Druhy logaritmických nerovností. Manovova práca „Logaritmické nerovnosti na skúške“. Riešenie logaritmických nerovností

Ciele lekcie:

Didaktika:

• Úroveň 1 - naučiť sa riešiť najjednoduchšie logaritmické nerovnosti pomocou definície logaritmu, vlastností logaritmov;
• Úroveň 2 - vyriešte logaritmické nerovnosti zvolením metódy riešenia sami;
• Úroveň 3 - vedieť aplikovať znalosti a zručnosti v neštandardných situáciách.

Vývoj: rozvíjať pamäť, pozornosť, logické myslenie, porovnávacie schopnosti, byť schopný zovšeobecňovať a vyvodzovať závery

Vzdelávacie: vychovať presnosť, zodpovednosť za vykonanú úlohu, vzájomnú pomoc.

Vyučovacie metódy: verbálne , obrazový , praktické , čiastočné vyhľadávanie , samospráva , ovládanie.

Formy organizácie kognitívnej činnosti študentov: čelný , individuálne , pracovať v pároch.

Vybavenie: sada testovacích položiek, poznámky na pozadí, prázdne listy pre riešenia.

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment. Oznámi sa téma a ciele hodiny, schéma hodiny: každému študentovi je odovzdaný hodnotiaci list, ktorý študent vyplní počas hodiny; pre každú dvojicu študentov - tlačené materiály so zadaniami, musia byť úlohy vyplnené vo dvojiciach; prázdne listy pre roztoky; podporné listy: definícia logaritmu; graf logaritmickej funkcie, jej vlastnosti; vlastnosti logaritmov; algoritmus na riešenie logaritmických nerovností.

Všetky rozhodnutia po sebahodnotení sú predložené učiteľovi.

List študentskej triedy

2. Aktualizácia znalostí.

Inštrukcie učiteľa. Nezabudnite na definíciu logaritmu, graf logaritmickej funkcie a jeho vlastnosti. Za týmto účelom si prečítajte text na stranách 88–90, 98–101 učebnice „Algebra a začiatky analýzy 10–11“, ktorú vydali Sh.A Alimov, Yu.M. Kolyagin a ďalší.

Žiaci dostanú listy, na ktorých je napísané: definícia logaritmu; ukazuje graf logaritmickej funkcie, jej vlastnosti; vlastnosti logaritmov; algoritmus na riešenie logaritmických nerovností, príklad riešenia logaritmickej nerovnosti, ktorá sa zníži na druhú.

3. Učenie sa nového materiálu.

Riešenie logaritmických nerovností je založené na monotónnosti logaritmickej funkcie.

Algoritmus na riešenie logaritmických nerovností:

A) Nájdite doménu nerovnosti (sublogaritmický výraz je väčší ako nula).
B) Prezentujte (ak je to možné) ľavú a pravú stranu nerovnosti vo forme logaritmov na rovnakom základe.
C) Určte, či logaritmická funkcia rastie alebo klesá: ak t> 1, potom sa zvyšuje; ak 0 1, potom klesá.
D) Prejdite na jednoduchšiu nerovnosť (sublogaritmické výrazy), pričom vezmite do úvahy, že znak nerovnosti zostane, ak sa funkcia zvýši, a zmení sa, ak sa zníži.

Učebný prvok č. 1.

Účel: opraviť riešenie najjednoduchších logaritmických nerovností

Forma organizácie kognitívnej činnosti žiakov: samostatná práca.

Samostudium 10 minút. Pre každú nerovnosť existuje niekoľko možností odpovedí, musíte vybrať správnu a skontrolovať pomocou kľúča.

KĽÚČ: 13321, maximálny počet bodov - 6 bodov.

Učebný prvok č. 2.

Účel: konsolidovať riešenie logaritmických nerovností použitím vlastností logaritmov.

Inštrukcie učiteľa. Nezabudnite na základné vlastnosti logaritmov. Za týmto účelom si prečítajte text učebnice na stranách 92, 103–104.

Samostudium 10 minút.

KĽÚČ: 2113, maximálny počet bodov - 8 bodov.

Učebný prvok č. 3.

Účel: študovať riešenie logaritmických nerovností metódou redukcie na štvorec.

Inštrukcie učiteľa: metóda znižovania nerovnosti na štvorec je taká, že je potrebné nerovnosť transformovať do takej podoby, aby bola nejaká logaritmická funkcia označená novou premennou, čím sa získa štvorcová nerovnosť vzhľadom na túto premennú.

