முழு எண். முழு எண்கள் மற்றும் பகுத்தறிவு எண்கள். உண்மையான எண்கள். முழு எண் நேர்மறை எண்கள். முழு எண் எதிர்மறை எண்கள்

எந்த வேலையையும் திறம்பட செய்ய, தோண்டுவதற்கு கருவிகள் வேண்டும், மண்வெட்டி அல்லது அகழ்வாராய்ச்சி தேவை; உங்களுக்கு வார்த்தைகள் தேவை என்று நினைக்க. எண்கள் என்பது அளவுகளுடன் வேலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கும் கருவிகள்.

எண் என்றால் என்ன என்பதை நாம் அனைவரும் அறிவோம் என்று தோன்றுகிறது: 1, 2, 3… ஆனால் எண்களை கருவிகளாகப் பற்றி பேசலாம்.

மூன்று பொருட்களை எடுத்துக் கொள்வோம்: ஒரு ஆப்பிள், ஒரு பலூன், பூமி (படம் 1). அவர்களுக்கு பொதுவானது என்ன? வடிவம் அனைத்தும் பந்துகள்.

அரிசி. 1. உதாரணத்திற்கு விளக்கம்

மற்ற மூன்று பொருட்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (படம் 2). அவர்களுக்கு பொதுவானது என்ன? நிறம் - அவை அனைத்தும் நீலம்.

அரிசி. 2. உதாரணத்திற்கு விளக்கம்

இப்போது மூன்று செட்களை எடுத்துக் கொள்வோம்: மூன்று கார்கள், மூன்று ஆப்பிள்கள், மூன்று பென்சில்கள் (படம் 3). அவர்களுக்கு பொதுவானது என்ன? எண் மூன்று.

அரிசி. 3. உதாரணத்திற்கு விளக்கம்

நாம் ஒவ்வொரு காரின் மீதும் ஒரு ஆப்பிளை வைத்து, ஒவ்வொரு ஆப்பிளிலும் ஒரு பென்சில் ஒட்டலாம் (படம் 4). இந்த தொகுப்புகளின் பொதுவான சொத்து உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.

அரிசி. 4. தொகுப்புகளின் ஒப்பீடு

இருப்பினும், சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு சில இயற்கை எண்கள் உள்ளன, எனவே எதிர்மறை, பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற போன்றவை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன.கணிதம் (குறிப்பாக பள்ளியில் படிக்கும் பகுதி) அறிகுறிகளை செயலாக்குவதற்கான ஒரு வகையான வழிமுறையாகும்.

உதாரணமாக, இரண்டு குவியல் குச்சிகளை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், ஒன்று பதினேழு துண்டுகள், மற்றொன்று இருபத்தி ஐந்து (படம் 5). இரண்டு குவியல்களிலும் எத்தனை குச்சிகள் உள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?

அரிசி. 5. உதாரணத்திற்கு விளக்கம்

எந்த பொறிமுறையும் இல்லை என்றால், அது தெளிவாக இல்லை: நீங்கள் குச்சிகளை ஒரே குவியலில் வைத்து அவற்றை எண்ணலாம்.

ஆனால் குச்சிகளின் எண்ணிக்கை நமக்குத் தெரிந்த தசம அமைப்பில் எழுதப்பட்டால் (மற்றும்), கூட்டலுக்கான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நெடுவரிசையில் எண்களைச் சேர்க்கலாம் (படம் 6): .

அரிசி. 6. ஸ்டாக்கிங்

மேலும், முந்நூற்று எழுபத்து நான்கு கூட்டல் நானூற்று எண்பத்தைந்து என எழுதப்பட்ட எண்களை நாம் சேர்க்க முடியாது. ஆனால் நீங்கள் தசம அமைப்பில் எண்களை எழுதினால், கூடுதலாக ஒரு அல்காரிதம் உள்ளது - ஒரு நெடுவரிசையில் சேர்த்தல் (படம் 7):.

அரிசி. 7. ஸ்டாக்கிங்

ஒரு கார் இருந்தால், ஒரு மென்மையான சாலையை உருவாக்குவது மதிப்புக்குரியது, ஒன்றாக அவை பயனுள்ளதாக இருக்கும். இதேபோல்: ஒரு விமானம் இருந்தால், ஒரு விமானநிலையம் தேவை. அதாவது, பொறிமுறையும் சுற்றியுள்ள உள்கட்டமைப்பும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன - தனித்தனியாக அவை மிகவும் குறைவான செயல்திறன் கொண்டவை.

இந்த வழக்கில், ஒரு கருவி உள்ளது - ஒரு நிலை அமைப்பில் எழுதப்பட்ட எண்கள், மற்றும் அவர்களுக்காக ஒரு உள்கட்டமைப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது: பல்வேறு செயல்களைச் செய்வதற்கான வழிமுறைகள், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நெடுவரிசையில் சேர்த்தல்.

தசம நிலை அமைப்பில் எழுதப்பட்ட எண்கள் மற்றவர்களை (ரோமன், முதலியன) துல்லியமாக மாற்றியது, ஏனெனில் திறமையான மற்றும் எளிமையான வழிமுறைகள் அவர்களுடன் வேலை செய்ய கண்டுபிடிக்கப்பட்டன.

தசம நிலை அமைப்பைக் கூர்ந்து கவனிப்போம். அதற்கு இரண்டு முக்கிய கருத்துக்கள் உள்ளன (அதற்கு நன்றி அதன் பெயர் வந்தது).

1. தசம: நாங்கள் குழுக்களாக எண்ணுகிறோம், அதாவது பத்துகள்.

2. நிலைத்தன்மை: ஒரு எண்ணுக்கு இலக்கத்தின் பங்களிப்பு அதன் நிலையைப் பொறுத்தது. உதாரணத்திற்கு, , : எண்கள் வேறுபட்டவை, இருப்பினும் அவை ஒரே இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன.

இந்த இரண்டு யோசனைகளும் எண்ணற்ற எண்களை எழுதுவதற்கு வரையறுக்கப்பட்ட எழுத்துக்கள் (இந்த விஷயத்தில், எண்கள்) இருப்பதால், எண்களை செயல்படுத்துவதற்கும் எழுதுவதற்கும் எளிதான அமைப்பை உருவாக்க உதவியது.

முக்கியத்துவத்தை வலியுறுத்துங்கள் தொழில்நுட்பங்கள்அத்தகைய உதாரணத்தில். நீங்கள் அதிக சுமைகளை நகர்த்த வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நீங்கள் கைமுறையான உழைப்பைப் பயன்படுத்தினால், ஒரு நபர் எவ்வளவு வலிமையான சுமையைச் சுமக்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து எல்லாம் இருக்கும்: ஒன்று சமாளிக்கும், மற்றொன்று சமாளிக்காது.

தொழில்நுட்பத்தின் கண்டுபிடிப்பு (உதாரணமாக, இந்த சுமையை சுமக்கக்கூடிய ஒரு கார்) மக்களின் சாத்தியக்கூறுகளை சமன் செய்கிறது: ஒரு பலவீனமான பெண் அல்லது பளு தூக்குபவர் சக்கரத்தின் பின்னால் அமர முடியும், ஆனால் அவர்கள் இருவரும் சுமைகளை நகர்த்தும் பணியை சமாளிக்க முடியும். சமமாக திறம்பட. அதாவது, டெக்னாலஜியை ஒரு நிபுணருக்கு மட்டுமல்ல, யாருக்கும் கற்றுக்கொடுக்கலாம்.

ஒரு நெடுவரிசையில் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் ஒரு தொழில்நுட்பம். ரோமானிய எண் அமைப்பில் எழுதப்பட்ட எண்களுடன் பணிபுரிவது கடினமான பணியாகும், சிறப்புப் பயிற்சி பெற்றவர்கள் மட்டுமே அதைச் செய்ய முடியும். எந்த நான்காம் வகுப்பு மாணவர்களும் தசம அமைப்பில் எண்களைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் பெருக்கலாம்.

நாங்கள் கூறியது போல், மக்கள் வெவ்வேறு எண்களைக் கண்டுபிடித்துள்ளனர், அவை அனைத்தும் தேவை. அடுத்த (இயற்கைக்குப் பிறகு) முக்கியமான கண்டுபிடிப்பு எதிர்மறை எண்கள். எதிர்மறை எண்களின் உதவியுடன், எண்ணுவது எளிதாகிவிட்டது. அது நடந்தது எப்படி?

பெரியதில் இருந்து சிறியதைக் கழித்தால், எதிர்மறை எண்கள் தேவையில்லை: பெரிய எண் சிறியதைக் கொண்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. ஆனால் எதிர்மறை எண்களை ஒரு தனி பொருளாக அறிமுகப்படுத்துவது மதிப்புக்குரியது என்று மாறியது. அதை பார்க்க முடியாது, தொட முடியாது, ஆனால் அது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

இந்த உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: நீங்கள் கணக்கீடுகளை வேறு வரிசையில் செய்யலாம்: பின்னர் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, எங்களிடம் போதுமான இயற்கை எண்கள் உள்ளன.

