विषय 1 बीजीय अंशों अंकगणितीय संचालन। भिन्नों को जोड़ने और घटाने के लिए समस्याएँ। बीजगणितीय अंशों की परिभाषा और उदाहरण
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ट्विटरयह पाठ एक बीजगणितीय अंश की अवधारणा का परिचय देता है। मनुष्य सबसे सरल में भिन्नता को पूरा करता है जीवन स्थितियों: जब किसी वस्तु को कई भागों में विभाजित करना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, दस लोगों में समान रूप से एक केक काटें। जाहिर है, सभी को केक का एक टुकड़ा मिलेगा। इस मामले में, हम एक संख्यात्मक अंश की अवधारणा के साथ सामना कर रहे हैं, लेकिन एक स्थिति संभव है जब किसी वस्तु को अज्ञात संख्या में भागों में विभाजित किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक्स द्वारा। इस मामले में, एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति की अवधारणा उत्पन्न होती है। आप 7 वीं कक्षा में पूर्णांक अभिव्यक्तियों (चर के साथ भावों के साथ विभाजन नहीं) और उनके गुणों के साथ पहले ही मिल चुके हैं। अगला, हम एक तर्कसंगत अंश की अवधारणा पर विचार करेंगे, साथ ही चर के स्वीकार्य मूल्यों पर भी विचार करेंगे।
विषय:बीजीय अंश... बीजीय अंशों पर अंकगणित संचालन
पाठ:मूल अवधारणा
1. बीजगणितीय अंशों की परिभाषा और उदाहरण
तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को विभाजित किया गया है पूरे और भिन्नात्मक भाव.
परिभाषा। परिमेय अंश - फार्म की आंशिक अभिव्यक्ति, जहां बहुपद हैं। - अंश भाजक।
इसके उदाहरण तर्कसंगत अभिव्यक्ति:
- भिन्नात्मक भाव; - पूरे भाव। पहली अभिव्यक्ति में, उदाहरण के लिए, यह अंश और हर के रूप में कार्य करता है।
मान बीजगणितीय अंशकिसी को भी बीजगणतीय अभिव्यक्ति, इसमें शामिल उन चर के संख्यात्मक मूल्य पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, पहले उदाहरण में, अंश का मान चर के मूल्यों पर और दूसरे में केवल चर के मूल्य पर निर्भर करता है।
2. एक बीजीय अंश के मूल्य की गणना और अंश पर दो बुनियादी समस्याएं
पहली विशिष्ट समस्या पर विचार करें: मूल्य की गणना करना तर्कसंगत अंश पर विभिन्न अर्थ इसमें शामिल चर।
उदाहरण 1. a, b), c) पर अंश के मान की गणना कीजिए।
फेसला। संकेतित अंश में चर के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें: ए), बी), सी) - मौजूद नहीं है (क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं)।
उत्तर: 3; एक; मौजूद नहीं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी भी अंश के लिए दो विशिष्ट कार्य उत्पन्न होते हैं: 1) अंश की गणना, 2) खोज मान्य और अमान्य मान वर्णमाला संबंधी चर।
परिभाषा। मान्य चर मान - चर के मूल्य, जिसके लिए अभिव्यक्ति समझ में आती है। चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के सेट को कहा जाता है ODZ या डोमेन.
3. अनुमेय (ODZ) और चर में अमान्य चर एक चर के साथ
इन मानों के लिए भिन्न का मान शून्य होने पर शाब्दिक चर का मान अमान्य हो सकता है। अन्य सभी मामलों में, चर के मान मान्य हैं, क्योंकि अंश की गणना की जा सकती है।
उदाहरण 2. यह निर्धारित करें कि अंश के किन मानों का कोई मतलब नहीं है।
फेसला। इस अभिव्यक्ति को समझने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि अंश का भाजक शून्य के बराबर नहीं है। इस प्रकार, चर के केवल वे मान जिनके लिए भाजक शून्य के बराबर है अमान्य होंगे। अंश का हर, इसलिए चलो रैखिक समीकरण को हल करें:
इसलिए, जब चर का मान होता है, तो अंश का कोई मतलब नहीं होता है।
उदाहरण का हल चर के अवैध मूल्यों को खोजने के लिए नियम का अर्थ है - अंश का भाजक शून्य के बराबर है और संबंधित समीकरण की जड़ें पाई जाती हैं।
आइए कुछ ऐसे ही उदाहरणों को देखें।
उदाहरण 3. यह निर्धारित करें कि भिन्न का क्या मान भिन्न नहीं है।
फेसला। ...
उदाहरण 4. यह निर्धारित करें कि भिन्न का क्या मान भिन्न नहीं है।
फेसला..