Aplikujme metódu intervalov.

Prešli ste prvou úrovňou asimilácie materiálu. Teraz budete musieť nezávisle zvoliť metódu riešenia logaritmických rovníc s využitím všetkých svojich znalostí a schopností.

Učebný prvok č. 4.

Účel: konsolidovať riešenie logaritmických nerovností výberom racionálneho spôsobu samostatného riešenia.

Samostudium 10 minút

Učebný prvok č. 5.

Inštrukcie učiteľa. Dobre! Ovládate riešenie rovníc druhého stupňa náročnosti. Cieľom vašej ďalšej práce je uplatniť svoje znalosti a schopnosti v zložitejších a neštandardných situáciách.

Svojpomocné úlohy:

Inštrukcie učiteľa. Je skvelé, ak ste sa s celou úlohou vyrovnali. Dobre!

Známka za celú lekciu závisí od počtu bodov získaných za všetky vzdelávacie prvky:

• ak N ≥ 20, potom dostanete známku „5“,
• pri 16 ≤ N ≤ 19 - hodnotenie „4“,
• pri 8 ≤ N ≤ 15 - stupeň „3“,
• v N.< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Odošlite hodnotiace líšky učiteľovi.

5. Domáca úloha: ak ste skórovali najviac 15 p - dokončite prácu na chybách (riešenia môže získať učiteľ), ak ste získali viac ako 15 p - splňte kreatívnu úlohu na tému „Logaritmické nerovnosti“.

Pri riešení logaritmických nerovností používame vlastnosť monotónnosti logaritmickej funkcie. Používame tiež definíciu logaritmu a základné logaritmické vzorce.

Zopakujme si, čo sú logaritmy:

Logaritmus kladné základné číslo je indikátorom toho, do akej miery musíte zvýšiť, aby ste sa dostali.

Kde

Základná logaritmická identita:

Základné vzorce pre logaritmy:

(Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov)

(Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov)

(Vzorec pre logaritmus moci)

Vzorec na prechod na nový základ:

Algoritmus na riešenie logaritmických nerovností

Môžeme povedať, že logaritmické nerovnosti sú riešené podľa určitého algoritmu. Musíme zapísať rozsah prijateľných hodnôt (ADV) nerovnosti. Znížte nerovnosť na tvar Tu môže byť znak ľubovoľný: Je dôležité, aby vľavo a vpravo v nerovnosti boli logaritmy na rovnakom základe.

A potom „zahodíme“ logaritmy! Navyše, ak je základom stupeň, znak nerovnosti zostane rovnaký. Ak je základ taký, že znak nerovnosti je obrátený.

Logaritmy, samozrejme, nielen „zahodíme“. Používame vlastnosť monotónnosti logaritmickej funkcie. Ak je základ logaritmu väčší ako jeden, logaritmická funkcia sa monotónne zvýši a potom väčšia hodnota x zodpovedá väčšej hodnote výrazu.

Ak je báza väčšia ako nula a menšia ako jedna, logaritmická funkcia monotónne klesá. Väčšia hodnota argumentu x bude zodpovedať menšej hodnote

Dôležitá poznámka: riešenie je najlepšie napísať ako reťazec ekvivalentných prechodov.

Prejdeme k cvičeniu. Ako vždy, začnime s najjednoduchšími nerovnosťami.

1. Zvážte denník nerovnosti 3 x> log 3 5.
Pretože logaritmy sú definované iba pre kladné čísla, x musí byť kladné. Podmienka x> 0 sa nazýva rozsah prípustných hodnôt (ADV) tejto nerovnosti. Len pre také x má nerovnosť zmysel.

Toto znenie znie temperamentne a ľahko si ho zapamätáte. Ale prečo to vlastne dokážeme?

Sme ľudia, máme inteligenciu. Naša myseľ je navrhnutá tak, že všetko, čo je logické, zrozumiteľné a má vnútornú štruktúru, sa pamätá a aplikuje oveľa lepšie ako náhodné a nesúvisiace skutočnosti. Preto je dôležité, aby ste si pravidlá mechanicky nepamätali, ako vycvičený matematický pes, ale konali vedome.

Prečo teda „upúšťame od logaritmov“?

