வளைவு ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள்

M மற்றும் N புள்ளிகளை இணைக்கும் சில விமான வளைவு L உடன் எடுக்கப்பட்டது. பரிசீலனையில் உள்ள D பகுதியில் செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதுவோம். எழுதப்பட்ட வளைவு ஒருங்கிணைப்பானது வளைவின் வடிவத்தைச் சார்ந்து இல்லை என்பதை நாம் கண்டுபிடிப்போம். எல், ஆனால் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி புள்ளிகள் M மற்றும் N இன் நிலையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

இரண்டு தன்னிச்சையான வளைவுகளான MPN மற்றும் MQN ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, D பகுதியில் பரிசீலிக்கப்பட்டு, M மற்றும் N புள்ளிகளை இணைக்கிறது (படம் 351). விடுங்கள்

பின்னர், கர்விலினியர் ஒருங்கிணைப்புகளின் (§ 1) பண்புகள் 1 மற்றும் 2 ஆகியவற்றின் அடிப்படையில், எங்களிடம் உள்ளது

அதாவது மூடிய வளைய வளைவு ஒருங்கிணைப்பு

கடைசி சூத்திரத்தில், வளைவுகள் கொண்ட ஒரு மூடிய விளிம்பு L மீது வளைவு ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்படுகிறது . இந்த விளிம்பு L வெளிப்படையாக தன்னிச்சையாக கருதப்படலாம்.

எனவே, எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் M மற்றும் N வளைவு ஒருங்கிணைப்பானது அவற்றை இணைக்கும் வளைவின் வடிவத்தைச் சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் இந்த புள்ளிகளின் நிலையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்ற நிபந்தனையிலிருந்து, எந்தவொரு மூடிய விளிம்பிலும் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு சமமாக இருக்கும். பூஜ்ஜியத்திற்கு.

உரையாடல் முடிவும் உண்மைதான்: எந்த மூடிய விளிம்பின் மீதுள்ள வளைவு ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இந்த வளைவு ஒருங்கிணைப்பு எந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைக்கும் வளைவின் வடிவத்தைப் பொறுத்தது அல்ல, ஆனால் இந்த புள்ளிகளின் நிலையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. உண்மையில், சமத்துவம் (2) என்பது சமத்துவத்தைக் குறிக்கிறது (1).

§ 2 இன் எடுத்துக்காட்டு 4 இல், வளைவு ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு பாதையைச் சார்ந்தது அல்ல, எடுத்துக்காட்டாக 3, வளைவு ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு பாதையைச் சார்ந்தது, ஏனெனில் இந்த எடுத்துக்காட்டில் ஒரு மூடிய விளிம்பில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது, ஆனால் பகுதியை அளிக்கிறது. பரிசீலனையின் கீழ் விளிம்பால் கட்டுப்படுத்தப்பட்டது; எடுத்துக்காட்டுகள் 1 மற்றும் 2 இல், வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளும் ஒருங்கிணைப்பு பாதையைப் பொறுத்தது.

கேள்வி இயற்கையாகவே எழுகிறது: எந்த மூடிய விளிம்பின் மீது வளைவு ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க, செயல்பாடுகள் என்ன நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். இந்த கேள்விக்கான பதில் பின்வரும் தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

தேற்றம். செயல்பாடுகள், அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் சேர்ந்து, சில டொமைன் D இன் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர், D டொமைனில் இருக்கும் எந்த மூடிய விளிம்பு L இன் மீதும் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது,

சமத்துவம் என்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது

அனைத்து எஸ்ட்ரஸ் பகுதிகளிலும்

ஆதாரம். D டொமைனில் தன்னிச்சையான மூடிய விளிம்பு L ஐக் கருத்தில் கொண்டு, அதற்கான Green's formulaவை எழுதவும்:

நிபந்தனை (3) திருப்தி அடைந்தால், இடதுபுறத்தில் உள்ள இரட்டை ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எனவே,

இவ்வாறு, நிபந்தனையின் போதுமானது (3) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இந்த நிபந்தனையின் அவசியத்தை இப்போது நிரூபிப்போம், அதாவது, D பகுதியில் உள்ள எந்த மூடிய வளைவு L க்கும் சமத்துவம் (2) திருப்தி அடைந்தால், இந்த மண்டலத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நிபந்தனை (3) திருப்தி அடைகிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

மாறாக, சமத்துவம் (2) திருப்தி அடைந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது,

மற்றும் நிபந்தனை (3) திருப்தி அடையவில்லை, அதாவது.

குறைந்தபட்சம் ஒரு கட்டத்தில். உதாரணமாக, ஒரு கட்டத்தில் சமத்துவமின்மையைக் கொண்டிருப்போம்

சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இருப்பதால், புள்ளியைக் கொண்ட சில போதுமான சிறிய பகுதி D இன் அனைத்து புள்ளிகளிலும் அது நேர்மறையாகவும் சில எண்ணை விட அதிகமாகவும் இருக்கும். இந்த வித்தியாசத்தின் மீது இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம். அது நேர்மறையாக இருக்கும். உண்மையில்,

ஆனால் கிரீனின் சூத்திரத்தின்படி, கடைசி சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம், பிராந்தியத்தின் எல்லைக்கு மேல் உள்ள வளைவு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதன் விளைவாக, கடைசி சமத்துவமின்மை நிபந்தனைக்கு முரணானது (2) எனவே, குறைந்தபட்சம் ஒரு கட்டத்தில் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது என்ற அனுமானம் தவறானது. இங்கிருந்து

அதை பின்பற்றுகிறது

பகுதியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும்

இவ்வாறு, தேற்றம் முழுமையாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

§ 9 அத்தியாயத்தில். XIII, நிபந்தனையின் பூர்த்தியானது வெளிப்பாடு என்பது சில செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு என்பதற்குச் சமம் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டது, அதாவது.

