किसी फ़ंक्शन की समता की जांच कैसे करें। कार्य गुण। एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त परिस्थितियां

यहाँ तक कीयदि इसके डोमेन से सभी \\ (x \\) के लिए यह सत्य है: \\ (f (-x) \u003d f (x) \\)।

समान कार्य का ग्राफ \\ (y \\) अक्ष के बारे में सममित है:

उदाहरण: फ़ंक्शन \\ (f (x) \u003d x ^ 2 + \\ cos x \\) सम है, क्योंकि \\ (f (-x) \u003d (- x) ^ 2 + \\ cos ((- x)) \u003d x ^ 2 + \\ cos x \u003d f (x) \\).

\\ \\ (\\ blacktriangleright \\) The \\ (f (x) \\) फ़ंक्शन को कहा जाता है अजीबयदि इसके डोमेन से सभी \\ (x \\) के लिए यह सत्य है: \\ (f (-x) \u003d - f (x) \\)।

एक विषम कार्य का ग्राफ उत्पत्ति के बारे में सममित है:

उदाहरण: फ़ंक्शन \\ (f (x) \u003d x ^ 3 + x \\) विषम है क्योंकि \\ (f (-x) \u003d (- x) ^ 3 + (- x) \u003d - x ^ 3-x \u003d - (x ^ 3 + x) \u003d - f (x) \\).

\\ \\ (\\ blacktriangleright \\) कार्य जो न तो विषम हैं और न ही सामान्य कार्य कहलाते हैं। इस तरह के फ़ंक्शन को हमेशा एक सम और विषम फ़ंक्शन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, function \\ (f (x) \u003d x ^ 2-x \\) सम फ़ंक्शन \\ _ (f_1 \u003d x ^ 2 \\) और विषम \\ (f_2 \u003d -x \\) का योग है।

\\ _ (\\ _ ब्लैकट्रींगलराइट) कुछ गुण:

1) एक ही समता के दो कार्यों का उत्पाद और भागफल एक समान कार्य है।

2) विभिन्न समता के दो कार्यों का उत्पाद और भागफल एक विषम कार्य है।

3) कार्यों का योग और अंतर भी एक समान कार्य है।

4) विषम कार्यों का योग और अंतर एक विषम कार्य है।

5) अगर \\ (f (x) \\) एक समान कार्य है, तो समीकरण \\ _ (f (x) \u003d c \\ (c \\ in \\ mathbb (R) \\)) में एक अद्वितीय जड़ है यदि और केवल यदि, तो \\ (x \u003d 0)।

6) यदि \\ (f (x) \\) एक सम या विषम कार्य है, और समीकरण \\ (f (x) \u003d 0 \\) में एक रूट \\ (x \u003d b \\) है, तो इस समीकरण के लिए आवश्यक रूप से एक दूसरा होगा रूट \\ (x \u003d -b \\)।

\\ \\ (\\ blacktriangleright \\) एक फ़ंक्शन \\ (f (x) \\) को आवधिक पर \\ _ (X \\) कहा जाता है, अगर कुछ संख्या के लिए (T \\ ne 0 \\) \\ (f (x) \u003d f (x + T) ) \\), जहां \\ (एक्स, एक्स + टी एक्स में)। सबसे छोटी \\ (T \\) जिसके लिए यह समानता रखती है, फ़ंक्शन की मुख्य (मुख्य) अवधि कहलाती है।

एक आवधिक कार्य में किसी भी प्रकार के फॉर्म \\ (nT \\) होते हैं, जहां \\ (n \\ in \\ mathbb (Z) \\) भी एक अवधि होगी।

उदाहरण: कोई भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन आवधिक है;
फ़ंक्शंस \\ (f (x) \u003d \\ sin x \\) और \\ (f (x) \u003d \\ cos x \\) का फ़ंक्शंस प्रिंसिपल \\ (2 \\ pi \\) है, फ़ंक्शंस के लिए (f (x) \u003d \\ _ mathrm (tg) \\, x \\) और \\ (f (x) \u003d \\ mathrm (ctg) \\, x \\) प्रिंसिपल पीरियड \\ (\\ pi \\) है।

एक आवधिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आप इसका ग्राफ लंबाई के किसी भी खंड (T \\) (मुख्य अवधि) पर बना सकते हैं; तब पूरे फ़ंक्शन का ग्राफ निर्मित भाग को दाईं ओर और बाईं ओर पूर्णांक संख्या में स्थानांतरित करके पूरा किया जाता है:

\\ \\ (\\ blacktriangleright \\) फ़ंक्शन के डोमेन \\ (D (f) \\) \\ (f (x) \\) सभी मानों से मिलकर बना एक सेट है \\ (x \\) जिसके लिए फ़ंक्शन का अर्थ है (परिभाषित किया गया है) ) है।

उदाहरण: फ़ंक्शन \\ (f (x) \u003d \\ sqrt x + 1 \\) में गुंजाइश है: \\ (x \\ in)

कार्य 1 # 6364

असाइनमेंट स्तर: परीक्षा के बराबर

समीकरण के पैरामीटर (a (a) के किन मूल्यों के लिए

एकमात्र समाधान है?

