यहाँ तक कि m भी एक विषम फलन है। समारोह गुण। एक चरम के लिए एक समारोह की जांच करना
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ट्विटर यहाँ तक कीयदि परिभाषा के अपने क्षेत्र से सभी \ (x \) के लिए यह सत्य है: \ (f (-x) = f (x) \)।
एक सम फलन का ग्राफ \ (y \) अक्ष के सापेक्ष सममित होता है:
उदाहरण: फलन \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) सम है, क्योंकि \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).
\ (\ blacktriangleright \) \ (f (x) \) फ़ंक्शन को कहा जाता है अजीबयदि इसके डोमेन से सभी \ (x \) के लिए यह सत्य है: \ (f (-x) = - f (x) \)।
एक विषम फलन का ग्राफ मूल के सापेक्ष सममित होता है:
उदाहरण: फलन \ (f (x) = x ^ 3 + x \) विषम है क्योंकि \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).
\ (\ blacktriangleright \) ऐसे फलन जो न तो सम और न ही विषम होते हैं, फलन कहलाते हैं सामान्य दृष्टि से... इस तरह के एक फ़ंक्शन को हमेशा एक सम और एक विषम फ़ंक्शन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, फलन \ (f (x) = x ^ 2-x \) एक सम फलन \ (f_1 = x ^ 2 \) और एक विषम फलन \ (f_2 = -x \) का योग है।
\ (\ ब्लैकट्राएंगलराइट \) कुछ गुण:
1) समान समता वाले दो फलनों का गुणनफल और भागफल एक सम फलन होता है।
2) भिन्न समता वाले दो फलनों का गुणनफल और भागफल एक विषम फलन होता है।
3) सम फलनों का योग और अंतर एक सम फलन होता है।
4) विषम फलनों का योग और अंतर एक विषम फलन होता है।
5) यदि \ (f (x) \) एक सम फलन है, तो समीकरण \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) का एक अद्वितीय मूल होता है यदि और केवल यदि, कब \ (एक्स = 0 \)।
६) यदि \ (f (x) \) एक सम या विषम फलन है, और समीकरण \ (f (x) = 0 \) का एक मूल \ (x = b \) है, तो यह समीकरण अनिवार्य रूप से एक सेकंड होगा रूट \ (एक्स = -बी \)।
\ (\ blacktriangleright \) एक फ़ंक्शन \ (f (x) \) को \ (X \) पर आवधिक कहा जाता है यदि \ (f (x) = f (x + T) \), जहां \ (x, x + T) \ एक्स में \)। सबसे छोटा \ (T \) जिसके लिए यह समानता है, फ़ंक्शन की मुख्य (मुख्य) अवधि कहलाती है।
एक आवर्त फलन में \ (nT \) के रूप की कोई भी संख्या होती है, जहां \ (n \ in \ mathbb (Z) \) भी एक आवर्त होगा।
उदाहरण: कोई भी त्रिकोणमितीय फलन आवर्त होता है;
फलन \ (f (x) = \ sin x \) और \ (f (x) = \ cos x \) के लिए, मुख्य अवधि \ (2 \ pi \) है, फलनों के लिए \ (f (x) = \ mathrm (tg) \, x \) और \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) मूल अवधि \ (\ pi \) है।
किसी आवर्त फलन का आलेख तैयार करने के लिए, आप इसके आलेख को लंबाई के किसी भी खंड \ (T \) (मुख्य अवधि) पर आलेखित कर सकते हैं; तब पूरे फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्मित भाग को पूर्णांक संख्या से दाएं और बाएं स्थानांतरित करके पूरा किया जाता है:
\ (\ blacktriangleright \) फ़ंक्शन का डोमेन \ (D (f) \) \ (f (x) \) एक सेट है जिसमें \ (x \) तर्क के सभी मान शामिल हैं जिसके लिए फ़ंक्शन सार्थक है (परिभाषित)।
उदाहरण: फ़ंक्शन \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) का दायरा है: \ (x \ in .)
टास्क 1 # 6364
कार्य स्तर: परीक्षा के बराबर
पैरामीटर के किन मानों के लिए \ (a \) समीकरण
एकमात्र समाधान है?
ध्यान दें कि चूंकि \ (x ^ 2 \) और \ (\ cos x \) सम फलन हैं, तो यदि समीकरण का एक मूल \ (x_0 \) है, तो इसका एक मूल \ (- x_0 \) भी होगा।
वास्तव में, \ (x_0 \) को एक मूल होने दें, अर्थात् समानता \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \)अधिकार। स्थानापन्न \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).
