कुछ संख्या सेट की संरचना। कुछ संख्यात्मक समुच्चयों की संरचना वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में सातत्य की प्रधानता होती है

इस प्रकार एक आयाम के सातत्य के प्रश्न को समाप्त करने के बाद, मैं इसे दो आयामों की सातत्य की ओर मुड़ने के लिए संगत मानता हूं। इससे पहले, निश्चित रूप से, सभी ने सोचा था कि एक विमान में एक सीधी रेखा की तुलना में अधिक बिंदु होते हैं; इसलिए, जब कैंटर ने दिखाया कि दो-आयामी सातत्य की कार्डिनैलिटी एक आयाम की सातत्य की कार्डिनैलिटी के बराबर है, तो हर कोई बेहद हैरान था। अगर हम इसके बजाय वर्ग लेते हैं। पक्ष 1, और इसके बजाय - लंबाई का एक खंड, फिर दोनों सेटों के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करने की संभावना को साबित करना आवश्यक है (चित्र 125)।

यह कथन इतना विरोधाभासी प्रतीत होने का कारण शायद पत्राचार की एक निश्चित निरंतरता के विचार से छुटकारा पाने में कठिनाई है, और फिर भी वास्तव में हमारे पास जो पत्राचार स्थापित करने के लिए है वह अत्यधिक असंतत हो जाता है, या, यदि आपको पसंद है, अकार्बनिक। ... लाक्षणिक रूप से, यह "शक्ति" को छोड़कर, इस हद तक नष्ट कर देता है, सब कुछ जो सपाट और रैखिक छवियों की विशेषता है, जैसे कि वर्ग के सभी बिंदुओं को एक बैग में डाला गया और फिर सबसे गहन तरीके से मिलाया गया।

वर्ग के बिंदुओं का सेट फॉर्म के दशमलव अंशों के सभी जोड़े के सेट के साथ मेल खाता है

जिसे हम पहले की तरह अनंत रूप में लिखा हुआ मानते हैं। इसलिए, हम उन सीमा बिंदुओं को बाहर करते हैं जिनके लिए y निर्देशांक में से एक गायब हो जाता है; दूसरे शब्दों में, हम निर्देशांक O के मूल से सटे वर्ग के दोनों पक्षों को बाहर करते हैं, जबकि हम दोनों पक्षों को रखते हैं। लेकिन यह सुनिश्चित करना आसान है कि यह अंकों के सेट की कार्डिनैलिटी को नहीं बदलता है। और इसलिए कैंटर के प्रमाण का मुख्य विचार इन दोनों दशमलव अंशों को एक नए दशमलव अंश z में मिलाना है, जिसके द्वारा, विशिष्ट रूप से x, y को निर्धारित करना संभव होगा और जो सभी मानों को एक बार में ले जाएगा। जब बिंदु एक बार पूरे वर्ग पर चलता है। यदि हम z को एक भुज के रूप में मानते हैं, तो हम इस प्रकार वर्ग और इकाई खंड के आवश्यक एक-से-एक पत्राचार प्राप्त करेंगे; इस मामले में, वर्ग के संबंध में सम्मेलनों के अनुसार, इस खंड के लिए हम लेते हैं खाता केवल एक अंतिम बिंदु

हम सबसे पहले दो निर्देशांक y को एक में रखकर ऐसा विलय प्राप्त करने का प्रयास करेंगे

वास्तव में, सम और विषम दशमलव स्थानों को अलग करके इस भिन्न से स्पष्ट रूप से पुनर्प्राप्त करना संभव है।

लेकिन यहाँ, दशमलव अंशों को लिखने के दोहरे तरीके को देखते हुए, निम्नलिखित आपत्ति उत्पन्न होती है: ऐसा z मानों की पूरी श्रृंखला से नहीं चलता है जब यह अनंत दशमलव अंशों के सभी युग्मों के माध्यम से चलता है, अर्थात का पूरा सेट अंक मान्य है, हालांकि यह हमेशा z के लिए एक अनंत अंश देता है, लेकिन ऐसे अनंत अंश हैं जैसे

