Čo je rovnobežnosten a ako ho nájsť. Rovnobežník, kocka. Podrobná teória s príkladmi. Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

V tejto lekcii budeme definovať krabicu, rozoberieme jej štruktúru a jej prvky (uhlopriečky krabice, strany krabice a ich vlastnosti). A tiež zvážte vlastnosti plôch a uhlopriečok rovnobežníka. Ďalej budeme riešiť typický problém pre konštrukciu rezu v rovnobežnostene.

Téma: Rovnobežnosť priamok a rovín

Lekcia: Rovnobežník. Vlastnosti plôch a uhlopriečok krabice

V tejto lekcii uvedieme definíciu kvádra, rozoberieme jeho štruktúru, vlastnosti a jeho prvky (strany, uhlopriečky).

Rovnobežník je vytvorený pomocou dvoch rovnakých rovnobežníkov ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1, ktoré sú v rovnobežných rovinách. Označenie: ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 alebo AD 1 (obr. 1.).

2. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ()

1. Geometria. 10.-11. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a doplnené - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.

Úlohy 10, 11, 12 strana 50

2. Zostrojte rez pravouhlého rovnobežnostena ABCDА1B1C1D1 rovina prechádzajúca bodmi

a) A, C, B1

b) B1, D1 a stredom rebra AA1.

3. Hrana kocky sa rovná a. Zostrojte rez kocky s rovinou prechádzajúcou stredmi troch hrán vychádzajúcich z toho istého vrcholu a vypočítajte jej obvod a plochu.

4. Aké obrazce možno získať ako výsledok priesečníka rovnobežnostena s rovinou?

Rovnobežník je štvorhranný hranol, ktorého základňami sú rovnobežníky. Výška rovnobežnostena je vzdialenosť medzi rovinami jeho základov. Na obrázku je výška znázornená ako čiara . Existujú dva typy rovnobežnostenov: rovné a šikmé. Spravidla učiteľ matematiky najskôr poskytne príslušné definície hranola a potom ich prenesie do krabice. Urobíme to isté.

Pripomínam, že hranol sa nazýva rovný, ak jeho bočné hrany sú kolmé na podstavy, ak kolmosť nie je, hranol sa nazýva šikmý. Túto terminológiu zdedí aj rovnobežnosten. Pravý rovnobežnosten nie je nič iné ako druh rovného hranola, ktorého bočná hrana sa zhoduje s výškou. Definície takých pojmov, ako je plocha, hrana a vrchol, ktoré sú spoločné pre celú rodinu mnohostenov, sú zachované. Objavuje sa koncept protiľahlých tvárí. Rovnobežník má 3 páry protiľahlých plôch, 8 vrcholov a 12 hrán.

Uhlopriečka rovnobežnostena (uhlopriečka hranola) je segment, ktorý spája dva vrcholy mnohostenu a neleží v žiadnej z jeho plôch.

Uhlopriečka je časť kvádra prechádzajúca cez jeho uhlopriečku a uhlopriečku jeho základne.

Vlastnosti šikmého boxu:
1) Všetky jeho strany sú rovnobežníky a protiľahlé strany sú rovnaké rovnobežníky.
2)Uhlopriečky rovnobežnostena sa v jednom bode pretínajú a v tomto bode pretínajú.
3)Každý rovnobežnosten pozostáva zo šiestich trojuholníkových pyramíd rovnakého objemu. Aby ich ukázal študentovi, učiteľ matematiky musí odrezať polovicu rovnobežníka s jeho uhlopriečkou a rozdeliť ho oddelene na 3 pyramídy. Ich základne musia ležať na rôznych stranách pôvodnej krabice. Túto vlastnosť nájde učiteľ matematiky v analytickej geometrii uplatnenie. Používa sa na odvodenie objemu pyramídy prostredníctvom zmiešaného súčinu vektorov.