इस प्रकार, यदि \ (x_0 \ ne 0 \), तो समीकरण में पहले से ही कम से कम दो मूल होंगे। इसलिए, \ (x_0 = 0 \)। फिर:
हमें \ (a \) पैरामीटर के लिए दो मान मिले हैं। ध्यान दें कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि \ (x = 0 \) वास्तव में मूल समीकरण का मूल है। लेकिन हमने कभी इस तथ्य का इस्तेमाल नहीं किया कि वह अकेला है। इसलिए, पैरामीटर \ (a \) के परिणामी मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और यह जांचना आवश्यक है कि कौन सा विशिष्ट \ (a \) रूट \ (x = 0 \) वास्तव में अद्वितीय होगा।
1) यदि \ (a = 0 \), तो समीकरण \ (2x ^ 2 = 0 \) का रूप लेता है। जाहिर है, इस समीकरण का केवल एक मूल \ (x = 0 \) है। इसलिए, मान \ (a = 0 \) हमें सूट करता है।
2) यदि \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), तो समीकरण रूप लेता है \ हम समीकरण को फिर से लिखते हैं \ चूंकि \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), फिर \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... इसलिए, समीकरण (*) के दाईं ओर के मान खंड के हैं \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).
चूंकि \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), समीकरण का बायां पक्ष (*) \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \) से बड़ा या बराबर है।
इस प्रकार, समानता (*) तभी धारण की जा सकती है जब समीकरण के दोनों पक्ष \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \) हों। इस का मतलब है कि \ [\ start (केस) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (केस) \ quad \ बायां तीर \ क्वाड \ प्रारंभ (केस) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ गणित (टीजी) \, 1 \ अंत (केस) \ क्वाड \ लेफ्टराइटएरो \ क्वाड एक्स = 0 \]इसलिए, मान \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) हमें सूट करता है।
उत्तर:
\ (a \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)
क्वेस्ट 2 # 3923
कार्य स्तर: परीक्षा के बराबर
पैरामीटर \ (a \) के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ \
उत्पत्ति के बारे में सममित।
यदि किसी फलन का ग्राफ मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित है, तो ऐसा फलन विषम है, अर्थात् \ (f (-x) = - f (x) \) के डोमेन से किसी भी \ (x \) के लिए धारण करता है समारोह। इस प्रकार, पैरामीटर के उन मानों को खोजना आवश्यक है जिनके लिए \ (f (-x) = - f (x)। \)
\ [\ start (गठबंधन) और 3 \ mathrm (tg) \, \ बाएँ (- \ dfrac (कुल्हाड़ी) 5 \ दाएँ) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ बाएँ (3 \ mathrm (tg) \, \ बाएँ (\ dfrac (कुल्हाड़ी) 5 \ दाएँ) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ दाएँ) \ quad \ दायां तीर \ क्वाड -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (कुल्हाड़ी) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ बाएँ (3 \ mathrm (tg) \, \ बाएँ (\ dfrac (कुल्हाड़ी) 5 \ दाएँ) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ rightarrow \\ \ rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) 4 = 0 \ क्वाड \ राइटएरो \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ लेफ्ट (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ लेफ्ट (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) = 0 \ quad \ rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ अंत (गठबंधन) \]
अंतिम समीकरण डोमेन \ (f (x) \) से सभी \ (x \) के लिए संतुष्ट होना चाहिए, इसलिए, \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ दायां तीर a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).
उत्तर:
\ (\ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)
क्वेस्ट 3 # 3069
कार्य स्तर: परीक्षा के बराबर
पैरामीटर \ (ए \) के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \ के 4 समाधान हैं, जहां \ (f \) एक अवधि के साथ एक सम आवर्त फलन है \ (T = \ dfrac (16) 3 \ ) पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित है, और \ (f (x) = ax ^ 2 \) के लिए \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)
(ग्राहकों से चुनौती)
चूँकि \ (f (x) \) एक सम फलन है, इसका ग्राफ कोटि अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए, \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (एफ (एक्स) = कुल्हाड़ी ^ 2 \)। इस प्रकार, के लिए \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \), और यह लंबाई \ (\ dfrac (16) 3 \), फ़ंक्शन \ (f (x) = ax ^ 2 \) का एक खंड है।