ध्यान दें कि चूंकि \\ (x ^ 2 \\) और \\ (\\ cos x \\) भी फ़ंक्शन हैं, तो यदि समीकरण में रूट \\ (x_0 \\) है, तो इसका रूट \\ (- x_0 \\) भी होगा।
दरअसल, let \\ (x_0 \\) एक जड़ है, अर्थात्, समानता है \\ \\ (2x_0 ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, ((cos x_0) + a ^ 2 \u003d 0 \\) सही। स्थानापन्न \\ ((x_0 \\): \\ (2 (-x_0) ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, ((cos (-x_0)) + a ^ 2 \u003d 2x_0 ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x_0) + a ^ 2 \u003d 0 \\).

इस प्रकार, यदि \\ (x_0 \\ ne 0 \\), तो समीकरण में पहले से ही कम से कम दो जड़ें होंगी। इसलिए, \\ (x_0 \u003d 0 \\)। फिर:

हमें \\ (a) पैरामीटर के लिए दो मान मिले। ध्यान दें कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया कि \\ (x \u003d 0 \\) मूल समीकरण की जड़ है। लेकिन हमने कभी इस तथ्य का उपयोग नहीं किया है कि वह एकमात्र है। इसलिए, पैरामीटर \\ _ (a) के परिणामी मूल्यों को मूल समीकरण में बदलना आवश्यक है और जिसके लिए \\ (a \\) रूट \\ (x \u003d 0 \\) की जांच करना वास्तव में अद्वितीय होगा।

1) if \\ (a \u003d 0 \\), तो समीकरण फॉर्म (2x ^ 2 \u003d 0 \\) लेता है। जाहिर है, इस समीकरण में केवल एक रूट \\ (x \u003d 0 \\) है। इसलिए, मान \\ (a \u003d 0 \\) हमें सूट करता है।

2) if \\ (a \u003d - \\ mathrm (tg) \\, 1 \\), तो समीकरण रूप लेता है \ हम समीकरण को फिर से लिखते हैं \ जैसा \\ _ - 1 \\ leqslant \\ cos x \\ leqslant 1 \\)फिर \\ (- \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ leqslant \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x) \\ leqslant \\ mathrm (tg) \\, 1 \\)... इसलिए, समीकरण (*) के दाईं ओर के मूल्य खंड के हैं \\ _ ([- \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1; \\ mathrm (tg) ^ 2 \\ _, 1) \\).

\\ (X ^ 2 \\ geqslant 0 \\) के बाद से, समीकरण के बाईं ओर (*) \\ _ (0 + \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\) से अधिक या बराबर है।

इस प्रकार, समानता (*) केवल तभी सही हो सकती है जब समीकरण के दोनों पक्ष \\ (mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\) हों। इस का मतलब है कि \\ [\\ start (मामले) 2x ^ 2 + \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \u003d \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\\\ \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ cdot \\ mathrm (tg) \\ , (\\ cos x) \u003d \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\ end (मामले) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ start (मामले) x \u003d 0 \\\\ \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x) \u003d \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ end (मामले) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad x \u003d 0 \\] इसलिए, मान (a \u003d - \\ mathrm (tg) \\, 1 \\) हमें सूट करता है।

उत्तर:

\\ _ \\ _ एक (- \\ mathrm (tg) \\, 1; 0 \\) \\)

क्वेस्ट 2 # 3923

असाइनमेंट स्तर: परीक्षा के बराबर

पैरामीटर के सभी मान खोजें (\\ a), जिनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए \

मूल के बारे में सममित।

यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल के बारे में सममित है, तो ऐसा फ़ंक्शन विषम है, अर्थात, (f (x-x) \u003d - f (x) \\) के डोमेन से किसी भी \\ (x \\) के लिए है समारोह। इस प्रकार, पैरामीटर के उन मूल्यों को खोजना आवश्यक है जिनके लिए \\ (f (-x) \u003d - f (x। \\)।

\\ [\\ start (गठबंधन) और 3 \\ mathrm (tg) \\, \\ left (- \\ dfrac (ax) 5 \\ right) +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4 \u003d - \\ बाएँ (3) \\ mathrm (tg) \\, \\ left (\\ dfrac (ax) 5 \\ right) +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi's-3x) 4 \\ दाएँ) \\ quad \\ Rightarrow \\ quad -3 \\ mathmm (tg) \\ _, \\ dfrac (कुल्हाड़ी) 5 + 2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4 \u003d - \\ left (3 \\ mathrm (tg) \\ _, \\ left (\\ dfrac (ax) 5) दाईं ओर +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi's-3x) 4 \\ right) \\ quad \\ Rightarrow \\\\ \\ Rightarrow \\ quad & \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4+ \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a) - 3x) ४ \u003d ४ \u003d ० \\ _ \\ _ \\ _ क्वाडरो \\ _ ४ क्वाड \\ _ \\ _ डीफ्रैक १२ \\ _ cos \\ dfrac12 \\ left (\\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4- \\ dfrac (8 \\ pi's-3x) 4 \\ right) \u003d 0 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad \\ sin (2 \\ pi) a \\ _ cdot \\ cos \\ frac34 x \u003d 0 \\ end (संरेखित) \\]

अंतिम समीकरण को डोमेन (f (x) \\) से सभी \\ (x \\) के लिए संतुष्ट होना चाहिए, इसलिए, \\ \\ (पाप (2 \\ pi a) \u003d 0 \\ Rightarrow a \u003d \\ dfrac n2, n \\ in \\ mathbb (Z) \\).