इस समस्या के अन्य सूत्र हैं - खोजने के लिए डोमेन या एक अभिव्यक्ति के मान्य मूल्यों की सीमा (ODZ)... इसका मतलब है - सभी मान्य चर मान ढूंढें। हमारे उदाहरण में, ये सभी मानों को छोड़कर हैं। संख्या अक्ष पर परिभाषा के क्षेत्र को प्लॉट करना सुविधाजनक है।
ऐसा करने के लिए, हम उस पर एक बिंदु बाहर निकालेंगे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:
इस प्रकार, भिन्न का डोमेन 3 को छोड़कर सभी संख्याएँ होंगी।
उदाहरण 5. यह निर्धारित करें कि भिन्न का क्या मान भिन्न नहीं है।
फेसला..
आइए संख्या अक्ष पर परिणामी हल निकालें:
4. अंशों में अनुमेय (ओडीवी) के क्षेत्र का ग्राफिक प्रतिनिधित्व और चर के अमान्य मूल्य
उदाहरण 6. यह निर्धारित करें कि भिन्न का मान किन अंशों से नहीं है।
समाधान .. हमें दो चर की समानता मिली, हम संख्यात्मक उदाहरण देते हैं: या, आदि।
इस समाधान को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में प्लॉट करें:
चित्र: 3. फंक्शन ग्राफ।
इस ग्राफ के किसी भी बिंदु के निर्देशांक अंश के स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी में शामिल नहीं हैं।
5. "शून्य से विभाजन" मामला
विचार किए गए उदाहरणों में, हम एक ऐसी स्थिति में आए जहां शून्य से विभाजन हुआ। अब उस मामले पर विचार करें जहां अधिक दिलचस्प प्रकार की विभाजन स्थिति उत्पन्न होती है।
उदाहरण 7. यह निर्धारित करें कि भिन्न के किन मानों का कोई अंतर नहीं है।
फेसला..
यह पता चला है कि अंश के लिए कोई मतलब नहीं है। लेकिन कोई यह तर्क दे सकता है कि यह मामला नहीं है, क्योंकि: 
.
ऐसा लग सकता है कि यदि अंतिम अभिव्यक्ति 8 के बराबर है, तो मूल की गणना भी की जा सकती है, और इसलिए, यह समझ में आता है। हालांकि, अगर हम इसे मूल अभिव्यक्ति में स्थानापन्न करते हैं, तो हमें मिलता है - इसका कोई मतलब नहीं है।
इस उदाहरण को और अधिक विस्तार से समझने के लिए, आइए निम्न समस्या को हल करें: शून्य के बराबर निर्दिष्ट अंश किन मूल्यों पर होता है?
(अंश शून्य है जब इसका अंश शून्य है) 
... लेकिन मूल समीकरण को एक अंश के साथ हल करना आवश्यक है, और इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि चर के इस मूल्य पर, भाजक शून्य है। अत: इस समीकरण की केवल एक जड़ है।
6. डीएलडी खोजने का नियम
इस प्रकार, हम अंश के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजने के लिए एक सटीक नियम बना सकते हैं: खोजने के लिए ODZअंश यह आवश्यक है और इसके हर को शून्य के बराबर करने और परिणामी समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए पर्याप्त है।
हमने दो मुख्य कार्य कवर किए हैं: एक अंश के मूल्य की गणना चरों के निर्दिष्ट मानों के लिए और भिन्न के स्वीकार्य मानों की सीमा ज्ञात करना.
आइए अब हम कुछ और समस्याओं पर विचार करते हैं जो भिन्नों के साथ काम करते समय उत्पन्न हो सकती हैं।
7. विभिन्न उद्देश्य और निष्कर्ष
उदाहरण 8. साबित करें कि चर के किसी भी मान के लिए अंश।
साक्ष्य। अंश एक सकारात्मक संख्या है। ... नतीजतन, अंश और भाजक दोनों सकारात्मक संख्याएं हैं, इसलिए, अंश भी एक सकारात्मक संख्या है।
सिद्ध किया हुआ।
उदाहरण 9. यह ज्ञात है कि, खोजें।
फेसला। अंश अवधि को शब्द से विभाजित करें। हमें इस अंश के लिए चर के अस्वीकार्य मूल्य को ध्यान में रखते हुए कम करने का अधिकार है।
इस पाठ में, हमने अंशों से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं को कवर किया। अगले पाठ में हम देखेंगे एक अंश की मूल संपत्ति.