1) मान लीजिए \ (a> 0 \)। तब फ़ंक्शन का ग्राफ़ \ (f (x) \) इस तरह दिखेगा: 
फिर, समीकरण के 4 हल होने के लिए, यह आवश्यक है कि ग्राफ \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) बिंदु \ (A \) से होकर गुजरता है: 
अत, \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ लेफ्टराइटएरो \ क्वाड \ लेफ्ट [\ start (इकट्ठा) \ start (गठबंधन) और 9 (a + 2) = 32a \\ और 9 (ए +2) = - 32 ए \ अंत (गठबंधन) \ अंत (एकत्रित) \ दाएं। \ क्वाड \ लेफ्टराइटएरो \ क्वाड \ लेफ्ट [\ स्टार्ट (एकत्रित) \ स्टार्ट (गठबंधन) और ए = \ डीफ्रैक (18) (23) \\ और ए = - \ डीफ्रैक (18) (41) \ एंड (गठबंधन) \ अंत (इकट्ठा) \ सही। \]चूंकि \ (a> 0 \), तो \ (a = \ dfrac (18) (23) \) उपयुक्त है।
2) चलो \ (a .)<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
यह आवश्यक है कि आलेख \ (g (x) \) बिंदु \ (B \) से होकर गुजरता है: \ [\ dfrac (६४) ९a = | a + २ | \ cdot \ sqrt (-८) \ quad \ बाएँ दाएँ तीर \ क्वाड \ बाएँ [\ start (एकत्रित) \ start (गठबंधन) और a = \ dfrac (१८) ( 23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ अंत (संरेखित) \ अंत (एकत्रित) \ दाएँ। \]से एक<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) मामला जब \ (a = 0 \) फिट नहीं होता है, तब से \ (f (x) = 0 \) सभी के लिए \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) और समीकरण का केवल 1 मूल होगा।
उत्तर:
\ (ए \ इन \ लेफ्ट \ (- \ डीफ़्रैक (18) (41); \ डीफ़्रैक (18) (23) \ राइट \) \)
क्वेस्ट 4 # 3072
कार्य स्तर: परीक्षा के बराबर
सभी मान खोजें \ (a \), जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \
कम से कम एक जड़ है।
(ग्राहकों से चुनौती)
हम समीकरण को फिर से लिखते हैं \
और दो कार्यों पर विचार करें: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) और \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ )
फलन \ (g (x) \) सम है, एक न्यूनतम बिंदु \ (x = 0 \) है (इसके अलावा, \ (g (0) = 49 \))।
\ (x> 0 \) के लिए फलन \ (f (x) \) घट रहा है, और \ (x .) के लिए<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
दरअसल, \ (x> 0 \) के लिए दूसरा मॉड्यूल सकारात्मक रूप से विस्तारित होगा (\ (| x | = x \)), इसलिए, पहले मॉड्यूल का विस्तार कैसे किया जाएगा, \ (f (x) \) होगा के बराबर \ ( kx + A \), जहां \ (A \) \ (a \) से एक व्यंजक है, और \ (k \) या तो \ (- 9 \) या \ (- 3 \) है। \ (x .) के लिए<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
अधिकतम बिंदु पर \ (f \) का मान ज्ञात कीजिए: \ 
समीकरण का कम से कम एक हल होने के लिए, फ़ंक्शन \ (f \) और \ (g \) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु होना चाहिए। इसलिए, आपको चाहिए: \ \\]
उत्तर:
\ (ए \ इन \ (- 7 \) \ कप \)
टास्क 5 # 3912
कार्य स्तर: परीक्षा के बराबर
पैरामीटर के सभी मान खोजें \ (a \), जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \
छह अलग-अलग समाधान हैं।
आइए प्रतिस्थापन करें \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \)। तब समीकरण रूप लेता है \
हम धीरे-धीरे उन शर्तों को लिखेंगे जिनके तहत मूल समीकरण के छह हल होंगे।
ध्यान दें कि द्विघात समीकरण \ ((*) \) के अधिकतम दो हल हो सकते हैं। किसी भी घन समीकरण \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) के अधिकतम तीन हल हो सकते हैं। इसलिए, यदि समीकरण \ ((*) \) के दो अलग-अलग हल हैं (धनात्मक !, क्योंकि \ (t \) शून्य से बड़ा होना चाहिए) \ (t_1 \) और \ (t_2 \), तो, उल्टा करने के बाद परिवर्तन, हमें मिलता है: \ [\ बाएं [\ प्रारंभ (एकत्रित) \ प्रारंभ (गठबंधन) और (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ और (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ अंत (गठबंधन) \ अंत (एकत्रित) \ दाएं। \]चूँकि किसी भी धनात्मक संख्या को कुछ हद तक \ (\ sqrt2 \) के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ लॉग _ (\ sqrt2) t_1) \), तो समुच्चय का पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: \
जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, किसी भी घन समीकरण के अधिकतम तीन हल होते हैं, इसलिए समुच्चय के प्रत्येक समीकरण के अधिकतम तीन हल होंगे। इसका मतलब है कि पूरे सेट में छह से अधिक समाधान नहीं होंगे।
इसका मतलब यह है कि मूल समीकरण के छह समाधान होने के लिए, द्विघात समीकरण \ ((*) \) के दो अलग-अलग समाधान होने चाहिए, और प्रत्येक प्राप्त घन समीकरण (सेट से) के तीन अलग-अलग समाधान होने चाहिए (और एक समीकरण का कोई समाधान नहीं) किसके साथ मेल खाना चाहिए - या दूसरे के निर्णय से!)