ஆனால் இந்த வழக்கில் திசையன்

ஒரு செயல்பாட்டின் சாய்வு, அதன் சாய்வு திசையனுக்கு சமமாக இருக்கும், இந்த திசையனின் சாத்தியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு என்பதை நிரூபிப்போம்

M மற்றும் N புள்ளிகளை இணைக்கும் எந்த வளைவிற்கும் L, (M) என்பது செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கும் இந்த புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்:

ஆதாரம். செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு என்றால், வளைகோட்டு ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

இந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட, M மற்றும் புள்ளிகளை இணைக்கும் L வளைவின் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுகிறோம்.

ஒருங்கிணைந்த, பின்வரும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு குறைக்கிறது:

அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாடு என்பது செயல்பாட்டின் மொத்த வழித்தோன்றலாகும்

நாம் பார்க்கிறபடி, மொத்த வேறுபாட்டின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு, ஒருங்கிணைப்பு செய்யப்படும் வளைவின் வடிவத்தைப் பொறுத்தது அல்ல.

இதேபோன்ற கூற்று ஒரு ஸ்பேஸ் வளைவின் மீது ஒரு வளைவு ஒருங்கிணைப்புக்கும் உள்ளது (கீழே உள்ள § 7 ஐப் பார்க்கவும்).

கருத்து. சில நேரங்களில் சில செயல்பாட்டின் வில் நீளம் L க்கு மேல் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்

6. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கான சராசரி மதிப்புக்கான சூத்திரம்.

7. மாறி மேல் வரம்புடன் ஒருங்கிணைந்த. அதன் தொடர்ச்சி மற்றும் வேறுபாடு.

8. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கான நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்.

9. பகுதிகள் மற்றும் மாறியின் மாற்றம் மூலம் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு.

10. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடு (ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பரப்பளவு, ஒரு வளைவின் வளைவின் நீளம், புரட்சியின் உடலின் அளவு).

11. ஒரு எண் தொடரின் கருத்து மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை. தொடர் ஒருங்கிணைப்புக்கான கௌச்சி அளவுகோல். ஒன்றிணைவதற்கு அவசியமான நிபந்தனை.

12. டெலிம்பர்ட் மற்றும் கௌச்சிக்கு எதிர்மறையான சொற்கள் கொண்ட தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கான சோதனைகள்.

13. ஒரு எண் தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கான கௌச்சியின் ஒருங்கிணைந்த அளவுகோல்.

14. குறி-மாறி எண் தொடர். முழுமையான மற்றும் நிபந்தனை ஒருங்கிணைப்பு. மாற்று வரிசைகள். லீப்னிஸ் அடையாளம்.

15. செயல்பாட்டுத் தொடர். வரிசை தொகை. ஒரு தொடரின் சீரான ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை. ஒரு செயல்பாட்டுத் தொடரின் சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கான Cauchy அளவுகோல்.

16. சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கான வீர்ஸ்ட்ராஸ் சோதனை.

18. பவர் தொடர். ஏபலின் தேற்றம்.

19. ஒரு சக்தித் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம். ஒரு சக்தித் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரத்திற்கான Cauchy-Hadamard சூத்திரம்.

21. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள். n-பரிமாண யூக்ளிடியன் விண்வெளியின் கருத்து. யூக்ளிடியன் விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு. புள்ளிகளின் வரிசை மற்றும் அதன் வரம்பு. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரையறை.

22. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரம்பு. செயல்பாடு தொடர்ச்சி. தனியார் வழித்தோன்றல்கள்.

23. பல மாறிகளின் வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் அதன் வேறுபாடு. உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடுகள்.

24. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான டெய்லரின் சூத்திரம். பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம். ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை. ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிலை.

25. இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள். ஒரு இரட்டை ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் ஒருமுறைக்கு குறைத்தல்.

27. டிரிபிள் இன்டெக்ரலில் மாறிகளின் மாற்றம். உருளை மற்றும் கோள ஆயத்தொகுப்புகள்.

28. ஒரு மென்மையான மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல், அளவுருவாகவும் வெளிப்படையாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

29. முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையான வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளின் வரையறை, அவற்றின் அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடு.

30. பச்சையின் சூத்திரம். ஒருங்கிணைப்பு பாதையில் இருந்து வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்திற்கான நிபந்தனைகள்.

31. முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகள், அவற்றின் முக்கிய பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடு.

32. காஸ்-ஆஸ்ட்ரோகிராட்ஸ்கி தேற்றம், ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் திசையன் (மாறாத) வடிவங்களில் அதன் பிரதிநிதித்துவம்.

33. ஸ்டோக்ஸ் சூத்திரம், ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் திசையன் (மாறாத) வடிவங்களில் அதன் குறியீடு.

34. அளவிடல் மற்றும் திசையன் புலங்கள். சாய்வு, வேறுபாடு, சுருட்டை. சாத்தியமான மற்றும் சோலனாய்டல் புலங்கள்.

35. ஹாமில்டன் ஆபரேட்டர். (நப்லா) அதன் பயன்பாடு (உதாரணங்கள்).

36. முதல் வரிசையின் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (ode) தொடர்பான அடிப்படைக் கருத்துக்கள்: பொது மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள், பொது ஒருங்கிணைப்பு, ஒருங்கிணைந்த வளைவு. Cauchy பிரச்சனை, அதன் வடிவியல் பொருள்.

37. பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான ஒரு முதல்-வரிசை ஓட் ஒருங்கிணைப்பு.

38. முதல்-வரிசை நேரியல் ஓட்கள் மற்றும் பெர்னௌல்லி சமன்பாடு ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு.

