Qué es el contorno y el contorno de una superficie. Especifica una superficie en un dibujo complejo. Superficies regladas helicoidales

En la Fig. 354 muestra un cono circular recto, cuyo eje es paralelo al cuadrado. π 2 y se inclina a pl. π 1 Se da el contorno de su proyección frontal: es triángulo isósceles S "D" E "Se requiere construir un croquis de una proyección horizontal.

El contorno deseado se compone de una parte de una elipse y dos líneas tangentes a ella. De hecho, el cono en su posición dada se proyecta sobre el cuadrado. π 1 usando la superficie de un cilindro elíptico, cuyas generatrices pasan por los puntos de la circunferencia de la base del cono, y usando dos planos tangentes a la superficie del cono.

Se puede construir una elipse en una proyección horizontal a lo largo de dos de sus ejes: la pequeña D "E" y la grande, del mismo tamaño que D "E" (el diámetro de la circunferencia de la base del cono). Las rectas S "B" y S "F" se obtendrán si trazamos líneas tangentes a la elipse desde el punto S. cono Dado que el plano que se proyecta sobre π 1 toca simultáneamente el cono y la esfera, es posible trazar una tangente desde el punto S "al círculo - la proyección del ecuador de la esfera - y tome esta tangente como la proyección de la generatriz buscada. La construcción se puede iniciar encontrando el punto A "- la proyección frontal de uno de los puntos de la generatriz deseada. El punto A" se obtiene cuando las proyecciones frontales se cruzan: 1) el círculo de tangencia del cono y la esfera (línea recta M "N") y 2) el ecuador de la esfera (línea recta K "L"). Ahora puede encontrar la proyección A "en la proyección horizontal del ecuador y a través de los puntos S" y A "trazar una línea recta: la proyección horizontal de la generatriz deseada. En esta línea, también se determina el punto B, la proyección horizontal de los cuales (punto B ") es el punto tangente de la línea recta con la elipse.

Con la construcción de bocetos de proyecciones de un cono de revolución, encontramos, por ejemplo, en este caso: proyecciones dadas de la parte superior del cono (S ", S"), la dirección de su eje (SK), dimensiones de la altura y el diámetro de la base; construye la proyección del cono. En la Fig. 355 esto se hace utilizando planos de proyección adicionales.

Entonces, para construir una proyección frontal, se introdujo un cuadrado. π 3 perpendicular a π 2 y paralelo a la línea recta SK que define la dirección del eje del cono. En la proyección S "" K "" el segmento S "" C "" se traza igual a la altura especificada del cono. En el punto C "" se traza una perpendicular a S "" C "" y se traza un segmento C "" B "", igual al radio de la base del cono. Los puntos C "" y B "" se utilizan para obtener los puntos C "y B" y así se obtiene el eje semi-menor C "B" de la proyección elipse-frontal de la base del cono. El segmento C "A" igual a C "" B "" representa el semieje principal de esta elipse. Teniendo los ejes de la elipse, puede construirla como se muestra en la Fig. 147.

Para construir una proyección horizontal, se introduce el plano de proyección π 4, perpendicular a π 1 y paralelo a SK. El proceso de construcción es similar al descrito para la proyección frontal.

¿Cómo se construyen bocetos de proyección? En la Fig. 356 se muestra diferente de la Fig. 354, el método para dibujar una tangente a una elipse es sin una esfera inscrita en un cono.

Primero, con un radio igual al eje semi-menor de la elipse, se dibuja un arco desde su centro (en la Fig. 356 es un cuarto de círculo). Se define el punto 2 de intersección de este arco con un círculo de diámetro S "C". Desde el punto 2, se traza una línea recta paralela al eje mayor de la elipse; esta

la línea corta a la elipse en los puntos K "1 y K 2. Ahora queda dibujar las líneas S" K "1 y S" K "2, son tangentes a la elipse y entran en el contorno de la proyección frontal del cono.