ஆனால் சில நேரங்களில் வரிசையாக செயல்களைச் செய்ய வேண்டிய அவசியம் உள்ளது. நம் கணக்கில் பணம் இல்லாமல் போனால், கடன் வழங்கப்படுகிறது. எங்களுக்கு ரூபிள் இருக்கட்டும், நாங்கள் உரையாடல்களில் செலவழித்தோம். கணக்கில் போதுமான ரூபிள் இல்லை, அதை மைனஸ் அடையாளத்துடன் எழுதுவது வசதியானது, ஏனெனில் நாங்கள் அவற்றைத் திருப்பித் தந்தால், கணக்கில் இருக்கும் :. எதிர்மறை எண்கள் போன்ற ஒரு கருவியின் கண்டுபிடிப்புக்கு இந்த யோசனை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுகிறது.

வாழ்க்கையில், நாம் அடிக்கடி தொட முடியாத கருத்துகளுடன் வேலை செய்கிறோம்: மகிழ்ச்சி, நட்பு போன்றவை. ஆனால் அவற்றைப் புரிந்துகொள்வதிலிருந்தும் பகுப்பாய்வு செய்வதிலிருந்தும் இது நம்மைத் தடுக்காது. இவை வெறும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விஷயங்கள் என்று சொல்லலாம். உண்மையில், அவர்கள் இருக்கிறார்கள், ஆனால் அவர்கள் மக்களுக்கு ஏதாவது செய்ய உதவுகிறார்கள். மேலும், கார் மனிதனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, ஆனால் அது நம்மை நகர்த்த உதவுகிறது. எண்களும் மனிதனால் கண்டுபிடிக்கப்படுகின்றன, ஆனால் அவை சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவுகின்றன.

அத்தகைய ஒரு பொருளை கடிகாரமாக எடுத்துக் கொள்வோம் (படம் 8). நீங்கள் அங்கிருந்து ஒரு பகுதியை வெளியே எடுத்தால், அது என்ன, அது ஏன் தேவைப்படுகிறது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. கடிகாரம் இல்லாமல், இந்த பகுதி இல்லை. எனவே கணிதத்தில் எதிர்மறை எண் உள்ளது.

அரிசி. 8. கடிகாரம்

பெரும்பாலும் ஆசிரியர்கள் எதிர்மறை எண் என்ன என்பதைக் குறிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள். அவர்கள் எதிர்மறை வெப்பநிலைக்கு ஒரு உதாரணம் கொடுக்கிறார்கள் (படம் 9).

அரிசி. 9. எதிர்மறை வெப்பநிலை

ஆனால் இது ஒரு பெயர், பதவி, எண் அல்ல. மற்றொரு அளவை அறிமுகப்படுத்த முடியும், அங்கு அதே வெப்பநிலை, எடுத்துக்காட்டாக, நேர்மறையாக இருக்கும். குறிப்பாக, கெல்வின் அளவில் செல்சியஸ் அளவில் எதிர்மறை வெப்பநிலை நேர்மறை எண்களாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: .

அதாவது, இயற்கையில் எதிர்மறை அளவு இல்லை. இருப்பினும், எண்கள் அளவுகளை வெளிப்படுத்த மட்டும் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. எண்ணின் அடிப்படை செயல்பாடுகளை நினைவுகூருங்கள்.

எனவே, நாம் இயற்கை மற்றும் முழு எண்களைப் பற்றி பேசினோம். எண் என்பது பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படும் ஒரு எளிய கருவியாகும். நிச்சயமாக, கணிதத்தில் பணிபுரிபவர்களுக்கு, எண்கள் ஒரு பொருள். இடுக்கி செய்பவர்களைப் பொறுத்தவரை, அவை கருவிகள் அல்ல, பொருள்கள். எண்களை ஒரு கருவியாகக் கருதுவோம், இது அளவுகளுடன் சிந்திக்கவும் வேலை செய்யவும் அனுமதிக்கிறது.

இந்த கட்டுரையில் உள்ள தகவல்கள் பொதுவான கருத்தை உருவாக்குகின்றன முழு எண்கள். முதலில், முழு எண்களின் வரையறை கொடுக்கப்பட்டு எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அடுத்து, எண் கோட்டில் உள்ள முழு எண்கள் கருதப்படுகின்றன, அதில் இருந்து எந்த எண்கள் நேர்மறை முழு எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை எதிர்மறை முழு எண்கள் என்பது தெளிவாகிறது. அதன் பிறகு, முழு எண்களைப் பயன்படுத்தி அளவுகளில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் எவ்வாறு விவரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் எதிர்மறை முழு எண்கள் கடன் என்ற பொருளில் கருதப்படுகின்றன.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

முழு எண்கள் - விளக்கம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

வரையறை.

முழு எண்கள்இயற்கை எண்கள், எண் பூஜ்ஜியம், அதே போல் இயற்கை எண்களுக்கு எதிர் எண்கள்.

1, 2, 3, …, எண் 0 மற்றும் எண்களில் ஏதேனும் −1, −2, −3, … எண்களில் ஏதேனும் ஒரு முழு எண் என்று முழு எண்களின் வரையறை கூறுகிறது. இப்போது நாம் எளிதாக கொண்டு வரலாம் முழு எண் உதாரணங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 38 ஒரு முழு எண், எண் 70040 ஒரு முழு எண், பூஜ்ஜியம் ஒரு முழு எண் (பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண் அல்ல, பூஜ்ஜியம் ஒரு முழு எண்), எண்கள் −999 , −1 , −8 934 832 முழு எண்களின் உதாரணங்களும் ஆகும்.

அனைத்து முழு எண்களையும் முழு எண்களின் வரிசையாகக் குறிப்பிடுவது வசதியானது, இது பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: 0, ±1, ±2, ±3, ... முழு எண்களின் வரிசையையும் பின்வருமாறு எழுதலாம்: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

முழு எண்களின் வரையறையிலிருந்து, இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு முழு எண்களின் துணைக்குழு ஆகும். எனவே, ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் ஒரு முழு எண், ஆனால் ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் ஒரு இயற்கை எண் அல்ல.

ஆயக் கோட்டில் முழு எண்கள்

வரையறை.

முழு எண் நேர்மறை எண்கள்பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான முழு எண்கள்.

வரையறை.

முழு எண் எதிர்மறை எண்கள்பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவான முழு எண்களாகும்.

முழு எண் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் ஆயக் கோட்டில் அவற்றின் நிலையால் தீர்மானிக்கப்படலாம். ஒரு கிடைமட்ட ஆயக் கோட்டில், ஆயத்தொலைவுகள் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும் புள்ளிகள் தோற்றத்தின் வலதுபுறத்தில் இருக்கும். இதையொட்டி, எதிர்மறை முழு எண் ஒருங்கிணைப்புகளுடன் புள்ளிகள் O புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளன.

அனைத்து நேர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பு இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு என்பது தெளிவாகிறது. இதையொட்டி, அனைத்து எதிர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பு என்பது இயற்கை எண்களுக்கு எதிரான அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும்.

தனித்தனியாக, எந்தவொரு இயற்கை எண்ணையும் நாங்கள் பாதுகாப்பாக முழு எண் என்று அழைக்கலாம், மேலும் எந்த முழு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணாக அழைக்க முடியாது என்பதில் உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்கிறோம். எதிர்மறை முழு எண்களும் பூஜ்ஜியமும் இயற்கையானவை அல்ல என்பதால், எந்த நேர்மறை முழு எண்ணையும் நாம் இயற்கையை மட்டுமே அழைக்க முடியும்.

முழு எண் நேர்மறை அல்லாத மற்றும் முழு எண் எதிர்மறை எண்கள்

நேர்மறை முழு எண்கள் மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்களின் வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

பூஜ்ஜியத்துடன் அனைத்து நேர்மறை முழு எண்களும் அழைக்கப்படுகின்றன முழு எண் எதிர்மறை எண்கள்.

வரையறை.

முழு எண் நேர்மறை எண்கள்எண் 0 உடன் அனைத்து எதிர்மறை முழு எண்கள்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் ஒரு முழு எண், மற்றும் நேர்மறை அல்லாத முழு எண் என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

நேர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் எண்கள் -511, -10 030, 0, -2, மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகளாக, எண்கள் 45, 506, 0, 900 321 ஐ வழங்குவோம்.

பெரும்பாலும், "நேர்மறை அல்லாத முழு எண்கள்" மற்றும் "எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள்" என்ற சொற்கள் சுருக்கத்திற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, "a என்பது ஒரு முழு எண், மற்றும் a என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்" என்ற சொற்றொடருக்கு பதிலாக, "a என்பது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்" என்று கூறலாம்.

முழு எண்களைப் பயன்படுத்தி மதிப்புகளை மாற்றுவதற்கான விளக்கம்

முழு எண்கள் எதற்காக என்பதைப் பற்றி பேச வேண்டிய நேரம் இது.

முழு எண்களின் முக்கிய நோக்கம் என்னவென்றால், அவற்றின் உதவியுடன் எந்தவொரு பொருட்களின் எண்ணிக்கையிலும் ஏற்படும் மாற்றத்தை விவரிக்க வசதியாக இருக்கும். இதை உதாரணங்களுடன் சமாளிப்போம்.