39. துருவ வேறுபாடுகளில் முதல்-வரிசை ஓட் ஒருங்கிணைப்பு. ஒருங்கிணைக்கும் காரணி.

40. முதல் வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்படவில்லை. அளவுரு உள்ளீட்டு முறை.

41. நிலையான குணகங்களுடன் n வது வரிசையின் சமன்பாடு. சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் அடிப்படை தீர்வுகளின் அமைப்பு (fsr), ஒரு சீரற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

42. முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு. ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் FSR. ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு.

30. பச்சையின் சூத்திரம். ஒருங்கிணைப்பு பாதையில் இருந்து வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்திற்கான நிபந்தனைகள்.

பச்சையின் சூத்திரம்: C என்பது D டொமைனின் மூடிய எல்லையாக இருந்தால் மற்றும் P(x,y) மற்றும் Q(x,y) செயல்பாடுகள் அவற்றின் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் சேர்ந்து, மூடிய டொமைன் D இல் (எல்லை உட்பட C இன்), பின்னர் கிரீனின் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:, மற்றும் C ஐச் சுற்றியுள்ள பைபாஸ் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இதனால் பகுதி D இடதுபுறத்தில் இருக்கும்.

விரிவுரைகளில் இருந்து: முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் D டொமைனில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் P(x,y) மற்றும் Q(x,y) செயல்பாடுகளை கொடுக்கலாம். எல்லை ஒருங்கிணைப்பு (எல்) முழுவதுமாக D பகுதியில் உள்ளது மற்றும் D பகுதியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் கொண்டுள்ளது: . விளிம்பின் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி இடதுபுறத்தில் இருக்கும்போது விளிம்பின் நேர்மறையான திசையாகும்.

ஒருங்கிணைப்பு பாதையில் இருந்து 2 வது வகையின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்தின் நிலை. M1 மற்றும் M2 புள்ளிகளை இணைக்கும் முதல் வகையின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு, ஒருங்கிணைப்பின் பாதையைச் சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி புள்ளிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை சமத்துவம் :.

.

31. முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகள், அவற்றின் முக்கிய பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடு.

- மேற்பரப்பைக் குறிப்பிடுகிறது.

xy விமானத்தில் S ஐத் திட்டமிடுகிறோம், D என்ற பகுதியைப் பெறுகிறோம். D என்ற பகுதியை கோடுகளின் கட்டத்துடன் Di எனப்படும் பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம். ஒவ்வொரு வரியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் நாம் z க்கு இணையான கோடுகளை வரைகிறோம், பின்னர் S ஆனது Si ஆக பிரிக்கப்படும். ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொகையை உருவாக்குவோம்: . அதிகபட்ச விட்டம் Di ஐ பூஜ்ஜியமாக அமைப்போம்:, நாம் பெறுகிறோம்:

இது முதல் வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்

இது முதல் வகையின் மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

சுருக்கமான வரையறை. ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு இருந்தால், இது S ஐ அடிப்படைப் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கும் முறை மற்றும் புள்ளிகளின் தேர்வு ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது அல்ல, அது முதல் வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மாறிகள் x மற்றும் y இலிருந்து u மற்றும் v க்கு செல்லும் போது:

பி ஒரு மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு ஒரு சாதாரண ஒருங்கிணைப்பின் அனைத்து பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது. மேலே உள்ள கேள்விகளைப் பார்க்கவும்.

இரண்டாவது வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை, அதன் முக்கிய பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடு. முதல் வகையின் ஒருங்கிணைப்புடன் இணைப்பு.

L (படம். 3.10) என்ற கோட்டால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மேற்பரப்பு S ஐக் கொடுக்கலாம். எல்லை L உடன் பொதுவான புள்ளிகள் இல்லாத S மேற்பரப்பில் சில விளிம்பு L ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். L இன் விளிம்பு புள்ளியில் M, இரண்டு நார்மல்கள் u மேற்பரப்பு S க்கு மீட்டமைக்கப்படலாம். இந்த திசைகளில் ஒன்றை நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம். இயல்பின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திசையுடன் விளிம்பு L உடன் புள்ளி M ஐ கோடிட்டுக் காட்டுங்கள்.

புள்ளி M அதன் அசல் நிலைக்கு இயல்பான அதே திசையில் (மற்றும் எதிர் திசையில் அல்ல) திரும்பினால், மேற்பரப்பு S இரண்டு பக்கமாக அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு பக்க மேற்பரப்புகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். இரண்டு பக்க மேற்பரப்பு என்பது சமன்பாட்டுடன் கூடிய மென்மையான மேற்பரப்பு ஆகும்.

S ஆனது சுய-குறுக்கு புள்ளிகள் இல்லாத L கோட்டால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட இருபக்க மூடப்படாத மேற்பரப்பாக இருக்கட்டும். மேற்பரப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட பக்கத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம். விளிம்பு L ஐத் தவிர்ப்பதற்கான நேர்மறையான திசையை அத்தகைய திசை என்று அழைப்போம், மேற்பரப்பின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பக்கத்துடன் நகரும்போது, ​​​​மேற்பரப்பு இடதுபுறத்தில் இருக்கும். இந்த வழியில் அமைக்கப்பட்ட விளிம்பு பயணத்தின் நேர்மறையான திசையுடன் கூடிய இரு பக்க மேற்பரப்பு ஒரு சார்பு மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பின் கட்டுமானத்திற்கு செல்லலாம். விண்வெளியில் இரண்டு பக்க மேற்பரப்பு S ஐ எடுத்துக் கொள்வோம், அதில் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான துண்டுகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் வடிவத்தின் சமன்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன அல்லது Oz அச்சுக்கு இணையான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட உருளை மேற்பரப்பு ஆகும்.