En la Fig. 357 muestra un cuerpo de revolución con un eje inclinado paralelo a pl. π 2. Este cuerpo está delimitado por una superficie combinada que consta de dos cilindros, la superficie de un anillo circular y dos planos. Un contorno de la proyección frontal de este cuerpo es su meridiano principal.

El contorno de la proyección horizontal de la parte cilíndrica superior de un cuerpo dado está compuesto por una elipse y dos líneas tangentes a ella. La línea A "B" es una proyección horizontal de la generatriz del cilindro, a lo largo de la cual el plano que se proyecta sobre π 1 toca la superficie del cilindro. Lo mismo se aplica al contorno de la proyección del cilindro inferior (en la Fig. 357 este contorno no está completamente representado).

Pasamos a la parte más compleja del ensayo, la intermedia. Debemos construir una proyección horizontal de esa línea curva espacial, en cuyos puntos hay líneas de proyección tangentes a la superficie del anillo circular y perpendiculares a pl. π 1. La proyección frontal de cada punto de dicha curva se construye de la misma manera que se hizo para el punto A "en la Fig. 354, - utilizando esferas inscritas. Las proyecciones horizontales de puntos se determinan en la proyección del ecuador del correspondiente Esfera Así es como, por ejemplo, el punto D 1 (D "1, D" 1).

Los puntos K "1 y K" 2 se obtienen mediante el punto K "1 (también conocido como K" 2) en el ecuador de la esfera con centro O, y este punto K "1 (K" 2) se obtiene trazando una línea de comunicación tangente a la curva construida B "D" 1 C ".

Entonces, la curva B "D" 1 K "1 contiene proyecciones frontales de puntos, cuyas proyecciones horizontales B", D "1, K" 1 están incluidas en el contorno de la proyección horizontal del cuerpo en cuestión.

Preguntas a §§ 53-54

1. ¿Qué se llama un plano tangente a una superficie curva en un punto dado de esa superficie?
2. ¿Qué se llama un punto ordinario (o regular) en una superficie?
3. ¿Cómo construir un plano tangente a una superficie curva en algún punto?
4. ¿Qué es una superficie normal?
5. ¿Cómo construir un plano tangente a la esfera en algún punto de la esfera?
6. ¿Cuándo una superficie curva es convexa?
7. ¿Puede un plano tangente a una superficie curva en cualquier punto de esta superficie cruzarse con esta última? Da un ejemplo de intersección a lo largo de dos líneas.
8. ¿Cómo se utilizan las esferas inscritas en la superficie de revolución, cuyo eje es paralelo al cuadrado? π 2, para construir un contorno de la proyección de esta superficie en el cuadrado. π 1, ¿con respecto al cual el eje de la superficie de revolución está inclinado en un ángulo agudo?
9. ¿Cómo dibujar una línea tangente a una elipse desde un punto que se encuentra en la extensión de su eje menor?
10. En cuyo caso los contornos de las proyecciones del cilindro de revolución y el cono de revolución serán exactamente iguales en pl. π 1 y pl. π 2?

Concepto de superficie

SUPERFICIES

En geometría descriptiva, las superficies se consideran como un conjunto de posiciones sucesivas de una determinada línea que se mueve en el espacio de acuerdo con una determinada ley. Este método de formación de superficies se llama cinemático.

Una línea (curva o recta) se mueve en el espacio de acuerdo con una determinada ley y crea una superficie. Se llama generatriz. Durante la formación de la superficie, puede permanecer sin cambios o cambiar su forma. La ley de desplazamiento de la generatriz se especifica en forma de un conjunto de líneas e indicaciones de la naturaleza del desplazamiento de la generatriz. Estas líneas se denominan pautas.

Además del método cinemático, se puede especificar la superficie

· Analíticamente, es decir, se describe mediante una expresión matemática;

· Método de estructura alámbrica, que se utiliza al definir superficies complejas; una estructura alámbrica de superficie es un conjunto ordenado de puntos o líneas que pertenecen a una superficie.

Para definir una superficie en un dibujo complejo, basta con tener elementos de superficie en ella que le permitan construir cada uno de sus puntos. La colección de estos elementos se denomina determinante de superficie.

