- சமன்பாடு அச்சின் வழியாக செல்லும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை குறிப்பிடுகிறது;
- சமன்பாடு அச்சின் வழியாக செல்லும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை குறிப்பிடுகிறது;
- சமன்பாடு அமைக்கிறது விமானம் "தட்டையான" நேர்கோடுஅச்சுக்கு இணையாக.

பெரும்பாலும், விரும்பிய கணிப்பு பின்வரும் முக்கோணமாகும்:

நாம் எதைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது அனைவருக்கும் முழுமையாக புரியவில்லை. மானிட்டர் திரையில் இருந்து ஒரு அச்சு வெளியே வந்து உங்கள் மூக்கின் பாலத்தில் நேரடியாக ஒட்டிக்கொண்டிருப்பதாக கற்பனை செய்து பாருங்கள் ( அந்த. நீங்கள் மேலே இருந்து ஒரு 3 பரிமாண வரைபடத்தைப் பார்க்கிறீர்கள் என்று மாறிவிடும்). ஆய்வின் கீழ் உள்ள இடஞ்சார்ந்த உடல் ஒரு முடிவற்ற முக்கோண "தாழ்வாரத்தில்" அமைந்துள்ளது மற்றும் ஒரு விமானத்தின் மீது அதன் முன்கணிப்பு பெரும்பாலும் நிழல் கொண்ட முக்கோணத்தைக் குறிக்கிறது.

நாங்கள் வெளிப்படுத்திய அதே வேளையில் நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்புகிறேன் ஒரு அனுமானம் மட்டுமேமற்றும் "பெரும்பாலும்" மற்றும் "பெரும்பாலும்" உட்பிரிவுகள் தற்செயலானவை அல்ல. உண்மை என்னவென்றால், எல்லா மேற்பரப்புகளும் இன்னும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படவில்லை, மேலும் அவற்றில் ஒன்று முக்கோணத்தின் ஒரு பகுதியை "துண்டித்துவிடும்". ஒரு தெளிவான உதாரணமாக, இது அறிவுறுத்துகிறது கோளம்ஒன்றுக்கும் குறைவான ஆரம் தோற்றத்தில் ஒரு மையத்துடன், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளம் - விமானத்தின் மீது அதன் கணிப்பு (வட்டம் ) நிழலாடிய பகுதியை முழுவதுமாக மூடிவிடாது, மேலும் உடலின் இறுதித் திட்டம் முக்கோணமாக இருக்காது. (வட்டம் அதன் கூர்மையான மூலைகளை "துண்டிக்கும்").

இரண்டாவது கட்டத்தில், உடல் எவ்வாறு மேலே மற்றும் கீழே இருந்து மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடித்து ஒரு இடஞ்சார்ந்த வரைபடத்தை மேற்கொள்கிறோம். பிரச்சனை அறிக்கைக்குத் திரும்பி, எந்தப் பரப்புகள் உள்ளன என்பதைப் பார்ப்போம். சமன்பாடு ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தையே குறிப்பிடுகிறது, மேலும் சமன்பாடு - பரவளைய உருளை, அமைந்துள்ளது மேலேவிமானம் மற்றும் அச்சின் வழியாக செல்கிறது. எனவே, உடலின் திட்டமானது உண்மையிலேயே ஒரு முக்கோணமாகும்.

மூலம், நான் அதை இங்கே கண்டுபிடித்தேன் பணிநீக்கம்நிபந்தனைகள் - விமானத்தின் சமன்பாட்டைச் சேர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் மேற்பரப்பு, அப்சிஸ்ஸா அச்சைத் தொட்டு, ஏற்கனவே உடலை மூடுகிறது. இந்த விஷயத்தில் நாம் உடனடியாக திட்டத்தை வரைய முடியாது என்பது கவனிக்கத்தக்கது - சமன்பாட்டை பகுப்பாய்வு செய்த பின்னரே முக்கோணம் "வரையப்படும்".

பரவளைய உருளையின் ஒரு பகுதியை கவனமாக சித்தரிப்போம்:

உடன் வரைபடங்களை முடித்த பிறகு உடலைச் சுற்றி நடக்கும் வரிசைஎந்த பிரச்சினையும் இல்லை!