R(x,y,z) என்பது மேற்பரப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். வரிகளின் வலையமைப்பைப் பயன்படுத்தி, S ஐ தன்னிச்சையாக n "தொடக்க" பிரிவுகளாக ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, .. ., பொதுவான உள் புள்ளிகள் இல்லாத ΔSn. ஒவ்வொரு பிரிவிலும் ΔSi, நாம் தன்னிச்சையாக ஒரு புள்ளியை Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) தேர்வு செய்கிறோம். (ΔSi)xy என்பது ΔSi பிரிவின் ப்ராஜெக்ஷன் பகுதியாக இருக்கட்டும் ΔSi Oxy coordinate plane மீது, "+" குறியுடன் எடுக்கப்பட்டால், Mi(xi,yi,zi) (i=) புள்ளியில் மேற்பரப்பு S க்கு இயல்பானதாக இருந்தால் 1,...,n) அச்சுடன் கூடிய வடிவங்கள் Oz ஒரு தீவிர கோணம், மேலும் இந்த கோணம் மழுங்கலாக இருந்தால் "-" குறியுடன் இருக்கும். R(x,y,z) செயல்பாட்டிற்கான ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையை S மேற்பரப்பில் x,y: மாறிகளைப் பொறுத்து உருவாக்குவோம். λ விட்டம் ΔSi (i = 1, ..., n) இல் மிகப்பெரியதாக இருக்கட்டும்.

மேற்பரப்பை S ஐ "ஆரம்ப" பிரிவுகளாக பிரிக்கும் முறை மற்றும் புள்ளிகளின் தேர்வு மற்றும் R செயல்பாட்டின் S மேற்பரப்பின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பக்கத்தின் மீது மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு என அழைக்கப்படுகிறது. (x, y, z) x, y (அல்லது இரண்டாவது வகையின் மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு) ஆயத்தொலைவுகளுடன் சேர்த்து குறிக்கப்படுகிறது .

இதேபோல், மேற்பரப்பின் தொடர்புடைய பக்கத்தில் x, z அல்லது y, z ஆயத்தொலைவுகளின் மீது ஒருவர் மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகளை உருவாக்கலாம், அதாவது. மற்றும் .

இந்த அனைத்து ஒருங்கிணைப்புகளும் இருந்தால், மேற்பரப்பின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பக்கத்தில் "பொது" ஒருங்கிணைப்பை நீங்கள் அறிமுகப்படுத்தலாம்: .

இரண்டாவது வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் வழக்கமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. மேற்பரப்பின் பக்கம் மாறும்போது, ​​இரண்டாவது வகையின் எந்த மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பும் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது என்பதை மட்டுமே நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையேயான இணைப்பு.

மேற்பரப்பு S ஐ சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கலாம்: z \u003d f (x, y), மற்றும் f (x, y), f "x (x, y), f "y (x, y) ஆகியவை a இல் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும். மூடிய பகுதி τ (Oxy coordinate plane மீது மேற்பரப்பு S இன் கணிப்புகள்), மற்றும் செயல்பாடு R(x,y,z) மேற்பரப்பில் S இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். மேற்பரப்பு S க்கு இயல்பானது, திசை கோசைன்கள் cos α, cos β , cos γ, மேற்பரப்பின் மேல் பக்கமாக S. பிறகு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

பொதுவான வழக்கில், எங்களிடம் உள்ளது:

=

"

2 வது வகையின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள் எல்- வளைவு இணைக்கும் புள்ளிகள் எம்மற்றும் என். செயல்பாடுகளை விடுங்கள் P(x, y)மற்றும் கே(x, y)சில டொமைனில் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன டி, இது முழு வளைவையும் கொண்டுள்ளது எல். கருதப்படும் வளைகோட்டு ஒருங்கிணைப்பானது வளைவின் வடிவத்தை சார்ந்திருக்காத நிலைமைகளை நாம் தீர்மானிக்கலாம் எல், ஆனால் புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தில் மட்டுமே எம்மற்றும் என்.

இரண்டு தன்னிச்சையான வளைவுகளை வரையவும் எம்.பி.என்மற்றும் MQN, பகுதியில் கிடக்கிறது டிமற்றும் இணைக்கும் புள்ளிகள் எம்மற்றும் என்(வரைபடம். 1).

எம் என்அரிசி. 1. பி

என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது

அப்புறம் எங்கே எல்- ஒரு மூடிய விளிம்பு, வளைவுகளால் ஆனது எம்.பி.என்மற்றும் NQM(எனவே, இது தன்னிச்சையாக கருதப்படலாம்). எனவே, ஒருங்கிணைப்பு பாதையில் இருந்து 2 வது வகையான ஒரு வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்திற்கான நிபந்தனை, எந்த மூடிய விளிம்பின் மீதும் அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

தேற்றம் 1.சில பகுதியின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் இருக்கட்டும் டிசெயல்பாடுகள் தொடர்ந்து இருக்கும் P(x, y)மற்றும் கே(x, y)மற்றும் அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் . பின்னர் எந்த மூடிய வளையத்திற்காகவும் எல், பகுதியில் பொய் டி, நிலை

அது அவசியம் மற்றும் போதுமானது = பிராந்தியத்தின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் டி.

ஆதாரம் .

1) போதுமானது: நிபந்தனை = பூர்த்தி செய்யப்படட்டும். தன்னிச்சையான மூடிய வளையத்தைக் கவனியுங்கள் எல்பகுதியில் டி, பகுதியை கட்டுப்படுத்துகிறது எஸ், மற்றும் அதற்கான கிரீன் சூத்திரத்தை எழுதவும்:

எனவே, போதுமானது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

2) அவசியம்: அந்தப் பகுதியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம் டி, ஆனால் இந்த பகுதியில் குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளி உள்ளது - ≠ 0. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளியில் பி(x0, y0)-> 0. சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இருப்பதால், அது நேர்மறையாகவும் சில சிறிய பகுதியில் சில δ > 0 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கும் டி`புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது ஆர். எனவே,

எனவே, கிரீன் சூத்திரத்தின் மூலம், நாம் அதை எங்கே பெறுகிறோம் எல்`- பகுதியைக் கட்டுப்படுத்தும் அவுட்லைன் டி`. இந்த முடிவு நிபந்தனைக்கு முரணானது. எனவே, = பிராந்தியத்தின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் டி, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியிருந்தது.