जाहिर है, यदि द्विघात समीकरण \ ((*) \) का एक हल है, तो हमें मूल समीकरण के छह हल नहीं मिलेंगे।
इस प्रकार, समाधान योजना स्पष्ट हो जाती है। आइए उन शर्तों को लिखें जिन्हें पूरा किया जाना चाहिए, बिंदु दर बिंदु।
1) समीकरण \ ((*) \) के लिए दो अलग-अलग समाधान होने के लिए, इसका विवेचक सकारात्मक होना चाहिए: \
2) आपको सकारात्मक होने के लिए दोनों जड़ों की भी आवश्यकता है (चूंकि \ (t> 0 \))। यदि दो मूलों का गुणनफल धनात्मक है और उनका योग धनात्मक है, तो मूल स्वयं धनात्मक होंगे। इसलिए, आपको चाहिए: \ [\ start (केस) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ end (केस) \ quad \ लेफ्टराइटएरो \ क्वाड ए<10\]
इस प्रकार, हम पहले से ही अपने आप को दो अलग-अलग सकारात्मक जड़ें \ (t_1 \) और \ (t_2 \) प्रदान कर चुके हैं।
3)
आइए एक नजर डालते हैं इस तरह के समीकरण पर \
किसके लिए \ (t \) इसके तीन अलग-अलग समाधान होंगे? इस प्रकार, हमने निर्धारित किया है कि समीकरण \ ((*) \) के दोनों मूल अंतराल \ ((1; 4) \) में स्थित होने चाहिए। आप इस शर्त को कैसे लिखते हैं? एक अंकगणितीय प्रगति \ (x = 0 \) के साथ, चार अलग-अलग गैर-शून्य जड़ों का प्रतिनिधित्व करते थे। ध्यान दें कि फलन \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) सम है, इसलिए यदि \ (x_0 \) समीकरण का मूल है \ ((* ) \ ), तो \ (- x_0 \) भी इसका मूल होगा। फिर यह आवश्यक है कि इस समीकरण के मूल आरोही क्रम में क्रमित संख्याएँ हों: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (तब \ (d> 0 \))। यह तब है कि ये पाँच संख्याएँ एक अंकगणितीय प्रगति (अंतर \ (d \) के साथ) का निर्माण करेंगी। इन जड़ों के लिए संख्याएँ \ (- 2d, -d, d, 2d \) हों, यह आवश्यक है कि संख्याएँ \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) की जड़ें हों। समीकरण \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \)। फिर विएटा के प्रमेय द्वारा: हम समीकरण को फिर से लिखते हैं \
और दो कार्यों पर विचार करें: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) और \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) ... समीकरण का कम से कम एक हल होने के लिए, फ़ंक्शन \ (f \) और \ (g \) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु होना चाहिए। इसलिए, आपको चाहिए: \
सिस्टम के इस सेट को हल करने पर, हमें उत्तर मिलता है: \\]
उत्तर: \ (ए \ इन \ (- 2 \) \ कप \) जांचें कि फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है या नहीं।समरूपता का तात्पर्य कोटि अक्ष के बारे में चार्ट के मिररिंग से है। यदि y-अक्ष (सकारात्मक व्याख्यात्मक चर) के दाईं ओर ग्राफ़ का भाग y-अक्ष (व्याख्यात्मक चर के ऋणात्मक मान) के बाईं ओर ग्राफ़ के भाग के साथ मेल खाता है, तो ग्राफ़ सममित है y-अक्ष। यदि फलन कोटि के सापेक्ष सममित है, तो फलन सम है। जांचें कि क्या फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के बारे में सममित है।मूल बिंदु निर्देशांक (0,0) वाला बिंदु है। मूल के बारे में समरूपता का अर्थ है कि एक सकारात्मक मूल्य वाई (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई)(एक सकारात्मक मूल्य के साथ एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)) एक नकारात्मक मूल्य से मेल खाती है वाई (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई)(ऋणात्मक मान के साथ एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स)), और इसके विपरीत। विषम फलन मूल के सापेक्ष सममित होते हैं। जांचें कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कोई समरूपता है या नहीं।अंतिम प्रकार का फलन एक ऐसा फलन है जिसके ग्राफ में सममिति नहीं होती है, अर्थात कोटि अक्ष और मूल बिन्दु दोनों के बारे में कोई प्रतिबिम्ब नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन दिया गया। ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचना के उद्देश्यों के लिए हैं और सभी प्रस्तुति विकल्पों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस काम में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें। लक्ष्य: उपकरण:मल्टीमीडिया इंस्टॉलेशन, इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड, हैंडआउट्स। काम के रूप:खोज और अनुसंधान गतिविधियों के तत्वों के साथ ललाट और समूह। सूत्रों की जानकारी: कक्षाओं के दौरान 1. संगठनात्मक क्षण पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना। 2.