முதலில், திட்டத்தின் பயணத்தின் வரிசையை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் (அதே நேரத்தில், இரு பரிமாண வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி வழிசெலுத்துவது மிகவும் வசதியானது).அது முடிந்தது சரியாக அதே, உள்ளபடி இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள்! லேசர் சுட்டிக்காட்டி மற்றும் ஒரு தட்டையான பகுதியை ஸ்கேன் செய்யுங்கள். "பாரம்பரிய" 1 வது பைபாஸ் முறையைத் தேர்வு செய்வோம்:

அடுத்து, நாங்கள் ஒரு மாய விளக்கை எடுத்து, முப்பரிமாண வரைபடத்தைப் பார்க்கிறோம் கண்டிப்பாக கீழிருந்து மேல் வரைநாங்கள் நோயாளியை ஒளிரச் செய்கிறோம். கதிர்கள் ஒரு விமானம் வழியாக உடலுக்குள் நுழைந்து மேற்பரப்பு வழியாக வெளியேறும். எனவே, உடலைக் கடக்கும் வரிசை:

மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு செல்லலாம்:

1) நீங்கள் "zeta" ஒருங்கிணைப்புடன் தொடங்க வேண்டும். நாம் பயன்படுத்த நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்:

முடிவை "விளையாட்டு" ஒருங்கிணைப்பில் மாற்றுவோம்:

என்ன நடந்தது? அடிப்படையில், தீர்வு இரட்டை ஒருங்கிணைப்பாகவும், துல்லியமாக சூத்திரமாகவும் குறைக்கப்பட்டது உருளைக் கற்றை அளவு! பின்வருவது தெரிந்ததே:

2)

3 வது ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான பகுத்தறிவு நுட்பத்திற்கு கவனம் செலுத்துங்கள்.

பதில்:

கணக்கீடுகளை எப்போதும் "ஒரு வரியில்" எழுதலாம்:


ஆனால் இந்த முறையுடன் கவனமாக இருங்கள் - வேகத்தில் ஆதாயம் தரம் இழப்பால் நிறைந்துள்ளது, மேலும் சிக்கலான உதாரணம், தவறு செய்வதற்கான வாய்ப்பு அதிகம்.

ஒரு முக்கியமான கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்:

பணி நிலைமைகள் அவற்றின் செயல்படுத்தல் தேவையில்லை என்றால் வரைபடங்களை உருவாக்குவது அவசியமா?

நீங்கள் நான்கு வழிகளில் செல்லலாம்:

1) ப்ரொஜெக்ஷன் மற்றும் உடலையே வரையவும். இது மிகவும் சாதகமான விருப்பம் - இரண்டு கண்ணியமான வரைபடங்களை முடிக்க உங்களுக்கு வாய்ப்பு இருந்தால், சோம்பேறியாக இருக்காதீர்கள், இரண்டு வரைபடங்களையும் செய்யுங்கள். நான் அதை முதலில் பரிந்துரைக்கிறேன்.

2) உடலை மட்டும் வரையவும். உடல் ஒரு எளிய மற்றும் வெளிப்படையான முன்கணிப்பைக் கொண்டிருக்கும் போது பொருத்தமானது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பிரிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், ஒரு முப்பரிமாண வரைதல் போதுமானதாக இருக்கும். இருப்பினும், ஒரு கழித்தல் உள்ளது - ஒரு 3D படத்திலிருந்து ப்ரொஜெக்ஷனைக் கடக்கும் வரிசையைத் தீர்மானிப்பது சிரமமாக உள்ளது, மேலும் இந்த முறையை நல்ல அளவிலான பயிற்சி உள்ளவர்களுக்கு மட்டுமே பரிந்துரைக்கிறேன்.

3) திட்டத்தை மட்டும் வரையவும். இதுவும் மோசமானதல்ல, ஆனால் கூடுதல் எழுதப்பட்ட கருத்துகள் தேவைப்படுகின்றன, இது பல்வேறு பக்கங்களிலிருந்து பகுதியை கட்டுப்படுத்துகிறது. துரதிருஷ்டவசமாக, மூன்றாவது விருப்பம் பெரும்பாலும் கட்டாயப்படுத்தப்படுகிறது - உடல் மிகவும் பெரியதாக இருக்கும்போது அல்லது அதன் கட்டுமானம் மற்ற சிரமங்களால் நிறைந்திருக்கும். அத்தகைய உதாரணங்களையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