उत्तर:

\\ \\ (dfrac n2, n \\ in \\ mathbb (Z) \\)

क्वेस्ट 3 # 3069

असाइनमेंट स्तर: परीक्षा के बराबर

पैरामीटर के सभी मान खोजें (\\ a), जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \\ 4 समाधान हैं, जहां \\ (f \\) एक समयावधि कार्य है जिसमें अवधि \\ (T \u003d \\ dfrac (16) 3 \\ ) के लिए पूरी संख्या रेखा, और \\ (f (x) \u003d ax ^ 2 \\) पर परिभाषित किया गया है \\ _ (0 \\ leqslant x \\ leqslant \\ dfrac83। \\ _)

(ग्राहकों से कार्य)

क्वेस्ट 4 # 3072

असाइनमेंट स्तर: परीक्षा के बराबर

सभी मानों (a (a)) को खोजें, जिनमें से प्रत्येक समीकरण के लिए \

कम से कम एक जड़ है।

(ग्राहकों से कार्य)

हम समीकरण को फिर से लिखते हैं \ और दो कार्यों पर विचार करें: \\ (g (x) \u003d 7 \\ sqrt (2x ^ 2 + 49) \\) और \\ (f (x) \u003d 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \\ _ ) है।
फ़ंक्शन \\ (जी (x) \\) है, यहां तक \u200b\u200bकि एक न्यूनतम बिंदु \\ (x \u003d 0 \\) है (इसके अलावा, \\ (जी (0) \u003d 49 \\))।
फ़ंक्शन \\ (f (x) \\) \\ (x\u003e 0 \\), और \\ (x) के लिए घट रहा है<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
दरअसल, \\ (x\u003e 0 \\) के लिए दूसरा मॉड्यूल सकारात्मक रूप से फैलता है (\\! (| X | \u003d x \\)), इसलिए, पहला मॉड्यूल कैसे फैलता है, इसकी परवाह किए बिना, \\ (f (x) \\) के बराबर होगा \\ " (kx + A \\), जहां \\ (A \\) एक अभिव्यक्ति है \\ ((a)), और \\ (k \\) या तो \\ (- 9 \\) या \\ (- 3 \\) है। के लिए \\ (एक्स<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
अधिकतम बिंदु पर मूल्य \\ (f \\) का पता लगाएं: \\

कम से कम एक समाधान के लिए समीकरण के लिए, फ़ंक्शंस \\ (f \\) और \\ (g \\) के ग्राफ़ में कम से कम एक चौराहा बिंदु होना चाहिए। इसलिए, आपको आवश्यकता है: \ सिस्टम के इस सेट को हल करते हुए, हमें इसका उत्तर मिलता है: \\]

उत्तर:

\\ _ \\ _ in (- 7 \\) \\ कप \\)

टास्क 5 # 3912

असाइनमेंट स्तर: परीक्षा के बराबर

पैरामीटर के सभी मान खोजें (\\ a), जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \

छह अलग-अलग समाधान हैं।

आइए प्रतिस्थापन \\ ((\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) \u003d t \\), \\ (t\u003e 0 \\) करें। फिर समीकरण रूप लेता है \ हम धीरे-धीरे उन परिस्थितियों को लिखेंगे जिनके तहत मूल समीकरण में छह समाधान होंगे।
ध्यान दें कि द्विघात समीकरण ((*) \\) में अधिकतम दो समाधान हो सकते हैं। किसी भी घन समीकरण \\ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D \u003d 0 \\) में अधिकतम तीन समाधान हो सकते हैं। इसलिए, अगर समीकरण ((*) \\) के दो अलग-अलग समाधान हैं (सकारात्मक!, क्योंकि (t \\) शून्य से अधिक होना चाहिए) (t_1 \\) और \\ (t_2 \\), तो, उल्टा बना दिया है परिवर्तन, हमें मिलता है: \\ [\\ छोड़ दिया [शुरू (इकट्ठा) \\ शुरू (गठबंधन) और (\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) \u003d t_1 \\\\ & (\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2) +4) \u003d t_2 \\ end (संरेखित) \\ end (एकत्रित) \\ दाया। \\] चूँकि किसी भी सकारात्मक संख्या को कुछ हद तक \\ _ (\\ sqrt2 \\) के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, \\ (t_1 \u003d (\\ sqrt2) ^ (\\ log _ (\\ sqrt2) t_1) \\), फिर सेट के पहले समीकरण को फिर से लिखा जाएगा \ जैसा कि हमने पहले ही कहा, किसी भी घन समीकरण के पास अधिकतम तीन समाधान हैं, इसलिए, सेट के प्रत्येक समीकरण में अधिकतम तीन समाधान होंगे। इसका मतलब है कि पूरे सेट में छह से अधिक समाधान नहीं होंगे।
इसका मतलब यह है कि मूल समीकरण के लिए छह समाधान हैं, द्विघात समीकरण ((*) \\) के दो अलग-अलग समाधान होने चाहिए, और प्रत्येक प्राप्त घन समीकरण (सेट से) में तीन अलग-अलग समाधान (और एक समीकरण का कोई समाधान नहीं होना चाहिए) किसके साथ मेल खाना चाहिए-दूसरे के निर्णय के लिए! '
जाहिर है, अगर द्विघात समीकरण \\ ((*) \\) का एक समाधान है, तो हमें मूल समीकरण के छह समाधान नहीं मिलेंगे।

