División de números con grandes potencias. Lección "multiplicación y división de grados". Reglas para multiplicar grados con diferente base.

En el artículo anterior, describimos qué son los monomios. En este artículo analizaremos cómo resolver ejemplos y problemas en los que se aplican. Aquí se considerarán acciones tales como restar, sumar, multiplicar, dividir monomios y elevarlos a una potencia con un exponente natural. Mostraremos cómo se definen dichas operaciones, esbozaremos las reglas básicas para su implementación y cuál debería ser el resultado. Todas las posiciones teóricas, como es habitual, se ilustrarán con ejemplos de problemas con descripciones de soluciones.

Es más conveniente trabajar con la notación estándar de monomios, por lo tanto, todas las expresiones que se utilizarán en el artículo se presentan en forma estándar. Si inicialmente se configuran de manera diferente, se recomienda llevarlos primero a la forma generalmente aceptada.

Reglas de suma y resta para monomios

Las operaciones más simples que se pueden realizar con monomios son la resta y la suma. En el caso general, el resultado de estas acciones será un polinomio (un monomio es posible en algunos casos especiales).

Cuando sumamos o restamos monomios, primero escribimos la suma y la diferencia correspondientes en forma convencional y luego simplificamos la expresión resultante. Si existen tales términos, es necesario darlos, corchetes, para abrir. Expliquemos con un ejemplo.

Ejemplo 1

Condición: realizar la suma de monomios - 3 · x y 2, 72 · x 3 · y 5 · z.

Solución

Escribamos la suma de las expresiones originales. Agregue paréntesis y coloque un signo más entre ellos. Obtenemos lo siguiente:

(- 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

Cuando expandimos el paréntesis, obtenemos - 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z. Este es un polinomio escrito en forma estándar, que será el resultado de la suma de estos monomios.

Respuesta:(- 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

Si hemos dado tres, cuatro o más plazos, realizamos esta acción de la misma forma.

Ejemplo 2

Condición: realizar las acciones indicadas con los polinomios en el orden correcto

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2-7 a 2 + 4 9-2 2 3 a c

Solución

Comencemos expandiendo los paréntesis.

3 una 2 + 4 una c + una 2-7 una 2 + 4 9-2 2 3 una c

Vemos que la expresión resultante se puede simplificar reduciendo términos similares:

3 una 2 + 4 una do + una 2-7 una 2 + 4 9-2 2 3 una do = = (3 una 2 + una 2-7 una 2) + 4 una do - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Tenemos un polinomio, que será el resultado de esta acción.

Respuesta: 3 una 2 - (- 4 una c) + una 2-7 una 2 + 4 9 - 2 2 3 una c = - 3 una 2 + 1 1 3 una c + 4 9

En principio, podemos sumar y restar dos monomios con algunas restricciones para que acabemos con un monomio. Para hacer esto, debe cumplir con algunas condiciones relativas a los sumandos y monomios restados. Describiremos cómo se hace esto en un artículo separado.

Reglas de multiplicación de monomios

La acción de multiplicación no impone restricciones a los multiplicadores. Los monomios que se van a multiplicar no tienen que cumplir ninguna condición adicional para que el resultado sea un monomio.

Para realizar la multiplicación de monomios, debe seguir estos pasos:

1. Graba la pieza correctamente.
2. Expanda los paréntesis en la expresión resultante.
3. Agrupe, si es posible, factores con las mismas variables y factores numéricos por separado.
4. Realiza las acciones necesarias con los números y aplica la propiedad de multiplicar potencias con las mismas bases al resto de factores.

Veamos cómo se hace esto en la práctica.

Ejemplo 3

Condición: multiplica los monomios 2 x 4 y z y - 7 16 t 2 x 2 z 11.

Solución

Comencemos compilando un trabajo.

Abrimos los corchetes y obtenemos lo siguiente:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2-7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Todo lo que tenemos que hacer es multiplicar los números en los primeros corchetes y aplicar la propiedad de potencia al segundo. Como resultado, obtenemos lo siguiente:

2-7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Respuesta: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14.