கையிருப்பில் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பாகங்கள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, மேலும் 400 பாகங்கள் கிடங்கிற்கு கொண்டு வரப்பட்டால், கிடங்கில் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும், மேலும் 400 என்ற எண் இந்த மாற்றத்தை நேர்மறையான திசையில் (அதிகரிக்கும் திசையில்) வெளிப்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, கிடங்கில் இருந்து 100 பாகங்கள் எடுக்கப்பட்டால், கிடங்கில் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை குறையும், மேலும் 100 என்ற எண் எதிர்மறையான திசையில் (குறைக்கும் திசையில்) அளவு மாற்றத்தை வெளிப்படுத்தும். பாகங்கள் கிடங்கிற்கு கொண்டு வரப்படாது, மற்றும் பாகங்கள் கிடங்கில் இருந்து எடுக்கப்படாது, பின்னர் நாம் பகுதிகளின் எண்ணிக்கையின் மாறாத தன்மையைப் பற்றி பேசலாம் (அதாவது, அளவில் பூஜ்ஜிய மாற்றத்தைப் பற்றி பேசலாம்).

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில், பகுதிகளின் எண்ணிக்கையில் ஏற்படும் மாற்றத்தை முறையே 400 , −100 மற்றும் 0 ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கலாம். நேர்மறை முழு எண் 400 என்பது அளவு (அதிகரிப்பு) நேர்மறை மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. எதிர்மறை முழு எண் −100 அளவு எதிர்மறை மாற்றத்தை வெளிப்படுத்துகிறது (குறைவு). முழு எண் 0 என்பது அளவு மாறவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது.

இயற்கை எண்களைப் பயன்படுத்துவதை விட முழு எண்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான வசதி என்னவென்றால், அளவு அதிகரிக்கிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பதை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிட வேண்டிய அவசியமில்லை - முழு எண் மாற்றத்தை அளவுகோலாகக் குறிப்பிடுகிறது, மேலும் முழு எண்ணின் அடையாளம் மாற்றத்தின் திசையைக் குறிக்கிறது.

முழு எண்கள் அளவு மாற்றத்தை மட்டுமல்ல, சில மதிப்பின் மாற்றத்தையும் வெளிப்படுத்தலாம். வெப்பநிலை மாற்றத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் சமாளிப்போம்.

4 டிகிரி வெப்பநிலையில் அதிகரிப்பு நேர்மறை முழு எண் 4 ஆக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 12 டிகிரி வெப்பநிலை குறைவதை எதிர்மறை முழு எண் −12 மூலம் விவரிக்கலாம். மற்றும் வெப்பநிலையின் மாறுபாடு அதன் மாற்றமாகும், இது முழு எண் 0 ஆல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

தனித்தனியாக, கடனின் அளவு என எதிர்மறை முழு எண்களின் விளக்கம் பற்றி கூறப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நம்மிடம் 3 ஆப்பிள்கள் இருந்தால், நேர்மறை முழு எண் 3 என்பது நமக்குச் சொந்தமான ஆப்பிள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. மறுபுறம், நாம் ஒருவருக்கு 5 ஆப்பிள்களைக் கொடுக்க வேண்டும், ஆனால் அவை நம்மிடம் இல்லை என்றால், இந்த சூழ்நிலையை எதிர்மறை முழு எண் −5 ஐப் பயன்படுத்தி விவரிக்கலாம். இந்த வழக்கில், நாங்கள் −5 ஆப்பிள்களை "சொந்தமாக" வைத்திருக்கிறோம், கழித்தல் குறி கடனைக் குறிக்கிறது, மேலும் எண் 5 கடனைக் கணக்கிடுகிறது.

எதிர்மறை முழு எண்ணைக் கடனாகப் புரிந்துகொள்வது, எடுத்துக்காட்டாக, எதிர்மறை முழு எண்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதியை நியாயப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். ஒருவர் ஒருவருக்கு 2 ஆப்பிளையும் மற்றொருவருக்கு ஒரு ஆப்பிளையும் கடன்பட்டிருந்தால், மொத்தக் கடன் 2+1=3 ஆப்பிள்கள், எனவே −2+(−1)=−3 .

நூல் பட்டியல்.

• விலென்கின் என்.யா. முதலியன கணிதம். வகுப்பு 6: கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல்.

இந்த கட்டுரையில், முழு எண்களின் தொகுப்பை வரையறுப்போம், எந்த முழு எண்கள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறையானவை என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம். சில அளவுகளில் ஏற்படும் மாற்றத்தை விவரிக்க முழு எண்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதையும் நாங்கள் காண்பிப்போம். முழு எண்களின் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

முழு எண்கள். வரையறை, எடுத்துக்காட்டுகள்

முதலில், இயற்கை எண்களை நினைவுபடுத்துவோம் ℕ. பழங்காலத்திலிருந்தே எண்ணுவதற்கு இயற்கையாகப் பயன்படுத்தப்பட்ட எண்கள் என்று பெயரே தெரிவிக்கிறது. முழு எண்களின் கருத்தை மறைக்க, நாம் இயற்கை எண்களின் வரையறையை விரிவாக்க வேண்டும்.

வரையறை 1. முழு எண்கள்

முழு எண்கள் என்பது இயற்கை எண்கள், அவற்றின் எதிர் எண்கள் மற்றும் பூஜ்ஜிய எண்.

முழு எண்களின் தொகுப்பு ℤ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு ℤ என்பது முழு எண்களின் துணைக்குழு ஆகும். ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் ஒரு முழு எண், ஆனால் ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் ஒரு இயற்கை எண் அல்ல.

1 , 2 , 3 எண்களில் ஏதேனும் ஒரு முழு எண் என்ற வரையறையிலிருந்து இது பின்வருமாறு. . , எண் 0 , அத்துடன் எண்கள் - 1 , - 2 , - 3 , . .

அதன்படி, நாங்கள் உதாரணங்கள் தருகிறோம். எண்கள் 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 முழு எண்கள்.

ஆயக் கோடு கிடைமட்டமாக வரையப்பட்டு வலதுபுறமாக இயக்கப்படட்டும். ஒரு நேர்கோட்டில் முழு எண்களின் இருப்பிடத்தைக் காட்சிப்படுத்த அதைப் பார்ப்போம்.

ஆயக் கோட்டில் உள்ள குறிப்பு புள்ளி எண் 0 க்கு ஒத்திருக்கிறது, மேலும் பூஜ்ஜியத்தின் இருபுறமும் இருக்கும் புள்ளிகள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்களுக்கு ஒத்திருக்கும். ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு முழு எண்ணுக்கு ஒத்திருக்கும்.

ஒரு நேர்கோட்டில் உள்ள எந்தப் புள்ளியையும் அதன் ஒருங்கிணைப்பு முழு எண்ணாக இருக்கும் மூலத்திலிருந்து குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான யூனிட் பிரிவுகளை ஒதுக்குவதன் மூலம் அடையலாம்.

நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்கள்

அனைத்து முழு எண்களிலும், நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்களை வேறுபடுத்துவது தர்க்கரீதியானது. அவற்றின் வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை 2. நேர்மறை முழு எண்கள்

நேர்மறை முழு எண்கள் கூட்டல் குறி கொண்ட முழு எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, எண் 7 என்பது கூட்டல் குறியுடன் கூடிய முழு எண், அதாவது நேர்மறை முழு எண். ஒருங்கிணைப்பு வரியில், இந்த எண் குறிப்பு புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் உள்ளது, இதற்காக எண் 0 எடுக்கப்படுகிறது. நேர்மறை முழு எண்களின் பிற எடுத்துக்காட்டுகள்: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

வரையறை 3. எதிர்மறை முழு எண்கள்

எதிர்மறை முழு எண்கள் ஒரு கழித்தல் குறி கொண்ட முழு எண்கள்.

எதிர்மறை முழு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்: - 528 , - 2568 , - 1 .

எண் 0 நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்களை பிரிக்கிறது மற்றும் அது நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை அல்ல.

நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு எதிரான எந்த எண்ணும், வரையறையின்படி, எதிர்மறை முழு எண் ஆகும். தலைகீழ் என்பதும் உண்மை. எந்த எதிர்மறை முழு எண்ணின் எதிர் எண் ஒரு நேர்மறை முழு எண்.

எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை முழு எண்களின் வரையறைகளின் பிற சூத்திரங்களை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் கொடுக்க முடியும்.

வரையறை 4. நேர்மறை முழு எண்கள்

நேர்மறை முழு எண்கள் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் முழு எண்கள்.

வரையறை 5. எதிர்மறை முழு எண்கள்

எதிர்மறை முழு எண்கள் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவான முழு எண்கள்.

அதன்படி, நேர்மறை எண்கள் ஆயக் கோட்டில் தோற்றத்தின் வலதுபுறத்திலும், எதிர்மறை முழு எண்கள் பூஜ்ஜியத்தின் இடதுபுறத்திலும் உள்ளன.

இயற்கை எண்கள் முழு எண்களின் துணைக்குழு என்று முன்பு சொன்னோம். இந்த விஷயத்தை தெளிவுபடுத்துவோம். இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு நேர்மறை முழு எண்கள். இதையொட்டி, எதிர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பு என்பது இயற்கையான எண்களுக்கு எதிரான எண்களின் தொகுப்பாகும்.

முக்கியமான!

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணையும் முழு எண் என்று அழைக்கலாம், ஆனால் எந்த முழு எண்ணையும் இயற்கை எண் என்று அழைக்க முடியாது. எதிர்மறை எண்கள் இயற்கையானதா என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்கும் போது, ​​​​ஒருவர் தைரியமாக சொல்ல வேண்டும் - இல்லை, அவை இல்லை.

நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள்

வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை 6. எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள்

எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள் நேர்மறை முழு எண்கள் மற்றும் எண் பூஜ்ஜியம்.

வரையறை 7. நேர்மறை அல்லாத முழு எண்கள்

நேர்மறை அல்லாத முழு எண்கள் எதிர்மறை முழு எண்கள் மற்றும் எண் பூஜ்ஜியம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பூஜ்ஜிய எண் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை இல்லை.

எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்: 52 , 128 , 0 .

நேர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்: - 52 , - 128 , 0 .

எதிர்மில்லாத எண் என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான அல்லது அதற்கு சமமான எண்ணாகும். அதன்படி, நேர்மறை அல்லாத முழு எண் என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவான அல்லது சமமான எண்ணாகும்.

"நேர்மை அல்லாத எண்" மற்றும் "எதிர்மறை எண்" என்ற சொற்கள் சுருக்கத்திற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, a என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான அல்லது அதற்கு சமமான ஒரு முழு எண் என்று கூறுவதற்குப் பதிலாக, நீங்கள் கூறலாம்: a என்பது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்.

மதிப்புகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களை விவரிக்கும் போது முழு எண்களைப் பயன்படுத்துதல்

முழு எண்கள் எதற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன? முதலாவதாக, அவர்களின் உதவியுடன் எந்தவொரு பொருட்களின் எண்ணிக்கையிலும் மாற்றத்தை விவரிக்கவும் தீர்மானிக்கவும் வசதியாக இருக்கும். ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்.

கிடங்கில் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான கிரான்ஸ்காஃப்ட்கள் சேமிக்கப்படட்டும். மேலும் 500 கிரான்ஸ்காஃப்ட்களை கிடங்கிற்கு கொண்டு வந்தால், அவற்றின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும். எண் 500 என்பது பகுதிகளின் எண்ணிக்கையில் மாற்றத்தை (அதிகரிப்பு) வெளிப்படுத்துகிறது. கிடங்கில் இருந்து 200 பாகங்கள் எடுக்கப்பட்டால், இந்த எண் கிரான்ஸ்காஃப்ட் எண்ணிக்கையில் ஏற்படும் மாற்றத்தையும் வகைப்படுத்தும். இந்த நேரத்தில், குறைப்பு திசையில்.

கிடங்கில் இருந்து எதுவும் எடுக்கப்படவில்லை என்றால், எதுவும் கொண்டு வரப்படவில்லை என்றால், எண் 0 பகுதிகளின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாட்டைக் குறிக்கும்.

முழு எண்களைப் பயன்படுத்துவதன் வெளிப்படையான வசதி என்னவென்றால், இயற்கை எண்களுக்கு மாறாக, அவற்றின் அடையாளம் அளவு மாற்றத்தின் திசையை (அதிகரிப்பு அல்லது குறைப்பு) தெளிவாகக் குறிக்கிறது.

30 டிகிரி வெப்பநிலை குறைவதை எதிர்மறை எண் - 30 மற்றும் 2 டிகிரி அதிகரிப்பு - நேர்மறை முழு எண் 2 மூலம் வகைப்படுத்தலாம்.

முழு எண்களைப் பயன்படுத்தும் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே. இம்முறை 5 காசுகளை யாருக்காவது கொடுக்க வேண்டும் என்று நினைத்துக் கொள்வோம். பின்னர், நம்மிடம் உள்ளது என்று சொல்லலாம் - 5 காசுகள். எண் 5 கடனின் அளவை விவரிக்கிறது, மற்றும் கழித்தல் அடையாளம் நாம் நாணயங்களைத் திரும்பக் கொடுக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது.

ஒரு நபருக்கு 2 நாணயங்களும் மற்றொரு நபருக்கு 3 நாணயங்களும் கடன்பட்டிருந்தால், மொத்தக் கடனை (5 நாணயங்கள்) எதிர்மறை எண்களைச் சேர்க்கும் விதியால் கணக்கிடலாம்:

2 + (- 3) = - 5

உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

1) இரண்டு எண்களும் 100% வகுக்கப்படுவதால், நான் உடனடியாக வகுக்கிறேன்:

2) மீதமுள்ள பெரிய எண்களால் (கள்) வகுக்கிறேன், ஏனெனில் அவை மீதி இல்லாமல் வகுக்கப்படுகின்றன (அதே நேரத்தில், நான் சிதைக்க மாட்டேன் - இது ஏற்கனவே ஒரு பொதுவான வகுப்பி):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) நான் தனியாக விட்டுவிட்டு எண்களைக் கருத்தில் கொள்ளத் தொடங்குவேன். இரண்டு எண்களும் சரியாக வகுபடும் (இறுதியில் சம இலக்கங்களில் (இந்நிலையில், நாம் இவ்வாறு வழங்குகிறோம், ஆனால் வகுக்க முடியும்)):

4) நாங்கள் எண்களுடன் வேலை செய்கிறோம் மற்றும். அவர்களுக்கு பொதுவான வகுப்பிகள் உள்ளதா? முந்தைய படிகளைப் போலவே இது எளிதானது, நீங்கள் சொல்ல முடியாது, எனவே நாங்கள் அவற்றை எளிய காரணிகளாக சிதைப்போம்:

5) நாம் பார்க்கிறபடி, நாங்கள் சொல்வது சரிதான்: மேலும் பொதுவான வகுப்பிகள் இல்லை, இப்போது நாம் பெருக்க வேண்டும்.
ஜிசிடி

பணி எண் 2. 345 மற்றும் 324 எண்களின் GCD ஐக் கண்டறியவும்

இங்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு பொதுவான வகுப்பியையாவது என்னால் விரைவாகக் கண்டுபிடிக்க முடியவில்லை, அதனால் நான் முதன்மை காரணிகளாக சிதைக்கிறேன் (முடிந்தவரை சில):

சரியாக, GCD, மற்றும் நான் ஆரம்பத்தில் வகுக்கும் அளவுகோலைச் சரிபார்க்கவில்லை, ஒருவேளை, நான் பல செயல்களைச் செய்ய வேண்டியதில்லை.

ஆனால் நீங்கள் சரிபார்த்தீர்கள், இல்லையா?

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இது மிகவும் எளிதானது.

குறைந்த பொதுவான பல (LCM) - நேரத்தைச் சேமிக்கிறது, பெட்டிக்கு வெளியே உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவுகிறது

உங்களிடம் இரண்டு எண்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் - மற்றும். வகுபடும் சிறிய எண் எது ஒரு தடயமும் இல்லாமல்(அதாவது முற்றிலும்)? கற்பனை செய்வது கடினமா? உங்களுக்கான காட்சி குறிப்பு இதோ:

கடிதத்தின் அர்த்தம் உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? அது சரி, வெறும் முழு எண்கள்.எனவே x உடன் பொருந்தக்கூடிய சிறிய எண் எது? :

இந்த வழக்கில்.

இந்த எளிய உதாரணத்திலிருந்து பல விதிகள் பின்பற்றப்படுகின்றன.

என்ஓசியை விரைவாகக் கண்டுபிடிப்பதற்கான விதிகள்

விதி 1. இரண்டு இயல் எண்களில் ஒன்று மற்றொரு எண்ணால் வகுக்கப்படுமானால், இந்த இரண்டு எண்களில் பெரியது அவற்றின் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கமாகும்.

பின்வரும் எண்களைக் கண்டறியவும்:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

நிச்சயமாக, நீங்கள் இந்த பணியை எளிதாக சமாளித்து, பதில்களைப் பெற்றீர்கள் -, மற்றும்.

விதியில் நாம் இரண்டு எண்களைப் பற்றி பேசுகிறோம், அதிக எண்கள் இருந்தால், விதி வேலை செய்யாது.

எடுத்துக்காட்டாக, LCM (7;14;21) 21 க்கு சமமாக இல்லை, ஏனெனில் அதை மீதி இல்லாமல் வகுக்க முடியாது.

விதி 2. இரண்டு (அல்லது இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட) எண்கள் காபிரைம் என்றால், குறைந்தபட்ச பொதுவான பல அவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

கண்டுபிடிக்க என்ஓசிபின்வரும் எண்களுக்கு:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

நீங்கள் எண்ணினீர்களா? இதோ பதில்கள் - , ; .

நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, இதே x ஐ எடுப்பது மற்றும் எடுப்பது எப்போதும் அவ்வளவு எளிதானது அல்ல, எனவே சற்று சிக்கலான எண்களுக்கு பின்வரும் வழிமுறை உள்ளது:

நாம் பயிற்சி செய்வோமா?

குறைவான பொதுவான பன்மடங்கைக் கண்டறியவும் - LCM (345; 234)

ஒவ்வொரு எண்ணையும் பிரிப்போம்:

நான் ஏன் எழுதினேன்?

வகுபடுதலின் அறிகுறிகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஆல் வகுபடும் (கடைசி இலக்கம் சமமானது) மற்றும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வகுபடும்.

அதன்படி, நாம் உடனடியாக பிரித்து, அதை எழுதலாம்.