इस प्रकार, समाधान योजना स्पष्ट हो जाती है। आइए उन शर्तों को लिखें, जिन्हें मिलना चाहिए, बिंदु से इंगित करें।

1) समीकरण \\ ((*) \\) के लिए दो अलग-अलग समाधान हैं, इसके विवेचक को सकारात्मक होना चाहिए: \

2) आपको सकारात्मक होने के लिए दोनों जड़ों की भी आवश्यकता है (क्योंकि (t\u003e 0 \\))। यदि दो जड़ों का उत्पाद सकारात्मक है और उनका योग सकारात्मक है, तो जड़ें स्वयं सकारात्मक होंगी। इसलिए, आपको आवश्यकता है: \\ [\\ start (मामले) 12-a\u003e 0 \\\\ - (a-10)\u003e 0 \\ end (मामले) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a<10\]

इस प्रकार, हमने पहले से ही दो अलग-अलग सकारात्मक जड़ें (t_1 \\) और \\ (t_2 \\) प्रदान की हैं।

3) आइए ऐसे समीकरण पर एक नजर डालते हैं \ किसके लिए \\ (t \\) इसके तीन अलग-अलग समाधान होंगे?
फ़ंक्शन पर विचार करें (f (x) \u003d x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \\)।
कारक हो सकते हैं: \ इसलिए, इसके शून्य \\ _ (x \u003d -1; 2 \\) हैं।
यदि हम व्युत्पन्न \\ (f ”(x) \u003d 3x ^ 2-6x \\) पाते हैं, तो हमें दो चरम बिंदु \\ (x_ (अधिकतम) \u003d 0, x_ (न्यूनतम) \u003d 2 \\) मिलते हैं।
इसलिए, ग्राफ इस तरह दिखता है:


हम देखते हैं कि कोई भी क्षैतिज रेखा \\ (y \u003d k \\), जहां \\ (0) \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t \\) तीन अलग-अलग समाधान थे, यह आवश्यक है कि \\ (0)<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
इस प्रकार, आपको आवश्यकता है: \\ [\\ start (मामलों) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] आइए तुरंत यह भी ध्यान दें कि यदि संख्या \\ (t_1 \\) और \\ (t_2 \\) अलग हैं, तो संख्या \\ (\\ लॉग _ (\\ sqrt2) t_1 \\) और \\ (\\ लॉग _ (\\ sqrt2) t_2 \\ _) हैं अलग होगा, इसलिए, समीकरण \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ लॉग _ (\\ sqrt2) t_1 \\) तथा \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t_2 \\) बेमेल जड़ें होंगी।
निम्नानुसार \\ _ ((**) \\) प्रणाली को फिर से लिखा जा सकता है: \\ [\\ start (केस) १

इस प्रकार, हमने निर्धारित किया है कि समीकरण ((*) \\) की दोनों जड़ें अंतराल \\ ((1; 4; \\) में निहित होनी चाहिए। मैं इस शर्त को कैसे लिखूँ?
हम जड़ों को स्पष्ट रूप से नहीं लिखेंगे।
फ़ंक्शन पर विचार करें (g (t) \u003d t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \\)। इसका ग्राफ ऊपर की शाखाओं के साथ एक परबोला है, जिसमें एब्सिस्सा अक्ष के साथ चौराहे के दो बिंदु हैं (हमने यह स्थिति बिंदु 1 में लिखी है)। इसका ग्राफ कैसा होना चाहिए ताकि एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु अंतराल \\ ((1; 4; \\) में हों? इसलिए:


सबसे पहले, मान (जी (1) \\) और \\ (जी (4) \\) के बिंदुओं पर समारोह के बिंदु (1 \\) और \\ (4 \\) सकारात्मक होना चाहिए, और दूसरी बात, शीर्ष पर parabola \\ (t_0 \\) भी रेंज \\ ((1; 4) \\) में होना चाहिए। इसलिए, हम सिस्टम लिख सकते हैं: \\ [\\ शुरू (मामले) 1 + ए -10 + १२-ए\u003e ० \\\\ ४ ४ ^ २ + (ए -१०) \\ cdot ४ + १२-ए\u003e ० \\\\ १<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

इस प्रकार, हमें 1, 2 और 3 अंक में पाए जाने वाले \\ (a) पैरामीटर के मानों को प्रतिच्छेद करने की आवश्यकता है, और हम इसका उत्तर देते हैं: \\ [\\ start (मामलों) a \\ a (- \\ infty; 8-2 \\ sqrt3) \\ कप (8 + 2 \\ sqrt3; + \\ infty) \\\\ a<10\\ 4

परिभाषा1. फ़ंक्शन को कहा जाता है यहाँ तक की (अजीब ), अगर चर के प्रत्येक मूल्य के साथ
मूल्य - एक्सका भी है
और समानता

इस प्रकार, एक फ़ंक्शन सम या विषम हो सकता है यदि इसकी परिभाषा का डोमेन संख्या रेखा (संख्या) पर मूल के बारे में सममित हो एक्सतथा - एक्सएक साथ हैं
) है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
परिभाषा के अपने डोमेन के बाद भी और विषम नहीं है
उत्पत्ति के बारे में सममित नहीं।

समारोह
तब से
मूल के बारे में सममित और।

समारोह
तब से विषम है
तथा
.