संदर्भ की सूची
1. बश्माकोव एम। आई। बीजगणित ग्रेड 8। - एम ।: शिक्षा, 2004।
2. डोरोफीव जी। वी।, सुवेरोवा एस। बी।, बनीमोविच ई। ए। एट अल। अलजेब्रा 8. - 5 वां संस्करण। - एम ।: शिक्षा, 2010।
3. निकोल्स्की एस। एम।, पोटापोव एम। ए।, रेशेतनिकोव एन.एन., शेविकिन ए। वी। बीजगणित ग्रेड 8। के लिए ट्यूटोरियल शिक्षण संस्थान... - एम ।: शिक्षा, 2006।
1. शैक्षणिक विचारों का त्योहार।
2. पुराना स्कूल।
3. इंटरनेट पोर्टल lib2.podelise। आरयू।
होम वर्क
1. नं। 4, 7, 9, 12, 13, 14. डोरोफीव जीवी, सुवरोवा एस.बी., बनीमोविच ईए अल अलजेब्रा 8. - 5 वां संस्करण। - एम ।: शिक्षा, 2010।
2. एक तर्कसंगत अंश लिखिए, जिसका डोमेन है: ए) एक सेट, बी) एक सेट, सी) संपूर्ण संख्या अक्ष।
3. साबित करें कि चर के सभी स्वीकार्य मानों के लिए अंश का मान गैर-ऋणात्मक है।
4. अभिव्यक्ति का दायरा ज्ञात कीजिए। संकेत: अलग से दो मामलों पर विचार करें: जब निम्न अंश का हर शून्य होता है और जब मूल भिन्न का हर होता है।
गणित का खंड। लाइन के माध्यम से।
संख्या और गणना
अभिव्यक्ति और परिवर्तन
बीजगणितीय अंश।
भिन्नों को कम करना।
बीजीय अंशों के साथ क्रिया।
| कार्यक्रम | ^ घंटे की संख्या | नियंत्रण निशान | |
| U-1। संयुक्त पाठ "मूल अवधारणा" | 1 | मौखिक गिनती के लिए कार्य। अभ्यास 1 "न्यूमेरिक एक्सप्रेशंस" |
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| यू -2। पाठ-व्याख्यान "एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति। अंशों का न्यूनीकरण" | 1 | डेमो सामग्री "एक बीजीय अंश की मूल संपत्ति" |
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| यू -3। सबक-सीखा का समेकन | 1 | मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य १.१ “एक अंश की मुख्य संपत्ति। अंशों को कम करना " | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम २ "बीजीय अंशों में कमी" |
| यू -4। संयुक्त पाठ "समान भाजक के साथ अंशों का जोड़ और घटाव" | 1 | |
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| U- 5 पाठ-समाधान कार्य | 1 | सीडी गणित 5-11 व्यायाम "तर्कसंगत संख्या"। |
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| U-6। संयुक्त सबक "अंशों का जोड़ और घटाव विभिन्न भाजक " | 1 | डेमो "बीजीय अंशों का जोड़ और घटाव" |
|
| U-7। पाठ - समस्या हल करना | 1 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 3 "बीजीय अंशों का जोड़ और घटाव" |
| U- 8 पाठ - स्वतंत्र कार्य | 1 | स्वतंत्र काम 1.2 "बीजीय अंशों का जोड़ और घटाव" | |
| U- 9 पाठ - समस्या हल करना | 1 | ||
| यू -10। पाठ - परीक्षा | 1 | परीक्षा №1 | |
| U- 11 संयुक्त पाठ "बीजीय अंशों का गुणन और विभाजन। एक शक्ति के लिए बीजीय अंशों को उठाना" | 1 | ||
| U- 12 पाठ - समस्या हल करना | 2 | स्वतंत्र काम 1.3 "गुणन और अंशों का विभाजन" | |
| U- 13 संयुक्त पाठ "तर्कसंगत अभिव्यक्ति बदलें" | 1 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 4 "बीजीय अंशों का गुणन और विभाजन" |
| U- 14। पाठ - समस्या हल करना | 1 | ||
| U- 15 पाठ - स्वतंत्र कार्य | 1 | स्वतंत्र कार्य १.४ "ट्रांसफॉर्मिंग रेशनल एक्सप्रेशंस" | |
| U- 16 पाठ-कार्यशाला "तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के बारे में पहले विचार" | 1 | सीडी गणित 5-11 आभासी प्रयोगशाला "फंक्शन ग्राफ"। |
|
| U- 17 पाठ - समस्या हल करना | 1 | परीक्षण 1 "बीजीय अंश" | |
| U- 18 पाठ - परीक्षण कार्य। | 1 | परीक्षण कार्य क्रमांक २ |
बीजीय अंशों को कम करने में सक्षम हो।
बीजीय अंशों के साथ बुनियादी संचालन करने में सक्षम हो।
बीजीय अंशों के साथ क्रियाओं के लिए संयुक्त अभ्यास करने में सक्षम हो।
विषय 2. द्विघात क्रिया। समारोह ... (18 घंटे)
समारोह
गणित के शैक्षिक क्षेत्र की अनिवार्य न्यूनतम सामग्री
कार्यक्रम। इसके कार्यान्वयन की निगरानी करना
| कार्यक्रम | की संख्या घंटे पर | नियंत्रण निशान | कंप्यूटर सॉफ्टवेयर पाठ |
| U-1। संयुक्त पाठ "समारोह , इसके गुण और अनुसूची " | 1 | |