होमवर्क चेक नंबर 10.17 (समस्या पुस्तक 9kl। A. G. Mordkovich)। ए) पर = एफ(एन एस), एफ(एन एस) = बी) एफ (–2) = –3; एफ (0) = –1; एफ(5) = 69; ग) 1. डी ( एफ) = [– 2; + ∞) (क्या आपने फ़ंक्शन रिसर्च एल्गोरिथम का उपयोग किया था?) फिसल पट्टी।
2. आइए उस तालिका की जांच करें जो आपसे स्लाइड पर पूछी गई थी। कार्यक्षेत्र फंक्शन जीरो निरंतरता के अंतराल एक्स = -5, एक्स € (-5; 3) यू € (-∞; -5) यू एक्स -5, एक्स € (-5; 3) यू € (-∞; -5) यू एक्स -5, € (-∞; -5) यू एक्स € (-5; 2) 3.
ज्ञान अद्यतन - दिए गए कार्य। एन एस ≠ 0 और परिभाषित नहीं। 4. नई सामग्री
- इस काम को करने में, दोस्तों, हमने एक फ़ंक्शन की एक और संपत्ति का खुलासा किया जो आपके लिए अपरिचित है, लेकिन दूसरों की तुलना में कम महत्वपूर्ण नहीं है - यह सम और विषम कार्य है। पाठ का विषय लिखें: "सम और विषम कार्य", हमारा कार्य यह सीखना है कि किसी फ़ंक्शन की समता और विषमता का निर्धारण कैसे करें, कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन में इस संपत्ति के महत्व का पता लगाने के लिए। डीईएफ़। 1समारोह पर = एफ (एन एस) समुच्चय X पर दिया गया कहलाता है यहाँ तक कीयदि किसी मूल्य के लिए एन एसएक्स निष्पादित है समानता f (-x) = f (x)। उदाहरण दो। डीईएफ़। 2समारोह वाई = एफ (एक्स)समुच्चय X पर दिया गया है कहलाता है अजीबयदि किसी मूल्य के लिए एन एसएक्स समानता f (-x) = –f (x) धारण करती है। उदाहरण दो। हमने "सम" और "विषम" शब्दों का सामना कहाँ किया है? किसी फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।फिसल पट्टी परिभाषाएँ 1 और 2 x और - x के लिए फ़ंक्शन के मानों से निपटते हैं, इस प्रकार यह माना जाता है कि फ़ंक्शन को मान के लिए भी परिभाषित किया गया है एन एस, और कम से - एन एस. डीईएफ़ 3.अगर नंबर सेटइसके प्रत्येक तत्व के साथ x में विपरीत तत्व -x होता है, फिर समुच्चय एन एससममित सेट कहा जाता है। उदाहरण: (-2; 2), [-5; 5]; (∞; ) सममित समुच्चय हैं, और [–5; 4] असममित हैं। - क्या सम फलनों की परिभाषा का क्षेत्र सममित समुच्चय है? अजीब वाले? फिसल पट्टी
समता के लिए एक फ़ंक्शन का विश्लेषण करने के लिए एल्गोरिदम 1. निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन डोमेन सममित है। यदि नहीं, तो फलन न तो सम है और न ही विषम। यदि हाँ, तो एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाएँ। 2. के लिए व्यंजक लिखिए एफ(–एन एस). 3. तुलना करें एफ(–एन एस)।तथा एफ(एन एस): उदाहरण:
समता के लिए फलन की जाँच कीजिए a) पर= एक्स 5 +; बी) पर=; वी) पर= . समाधान। ए) एच (एक्स) = एक्स 5 +, 1) डी (एच) = (-∞; 0) यू (0; + ), सममित सेट। 2) एच (- एक्स) = (-एक्स) 5 + - एक्स 5 - = - (एक्स 5 +), 3) एच (- एक्स) = - एच (एक्स) => समारोह एच (एक्स)= x 5 + विषम। बी) वाई =, पर = एफ(एन एस), डी (एफ) = (-∞; -9)? (-9; + ), एक असममित समुच्चय, इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम। वी) एफ(एन एस) =, वाई = एफ (एक्स), 1) डी ( एफ) = (-∞; 3] ; बी) (∞; -2), (-4; 4]? विकल्प 2 1. क्या दिया गया समुच्चय सममित है: a) [-2; 2]; बी) (∞; 0], (0; 7)? ए) वाई = एक्स 2 (2x - एक्स 3), बी) वाई = का आपसी सत्यापन फिसल पट्टी। 6. घर पर असाइनमेंट: №11.11, 11.21,11.22; समता गुण के ज्यामितीय अर्थ का प्रमाण। *** (यूएसई विकल्प सेट करना)। 1. विषम फलन y = f (x) पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित है। चर x के किसी भी गैर-ऋणात्मक मान के लिए, इस फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन g के मान के साथ मेल खाता है ( एन एस)