Si tenemos tres o más polinomios en nuestra condición, los multiplicamos usando exactamente el mismo algoritmo. Consideraremos con más detalle la cuestión de la multiplicación de monomios en el marco de un material separado.

Reglas para elevar un monomio a un poder.

Sabemos que un grado con exponente natural es el producto de un cierto número de factores idénticos. Su número está indicado por el número en el indicador. Según esta definición, elevar un monomio a una potencia equivale a multiplicar el número especificado de monomios idénticos. Veamos cómo se hace esto.

Ejemplo 4

Condición: Realice la elevación del monomio - 2 · a · b 4 elevado a 3.

Solución

Podemos reemplazar la exponenciación con la multiplicación de 3 monomios - 2 · a · b 4. Escribamos y obtengamos la respuesta deseada:

(- 2 a b 4) 3 = (- 2 a b 4) (- 2 a b 4) (- 2 a b 4) = = ((- 2) (- 2) (- 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = - 8 a 3 b 12

Respuesta:(- 2 a b 4) 3 = - 8 a 3 b 12.

Pero, ¿y si el título tiene un indicador grande? Escribir una gran cantidad de multiplicadores es inconveniente. Entonces, para resolver tal problema, necesitamos aplicar las propiedades del grado, es decir, la propiedad del grado del producto y la propiedad del grado en grado.

Resolvamos el problema que dimos anteriormente de la forma indicada.

Ejemplo 5

Condición: Realice la erección - 2 · a · b 4 a la tercera potencia.

Solución

Conociendo la propiedad del grado al grado, podemos proceder a una expresión de la siguiente forma:

(- 2 a b 4) 3 = (- 2) 3 a 3 (b 4) 3.

Después de eso, subimos a la potencia - 2 y aplicamos la propiedad de la potencia a la potencia:

(- 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = - 8 a 3 b 4 3 = - 8 a 3 b 12.

Respuesta:- 2 una segundo 4 = - 8 una 3 segundo 12.

También dedicamos un artículo separado a elevar un monomio a una potencia.

Reglas de división para monomios

La última acción con los monomios, que analizaremos en este material, es la división de un monomio por un monomio. Como resultado, deberíamos obtener una fracción racional (algebraica) (en algunos casos es posible obtener un monomio). Aclaremos de inmediato que la división por un monomio cero no está definida, ya que la división por 0 no está definida.

Para realizar la división, necesitamos escribir los monomios indicados en forma de fracción y reducirla, si es posible.

Ejemplo 6

Condición: divide el monomio - 9 · x 4 · y 3 · z 7 entre - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2.

Solución

Comencemos escribiendo monomios en forma fraccionaria.

9 x 4 y 3 z 7-6 p 3 t 5 x 2 y 2

Esta fracción se puede abreviar. Después de realizar esta acción, obtenemos:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Respuesta:- 9 x 4 y 3 z 7-6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5.

Las condiciones bajo las cuales, como resultado de dividir monomios, obtenemos un monomio se dan en un artículo separado.

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Si necesita elevar un número específico a una potencia, puede usar. Y ahora nos detendremos con más detalle en propiedades de los grados.

Números exponenciales abren grandes posibilidades, nos permiten transformar la multiplicación en suma, y ​​sumar es mucho más fácil que multiplicar.

Por ejemplo, necesitamos multiplicar 16 por 64. El producto de la multiplicación de estos dos números es 1024. Pero 16 es 4x4 y 64 es 4x4x4. Es decir, 16 por 64 = 4x4x4x4x4, que también es 1024.

El número 16 también se puede representar como 2x2x2x2 y 64 como 2x2x2x2x2x2, y si multiplicamos, obtenemos nuevamente 1024.

Ahora usemos la regla. 16 = 4 2, o 2 4, 64 = 4 3, o 2 6, al mismo tiempo 1024 = 6 4 = 4 5, o 2 10.

Por lo tanto, nuestro problema se puede escribir de manera diferente: 4 2 x4 3 = 4 5 o 2 4 x2 6 = 2 10, y cada vez obtenemos 1024.