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| | 1 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। नियंत्रण 5 "फ़ंक्शन" प्रदर्शन सामग्री “परबोला। विज्ञान और प्रौद्योगिकी में आवेदन " |
| यू -3। समस्या हल करने का पाठ | 1 | स्वतंत्र कार्य २.१ "समारोह y \u003d kx 2
» | |
| यू -4। पाठ-व्याख्यान "कार्य और इसका कार्यक्रम" | 1 | डेमो सामग्री "फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़" |
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| ^ U- 5 समस्या हल करने का पाठ | 3 | मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य २.२ "समारोह" | मौखिक गिनती के लिए कार्य। Ex.6 "व्युत्क्रम आनुपातिकता" |
| U-6.7। सबक-कार्यशालाएं "किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाएं » | 2 | व्यावहारिक कार्य | |
| U- 8.9 सबक-कार्यशालाएं "किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाएं यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ ज्ञात है » | 2 | सीडी "गणित 5-11 ग्रेड।" आभासी प्रयोगशाला "कार्यों के रेखांकन" |
|
| ^ यू -10। पाठ - परीक्षा | 1 | परीक्षा कार्य क्रमांक ३ | |
| U-11 सबक-कार्यशाला "कैसे एक समारोह का एक ग्राफ बनाने के लिए यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ ज्ञात है » | 1 | सीडी "गणित 5-11 ग्रेड।" आभासी प्रयोगशाला "कार्यों के रेखांकन" |
|
| U-12 सबक-कार्यशाला "एक फ़ंक्शन के ग्राफ का निर्माण कैसे करें यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ ज्ञात है » | 1 | स्वतंत्र काम 2.3 "फ़ंक्शन रेखांकन" | सीडी "गणित 5-11 ग्रेड।" आभासी प्रयोगशाला "कार्यों के रेखांकन" |
| U- 13 संयुक्त पाठ "समारोह , इसके गुण और अनुसूची " | 1 | डेमो सामग्री "द्विघात गुण गुण" |
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| U- 14। जो सीखा गया है उसका पाठ-समेकन। | 1 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 7 "द्विघात कार्य" |
| U- 15 समस्या हल करने का पाठ | 1 | मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य २.४ "एक द्विघात फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ" | मौखिक गिनती के लिए कार्य। 8 व्यायाम "एक द्विघात समारोह के गुण" |
| U- 16 पाठ का परीक्षण | 1 | परीक्षण २ "द्विघात फंक्शन" | |
| ^ U- 17 व्यावहारिक सबक "द्विघात समीकरणों का ग्राफिक समाधान" | 1 | प्रदर्शन सामग्री "द्विघात समीकरणों का आलेखीय समाधान" |
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| U- 18 पाठ - परीक्षा | 1 | परीक्षा कार्य क्रमांक ४ |
गणितीय प्रशिक्षण के लिए आवश्यकताएँ
छात्र के अनिवार्य प्रशिक्षण का स्तर
छात्र के संभावित प्रशिक्षण का स्तर
विषय 3 समारोह ... वर्गमूल गुण (11 घंटे)
गणित का खंड। लाइन के माध्यम से
संख्या और गणना
अभिव्यक्ति और परिवर्तन
कार्य
किसी संख्या का वर्गमूल। अंकगणित वर्गमूल।
An एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा। संख्या की तर्कहीनता।
गुण वर्गमूल और गणना में उनके आवेदन।
समारोह।
कार्यक्रम। इसके कार्यान्वयन की निगरानी करना
| कार्यक्रम | घंटों की संख्या | नियंत्रण निशान | पाठ का कंप्यूटर समर्थन |
| ^ U-1। पाठ-व्याख्यान "एक गैर-नकारात्मक संख्या के वर्गमूल की अवधारणा" | 1 | डेमो सामग्री "एक वर्गमूल की अवधारणा" |
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| यू -2। पाठ - समस्या हल करना | 1 | स्वतंत्र काम 3.1 "अंकगणित वर्गमूल" | |
| यू -3। संयुक्त पाठ "समारोह , इसके गुण और अनुसूची " | 1 | डेमो सामग्री "फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़" |
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| ^ यू -4। पाठ - समस्या हल करना | 1 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 9 "अंकगणित वर्गमूल" |
| ^ U- 5 संयुक्त पाठ "वर्गमूल के गुण" | 1 | डेमो "अंकगणित वर्गमूल गुण लागू" |
|
| ^ U-6 पाठ - समस्या हल करना | 1 | मौखिक गिनती स्वतंत्र काम 3.2 "अंकगणितीय वर्गमूल के गुण" | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 10 "एक उत्पाद का वर्गमूल और एक अंश" |
| ^ U- 7.8। व्यावहारिक सबक "एक वर्गमूल संचालन वाले भावों को परिवर्तित करना।" | 2 | व्यावहारिक कार्य | |