समारोह
हालांकि यह भी अजीब और अजीब नहीं है
और उत्पत्ति के बारे में सममित है, समानताएं (11.1) संतुष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए,।

एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के बारे में सममित है कहांअगर बिंदु के बाद से

भी ग्राफिक्स के अंतर्गत आता है। एक विषम कार्य का ग्राफ मूल के बारे में सममित है, यदि ऐसा है
ग्राफ के अंतर्गत आता है, फिर बिंदु
भी ग्राफिक्स के अंतर्गत आता है।

यह साबित करते हुए कि कोई फ़ंक्शन सम या विषम है, निम्नलिखित कथन उपयोगी हैं।

प्रमेय1. क) दो सम (विषम) कार्यों का योग एक सम (विषम) कार्य है।

b) दो सम (विषम) क्रियाओं का गुणन एक समान कार्य है।

ग) एक सम और विषम कार्य का गुणन विषम कार्य है।

घ) यदि च- सेट पर भी एक समारोह एक्सऔर समारोह जी सेट पर परिभाषित किया गया
, फिर समारोह
- यहाँ तक की।

ई) यदि च- सेट पर अजीब समारोह एक्सऔर समारोह जी सेट पर परिभाषित किया गया
और भी (विषम), तो कार्य
- सम विषम)।

सबूत... उदाहरण के लिए, b) और d) हमें सिद्ध करते हैं।

b) आज्ञा दें
तथा
- भी कार्य करता है। तो, इसलिए। विषम कार्यों के मामले को इसी तरह माना जाता है
तथा
.

d) आज्ञा दें च एक समान कार्य है। फिर।

बाकी प्रमेय एक समान तरीके से साबित होता है। प्रमेय सिद्ध है।

प्रमेय2. कोई कार्य
सेट पर परिभाषित किया गया एक्समूल के बारे में सममित, सम और विषम कार्यों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सबूत... समारोह
के रूप में लिखा जा सकता है

.

समारोह
- तब से
और समारोह
- अजीब क्योंकि। इस तरह,
कहाँ पे
- सम, और
- पुराना फंक्शन। प्रमेय सिद्ध है।

परिभाषा2. समारोह
बुलाया सामयिक अगर कोई संख्या है
, ऐसा किसी के लिए
नंबर
तथा
डोमेन से भी संबंधित है
और समानताएं हैं

ऐसी संख्या टीबुलाया अवधि कार्यों
.

परिभाषा 1 का अर्थ है कि यदि टी- कार्य अवधि
, फिर संख्या - टीभी फ़ंक्शन की अवधि है
(जब से बदल रहा हूँ टीपर - टीसमानता संरक्षित है)। गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हुए, कोई भी यह दिखा सकता है कि यदि टी- कार्य अवधि च, फिर
, एक अवधि भी है। यह निम्नानुसार है कि यदि किसी फ़ंक्शन की अवधि होती है, तो इसमें असीम रूप से कई अवधि होती है।

परिभाषा3. किसी फंक्शन के पॉजिटिव पीरियड्स को सबसे छोटा कहा जाता है मुख्य अवधि।

प्रमेय3. अगर टी- फ़ंक्शन की मुख्य अवधि च, फिर शेष अवधि इसके गुणक हैं।

सबूत... मान लीजिए कि विपरीत, यानी कि एक अवधि है कार्यों च (\u003e 0), एकाधिक नहीं टी... फिर, विभाजन पर टीशेष के साथ, हम प्राप्त करते हैं
कहाँ पे
... इसलिये

अर्थात - कार्य अवधि च, तथा
, और यह इस तथ्य का खंडन करता है कि टी- फ़ंक्शन की मुख्य अवधि च... प्रमेय का दावा परिणामी विरोधाभास से होता है। प्रमेय सिद्ध है।

यह सर्वविदित है कि त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक हैं। मुख्य अवधि
तथा
के बराबर
,
तथा
... फ़ंक्शन की अवधि ज्ञात करें
... लश्कर
- इस फ़ंक्शन की अवधि। फिर

(जैसा
.

oror या
.

मूल्य टी, पहली समानता से निर्धारित, एक अवधि नहीं हो सकती है, क्योंकि यह निर्भर करता है एक्स, अर्थात। का एक कार्य है एक्सएक स्थिर संख्या के बजाय। अवधि दूसरी समानता से निर्धारित होती है:
... कई अवधियों के साथ अनंत हैं
सबसे छोटी सकारात्मक अवधि कब प्राप्त होती है
:
... यह फ़ंक्शन की मुख्य अवधि है
.

एक अधिक जटिल आवधिक कार्य का एक उदाहरण डिरिचलेट फ़ंक्शन है

ध्यान दें कि यदि टीएक तर्कसंगत संख्या है, फिर
तथा
तर्कसंगत के साथ तर्कसंगत संख्याएं हैं एक्सऔर तर्कहीन के साथ तर्कहीन एक्स... इसलिये

किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए टी... इसलिए, कोई तर्कसंगत संख्या टीdirichlet फ़ंक्शन की अवधि है। यह स्पष्ट है कि इस फ़ंक्शन की एक मुख्य अवधि नहीं है, क्योंकि सकारात्मक रूप से तर्कसंगत संख्याएं मनमाने ढंग से शून्य के करीब हैं (उदाहरण के लिए, एक तर्कसंगत संख्या चुनकर बनाई जा सकती है एनमनमाने ढंग से शून्य के करीब)।

प्रमेय4. यदि फ़ंक्शन च सेट पर दिया गया एक्सऔर एक अवधि है टीऔर समारोह जी सेट पर दिया गया
, फिर जटिल कार्य
एक अवधि भी है टी.