4) வரைபடங்கள் இல்லாமல் செய்யுங்கள். இந்த வழக்கில், நீங்கள் உடலை மனரீதியாக கற்பனை செய்து, அதன் வடிவம் / இருப்பிடம் குறித்து எழுத்துப்பூர்வமாக கருத்து தெரிவிக்க வேண்டும். மிகவும் எளிமையான உடல்கள் அல்லது இரண்டு வரைபடங்களையும் செய்வது கடினமாக இருக்கும் பணிகளுக்கு ஏற்றது. ஆனால் "நிர்வாண" தீர்வு நிராகரிக்கப்படலாம் என்பதால், குறைந்தபட்சம் ஒரு திட்டவட்டமான வரைபடத்தை உருவாக்குவது இன்னும் சிறந்தது.

பின்வரும் அமைப்பு சுயாதீனமான வேலைக்கானது:

உதாரணம் 2

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்

இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பு களம் முதன்மையாக ஏற்றத்தாழ்வுகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் இது இன்னும் சிறந்தது - ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கிணைப்பு விமானங்கள் மற்றும் சமத்துவமின்மை உட்பட 1 வது ஆக்டான்ட்டை வரையறுக்கிறது - அரை-வெளி, தோற்றம் கொண்டது (காசோலை)+ விமானம் தானே. "செங்குத்து" விமானம் பரவளையத்துடன் பரவளையத்தை வெட்டுகிறது, மேலும் இந்த பகுதியை வரைபடத்தில் உருவாக்குவது நல்லது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் கூடுதல் குறிப்பு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், எளிதான வழி பரவளையத்தின் உச்சி. (மதிப்புகளை நாங்கள் கருதுகிறோம் மற்றும் தொடர்புடைய "zet" ஐக் கணக்கிடுங்கள்).

தொடர்ந்து சூடுபடுத்துவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள். வரைபடத்தை இயக்கவும்.

தீர்வு: "ஒரு வரைபடத்தை இயக்கு" என்ற வார்த்தை நமக்கு சில சுதந்திரத்தை அளிக்கிறது, ஆனால் பெரும்பாலும் ஒரு இடஞ்சார்ந்த வரைபடத்தை செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், ப்ரொஜெக்ஷன் காயப்படுத்தாது, குறிப்பாக இது இங்கே எளிமையானது அல்ல.

முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட தந்திரோபாயங்களுக்கு நாங்கள் ஒட்டிக்கொள்கிறோம் - முதலில் நாங்கள் கையாள்வோம் மேற்பரப்புகள், பயன்பாட்டு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும். அத்தகைய பரப்புகளின் சமன்பாடுகள் வெளிப்படையாக "z" மாறியைக் கொண்டிருக்கவில்லை:

- சமன்பாடு அச்சின் வழியாக செல்லும் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தைக் குறிப்பிடுகிறது ( விமானத்தில் இது "பெயரிடப்பட்ட" சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது);
- சமன்பாடு அமைக்கிறது விமானம், "பெயரிடப்பட்ட" வழியாக செல்கிறது "தட்டையான" நேர்கோடுஅச்சுக்கு இணையாக.

விரும்பிய உடல் கீழே ஒரு விமானம் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது பரவளைய உருளைமேலே:

"எக்ஸ்" மற்றும் "ஒய்" ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள், இரு பரிமாண வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிப்பது மிகவும் வசதியானது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகையில், உடலின் ஒரு வரிசையை உருவாக்குவோம்:

இதனால்:

1)

"y" க்கு மேல் ஒருங்கிணைக்கும்போது, ​​"x" ஒரு மாறிலியாகக் கருதப்படுகிறது, எனவே ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை உடனடியாக வெளியேற்றுவது நல்லது.

3)

பதில்:

ஆம், நான் கிட்டத்தட்ட மறந்துவிட்டேன், பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் முப்பரிமாண வரைதல் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவைச் சரிபார்ப்பது சிறிய பயன் (மற்றும் தீங்கு விளைவிக்கும்) ஏனெனில் அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது தொகுதி மாயை, நான் வகுப்பில் பேசியது புரட்சியின் உடலின் தொகுதி. எனவே, கருதப்பட்ட சிக்கலின் உடலை மதிப்பிடுவது, அது 4 "க்யூப்ஸ்" அதிகமாக இருப்பதாக தனிப்பட்ட முறையில் எனக்குத் தோன்றியது.

ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு:

எடுத்துக்காட்டு 4

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள். இந்த உடல் மற்றும் அதன் முன்கணிப்பை ஒரு விமானத்தில் வரையவும்.

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு பணியின் தோராயமான உதாரணம்.

முப்பரிமாண வரைபடத்தை செயல்படுத்துவது கடினமாக இருக்கும்போது இது அசாதாரணமானது அல்ல:

உதாரணம் 5

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, அதன் எல்லைப் பரப்புகளால் கொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: இங்கே ப்ரொஜெக்ஷன் சிக்கலானது அல்ல, ஆனால் அதைக் கடக்கும் வரிசையைப் பற்றி நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டும். நீங்கள் 1 வது முறையைத் தேர்வுசெய்தால், அந்த உருவத்தை 2 பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும், இது தொகையைக் கணக்கிட தீவிரமாக அச்சுறுத்துகிறது. இரண்டுமூன்று ஒருங்கிணைப்புகள். இது சம்பந்தமாக, 2 வது பாதை மிகவும் நம்பிக்கைக்குரியது. இந்த உடலின் திட்டத்தை வரைபடத்தில் வெளிப்படுத்தி சித்தரிப்போம்:

சில படங்களின் தரத்திற்கு நான் மன்னிப்பு கேட்டுக்கொள்கிறேன், அவற்றை எனது சொந்த கையெழுத்துப் பிரதிகளிலிருந்து நேரடியாக வெட்டினேன்.

உருவத்தை கடந்து செல்வதற்கான மிகவும் சாதகமான வரிசையை நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம்:

இப்போது அது உடலைப் பொறுத்தது. கீழே இருந்து அது விமானத்தால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலே இருந்து - ஆர்டினேட் அச்சு வழியாக செல்லும் விமானத்தால். எல்லாம் நன்றாக இருக்கும், ஆனால் கடைசி விமானம் மிகவும் செங்குத்தானது மற்றும் பகுதியை நிர்மாணிப்பது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. இங்குள்ள தேர்வு விரும்பத்தகாதது: நகைகள் சிறிய அளவில் வேலை செய்வது (உடல் மிகவும் மெல்லியதாக இருப்பதால்), அல்லது சுமார் 20 சென்டிமீட்டர் உயரம் வரைதல் (அதுவும் பொருந்தினால்).

ஆனால் சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் மூன்றாவது, சொந்த ரஷ்ய முறை உள்ளது - மதிப்பெண் பெற =) மேலும் முப்பரிமாண வரைபடத்திற்கு பதிலாக, வாய்மொழி விளக்கத்துடன் செய்யுங்கள்: “இந்த உடல் சிலிண்டர்களால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மற்றும் பக்கத்திலிருந்து ஒரு விமானம், கீழே இருந்து ஒரு விமானம் மற்றும் மேலே இருந்து ஒரு விமானம்."

ஒருங்கிணைப்பின் "செங்குத்து" வரம்புகள் வெளிப்படையாக உள்ளன:

உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவோம், குறைவான பொதுவான வழியில் திட்டத்தைத் தவிர்த்துவிட்டோம் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்:

1)

பதில்:

நீங்கள் கவனித்தபடி, நூறு ரூபாயை விட அதிக விலை இல்லாத சிக்கல்களில் முன்மொழியப்பட்ட உடல்கள் பெரும்பாலும் கீழே உள்ள விமானத்தால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஆனால் இது ஒரு விதி அல்ல, எனவே நீங்கள் எப்போதும் கவனமாக இருக்க வேண்டும் - உடல் அமைந்துள்ள ஒரு பணியை நீங்கள் சந்திக்க நேரிடும். கீழ்தட்டையானது எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட சிக்கலில் நாம் விமானத்தைக் கருத்தில் கொண்டால், ஆய்வு செய்யப்பட்ட உடல் சமச்சீராக கீழ் அரை-இடத்தில் வரைபடமாக்கப்படும் மற்றும் கீழே இருந்து விமானம் மற்றும் மேலே இருந்து விமானம் மூலம் வரையறுக்கப்படும்!

நீங்கள் அதே முடிவைப் பெறுவதைப் பார்ப்பது எளிது:

(உடலை சுற்றி நடக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் கண்டிப்பாக கீழிருந்து மேல் வரை!)