குறிப்பு 1 . இதேபோல், ஒரு முப்பரிமாண இடத்திற்கு, வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்திற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும்.

ஒருங்கிணைப்பு பாதையில் இருந்து:

குறிப்பு 2. நிபந்தனைகள் (28/1.18) பூர்த்தி செய்யப்படும்போது, ​​வெளிப்பாடு Pdx+Qdy+Rdzசில செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு ஆகும் மற்றும். இது மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை நிர்ணயிப்பதில் வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீட்டைக் குறைக்க அனுமதிக்கிறது. மற்றும்ஒருங்கிணைப்பு விளிம்பின் இறுதியில் மற்றும் தொடக்க புள்ளிகளில், இருந்து

அதே நேரத்தில், செயல்பாடு மற்றும்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கலாம்

எங்கே ( x0, y0, z0)- பகுதியில் இருந்து புள்ளி டி, ஏ சிஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி. உண்மையில், செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது மற்றும்சூத்திரம் (28/1.19) மூலம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது பி, கேமற்றும் ஆர்.

ஆஸ்ட்ரோகிராட்ஸ்கி-பச்சை சூத்திரம்

இந்த சூத்திரம் ஒரு மூடிய விளிம்பு C க்கு மேல் வளைவு ஒருங்கிணைப்புக்கும் இந்த விளிம்பால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியின் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பை நிறுவுகிறது.

வரையறை 1. ஒரு டொமைன் D ஒரு எளிய டொமைன் என அழைக்கப்படுகிறது, அதை முதல் வகையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான டொமைன்களாகவும், இதிலிருந்து சுயாதீனமாக, இரண்டாவது வகையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான டொமைன்களாகவும் பிரிக்கலாம்.

தேற்றம்.

பின்னர் சூத்திரம் உள்ளது

இங்கு С என்பது D பகுதியின் மூடிய விளிம்பு ஆகும்.

இது ஆஸ்ட்ரோகிராட்ஸ்கி-கிரீன் சூத்திரம்.

ஒருங்கிணைப்பு பாதையில் இருந்து வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்திற்கான நிபந்தனைகள்

வரையறை 1. எந்த மூடிய வளைவு l D ஒரு புள்ளியாக தொடர்ந்து சிதைக்கப்பட்டால் ஒரு மூடிய சதுரப் பகுதி D இணைக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது, இதனால் இந்த வளைவின் அனைத்து புள்ளிகளும் D பகுதிக்கு சொந்தமானது ("துளைகள்" இல்லாத பகுதி - D 1 ), அத்தகைய சிதைப்பது சாத்தியமற்றது என்றால், பகுதி பெருக்கல் இணைக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது ("துளைகள்" - D 2 உடன்).

வரையறை 2. வளைவு AB உடன் உள்ள வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு A மற்றும் B புள்ளிகளை இணைக்கும் வளைவின் வகையைச் சார்ந்திருக்கவில்லை என்றால், இந்த வளைவு ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு பாதையைச் சார்ந்தது அல்ல என்று கூறுகிறார்கள்:

தேற்றம். பின்வரும் 4 நிபந்தனைகள் சமமானவை (சமமானவை):

1) ஒரு மூடிய விளிம்பில் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு

இதில் C என்பது D இல் மூடிய வளையமாகும்;

2) ஒரு மூடிய விளிம்பில் உள்ள வளைவு ஒருங்கிணைப்பு D டொமைனில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் பாதையைச் சார்ந்தது அல்ல, அதாவது.

3) வேறுபட்ட வடிவம் P(x,y)dx + Q(x,y)dy என்பது D டொமைனில் உள்ள F சில செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடாகும், அதாவது, F செயல்பாடு உள்ளது. சமத்துவம்

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y) D பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படும்:

திட்டத்தின் படி நிரூபிப்போம்.

இருந்து அதை நிரூபிப்போம்

1), அதாவது கொடுக்கப்படட்டும் = 0 §1 இன் சொத்து 2, இது = 0 (§1 இன் சொத்து 1 மூலம்) .

இருந்து அதை நிரூபிப்போம்

அதில் cr.int என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒருங்கிணைப்பு பாதையை சார்ந்து இல்லை, ஆனால் பாதையின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவின் தேர்வு மட்டுமே

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

வேறுபட்ட வடிவம் P(x,y)dx + Q(x,y)dy என்பது F(x,y) செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு, அதாவது, , என்ன

தனிப்பட்ட ஆதாயத்தை அமைப்போம்

x F (x, y) = F (x + x, y) -F (x, y) = = == =

(§ 1 இன் சொத்து 3, BB* Oy) = = P (c, y)x (சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தால், -const உடன்), இங்கு x

(P செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக). நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பெற்றுள்ளோம் (5). ஃபார்முலா (6) இதேபோல் பெறப்படுகிறது.

இருந்து அதை நிரூபிப்போம்

சூத்திரம் கொடுக்கப்பட்டது

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

வெளிப்படையாக, = P(x, y). பிறகு

தேற்றத்தின் நிபந்தனையின்படி, சமத்துவங்களின் வலது பகுதிகள் (7) மற்றும் (8) தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள், பின்னர் கலப்பு வழித்தோன்றல்களின் சமத்துவம் குறித்த தேற்றத்தால், இடது பகுதிகளும் சமமாக இருக்கும், அதாவது.