सबूत... हमारे पास है, इसलिए

वह है, प्रमेय का कथन सिद्ध होता है।

उदाहरण के लिए, चूंकि क्योंकि एक्स एक अवधि है
, फिर कार्य करता है
एक अवधि है
.

परिभाषा4. ऐसे कार्य जिन्हें आवधिक नहीं कहा जाता है गैर आवधिक .

यहां तक \u200b\u200bकि समारोह।

यहाँ तक की उस फ़ंक्शन को कहा जाता है जिसका चिह्न परिवर्तित होने पर संकेत नहीं बदलता है एक्स.

एक्स समानता रखती है च(–एक्स) = च(एक्स) है। संकेत एक्स संकेत को प्रभावित नहीं करता है य.

समरूप अक्ष का आकृति सममितीय अक्ष (चित्र 1) के बारे में सममित है।

एक समान कार्य के उदाहरण:

य \u003d कॉस एक्स

य = एक्स 2

य = –एक्स 2

य = एक्स 4

य = एक्स 6

य = एक्स 2 + एक्स

स्पष्टीकरण:
चलिए फंक्शन लेते हैं य = एक्स 2 या य = –एक्स 2 .
किसी भी मूल्य के लिए एक्स फ़ंक्शन सकारात्मक है। संकेत एक्स संकेत को प्रभावित नहीं करता है य... ग्राफ समन्वित अक्ष के बारे में सममित है। यह एक समान कार्य है।

पुराना फंक्शन।

अजीब उस फ़ंक्शन को कहा जाता है, जिसका चिह्न बदलते ही साइन बदल जाता है एक्स.

दूसरे शब्दों में, किसी भी अर्थ के लिए एक्स समानता रखती है च(–एक्स) = –च(एक्स).

एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के बारे में सममित है (छवि 2)।

एक अजीब समारोह के उदाहरण:

य \u003d पाप एक्स

य = एक्स 3

य = –एक्स 3

स्पष्टीकरण:

फंक्शन y \u003d - लें एक्स 3 .
सभी मूल्य पर इसमें माइनस साइन होगा। वह संकेत है एक्स संकेत को प्रभावित करता है य... यदि स्वतंत्र चर एक सकारात्मक संख्या है, तो फ़ंक्शन भी सकारात्मक है, यदि स्वतंत्र चर एक नकारात्मक संख्या है, तो फ़ंक्शन भी सकारात्मक संख्या है: च(–एक्स) = –च(एक्स).
फ़ंक्शन ग्राफ मूल के बारे में सममित है। यह एक विषम कार्य है।

सम और विषम कार्य गुण:

ध्यान दें:

सभी सुविधाएँ विषम या सम्\u200dमिलित नहीं हैं। ऐसे कार्य हैं जो इस क्रम का पालन नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, रूट फ़ंक्शन पर = √एक्स या तो या विषम कार्यों (छवि 3) पर लागू नहीं होता है। ऐसे कार्यों के गुणों को सूचीबद्ध करते समय, एक उपयुक्त विवरण दिया जाना चाहिए: न तो और न ही विषम।

आवधिक कार्य।

जैसा कि आप जानते हैं, आवधिकता एक निश्चित अंतराल पर कुछ प्रक्रियाओं की पुनरावृत्ति है। इन प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले कार्यों को कहा जाता है आवधिक कार्य... यही है, ये ऐसे कार्य हैं जिनके रेखांकन में ऐसे तत्व होते हैं जो कुछ निश्चित अंतराल पर दोहराते हैं।

जुलाई 2020 में, नासा मंगल पर एक अभियान शुरू करेगा। अंतरिक्ष यान, मंगल ग्रह के एक इलेक्ट्रॉनिक वाहक को अभियान के सभी पंजीकृत सदस्यों के नाम देगा।

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इन कोड वेरिएंटों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट किया जाना चाहिए, जो टैग के बीच अधिमानतः होता है तथा या टैग के ठीक बाद ... पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करना होगा। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पृष्ठ अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: आपकी साइट के डैशबोर्ड में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड सम्मिलित करने के लिए एक विजेट जोड़ें, ऊपर डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को शुरुआत के करीब रखें टेम्पलेट (वैसे, यह बिल्कुल आवश्यक नहीं है क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को अतुल्यकालिक रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब, MathML, LaTeX और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी वेबसाइट के वेब पेजों में गणित के फॉर्मूले एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

एक और नए साल की पूर्व संध्या ... ठंढ का मौसम और खिड़की के फलक पर बर्फ के टुकड़े ... यह सब मुझे फिर से लिखने के लिए प्रेरित किया ... भग्न, और वोल्फ्राम अल्फा इसके बारे में क्या जानता है। इस बारे में एक दिलचस्प लेख है, जिसमें द्वि-आयामी भग्न संरचनाओं के उदाहरण हैं। यहां हम 3 डी फ्रैक्टल्स के अधिक जटिल उदाहरणों को देखेंगे।