இப்போது நாம் ஒரு வரியில் மிக நீளமான விரிவாக்கத்தை எழுதுகிறோம் - இரண்டாவது:

முதல் விரிவாக்கத்தின் எண்களைச் சேர்ப்போம், அவை நாம் எழுதியவற்றில் இல்லை:

குறிப்பு: எங்களிடம் ஏற்கனவே உள்ளதால், தவிர எல்லாவற்றையும் எழுதினோம்.

இப்போது இந்த எண்கள் அனைத்தையும் பெருக்க வேண்டும்!

குறைந்த பொதுவான பல (LCM) ஐ நீங்களே கண்டறியவும்

நீங்கள் என்ன பதில்களைப் பெற்றீர்கள்?

எனக்கு நடந்தது இதோ:

நீங்கள் கண்டுபிடிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆனது என்ஓசி? எனது நேரம் 2 நிமிடங்கள், எனக்கு நன்றாகத் தெரியும் ஒரு தந்திரம், இப்போதே திறக்க பரிந்துரைக்கிறேன்!

நீங்கள் மிகவும் கவனத்துடன் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட எண்களுக்கு நாங்கள் ஏற்கனவே தேடியிருப்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம் ஜிசிடிஅந்த எடுத்துக்காட்டில் இருந்து இந்த எண்களின் காரணியாக்கத்தை நீங்கள் எடுத்துக் கொள்ளலாம், இதன் மூலம் உங்கள் பணியை எளிதாக்கலாம், ஆனால் இது எல்லாவற்றிலிருந்தும் வெகு தொலைவில் உள்ளது.

படத்தைப் பாருங்கள், உங்களுக்கு வேறு சில எண்ணங்கள் வரலாம்:

சரி? நான் உங்களுக்கு ஒரு குறிப்பை தருகிறேன்: பெருக்க முயற்சிக்கவும் என்ஓசிமற்றும் ஜிசிடிதங்களுக்குள் மற்றும் பெருக்கும் போது இருக்கும் அனைத்து காரணிகளையும் எழுதுங்கள். சமாளித்தாயா? இது போன்ற ஒரு சங்கிலியுடன் நீங்கள் முடிக்க வேண்டும்:

அதை உன்னிப்பாகப் பாருங்கள்: காரணிகளை எவ்வாறு மற்றும் சிதைந்தன என்பவற்றுடன் ஒப்பிடுங்கள்.

இதிலிருந்து நீங்கள் என்ன முடிவை எடுக்க முடியும்? சரி! நாம் மதிப்புகளை பெருக்கினால் என்ஓசிமற்றும் ஜிசிடிதங்களுக்கு இடையில், இந்த எண்களின் பலனைப் பெறுகிறோம்.

அதன்படி, எண்கள் மற்றும் பொருள் கொண்டவை ஜிசிடி(அல்லது என்ஓசி), நாம் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்ஓசி(அல்லது ஜிசிடி) பின்வரும் வழியில்:

1. எண்களின் பலனைக் கண்டறியவும்:

2. இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பை எங்களால் பிரிக்கிறோம் ஜிசிடி (6240; 6800) = 80:

அவ்வளவுதான்.

விதியை பொதுவான வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யுங்கள் ஜிசிடிஅது தெரிந்தால்:

சமாளித்தாயா? .

எதிர்மறை எண்கள் - "தவறான எண்கள்" மற்றும் மனிதகுலத்தால் அவற்றின் அங்கீகாரம்.

நீங்கள் ஏற்கனவே புரிந்து கொண்டபடி, இவை இயற்கையான எண்களுக்கு எதிரான எண்கள், அதாவது:

அவர்கள் மிகவும் சிறப்பு வாய்ந்தவர்கள் என்று தோன்றுகிறதா?

ஆனால் உண்மை என்னவென்றால், எதிர்மறை எண்கள் 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை கணிதத்தில் அவற்றின் சரியான இடத்தை "வெற்றி" பெற்றன (அந்த தருணம் வரை அவை இருக்கிறதா இல்லையா என்பது பெரும் சர்ச்சையாக இருந்தது).

"கழித்தல்" போன்ற இயற்கை எண்களைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் காரணமாக எதிர்மறை எண்ணே எழுந்தது.

உண்மையில், இதிலிருந்து கழிக்கவும் - அது எதிர்மறை எண். அதனால்தான் எதிர்மறை எண்களின் தொகுப்பு பெரும்பாலும் அழைக்கப்படுகிறது "இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் நீட்டிப்பு".

எதிர்மறை எண்கள் நீண்ட காலமாக மக்களால் அங்கீகரிக்கப்படவில்லை.

எனவே, பண்டைய எகிப்து, பாபிலோன் மற்றும் பண்டைய கிரீஸ் - அவர்களின் காலத்தின் விளக்குகள், எதிர்மறை எண்களை அடையாளம் காணவில்லை, மேலும் சமன்பாட்டில் எதிர்மறை வேர்களைப் பெறுவதில் (உதாரணமாக, நம்மிடம் உள்ளதைப் போல), வேர்கள் சாத்தியமற்றது என நிராகரிக்கப்பட்டன.

முதன்முறையாக எதிர்மறை எண்கள் சீனாவில் இருப்பதற்கான உரிமையைப் பெற்றன, பின்னர் 7 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்தியாவில்.

இந்த வாக்குமூலத்தைப் பற்றி நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள்?

அது சரி, எதிர்மறை எண்கள் குறிக்க ஆரம்பித்தன கடன்கள் (இல்லையெனில் - பற்றாக்குறை).

எதிர்மறை எண்கள் ஒரு தற்காலிக மதிப்பு என்று நம்பப்பட்டது, இதன் விளைவாக நேர்மறையாக மாறும் (அதாவது, பணம் இன்னும் கடனாளிக்கு திருப்பித் தரப்படும்). இருப்பினும், இந்திய கணிதவியலாளர் பிரம்மகுப்தா ஏற்கனவே எதிர்மறை எண்களை நேர்மறை எண்களுடன் சமமாக கருதினார்.

ஐரோப்பாவில், எதிர்மறை எண்களின் பயனும், அவை கடனைக் குறிக்கலாம் என்பதும் மிகவும் பின்னர் வந்தது, அதாவது ஒரு மில்லினியம்.

முதல் குறிப்பு 1202 இல் லியோனார்ட் ஆஃப் பைசாவின் "புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்" இல் காணப்பட்டது (புத்தகத்தின் ஆசிரியருக்கும் பைசாவின் சாய்ந்த கோபுரத்திற்கும் எந்த தொடர்பும் இல்லை என்று நான் இப்போதே சொல்கிறேன், ஆனால் ஃபைபோனச்சி எண்கள் அவரது படைப்புகள் (தி பைசாவின் லியோனார்டோவின் புனைப்பெயர் ஃபிபோனச்சி)).

எனவே, XVII நூற்றாண்டில், பாஸ்கல் அதை நம்பினார்.

அவர் அதை எப்படி நியாயப்படுத்தினார் என்று நினைக்கிறீர்கள்?

அது சரி, "எதுவும் குறைவாக இருக்க முடியாது".

அந்த நேரங்களின் எதிரொலியானது எதிர்மறை எண்ணும் கழித்தல் செயல்பாடும் ஒரே குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது - கழித்தல் "-". மற்றும் உண்மை: . " "எண்ணில் இருந்து கழிக்கப்படும் எண் நேர்மறையா அல்லது நெகடிவ், இதில் சேர்க்கப்படுகிறதா? ... தொடரில் இருந்து ஏதாவது "" முதலில் வருவது: கோழியா அல்லது முட்டையா?" அத்தகைய கணிதத் தத்துவம் இங்கே உள்ளது.

பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் வருகையுடன் எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதற்கான உரிமையைப் பெற்றன, வேறுவிதமாகக் கூறினால், கணிதவியலாளர்கள் ஒரு உண்மையான அச்சு போன்ற ஒன்றை அறிமுகப்படுத்தியபோது.

இந்த தருணத்திலிருந்து சமத்துவம் வந்தது. இருப்பினும், பதில்களை விட அதிகமான கேள்விகள் இருந்தன, எடுத்துக்காட்டாக:

விகிதம்

இந்த விகிதம் அர்னோ முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. யோசித்துப் பாருங்கள், இதில் என்ன சந்தேகம்?

""க்கு மேல் ஒன்றாக பேசுவோம் சரியா? இவ்வாறு, தர்க்கத்தின் படி, விகிதாச்சாரத்தின் இடது பக்கம் வலது பக்கத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் அவை சமமாக இருக்கும் ... இங்கே அது முரண்பாடு.

இதன் விளைவாக, கணிதவியலாளர்கள் 1831 இல் கார்ல் காஸ் (ஆம், ஆம், எண்களின் கூட்டுத்தொகையை (அல்லது) கருதியவர்) அதற்கு முற்றுப்புள்ளி வைத்தார் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.

எதிர்மறை எண்களுக்கு நேர்மறை எண்கள் இருக்கும் அதே உரிமைகள் உள்ளன, மேலும் அவை எல்லாவற்றுக்கும் பொருந்தாது என்பது எதையும் குறிக்காது, ஏனெனில் பின்னங்கள் பல விஷயங்களுக்கும் பொருந்தாது (ஒரு தோண்டுபவர் துளை தோண்டுவது நடக்காது, நீங்கள் சினிமாவிற்கு டிக்கெட் வாங்க முடியாது, முதலியன).