= एन एस(एन एस + 1)(एन एस + 3)(एन एस- ७)। फ़ंक्शन h का मान ज्ञात कीजिए ( एन एस) = के लिए एन एस = 3. 7. संक्षेप करना समारोहसबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं में से एक है। कार्य - परिवर्तनीय निर्भरता परचर से एक्सयदि प्रत्येक मान एन एसएकल मान से मेल खाता है पर... चर एन एसस्वतंत्र चर या तर्क कहा जाता है। चर परआश्रित चर कहते हैं। स्वतंत्र चर के सभी मान (चर) एक्स) फ़ंक्शन का डोमेन बनाते हैं। सभी मान जो आश्रित चर (चर) आप), फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी बनाते हैं। फंक्शन ग्राफसभी बिंदुओं के सेट को कॉल करें विमान का समन्वय, जिसके एब्सिसास तर्क के मूल्यों के बराबर हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मूल्यों के बराबर हैं, अर्थात, चर के मान एब्सिसा अक्ष के साथ प्लॉट किए जाते हैं एक्स, और निर्देशांक चर के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है आप... फ़ंक्शन ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के गुणों को जानना होगा। समारोह के मुख्य गुणों पर बाद में चर्चा की जाएगी! किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए, हम अपने प्रोग्राम - ग्राफ़िंग फ़ंक्शंस को ऑनलाइन उपयोग करने की सलाह देते हैं। यदि इस पृष्ठ पर सामग्री का अध्ययन करते समय आपके कोई प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमेशा हमारे मंच पर पूछ सकते हैं। साथ ही मंच पर आपको गणित, रसायन विज्ञान, ज्यामिति, संभाव्यता सिद्धांत और कई अन्य विषयों में समस्याओं को हल करने में मदद मिलेगी! कार्यों के मूल गुण। 1) फंक्शन डोमेन और फंक्शन डोमेन. फ़ंक्शन स्कोप तर्क के सभी मान्य मान्य मानों का सेट है एक्स(चर एक्स) जिसके लिए समारोह वाई = एफ (एक्स)परिभाषित। प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर किया जाता है। 2) फंक्शन जीरो. मूल्य एन एसजिस पर वाई = 0कहा जाता है फंक्शन जीरो... ये ऑक्स अक्ष के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं। 3) फ़ंक्शन की स्थिरता के अंतराल. फ़ंक्शन के निरंतर संकेत के अंतराल - मानों के ऐसे अंतराल एक्स, जिस पर फ़ंक्शन के मान आपया तो केवल सकारात्मक, या केवल नकारात्मक, कहलाते हैं समारोह की स्थिरता के अंतराल। 4) फ़ंक्शन की एकरसता. एक बढ़ता हुआ फलन (एक निश्चित अंतराल में) एक ऐसा फलन है जिसके लिए इस अंतराल से तर्क का एक बड़ा मान फलन के बड़े मान से मेल खाता है। घटता हुआ कार्य (एक निश्चित अंतराल में) - एक ऐसा फ़ंक्शन जिसके लिए इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है। 5) समता (विषम) फलन. एक सम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के बारे में सममित है और किसी के लिए भी एन एस एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)... एक सम फलन का ग्राफ कोटि अक्ष के परितः सममित होता है। एक विषम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के बारे में सममित है और किसी के लिए भी एन एसपरिभाषा के क्षेत्र से, समानता f (-x) = - f (x .)) एक विषम फलन का आलेख मूल के सापेक्ष सममित होता है। यहां तक कि समारोह पुराना फंक्शननिम्नलिखित गुण हैं: प्रत्येक कार्य विषम या सम नहीं होता है। कार्यों सामान्य दृष्टि सेन सम हैं और न विषम हैं। 6) सीमित और असीमित कार्य. एक फ़ंक्शन को बाउंडेड कहा जाता है यदि कोई धनात्मक संख्या M है जैसे | f (x) | M, x के सभी मानों के लिए। यदि ऐसी कोई संख्या नहीं है, तो फ़ंक्शन असीमित है। 7) समारोह की आवधिकता. एक फलन f (x) आवर्त होता है यदि कोई शून्येतर संख्या T इस प्रकार है कि फलन के प्रांत से किसी x के लिए निम्नलिखित धारण करता है: f (x + T) = f (x)। इस सबसे छोटी संख्या को फलन का आवर्त कहते हैं। हर चीज़ त्रिकोणमितीय कार्यआवधिक हैं। (त्रिकोणमितीय सूत्र)। समारोह एफआवधिक कहा जाता है यदि कोई संख्या ऐसी है कि किसी के लिए एक्सडोमेन से, समानता एफ (एक्स) = एफ (एक्स-टी) = एफ (एक्स + टी). टीसमारोह की अवधि है। किसी भी आवर्त फलन में आवर्तों का अनंत समुच्चय होता है। व्यवहार में, आमतौर पर सबसे छोटी सकारात्मक अवधि मानी जाती है। आवर्त फलन के मान आवर्त के बराबर अंतराल के बाद दोहराए जाते हैं। इसका उपयोग रेखांकन बनाते समय किया जाता है। - (मैट।) एक फ़ंक्शन y = f (x) को तब भी कहा जाता है, जब यह नहीं बदलता है, जब स्वतंत्र चर केवल संकेत बदलता है, अर्थात, यदि f (x) = f (x)। यदि f (x) = f (x), तो फलन f (x) को विषम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, y = cosx, y = x2 ... ... F (x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x3 ... विकिपीडिया समानता f (x) = f (x) को संतुष्ट करने वाला