Odpoveď je jednoduchá: ak je báza väčšia ako jedna (ako v našom prípade), logaritmická funkcia sa monotónne zvyšuje, čo znamená, že väčšia hodnota x zodpovedá väčšej hodnote y a z logu nerovnosti 3 x 1> z logu 3 x 2 vyplýva, že x 1> x 2.


Upozorňujeme, že sme prešli na algebraickú nerovnosť a znamienko nerovnosti zostáva rovnaké.

Takže x> 5.

Nasledujúca logaritmická nerovnosť je tiež jednoduchá.

2.log 5 (15 + 3x)> log 5 2x

Začnime rozsahom platných hodnôt. Logaritmy sú definované iba pre kladné čísla, takže

Po vyriešení tohto systému dostaneme: x> 0.

Teraz prejdeme z logaritmickej nerovnosti na algebraickú - logaritmy „odhodíme“. Pretože základ logaritmu je väčší ako jeden, znak nerovnosti je zachovaný.

15 + 3x> 2x.

Dostaneme: x> −15.

Odpoveď: x> 0.

Čo sa stane, ak je základ logaritmu menší ako jeden? Je ľahké uhádnuť, že v tomto prípade sa pri prechode na algebraickú nerovnosť zmení znak nerovnosti.

Uveďme príklad.

Zapíšeme si ODZ. Výrazy, z ktorých sú logaritmy prevzaté, musia byť kladné, tj.

Po vyriešení tohto systému dostaneme: x> 4,5.

Pretože logaritmická funkcia so zásadou monotónne klesá. To znamená, že väčšia hodnota funkcie zodpovedá menšej hodnote argumentu:


A keď, tak
2x - 9 ≤ x.

Dostaneme x ≤ 9.

Vzhľadom na to, že x> 4,5, napíšeme odpoveď:

V nasledujúcom probléme sa exponenciálna nerovnosť zníži na druhú. Odporúčame preto zopakovať tému „štvorcové nerovnosti“.

Teraz ku komplexnejším nerovnostiam:

4. Vyriešte nerovnosť

5. Vyriešte nerovnosť

Ak potom. Mali sme šťastie! Vieme, že základ logaritmu je väčší ako jeden pre všetky hodnoty x zahrnuté v ODV.

Urobme náhradu

Všimnite si toho, že najskôr úplne vyriešime nerovnosť vzhľadom na novú premennú t. A až potom sa vrátime k premennej x. Pamätajte si to a pri skúške nerobte chyby!

Zapamätajme si pravidlo: ak rovnica alebo nerovnosť obsahuje korene, zlomky alebo logaritmy, riešenie musí začať z rozsahu prípustných hodnôt. Pretože základ logaritmu musí byť kladný a nie rovný jednej, dostaneme systém podmienok:

Zjednodušme tento systém:

Toto je rozsah platných hodnôt pre nerovnosť.

Vidíme, že premenná je obsiahnutá v základni logaritmu. Prejdeme k trvalej základni. Pripomeňme si to

V tomto prípade je vhodné ísť na základňu 4.

Urobme náhradu

Zjednodušime nerovnosť a vyriešime ju metódou intervalov:

Vráťme sa k premennej X:

Doplnili sme podmienku X> 0 (od ODZ).

7. Ďalší problém je vyriešený aj metódou intervalov

Ako vždy, logaritmickú nerovnosť začneme riešiť z rozsahu prípustných hodnôt. V tomto prípade

Táto podmienka musí byť splnená a my sa k nej vrátime. Zoberme si zatiaľ samotnú nerovnosť. Napíšte ľavú stranu ako logaritmický základ 3:

Pravú stranu je možné zapísať aj ako logaritmus základu 3 a potom prejsť na algebraickú nerovnosť:

Vidíme, že podmienka (tj. ODZ) je teraz splnená automaticky. Vďaka tomu je riešenie nerovnosti jednoduchšie.

Nerovnosť riešime intervalovou metódou:

Odpoveď:

Stalo? Zvyšujeme úroveň obtiažnosti:

8. Vyriešte nerovnosť:

Nerovnosť je ekvivalentná systému:

9. Vyriešte nerovnosť:

Výraz 5 - X 2 sa rušivo opakuje vo vyhlásení o probléme. To znamená, že môžete vykonať výmenu:

Pretože exponenciálna funkcia má iba kladné hodnoty, t> 0. Potom

Nerovnosť bude mať tvar:

Teraz lepšie. Nájdeme rozsah prípustných hodnôt nerovnosti. To sme už povedali t> 0. Okrem toho ( t- 3) (5 9 t − 1) > 0

Ak je táto podmienka splnená, kvocient bude tiež pozitívny.