Vzorce pre objem kvádra:
1) , kde je plocha základne, h je výška.
2) Objem kvádra sa rovná súčinu plochy prierezu bočnej hrany.
učiteľ matematiky: Ako viete, vzorec je spoločný pre všetky hranoly a ak to už školiteľ dokázal, nemá zmysel opakovať to isté pre rovnobežnosten. Pri práci so žiakom na priemernej úrovni (slabý vzorec nie je užitočný) je však vhodné, aby učiteľ postupoval presne naopak. Nechajte hranol na pokoji a vykonajte presný dôkaz pre rovnobežnosten.
3) , kde je objem jednej zo šiestich trojuholníkových pyramíd, ktoré tvoria rovnobežnosten.
4) Ak , tak

Plocha bočného povrchu rovnobežnostena je súčtom plôch všetkých jeho plôch:
Celková plocha kvádra je súčtom plôch všetkých jeho plôch, to znamená plocha + dve základné plochy:.

O práci tútora so šikmým rovnobežnostenom:
Lektor matematiky sa často nezaoberá problémami na naklonenom rovnobežnostene. Pravdepodobnosť ich výskytu na skúške je dosť malá a didaktika je neslušne chudobná. Viac-menej slušný problém na objeme nakloneného rovnobežnostena spôsobuje vážne problémy spojené s určením polohy bodu H - základne jeho výšky. V tomto prípade môže učiteľ matematiky odporučiť, aby orezal krabicu na jednu z jej šiestich pyramíd (o ktorých sa hovorí vo vlastnosti #3), pokúsil sa nájsť jej objem a vynásobiť ho 6.

Ak má bočná hrana rovnobežnostena rovnaké uhly so stranami podstavy, potom H leží na osnici uhla A podstavy ABCD. A ak je napríklad ABCD kosoštvorec, potom

Úlohy učiteľa matematiky:
1) Tváre rovnobežnostenu sú rovnaké časti so stranou 2 cm a ostrým uhlom. Nájdite objem rovnobežnostena.
2) V naklonenom rovnobežnostene je bočná hrana 5 cm. K nemu kolmý rez je štvoruholník so vzájomne kolmými uhlopriečkami s dĺžkami 6 cm a 8 cm Vypočítajte objem rovnobežnostena.
3) V šikmom rovnobežnostene je známe, že , a v definícii ABCD je kosoštvorec so stranou 2 cm a uhlom . Určte objem rovnobežnostena.

Lektor matematiky, Alexander Kolpakov

V tejto lekcii si každý bude môcť preštudovať tému „Obdĺžnikový box“. Na začiatku hodiny si zopakujeme, čo sú ľubovoľné a rovné rovnobežnosteny, pripomenieme si vlastnosti ich protiľahlých plôch a uhlopriečok rovnobežnostena. Potom zvážime, čo je kváder a prediskutujeme jeho hlavné vlastnosti.

Téma: Kolmosť priamok a rovín

Lekcia: Kocka

Plocha zložená z dvoch rovnakých rovnobežníkov ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 a štyroch rovnobežníkov ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sa nazýva rovnobežnosten(obr. 1).

Ryža. 1 rovnobežník

To znamená: máme dva rovnaké rovnobežníky ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 (základne), ležia v rovnobežných rovinách tak, že bočné hrany AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sú rovnobežné. Tak sa nazýva plocha zložená z rovnobežníkov rovnobežnosten.

Povrch rovnobežnostena je teda súčtom všetkých rovnobežníkov, ktoré tvoria rovnobežnosten.

1. Protiľahlé strany rovnobežnostena sú rovnobežné a rovnaké.

(čísla sú rovnaké, to znamená, že ich možno kombinovať prekrytím)

Napríklad:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (rovnaké rovnobežníky podľa definície),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (keďže AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C sú opačné strany rovnobežnostena),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (pretože AA 1 D 1 D a BB 1 C 1 C sú opačné strany rovnobežnostena).