एक भग्न को एक ज्यामितीय आकृति या निकाय के रूप में कल्पना (वर्णित) किया जा सकता है (जिसका अर्थ है कि दोनों एक सेट हैं, इस मामले में, बिंदुओं का एक सेट), जिसका विवरण मूल आकृति के समान ही है। यही है, यह एक आत्म-समान संरचना है, जिसके विवरणों को देखते हुए, आवर्धन के साथ, हम बिना आवर्धन के समान आकार देखेंगे। जबकि एक नियमित ज्यामितीय आकार (एक भग्न नहीं) के मामले में, जब हम ज़ूम इन करते हैं, तो हम उन विवरणों को देखेंगे जो मूल आकार की तुलना में अधिक सरल हैं। उदाहरण के लिए, एक उच्च पर्याप्त आवर्धन पर, दीर्घवृत्त का हिस्सा एक लाइन खंड की तरह दिखता है। यह फ्रैक्टल्स के साथ नहीं होता है: उनमें किसी भी वृद्धि पर, हम फिर से उसी जटिल आकार को देखेंगे, जो प्रत्येक वृद्धि के साथ बार-बार दोहराएगा।

फ्रैक्टल्स साइंस के संस्थापक बेनोइट मंडेलब्रोट ने अपने लेख फ्रैक्टल्स एंड आर्ट फॉर साइंस में लिखा है: “फ्रैक्टल्स ज्यामितीय आकार हैं जो उनके सामान्य रूप में उनके विवरण के रूप में जटिल हैं। फ्रैक्टल का हिस्सा भग्न के आकार में बढ़ जाएगा। पूरे, यह एक पूरे की तरह दिखेगा, या बिल्कुल, या शायद थोड़ी विरूपण के साथ। "

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फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा दिया जाता है: y \u003d 2x ^ (2) -3। स्वतंत्र चर x के लिए कोई भी मान निर्दिष्ट करके, आप इस सूत्र का उपयोग करके निर्भर चर y के संगत मानों की गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x \u003d -0.5, तो, सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं कि y का संबंधित मान y \u003d 2 \\ cdot (-0.5) ^ (2) -3 \u003d -2.5 है।

सूत्र y \u003d 2x ^ (2) -3 में x तर्क द्वारा स्वीकार किए गए किसी भी मूल्य को लेते हुए, आप केवल एक फ़ंक्शन मान की गणना कर सकते हैं जो इसके अनुरूप है। फ़ंक्शन को तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है:

इस तालिका का उपयोग करते हुए, आप यह पता लगा सकते हैं कि तर्क the1 के मान के लिए, फ़ंक्शन will3 का मूल्य अनुरूप होगा; और मान x \u003d 2, y \u003d 0, आदि के अनुरूप होगा। यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि तालिका में तर्क का प्रत्येक मान केवल एक फ़ंक्शन मान से मेल खाता है।

अन्य कार्यों को रेखांकन का उपयोग करके सेट किया जा सकता है। ग्राफ की सहायता से, यह स्थापित किया जाता है कि फ़ंक्शन का कौन सा मान x के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। सबसे अधिक बार, यह फ़ंक्शन का अनुमानित मूल्य होगा।

सम और विषम कार्य

समारोह है यहां तक \u200b\u200bकि समारोहजब डोमेन से किसी भी x के लिए f (-x) \u003d f (x) हो। यह फ़ंक्शन ओए अक्ष के बारे में सममित होगा।

समारोह है पुराना फंक्शनजब f (-x) \u003d - f (x) डोमेन से किसी भी x के लिए। इस तरह के एक समारोह मूल ओ (0; 0) के बारे में सममित होगा।

समारोह है समान नहीं, न विषम और फोन किया सामान्य कार्यजब यह एक अक्ष या मूल के बारे में सममित नहीं है।

आइए हम समता के लिए नीचे दिए गए फ़ंक्शन की जाँच करें:

f (x) \u003d 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) \u003d (- \\ infty; + \\ infty) मूल के चारों ओर सममित डोमेन के साथ। f (-x) \u003d 3 \\ cdot (-x) ^ (3) -7 \\ cdot (-x) ^ (7) \u003d -3x ^ (3) + 7x ^ (7) \u003d - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) \u003d -f (x).

इसलिए, फ़ंक्शन f (x) \u003d 3x ^ (3) -7x ^ (7) विषम है।

आवधिक कार्य

फ़ंक्शन y \u003d f (x), जिसके डोमेन में समानता f (x + T) \u003d f (x-T) \u003d f (x) किसी भी x के लिए रखती है, कहा जाता है आवधिक कार्य अवधि के साथ T \\ neq 0।

एब्सिसा अक्ष के किसी भी खंड पर एक फ़ंक्शन के ग्राफ की पुनरावृत्ति जिसकी लंबाई टी है

अंतराल जहां फ़ंक्शन पॉजिटिव है, वह है, f (x)\u003e 0 एब्सिस्सा अक्ष के सेगमेंट हैं, जो फंक्शन ग्राफ के बिंदुओं के अनुरूप हैं जो एब्सिस्सा अक्ष के ऊपर स्थित हैं।

f (x)\u003e 0 पर (x_ (1); x_ (2)) \\ कप (x_ (3); + \\ infty)

अंतराल जहां फ़ंक्शन नकारात्मक है, अर्थात f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

च (x)< 0 на (- \\ infty; x_ (1)) \\ कप (x_ (2); x_ (3))