El identificador de superficie consta de dos partes:

· La parte geométrica, que incluye elementos geométricos constantes (puntos, líneas) que participan en la formación de la superficie;

· La parte algorítmica, que establece la ley de movimiento del generador, la naturaleza del cambio en su forma.

En forma simbólica, el determinante de la superficie F se puede escribir como: F (Г) [A], donde Г es la parte geométrica del determinante, A es la parte algorítmica.

Para distinguir un determinante cerca de la superficie, se debe partir del método cinemático de su formación. Pero dado que muchas superficies idénticas se pueden obtener de diferentes formas, tendrán diferentes determinantes. A continuación consideraremos las superficies más comunes de acuerdo con los criterios de clasificación, agradables en el curso de la geometría descriptiva.

Para definir una superficie en un dibujo complejo, basta con indicar las proyecciones de no todo el conjunto de puntos y líneas que pertenecen a la superficie, sino solo formas geométricas incluido en su determinante. Este método de definir la superficie le permite construir proyecciones de cualquiera de sus puntos. Especificar una superficie mediante proyecciones de su determinante no aporta claridad, lo que dificulta la lectura del dibujo. Para mejorar la claridad, si es posible, las líneas de boceto (bocetos) de la superficie se indican en el dibujo.

Cuando cualquier superficie W se proyecta paralela al plano de proyección S, entonces las líneas de proyección tangentes a la superficie W , formar una superficie cilíndrica (Figura 11.1). Estas líneas rectas proyectadas tocan la superficie W en puntos que forman una línea m, que se llama línea de contorno.

La proyección de la línea de contorno m sobre el plano S - m / se denomina contorno de la superficie. El contorno de la superficie separa la proyección de la superficie del resto del plano de proyección.

La línea de contorno de la superficie se utiliza para determinar la visibilidad de puntos en relación con el plano de proyección. Entonces, en la fig. 11.1 serán visibles las proyecciones de puntos de la superficie W ubicados a la izquierda del contorno m en el plano S. Las proyecciones del resto de puntos de la superficie serán invisibles.

Ensayos

Al definir un objeto con aristas curvas para proyección, además de definir un conjunto de puntos, aristas y caras del objeto de proyección, es necesario definir un conjunto de contornos para sus aristas curvas.

Los bocetos de superficie curva son líneas en esa superficie curva que dividen la superficie en partes que no son visibles y partes que son visibles en el plano de proyección. En este caso, estamos hablando de la proyección de solo la superficie curva considerada y no tiene en cuenta el posible sombreado de esta superficie por otras superficies de primer plano.

Las partes en las que se rompen los bocetos mediante una superficie curva se denominan compartimentos.

La posición de los bocetos de caras curvilíneas está determinada por los parámetros de proyección, por lo tanto, los bocetos deben determinarse después de que se complete la transición al sistema de coordenadas de especies.

Determinar el contorno de una superficie curva, en el caso general, es una tarea relativamente difícil. Por lo tanto, como regla general, una superficie curva determinada se aproxima utilizando una de las superficies curvas típicas, que incluyen:

Superficie cilíndrica;

Superficie esférica;

Superficie cónica.

Considere buscar bocetos para este tipo de superficies curvas.

Hallazgo contornos de una superficie esférica ilustrado en la Fig. 6.6-7.

La figura utiliza las siguientes designaciones:

О - el centro de la esfera;

О п - proyección del centro de la esfera;

GM es el meridiano principal de una esfera determinada;

Pl1 - plano que pasa por el centro de la esfera, paralelo al plano de proyección;

X in, Y in, Z in - ejes de coordenadas del sistema de coordenadas de la vista;

X p, Y p - ejes de coordenadas en el plano de proyección.

Para encontrar el contorno en la superficie de la esfera, es necesario dibujar un plano (pl1 en la figura 6.6-7) a través del centro de la esfera, paralelo al plano de proyección. La línea de intersección de esta superficie y la esfera, que tiene la forma de un círculo, se denomina meridiano principal (GM) de la superficie esférica. Este meridiano principal es el contorno deseado.