Podemos resolver varios ejemplos similares y ver que multiplicar números con potencias se reduce a suma de exponentes, o exponencial, por supuesto, siempre que las bases de los factores sean iguales.

Por lo tanto, sin multiplicar, podemos decir inmediatamente que 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Esta regla también es cierta al dividir números con potencias, pero en este caso, e el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo... Por lo tanto, 2 5: 2 3 = 2 2, que en números ordinarios es 32: 8 = 4, es decir, 2 2. Resumamos:

a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, donde myn son números enteros.

A primera vista, puede parecer lo que es multiplicación y división de números con potencias no es muy conveniente, porque primero necesitas representar el número en forma exponencial. No es difícil representar los números 8 y 16 de esta forma, es decir, 2 3 y 2 4, pero ¿cómo hacerlo con los números 7 y 17? O qué hacer cuando el número se puede representar en forma exponencial, pero las bases de las expresiones exponenciales de los números son muy diferentes. Por ejemplo, 8 × 9 es 2 3 × 3 2, en cuyo caso no podemos sumar los exponentes. Ni 2 5 ni 3 5 es la respuesta, ni la respuesta se encuentra en el intervalo entre estos dos números.

Entonces, ¿vale la pena molestarse con este método? Definitivamente vale la pena. Ofrece enormes beneficios, especialmente para cálculos complejos y que requieren mucho tiempo.

Si ignoramos el octavo grado, ¿qué vemos aquí? Recordamos el programa de séptimo grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:

Echemos un vistazo de cerca al denominador. Se parece mucho a uno de los multiplicadores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden de términos incorrecto. Si fueran revertidos, la regla podría aplicarse.

¿Pero cómo hacer eso? Resulta muy fácil: un grado par del denominador nos ayuda aquí.

Los términos se invierten mágicamente. Este "fenómeno" es aplicable a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Entero llamamos a los números naturales opuestos a ellos (es decir, tomados con el signo "") y el número.

entero positivo, pero no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos algunos casos nuevos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número en el grado cero es igual a uno:

Como siempre, hagámonos la pregunta: ¿por qué es así?

Considere algún grado con una base. Tomemos, por ejemplo, y multipliquemos por:

Entonces, multiplicamos el número por, y obtuvimos lo mismo que era -. ¿Y qué número deberías multiplicar para que nada cambie? Eso es correcto. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número en el grado cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Por un lado, debe ser igual en cualquier grado; no importa cuánto multipliques por ti mismo, obtendrás cero, esto está claro. Pero por otro lado, como cualquier número en el grado cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuál de esto es cierto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a subir de cero a cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a una potencia cero.

Vayamos más lejos. Además de los números naturales y los números, los números negativos pertenecen a los enteros. Para entender qué es una potencia negativa, hagamos lo mismo que la última vez: multiplique un número normal por la misma potencia negativa:

Desde aquí ya es fácil expresar lo que buscas:

Ahora extenderemos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, formulemos una regla:

Un número en potencia negativa es inverso al mismo número en potencia positiva. Pero al mismo tiempo la base no puede ser nula:(porque no se puede dividir entre).

Resumamos:

I. Expresión no especificada en caso. Si, entonces.

II. Cualquier número hasta el grado cero es igual a uno :.

III. Un número que no es igual a cero está en potencia negativa inversa al mismo número en potencia positiva :.

Tareas para una solución independiente:

Bueno, y, como de costumbre, ejemplos para una solución independiente:

Análisis de tareas para solución independiente:

Lo sé, lo sé, los números son terribles, ¡pero en el examen tienes que estar preparado para cualquier cosa! ¡Resuelva estos ejemplos o analice su solución si no pudo resolverlos y aprenderá cómo enfrentarlos fácilmente en el examen!

Sigamos ampliando el círculo de números "adecuados" como exponente.

Ahora considera numeros racionales. ¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo eso se puede representar como una fracción, donde y además son números enteros.

Para entender lo que es Grado fraccional, considere la fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a la potencia:

Ahora recordemos la regla sobre "Grado a grado":

¿Qué número debe elevarse a una potencia para obtener?

