दोलन भौतिकी सूत्र। दोलन और तरंगें, नियम और सूत्र। परावर्तित प्रकाश में न्यूटन के काले वलय की त्रिज्या

हार्मोनिक कंपन कानून के अनुसार होते हैं:

एक्स = एकॉस (ω टी + φ 0),

कहां एक्स- संतुलन की स्थिति से एक कण का विस्थापन, ए- कंपन आयाम, - कोणीय आवृत्ति, 0 - प्रारंभिक चरण, टी- समय।

दोलन अवधि टी = .

दोलन कण गति:

υ = = – एपाप टी + φ 0),

त्वरण ए = = –एω 2 cos (ω टी + φ 0).

दोलन गति करने वाले कण की गतिज ऊर्जा: इकश्मीर = =
पाप २ टी+ φ 0).

संभावित ऊर्जा:

इएन =
cos 2 (ω टी + φ 0).

पेंडुलम दोलन अवधि

- स्प्रिंग टी =
,

कहां एम- माल का द्रव्यमान, क- वसंत कठोरता का गुणांक,

- गणितीय टी = ,

कहां मैं- निलंबन लंबाई, जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण,

- शारीरिक टी =
,

कहां मैं- निलंबन बिंदु से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष पेंडुलम की जड़ता का क्षण, एमपेंडुलम का द्रव्यमान है, मैं- निलंबन बिंदु से द्रव्यमान के केंद्र तक की दूरी।

भौतिक लोलक की घटी हुई लंबाई इस स्थिति से पाई जाती है: मैंएनपी = ,

पदनाम भौतिक पेंडुलम के समान हैं।

जब एक ही आवृत्ति और एक दिशा के दो हार्मोनिक दोलन जोड़े जाते हैं, तो एक आयाम के साथ समान आवृत्ति का एक हार्मोनिक दोलन प्राप्त होता है:

ए = ए 1 2 + ए 2 2 + 2ए 1 ए 2 cos (φ 2 - 1)

और प्रारंभिक चरण: φ = आर्कटान
.

कहां ए 1 , ए 2 - आयाम, 1, φ 2 - जोड़े गए दोलनों के प्रारंभिक चरण।

एक ही आवृत्ति के परस्पर लंबवत दोलनों को जोड़ते समय परिणामी गति का प्रक्षेपवक्र:

+ – कॉस (φ 2 - 1) = पाप 2 (φ 2 - 1)।

नम दोलन कानून के अनुसार होते हैं:

एक्स = ए 0 इ - β टीकॉस (ω टी + φ 0),

जहां β अवमंदन गुणांक है, शेष प्राचलों का अर्थ वही है जो हार्मोनिक दोलनों के लिए है, ए 0 - प्रारंभिक आयाम। एक पल में टीकंपन आयाम:

ए = ए 0 इ - β टी .

अवमंदन लघुगणकीय कमी कहलाती है:

= एलएन
= β टी,

कहां टी- दोलन अवधि: टी = .

एक दोलन प्रणाली के गुणवत्ता कारक को कहा जाता है:

एक समतल यात्रा तरंग के समीकरण का रूप है:

आप = आप 0 क्योंकि ( टी ± ),

कहां पर- संतुलन की स्थिति से उतार-चढ़ाव वाली मात्रा का विस्थापन, पर 0 - आयाम, - कोणीय आवृत्ति, टी- समय, एन एसवह निर्देशांक है जिसके साथ तरंग फैलती है, υ - तरंग प्रसार गति।

"+" चिन्ह अक्ष के विरुद्ध फैलने वाली तरंग से मेल खाता है एक्स, चिह्न "-" अक्ष के साथ फैलने वाली तरंग से मेल खाता है एन एस.

तरंग दैर्ध्य को इसकी स्थानिक अवधि कहा जाता है:

λ = υ टी,

कहां υ - तरंग प्रसार की गति, टी- दोलनों के प्रसार की अवधि।

तरंग समीकरण लिखा जा सकता है:

आप = आप 0 कॉस 2π (+)।

एक स्थायी तरंग का वर्णन समीकरण द्वारा किया जाता है:

आप = (2आप 0 कोस ) क्योंकि टी।

स्थायी तरंग का आयाम कोष्ठक में संलग्न है। अधिकतम आयाम वाले बिंदुओं को एंटीनोड कहा जाता है,

एक्सएन = एन ,

शून्य आयाम वाले अंक - नोड्स,

एक्सवाई = ( एन + ) .

समस्या समाधान के उदाहरण

असाइनमेंट 20

हार्मोनिक कंपन का आयाम 50 मिमी है, अवधि 4 एस और प्रारंभिक चरण है ... क) इस दोलन का समीकरण लिखिए; बी) संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु के विस्थापन का पता लगाएं टी= 0 और के लिए टी= १.५ एस; ग) इस गति का आलेख खींचिए।

समाधान

दोलन समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है एक्स = एकॉस ( टी+  0).

स्थिति के अनुसार दोलन काल ज्ञात होता है। इसके द्वारा आप वृत्तीय आवृत्ति = . को व्यक्त कर सकते हैं . शेष पैरामीटर ज्ञात हैं:

ए) एक्स= ०.०५ cos ( टी + ).

बी) विस्थापन एक्सपर टी= 0.

एक्स 1 = ०.०५ कॉस = ०.०५ = ०.०३५५ मी.

पर टी= १.५ s

एक्स 2 = ०.०५ cos ( 1,5 + ) = ०.०५ cos = - 0.05 मी.

वी ) फ़ंक्शन ग्राफ एक्स= 0.05cos ( टी + ) निम्नलिखित नुसार:

आइए कई बिंदुओं की स्थिति को परिभाषित करें। ज्ञात एन एस 1 (0) और एन एस 2 (1.5), साथ ही दोलन अवधि। इसलिए, . के माध्यम से टी= 4 एस मान एन एसदोहराता है, और . के बाद टी = 2 ग संकेत बदलता है। मध्य में उच्च और निम्न के बीच 0 है।

असाइनमेंट 21

बिंदु एक हार्मोनिक कंपन बनाता है। दोलन अवधि 2 एस है, आयाम 50 मिमी है, प्रारंभिक चरण शून्य है। एक बिंदु की गति उस समय ज्ञात कीजिए जब संतुलन की स्थिति से इसका विस्थापन 25 मिमी है।

समाधान

1 रास्ता। हम बिंदु के दोलन का समीकरण लिखते हैं:

एक्स= ०.०५ क्योंकि टी, क्योंकि = =.

समय में इस समय गति का पता लगाएं टी:

υ = = – 0,05 क्योंकि टी।

हम उस समय का पता लगाते हैं जब विस्थापन 0.025 मीटर होता है:

०.०२५ = ०.०५ cos टी 1 ,

इसलिए क्योंकि टी 1 = ,  टी 1 = . गति के लिए इस मान को व्यंजक में रखें:

υ = - 0.05 पाप = - 0,05 = 0.136 एम / एस।

विधि २। कंपन गति की कुल ऊर्जा:

इ =
,

कहां ए- आयाम, - वृत्ताकार आवृत्ति, एम – कण द्रव्यमान।

समय के प्रत्येक क्षण पर, यह बिंदु की स्थितिज और गतिज ऊर्जा का योग होता है

इकश्मीर = , इएन = , लेकिन क = एम२, फिर इएन =
.

आइए ऊर्जा के संरक्षण का नियम लिखें:

= +
,

यहाँ से हमें मिलता है: ए 2 2 = υ 2 + 2 एक्स 2 ,

υ = 
= 
= 0.136 एम / एस।

असाइनमेंट 22

एक भौतिक बिंदु के हार्मोनिक कंपन का आयाम ए= 2 सेमी, कुल ऊर्जा इ= 3 ∙ 10 -7 J. संतुलन की स्थिति से किस विस्थापन पर बल दोलन बिंदु पर कार्य करता है एफ = 2.25 10 -5 एन?

समाधान

हार्मोनिक दोलन करने वाले बिंदु की कुल ऊर्जा बराबर होती है: इ =
. (13)

लोचदार बल का मापांक संतुलन स्थिति से बिंदुओं के विस्थापन के माध्यम से व्यक्त किया जाता है एक्सइस अनुसार:

एफ = के एक्स (14)

सूत्र (13) में द्रव्यमान शामिल है एमऔर कोणीय आवृत्ति , और (14) में - कठोरता गुणांक क... लेकिन वृत्तीय आवृत्ति का संबंध से है एमतथा क:

 2 = ,

यहाँ से क = एम 2 और एफ = एम 2 एक्स... व्यक्त करके एम 2 संबंध (13) से हम प्राप्त करते हैं: एम 2 = , एफ = एक्स.

जहाँ से हमें विस्थापन का व्यंजक प्राप्त होता है एक्स: एक्स = .