एक फलन। सम और विषम फलन देखें... महान सोवियत विश्वकोश F (x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x3 ... विकिपीडिया F (x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x3 ... विकिपीडिया F (x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x3 ... विकिपीडिया F (x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f (x) = x3 ... विकिपीडिया एक अण्डाकार झिल्ली के दोलन पर समस्याओं को हल करते समय 1868 में फ्रांसीसी गणितज्ञ ई। मैथ्यू द्वारा पेश किए गए विशेष कार्य। एम. एफ. एक अण्डाकार सिलेंडर में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार का अध्ययन करने के लिए भी उपयोग किया जाता है ... महान सोवियत विश्वकोश "पाप" अनुरोध यहाँ पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। "सेकंड" अनुरोध यहां पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। साइनस अनुरोध यहाँ पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें ... विकिपीडिया
फ़ंक्शन \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \) पर विचार करें।
गुणनखंड किया जा सकता है: \
इसलिए, इसके शून्यक \ (x = -1; 2 \) हैं।
यदि हम अवकलज \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \) पाते हैं, तो हमें दो चरम बिंदु मिलते हैं \ (x_ (अधिकतम) = 0, x_ (मिनट) = 2 \)।
इसलिए, ग्राफ इस तरह दिखता है: 
हम देखते हैं कि कोई भी क्षैतिज रेखा \ (y = k \), जहां \ (0 .)
इस प्रकार, आपको चाहिए: \ [\ शुरू (मामलों) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
आइए तुरंत यह भी देखें कि यदि संख्याएँ \ (t_1 \) और \ (t_2 \) भिन्न हैं, तो संख्याएँ \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) और \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) अलग होगा, इसलिए, समीकरण \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ लॉग _ (\ sqrt2) t_1 \)तथा \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ लॉग _ (\ sqrt2) t_2 \)बेमेल जड़ें होंगी।
\ ((**) \) सिस्टम को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: \ [\ शुरू (मामलों) 1
हम जड़ों को स्पष्ट रूप से नहीं लिखेंगे।
फ़ंक्शन \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \) पर विचार करें। इसका ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, जिसमें एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं (हमने इस स्थिति को बिंदु 1 में लिखा है)। इसका ग्राफ कैसा दिखना चाहिए ताकि भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु अंतराल \ ((1; 4) \) में हों? इसलिए: 
सबसे पहले, बिंदुओं \ (1 \) और \ (4 \) पर फ़ंक्शन के मान \ (g (1) \) और \ (g (4) \) सकारात्मक होना चाहिए, और दूसरी बात, का शीर्ष परवलय \ (t_0 \ ) भी \ ((1; 4) \) की सीमा में होना चाहिए। इसलिए, हम सिस्टम लिख सकते हैं: \ [\ start (केस) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
फलन \ (g (x) \) का अधिकतम बिंदु \ (x = 0 \) है (इसके अलावा, \ (जी _ (\ टेक्स्ट (वर्ट)) = जी (0) = - ए ^ 2 + 20 ए -4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \)... व्युत्पन्न शून्य: \ (x = 0 \)। \ (x .) के लिए<0\)
имеем: \(g">0 \), \ (x> 0 \) के लिए: \ (जी "<0\)
.
\ (x> 0 \) के लिए फलन \ (f (x) \) बढ़ रहा है, और \ (x .) के लिए<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
दरअसल, \ (x> 0 \) के लिए पहला मॉड्यूल सकारात्मक रूप से खुलेगा (\ (| x | = x \)), इसलिए, दूसरा मॉड्यूल कैसे खुलेगा, \ (f (x) \) बराबर होगा से \ ( kx + A \), जहां \ (A \) \ (a \) से एक व्यंजक है, और \ (k \) या तो \ (13-10 = 3 \) या \ (13 + 10) के बराबर है = 23 \)। \ (x .) के लिए<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
न्यूनतम बिंदु पर \ (f \) का मान ज्ञात कीजिए: \
पीछे आगे
1.बीजगणित9वर्ग ए.जी. मोर्दकोविच। पाठ्यपुस्तक।
2.बीजगणित ग्रेड 9 ए.जी. मोर्दकोविच। समस्या पुस्तक।
3.बीजगणित ग्रेड 9. छात्र सीखने और विकास के लिए असाइनमेंट। बेलेंकोवा ई.यू. लेबेदित्सेवा ई.ए.