Esta formulación es la definición de la raíz th.

Permíteme recordarte: la raíz de la potencia ésima de un número () es un número que, cuando se eleva a una potencia, es igual a.

Es decir, la raíz de la ésima potencia es la operación inversa de la exponenciación :.

Resulta que. Evidentemente, este caso particular se puede ampliar :.

Ahora sumamos el numerador: ¿qué es? La respuesta se obtiene fácilmente usando la regla de grado a grado:

Pero, ¿puede la base ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguno!

Recuerde la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡no se pueden extraer raíces de un grado par a partir de números negativos!

Y esto significa que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con un denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí es donde surge el problema.

El número puede representarse como otras fracciones cancelables, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, pero estos son solo dos registros diferentes del mismo número.

U otro ejemplo: una vez, entonces puedes escribir. Pero si anotamos el indicador de una manera diferente, y nuevamente obtenemos una molestia: (es decir, ¡obtenemos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, consideramos solo raíz positiva con exponente fraccionario.

Así que si:

• — número natural;
• - un número entero;

Ejemplos:

Los exponentes racionales son muy útiles para convertir expresiones con raíz, por ejemplo:

5 ejemplos para entrenar

Análisis de 5 ejemplos de formación

1. No te olvides de las propiedades habituales de las titulaciones:

2 .. Aquí recordamos que nos olvidamos de aprender la tabla de grados:

después de todo, es o. La solución se encuentra automáticamente :.

Y ahora la parte más difícil. Ahora analizaremos grado irracional.

Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción de

De hecho, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar títulos con un indicador natural, total y racional, cada vez inventamos una especie de "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares.

Por ejemplo, un exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces;

...número de cero grados- es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido - por lo tanto, el resultado es solo una especie de "número en blanco ", a saber, el número;

...exponente entero negativo- es como si un cierto " proceso inverso”, Es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.

Por cierto, en ciencia, a menudo se usa un título con un indicador complejo, es decir, el indicador ni siquiera es un número real.

Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

¡DONDE ESTAMOS SEGUROS DE QUE VAS! (si aprende a resolver tales ejemplos :))

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Análisis de soluciones:

1. Comencemos con la regla ya habitual para elevar una potencia a una potencia:

Ahora mira el indicador. ¿Te recuerda a algo? Recordamos la fórmula de la multiplicación abreviada, la diferencia de cuadrados:

En este caso,

Resulta que:

Respuesta: .

2. Llevamos las fracciones en exponentes a la misma forma: ambas decimales o ambas ordinarias. Consigamos, por ejemplo:

Respuesta: 16

3. Nada especial, aplicamos las propiedades habituales de las titulaciones:

NIVEL AVANZADO

Determinación de la titulación

Un título es una expresión de la forma :, donde:

• — base de grado;
• - exponente.

Grado con exponente natural (n = 1, 2, 3, ...)

Elevar un número a una potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo por:

Grado entero (0, ± 1, ± 2, ...)

Si el exponente es totalmente positivo número:

Erección a cero:

La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado - esto, y por el otro - cualquier número en el grado - esto.

Si el exponente es totalmente negativo número:

(porque no se puede dividir entre).

Una vez más sobre ceros: la expresión no está definida en caso de que sea necesario. Si, entonces.

Ejemplos:

Grado racional

• - número natural;
• - un número entero;

Ejemplos:

Propiedades de poder

Para facilitar la resolución de problemas, intentemos entender: ¿de dónde vienen estas propiedades? Probémoslos.

Veamos: ¿qué es y?

Priorato:

Entonces, en el lado derecho de esta expresión, obtenemos el siguiente producto:

Pero por definición, es la potencia de un número con exponente, es decir:

Q.E.D.

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : .

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : Es importante tener en cuenta que en nuestra regla necesariamente debe tener las mismas bases. Por lo tanto, combinamos los grados con la base, pero sigue siendo un factor separado:

Otra nota importante: esta regla es: solo por el producto de grados!

De ninguna manera debería escribir eso.