प्रतिस्थापन संख्यात्मक मूल्यदेता है:

एक्स =
= 1.5 10 -2 मीटर = 1.5 सेमी।

असाइनमेंट 23

बिंदु समान अवधियों और प्रारंभिक चरणों के साथ दो दोलनों में भाग लेता है। दोलन आयाम ए 1 = 3 सेमी और ए 2 = 4 सेमी। परिणामी दोलन का आयाम ज्ञात करें यदि: 1) दोलन एक दिशा में होते हैं; 2) कंपन परस्पर लंबवत होते हैं।

समाधान

यदि दोलन एक दिशा में होते हैं, तो परिणामी दोलन का आयाम इस प्रकार निर्धारित किया जाएगा:

कहां ए 1 और ए 2 - जोड़े गए दोलनों के आयाम, 1 और  2 - प्रारंभिक चरण। शर्त के अनुसार, प्रारंभिक चरण समान हैं, जिसका अर्थ है 2 - 1 = 0, और cos 0 = 1।

अत:

ए =
=
= ए 1 +ए 2 = 7 सेमी.

यदि कंपन परस्पर लंबवत हैं, तो परिणामी गति का समीकरण होगा:

कॉस ( 2 - 1) = पाप 2 ( 2 - 1)।

चूंकि शर्त  2 - 1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, समीकरण को इस प्रकार लिखा जाएगा:
=0,

या
=0,

या
.

के बीच परिणामी संबंध एक्सतथा परएक ग्राफ पर प्लॉट किया जा सकता है। ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि एक सीधी रेखा पर एक बिंदु के परिणामी दोलन एम.एन.... इस उतार-चढ़ाव के आयाम को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा: ए =
= 5 सेमी.

असाइनमेंट 24

नम दोलन अवधि टी= 4 s, लघुगणक अवमंदन = 1.6, प्रारंभिक चरण शून्य है। पॉइंट ऑफ़सेट at टी = बराबर 4.5 सेमी. 1) इस दोलन का समीकरण लिखिए; 2) दो अवधियों के लिए इस गति का एक ग्राफ बनाएं।

समाधान

शून्य प्रारंभिक चरण के साथ नम दोलनों के समीकरण का रूप है:

एक्स = ए 0 इ -  टी cos2 .

संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त प्रारंभिक आयाम मान नहीं हैं ए 0 और भिगोना गुणांक ।

भिगोना कारक को लघुगणकीय अवमंदन के अनुपात से निर्धारित किया जा सकता है:

 = टी.

इस प्रकार = = = 0.4 एस -1।

प्रारंभिक आयाम दूसरी शर्त को प्रतिस्थापित करके निर्धारित किया जा सकता है:

4.5 सेमी = ए 0
क्योंकि 2 = ए 0
कॉस = ए 0
.

यहाँ से हम पाते हैं:

ए 0 = 4,5∙

(सेमी) = 7.75 सेमी।

गति का अंतिम समीकरण है:

एक्स = 0,0775
लागत।

असाइनमेंट 25

लॉगरिदमिक डंपिंग कमी क्या है गणितीय लोलकअगर के लिए टी = 1 मिनट, कंपन आयाम आधा हो गया है? पेंडुलम लंबाई मैं = 1 मी.

समाधान

लॉगरिदमिक अवमंदन कमी को संबंध से पाया जा सकता है: = टी,

जहां क्षीणन गुणांक है, टी- उतार-चढ़ाव की अवधि। गणितीय लोलक की प्राकृतिक वृत्ताकार आवृत्ति:

 0 =
= 3.13 एस -1।

दोलनों का अवमंदन गुणांक इस स्थिति से निर्धारित किया जा सकता है: ए 0 = ए 0 इ -  टी ,

टी= एलएन2 = 0.693,

 =
= 0.0116c -1।

चूंकि<<  0 , то в формуле  =
0 की तुलना में उपेक्षित किया जा सकता है और दोलन अवधि सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है: टी = = 2सी.

स्थानापन्न और टीलघुगणक अवमंदन के व्यंजक में और हम पाते हैं:

 = टी= 0.0116 एस -1 ∙ 2 एस = 0.0232।

असाइनमेंट 26

निरंतर दोलनों का समीकरण रूप में दिया गया है एक्स= 4 पाप600 टीसे। मी।

दूरी पर स्थित एक बिंदु की संतुलन स्थिति से विस्थापन का पता लगाएं मैं= कंपन के स्रोत से 75 सेमी, के बाद टी= 0.01 s दोलन की शुरुआत के बाद। कंपन प्रसार गति υ = 300 मीटर / सेक।

समाधान

आइए हम किसी दिए गए स्रोत से फैलने वाली तरंग का समीकरण लिखें: एक्स= ०.०४ पाप ६०० ( टी– ).

हम किसी दिए गए स्थान पर एक निश्चित समय में तरंग का चरण पाते हैं:

टी– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 0.0075 = 4.5,

पाप ४,५ = पाप = १.

इसलिए, बिंदु का ऑफसेट एक्स= 0.04 मीटर, यानी। दूरी पर मैं = उस समय स्रोत से 75 सेमी टी= 0.01 एस अधिकतम बिंदु बदलाव।

ग्रन्थसूची

वोल्केनस्टाइन वी.एस.... भौतिकी के सामान्य पाठ्यक्रम के लिए समस्याओं का संग्रह। - एसपीबी ।: स्पेट्स लिट, 2001।

सेवलीव आई.वी... सामान्य भौतिकी में प्रश्नों और समस्याओं का संग्रह। - एम।: नौका, 1998।

हार्मोनिक समीकरण

कहां एनएस -संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन;
टी- समय; ए,, - क्रमशः आयाम, कोणीय आवृत्ति,
दोलनों का प्रारंभिक चरण; - इस समय दोलनों का चरण टी.

कोणीय कंपन आवृत्ति

जहां और T दोलनों की आवृत्ति और अवधि हैं।

हार्मोनिक दोलन करने वाले बिंदु की गति

हार्मोनिक त्वरण

आयाम एपरिणामी दोलन, समान आवृत्तियों के साथ दो दोलनों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है, एक सीधी रेखा के साथ होता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहां ए 1 और ए 2 - कंपन घटकों के आयाम; 1 और φ 2 उनके प्रारंभिक चरण हैं।

परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण सूत्र से पाया जा सकता है

दो दोलनों के योग से उत्पन्न होने वाली धड़कनों की आवृत्ति एक सीधी रेखा के साथ भिन्न, लेकिन मान में करीब, आवृत्तियों 1 और ν 2 के साथ होती है,

आयाम ए 1 और ए 2 और प्रारंभिक चरणों φ 1 और φ 2 के साथ दो परस्पर लंबवत दोलनों में भाग लेने वाले बिंदु के प्रक्षेपवक्र का समीकरण,

यदि कंपन घटकों के प्रारंभिक चरण 1 और φ 2 समान हैं, तो प्रक्षेपवक्र समीकरण रूप लेता है

यानी बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है।

इस घटना में कि चरण अंतर, समीकरण
रूप लेता है

यानी बिंदु एक दीर्घवृत्त के साथ चलता है।

एक भौतिक बिंदु के हार्मोनिक कंपन का अंतर समीकरण

या ,
जहाँ m बिंदु का द्रव्यमान है; क -अर्ध-लोचदार बल गुणांक ( क=टी२) ।

हार्मोनिक कंपन करने वाले भौतिक बिंदु की कुल ऊर्जा,

एक वसंत (वसंत पेंडुलम) पर निलंबित शरीर के दोलन की अवधि,

कहां एम- शरीर का भार; क -वसंत दर। सूत्र उस सीमा के भीतर लोचदार कंपन के लिए मान्य है जिसमें हुक का नियम पूरा होता है (शरीर के द्रव्यमान की तुलना में वसंत के एक छोटे द्रव्यमान के साथ)।

एक गणितीय लोलक के दोलन की अवधि

कहां मैं- पेंडुलम की लंबाई; जी -गुरुत्वाकर्षण का त्वरण। एक भौतिक लोलक के दोलन की अवधि

कहां जे- अक्ष के बारे में दोलनशील पिंड की जड़ता का क्षण

उतार-चढ़ाव; ए- दोलन के अक्ष से लोलक के द्रव्यमान केंद्र की दूरी;

एक भौतिक पेंडुलम की कम लंबाई।

इनफिनिटसिमल एम्पलीट्यूड के मामले में उपरोक्त सूत्र सटीक हैं। परिमित आयामों पर, ये सूत्र केवल अनुमानित परिणाम देते हैं। आयाम पर अवधि के मूल्य में त्रुटि से अधिक नहीं 1% से अधिक नहीं है।

एक लोचदार धागे पर लटके हुए शरीर के मरोड़ वाले कंपन की अवधि,

कहां जे -लोचदार धागे से मेल खाने वाली धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण; क -लोचदार धागे की कठोरता, लोचदार क्षण के अनुपात के बराबर जो तब होता है जब धागे को उस कोण पर घुमाया जाता है जिसके माध्यम से धागा मुड़ जाता है।

नम दोलनों का विभेदक समीकरण
, या ,

कहां आर- प्रतिरोध का गुणांक; मैं - क्षीणन गुणांक :; ω 0 - दोलनों की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति *

नम दोलन समीकरण

कहां पर) -इस समय नम दोलनों का आयाम टी;उनकी कोणीय आवृत्ति है।

नम दोलनों की कोणीय आवृत्ति

समय पर नम दोलनों के आयाम की निर्भरता

कहां ए 0 - इस समय कंपन आयाम टी=0.