41 இல் அதை நிரூபிப்போம்.

D 1 பகுதியைக் கட்டுப்படுத்தும் D பகுதியில் இருந்து எந்த மூடிய விளிம்பையும் தேர்வு செய்வோம்.

P மற்றும் Q செயல்பாடுகள் Ostrogradsky-Green நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன:

சமத்துவத்தின் மூலம் (4) இடது பக்கத்தில் (9), முழுமை 0 க்கு சமம், அதாவது சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் சமம்

குறிப்பு 1. தேற்றம் 1. மூன்று சுயாதீன தேற்றங்களாக உருவாக்கலாம்

தேற்றம் 1*. வளைந்த எண்ணின் பொருட்டு. ஒருங்கிணைப்பு பாதையை சார்ந்து இல்லை, அதனால் நிபந்தனை (.1) திருப்தி அடைகிறது, அதாவது.

தேற்றம் 2*. வளைந்த எண்ணின் பொருட்டு. ஒருங்கிணைப்பு பாதையை சார்ந்து இல்லை, அதனால் நிபந்தனை (3) திருப்தி அடையும்:

வேறுபட்ட வடிவம் P(x,y)dx + Q(x,y)dy என்பது D டொமைனில் உள்ள F இன் சில செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு ஆகும்.

தேற்றம் 3*. வளைந்த எண்ணின் பொருட்டு. ஒருங்கிணைப்பு பாதையை சார்ந்து இல்லை, அதனால் நிபந்தனை (4) திருப்தி அடையும்:

குறிப்பு 2. தேற்றம் 2* இல், D டொமைனையும் பெருக்கி இணைக்க முடியும்.