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición del grado:

Reorganicemos esta pieza de esta manera:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, esto se puede llamar "poner entre corchetes el indicador". ¡Pero nunca debes hacer esto en total:!

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir? Pero esto no es cierto, después de todo.

Un título con base negativa.

Hasta este punto, solo hemos discutido cómo debería ser índice la licenciatura. Pero, ¿cuál debería ser la base? En grados con natural indicador la base puede ser cualquier número .

De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sea positivo, negativo o incluso. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán poderes de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número será positivo o negativo? ¿A? ?

Con el primero, todo está claro: no importa cuántos números positivos multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero lo negativo es un poco más interesante. Después de todo, recordamos una regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos -.

Y así hasta el infinito: con cada multiplicación subsiguiente, el signo cambiará. Es posible formular tales reglas simples:

1. incluso grado, - número positivo.
2. Número negativo elevado a impar grado, - número negativo.
3. Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
4. Cero a cualquier potencia es igual a cero.

Decide por tu cuenta qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

¿Lograste? Aquí están las respuestas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo esté claro. Solo miramos la base y el exponente y aplicamos la regla apropiada.

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: no importa a qué es igual la base, el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, a menos que la base sea cero. La base no es igual, ¿verdad? Obviamente no, ya que (porque).

Ejemplo 6) ya no es tan simple. Aquí necesitas saber cuál es menos: ¿o? Si recuerda eso, queda claro que, y por lo tanto, la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.

Y nuevamente usamos la definición de grado:

Todo es como de costumbre: escribimos la definición de grados y, los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:

Antes de examinar la última regla, resolvamos algunos ejemplos.

Calcula los valores de las expresiones:

Soluciones :

Si ignoramos el octavo grado, ¿qué vemos aquí? Recordamos el programa de séptimo grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados!

Obtenemos:

Echemos un vistazo de cerca al denominador. Se parece mucho a uno de los multiplicadores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden de términos incorrecto. Si se intercambiaran, se podría aplicar la Regla 3. Pero, ¿cómo se puede hacer esto? Resulta muy fácil: aquí nos ayuda un grado par del denominador.

Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora resulta lo siguiente:

Los términos se invierten mágicamente. Este "fenómeno" es aplicable a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No se puede reemplazar cambiando solo una desventaja que no nos gusta!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Así que ahora la última regla:

¿Cómo lo vamos a demostrar? Por supuesto, como de costumbre: ampliemos el concepto de grado y simplifiquemos:

Ahora abramos los corchetes. ¿Cuántas letras habrá? veces por multiplicadores: ¿cómo se ve? Esto no es más que una definición de operación. multiplicación: solo había multiplicadores. Es decir, es, por definición, el grado de un número con exponente:

Ejemplo:

Grado irracional

Además de la información sobre los grados para el nivel intermedio, aquí está el grado con un exponente irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción: después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (que es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar títulos con un indicador natural, total y racional, cada vez inventamos una especie de "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces; un número hasta el grado cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un tipo de "número en blanco", es decir, el número; un grado con un exponente entero negativo es como si tuviera lugar algún tipo de "proceso inverso", es decir, el número no se multiplica por sí mismo, sino que se divide.

Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Más bien, es un objeto puramente matemático que los matemáticos crearon para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.

Por cierto, en ciencia, a menudo se usa un título con un indicador complejo, es decir, el indicador ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

Entonces, ¿qué hacemos cuando vemos un exponente irracional? ¡Estamos intentando con todas nuestras fuerzas deshacernos de él! :)

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

1)

2)

3)

Respuestas:

1. Recordamos la fórmula para la diferencia de cuadrados. Respuesta: .
2. Llevamos las fracciones a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo :.
3. Nada especial, aplicamos las propiedades habituales de las titulaciones:

RESUMEN DE LA SECCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

La licenciatura se llama una expresión de la forma :, donde:

Grado entero

grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, un número entero y positivo).

Grado racional

grado, cuyo exponente son números negativos y fraccionarios.

Grado irracional

grado cuyo exponente es infinito decimal o raíz.