उतार-चढ़ाव का लघुगणकीय कमी

कहां पर)तथा ए (टी + टी) -दो लगातार दोलनों के आयाम एक दूसरे से एक अवधि के समय में अंतर करते हैं।

मजबूर दोलन अंतर समीकरण

बाह्य आवर्त बल कहाँ पर कार्य कर रहा है
सामग्री बिंदु में उतार-चढ़ाव और जबरदस्ती पैदा करना
उतार-चढ़ाव; एफ 0 -इसका आयाम मूल्य;

मजबूर कंपन आयाम

गुंजयमान आवृत्ति और गुंजयमान आयाम तथा

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1।बिंदु कानून के अनुसार दोलन करता है एक्स (टी) =,कहां ए = 2देखें प्रारंभिक चरण निर्धारित करें if

एक्स(0) = सेमी और एन एस , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
पुलिस टी=0.

समाधान। आइए गति के समीकरण का उपयोग करें और इस समय विस्थापन को व्यक्त करें टी= 0 प्रारंभिक चरण के माध्यम से:

यहाँ से हम प्रारंभिक चरण पाते हैं:

* हार्मोनिक स्पंदनों के पहले के सूत्रों में, समान मान को केवल (बिना सूचकांक ०) द्वारा निरूपित किया जाता था।

दिए गए मानों को इस व्यंजक में रखें एक्स(0) और ए:φ=
=. तर्क का मूल्य संतुष्ट है
दो कोण मान:

यह तय करने के लिए कि कोण का कौन सा मान φ संतुष्ट करता है
शर्त भी बढ़ाता है, हम पहले पाते हैं:

इस व्यंजक में मान रखने पर टी= 0 और वैकल्पिक रूप से मान
प्रारंभिक चरण और, हम पाते हैं

हमेशा की तरह ए> 0 और ω> 0, तो शर्त केवल संतुष्ट है
प्रारंभिक चरण के पहले मूल्य के लिए।
इस प्रकार, आवश्यक प्रारंभिक
चरण

के पाए गए मान के आधार पर,
उन्हें एक सदिश आरेख (चित्र 6.1)।
उदाहरण २।सामग्री बिंदु
द्रव्यमान टी= 5 ग्राम एक हार्मोनिक करता है
आवृत्ति के साथ कंपन ν = 0.5 हर्ट्ज।
कंपन का आयाम ए= 3 सेमी. ऑप-
निर्धारित करें: 1) गति बिंदु . में
समय क्षण जब ऑफसेट एक्स =
= 1.5 सेमी; 2) अधिकतम शक्ति
एफ मैक्स बिंदु पर अभिनय; 3)
चावल। ६.१ पूर्ण ऊर्जा इउतार-चढ़ाव बिंदु
की.

और हम विस्थापन का पहली बार अवकलज लेकर गति का सूत्र प्राप्त करते हैं:

गति को विस्थापन के रूप में व्यक्त करने के लिए, समय को सूत्र (1) और (2) से बाहर करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम दोनों समीकरणों को वर्ग करते हैं, पहले को विभाजित करते हैं ए २, A 2 2 पर दूसरा और जोड़ें:

या

. के लिए अंतिम समीकरण को हल करना , पाना

इस सूत्र का उपयोग करके गणना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

प्लस चिन्ह उस स्थिति से मेल खाता है जब वेग की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाती है एन एस,ऋण चिह्न - जब गति की दिशा अक्ष की ऋणात्मक दिशा के साथ मेल खाती है एन.एस.

समीकरण (1) के अलावा, हार्मोनिक कंपन पर विस्थापन भी समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

इस समीकरण के साथ वही हल दोहराने पर हमें वही उत्तर मिलता है।

2. न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार एक बिंदु पर कार्य करने वाला बल पाया जाता है:

कहां ए -बिंदु त्वरण, जिसे हम वेग का समय व्युत्पन्न लेकर प्राप्त करते हैं:

त्वरण के व्यंजक को सूत्र (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

अतः बल का अधिकतम मान

इस समीकरण में , , मात्राओं के मान रखने पर टीतथा ए,पाना

3. एक दोलन बिंदु की कुल ऊर्जा किसी भी क्षण के लिए गणना की गई गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग है।

उस समय कुल ऊर्जा की गणना करना सबसे आसान है जब गतिज ऊर्जा अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाती है। इस समय स्थितिज ऊर्जा शून्य है। इसलिए, कुल ऊर्जा इदोलन बिंदु अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है

अधिकतम गति सूत्र (2) से निर्धारित करके निर्धारित की जाती है
:. गति के लिए व्यंजक को रूप में प्रतिस्थापित करना
खच्चर (4), खोजें

मात्राओं के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने और गणना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या μJ.

उदाहरण 3. मैं= 1 मीटर और द्रव्यमान एम३ = ४०० ग्राम छोटी गेंदें जो द्रव्यमान के साथ दृढ़ होती हैं एम 1 = 200 जीआई एम 2 = 300 ग्राम। रॉड क्षैतिज अक्ष के बारे में कंपन करता है, लंबवत

रॉड के लिए और इसके मध्य से गुजरते हुए (चित्र 6.2 में बिंदु O)। अवधि निर्धारित करें टीरॉड द्वारा किए गए कंपन।

समाधान। एक भौतिक लोलक की दोलन अवधि, जो गेंदों के साथ एक छड़ है, अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है

कहा पे जे - टी -इसका द्रव्यमान; मैं -पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र से अक्ष तक की दूरी।

किसी दिए गए लोलक का जड़त्व आघूर्ण गेंदों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है जे 1 और जे २और छड़ी जे 3:

गेंदों को भौतिक बिंदुओं के रूप में लेते हुए, हम उनकी जड़ता के क्षणों को व्यक्त करते हैं:

चूँकि अक्ष छड़ के मध्य से होकर गुजरती है, तब
इस धुरी के बारे में जड़ता का क्षण जे 3 =
= . परिणामी अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करना जे 1 , जे २तथा
जे 3 सूत्र (2) में, हम की जड़ता का कुल क्षण पाते हैं
भौतिक लोलक:

इस सूत्र का उपयोग करके गणना करते हुए, हम पाते हैं

चावल। 6.2 लोलक के द्रव्यमान में गेंदों का द्रव्यमान और द्रव्यमान होता है
छड़ी:

दूरी एल सीहम निम्नलिखित विचारों के आधार पर दोलन की धुरी से पेंडुलम के द्रव्यमान का केंद्र पाते हैं। यदि अक्ष एन एसबार के साथ सीधे और बिंदु के साथ मूल को संरेखित करें हे,फिर आवश्यक दूरी मैंपेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक के बराबर है, अर्थात।

मात्राओं के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एम 1 , एम 2 , एम, मैंऔर गणना करते हुए, हम पाते हैं

सूत्र (1) के अनुसार गणना करते हुए, हम भौतिक पेंडुलम की दोलन अवधि प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4.भौतिक लोलक एक छड़ है
लम्बाई मैं= 1 मीटर और द्रव्यमान 3 टी 1 साथइसके एक सिरे से जुड़ा हुआ
व्यास और वजन के साथ घेरा टी 1 . क्षैतिज अक्ष आउंस

लोलक छड़ के बीच से होकर लम्बवत् होकर गुजरता है (चित्र 6.3)। अवधि निर्धारित करें टीइस तरह के एक पेंडुलम के दोलन।

समाधान। भौतिक लोलक का दोलन काल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(1)

कहां जे -दोलन अक्ष के सापेक्ष लोलक की जड़ता का क्षण; टी -इसका द्रव्यमान; मैंसी - लोलक के द्रव्यमान केंद्र से दोलन के अक्ष तक की दूरी।

लोलक का जड़त्व आघूर्ण छड़ के जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है जे१ और घेरा जे 2:

अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण,
बार के लंबवत और गुजरना
इसके द्रव्यमान केंद्र के माध्यम से, रूप द्वारा निर्धारित किया जाता है-
ले. इस मामले में टी = 3टी 1 और

हम घेरा की जड़ता का क्षण पाते हैं, उपयोग करें
स्टीनर का प्रमेय कहा जाता है,
कहां जे -के सापेक्ष जड़ता का क्षण
मनमाना अक्ष; जे 0 -निष्क्रियता के पल
द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के संबंध में
किसी दिए गए अक्ष के समानांतर; ए -दूरी
निर्दिष्ट अक्षों के बीच। इस फॉर्म को लागू करना-
खच्चर से घेरा, हमें मिलता है