La proyección de este contorno será un círculo con el mismo radio. El centro de este círculo es la proyección del centro de la esfera original sobre el plano de proyección (O p en la figura 6.7-1).

Arroz.6.7 ‑ 1

Para determinar contorno de una superficie cilíndrica, a través del eje del cilindro dado o 1 o 2 (figura 6.7-2) se dibuja el plano Pl1, perpendicular al plano de proyección. Además, el plano Pl2 se dibuja a través del eje del cilindro, perpendicular al plano Pl1. Sus intersecciones con la superficie cilíndrica forman dos líneas rectas o h 1 och 2 y o h 3 o h 4, que son los contornos de la superficie cilíndrica. Las proyecciones de estos bocetos son líneas rectas de 1p och 2p y o h 3p o h 4p, que se muestran en la Fig. 6.7-2.

Construcción de ensayos superficie cónica ilustrado en la Fig. 6.7-3.

En la figura, se adoptan las siguientes designaciones:

O es la parte superior del cono;

OO 1 - eje del cono;

X in, Y in, Z en - sistema de coordenadas de especies;

PP - plano de proyección;

X p, Y p, - sistema de coordenadas del plano de proyección;

Лп - líneas de proyección;

O 1 - el centro de la esfera inscrito en el cono;

O 2 - un círculo tangente a la esfera inscrita, que tiene un centro en el punto O 1, y la superficie cónica original;

O h 1, O h 1 - puntos que se encuentran en los contornos de la superficie cónica;

O h 1p, O h 1p son los puntos por los que pasan las líneas correspondientes a las proyecciones de los contornos de la superficie cónica.

La superficie cónica tiene dos contornos en forma de líneas rectas. Obviamente, estas líneas pasan por los vértices del cono - punto O. Para definir el contorno de manera inequívoca, por lo tanto, es necesario encontrar un punto para cada contorno.

Para construir contornos de una superficie cónica, realice los siguientes pasos.

Se inscribe una esfera en una superficie cónica determinada (por ejemplo, con un centro en el punto O 1) y se determina la tangente de esta esfera con una superficie cónica. En el caso considerado en la figura, la recta tangente tendrá la forma de un círculo con el centro en el punto O 2 sobre el eje del cono.

Obviamente, de todos los puntos de una superficie esférica, los puntos pertenecientes a contornos solo pueden ser puntos pertenecientes a un círculo tangente. Por otro lado, estos puntos deben ubicarse en la circunferencia del meridiano principal de la esfera inscrita.

Por tanto, los puntos de intersección del círculo del meridiano principal de la esfera inscrita y el círculo-tangente serán los puntos requeridos. Estos puntos se pueden definir como los puntos de intersección del círculo tangente y el plano que pasa por el centro de la esfera inscrita O 1, paralela al plano de proyección. Tales puntos en la figura son O h 1 y O h 2.

Para construir las proyecciones de croquis, basta con encontrar los puntos O h 1p y O h 2p, que son las proyecciones de los puntos encontrados O h 1 y O h 2 en el plano de proyección, y utilizando estos puntos y el punto O n de la proyección del vértice del cono, construya dos líneas rectas que correspondan a las proyecciones de los contornos de una superficie cónica determinada (véase la figura 6.7-3).

Arroz. 3,15

Las superficies de revolución se utilizan ampliamente en todas las áreas de la tecnología. La superficie de revolución se denomina superficie resultante de la rotación de alguna línea generadora. 1 alrededor de una línea fija I- el eje de rotación de la superficie (Figura 3.15). En el dibujo, la superficie de revolución está definida por su contorno. El contorno de la superficie son las líneas que delimitan el área de su proyección. Durante la rotación, cada punto de la generatriz describe un círculo, cuyo plano es perpendicular al eje. En consecuencia, la línea de intersección de la superficie de revolución con un plano perpendicular al eje es un círculo. Estos círculos se denominan paralelos (figura 3.15). El paralelo del radio más grande se llama ecuador, el más pequeño, la garganta. El plano que pasa por el eje de la superficie de revolución se llama meridiano, la línea de su intersección con la superficie de revolución se llama meridiano. Un meridiano que se encuentra en un plano paralelo al plano de proyección se denomina meridiano principal. En la práctica del dibujo, las siguientes superficies de revolución se encuentran con mayor frecuencia: cilíndrica, cónica, esférica, toro.