2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a pretínajú tento bod.

Uhlopriečky rovnobežnostena AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sa pretínajú v jednom bode O, pričom každá diagonála je týmto bodom rozdelená na polovicu (obr. 2).

Ryža. 2 Uhlopriečky rovnobežnostena pretínajú a pretínajú priesečník.

3. K dispozícii sú tri štvorce rovnakých a rovnobežných hrán rovnobežnostena: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definícia. Rovnobežník sa nazýva rovný, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne.

Bočná hrana AA 1 nech je kolmá na základňu (obr. 3). To znamená, že priamka AA 1 je kolmá na priamky AD a AB, ktoré ležia v rovine podstavy. A preto obdĺžniky ležia na bočných plochách. A základňami sú ľubovoľné rovnobežníky. Označme ∠BAD = φ, uhol φ môže byť ľubovoľný.

Ryža. 3 Pravý box

Pravá krabica je teda krabica, v ktorej sú bočné okraje kolmé na základne krabice.

Definícia. Rovnobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základňu. Základy sú obdĺžniky.

Rovnobežník АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 je pravouhlý (obr. 4), ak:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočná hrana je kolmá na rovinu základne, teda rovný rovnobežnosten).

2. ∠BAD = 90°, t.j. základňa je obdĺžnik.

Ryža. 4 Kváder

Obdĺžnikový box má všetky vlastnosti ľubovoľného boxu. Existujú však ďalšie vlastnosti, ktoré sú odvodené z definície kvádra.

takže, kváder je rovnobežnosten, ktorého bočné okraje sú kolmé na základňu. Základom kvádra je obdĺžnik.

1. V kvádri je všetkých šesť plôch obdĺžniky.

ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 sú podľa definície obdĺžniky.

2. Bočné rebrá sú kolmé na základňu. To znamená, že všetky bočné strany kvádra sú obdĺžniky.

3. Všetky dihedrálne uhly kvádra sú pravé.

Uvažujme napríklad uhol vzpriamenia pravouhlého rovnobežnostena s hranou AB, t. j. uhol vzpriamenia medzi rovinami ABB 1 a ABC.

AB je hrana, bod A 1 leží v jednej rovine - v rovine ABB 1 a bod D v druhej - v rovine A 1 B 1 C 1 D 1. Potom možno uvažovaný dihedrálny uhol označiť aj takto: ∠А 1 АВD.

Vezmite bod A na hrane AB. AA 1 je kolmá na hranu AB v rovine ABB-1, AD je kolmá na hranu AB v rovine ABC. ∠A 1 AD je teda lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. ∠A 1 AD \u003d 90 °, čo znamená, že uhol klinu na okraji AB je 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobne je dokázané, že akékoľvek uhly klinu pravouhlého rovnobežnostena sú správne.

Druhá mocnina uhlopriečky kvádra sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov.

Poznámka. Dĺžky troch hrán vychádzajúcich z rovnakého vrcholu kvádra sú rozmermi kvádra. Niekedy sa nazývajú dĺžka, šírka, výška.

Dané: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravouhlý rovnobežnosten (obr. 5).

Dokázať: .

Ryža. 5 Kváder

dôkaz:

Priamka CC1 je kolmá na rovinu ABC, a teda na priamku AC. Takže trojuholník CC 1 A je pravouhlý trojuholník. Podľa Pytagorovej vety:

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC. Podľa Pytagorovej vety:

Ale BC a AD sú opačné strany obdĺžnika. Takže BC = nl. potom:

Pretože , a , potom. Keďže CC 1 = AA 1, potom to, čo bolo potrebné dokázať.

Uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú rovnaké.