चावल। 6.3

भावों को प्रतिस्थापित करना जे 1 और जे 2 सूत्र (2) में, हम रोटेशन की धुरी के सापेक्ष पेंडुलम की जड़ता का क्षण पाते हैं:

दूरी एल सीलोलक की धुरी से उसके द्रव्यमान केंद्र तक है

सूत्र में प्रतिस्थापित करना (1) व्यंजक जे, मैंс और पेंडुलम का द्रव्यमान, हम इसके दोलनों की अवधि पाते हैं:

इस सूत्र द्वारा गणना करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं टी= 2.17 एस।

उदाहरण 5.एक ही दिशा के दो कंपन जोड़े जाते हैं
समीकरणों द्वारा व्यक्त निया; एक्स 2 =
=, जहां ए 1 = 1 सेमी, ए 2 = 2 सेमी, एस, एस, =
=. 1. के घटकों के प्रारंभिक चरण 1 और φ 2 निर्धारित करें

स्नान 2. आयाम ज्ञात करें एऔर परिणामी डगमगाने का प्रारंभिक चरण । परिणामी उतार-चढ़ाव के लिए समीकरण लिखिए।

समाधान। 1. हार्मोनिक दोलन के समीकरण का रूप है

हम समस्या कथन में दिए गए समीकरणों को उसी रूप में बदलते हैं:

अभिव्यक्ति (2) की समानता (1) के साथ तुलना करने पर, हम पहले और दूसरे दोलनों के प्रारंभिक चरण पाते हैं:

खुशी और खुशी।

2. आयाम निर्धारित करने के लिए एपरिणामी उतार-चढ़ाव के कारण, पर प्रस्तुत वेक्टर आरेख का उपयोग करना सुविधाजनक है चावल।६.४. कोज्या प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

दोलनों के घटकों का चरण अंतर कहाँ है।
तब से, पाया प्रतिस्थापन
2 और 1 का मान रेड होगा।

चावल। 6.4

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें ए 1 , ए 2 और सूत्र (3) और . में
आइए गणना करें:

ए = 2.65 सेमी।

परिणामी दोलन के प्रारंभिक चरण φ की स्पर्शरेखा निर्धारित करती है
अंजीर से सीधे लिम। ६.४: , ओटकू-
हाँ प्रारंभिक चरण

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें ए 1 , ए 2 , 1, 2 और गणना करें:

चूँकि जोड़े गए कंपनों की कोणीय आवृत्तियाँ समान होती हैं,
तब परिणामी कंपन की आवृत्ति समान होगी । यह
आपको परिणामी दोलन के समीकरण को फॉर्म में लिखने की अनुमति देता है
, कहां ए= 2.65 सेमी,, खुशी।

उदाहरण 6.भौतिक बिंदु दो परस्पर लंबवत हार्मोनिक दोलनों में एक साथ भाग लेता है, जिसके समीकरण

कहां ए 1 = 1 सेमी, ए 2 = 2 सेमी,। बिंदु के प्रक्षेपवक्र के समीकरण का पता लगाएं
की. पैमाने पर प्रक्षेपवक्र बनाएं और निर्दिष्ट करें
बिंदु के आंदोलन की दिशा।

समाधान। एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र के समीकरण को खोजने के लिए, हम समय को बाहर करते हैं टीदिए गए समीकरणों (1) और (2) से। ऐसा करने के लिए, उपयोग करें

हम सूत्र का अध्ययन करते हैं। इस मामले में
, इसलिए

चूँकि सूत्र के अनुसार (1) , फिर प्रक्षेपवक्र समीकरण
आरआई

परिणामी अभिव्यक्ति एक परवलय का समीकरण है, जिसका अक्ष अक्ष के साथ मेल खाता है ओह।समीकरणों (1) और (2) से यह इस प्रकार है कि निर्देशांक अक्षों के साथ एक बिंदु का विस्थापन सीमित है और अक्ष के साथ -1 से +1 सेमी की सीमा में है ओहऔर अक्ष के अनुदिश -2 से +2 सेमी तक ओ.यू.

प्रक्षेपवक्र का निर्माण करने के लिए, हम समीकरण (3) के मूल्यों को पाते हैं वाई,मूल्यों की एक श्रृंखला के अनुरूप एन एस,शर्त को पूरा करना, एक तालिका देखना और बनाना:

किसी बिंदु की गति की दिशा को इंगित करने के लिए, समय के साथ उसकी स्थिति कैसे बदलती है, इसका अनुसरण करें। प्रारंभिक क्षण में टी= 0 बिंदु निर्देशांक बराबर हैं एक्स(0) = 1 सेमी और आप(0) = 2 सेमी. समय के अगले क्षण में, उदाहरण के लिए, at टी 1 = एल एस, बिंदुओं के निर्देशांक बदल जाएंगे और बराबर हो जाएंगे एन एस(1) = -1 सेमी, वाई (टी )=0. समय के प्रारंभिक और बाद के (करीबी) क्षणों में बिंदुओं की स्थिति जानने के बाद, आप प्रक्षेपवक्र के साथ बिंदु की गति की दिशा को इंगित कर सकते हैं। अंजीर में। ६.५ गति की यह दिशा एक तीर द्वारा इंगित की जाती है (बिंदु से एमूल के लिए)। फिलहाल के बाद टी 2 = 2 s दोलन बिंदु बिंदु पर पहुँचता है डी,यह विपरीत दिशा में आगे बढ़ेगा।

हार्मोनिक कंपन की कीनेमेटीक्स

6.1. एक बिंदु के कंपन के समीकरण का रूप है,
जहां = एस -1, = 0.2 एस। अवधि निर्धारित करें टीऔर प्रारंभिक चरण
संकोच।

6.2. अवधि निर्धारित करें टी,आवृत्ति v और प्रारंभिक चरण दोलनों, समीकरण द्वारा दिया गया, जहां = 2.5π एस -1,
= 0.4 एस।

6.3.
कहां ए एक्स (0) = 2संचार मीडिया
; 2) एक्स (0) = सेमी और; 3) एक्स (0) = 2 सेमी और; 4)
एक्स (0) = यू। के लिए सदिश आरेख बनाइए
पल टी=0.

6.4. बिंदु कंपन करता है। कानून के अनुसार,
कहां ए= 4 सेमी प्रारंभिक चरण निर्धारित करें φ यदि: 1) एक्स (0) = 2संचार मीडिया
; 2) एक्स(0) = सेमी और; 3) एन एस(0) = सेमी और;
4) एक्स(0) = सेमी और। के लिए सदिश आरेख बनाइए
पल टी=0.

6.5. बिंदु कानून के अनुसार कंपन करता है,
कहां ए= 2 सेमी; ; = / 4 रेड। निर्भरता ग्राफ बनाएं
समय से: १) विस्थापन एक्स (टी); 2) गति; 3) त्वरण

6.6. बिंदु एक आयाम के साथ दोलन करता है ए= 4 सेमी और आवर्त टी = 2 एस।इन कंपनों का समीकरण लिखिए, यह मानते हुए कि
पल टी= 0 ऑफसेट एक्स (0) = 0तथा । चरण निर्धारित करें
समय में दो बिंदुओं के लिए: 1) जब विस्थापन एक्स = 1 सेमी और;
2) जब चाल = -6 सेमी/सेकण्ड और एक्स<0.

6.7. बिंदु T = 6 s की अवधि के साथ वृत्त के चारों ओर समान रूप से वामावर्त घूमता है। व्यास डीवृत्त 20 सेमी है। अक्ष पर एक बिंदु के प्रक्षेपण की गति का समीकरण लिखिए एन एस,सर्कल के केंद्र से गुजरते हुए, यदि समय के समय को प्रारंभिक के रूप में लिया जाता है, तो अक्ष पर प्रक्षेपण एन एसशून्य है। ऑफसेट खोजें एन एस,इस समय बिंदु के प्रक्षेपण की गति और त्वरण टी = 1सी.