Arroz. 3,16

Superficie cilíndrica de revolución... Como guía a uno debe tomar un círculo, y como una línea recta B- eje I(Figura 3.16). Entonces obtenemos que el generador l paralelo al eje I, gira en torno a este último. Si el eje de rotación es perpendicular al plano horizontal de las proyecciones, entonces en NS 1 superficie cilíndrica se proyecta en un círculo, y en NS 3 - en un rectángulo. El meridiano principal de la superficie cilíndrica son dos líneas rectas paralelas.

Figura 3.17

Superficie cónica de revolución obtenemos rotando la generatriz recta l alrededor del eje I... En este caso, el generador l cruza el eje I en el punto S llamado la parte superior del cono (Figura 3.17). El meridiano principal de la superficie cónica son dos líneas rectas que se cruzan. Si tomamos un segmento de línea recta como generador, y el eje del cono es perpendicular NS 1, luego en NS 1 la superficie cónica se proyecta en un círculo, y en NS 2 - en un triángulo.

Superficie esférica se forma al girar un círculo alrededor de un eje que pasa por el centro del círculo y se encuentra en su plano (Figura 3.18). El ecuador y los meridianos de una superficie esférica son círculos iguales. Por lo tanto, con una proyección ortogonal en cualquier plano, una superficie esférica se proyecta en círculos.

Arroz. 3,18 Cuando un círculo gira alrededor de un eje que se encuentra en el plano de este círculo, pero que no pasa por su centro, se forma una superficie, llamada toro (figura 3.19).

Arroz. 3,19

11. PROBLEMAS POSICIONALES ACCESORIOS DE UN PUNTO, UNA LÍNEA SUPERFICIAL TEOREMA DE MONGE. Bajo posicional significa tareas, cuya solución le permite obtener una respuesta sobre la pertenencia de un elemento (punto) o un subconjunto (línea) a un conjunto (superficie). Posicional también incluye tareas para determinar elementos comunes que pertenecen a varias formas geométricas. El primer grupo de tareas se puede combinar bajo el título general de una tarea de pertenencia. Estos, en particular, incluyen tareas para determinar: 1) la pertenencia de un punto de la línea; 2) la pertenencia de un punto de la superficie; 3) la pertenencia de la línea de la superficie. El segundo grupo incluye problemas de intersección . Este grupo también contiene tres tipos de tareas: 1) para la intersección de una línea con una línea; 2) para la intersección de una superficie con una superficie; 3) para una intersección de una línea con una superficie. Afiliación de puntos de superficie ... La posición principal en la resolución de problemas para esta opción de pertenencia es la siguiente : un punto pertenece a una superficie si pertenece a cualquier línea de esa superficie... En este caso, las líneas deben elegirse como las más simples para facilitar la construcción de proyecciones de dicha línea, luego utilice el hecho de que las proyecciones de un punto que se encuentra en la superficie deben pertenecer a la misma proyección de la línea de este. superficie ... En la figura se muestra un ejemplo de la solución a este problema.... Hay dos formas de resolverlo, ya que puedes dibujar dos líneas simples pertenecientes a una superficie cónica. En el primer caso, se traza una línea recta - el generador de la superficie cónica S1 de modo que pase por cualquier proyección dada del punto C.Así, asumimos que el punto C pertenece al generador S1 de la superficie cónica, y por lo tanto, a la propia superficie cónica. En este caso, las proyecciones del mismo nombre del punto C deben estar en las proyecciones correspondientes de esta generatriz. Otra línea simple es un círculo con un diámetro de 1-2 (el radio de este círculo se mide desde el eje del cono al esquema generatriz). Este hecho también se conoce del curso de geometría de la escuela: cuando un cono circular se cruza con un plano paralelo a su base, o perpendicular a su eje, se obtendrá un círculo en la sección. El segundo método de solución permite encontrar la proyección faltante del punto C, dada por su proyección frontal, perteneciente a la superficie del cono y coincidiendo en el dibujo con el eje de rotación del cono, sin construir una tercera proyección. Siempre debe tener en cuenta si un punto que se encuentra en la superficie del cono es visible o no visible (si no es visible, la proyección correspondiente del punto se incluirá entre paréntesis). Obviamente, en nuestro problema, el punto C pertenece a la superficie, ya que las proyecciones del punto pertenecen a las proyecciones del mismo nombre, utilizadas para resolver tanto el primer como el segundo método de solución. Afiliación a la línea de superficie. Posición básica: una línea pertenece a una superficie si todos los puntos de la línea pertenecen a una superficie dada... Esto significa que en este caso de pertenencia, el problema de pertenencia de un punto a una superficie debe resolverse varias veces. Teorema de monge: si dos superficies de segundo orden se describen cerca de la tercera o están inscritas en ella, entonces la línea de su intersección se divide en dos curvas de segundo orden, cuyos planos pasan por una línea recta que conecta los puntos de intersección de la círculo de tangencia.