Propiedades de poder

Características de las titulaciones.

• Número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
• Número negativo elevado a impar grado, - número negativo.
• Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
• Cero es igual a cualquier grado.
• Cualquier número hasta el grado cero es igual a.

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Te recordamos que esta lección comprende propiedades de poder con indicadores naturales y cero. Los grados racionales y sus propiedades se cubrirán en las lecciones de octavo grado.

Un exponente natural tiene varias propiedades importantes que facilitan el cálculo en ejemplos de exponentes.

Número de propiedad 1
Producto de grados

¡Recordar!

Al multiplicar grados con las mismas bases, la base permanece sin cambios y se suman los exponentes.

a m · a n = a m + n, donde "a" es cualquier número y "m", "n" son números naturales.

Esta propiedad de los grados también afecta el producto de tres o más grados.

• Simplifica la expresión.
  segundo segundo 2 segundo 3 segundo 4 segundo 5 = segundo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = segundo 15
• Presente como grado.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presente como grado.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

¡Importante!

Tenga en cuenta que en la propiedad especificada solo se trataba de la multiplicación de potencias con por los mismos motivos ... No se aplica a su adición.

No puede reemplazar la cantidad (3 3 + 3 2) con 3 5. Esto es comprensible si
contar (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, y 3 5 = 243

Número de propiedad 2
Grados privados

¡Recordar!

Al dividir grados con las mismas bases, la base permanece sin cambios y el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo.

= 11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44

Ejemplo. Resuelve la ecuación. Usamos la propiedad de títulos privados.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 - 4

Respuesta: t = 3 4 = 81

Usando las propiedades # 1 y # 2, puede simplificar fácilmente expresiones y realizar cálculos.

• Ejemplo. Simplifica la expresión.
  4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
• Ejemplo. Encuentra el valor de una expresión usando las propiedades del grado.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  ¡Importante!

  Tenga en cuenta que la propiedad 2 solo se trata de dividir grados con las mismas bases.

  No puede reemplazar la diferencia (4 3 −4 2) con 4 1. Esto es comprensible si cuentas (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 y 4 1 = 4

  ¡Ten cuidado!

  Número de propiedad 3
  Exponenciación

  ¡Recordar!

  Al elevar un grado a una potencia, la base del grado permanece sin cambios y los exponentes se multiplican.

  (a n) m = a n · m, donde "a" es cualquier número y "m", "n" son números naturales.

  
  

  Propiedades 4
  Grado de trabajo

  ¡Recordar!

  Cuando se eleva a la potencia de un producto, cada uno de los factores se eleva a una potencia. A continuación, se multiplican los resultados.

  (a · b) n = a n · b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera; "N" es cualquier número natural.

  • Ejemplo 1.
    (6 a 2 b 3 s) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Ejemplo 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  ¡Importante!

  Tenga en cuenta que la propiedad n. ° 4, al igual que otras propiedades de grado, se aplica en orden inverso.

  (a n b n) = (a b) n

  Es decir, para multiplicar grados con los mismos indicadores, puede multiplicar las bases y el exponente se puede dejar sin cambios.

  • Ejemplo. Calcular.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
  • Ejemplo. Calcular.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  En ejemplos más complejos, puede haber casos en los que la multiplicación y la división deban realizarse sobre grados con diferentes bases y diferentes exponentes. En este caso, le recomendamos que proceda de la siguiente manera.

  Por ejemplo, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64144 = 9216
  

  Un ejemplo de elevar a una potencia decimal.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Propiedades 5
  Grado de cociente (fracción)

  ¡Recordar!

  Para elevar un cociente a una potencia, puede aumentar un dividendo y un divisor separados a esta potencia y dividir el primer resultado por el segundo.

  (a: b) n = a n: b n, donde "a", "b" son números racionales, b ≠ 0, n es cualquier número natural.

  • Ejemplo. Presentar la expresión en forma de titulaciones privadas.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Te recordamos que el cociente se puede representar como una fracción. Por lo tanto, sobre el tema elevar una fracción a una potencia entraremos en más detalles en la página siguiente.