| ^ U- 9 पाठ - समस्या हल करना | 1 | मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य 3.3 "अंकगणित वर्गमूल गुण लागू" | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 11 "एक शक्ति का वर्गमूल" |
| यू -10। पाठ - समस्या हल करना | 1 | परीक्षण ३ "वर्गमूल" | |
| U- 11 पाठ - परीक्षण कार्य। | 1 | परीक्षा कार्य क्रमांक ५ |
^ गणितीय प्रशिक्षण के लिए आवश्यकताएँ
छात्र के अनिवार्य प्रशिक्षण का स्तर
। सरल मामलों में मूल अर्थ खोजें।
And किसी फ़ंक्शन की परिभाषा और गुण को जानें , उसके कार्यक्रम का निर्माण करने में सक्षम हो।
मूल्यों की गणना करने के लिए अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों को लागू करने में सक्षम हैं और वर्गमूल युक्त संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के सबसे सरल रूपांतरण हैं।
छात्र के संभावित प्रशिक्षण का स्तर
Met अंकगणितीय वर्गमूल की अवधारणा को जानें।
Able भावों को बदलते समय अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों को लागू करने में सक्षम हो।
Able व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय एक फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करने में सक्षम हो।
तर्कहीन और वास्तविक संख्याओं की समझ हो।
^ विषय 4 द्विघात समीकरण (21 घंटे)
गणित का खंड। लाइन के माध्यम से
In समीकरण और असमानताएँ
गणित के शैक्षिक क्षेत्र की अनिवार्य न्यूनतम सामग्री
• द्विघात समीकरण: द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र।
तर्कसंगत समीकरणों को हल करना।
Ving द्विघात और भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का उपयोग करते हुए शब्द समस्याओं को हल करना।
कार्यक्रम। इसके कार्यान्वयन की निगरानी करना
| कार्यक्रम | घंटों की संख्या | नियंत्रण निशान | कंप्यूटर सॉफ्टवेयर पाठ |
| ^ U-1। नई सामग्री "बुनियादी अवधारणाओं" का पाठ-अध्ययन। | 1 | डेमो सामग्री "द्विघात समीकरण" |
|
| यू -2। सबक-सीखा का समेकन। | 1 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 12 "द्विघात समीकरण और उसकी जड़ें" |
| यू -3। संयुक्त पाठ "एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र।" | 1 | स्वतंत्र कार्य 4.1 "द्विघात समीकरण और उसकी जड़ें" | |
| U- 4.5। समस्या हल करने का पाठ | 2 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 11 "द्विघात समीकरणों को हल करना" |
| U-6। पाठ - स्वतंत्र कार्य | 1 | स्वतंत्र काम 4.2 "सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना" | |
| U-7। संयुक्त पाठ "तर्कसंगत समीकरण" | 1 | व्यावहारिक कार्य | |
| U- 8.9 समस्या हल करने का पाठ | 2 | स्वतंत्र काम 4.3 "तर्कसंगत समीकरण" | |
| U- 10.11। व्यावहारिक सबक "वास्तविक स्थितियों के गणितीय मॉडल के रूप में तर्कसंगत समीकरण।" | 2 | ||
| U- 12 समस्या हल करने का पाठ | 1 | ||
| U- 13 पाठ - स्वतंत्र कार्य | 1 | स्वतंत्र कार्य 4.4 "द्विघात समीकरणों का उपयोग करते हुए समस्याओं का समाधान" | |
| U- 14। संयुक्त पाठ "एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए एक और सूत्र।" | 1 | ||
| U- 15 पाठ - समस्या हल करना | 1 | ||
| U- 16 संयुक्त पाठ "वीटा का प्रमेय"। | 1 | डेमो सामग्री "वीटा की प्रमेय" |
|
| U- 17 पाठ - समस्या हल करना | 1 | मौखिक गिनती | मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 14 "वीटा का प्रमेय" |
| U- 18 संयुक्त पाठ "इर तर्कसंगत समीकरण» | 1 | ||
| U- 19 पाठ - समस्या हल करना | 1 | ||
| U- 20 समस्या हल करने का पाठ | 1 | परीक्षण ४ "द्विघातीय समीकरण" | सीडी गणित 5-11। आभासी प्रयोगशाला "समीकरणों और असमानताओं के रेखांकन" |
| U- 21 पाठ - परीक्षण कार्य। | 1 | परीक्षा कार्य क्रमांक ६ |
^ गणित प्रशिक्षण के लिए आवश्यकताएँ
छात्र के अनिवार्य प्रशिक्षण का स्तर
Solve हल करने में सक्षम हो द्विघातीय समीकरण, सरल तर्कसंगत और तर्कहीन समीकरण।
Equ समीकरणों का उपयोग करके सरल शब्द समस्याओं को हल करने में सक्षम हो।
छात्र के संभावित प्रशिक्षण का स्तर