வரையறை. முப்பரிமாண இடத்தின் G பகுதியானது மேற்பரப்பு எளிமையாக இணைக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது. இந்தப் பகுதியில் இருக்கும் எந்த மூடிய விளிம்பையும் முழுவதுமாக G பகுதியில் இருக்கும் ஒரு மேற்பரப்பால் பரப்ப முடியும் என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளத்தின் உட்புறம் அல்லது முழு முப்பரிமாண வெளியும் மேற்பரப்பு எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளாகும்; ஒரு டோரஸின் உட்புறம் அல்லது முப்பரிமாண இடைவெளி, அதில் இருந்து கோடு விலக்கப்பட்டுள்ளது, மேற்பரப்பு வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட பகுதிகள் அல்ல. ஒரு மேற்பரப்பில் வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட டொமைன் G இல் தொடர்ச்சியான வெக்டார் புலம் கொடுக்கப்படட்டும். பிறகு பின்வரும் தேற்றம் உள்ளது. தேற்றம் 9. திசையன் புலத்தில் உள்ள வளைவு ஒருங்கிணைப்பு a ஒருங்கிணைப்பு பாதையை சார்ந்து இருக்காமல், பாதையின் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி புள்ளிகளை (A மற்றும் B) மட்டுமே சார்ந்திருக்க, இது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது. G பகுதியில் அமைந்துள்ள எந்த மூடிய விளிம்பு L உடன் திசையன் a இன் சுழற்சி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தது. 4 அவசியம். m-integral ஆனது ஒருங்கிணைப்பு பாதையிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கட்டும். எந்த மூடிய விளிம்பிற்கும் L பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதைக் காட்டுவோம். திசையன் a புலத்தில் தன்னிச்சையான மூடிய விளிம்பு L ஐக் கருத்தில் கொண்டு, அதன் மீது தன்னிச்சையான புள்ளிகள் A மற்றும் B ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (படம் 35). நிபந்தனையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது - துல்லியமாக A மற்றும் B \ஐ இணைக்கும் வெவ்வேறு பாதைகள் சரியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூடிய விளிம்பு L இருக்கும் இடத்திலிருந்து போதுமானது. எந்த மூடிய கோளத்திற்கும் L ஆக இருக்கட்டும். இந்த விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பானது ஒருங்கிணைப்பு பாதையைச் சார்ந்தது அல்ல என்பதைக் காட்டுவோம். திசையன் a புலத்தில் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்வோம், அவற்றை தன்னிச்சையான வரிகளான L1 மற்றும் L2 மூலம் இணைத்து, எளிமைக்காக, L1 மற்றும் L2 கோடுகள் குறுக்கிடாத நிலையில் நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொள்கிறோம். இந்த வழக்கில், தொழிற்சங்கமானது ஒரு எளிய மூடிய வளைய எல் (படம் 36) உருவாக்குகிறது. நிபந்தனை a மூலம், சேர்க்கையின் சொத்து மூலம். ஒருங்கிணைப்பு பாதையில் இருந்து வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரம் சாத்தியமான புலத்தில் வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள சாத்தியக்கூறுகளின் கணக்கீடு எனவே, இதில் இருந்து சமத்துவத்தின் செல்லுபடியாகும் (2) பின்பற்றப்படுகிறது. தேற்றம் 9 பாதையின் வடிவத்திலிருந்து வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்திற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளை வெளிப்படுத்துகிறது, ஆனால் இந்த நிலைமைகளை சரிபார்க்க கடினமாக உள்ளது. இன்னும் திறமையான அளவுகோலை முன்வைப்போம். தேற்றம் 10. கர்விலினியர் ஒருங்கிணைப்பு L இன் ஒருங்கிணைப்பு பாதையிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்க, திசையன் புலம் எரிச்சலூட்டும் வகையில் இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. M) மேலோட்டமாக எளிமையாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. கருத்து. தேற்றம் 9 இன் அடிப்படையில், ஒருங்கிணைப்புப் பாதையில் இருந்து வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரமானது, எந்த மூடிய விளிம்பிலும் திசையன் சுழற்சியின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானதாகும். இந்த சூழ்நிலையை நாங்கள் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தில் பயன்படுத்துகிறோம். அவசியம். வளைவு ஒருங்கிணைப்பானது பாதையின் வடிவத்திலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கட்டும், அல்லது, எந்த மூடிய விளிம்பு L உடன் திசையன் a இன் சுழற்சி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். பின்னர், அதாவது, புலத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும், திசையன் அழுகல் a எந்த திசையிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இதன் பொருள், திசையன் அழுகல் a புலத்தின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், போதுமானது. நிபந்தனையின் போதுமான அளவு (3) ஸ்டோக்ஸ் சூத்திரத்தில் இருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, ஏனெனில் அழுகல் a = 0, பின்னர் எந்த மூடிய வளைய L உடன் திசையன் சுழற்சி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்: ஒரு தட்டையான புலத்தின் சுழலி நம்மை உருவாக்க அனுமதிக்கும் சமம் ஒரு தட்டையான புலத்திற்கான பின்வரும் தேற்றம். தேற்றம் 11. ஒரு எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட விமானப் புலத்தில் உள்ள வளைவு ஒருங்கிணைப்பு L கோட்டின் வடிவத்திலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்க, கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட முழுப் பகுதியிலும் ஒரே மாதிரியாக உறவு வைத்திருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. டொமைன் எளிமையாக இணைக்கப்படவில்லை என்றால், நிபந்தனையின் பூர்த்தி, பொதுவாக, கோட்டின் வடிவத்திலிருந்து வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் சுதந்திரத்தை உறுதி செய்யாது. உதாரணமாக. ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம் 0(0,0) புள்ளியில் ஒருங்கிணைப்புக்கு எந்த அர்த்தமும் இல்லை என்பது தெளிவாகிறது. எனவே, இந்த புள்ளியை நாங்கள் விலக்குகிறோம். மீதமுள்ள விமானத்தில் (இது இனி ஒரு இணைக்கப்பட்ட பகுதியாக இருக்காது!) திசையன் a இன் ஆயத்தொலைவுகள் தொடர்ச்சியானவை, தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் ஒரு மூடிய வளைவு L - ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்துடன் ஒருங்கிணைந்த (6) ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். ஆர் தோற்றத்தில் மையப்படுத்தப்பட்டது: பின்னர் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து சுழற்சியின் வேறுபாடு, ஒருங்கிணைப்பு (6) ஒருங்கிணைப்பு பாதையின் வடிவத்தைப் பொறுத்தது என்பதைக் காட்டுகிறது. §10. சாத்தியமான புல வரையறை. திசையன் a(M) இன் புலமானது, u(M) என்ற அளவிடல் செயல்பாடு இருந்தால், u(M) சார்பு புலத்தின் சாத்தியம் என அழைக்கப்படுகிறது; அதன் நிலைப் பரப்புகளை ஈக்விபோடென்ஷியல் மேற்பரப்புகள் என்று அழைக்கிறார்கள். பின்னர் உறவு (1) பின்வரும் மூன்று அளவிடல் சமத்துவங்களுக்குச் சமம்: புலம் சாத்தியம் ஒரு நிலையான கால வரை தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்: எனவே, அது ஒரு நிலையான எண்ணாக இருந்தால். எடுத்துக்காட்டு 1. ஆரம் திசையன் r புலம் சாத்தியமானது, எனவே ஆரம் திசையன் புலத்தின் சாத்தியம் என்பதை நாம் நினைவுபடுத்துகிறோம். எடுத்துக்காட்டு 