வில்லியம் ஹாமில்டன் மற்றும் ஹெர்மன் கிராஸ்மேன் ஆகியோரால் எதிர்மறை எண்களின் கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்ட 19 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே கணிதவியலாளர்கள் அமைதியடைந்தனர்.

இந்த எதிர்மறை எண்கள் எவ்வளவு சர்ச்சைக்குரியவை.

"வெறுமையின்" தோற்றம், அல்லது பூஜ்ஜியத்தின் வாழ்க்கை வரலாறு.

கணிதத்தில், ஒரு சிறப்பு எண்.

முதல் பார்வையில், இது ஒன்றும் இல்லை: சேர், கழித்தல் - எதுவும் மாறாது, ஆனால் நீங்கள் அதை "" க்கு வலதுபுறமாகக் கூற வேண்டும், இதன் விளைவாக வரும் எண் அசல் ஒன்றை விட பல மடங்கு அதிகமாக இருக்கும்.

பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கினால், எல்லாவற்றையும் ஒன்றுமில்லாமல் மாற்றுகிறோம், ஆனால் "ஒன்றுமில்லை" என்று வகுக்க முடியாது. ஒரு வார்த்தையில், மந்திர எண்)

பூஜ்ஜியத்தின் வரலாறு நீண்டது மற்றும் சிக்கலானது.

கி.பி 2000 இல் சீனர்களின் எழுத்துக்களில் பூஜ்ஜியத்தின் சுவடு காணப்படுகிறது. மாயாவுடன் கூட முன்னதாக. பூஜ்ஜிய சின்னத்தின் முதல் பயன்பாடு, இன்று போலவே, கிரேக்க வானியலாளர்களிடையே காணப்பட்டது.

"ஒன்றுமில்லை" என்ற பெயர் ஏன் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது என்பதற்கு பல பதிப்புகள் உள்ளன.

சில வரலாற்றாசிரியர்கள் இது ஒரு ஓமிக்ரான் என்று நம்புகிறார்கள், அதாவது. ஒன்றும் இல்லை என்பதற்கான கிரேக்க வார்த்தையின் முதல் எழுத்து ouden. மற்றொரு பதிப்பின் படி, "ஓபோல்" (கிட்டத்தட்ட மதிப்பு இல்லாத நாணயம்) என்ற வார்த்தை பூஜ்ஜியத்தின் சின்னத்திற்கு உயிர் கொடுத்தது.

பூஜ்ஜியம் (அல்லது பூஜ்யம்) ஒரு கணிதக் குறியீடாக முதலில் இந்தியர்களிடையே தோன்றுகிறது(எதிர்மறை எண்கள் அங்கு "வளர" தொடங்கியது என்பதை நினைவில் கொள்க).

பூஜ்ஜியத்தை எழுதுவதற்கான முதல் நம்பகமான சான்று 876 க்கு முந்தையது, மேலும் அவற்றில் "" என்பது எண்ணின் ஒரு அங்கமாகும்.

பூஜ்ஜியமும் தாமதமாக ஐரோப்பாவிற்கு வந்தது - 1600 இல் மட்டுமே, எதிர்மறை எண்களைப் போலவே, அது எதிர்ப்பை எதிர்கொண்டது (நீங்கள் என்ன செய்ய முடியும், அவர்கள் ஐரோப்பியர்கள்).

"பூஜ்யம் அடிக்கடி வெறுக்கப்பட்டது, நீண்ட காலமாக அஞ்சப்பட்டது, தடைசெய்யப்பட்டது"- அமெரிக்க கணிதவியலாளர் சார்லஸ் சீஃப் எழுதுகிறார்.

எனவே, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் துருக்கிய சுல்தான் அப்துல்-ஹமீத் II. அனைத்து வேதியியல் பாடப்புத்தகங்களிலிருந்தும் H2O நீர் சூத்திரத்தை நீக்குமாறு அவரது தணிக்கை அதிகாரிகளுக்கு உத்தரவிட்டார், பூஜ்ஜியத்திற்கு "O" என்ற எழுத்தை எடுத்துக்கொண்டு, இழிவான பூஜ்ஜியத்தின் அருகாமையால் அவரது முதலெழுத்துக்கள் அவமதிக்கப்படுவதை விரும்பவில்லை.

இணையத்தில் நீங்கள் ஒரு சொற்றொடரைக் காணலாம்: “பூஜ்ஜியம் என்பது பிரபஞ்சத்தில் மிகவும் சக்திவாய்ந்த சக்தி, அது எதையும் செய்ய முடியும்! ஜீரோ கணிதத்தில் ஒழுங்கை உருவாக்குகிறது, மேலும் அது குழப்பத்தையும் கொண்டுவருகிறது. முற்றிலும் சரியான புள்ளி :)

பிரிவின் சுருக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

முழு எண்களின் தொகுப்பு 3 பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

• இயற்கை எண்கள் (அவற்றை கீழே விரிவாகக் கருதுவோம்);
• இயற்கையான எண்களுக்கு எதிரான எண்கள்;
• பூஜ்யம் - " "

முழு எண்களின் தொகுப்பு குறிக்கப்படுகிறது எழுத்து Z.

1. இயற்கை எண்கள்

இயற்கை எண்கள் என்பது பொருட்களை எண்ணுவதற்கு நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள்.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு குறிக்கப்படுகிறது எழுத்து N.

முழு எண்கள் கொண்ட செயல்பாடுகளில், GCD மற்றும் LCM ஆகியவற்றைக் கண்டறியும் திறன் உங்களுக்குத் தேவைப்படும்.

சிறந்த பொது வகுப்பான் (GCD)

NOD ஐக் கண்டுபிடிக்க உங்களுக்குத் தேவை:

1. எண்களை முதன்மைக் காரணிகளாகச் சிதைக்கவும் (எண்கள் தன்னைத் தவிர வேறு எதனாலும் வகுக்க முடியாத எண்களாக அல்லது எடுத்துக்காட்டாக, முதலியன).
2. இரண்டு எண்களின் பகுதியாக இருக்கும் காரணிகளை எழுதுங்கள்.
3. அவற்றைப் பெருக்கவும்.

குறைந்த பொதுவான பல (LCM)

NOC ஐக் கண்டுபிடிக்க உங்களுக்குத் தேவை:

1. எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் காரணியாக்குங்கள் (இதை எப்படிச் செய்வது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்).
2. எண்களில் ஒன்றின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளை எழுதுங்கள் (நீண்ட சங்கிலியை எடுத்துக்கொள்வது நல்லது).
3. மீதமுள்ள எண்களின் விரிவாக்கங்களிலிருந்து விடுபட்ட காரணிகளைச் சேர்க்கவும்.
4. விளைந்த காரணிகளின் விளைபொருளைக் கண்டறியவும்.

2. எதிர்மறை எண்கள்

இவை இயற்கை எண்களுக்கு எதிரான எண்கள், அதாவது:

இப்போது நான் உங்களிடமிருந்து கேட்க விரும்புகிறேன் ...

இந்தப் பிரிவின் மிகவும் பயனுள்ள "தந்திரங்களை" நீங்கள் பாராட்டியுள்ளீர்கள் மற்றும் தேர்வில் அவை உங்களுக்கு எவ்வாறு உதவும் என்பதைப் புரிந்துகொண்டீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

மேலும் முக்கியமாக, வாழ்க்கையில். நான் அதைப் பற்றி பேசவில்லை, ஆனால் என்னை நம்புங்கள், இதுதான். விரைவாகவும் பிழைகள் இல்லாமல் எண்ணும் திறன் பல வாழ்க்கை சூழ்நிலைகளில் சேமிக்கிறது.

இப்போது உன் முறை!

எழுதுங்கள், நீங்கள் குழுவாக்கும் முறைகள், வகுக்கும் அளவுகோல்கள், GCD மற்றும் LCM ஆகியவற்றை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்துவீர்களா?

ஒருவேளை நீங்கள் ஏற்கனவே அவற்றைப் பயன்படுத்தியிருக்கிறீர்களா? எங்கே எப்படி?

ஒருவேளை உங்களிடம் கேள்விகள் இருக்கலாம். அல்லது பரிந்துரைகள்.

நீங்கள் கட்டுரையை எப்படி விரும்புகிறீர்கள் என்பதை கருத்துகளில் எழுதுங்கள்.

மற்றும் உங்கள் தேர்வுகளுக்கு வாழ்த்துக்கள்!

எண்- பல நூற்றாண்டுகளாக மாறிய மிக முக்கியமான கணிதக் கருத்து.

எண்ணைப் பற்றிய முதல் யோசனைகள் மக்கள், விலங்குகள், பழங்கள், பல்வேறு பொருட்கள் போன்றவற்றை எண்ணுவதன் மூலம் எழுந்தன. இதன் விளைவாக இயற்கை எண்கள்: 1, 2, 3, 4, ...

வரலாற்று ரீதியாக, எண்ணின் கருத்தின் முதல் நீட்டிப்பு இயற்கை எண்ணுடன் பின்ன எண்களைச் சேர்ப்பதாகும்.

சுடப்பட்டதுஒரு யூனிட்டின் ஒரு பகுதி (பங்கு) அல்லது அதன் பல சம பாகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நியமிக்கப்பட்டது: , எங்கே மீ,என்- முழு எண்கள்;

வகுத்தல் 10 உடன் பின்னங்கள் n, எங்கே nஒரு முழு எண், அவை அழைக்கப்படுகின்றன தசம: .