जो केवल एक परिमित भिन्न या y से प्राप्त होते हैं, हमारे उदाहरण में

इस कठिनाई को दूर करने का सबसे आसान तरीका है, बुडापेस्ट से कोएनिग द्वारा प्रस्तावित कैंटर की विधि के निम्नलिखित संशोधन का उपयोग करना। अर्थात्, कोएनिग ए, बी, सी को अलग-अलग अंकों से नहीं, बल्कि अंकों के प्रसिद्ध परिसरों से समझता है, मैं कहूंगा, एक दशमलव अंश के "अणु", शून्य के अलावा किसी भी महत्वपूर्ण अंक को एक पूरे में मिलाकर, सभी तुरंत पूर्ववर्ती शून्य के साथ ; यह शून्य की भूमिका को सबसे अलग बनाता है। फिर किसी भी अनंत दशमलव अंश में असीम रूप से कई अणु होने चाहिए, क्योंकि सभी गैर-शून्य अंक इसमें बार-बार दिखाई देते हैं, और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, भिन्न में

ऐसे "अणुओं" के लिए लिया जाना चाहिए

अब उपरोक्त मिलान नियम और z प्रतीकों में ऐसे अणुओं को निरूपित करते हैं। तब कोई भी जोड़ा फिर से अनन्य रूप से एक अनंत भिन्न z के अनुरूप होगा, जो बदले में x और y को निर्धारित करता है। लेकिन अब किसी भी भिन्न z को दो भिन्नों में विभाजित किया जा सकता है और y को अनंत संख्या में "अणुओं" के साथ विभाजित किया जा सकता है, और अंश z केवल एक बार प्रकट हो सकता है, जब हम अनंत दशमलव अंशों के सभी संभावित जोड़े लेते हैं। और यह वास्तव में एक वर्ग को एक खंड का एक-से-एक मानचित्रण देता है; इसलिए, उनके पास समान कार्डिनैलिटी है।

बेशक, पूरी तरह से अनुरूप तरीके से यह दिखाया जा सकता है कि तीन, चार, आयामों की निरंतरता में एक-आयामी सातत्य के समान शक्ति होती है। लेकिन उल्लेखनीय बात यह है कि असीम रूप से कई आयामों की निरंतरता - अधिक सटीक रूप से, आयामों का एक गणनीय सेट - समान कार्डिनैलिटी है; असीम रूप से बड़ी संख्या में आयामों का ऐसा स्थान अब विशेष रूप से गोटिंगेन में बहुत अधिक बोला जा रहा है। इसे उन सभी संख्या प्रणालियों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें चर का एक अनंत सेट केवल ले सकता है

यदि उनमें से प्रत्येक वास्तविक मूल्यों की पूरी श्रृंखला से चलता है। यह, कड़ाई से बोलना, गणित में लंबे समय से उपयोग की जाने वाली अवधारणाओं को व्यक्त करने का केवल एक नया तरीका है। वास्तव में, हमने हमेशा सभी शक्ति या त्रिकोणमितीय श्रृंखलाओं की समग्रता पर विचार किया है; इन श्रृंखलाओं के गुणांकों का एक गणनीय अनंत सेट, संक्षेप में, अनंत संख्या में स्वतंत्र चर के एक ही सेट से अधिक कुछ नहीं है, हालांकि, हमेशा एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए अभी भी ज्ञात शर्तों के अधीन हैं।

यहां हम फिर से सातत्य के "इकाई घन" पर विचार करने के लिए खुद को प्रतिबंधित करते हैं, दूसरे शब्दों में, शर्तों को पूरा करने वाले सभी बिंदुओं का सेट और यह दर्शाता है कि इन बिंदुओं को इकाई खंड के बिंदुओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में लाया जा सकता है निर्देशांक की निरंतरता शून्य के बराबर है, और, तदनुसार, बिंदु संरक्षित है, शेष सभी सीमा बिंदु। हम पहले की तरह, दशमलव अंशों का उपयोग करते हुए सातत्य के बिंदुओं के निर्देशांक की छवि से आगे बढ़ते हैं,

सभी वास्तविक संख्याओं का आर, 2) अंतराल के सभी बिंदुओं का समुच्चय (0, 1); 3) इस अंतराल से सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, 4) समष्टि R . के सभी बिंदुओं का समुच्चय एन, जहां n प्राकृतिक है; 5) सभी पारलौकिक संख्याओं का समुच्चय; ६) एक वास्तविक चर K. m के सभी निरंतर कार्यों के समुच्चय को छोटी कार्डिनल संख्याओं के गणनीय योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। किसी भी कार्डिनल नंबर के लिए ऐसा कि