6.8. आयाम के साथ हार्मोनिक दोलन करने वाले बिंदु की गति और त्वरण के अधिकतम मान निर्धारित करें ए = 3 सेमी और कोने की आवृत्ति

6.9. बिंदु कानून के अनुसार दोलन करता है, जहाँ ए =
= 5 सेमी; ... एक समय में एक बिंदु के त्वरण का निर्धारण करें,
जब इसकी चाल = 8 सेमी/सेकण्ड।

6.10. बिंदु हार्मोनिक दोलन करता है। महानतम
पक्षपात एक्सएम कुल्हाड़ी अंक 10 सेमी है, उच्चतम गति =
= 20 सेमी / एस। दोलनों की कोणीय आवृत्ति तथा बिंदु का अधिकतम त्वरण ज्ञात कीजिए।

6.11. हार्मोनिक दोलन करने वाले बिंदु की अधिकतम गति 10 सेमी / सेकंड है, अधिकतम त्वरण =
= १०० सेमी / एस २। दोलनों की कोणीय आवृत्ति ज्ञात कीजिए, उनका आवर्त टी
और आयाम ए।प्रारंभिक चरण को शून्य के बराबर लेते हुए, दोलनों का समीकरण लिखें।

6.12. बिंदु कानून के अनुसार दोलन करता है। किसी समय, ऑफ़सेट एन एस 1 बिंदु 5 सेमी के बराबर निकला। जब दोलनों का चरण दोगुना हो गया, तो विस्थापन x 8 सेमी के बराबर हो गया। आयाम ज्ञात कीजिए एसंकोच।

6.13. बिंदु कानून के अनुसार दोलन करता है।
किसी समय, ऑफ़सेट एन एसबिंदु 5 सेमी है, इसकी गति
= 20 सेमी/सेकण्ड और त्वरण = -80 सेमी/सेकण्ड 2. आयाम ज्ञात कीजिए ए, कोणीय आवृत्ति , अवधि टीसमय के समय पर दोलन और चरण।

कंपन का जोड़

6.14. आयाम के साथ समान अवधि के दो समान रूप से निर्देशित हार्मोनिक दोलन ए 1 = 10 सेमी और ए 2 = 6 सेमी एक आयाम के साथ एक कंपन में जोड़ें ए = 14 सेमी जोड़े गए दोलनों के चरण अंतर का पता लगाएं।

6.15. दो हार्मोनिक दोलन, एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित और समान आयाम और अवधि वाले, एक ही आयाम के एक दोलन को जोड़ते हैं। जोड़े गए कंपनों के चरण अंतर का पता लगाएं।

6.16. आयाम निर्धारित करें एऔर प्रारंभिक चरण φ परिणाम का
दो दोलनों के योग से उत्पन्न होने वाला दोलन दोलन
एक ही दिशा और अवधि: और
, कहां ए 1 =ए 2 = 1 सेमी; = एस -1; = 0.5 एस। परिणामी दोलन का समीकरण ज्ञात कीजिए।

6.17. बिंदु दो समान रूप से निर्देशित दोलनों में भाग लेता है: और, जहां ए 1 = 1 सेमी; ए 2 = 2 सेमी; =
= 1 एस -1। आयाम निर्धारित करें एपरिणामी उतार-चढ़ाव,
इसकी आवृत्ति v और प्रारंभिक चरण । इस गति का समीकरण ज्ञात कीजिए।

6.18. दो हार्मोनिक कंपन जुड़ते हैं, एक प्रति
समान अवधियों के साथ शासन करता है टी 1 =टी 2 = 1.5 एस और आयाम
ए 1 = ए 2 = 2 सेमी. दोलनों के प्रारंभिक चरण और। आयाम निर्धारित करें एऔर परिणामी डगमगाने का प्रारंभिक चरण । इसका समीकरण ज्ञात कीजिए और इसे पैमाने पर प्लॉट कीजिए
आयामों के योग का सदिश आरेख।

6.19. समान अवधि के साथ एक ही दिशा के तीन हार्मोनिक दोलन जोड़े जाते हैं टी 1 = टी 2 = टी 3 = 2एस और आयाम ए 1 =ए 2 =ए 3 = 3 सेमी। दोलनों के प्रारंभिक चरण φ 1 = 0, φ 2 = π / 3, 3 = 2π / 3 हैं। एम्पलीट्यूड के योग का एक वेक्टर आरेख बनाएं। ड्राइंग से आयाम निर्धारित करें एऔर परिणामी डगमगाने का प्रारंभिक चरण । उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

6.20. उसी के दो हार्मोनिक कंपन जोड़ें
आवृत्ति और एक ही दिशा: और एक्स 2 =
=. एक क्षण के लिए सदिश आरेख बनाएं
समय टी= 0. विश्लेषणात्मक रूप से आयाम निर्धारित करें एऔर प्रारंभिक
परिणामी दोलन का चरण । टाल देना एऔर वेक्टर पर
आरेख। परिणामी दोलन का समीकरण ज्ञात कीजिए (कोज्या के माध्यम से त्रिकोणमितीय रूप में)। दो के लिए समस्या का समाधान
मामले: 1) ए 1 = 1 सेमी, 1 = / 3; ए 2 = 2 सेमी, 2 = 5π / 6; 2) ए 1 = 1 सेमी,
1 = 2π / 3; ए 2 = 1 सेमी, 2 = 7π / 6।

6.21. दो ट्यूनिंग कांटे एक साथ ध्वनि करते हैं। उनके दोलनों की आवृत्ति 1 और ν 2 क्रमशः 440 और 440.5 Hz के बराबर हैं। अवधि निर्धारित करें टीधड़कता है।

6.22. दो परस्पर लंबवत कंपन जुड़ते हैं,
समीकरणों द्वारा व्यक्त किया गया और, जहां
ए 1 =2 से। मी, ए 2 = 1 सेमी, = 0.5 एस। प्रक्षेपवक्र के समीकरण का पता लगाएं
और बिंदु की गति की दिशा दिखाते हुए इसका निर्माण करें।

6.23. बिंदु परस्पर लंबवत दिशाओं में होने वाले दो हार्मोनिक दोलन एक साथ करता है
और समीकरणों द्वारा व्यक्त किया गया और,
कहां ए 1 = 4 सेमी, ए 1 = 8 सेमी, = 1 एस। किसी बिंदु के प्रक्षेप पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए और उसकी गति का एक आलेख तैयार कीजिए।

6.24. बिंदु एक साथ एक ही आवृत्ति के दो हार्मोनिक दोलन करता है, जो समीकरणों द्वारा व्यक्त परस्पर लंबवत दिशाओं में होता है: 1) और

बिंदु के प्रक्षेपवक्र के समीकरण (आठ मामलों के लिए) खोजें, इसे पैमाने के संबंध में बनाएं और आंदोलन की दिशा को इंगित करें। स्वीकार करना: ए = 2से। मी, ए 1 = 3 सेमी, ए 2 = 1 सेमी; १ = / २, २ = .

6.25 ... बिंदु एक साथ दो परस्पर लंबवत दोलनों में भाग लेता है, जो समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है और
, कहां ए 1 = 2 सेमी, ए 2 = 1 सेमी। प्रक्षेपवक्र समीकरण खोजें
आंदोलन की दिशा का संकेत देते हुए, इसे इंगित करें और इसका निर्माण करें।

6.26. एक बिंदु एक साथ परस्पर लंबवत दिशाओं में होने वाले दो हार्मोनिक दोलन करता है
और समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है और, जहां ए 1 =
= 0.5 सेमी; ए 2 = 2 सेमी. बिंदु के प्रक्षेप पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए और रचना कीजिए
उसे, आंदोलन की दिशा का संकेत।

6.27. एक बिंदु की गति समीकरणों द्वारा दी जाती है और वाई =
=, जहां ए 1 = 10 सेमी, ए 2 = 5 सेमी, = 2 एस -1, = π / 4 एस। पाना
समय के क्षण में एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र और वेग का समीकरण टी= 0.5 एस।

6.28. भौतिक बिंदु समीकरणों द्वारा व्यक्त दो परस्पर लंबवत दोलनों में एक साथ भाग लेता है
और कहाँ ए 1 =2 से। मी, ए 2 = 1 सेमी. खोजें
प्रक्षेपवक्र समीकरण और इसका निर्माण।

6.29. बिंदु एक साथ दो हार्मोनिक दोलनों में भाग लेता है जो समीकरणों द्वारा वर्णित परस्पर लंबवत दिशाओं में होते हैं: 1) और

एक बिंदु के प्रक्षेप पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए, इसे पैमाने के संबंध में निर्मित कीजिए और गति की दिशा को इंगित कीजिए। स्वीकार करना: ए= 2 सेमी; ए 1 = एससे। मी।

6.30. बिंदु दो परस्पर लंबवत में एक साथ भाग लेता है
समीकरणों द्वारा व्यक्त दोलन और

वाई = ए 2पाप 0.5ω टी, कहां ए 1 = 2 सेमी, ए 2 = 3 सेमी. बिंदु के प्रक्षेप पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए और गति की दिशा को इंगित करते हुए इसकी रचना कीजिए।

6.31. आस्टसीलस्कप स्क्रीन पर चमकदार बिंदु की पारी दो परस्पर लंबवत दोलनों के योग का परिणाम है, जो समीकरणों द्वारा वर्णित हैं: 1) एक्स = एपाप 3 ω टीतथा पर=एपाप २ω टी; 2) एक्स = एपाप 3ω टीतथा आप=एक्योंकि 2ω टी; 3) एक्स = एपाप 3ω टीऔर वाई = एक्योंकि टी।

जोड़ने और पैमाने का अवलोकन करने की ग्राफिकल विधि का उपयोग करके, स्क्रीन पर चमकदार बिंदु के प्रक्षेपवक्र का निर्माण करें। स्वीकार करना ए= 4 सेमी.