தசம பின்னங்களில், ஒரு சிறப்பு இடம் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது கால பின்னங்கள்: - தூய கால பின்னம், - கலப்பு கால பின்னம்.

எண்ணின் கருத்தின் மேலும் விரிவாக்கம் ஏற்கனவே கணிதத்தின் வளர்ச்சியால் ஏற்படுகிறது (இயற்கணிதம்). 17 ஆம் நூற்றாண்டில் டெகார்ட்ஸ் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறது எதிர்மறை எண்.

முழு எண்கள் (நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை), பின்னம் (நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை) மற்றும் பூஜ்ஜியம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன விகிதமுறு எண்கள். எந்த பகுத்தறிவு எண்ணையும் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் கால இடைவெளியாக எழுதலாம்.

தொடர்ந்து மாறிவரும் மாறிகளைப் படிக்க, எண்ணின் கருத்தை விரிவுபடுத்துவது அவசியமாக மாறியது - உண்மையான (உண்மையான) எண்களின் அறிமுகம் - பகுத்தறிவு எண்களுடன் விகிதாசார எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம்: பகுத்தறிவற்ற எண்கள்எல்லையற்ற தசம அல்லாத கால பின்னங்கள்.

இயற்கணிதத்தில் அளவிட முடியாத பகுதிகளை (ஒரு சதுரத்தின் பக்கவாட்டு மற்றும் மூலைவிட்டம்) அளவிடும் போது விகிதாசார எண்கள் தோன்றின - வேர்களைப் பிரித்தெடுக்கும் போது, ​​ஒரு ஆழ்நிலை, விகிதாசார எண் π, இ .

எண்கள் இயற்கை(1, 2, 3,...), முழுவதும்(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), பகுத்தறிவு(ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடப்படுகிறது) மற்றும் பகுத்தறிவற்ற(ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடப்படவில்லை ) ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குங்கள் உண்மையான (உண்மையான)எண்கள்.

கணிதத்தில் தனித்தனியாக, சிக்கலான எண்கள் வேறுபடுகின்றன.

சிக்கலான எண்கள்வழக்குக்கான சதுரங்களைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் தொடர்பாக எழுகிறது டி< 0 (здесь டிஇருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ஆகும்). நீண்ட காலமாக, இந்த எண்கள் உடல் ரீதியான பயன்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்கவில்லை, அதனால்தான் அவை "கற்பனை" எண்கள் என்று அழைக்கப்பட்டன. இருப்பினும், இப்போது அவை இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் பல்வேறு துறைகளில் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: மின் பொறியியல், ஹைட்ரோ- மற்றும் ஏரோடைனமிக்ஸ், நெகிழ்ச்சி கோட்பாடு போன்றவை.

சிக்கலான எண்கள் z= என எழுதப்பட்டுள்ளது அ+ இரு. இங்கே அமற்றும் பி – உண்மையான எண்கள், ஏ நான் – கற்பனை அலகு.இ. நான் 2 = -1. எண் அஅழைக்கப்பட்டது abscissa, ஏ b-ஒழுங்குபடுத்துசிக்கலான எண் அ+ இரு. இரண்டு சிக்கலான எண்கள் அ+ இருமற்றும் a-biஅழைக்கப்பட்டது இணைசிக்கலான எண்கள்.

பண்புகள்:

1. உண்மையான எண் ஏகலப்பு எண்ணாகவும் எழுதலாம்: அ+ 0நான்அல்லது ஒரு - 0நான். உதாரணமாக 5 + 0 நான்மற்றும் 5 - 0 நான்அதாவது அதே எண் 5 .

2. சிக்கலான எண் 0 + இருஅழைக்கப்பட்டது முற்றிலும் கற்பனை எண். பதிவு இரு 0 க்கு சமம் + இரு.

3. இரண்டு சிக்கலான எண்கள் அ+ இருமற்றும் c+ diஎன்றால் சமமாக கருதப்படுகிறது அ= cமற்றும் பி= ஈ. இல்லையெனில், கலப்பு எண்கள் சமமாக இருக்காது.

செயல்கள்:

கூட்டல். கலப்பு எண்களின் கூட்டுத்தொகை அ+ இருமற்றும் c+ diகலப்பு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது ( அ+ c) + (பி+ ஈ)நான். இதனால், கலப்பு எண்களைச் சேர்க்கும் போது, ​​அவற்றின் abscissas மற்றும் ordinates தனித்தனியாக சேர்க்கப்படும்.

கழித்தல். இரண்டு கலப்பு எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு அ+ இரு(குறைக்கப்பட்டது) மற்றும் c+ di(கழிக்கப்பட்டது) ஒரு கலப்பு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது ( a-c) + (பி-டி)நான். இதனால், இரண்டு கலப்பு எண்களைக் கழிக்கும்போது, ​​அவற்றின் abscissas மற்றும் ordinates தனித்தனியாக கழிக்கப்படும்.

பெருக்கல். கலப்பு எண்களின் பலன் அ+ இருமற்றும் c+ diகலப்பு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

(ac-bd) + (விளம்பரம்+ கி.மு)நான். இந்த வரையறை இரண்டு தேவைகளிலிருந்து உருவாகிறது:

1) எண்கள் அ+ இருமற்றும் c+ diஇயற்கணித இருசொற்கள் போல் பெருக்க வேண்டும்,

2) எண் நான்முக்கிய சொத்து உள்ளது: நான் 2 = –1.

உதாரணமாக ( a + bi)(a-bi)= அ 2 +b 2 . எனவே, வேலைஇரண்டு கூட்டு கூட்டு எண்கள் நேர்மறை உண்மையான எண்ணுக்கு சமம்.

பிரிவு. ஒரு கலப்பு எண்ணை வகுக்கவும் அ+ இரு(வகுக்கக்கூடியது) மற்றவருக்கு c+ di (வகுப்பான்) - மூன்றாவது எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பது என்று பொருள் இ+ fi(அரட்டை), இது, ஒரு வகுப்பினால் பெருக்கப்படும் போது c+ di, இது ஈவுத்தொகையில் விளைகிறது அ+ இரு. வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், பிரிவு எப்போதும் சாத்தியமாகும்.

உதாரணமாக கண்டுபிடி (8+ நான்) : (2 – 3நான்) .

தீர்வு. இந்த விகிதத்தை ஒரு பின்னமாக மீண்டும் எழுதுவோம்:

அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 + 3 ஆல் பெருக்குதல் நான்மற்றும் அனைத்து மாற்றங்களையும் செய்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பணி 1: z ஐ கூட்டவும், கழிக்கவும், பெருக்கவும் மற்றும் வகுக்கவும் 1 z க்கு 2

வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல்: சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் எக்ஸ் 2 = -அ. இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கபுதிய வகை எண்களைப் பயன்படுத்த வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருக்கிறோம் - கற்பனை எண்கள் . இதனால், கற்பனையான எண் அழைக்கப்படுகிறது அதன் இரண்டாவது சக்தி எதிர்மறை எண்ணாகும். கற்பனை எண்களின் இந்த வரையறையின்படி, நாம் வரையறுக்கலாம் மற்றும் கற்பனையான அலகு:

பின்னர் சமன்பாட்டிற்கு எக்ஸ் 2 = - 25 இரண்டு கிடைக்கும் கற்பனையானவேர்:

பணி 2: சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

1) x 2 = – 36; 2) எக்ஸ் 2 = – 49; 3) எக்ஸ் 2 = – 121

சிக்கலான எண்களின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவம். உண்மையான எண்கள் எண் வரிசையில் உள்ள புள்ளிகளால் குறிக்கப்படுகின்றன:

இங்கே புள்ளி உள்ளது ஏஎண் -3, புள்ளி என்று பொருள் பிஎண் 2, மற்றும் ஓ-பூஜ்யம். இதற்கு நேர்மாறாக, சிக்கலான எண்கள் ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. இதற்காக, இரண்டு அச்சுகளிலும் ஒரே அளவீடுகளுடன் செவ்வக (கார்டீசியன்) ஆயங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். பின்னர் சிக்கலான எண் அ+ இருஒரு புள்ளியால் குறிக்கப்படும் அப்சிஸ்ஸாவுடன் பிஏ மற்றும் ஒழுங்குபடுத்தவும்பி. இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது சிக்கலான விமானம் .

தொகுதி சிக்கலான எண் திசையன் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது OP, ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு கலப்பு எண்ணை சித்தரிக்கிறது ( விரிவான) விமானம். சிக்கலான எண் மாடுலஸ் அ+ இருமூலம் குறிக்கப்படுகிறது | அ+ இரு| அல்லது) கடிதம் ஆர்மற்றும் சமம்:

இணை கூட்டு எண்கள் ஒரே மாடுலஸைக் கொண்டுள்ளன.

வரைபடத்தை வரைவதற்கான விதிகள் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரைவதற்கு கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியானவை.