2. ई ( एफ) = [– 3; + ∞)
3. एफ(एन एस) = 0 के लिए एन एस ~ 0,4
4. एफ(एन एस)> 0 के लिए एन एस > 0,4 ; एफ(एन एस)
< 0 при – 2 <
एन एस <
0,4.
5. फलन के साथ बढ़ता है एन एस € [– 2; + ∞)
6. फ़ंक्शन नीचे से सीमित है।
7. परनईम = - ३, परनायब मौजूद नहीं है
8. फ़ंक्शन निरंतर है।तालिका भरें
Oy . के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक
एक्स = 2
यू (2; )
यू (-3; 2)
एक्स 2
यू (2; )
यू (-3; 2)
एक्स 2
यू (2; )
- प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए दायरा निर्दिष्ट करें।
- तर्क मानों की प्रत्येक जोड़ी के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन के मान की तुलना करें: 1 और -1; २ और - २.
- परिभाषा के क्षेत्र में इनमें से किस कार्य के लिए समानताएं संतुष्ट हैं एफ(– एन एस)
= एफ(एन एस), एफ(– एन एस) = – एफ(एन एस)? (प्राप्त डेटा को तालिका में दर्ज करें) फिसल पट्टी
एफ(1) और एफ(– 1)
एफ(2) और एफ(– 2)
चार्ट
एफ(– एन एस) = –एफ(एन एस)
एफ(– एन एस) = एफ(एन एस)
1. एफ(एन एस) =
2. एफ(एन एस) = एन एस 3
3. एफ(एन एस) = | एन एस |
4.एफ(एन एस) = 2एन एस – 3
5. एफ(एन एस) =
6. एफ(एन एस)=
एन एस >
–1
तो, आइए पाठ्यपुस्तक में परिभाषाएँ खोजें और पढ़ें (पृष्ठ 110) ... फिसल पट्टी
आपके विचार में इनमें से कौन-सा फलन सम होगा? क्यों? अजीब क्या हैं? क्यों?
फॉर्म के किसी भी फंक्शन के लिए पर= एक्स एन, कहां एन- एक पूर्णांक यह तर्क दिया जा सकता है कि फ़ंक्शन विषम है एन- विषम और फलन सम है एन- यहाँ तक की।
- कार्य देखें पर= और पर = 2एन एस- 3 न तो सम और न ही विषम हैं, क्योंकि समानताएं संतुष्ट नहीं हैं एफ(– एन एस) = – एफ(एन एस), एफ(–
एन एस) = एफ(एन एस)
- अगर डी ( एफ) एक असममित समुच्चय है, तो क्या कार्य करता है?
- इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन पर = एफ(एन एस) सम या विषम है, तो इसकी परिभाषा का डोमेन D ( एफ) एक सममित समुच्चय है। क्या विलोम सत्य है, यदि किसी फलन का प्रांत एक सममित समुच्चय है, तो यह सम या विषम है?
- तो डोमेन के एक सममित सेट की उपस्थिति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
- तो आप समता के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करते हैं? आइए एक एल्गोरिथ्म बनाने की कोशिश करें।
ए); बी) वाई = एक्स · (5 - एक्स 2)।2. समता के फलन की जाँच कीजिए:
3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एन एस), सबके लिए एन एसशर्त को संतुष्ट करना एन एस?
0.
फंक्शन ग्राफ प्लॉट करें पर = एफ(एन एस), अगर पर = एफ(एन एस) एक सम फलन है। 
3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एन एस), सभी x के लिए शर्त x को संतुष्ट करने के लिए? 0.
फंक्शन ग्राफ प्लॉट करें पर = एफ(एन एस), अगर पर = एफ(एन एस) एक विषम कार्य है। 
किसी फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी सभी वास्तविक मानों का समुच्चय है आपजिसे फंक्शन स्वीकार करता है।
1) परिभाषा का क्षेत्र बिंदु (0; 0) के बारे में सममित है, अर्थात यदि बिंदु एपरिभाषा के क्षेत्र के अंतर्गत आता है, तो बिंदु -एपरिभाषा के क्षेत्र से भी संबंधित है।
2) किसी भी मूल्य के लिए एक्स एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)
3) एक सम फलन का ग्राफ Oy अक्ष के परितः सममित होता है।
1) प्रांत बिंदु (0; 0) के बारे में सममित है।
2) किसी भी मूल्य के लिए एक्सडोमेन से संबंधित, समानता एफ (-एक्स) = - एफ (एक्स)
3) एक विषम फलन का आलेख मूल बिंदु (0; 0) के सापेक्ष सममित होता है।
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