हार्मोनिक कंपन की गतिशीलता। पेंडुलम

6.32. द्रव्यमान द्वारा सामग्री बिंदु टी= 50 ग्राम दोलन करता है, जिसके समीकरण का रूप होता है एक्स = एक्योंकि टी,कहां ए= 10 सेमी, = 5 एस -1। ताकत खोजें एफ,बिंदु पर कार्य करना, दो मामलों में: 1) उस समय जब चरण टी= / 3; 2) सबसे बड़े बिंदु विस्थापन की स्थिति में।

6.33. द्रव्यमान के साथ एक भौतिक बिंदु का दोलन टी= ०.१ g समीकरण के अनुसार होता है एन एस=एक्योंकि टी,कहां ए= 5 सेमी; = 20 एस -1। बहाल करने वाले बल F अधिकतम और गतिज ऊर्जा के अधिकतम मान निर्धारित करें टीएम आह।

6.34. बहाल करने वाले बल का पता लगाएं एफमें आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी= 1 s और पूर्ण ऊर्जा इसामग्री बिंदु कानून के अनुसार दोलन करता है एक्स = एक्योंकि टी, कहां ए = 20 सेमी; = 2π / 3 एस -1। वज़न टीभौतिक बिंदु 10 ग्राम के बराबर है।

6.35. एक भौतिक बिंदु के दोलन समीकरण के अनुसार होते हैं एक्स = एक्योंकि टी,कहां ए= 8 सेमी, = /6 s -1. वह क्षण जब बहाल करने वाला बल एफपहली बार -5 mN के मान पर पहुँचे, P बिंदु की स्थितिज ऊर्जा 100 μJ के बराबर हो गई। इस पल को समय में खोजें टीऔर संबंधित चरण टी.

6.36. वजन वजन एम= 250 ग्राम, एक स्प्रिंग से निलंबित, एक आवर्त के साथ लंबवत दोलन करता है टी = 1साथ।कठोरता का निर्धारण करें कस्प्रिंग्स

6.37. कुंडल वसंत से एक वजन निलंबित कर दिया गया था, जिसके परिणामस्वरूप वसंत को बढ़ाया गया था एक्स = 9देखें कि अवधि क्या होगी टीवजन का दोलन, अगर इसे थोड़ा नीचे खींचा जाए और फिर छोड़ा जाए?

6.38. एक स्प्रिंग से लटका हुआ भार एक आयाम के साथ लंबवत कंपन करता है ए= 4 सेमी. कुल ऊर्जा ज्ञात कीजिए इवजन का दोलन, अगर कठोरता कवसंत 1 kN / मी है।

6.39. दो गणितीय लोलकों की लंबाई का अनुपात ज्ञात कीजिए, यदि उनके दोलनों के आवर्तों का अनुपात 1.5 है।

6.40. एल =लिफ्ट में स्थापित 1 मी। लिफ्ट त्वरण के साथ उठती है ए= २.५ मीटर/सेकंड २. अवधि निर्धारित करें टीपेंडुलम का कंपन।

6.41. लंबाई की एक पतली छड़ के सिरों पर मैं= 30 सेमी, समान भार जुड़े हुए हैं, प्रत्येक छोर पर एक। भार वाली एक छड़ छड़ के एक सिरे से d = 10 सेमी बिंदु से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के परितः कंपन करती है। कम लंबाई निर्धारित करें लीऔर अवधि टीइस तरह के एक भौतिक पेंडुलम के दोलन। रॉड के द्रव्यमान की अवहेलना करें।

6.42. एक लंबी छड़ पर मैं= 30 सेमी दो समान वजन तय होते हैं: एक - रॉड के बीच में, दूसरा - इसके एक छोर पर। भार वाली छड़ छड़ के मुक्त सिरे से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के परितः दोलन करती है। कम लंबाई निर्धारित करें लीऔर अवधि टीऐसी प्रणाली के कंपन। छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें।

6.43. लंबाई की छड़ से जुड़े तीन भारों की एक प्रणाली मैं= 30 सेमी (आकृति 6.6), चित्र के तल के लंबवत बिंदु O से गुजरने वाली क्षैतिज धुरी के बारे में दोलन करता है। अवधि खोजें टीसिस्टम में उतार-चढ़ाव। हम छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करते हैं, भार को भौतिक बिंदु मानते हैं।

6.44. एक पतली घेरा, एक कील पर लटका हुआ, दीवार में क्षैतिज रूप से संचालित, दीवार के समानांतर एक विमान में दोलन करता है। RADIUS आरघेरा 30 सेमी है। अवधि की गणना करें टीघेरा कंपन।

चावल। 6.6

चावल। 6.7

6.45. त्रिज्या के साथ सजातीय डिस्क आर= 30 सेमी डिस्क की बेलनाकार सतह के किसी एक जेनरेटर से गुजरने वाली क्षैतिज धुरी के बारे में दोलन करता है। अवधि क्या है टीउसकी झिझक?

6.46. डिस्क त्रिज्या आर = 24cm एक क्षैतिज अक्ष के बारे में कंपन करता है जो डिस्क के तल के लंबवत त्रिज्या में से एक के बीच से होकर गुजरता है। कम लंबाई निर्धारित करें लीऔर अवधि टीइस तरह के एक पेंडुलम के दोलन।

6.47. त्रिज्या के साथ एक पतली सजातीय डिस्क से आर= 20 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की तरह दिखने वाले हिस्से को काट लें आर = 10 सेमी, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। ६.७. शेष डिस्क क्षैतिज अक्ष O के बारे में दोलन करती है, जो डिस्क की बेलनाकार सतह के एक जनक के साथ मेल खाती है। अवधि खोजें टीइस तरह के एक पेंडुलम के दोलन।

6.48. गणितीय पेंडुलम लंबाई मैं 1 = 40 सेमी और एक लंबी पतली सीधी छड़ के रूप में एक भौतिक लोलक मैं 2 = 60 सेमी समान क्षैतिज अक्ष के बारे में समकालिक रूप से दोलन करते हैं। दूरी तय करें एकंपन की धुरी से छड़ के द्रव्यमान का केंद्र।

6.49. लंबाई के साथ एक पतली सीधी छड़ के रूप में भौतिक पेंडुलम मैं= 120 सेमी एक क्षैतिज अक्ष के परितः दोलन करता है जो छड़ से कुछ दूरी पर एक बिंदु से होकर जाता है एछड़ के द्रव्यमान के केंद्र से। किस मूल्य पर एअवधि टीउतार-चढ़ाव का मूल्य सबसे कम होता है?

6.50. टीउस पर स्थिर द्रव्यमान की एक छोटी गेंद के साथ टी।लोलक रॉड पर बिंदु O से गुजरने वाली एक क्षैतिज अक्ष के बारे में दोलन करता है। अवधि निर्धारित करें टीमामलों के लिए पेंडुलम के हार्मोनिक दोलन a, बी, सी,डी अंजीर में दिखाया गया है। ६.८. लंबाई मैंछड़ 1 मीटर के बराबर है। गेंद को भौतिक बिंदु माना जाता है।

चावल। 6.9

चावल। 6.8

6.51. एक भौतिक पेंडुलम एक द्रव्यमान के साथ एक पतली सजातीय छड़ है टीद्रव्यमान की दो छोटी गेंदें उस पर टिकी हुई हैं टीऔर 2 टी... लोलक एक बिंदु से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के बारे में दोलन करता है हेछड़ी पर। मामलों के लिए पेंडुलम के हार्मोनिक दोलनों की आवृत्ति निर्धारित करें ऐ बी सी डी,चित्र में दिखाया गया है 6.9. लंबाई मैंछड़ 1 मीटर के बराबर है। गेंदों को भौतिक बिंदु माना जाता है।

6.52. शरीर का भार टी= 4 किलो, क्षैतिज अक्ष पर स्थिर, एक आवर्त के साथ दोलन करता है टी 1 = 0.8 एस। जब इस धुरी पर एक डिस्क लगाई गई थी ताकि इसकी धुरी शरीर के कंपन की धुरी के साथ मेल खाए, अवधि टी 2 दोलन 1.2 s के बराबर हो गए। RADIUS आरडिस्क 20 सेमी के बराबर है, इसका द्रव्यमान शरीर के द्रव्यमान के बराबर है। जड़ता के क्षण का पता लगाएं जेकंपन की धुरी के सापेक्ष शरीर।

6.53. मास हाइड्रोमीटर टी= 50 ग्राम, व्यास की एक ट्यूब वाले डी= 1 सेमी, पानी में तैरता है। हाइड्रोमीटर को पानी में थोड़ा डुबोया गया और फिर अपने आप छोड़ दिया गया, जिसके परिणामस्वरूप यह हार्मोनिक दोलन करने लगा। अवधि खोजें टीइन उतार-चढ़ाव।

6.54. एक क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र के साथ दोनों सिरों पर खुली यू-ट्यूब में एस= 0.4 सेमी 2, पारा जल्दी से एक द्रव्यमान में डाला जाता है टी= 200 ग्राम। अवधि निर्धारित करें टीट्यूब में पारा का उतार-चढ़ाव।

6.55. सूजा हुआ लॉग, जिसका क्रॉस-सेक्शन पूरी लंबाई के साथ स्थिर है, पानी में लंबवत गिर गया ताकि इसका केवल एक छोटा (लंबाई की तुलना में) पानी के ऊपर हो। अवधि टीलॉग का कंपन 5 एस है। लंबाई निर्धारित करें मैंलॉग

नम दोलन

6.56. समय के दौरान लोलक के नम दोलनों का आयाम टी 1= 5 मिनट आधे से कम हो गए। किस समय में टी २,प्रारंभिक क्षण से गिनती, आयाम आठ गुना घट जाएगा?