கூடுதலாக, "பிடித்த" விமானம் பயன்படுத்தப்படாமல் போகலாம்; எளிமையான உதாரணம்: விமானத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ள ஒரு பந்து - அதன் அளவைக் கணக்கிடும்போது, ​​ஒரு சமன்பாடு தேவைப்படாது.

இந்த எல்லா நிகழ்வுகளையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், ஆனால் இப்போதைக்கு நீங்கள் சொந்தமாக தீர்க்க இதேபோன்ற பணி உள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு 6

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலின் அளவைக் கண்டறியவும்

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

சமமான பிரபலமான பொருட்களுடன் இரண்டாவது பத்திக்கு செல்லலாம்:

உருளை ஆயங்களில் மும்மடங்கு ஒருங்கிணைப்பு

உருளை ஆயத்தொகுப்புகள், சாராம்சத்தில், துருவ ஒருங்கிணைப்புகள்விண்வெளியில்.
ஒரு உருளை ஆய அமைப்பில், விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் நிலை புள்ளியின் துருவ ஆயத்தொலைவுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது - புள்ளியை விமானத்தின் மீது செலுத்துவது மற்றும் புள்ளியின் பயன்பாடு.

முப்பரிமாண கார்ட்டீசியன் அமைப்பிலிருந்து ஒரு உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு மாற்றம் பின்வரும் சூத்திரங்களின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

எங்கள் தலைப்பைப் பொறுத்தவரை, மாற்றம் இதுபோல் தெரிகிறது:

மேலும், அதன்படி, இந்த கட்டுரையில் நாம் பரிசீலிக்கும் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வழக்கில்:

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், கூடுதல் “எர்” பெருக்கியை மறந்து அதை சரியாக வைக்கக்கூடாது ஒருங்கிணைப்பின் துருவ வரம்புகள்திட்டத்தை கடக்கும்போது:

எடுத்துக்காட்டு 7

தீர்வு: நாங்கள் அதே நடைமுறையை கடைபிடிக்கிறோம்: முதலில், "ze" மாறி இல்லாத சமன்பாடுகளை நாங்கள் கருதுகிறோம். இங்கு ஒன்று மட்டுமே உள்ளது. ப்ரொஜெக்ஷன் உருளை மேற்பரப்புவிமானத்தில் "பெயரிடப்பட்ட" என்பதைக் குறிக்கிறது வட்டம் .

விமானங்கள் அவர்கள் விரும்பிய உடலை கீழே மற்றும் மேலே இருந்து வரம்பிடுகின்றனர் (சிலிண்டரிலிருந்து "வெட்டி") மற்றும் அதை ஒரு வட்டத்தில் திட்டமிடுங்கள்:

அடுத்தது முப்பரிமாண வரைதல். ஒரு "சாய்ந்த" கோணத்தில் சிலிண்டரை வெட்டும் ஒரு விமானத்தை உருவாக்குவதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது, இதன் விளைவாக நீள்வட்டம். இந்த பகுதியை பகுப்பாய்வு ரீதியாக தெளிவுபடுத்துவோம்: இதைச் செய்ய, விமானத்தின் சமன்பாட்டை செயல்பாட்டு வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம். மற்றும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை ("உயரம்") கணிப்பு எல்லையில் இருக்கும் வெளிப்படையான புள்ளிகளில் கணக்கிடவும்:

வரைபடத்தில் காணப்படும் புள்ளிகளை கவனமாகக் குறிக்கிறோம் (என்னைப் போல் இல்லை =))அவற்றை ஒரு வரியுடன் இணைக்கவும்:

ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு உடலின் முன்கணிப்பு ஒரு வட்டம், இது ஒரு உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு நகர்த்துவதற்கு ஆதரவாக ஒரு வலுவான வாதம்:

உருளை ஆயங்களில் மேற்பரப்புகளின் சமன்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது நீங்கள் உடலைக் கடக்கும் வரிசையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

முதலில், முன்கணிப்பைக் கையாள்வோம். அதன் பயண வரிசையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? சரியாக அதே துருவ ஒருங்கிணைப்புகளில் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுதல். இங்கே இது ஆரம்பமானது:

ஒருங்கிணைப்பின் "செங்குத்து" வரம்புகளும் வெளிப்படையானவை - நாம் விமானத்தின் வழியாக உடலுக்குள் நுழைந்து விமானத்தின் வழியாக வெளியேறுகிறோம்:

மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு செல்லலாம்:

இந்த வழக்கில், உடனடியாக "er" என்ற காரணியை "எங்கள்" ஒருங்கிணைப்பில் வைக்கிறோம்.