यह समझ लें कि गणित, ज्ञान के संबंधित क्षेत्रों, अभ्यास से विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए समीकरण एक गणितीय उपकरण हैं।
द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम होने के लिए, तर्कसंगत और अपरिमेय समीकरण जो द्विघात को कम करते हैं।
समस्याओं को हल करते समय द्विघात समीकरणों और तर्कसंगत समीकरणों को लागू करने में सक्षम हों।
इस पाठ में, हम बीजगणितीय अंशों के साथ सबसे सरल परिचालनों पर विचार करना जारी रखेंगे - उनका जोड़ और घटाव। आज हम उन उदाहरणों की जांच करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे जिनमें समाधान का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा हर तरह से हर तरीके का कारक होगा जो हम जानते हैं: एक सामान्य कारक को हटाने के साथ, समूहीकरण विधि, एक पूर्ण वर्ग का चयन, संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना। पाठ के दौरान अंशों पर कई कठिन समस्याओं पर विचार किया जाएगा।
विषय:बीजीय अंश। बीजीय अंशों पर अंकगणित संचालन
पाठ:जोड़ और घटाव समस्याओं
पाठ में, हम भिन्न के सभी मामलों और जोड़ और घटाव को सामान्यीकृत करेंगे: समान और अलग-अलग हर के साथ। में सामान्य दृष्टि से हम फार्म की समस्याओं को हल करेंगे:
हम पहले ही देख चुके हैं कि बीजीय अंशों के जोड़ या घटाव में, सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक हर का कारक है। साधारण भिन्नों के लिए एक समान प्रक्रिया की जाती है। आइए हम फिर से याद करें कि किस तरह से काम करना आवश्यक है साधारण अंश.
उदाहरण 1।गणना करें।
फेसला।हम पहले की तरह, अंकगणित के मुख्य प्रमेय का उपयोग करेंगे, जिसे किसी भी संख्या को मुख्य कारकों में विघटित किया जा सकता है: 
.
चलो हर भाजक के कम से कम सामान्य गुणकों को निर्धारित करते हैं: - यह अंशों का सामान्य भाजक होगा, और, इसके आधार पर, हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारकों का निर्धारण करेंगे: पहले अंश के लिए 
, दूसरे अंश के लिए 
, तीसरे अंश के लिए।
उत्तर।.
इस उदाहरण में, हमने अंकगणित के मूल प्रमेय से लेकर कारक संख्याओं तक का उपयोग किया। इसके अलावा, जब बहुपद भाजक की भूमिका निभाते हैं, तो उन्हें हमें ज्ञात निम्न विधियों द्वारा कारक बनाना होगा: एक सामान्य कारक को हटाना, समूहीकरण विधि, एक पूर्ण वर्ग का आवंटन, संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग।
उदाहरण 2। अंश जोड़ना और घटाना .
फेसला।सभी तीनों भिन्नों के भाजक हैं जटिल भाव, जिसे फैक्टराइज्ड किया जाना चाहिए, फिर उनके लिए सबसे कम सामान्य भाजक खोजें और प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारकों को इंगित करें। आइए इन सभी चरणों को अलग-अलग करें, और फिर परिणामों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें।
पहले भाजक में, हम सामान्य कारक को बाहर निकालते हैं: - सामान्य कारक को बाहर निकालने के बाद, आप देख सकते हैं कि राशि के वर्ग के सूत्र के अनुसार कोष्ठक में अभिव्यक्ति को मोड़ दिया गया है।
दूसरे भाजक में, हम सामान्य कारक को निकालते हैं: - सामान्य कारक को बाहर निकालने के बाद, हम वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू करते हैं।
तीसरे हर में, हम सामान्य कारक को बाहर निकालते हैं:।
तीसरे भाजक को फैक्टर करने के बाद, आप देख सकते हैं कि दूसरे भाजक में, आप भिन्नों के कम से कम सामान्य भाजक के लिए अधिक सुविधाजनक खोज के लिए एक कारक का चयन कर सकते हैं, हम इसे कोष्ठक के बाहर माइनस लगाकर करेंगे, दूसरे कोष्ठक में संकेतन के अधिक सुविधाजनक रूप के लिए शर्तों के स्थानों को बदल दिया।
आइए भिन्नों के निम्नतम सामान्य हर को एक व्यंजक के रूप में परिभाषित करें जो एक ही समय में सभी भाजक द्वारा विभाजित है, यह समान होगा:।
हम अतिरिक्त कारकों को इंगित करते हैं: पहले अंश के लिए 
, दूसरे अंश के लिए 
- हर में निकाले गए माइनस पर ध्यान नहीं दिया जाता है, क्योंकि हम इसे तीसरे अंश के लिए नीचे पूरे अंश पर लिखेंगे। 
.
अब दूसरे अंश से पहले संकेत बदलने की भूल न करते हुए भिन्नों के साथ क्रिया करें:
समाधान के अंतिम चरण में, हमने समान शब्द दिए और उन्हें चर की शक्तियों के घटते क्रम में लिख दिया।
उत्तर।.