2. திசையன் புலம் என்பது சாத்தியமாகும். செயல்பாடு கண்டுபிடிக்கப்பட்டதாக இருக்கட்டும். பின்னர் மற்றும் எங்கிருந்து எனவே, புலத்தின் சாத்தியம். தேற்றம் 12. திசையன் a சாத்தியமானதாக இருக்க, அது எரிச்சலூட்டும் வகையில் இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது, அதாவது, புலத்தின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் அதன் சுழலி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், திசையன் a இன் ஆயத்தொலைவுகளின் அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களின் தொடர்ச்சி மற்றும் திசையன் a கொடுக்கப்பட்ட பகுதியின் மேற்பரப்பு வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது. அவசியம். நிபந்தனையின் அவசியம் (2) நேரடி கணக்கீடு மூலம் நிறுவப்பட்டது: புலம் சாத்தியமானதாக இருந்தால், அதாவது, வேறுபாட்டின் வரிசையில் இருந்து கலப்பு வழித்தோன்றல்களின் சுதந்திரத்தின் காரணமாக. போதுமானது. திசையன் புலம் எரிச்சலூட்டுவதாக இருக்கட்டும் (2). இந்தத் துறையின் திறனை நிரூபிக்கும் வகையில், அதன் சாத்தியக்கூறு u(M) ஐ உருவாக்குகிறோம். இது நிபந்தனை (2) இலிருந்து பின்வருமாறு, வளைவு ஒருங்கிணைப்பு L கோட்டின் வடிவத்தை சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் அதன் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி புள்ளிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. தொடக்கப் புள்ளியைச் சரிசெய்து, இறுதிப் புள்ளியை Mu, z) மாற்றுவோம். பின்னர் ஒருங்கிணைந்த (3) புள்ளியின் செயல்பாடாக இருக்கும். u(M) மூலம் இந்தச் செயல்பாட்டைக் குறிப்போம், பின்வருவனவற்றில் ஒருங்கிணைப்புப் பாதையின் தொடக்க மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளை மட்டும் குறிக்கும் ஒருங்கிணைப்பை (3) எழுதுவோம் என்பதை நிரூபிப்போம், சமத்துவம் என்பது மூன்று அளவிடல் சமத்துவங்களுக்குச் சமமானது. ஒருங்கிணைப்பு பாதை கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் சாத்தியமான புலம் அவற்றில் முதன்மையானதை நிரூபிப்போம்; இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமத்துவங்கள் இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு பகுதி வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி, ஒரு புள்ளிக்கு நெருக்கமான ஒரு புள்ளியை நாங்கள் கருதுகிறோம், u(M) சார்பு (4) மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இதில் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு பாதையைச் சார்ந்தது அல்ல, நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பு பாதையை தேர்வு செய்கிறோம் படம்.37 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. பின்னர் இங்கிருந்து கடைசி ஒருங்கிணைப்பானது ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான MM) நேர்கோட்டின் ஒரு பிரிவின் மோலாக எடுக்கப்படுகிறது. இந்த பிரிவில், ஒருங்கிணைப்பு x ஐ ஒரு அளவுருவாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்: (6) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புக்கு சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம் ஃபார்முலா (7) இல் இருந்து, செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக, நாம் அதைப் பெறுகிறோம், இது தொடர்ச்சி என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. திசையன் புலம், அதில் உள்ள வளைகோட்டு ஒருங்கிணைப்பு பாதை-சுயாதீனமாக இருந்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும். ஒரு சாத்தியமான புலத்தில் ஒரு வளைவு ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு தேற்றம் 13. ஒரு சாத்தியமான புலத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு a(M) புலத்தின் இறுதி மற்றும் தொடக்க புள்ளிகளில் உள்ள புலத்தின் சாத்தியமான u(M) மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம். ஒருங்கிணைப்பு பாதை முன்பு, செயல்பாடு என்பது புலத்தின் திறன் என்று நிரூபிக்கப்பட்டது. ஒரு சாத்தியமான புலத்தில், ஒரு வளைவு உள்ளிழுப்பு உட்செலுத்துதல் புள்ளியைப் பொறுத்தது அல்ல. எனவே, புள்ளி M\ இன் பாதையை M2 புள்ளிக்கு தேர்வு செய்வதன் மூலம் அது Afo (படம் 38) புள்ளியின் வழியாக செல்லும் வகையில், நாம் பெறுகிறோம் அல்லது, வலதுபுறத்தில் உள்ள முதல் இடைவெளியில் பாதையின் நோக்குநிலையை மாற்றுகிறோம். ஒரு நிலையான காலத்திற்குள் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, பின்னர் கருதப்படும் புலங்களின் எந்த சாத்தியத்தையும் c என்பது மாறிலியாக எழுதலாம். சூத்திரம் (10) இல் மாற்று u - c ஐ உருவாக்குவதன் மூலம், ஒரு தன்னிச்சையான சாத்தியமான v(M) எடுத்துக்காட்டு 3 க்கு தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். எடுத்துக்காட்டு 1 இல், ஆரம் திசையன் r இன் புலத்தின் சாத்தியம் என்பது புள்ளியில் இருந்து தோற்றம் வரை உள்ள தூரத்தின் செயல்பாடு ஆகும். கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் உள்ள சாத்தியக்கூறுகளின் கணக்கீடு சாத்தியமான புலம் கொடுக்கப்பட்டதாக இருக்கட்டும், "(எம்) இன்டெக்ரல் (11) சூத்திரத்தின் மூலம் சாத்தியமான செயல்பாட்டைக் கண்டறியலாம் என்று காட்டப்பட்டது மிகவும் வசதியாக பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது: தொடக்கப் புள்ளியை சரிசெய்து இணைக்கிறோம். இது மிகவும் நெருக்கமான தற்போதைய புள்ளி M(x, y,z) ஒரு உடைந்த கோடு, அதன் இணைப்புகள் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இணையாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், பாலிலைனின் ஒவ்வொரு இணைப்பிலும் ஒரே ஒரு ஒருங்கிணைப்பு மாற்றங்கள் மட்டுமே செய்யப்படுகின்றன, இது கணக்கீடுகளை கணிசமாக எளிதாக்குகிறது. உண்மையில், M0M\ பிரிவில் எங்களிடம் உள்ளது: பிரிவில். அரிசி. 39. வெட்டு மீது. எனவே, பாலிலைன் இணைப்புகளில் தற்போதைய புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் எங்கே உள்ளன, அதனுடன் ஒருங்கிணைப்பு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு 4. திசையன் புலம் k என்பது சாத்தியம் என்பதை நிரூபித்து அதன் திறனைக் கண்டறியவும். 4 திசையன் a(Af) புலம் சாத்தியமானதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம். இந்த இலக்குடன், புலத்தின் ரோட்டரைக் கணக்கிடுகிறோம். எங்களிடம் களம் உள்ளது சாத்தியம். சூத்திரம் (12) ஐப் பயன்படுத்தி இந்தத் துறையின் திறனைக் கண்டறிகிறோம். ஆய 0 இன் தொடக்கப் புள்ளியை A/o ஆக எடுத்துக்கொள்வோம் (பொதுவாக இது a(M) ஆயத்தொகுதிகளின் தோற்றத்தில் வரையறுக்கப்பட்டால் செய்யப்படும்). பிறகு நமக்கு கிடைக்கும் So, c என்பது ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி. இந்தத் துறையின் சாத்தியக்கூறுகளை வேறு வழியிலும் காணலாம். வரையறையின்படி, சாத்தியக்கூறு u(x, y, z) என்பது gradu = a ஆகும். இந்த வெக்டார் சமத்துவம் மூன்று அளவிடல் சமன்பாடுகளுக்குச் சமம்: x க்கு மேல் (13) ஒருங்கிணைத்தல், நாம் (17) ஐ y ஆல் பெறுகிறோம் - சில செயல்பாடு z. (18) ஐ (16) ஆக மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கிறது. கடைசி சமத்துவம் no z ஐ வேறுபடுத்தி, உறவை (15) கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், எங்கிருந்து ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்