Označme rozmery kvádra ABC ako a, b, c (pozri obr. 6), potom AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Rovnobežník je hranol, ktorého základňami sú rovnobežníky. V tomto prípade budú všetky okraje rovnobežníky.
Každý hranol možno považovať za hranol tromi rôznymi spôsobmi, pretože každé dve protiľahlé strany možno považovať za základne (na obr. 5 sú plochy ABCD a A "B" C "D" alebo ABA "B" a CDC "D" alebo BC "C" a ADA "D").
Uvažované teleso má dvanásť hrán, štyri rovnaké a navzájom rovnobežné.
Veta 3 . Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a zhodujú sa so stredom každého z nich.
Rovnobežník ABCDA"B"C"D" (obr. 5) má štyri uhlopriečky AC", BD", CA", DB". Musíme dokázať, že stredy ľubovoľných dvoch z nich, napríklad AC a BD, sa zhodujú. Vyplýva to zo skutočnosti, že obrazec ABC "D", ktorý má rovnaké a rovnobežné strany AB a C "D", je rovnobežník. .
Definícia 7 . Pravý rovnobežnosten je rovnobežnosten, ktorý je tiež rovný hranol, teda rovnobežnosten, ktorého bočné hrany sú kolmé na základnú rovinu.
Definícia 8 . Obdĺžnikový rovnobežnosten je pravý rovnobežnosten, ktorého základňa je obdĺžnik. V tomto prípade budú všetky jeho tváre obdĺžniky.
Obdĺžnikový hranol je pravý hranol, bez ohľadu na to, ktorú z jeho plôch považujeme za základňu, pretože každá z jeho hrán je kolmá na hrany vychádzajúce z rovnakého vrcholu s ním, a preto bude kolmá na roviny plôch. definované týmito okrajmi. Na rozdiel od toho, priamu, ale nie pravouhlú krabicu možno považovať za pravý hranol iba jedným spôsobom.
Definícia 9 . Dĺžky troch hrán kvádra, z ktorých žiadne dve nie sú navzájom rovnobežné (napríklad tri hrany vychádzajú z toho istého vrcholu), sa nazývajú jeho rozmery. Dva pravouhlé rovnobežnosteny so zodpovedajúcimi rovnakými rozmermi sú si zjavne rovné.
Definícia 10 Kocka je pravouhlý hranol, ktorého všetky tri rozmery sú si navzájom rovné, takže všetky jeho strany sú štvorce. Dve kocky, ktorých hrany sú rovnaké, sú rovnaké.
Definícia 11 . Naklonený rovnobežnosten, v ktorom sú všetky hrany rovnaké a uhly všetkých plôch sú rovnaké alebo sa dopĺňajú, sa nazýva kosoštvorec.
Všetky plochy kosoštvorcového kríža sú rovnaké kosoštvorce. (Tvar kosoštvorca má niektoré veľmi dôležité kryštály, napríklad kryštály islandského nosníka.) V kosodĺžniku možno nájsť taký vrchol (a dokonca dva protiľahlé vrcholy), že všetky uhly susediace s ním sú si navzájom rovné. .
Veta 4 . Uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú si navzájom rovné. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov troch rozmerov.
V pravouhlom rovnobežnostene ABCDA "B" C "D" (obr. 6) sú uhlopriečky AC "a BD" rovnaké, pretože štvoruholník ABC "D" je obdĺžnik (priamka AB je kolmá na rovinu BC "C" , v ktorej leží BC“) .
Navyše AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 na základe štvorcovej vety prepony. Ale na základe tej istej vety AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; máme teda:
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.

V geometrii sú kľúčovými pojmami rovina, bod, čiara a uhol. Pomocou týchto výrazov možno opísať akýkoľvek geometrický útvar. Mnohosteny sa zvyčajne opisujú z hľadiska jednoduchších tvarov, ktoré ležia v rovnakej rovine, ako je kruh, trojuholník, štvorec, obdĺžnik atď. V tomto článku zvážime, čo je rovnobežnosten, popíšeme typy rovnobežnostenov, jeho vlastnosti, z akých prvkov pozostáva a tiež uvedieme základné vzorce na výpočet plochy a objemu pre každý typ rovnobežnostenu.