उपरोक्त उदाहरण का उपयोग करते हुए, हमने एक बार फिर, पिछले पाठों की तरह, अंशों को जोड़ने / घटाने के लिए एक एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन किया, जो इस प्रकार है: कारक, भिन्न के हरक, सबसे कम सामान्य हर का पता लगाएं, अतिरिक्त कारक, जोड़ / घटाव प्रक्रिया और , यदि संभव हो तो, अभिव्यक्ति को सरल करें और काटें। हम भविष्य में इस एल्गोरिथ्म का उपयोग करेंगे। आइए अब सरल उदाहरण देखें।
उदाहरण 3।अंशों को घटाएं 
.
फेसला। इस उदाहरण में, पहले अंश को कम करने की संभावना को दूसरे अंश के साथ एक सामान्य हर में लाने से पहले इसे देखना महत्वपूर्ण है। ऐसा करने के लिए, पहले अंश के अंश और हर का कारक होता है।
न्यूमेरियर: - पहली क्रिया में, वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके अभिव्यक्ति के हिस्से का विस्तार किया गया था, और दूसरे में, सामान्य कारक को बाहर निकाल दिया गया था।
इनकार: - पहली क्रिया में, अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके अभिव्यक्ति का हिस्सा विस्तारित किया गया था, और दूसरे में, सामान्य कारक को बाहर निकाल दिया गया था। मूल अभिव्यक्ति में परिणामी अंश और हर को प्रतिस्थापित करें और एक सामान्य कारक द्वारा पहला अंश रद्द करें:
उत्तर:.
उदाहरण 4।कर्म करें 
.
फेसला।इस उदाहरण में, पिछले एक की तरह, क्रियाओं को करने से पहले अंश की कमी को नोटिस करना और लागू करना महत्वपूर्ण है। चलो अंश और हर का कारक है।
विषय:
पाठ: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना
1. तर्कसंगत अभिव्यक्ति और इसके सरलीकरण की विधि
आइए हम पहले तर्कसंगत अभिव्यक्ति की परिभाषा को याद करते हैं।
परिभाषा। तर्कसंगत अभिव्यक्ति - बीजगणतीय अभिव्यक्ति, जिसमें जड़ें नहीं होती हैं और केवल जोड़, घटाव, गुणा और भाग (एक शक्ति को बढ़ाने) के संचालन शामिल होते हैं।
"एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें" की अवधारणा से हमारा मतलब है, सबसे पहले, इसका सरलीकरण। और यह हमें ज्ञात कार्यों के क्रम में किया जाता है: पहले कोष्ठक में क्रियाएँ, फिर संख्याओं का उत्पाद(घातांक), संख्याओं का विभाजन, और फिर जोड़ / घटाव क्रियाएं।
2. अंशों के योग / अंतर के साथ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का सरलीकरण
आज के पाठ का मुख्य लक्ष्य तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में अनुभव प्राप्त करना होगा।
उदाहरण 1।
फेसला। पहले यह लग सकता है कि संकेतित अंशों को रद्द किया जा सकता है, क्योंकि अंशों के अंशों में अभिव्यक्तियाँ उनके संबंधित हर के पूर्ण वर्ग के सूत्र के समान होती हैं। इस मामले में, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि जल्दी न करें, लेकिन अलग से जांचें कि क्या ऐसा है।
आइए पहले अंश के अंश की जाँच करें:। अब अंश दूसरा है:।
जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी उम्मीदें पूरी नहीं हुईं, और अंकधारियों में भाव पूर्ण वर्ग नहीं हैं, क्योंकि उनके पास उत्पाद का दोहरीकरण नहीं है। ऐसे भाव, यदि हम 7 वीं कक्षा के पाठ्यक्रम को याद करते हैं, तो अपूर्ण वर्ग कहलाते हैं। आपको ऐसे मामलों में बहुत सावधानी बरतनी चाहिए, क्योंकि अपूर्ण के साथ एक पूर्ण वर्ग के लिए सूत्र को मिलाना एक बहुत ही सामान्य गलती है, और इस तरह के उदाहरण छात्र की चौकसी का परीक्षण करते हैं।
चूंकि रद्दीकरण संभव नहीं है, हम अंशों को जोड़ देंगे। हर में सामान्य कारक नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें सबसे कम सामान्य भाजक प्राप्त करने के लिए गुणा किया जाता है, और प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक अन्य अंश का भाजक होता है।
बेशक, आगे आप कोष्ठक खोल सकते हैं और फिर समान शब्द दे सकते हैं, हालांकि, इस मामले में आप अंश में कम प्रयास और नोटिस के साथ प्राप्त कर सकते हैं पहला शब्द क्यूब्स के योग का सूत्र है, और दूसरा अंतर है क्यूब्स के। सुविधा के लिए, हम इन फॉर्मूलों को सामान्य रूप में याद करते हैं:
हमारे मामले में, अंश में भाव निम्नानुसार हैं:
, दूसरी अभिव्यक्ति समान है। हमारे पास है:
उत्तर।.