6.57. दौरान टी= 8 मिनट, लोलक के भीगने वाले दोलनों का आयाम तीन गुना कम हो गया। क्षीणन गुणांक . निर्धारित करें .

6.58. एक लोलक की लंबाई के दोलनों का आयाम एल = 1 मी प्रति समय टी= 10 मिनट आधे से कम हो गए। उतार चढ़ाव के लघुगणकीय कमी का निर्धारण .

6.59. पेंडुलम के दोलनों का लघुगणकीय कमी ०.००३ है। संख्या निर्धारित करें एनपूर्ण दोलन, जो पेंडुलम को बनाना चाहिए ताकि आयाम आधा हो।

6.60. केटलबेल मास टी= 500 ग्राम एक कुंडल वसंत से कठोरता के साथ निलंबित क= 20 N / m और एक निश्चित माध्यम में लोचदार कंपन करता है। उतार-चढ़ाव का लघुगणकीय कमी = ०.००४. संख्या निर्धारित करें एनकुल कंपन जो कंपन आयाम को कम करने के लिए वजन को कम करना चाहिए एन= 2 बार। इसमें कितना समय लगता है टीक्या यह कमी आएगी?

6.61. शरीर का भार टी= 5 g अवमंद दोलन करता है। एक समय के लिए टी = 50 के दशक में शरीर ने अपनी 60% ऊर्जा खो दी है। प्रतिरोध का गुणांक निर्धारित करें बी।

6.62. अवधि निर्धारित करें टीनम दोलन, यदि अवधि टी 0प्रणाली का प्राकृतिक दोलन 1 s के बराबर है और दोलनों का लघुगणकीय गिरावट = 0.628 है।

6.64. शरीर का भार टी= 1 किलो एक चिपचिपा माध्यम में एक ड्रैग गुणांक के साथ है बी= 0.05 किग्रा / एस। कठोरता के साथ दो समान स्प्रिंग्स के साथ क= 50 N / m, प्रत्येक पिंड संतुलन में है, जबकि स्प्रिंग विकृत नहीं हैं (चित्र 6.10)। शरीर संतुलन की स्थिति से विस्थापित हो गया था और

जारी किया गया। निर्धारित करें: 1) क्षीणन गुणांक ; 2) दोलनों की आवृत्ति ; 3) उतार-चढ़ाव की लघुगणकीय कमी ; 4) संख्या एनदोलन, जिसके बाद आयाम ई के एक कारक से कम हो जाएगा।

मजबूर कंपन। गूंज

6.65. इलेक्ट्रिक मोटर के गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत, ब्रैकट बीम जिस पर इसे स्थापित किया गया है, झुक गया एच= 1 मिमी। किस गति से एन एसमोटर आर्मेचर एक अनुनाद खतरा हो सकता है?

6.66. वैगन वजन टी= 80 t में चार स्प्रिंग हैं। कठोरता कप्रत्येक स्प्रिंग के स्प्रिंग 500 kN/m के बराबर होते हैं। रेल जोड़ों पर झटके के कारण वैगन किस गति से जोर से झूलने लगेगी, यदि लम्बाई मैंरेल 12.8 मीटर है?

6.67. ऑसिलेटिंग सिस्टम = 1000 हर्ट्ज की आवृत्ति के साथ नम दोलन करता है। प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति ν 0 निर्धारित करें, यदि गुंजयमान आवृत्ति pe s = 998 Hz है।

6.68. निर्धारित करें कि गुंजयमान आवृत्ति प्रणाली के प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति ν 0 = l kHz से कितनी भिन्न होती है, जो भिगोना गुणांक δ = 400 s -1 द्वारा विशेषता है।

6.69. ऑसिलेटरी सिस्टम के दोलनों के लॉगरिदमिक डिक्रीमेंट का निर्धारण करें, जिसके लिए = 2 हर्ट्ज द्वारा प्राकृतिक आवृत्ति ν 0 = 10 kHz से कम आवृत्ति पर प्रतिध्वनि देखी जाती है।

6.70. अवधि टीस्प्रिंग लोलक के प्राकृतिक दोलनों का 0 0.55 s है। एक चिपचिपे वातावरण में, अवधि टीवही लोलक 0.56 s के बराबर हो गया। गुंजयमान आवृत्ति pe दोलनों का निर्धारण करें।

6.71. स्प्रिंग पेंडुलम (कठोरता) कवसंत 10 एन / मी है, वजन टीलोड 100 ग्राम के बराबर है) एक चिपचिपा माध्यम में एक ड्रैग गुणांक के साथ मजबूर कंपन करता है आर= 2 · 10 -2 किग्रा / सेक। भिगोना कारक और गुंजयमान आयाम निर्धारित करें एरेस, अगर ड्राइविंग बल का आयाम मान एफ 0 = 10 एमएन।

6.72. शरीर ड्रैग गुणांक वाले माध्यम में जबरन कंपन करता है आर = 1 जी / एस। अवमंदन को छोटा मानते हुए, यदि अनुनाद आयाम हो तो प्रेरक बल का आयाम मान ज्ञात कीजिए एरेस = 0.5 सेमी और प्राकृतिक कंपन की आवृत्ति 0 10 हर्ट्ज है।

6.73. 1 = 400 हर्ट्ज और ν 2 = 600 हर्ट्ज की आवृत्ति पर मजबूर हार्मोनिक दोलनों के आयाम एक दूसरे के बराबर हैं। गुंजयमान आवृत्ति pe s निर्धारित करें। क्षीणन की उपेक्षा करें।

6.74. एक कठोरता के साथ एक कुंडल वसंत के लिए कश्मीर = 10N / m ने एक वजन निलंबित कर दिया टी= 10 ग्राम और पूरे सिस्टम को एक चिपचिपे माध्यम में डुबो दें। प्रतिरोध के गुणांक को अपनाना बी 0.1 किग्रा / सेकंड के बराबर, निर्धारित करें: 1) प्राकृतिक कंपन की आवृत्ति 0; 2) गुंजयमान आवृत्ति पे s; 3) गुंजयमान आयाम एकट, अगर ड्राइविंग बल हार्मोनिक कानून और उसके आयाम मूल्य के अनुसार बदलता है एफ 0 == ०.०२ एन; 4) बल की क्रिया के तहत गुंजयमान आयाम और स्थिर विस्थापन का अनुपात एफ 0.

6.75. कितनी बार मजबूर दोलनों का आयाम गुंजयमान आयाम से कम होगा यदि ड्राइविंग बल परिवर्तन की आवृत्ति गुंजयमान आवृत्ति से अधिक है: 1) 10% से? 2) दो बार? दोनों स्थितियों में अवमंदन गुणांक को 0.1 0 के बराबर लिया जाता है (ω 0 प्राकृतिक दोलनों की कोणीय आवृत्ति है)।

हार्मोनिक कंपन - साइन और कोसाइन के नियमों के अनुसार किए गए कंपन। निम्नलिखित आंकड़ा कोसाइन के नियम के अनुसार समय के साथ एक बिंदु के निर्देशांक में परिवर्तन का एक ग्राफ दिखाता है।

चित्र

कंपन का आयाम

हार्मोनिक कंपन का आयाम संतुलन की स्थिति से शरीर के विस्थापन का सबसे बड़ा मूल्य है। आयाम विभिन्न मूल्यों पर ले सकता है। यह इस बात पर निर्भर करेगा कि हम समय के प्रारंभिक क्षण में संतुलन की स्थिति से शरीर को कितना विस्थापित करते हैं।

आयाम प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, समय के प्रारंभिक क्षण में शरीर को दी गई ऊर्जा। चूंकि साइन और कोसाइन -1 से 1 की सीमा में मान ले सकते हैं, तो समीकरण में एक कारक Xm होना चाहिए, जो दोलनों के आयाम को व्यक्त करता है। हार्मोनिक कंपन के लिए गति का समीकरण:

एक्स = एक्सएम * कॉस (ω0 * टी)।

दोलन अवधि

दोलन अवधि एक पूर्ण दोलन को पूरा करने का समय है। दोलन अवधि को टी अक्षर से निरूपित किया जाता है। अवधि की इकाइयाँ समय की इकाइयों के अनुरूप होती हैं। यानी SI में, ये सेकंड होते हैं।

दोलन आवृत्ति - समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या। कंपन आवृत्ति अक्षर द्वारा इंगित की जाती है। दोलन आवृत्ति को दोलन अवधि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

= 1 / टी।

एसआई 1 / सेकंड में आवृत्ति इकाइयाँ। माप की इस इकाई को हर्ट्ज़ कहते हैं। 2 * pi सेकंड के समय में दोलनों की संख्या बराबर होगी:

0 = 2 * पीआई * = 2 * पीआई / टी।

दोलन आवृत्ति

इस मान को चक्रीय कंपन आवृत्ति कहा जाता है। कुछ साहित्य में वृत्ताकार आवृत्ति नाम मिलता है। एक दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति मुक्त दोलनों की आवृत्ति है।

प्राकृतिक आवृत्ति की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

प्राकृतिक आवृत्ति सामग्री के गुणों और भार के द्रव्यमान पर निर्भर करती है। वसंत की कठोरता जितनी अधिक होगी, प्राकृतिक आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी। भार का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, प्राकृतिक कंपन की आवृत्ति उतनी ही कम होगी।

ये दो निष्कर्ष स्पष्ट हैं। वसंत जितना सख्त होगा, सिस्टम के असंतुलित होने पर यह शरीर को उतना ही अधिक त्वरण प्रदान करेगा। शरीर का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, इस शरीर की गति उतनी ही धीमी होगी।

मुक्त दोलन अवधि:

टी = 2 * पीआई / 0 = 2 * पीआई * (एम / के)

यह उल्लेखनीय है कि विक्षेपण के छोटे कोणों पर, वसंत पर शरीर के दोलन की अवधि और पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करेगी।

आइए हम एक गणितीय लोलक के लिए मुक्त दोलनों की अवधि और आवृत्ति के लिए सूत्र लिखें।

तो अवधि होगी

टी = 2 * पीआई * (एल / जी)।

यह सूत्र केवल छोटे विक्षेपण कोणों के लिए ही मान्य होगा। सूत्र से हम देखते हैं कि पेंडुलम धागे की लंबाई के साथ दोलन अवधि बढ़ जाती है। लंबाई जितनी लंबी होगी, शरीर उतना ही धीमा होगा।

दोलनों की अवधि भार के द्रव्यमान पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करती है। लेकिन यह गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे g घटता है, दोलन काल बढ़ता जाएगा। इस संपत्ति का व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, मुक्त त्वरण के सटीक मूल्य को मापने के लिए।

अवधि।

अवधि टीउस समय अंतराल को कहा जाता है जिसके दौरान सिस्टम एक पूर्ण दोलन करता है:

एन- के दौरान पूर्ण दोलनों की संख्या टी.

आवृत्ति।

आवृत्ति ν समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या है:

आवृत्ति इकाई - 1 हर्ट्ज़ (हर्ट्ज) = 1 एस -1

चक्रीय आवृत्ति:

हार्मोनिक दोलन समीकरण:

एक्स- स्थिति से शरीर का विस्थापन। एक्स एमआयाम है, यानी अधिकतम विस्थापन, (ω .) टी+ 0) दोलन चरण है, 0 इसका प्रारंभिक चरण है।

गति।

0 = 0 के लिए:

त्वरण।

0 = 0 के लिए:

मुक्त कंपन।

मुक्त कंपन वे होते हैं जो एक यांत्रिक प्रणाली (थरथरानवाला) में संतुलन की स्थिति से एकल विचलन के साथ उत्पन्न होते हैं, एक प्राकृतिक आवृत्ति ω 0 होती है, जो केवल सिस्टम के मापदंडों द्वारा निर्धारित होती है, और घर्षण की उपस्थिति के कारण समय के साथ भिगोती है।

गणितीय पेंडुलम।

आवृत्ति:

मैं- पेंडुलम की लंबाई, जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण।

संतुलन की स्थिति से गुजरने के समय पेंडुलम में अधिकतम गतिज ऊर्जा होती है:

वसंत पेंडुलम।

आवृत्ति:

क- स्प्रिंग में कठोरता, एम- माल का द्रव्यमान।

पेंडुलम में अधिकतम विस्थापन पर अधिकतम संभावित ऊर्जा होती है:

मजबूर कंपन।

मजबूर कंपन वे हैं जो समय-समय पर बदलते बाहरी बल के प्रभाव में एक थरथरानवाला प्रणाली (थरथरानवाला) में उत्पन्न होते हैं।

अनुनाद।

अनुनाद - आयाम में तेज वृद्धि एक्सजब ड्राइविंग बल की आवृत्ति प्रणाली के प्राकृतिक कंपन की आवृत्ति ω 0 के साथ मेल खाती है तो मजबूर कंपन का मीटर।

लहर की।

तरंगें पदार्थ (यांत्रिक) या क्षेत्र (विद्युत चुम्बकीय) के कंपन हैं जो समय के साथ अंतरिक्ष में फैलती हैं।

लहर की गति।

तरंग के प्रसार की गति कंपन ऊर्जा के संचरण की गति है। इस मामले में, माध्यम के कण संतुलन की स्थिति के बारे में कंपन करते हैं, और लहर के साथ नहीं चलते हैं।

तरंगदैर्ध्य।

तरंग दैर्ध्य वह दूरी है जिस पर दोलन एक अवधि में फैलता है:

तरंगदैर्घ्य का मात्रक 1 मीटर (m) होता है।

तरंग आवृत्ति:

तरंग आवृत्ति की इकाई 1 हर्ट्ज़ (हर्ट्ज) है।

(अव्य. आयाम- मान) संतुलन की स्थिति से दोलन करने वाले शरीर का सबसे बड़ा विचलन है।

एक पेंडुलम के लिए, यह गेंद अपनी संतुलन स्थिति (नीचे दी गई आकृति) से अधिकतम दूरी तय करती है। छोटे आयामों वाले दोलनों के लिए, ऐसी दूरी को चाप 01 या 02 की लंबाई और इन खंडों की लंबाई के रूप में लिया जा सकता है।

दोलनों के आयाम को लंबाई - मीटर, सेंटीमीटर, आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन ग्राफ पर, आयाम को साइनसॉइडल वक्र के अधिकतम (मॉड्यूलो) कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है (नीचे चित्र देखें)।

हिचकिचाहट की अवधि।

दोलन अवधि- यह सबसे छोटा समय अंतराल है जिसके बाद सिस्टम, दोलन करते हुए, फिर से उसी स्थिति में लौट आता है जिसमें वह समय के प्रारंभिक क्षण में था, जिसे मनमाने ढंग से चुना गया था।

दूसरे शब्दों में, दोलन अवधि ( टी) वह समय है जिसके दौरान एक पूर्ण दोलन पूरा होता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में, यह वह समय है जिसके दौरान पेंडुलम का भार संतुलन बिंदु से चरम दाहिने बिंदु से चलता है हेसबसे बाएं बिंदु पर और बिंदु के माध्यम से वापस हेदूर दाईं ओर वापस।

इस प्रकार, दोलन की पूरी अवधि के लिए, शरीर चार आयामों के बराबर पथ की यात्रा करता है। दोलन अवधि को समय - सेकंड, मिनट आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन अवधि को प्रसिद्ध दोलन ग्राफ (नीचे चित्र देखें) से निर्धारित किया जा सकता है।

"दोलन अवधि" की अवधारणा, कड़ाई से बोलते हुए, केवल तभी मान्य होती है जब दोलन मात्रा के मूल्यों को एक निश्चित अवधि के बाद, यानी हार्मोनिक दोलनों के लिए बिल्कुल दोहराया जाता है। हालाँकि, यह अवधारणा लगभग दोहराई जाने वाली मात्राओं के मामलों पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, के लिए नम दोलन.

दोलन आवृत्ति।

दोलन आवृत्तिसमय की प्रति इकाई कंपन की संख्या है, उदाहरण के लिए, 1 s।

आवृत्ति का SI मात्रक कहलाता है हेटर्स(हर्ट्ज) जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ (1857-1894) के सम्मान में। यदि कंपन आवृत्ति ( वी) के बराबर है 1 हर्ट्ज, तो इसका मतलब है कि हर सेकंड के लिए एक दोलन किया जाता है। आवृत्ति और दोलनों की अवधि संबंधों से संबंधित हैं:

कंपन के सिद्धांत में, वे अवधारणा का भी उपयोग करते हैं चक्रीय, या वृत्ताकार आवृत्ति ω ... यह सामान्य आवृत्ति से संबंधित है वीऔर दोलन अवधि टीअनुपात:

.

चक्रीय आवृत्तिके दौरान किए गए दोलनों की संख्या है 2πसेकंड।