இ
உண்மையான அச்சில் அலகு; ரெஸ்

கற்பனை அச்சில் கற்பனை அலகு. im z

பணி 3. சிக்கலான விமானத்தில் பின்வரும் கலப்பு எண்களை உருவாக்கவும்: , , , , , , ,

1. எண்கள் துல்லியமானவை மற்றும் தோராயமானவை.நடைமுறையில் நாம் சந்திக்கும் எண்கள் இரண்டு வகையானவை. சிலர் அளவின் உண்மையான மதிப்பைக் கொடுக்கிறார்கள், மற்றவர்கள் தோராயமாக மட்டுமே. முதலாவது சரியானது, இரண்டாவது - தோராயமானது. பெரும்பாலும், சரியான எண்ணுக்குப் பதிலாக தோராயமான எண்ணைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது, குறிப்பாக பல சந்தர்ப்பங்களில் சரியான எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது.

எனவே, வகுப்பில் 29 மாணவர்கள் இருப்பதாகச் சொன்னால், 29 என்ற எண் சரியாக இருக்கும். மாஸ்கோவிலிருந்து கியேவ் வரையிலான தூரம் 960 கிமீ என்று அவர்கள் சொன்னால், இங்கே எண் 960 தோராயமாக உள்ளது, ஏனெனில், ஒருபுறம், எங்கள் அளவீட்டு கருவிகள் முற்றிலும் துல்லியமாக இல்லை, மறுபுறம், நகரங்களுக்கு ஓரளவு உள்ளது.

தோராயமான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் முடிவும் தோராயமான எண்ணாகும். சரியான எண்களில் சில செயல்பாடுகளைச் செய்வதன் மூலம் (வகுத்தல், மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல்), தோராயமான எண்களையும் பெறலாம்.

தோராயமான கணக்கீடுகளின் கோட்பாடு அனுமதிக்கிறது:

1) தரவின் துல்லியத்தின் அளவை அறிந்து, முடிவுகளின் துல்லியத்தின் அளவை மதிப்பிடுங்கள்;

2) சரியான அளவிலான துல்லியத்துடன் தரவை எடுக்கவும், முடிவின் தேவையான துல்லியத்தை உறுதிப்படுத்த போதுமானது;

3) கணக்கீட்டு செயல்முறையை பகுத்தறிவு செய்து, முடிவின் துல்லியத்தை பாதிக்காத கணக்கீடுகளிலிருந்து அதை விடுவித்தல்.

2. ரவுண்டிங்.தோராயமான எண்களின் ஒரு ஆதாரம் ரவுண்டிங் ஆகும். தோராயமான மற்றும் துல்லியமான எண்களை வட்டமிடுங்கள்.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை அதன் சில இலக்கங்களுடன் முழுவதுமாக மாற்றுவது, இந்த இலக்கத்தின் இலக்கத்தின் வலதுபுறத்தில் எழுதப்பட்ட அதன் அனைத்து இலக்கங்களையும் நிராகரிப்பதன் மூலம் அல்லது அவற்றை பூஜ்ஜியங்களால் மாற்றுவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிலிருந்து பெறப்படும் புதிய எண்ணை மாற்றுவதாகும். இந்த பூஜ்ஜியங்கள் பொதுவாக அடிக்கோடிட்டு அல்லது சிறியதாக எழுதப்படும். வட்டமான எண்ணின் மிகப்பெரிய அருகாமையை உறுதிப்படுத்த, பின்வரும் விதிகள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்: ஒரு குறிப்பிட்ட இலக்கத்தின் ஒன்றிற்கு எண்ணை வட்டமிட, இந்த இலக்கத்தின் இலக்கத்திற்குப் பிறகு நீங்கள் அனைத்து இலக்கங்களையும் நிராகரித்து, அவற்றை மாற்ற வேண்டும். முழு எண்ணில் பூஜ்ஜியங்களுடன். இது பின்வருவனவற்றை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது:

1) நிராகரிக்கப்பட்ட இலக்கங்களில் முதல் (இடது) 5 க்கும் குறைவாக இருந்தால், கடைசியாக மீதமுள்ள இலக்கம் மாற்றப்படாது (கீழே வட்டமிடுதல்);

2) முதல் நிராகரிக்கப்பட்ட இலக்கமானது 5 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது 5 க்கு சமமாகவோ இருந்தால், கடைசியாக மீதமுள்ள இலக்கமானது ஒன்றால் அதிகரிக்கப்படும் (வட்டமாக்குதல்).

இதை உதாரணங்களுடன் காட்டுவோம். ரவுண்ட் அப்:

a) 12.34 இல் பத்தில் ஒரு பங்கு வரை;

b) 3.2465 இன் நூறில் ஒரு பங்கு வரை; 1038.785;

c) 3.4335 இன் ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கு வரை.

ஈ) 12375 ஆயிரம் வரை; 320729.

a) 12.34 ≈ 12.3;

b) 3.2465 ≈ 3.25; 1038.785 ≈ 1038.79;

c) 3.4335 ≈ 3.434.

ஈ) 12375 ≈ 12,000; 320729 ≈ 321000.

3. முழுமையான மற்றும் தொடர்புடைய பிழைகள்.சரியான எண்ணுக்கும் அதன் தோராயமான மதிப்புக்கும் உள்ள வித்தியாசம் தோராயமான எண்ணின் முழுமையான பிழை எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, சரியான எண் 1.214 பத்தில் வட்டமாக இருந்தால், தோராயமாக 1.2 எண்ணைப் பெறுவோம். இந்த வழக்கில், தோராயமான எண் 1.2 இன் முழுமையான பிழை 1.214 - 1.2 ஆகும், அதாவது. 0.014.

ஆனால் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், பரிசீலனையில் உள்ள அளவின் சரியான மதிப்பு தெரியவில்லை, ஆனால் தோராயமாக மட்டுமே இருக்கும். பிறகு முழுமையான பிழையும் தெரியவில்லை. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், அது மீறாத வரம்பைக் குறிக்கவும். இந்த எண் விளிம்பு முழுமையான பிழை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு எண்ணின் சரியான மதிப்பு, எல்லைப் பிழையை விட குறைவான பிழையுடன் அதன் தோராயமான மதிப்புக்கு சமம் என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, 23.71 என்பது 0.01 துல்லியத்துடன் 23.7125 எண்ணின் தோராயமான மதிப்பாகும், ஏனெனில் முழுமையான தோராயமான பிழை 0.0025 மற்றும் 0.01 க்கும் குறைவாக உள்ளது. இங்கே எல்லை முழுமையான பிழை 0.01 * க்கு சமம்.

தோராயமான எண்ணின் எல்லை முழுமையான பிழை ஏΔ குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது அ. பதிவு

எக்ஸ்≈அ(±Δ அ)

பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ள வேண்டும்: அளவின் சரியான மதிப்பு எக்ஸ்இடையில் உள்ளது ஏ– Δ அமற்றும் ஏ+ Δ ஏ, இவை முறையே கீழ் மற்றும் மேல் எல்லைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எக்ஸ்மற்றும் NG ஐக் குறிக்கவும் எக்ஸ்வி.ஜி எக்ஸ்.

உதாரணமாக, என்றால் எக்ஸ்≈ 2.3 (± 0.1), பின்னர் 2.2<எக்ஸ்< 2,4.

மாறாக, 7.3< எக்ஸ்< 7,4, тоஎக்ஸ்≈ 7.35 (± 0.05). முழுமையான அல்லது விளிம்பு முழுமையான பிழை அளவீட்டின் தரத்தை வகைப்படுத்தாது. அளவிடப்பட்ட மதிப்பை வெளிப்படுத்தும் எண்ணைப் பொறுத்து, அதே முழுமையான பிழை குறிப்பிடத்தக்கதாகவும் முக்கியமற்றதாகவும் கருதப்படலாம். உதாரணமாக, இரண்டு நகரங்களுக்கிடையேயான தூரத்தை ஒரு கிலோமீட்டர் துல்லியத்துடன் அளந்தால், அத்தகைய துல்லியம் இந்த மாற்றத்திற்கு மிகவும் போதுமானது, அதே நேரத்தில், ஒரே தெருவில் உள்ள இரண்டு வீடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை அளவிடும்போது, ​​​​அத்தகைய துல்லியம் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. எனவே, ஒரு அளவின் தோராயமான மதிப்பின் துல்லியமானது முழுமையான பிழையின் அளவை மட்டுமல்ல, அளவிடப்பட்ட அளவின் மதிப்பையும் சார்ந்துள்ளது. எனவே, துல்லியத்தின் அளவீடு என்பது தொடர்புடைய பிழை.

ஒப்பீட்டு பிழை என்பது தோராயமான எண்ணின் மதிப்புக்கு முழுமையான பிழையின் விகிதமாகும். தோராயமான எண்ணுக்கு எல்லை முழுமையான பிழையின் விகிதம் எல்லை தொடர்பான பிழை என அழைக்கப்படுகிறது; அதை இப்படிக் குறிக்கவும்: உறவினர் மற்றும் எல்லை தொடர்பான பிழைகள் பொதுவாக ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, அளவீடுகள் தூரத்தைக் காட்டினால் எக்ஸ்இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே 12.3 கி.மீக்கு மேல், ஆனால் 12.7 கி.மீ.க்கும் குறைவானது, இந்த இரண்டு எண்களின் எண்கணித சராசரி தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது. அவற்றின் அரை-தொகை, பின்னர் எல்லை முழுமையான பிழை இந்த எண்களின் அரை-வேறுபாட்டிற்கு சமம். இந்த வழக்கில் எக்ஸ்≈ 12.5 (± 0.2). இங்கே, எல்லை முழுமையான பிழை 0.2 கிமீ, மற்றும் எல்லை உறவினர்