A výraz pod logaritmom na pravej strane nerovnosti musí byť kladný, to znamená (625 t − 2) 2 .

To znamená, že 625 t- 2 ≠ 0, to znamená

ODZ starostlivo zapíšeme

a výsledný systém vyriešiť metódou intervalov.

Takže,

Polovica bitky je hotová - vysporiadali sme sa s ODZ. Riešenie samotnej nerovnosti. Súčet logaritmov na ľavej strane je reprezentovaný ako logaritmus produktu.

Logaritmické nerovnosti

V predchádzajúcich lekciách sme sa stretli s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo to je a ako ich vyriešiť. Dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnosti?

Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú pod znamienkom logaritmu alebo na jeho základe.

Alebo môžeme tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, bude pod znamienkom logaritmu.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti sú nasledujúce:

kde f (x) a g (x) sú niektoré výrazy, ktoré závisia od x.

Pozrime sa na to na príklade: f (x) = 1 + 2x + x2, g (x) = 3x - 1.

Riešenie logaritmických nerovností

Pred riešením logaritmických nerovností stojí za zmienku, že pri ich riešení majú podobnosti s exponenciálnymi nerovnosťami, konkrétne:

Po prvé, pri prechode z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;

Za druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme nerovnosť o zmene riešiť, kým nezískame najjednoduchšiu nerovnosť.

Ale boli sme to my, ktorí sme zvažovali podobné aspekty riešenia logaritmických nerovností. A teraz si dajme pozor na dosť podstatný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú definičnú oblasť, a preto od logaritmov k výrazom pod znamienkom logaritmu je potrebné vziať do úvahy rozsah prípustných hodnôt (ADV).

To znamená, že je potrebné mať na pamäti, že pri riešení logaritmickej rovnice vy a ja najskôr nájdeme korene rovnice a potom skontrolujeme toto riešenie. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať, pretože od logaritmov k výrazom pod znamienkom logaritmu bude potrebné napísať ODZ nerovnosti.

Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, ktoré sú kladné a záporné čísla, a tiež z čísla 0.

Ak je napríklad číslo „a“ kladné, potom je potrebné použiť nasledujúci zápis: a> 0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel tiež kladný.

Hlavnou zásadou riešenia nerovnosti je jej nahradenie jednoduchšou nerovnosťou, ale hlavnou vecou je, že je ekvivalentná danej nerovnosti. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili jednou, ktorá má jednoduchšiu formu atď.

Na riešenie nerovností pomocou premennej musíte nájsť všetky jej riešenia. Ak dve nerovnice majú jednu premennú x, potom sú tieto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že sa ich riešenia zhodujú.

Pri úlohách na riešenie logaritmických nerovností je potrebné mať na pamäti, že keď a> 1, potom sa logaritmická funkcia zvýši a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Spôsoby riešenia logaritmických nerovností

Teraz sa pozrime na niektoré spôsoby, ktoré sa vyskytujú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime porozumieť na konkrétnych príkladoch.

Ty a ja vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúcu formu:

V tejto nerovnosti je V - jedným z takých znakov nerovnosti, ako sú:<,>, ≤ alebo ≥.

Keď je základ tohto logaritmu väčší ako jeden (a> 1), čím dôjde k prechodu z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu, potom v tejto verzii zostane znak nerovnosti zachovaný a nerovnosť bude vyzerať takto:

čo je ekvivalentné tomuto systému:

V prípade, že je základ logaritmu väčší ako nula a menší ako jedna (0

Toto je ekvivalentné tomuto systému:

Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností zobrazené na obrázku nižšie:

Príklady riešenia

Cvičenie. Pokúsme sa vyriešiť túto nerovnosť:

Riešenie rozsahu platných hodnôt.

Teraz sa pokúsime vynásobiť jeho pravú stranu:

Pozrime sa, čo dostaneme:

Teraz sa s vami presunieme k transformácii sublogaritmických výrazov. Vzhľadom na to, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8> 16;
3x> 24;
x> 8.

A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali, je úplne a úplne vo vlastníctve GDZ a je riešením takejto nerovnosti.