Definícia

Rovnobežník v trojrozmernom priestore je hranol, ktorého všetky strany sú rovnobežníky. V súlade s tým môže mať iba tri páry rovnobežníkov alebo šesť plôch.

Na vizualizáciu krabice si predstavte obyčajnú štandardnú tehlu. Tehla je dobrým príkladom kvádra, ktorý si vie predstaviť aj dieťa. Ďalšími príkladmi sú viacposchodové montované domy, skrine, vhodne tvarované nádoby na skladovanie potravín atď.

Odrody postavy

Existujú iba dva typy rovnobežnostenov:

1. Obdĺžnikový, ktorého všetky bočné strany zvierajú so základňou uhol 90° a sú obdĺžnikové.
2. Šikmé, ktorých bočné plochy sú umiestnené v určitom uhle k základni.

Na aké prvky možno tento údaj rozdeliť?

• Rovnako ako v každom inom geometrickom obrazci, v rovnobežnostene sa akékoľvek 2 plochy so spoločnou hranou nazývajú susedné a tie, ktoré ju nemajú, sa nazývajú paralelné (na základe vlastnosti rovnobežníka, ktorý má párovo rovnobežné protiľahlé strany).
• Vrcholy rovnobežnostena, ktoré neležia na rovnakej ploche, sa nazývajú opačné vrcholy.
• Segment spájajúci takéto vrcholy je uhlopriečka.
• Dĺžky troch hrán kvádra, ktoré sa spájajú v jednom vrchole, sú jeho rozmery (konkrétne jeho dĺžka, šírka a výška).

Vlastnosti tvaru

1. Stavia sa vždy symetricky vzhľadom na stred uhlopriečky.
2. Priesečník všetkých uhlopriečok rozdeľuje každú uhlopriečku na dva rovnaké segmenty.
3. Protiľahlé steny majú rovnakú dĺžku a ležia na rovnobežných líniách.
4. Ak spočítate štvorce všetkých rozmerov krabice, výsledná hodnota sa bude rovnať druhej mocnine dĺžky uhlopriečky.

Výpočtové vzorce

Vzorce pre každý konkrétny prípad rovnobežnostena budú odlišné.

Pre ľubovoľný rovnobežnosten platí tvrdenie, že jeho objem sa rovná absolútnej hodnote trojitého skalárneho súčinu vektorov troch strán vychádzajúcich z jedného vrcholu. Neexistuje však žiadny vzorec na výpočet objemu ľubovoľného rovnobežnostena.

Pre pravouhlý rovnobežnosten platia tieto vzorce:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp = 2* (a*b+b*c+a*c).

• V je objem obrázku;
• Sb - plocha bočného povrchu;
• Sp - celková plocha povrchu;
• a - dĺžka;
• b - šírka;
• c - výška.

Ďalším špeciálnym prípadom kvádra, ktorého všetky strany sú štvorce, je kocka. Ak je ktorákoľvek zo strán štvorca označená písmenom a, potom pre povrchovú plochu a objem tohto obrázku možno použiť nasledujúce vzorce:

• S = 6*a*2;
• V = 3*a.

• S je plocha obrázku,
• V je objem postavy,
• a - dĺžka tváre postavy.

Posledný druh rovnobežnostena, ktorý uvažujeme, je rovný rovnobežnosten. Aký je rozdiel medzi kvádrom a kvádrom, pýtate sa. Faktom je, že základňa pravouhlého rovnobežnostena môže byť akýkoľvek rovnobežník a základňa priamky môže byť iba obdĺžnik. Ak označíme obvod základne rovný súčtu dĺžok všetkých strán ako Po a výšku označíme ako h, máme právo použiť nasledujúce vzorce na výpočet objemu a plôch plného a bočného povrchy.