सीमित समारोह

नीचे से बँधा हुआ यह X में किसी संख्या A के लिए एक फ़ंक्शन y \u003d f (x), x \\ को कॉल करने के लिए प्रथागत है, जिसके लिए असमानता f (x) \\ geq A, x में किसी भी x \\ के लिए रखती है।

नीचे से बँटे फ़ंक्शन का एक उदाहरण: y \u003d \\ sqrt (1 + x ^ (2)) y \u003d \\ sqrt (1 + x ^ (2)) \\ geq 1 के बाद से किसी भी x के लिए।

शीर्ष पर बँधा हुआ एक फ़ंक्शन y \u003d f (x), x \\ _ को X कहा जाता है यदि कोई संख्या B मौजूद है जिसके लिए X होल्ड में किसी भी x \\ के लिए असमानता f (x) \\ neq B है।

नीचे से बांधे गए फ़ंक्शन का एक उदाहरण: y \u003d \\ sqrt (1-x ^ (2)), x \\ में [-1; 1] चूँकि y \u003d \\ sqrt (1 + x ^ (2)) \\ neq 1 के लिए किसी भी x \\ के लिए [-1; 1] में।

सीमित यह एक समारोह y \u003d f (x), x \\ को X में कॉल करने के लिए प्रथागत है जब कोई संख्या K\u003e 0 होती है जिसके लिए असमानता \\ बाएँ | f (x) \\ सही | एक्स में किसी भी एक्स के लिए \\ neq K।

एक बंधे हुए कार्य का एक उदाहरण: y \u003d \\ sin x पूरे संख्या अक्ष पर बँधा हुआ है \\ बाएँ | \\ sin x \\ right | \\ neq १.

बढ़ते और घटते समारोह

यह एक फ़ंक्शन के बारे में बात करने के लिए प्रथागत है जो विचार के तहत अंतराल पर बढ़ता है बढ़ते समारोह जब x का बड़ा मान फ़ंक्शन y \u003d f (x) के बड़े मान से मेल खाता है। इसलिए यह इस प्रकार है कि तर्क से अंतर मानने से दो तर्क मान x_ (1) और x_ (2), और x_ (1)\u003e x_ (2), y (x_ (1))\u003e y होगा (x_ (2))।

विचाराधीन अंतराल पर घटने वाले कार्य को कहा जाता है घटते हुए कार्य तब, जब x का बड़ा मान फ़ंक्शन y (x) के छोटे मूल्य के अनुरूप होगा। इसलिए यह इस प्रकार है कि तर्क से अंतर मानने से दो तर्क मान x_ (1) और x_ (2), और x_ (1)\u003e x_ (2), y (x_ (1)) होगा< y(x_{2}) .

रूट किए गए फ़ंक्शन यह उन बिंदुओं को कॉल करने के लिए प्रथागत है, जिस पर फ़ंक्शन F \u003d y (x) एब्सिस्सा अक्ष को काटता है (वे समीकरण y (x) \u003d 0 को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाते हैं)।

a) यदि x\u003e 0 के लिए भी एक फंक्शन बढ़ता है, तो यह x के लिए घटता है< 0

b) जब x\u003e 0 के लिए भी एक फंक्शन घटता है, तो यह x के लिए बढ़ जाता है< 0

c) जब x\u003e 0 के लिए एक विषम फ़ंक्शन बढ़ता है, तो यह x के लिए भी बढ़ता है< 0

d) जब x\u003e 0 के लिए एक विषम कार्य घटता है, तो यह x के लिए घटता है< 0

क्रियाशीलता

फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु y \u003d f (x) यह ऐसे बिंदु x \u003d x_ (0) को कॉल करने के लिए प्रथागत है, जिसमें इसके पड़ोस में अन्य बिंदु होंगे (बिंदु x \u003d x_ (0) को छोड़कर), और उनके लिए फिर असमानता f (x)\u003e f (x_ (0))। y_ (मिनट) - बिंदु मिनट पर फ़ंक्शन का पदनाम।

फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु y \u003d f (x) यह ऐसे बिंदु x \u003d x_ (0) को कॉल करने के लिए प्रथागत है, जिसमें इसके पड़ोस में अन्य बिंदु होंगे (बिंदु x \u003d x_ (0) को छोड़कर), और उनके लिए तब असमानता x (x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

आवश्यक शर्त

फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार: f "(x) \u003d 0 जब फ़ंक्शन f (x), जो बिंदु x_ (0) पर भिन्न होता है, इस बिंदु पर एक चरम होता है।

पर्याप्त स्थिति

1. जब व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से घटाकर साइन करते हैं, तो x_ (0) न्यूनतम बिंदु होगा;
2. x_ (0) - एक अधिकतम बिंदु केवल तभी होगा जब व्युत्पन्न परिवर्तन शून्य से प्लस तक गतिमान होते हैं जब स्थिर बिंदु x_ (0) से गुजरता है।

अंतराल में फ़ंक्शन का उच्चतम और निम्नतम मूल्य

गणना कदम:

1. व्युत्पन्न एफ "(एक्स);
2. फ़ंक्शन के स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदु पाए जाते हैं और खंड से संबंधित लोगों का चयन किया जाता है;
3. फ़ंक्शन f (x) के मान स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदुओं और खंड के समापन बिंदु पर पाए जाते हैं। प्राप्त परिणामों का कम होगा सबसे छोटा फ़ंक्शन मान, और अधिक - महानतम.