வழக்கம் போல், ஒரு விளக்குமாறு கிளைகளுடன் உடைப்பது எளிது:

1)

முடிவை பின்வரும் ஒருங்கிணைப்பில் வைக்கிறோம்:

"ஃபை" ஒரு நிலையானதாகக் கருதப்படுகிறது என்பதை இங்கே நாம் மறந்துவிடவில்லை. ஆனால் இது இப்போதைக்கு:

பதில்:

நீங்கள் சொந்தமாக தீர்க்க இதேபோன்ற பணி:

எடுத்துக்காட்டு 8

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள். இந்த உடலின் வரைபடங்களையும் அதன் முன்கணிப்பையும் ஒரு விமானத்தில் வரையவும்.

பாடத்தின் முடிவில் இறுதி வடிவமைப்பின் தோராயமான மாதிரி.

சிக்கல்களின் நிலைமைகளில் ஒரு உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு மாறுவது பற்றி ஒரு வார்த்தை கூட கூறப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, மேலும் ஒரு அறியாமை நபர் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்புகளில் கடினமான ஒருங்கிணைப்புகளுடன் போராடுவார். ...அல்லது ஒருவேளை அது நடக்காது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க மூன்றாவது, அசல் ரஷ்ய வழி உள்ளது =)

ஆரம்பம் தான்! நல்ல முறையில்:=)

எடுத்துக்காட்டு 9

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலின் அளவைக் கண்டறியவும்

அடக்கமான மற்றும் சுவையான.

தீர்வு: இந்த உடல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது கூம்பு மேற்பரப்புமற்றும் நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு. கட்டுரைப் பொருட்களை கவனமாகப் படித்த வாசகர்கள் விண்வெளியின் அடிப்படை மேற்பரப்புகள், உடல் எப்படி இருக்கும் என்பதை ஏற்கனவே கற்பனை செய்திருக்கிறேன், ஆனால் நடைமுறையில் பெரும்பாலும் மிகவும் சிக்கலான வழக்குகள் உள்ளன, எனவே நான் ஒரு விரிவான பகுப்பாய்வு பகுத்தறிவை மேற்கொள்வேன்.

முதலில், மேற்பரப்புகள் வெட்டும் கோடுகளைக் காண்கிறோம். பின்வரும் அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

1 வது சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது வார்த்தையை காலத்தால் கழிக்கிறோம்:

இதன் விளைவாக இரண்டு வேர்கள் உள்ளன:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை கணினியின் எந்த சமன்பாட்டிலும் மாற்றுவோம்:
, அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு
எனவே, வேர் ஒற்றை புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது - தோற்றம். இயற்கையாகவே, பரிசீலனையில் உள்ள மேற்பரப்புகளின் முனைகள் ஒத்துப்போவதால்.

இப்போது இரண்டாவது மூலத்தை மாற்றுவோம் - கணினியின் எந்த சமன்பாட்டிலும்:

பெறப்பட்ட முடிவின் வடிவியல் பொருள் என்ன? "உயரத்தில்" (விமானத்தில்) பரவளையமும் கூம்பும் சேர்ந்து வெட்டுகின்றன வட்டம்- புள்ளியில் மையத்துடன் அலகு ஆரம்.

இந்த வழக்கில், பரபோலாய்டின் "கிண்ணத்தில்" கூம்பின் "புனல்" உள்ளது, எனவே உருவாக்கும்கூம்பு மேற்பரப்பு ஒரு புள்ளியிடப்பட்ட கோடுடன் வரையப்பட வேண்டும் (எங்களிடமிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள ஜெனராட்ரிக்ஸின் பகுதியைத் தவிர, இந்த கோணத்தில் இருந்து தெரியும்):

ஒரு உடலை விமானத்தின் மீது செலுத்துவது வட்டம்ஆரம் 1 இன் தோற்றத்தில் ஒரு மையத்துடன், இந்த உண்மையின் வெளிப்படையான காரணத்தால் நான் சித்தரிக்க கூட கவலைப்படவில்லை (இருப்பினும், நாங்கள் எழுதப்பட்ட கருத்தை வழங்குகிறோம்!). மூலம், முந்தைய இரண்டு சிக்கல்களில், நிபந்தனைக்கு இல்லாவிட்டால், ப்ரொஜெக்ஷன் டிராயிங்கும் ஸ்கோர் செய்யப்படலாம்.