Tu je naša odpoveď:

Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?

Skúsme teraz analyzovať, čo potrebujeme na úspešné riešenie logaritmických nerovností?

Najprv zamerajte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú dané touto nerovnosťou. Malo by sa tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné zabrániť rozšíreniu a zmenšeniu nerovnosti ODZ, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení.

Za druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť logicky myslieť a porozumieť rozdielu medzi pojmami, ako je systém nerovností a súbor nerovností, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovností a pritom sa riadiť ich ODV.

Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárnych funkcií a jasne porozumieť ich významu. Tieto funkcie zahŕňajú nielen logaritmické, ale aj racionálne, silové, trigonometrické atď., Jedným slovom všetky tie, ktoré ste študovali počas školského štúdia algebry.

Ako vidíte, po štúdiu témy logaritmických nerovností nie je nič ťažké vyriešiť tieto nerovnosti za predpokladu, že budete pozorní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli problémom pri riešení nerovností, musíte čo najviac trénovať, riešiť rôzne úlohy a zároveň si zapamätať hlavné spôsoby riešenia takýchto nerovností a ich systémy. V prípade neúspešných riešení logaritmických nerovností by ste mali svoje chyby starostlivo analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti už nevrátili.

Domáca úloha

Pre lepšie pochopenie témy a konsolidáciu odovzdaného materiálu vyriešte nasledujúce nerovnosti:

Pri štúdiu logaritmickej funkcie sme zvažovali hlavne nerovnosti tvaru
log a x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Vyriešte nerovnosť lg (x + 1) ≤ 2 (1).

Riešenie.

1) Pravá strana uvažovanej nerovnosti má zmysel pre všetky hodnoty a ľavá strana-pre x + 1> 0, t.j. pre x> -1.

2) Interval x> -1 sa nazýva doména definície nerovnosti (1). Logaritmická funkcia so základom 10 sa zvyšuje, preto za podmienky x + 1> 0 je nerovnosť (1) splnená, ak x + 1 ≤ 100 (pretože 2 = lg 100). Teda nerovnosť (1) a sústava nerovností

(x> -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

sú ekvivalentné, inými slovami, súbor riešení nerovnosti (1) a systém nerovností (2) je rovnaký.

3) Riešiaci systém (2), nájdeme -1< х ≤ 99.

Odpoveď. -1< х ≤ 99.

Vyriešte log nerovnosti 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).

Riešenie.

1) Doménou uvažovanej logaritmickej funkcie je množina kladných hodnôt argumentu; preto ľavá strana nerovnosti má zmysel pre x - 3> 0 a x - 2> 0.

V dôsledku toho je doménou tejto nerovnosti interval x> 3.

2) Podľa vlastností logaritmu je nerovnosť (3) pre x> 3 ekvivalentná logu nerovnosti 2 (x - 3) (x - 2) ≤ log 2 (4).

3) Logaritmická funkcia so základňou 2 sa zvyšuje. Preto pre x> 3 je nerovnosť (4) splnená, ak (x - 3) (x - 2) ≤ 2.

4) Pôvodná nerovnosť (3) je teda ekvivalentná systému nerovností

((x - 3) (x - 2) ≤ 2,
(x> 3.

Riešením prvej nerovnosti tohto systému získame x 2 - 5x + 4 ≤ 0, odkiaľ 1 ≤ x ≤ 4. Skombinovaním tohto segmentu s intervalom x> 3 získame 3< х ≤ 4.

Odpoveď. 3< х ≤ 4.

Vyriešte protokol nerovnosti 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)

Riešenie.

1) Oblasť definície nerovnosti sa nachádza z podmienky x 2 + 2x - 8> 0.

2) Nerovnosť (5) možno zapísať ako:

log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.

3) Pretože logaritmická funkcia so zásadou ½ klesá, potom pre všetky x z celej oblasti nerovnosti dostaneme:

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

Pôvodná rovnosť (5) je teda ekvivalentná systému nerovností

(x 2 + 2x - 8> 0, alebo (x 2 + 2x - 8> 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

Riešením prvej štvorcovej nerovnosti získame x< -4, х >2. Riešením druhej štvorcovej nerovnosti získame -6 ≤ x ≤ 4. Preto sú obe nerovnosti systému splnené súčasne pre -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.

Odpoveď. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.