उदाहरण 2। तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
.
फेसला। यह उदाहरण पिछले एक के समान है, लेकिन यहां आप तुरंत देख सकते हैं कि अंशों के अंशों में अपूर्ण वर्ग हैं, इसलिए कमी आरंभिक चरण कोई समाधान संभव नहीं है। पिछले उदाहरण के समान, अंश जोड़ें:
यहां, ऊपर बताई गई विधि के समान, हमने क्यूब्स के योग और अंतर के लिए सूत्रों के अनुसार भावों को देखा और ढहा दिया।
उत्तर।.
उदाहरण 3। तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
फेसला। आप देख सकते हैं कि क्यूब्स के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके दूसरे अंश के हर को कारक है। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, भाजक को फैक्टर करना सबसे आम आम भाजक को खोजने के लिए उपयोगी है।
आइए भिन्नों के निम्नतम सामान्य भाजक को इंगित करें, यह बराबर है: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif "alt \u003d" (! LANG: http: //d3ntntcv38ck9k.cloudfront.net! / सामग्री / konspekt_image / 23332 /.png" width="624" height="70">.!}
उत्तर।
3. जटिल "बहु-स्तरीय" अंशों के साथ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का सरलीकरण
आइए "बहु-स्तरीय" अंशों के साथ एक और अधिक जटिल उदाहरण देखें।
उदाहरण 4। पहचान साबित करें" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}
सिद्ध किया हुआ।
अगले पाठ में, हम तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए अधिक जटिल उदाहरणों पर करीब से नज़र डालेंगे।
विषय: बीजीय अंश। बीजीय अंशों पर अंकगणित संचालन
पाठ: अधिक जटिल तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना
1. तर्कसंगत अभिव्यक्ति के परिवर्तनों का उपयोग करके एक पहचान साबित करने के लिए एक उदाहरण
इस पाठ में हम और अधिक जटिल तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलते हुए देखेंगे। पहला उदाहरण पहचान के प्रमाण के लिए समर्पित होगा।
उदाहरण 1
पहचान सिद्ध करें:।
साक्ष्य:
सबसे पहले, तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, कार्यों के क्रम को निर्धारित करना आवश्यक है। स्मरण करो कि कोष्ठक में क्रियाएँ पहले की जाती हैं, फिर गुणा और भाग, और फिर जोड़ और घटाव। इसलिए, इस उदाहरण में, क्रियाओं का क्रम इस प्रकार होगा: पहले, पहले कोष्ठक में क्रिया करें, फिर दूसरे कोष्ठक में, फिर प्राप्त परिणामों को विभाजित करें, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति में एक अंश जोड़ें। इन कार्यों के परिणामस्वरूप, साथ ही सरलीकरण भी, आपको एक अभिव्यक्ति मिलनी चाहिए।
| № पी / पी | सामग्री तत्वों | करने में सक्षम हो समस्याग्रस्त कार्यों और स्थितियों को हल करें | एस -9 |
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| 26 | एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक | प्राकृतिक प्रतिपादक, नकारात्मक प्रतिपादक, गुणन, विभाजन और प्रतिपादक | है एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री का प्रतिनिधित्व, एक नकारात्मक घातांक के साथ एक डिग्री, गुणन, विभाजन और संख्या की शक्ति को बढ़ाने के लिए करने में सक्षम हो: - नकारात्मक घातांक परिभाषा और डिग्री गुणों का उपयोग करते हुए अभिव्यक्ति को सरल बनाना; - एक वैज्ञानिक शैली का पाठ लिखें | एस -10 |
| 29 | परीक्षण संख्या 2 "तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन" | करने में सक्षम हो स्वतंत्र रूप से तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए एक तर्कसंगत तरीका चुनें, पहचान साबित करें, वास्तविक समीकरणों से उन्हें मुक्त करने के तरीके में तर्कसंगत समीकरणों को हल करें, एक वास्तविक स्थिति के गणितीय मॉडल का संकलन करें | के.आर. # २ |
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परीक्षण प्रश्न
एक अंश की मुख्य संपत्ति का निरूपण करें।
तैयार करना
एक बीजीय अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक खोजने के लिए एल्गोरिदम।
एक ही भाजक के साथ बीजीय अंशों के लिए जोड़ और घटाव नियम।
कई अंशों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए एल्गोरिथम
विभिन्न भाजक के साथ बीजीय अंशों के जोड़ (घटाव) का नियम।
बीजीय अंशों के लिए गुणन नियम
बीजीय अंशों के लिए विभाजन नियम।
एक बीजीय अंश को एक शक्ति में बढ़ाने के लिए नियम।
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