நிலையான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி உருளை ஆயங்களுக்கு நகரும் போது, ​​சமத்துவமின்மை அதன் எளிய வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது மற்றும் திட்டவட்டத்தை கடந்து செல்லும் வரிசையில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை:

ஒரு உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் மேற்பரப்புகளின் சமன்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சிக்கல் கூம்பின் மேல் பகுதியைக் கருதுவதால், நாம் சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துகிறோம்:

கீழே இருந்து மேலே "உடலை ஸ்கேன் செய்கிறோம்". ஒளிக்கதிர்கள் ஒரு நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு வழியாக உள்ளே நுழைந்து கூம்பு மேற்பரப்பு வழியாக வெளியேறும். எனவே, உடலைக் கடக்கும் "செங்குத்து" வரிசை:

மீதமுள்ளவை நுட்பத்தின் விஷயம்:

பதில்:

ஒரு உடலை அதன் வரம்புக்குட்பட்ட பரப்புகளால் வரையறுக்கப்படாமல், பல ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வரையறுக்கப்படுவது அசாதாரணமானது அல்ல:

எடுத்துக்காட்டு 10

நான் அதே குறிப்புக் கட்டுரையில் இடஞ்சார்ந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வடிவியல் அர்த்தத்தை போதுமான விரிவாக விளக்கினேன் - விண்வெளியின் அடிப்படை மேற்பரப்புகள் மற்றும் அவற்றின் கட்டுமானம்.

இந்த பணி ஒரு அளவுருவைக் கொண்டிருந்தாலும், உடலின் அடிப்படை தோற்றத்தை பிரதிபலிக்கும் ஒரு துல்லியமான வரைபடத்தை செயல்படுத்த அனுமதிக்கிறது. எப்படி கட்டுவது என்று யோசியுங்கள். ஒரு குறுகிய தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

...சரி, இன்னும் இரண்டு பணிகள் உள்ளதா? நான் பாடத்தை முடிப்பதைப் பற்றி யோசித்துக்கொண்டிருந்தேன், ஆனால் உங்களுக்கு இன்னும் அதிகமாக வேண்டும் என்று நினைக்கிறேன் =)

எடுத்துக்காட்டு 11

மூன்று ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்:
, ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை எண் எங்கே.

தீர்வு: சமத்துவமின்மை ஆரம் மற்றும் சமத்துவமின்மையின் தோற்றத்தில் மையத்துடன் ஒரு பந்தை வரையறுக்கிறது - ஆரம் சமச்சீர் அச்சைக் கொண்ட வட்ட உருளையின் "உள்ளே". எனவே, விரும்பிய உடல் பக்கவாட்டில் ஒரு வட்ட உருளை மற்றும் மேல் மற்றும் கீழ் விமானத்துடன் தொடர்புடைய கோளப் பிரிவுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது.

இதை அளவீட்டின் அடிப்படை அலகாக எடுத்துக் கொண்டு, வரைவோம்:

இன்னும் துல்லியமாக, இது ஒரு வரைதல் என்று அழைக்கப்பட வேண்டும், ஏனெனில் நான் அச்சில் உள்ள விகிதாச்சாரத்தை நன்றாக பராமரிக்கவில்லை. இருப்பினும், சரியாகச் சொல்வதானால், நிபந்தனைக்கு எதையும் வரைய வேண்டிய அவசியமில்லை, அத்தகைய விளக்கம் போதுமானதாக மாறியது.

பந்திலிருந்து "தொப்பிகளை" சிலிண்டர் வெட்டும் உயரத்தை இங்கே கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க - உங்கள் கைகளில் ஒரு திசைகாட்டி எடுத்து, ஆரம் தோற்றத்தில் ஒரு மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்க அதைப் பயன்படுத்தினால். 2 செ.மீ., பின்னர் சிலிண்டருடன் வெட்டும் புள்ளிகள் தாங்களாகவே தோன்றும்.