विशेष रूप से,

सातत्य परिकल्पनादावा है कि के.एम. पहला बेशुमार कार्डिनल नंबर है, यानी।

लिट: कुरातोव्स्की के।, मोस्तोव्स्की ए।, सेट थ्योरी, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।, 1970।

बी ए एफिमोव।

गणित का विश्वकोश। - एम।: सोवियत विश्वकोश... आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।

देखें कि "CONTINUUM POWER" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

एक सेट की कार्डिनैलिटी, एक सेट की कार्डिनल संख्या (लैटिन कार्डिनलिस ← कार्डो मुख्य परिस्थिति, कोर, कोर) सेट की विशेषता (अनंत सहित), एक परिमित तत्वों की संख्या (संख्या) की अवधारणा को सामान्य बनाना ... ... विकिपीडिया

कार्य सेट सिद्धांत के माध्यम से सिद्ध या अस्वीकृत करना है (सेट सिद्धांत देखें) निम्नलिखित कथन, जिसे सातत्य परिकल्पना (K. g) कहा जाता है: कॉन्टिनम की कार्डिनैलिटी कार्डिनैलिटी से अधिक पहली कार्डिनैलिटी है ... ...

सेट ए का कार्डिनल नंबर इस सेट की एक ऐसी संपत्ति है, जो ए के बराबर किसी भी सेट बी में निहित है। इस मामले में, दो सेट कहा जाता है। समकक्ष (या समान रूप से शक्तिशाली और), यदि उनके बीच एक-से-एक स्थापित करना संभव है ... ... गणित का विश्वकोश

फिलोस श्रेणियां जो पदार्थ की संरचना और उसके विकास की प्रक्रिया दोनों की विशेषता हैं। असंततता का अर्थ है "दानेदारता", अनुपात-अस्थायी संरचना और पदार्थ की स्थिति, इसके घटक तत्वों, प्रकारों और रूपों की विसंगति ... ... दार्शनिक विश्वकोश

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गणितज्ञ और तर्कशास्त्री, यूएस नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज और अमेरिकन फिलॉसॉफिकल सोसाइटी के सदस्य, ऐसे क्षेत्रों में स्वयंसिद्ध पद्धति और मौलिक कार्यों की सीमाओं की मौलिक खोज के लेखक गणितीय तर्कएक सिद्धांत की तरह...... दर्शन का इतिहास: एक विश्वकोश

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सेट के सामान्य गुणों का सिद्धांत, ज्यादातर अनंत। समुच्चय या समुच्चय की अवधारणा सबसे सरल गणितीय अवधारणाओं में से एक है; यह परिभाषित नहीं है, लेकिन उदाहरणों का उपयोग करके समझाया जा सकता है। तो मुमकिन है…… महान सोवियत विश्वकोश

2. सातत्य की कार्डिनैलिटी के सेट।

अब तक माने गए सभी अनंत समुच्चय गणनीय रहे हैं, अर्थात् समुच्चय के बराबर एनप्राकृतिक संख्याएं। कैंटर निम्नलिखित उल्लेखनीय प्रमेय का मालिक है, जिसमें कहा गया है कि ऐसे अनंत सेट हैं जो गणनीय नहीं हैं। जिस तरह से इस प्रमेय को सिद्ध किया जाता है उसे कैंटर की "विकर्ण प्रक्रिया" या "विकर्ण निर्माण" कहा जाता है। इसका प्रयोग कई अन्य तर्कों में सफलता के साथ किया जाता है।

प्रमेय २.१.

बहुत सारा सी = {0, 1} एन 0 और 1 के सभी अनंत क्रम बेशुमार हैं।

सबूत।

चलो X सी- कोई भी गणनीय उपसमुच्चय। आप लिख सकते हैं: एक्स = (एक्स 1, एक्स 2, ...)। समुच्चय X का प्रत्येक अवयव एक अनंत अनुक्रम है: x j = j 1, j 2,…, जहाँ jk (0, 1)। आइए एक नया अनंत अनुक्रम y = 1- 11, 1- 22, 1- 33,…. ध्यान दें कि j: y x ​​j, क्योंकि इन अनुक्रमों के j-वें पद भिन्न हैं: jj 1- jj. इसलिए, yX और इसलिए X  सी... इस का मतलब है कि सीबेशुमार।

परिभाषा।

हर भीड़ समान रूप से शक्तिशाली है सीसातत्य की प्रमुखता का समुच्चय कहलाता है।

जैसा कि पिछले भाग में उल्लेख किया गया है,)