12.SECCIONES DEL CONO DE ROTACIÓN POR LOS PLANOS DE PROYECCIÓN . Al cruzar superficies cuerpos con planos de proyección, la proyección de una sección coincide con la proyección del plano de proyección. El cono puede tener cinco formas diferentes en sección transversal. Triángulo- si el plano de corte corta el cono a través del vértice a lo largo de dos generatrices. Circulo- si el plano se cruza con el cono paralelo a la base (perpendicular al eje). Elipse- si el plano cruza todos los generadores en un cierto ángulo. Parábola- si el plano es paralelo a una de las generatrices del cono. Hipérbola- si el plano es paralelo al eje o dos generatrices del cono. Sección de superficie por plano es una figura plana delimitada por una línea cerrada, cuyos puntos pertenecen tanto al plano de corte como a la superficie. Cuando un plano se cruza con un poliedro en una sección, se obtiene un polígono con vértices ubicados en los bordes del poliedro. Ejemplo... Construya las proyecciones de la línea de intersección L de la superficie del cono circular recto ω por el plano β. Solución... En la sección se obtiene una parábola cuyo vértice se proyecta al punto A (A ', A' '). Los puntos A, D, E de la línea de intersección son extremos. En la Fig. la construcción de la línea de intersección buscada se llevó a cabo utilizando los planos horizontales del nivel αi, que intersecan la superficie del cono ω a lo largo de los paralelos рi, y el plano β - a lo largo de los segmentos de las líneas rectas que se proyectan frontalmente. La línea de intersección L es completamente visible en los planos.

№13. Superficies coaxiales. Método de esferas concéntricas.

Al construir una línea de intersección de superficies, las características de la intersección de superficies coaxiales de revolución permiten utilizar esferas coaxiales con estas superficies como superficies intermedias auxiliares. Las superficies coaxiales de revolución incluyen superficies que tienen un eje de revolución común. En la Fig. 134 muestra un cilindro coaxial y una esfera (Fig.134, a), un cono coaxial y una esfera (Fig.134, b) y un cilindro coaxial y un cono (Fig.134, c)

Las superficies coaxiales de revolución siempre se intersecan a lo largo de círculos cuyos planos son perpendiculares al eje de revolución. Hay tantos de estos círculos comunes a ambas superficies como puntos de intersección de las líneas de contorno de las superficies. Las superficies de la Fig. 134 se cruzan en círculos creados por los puntos 1 y 2 de la intersección de sus meridianos principales. El mediador-esfera auxiliar interseca cada una de las superficies especificadas en un círculo, en cuya intersección se obtienen puntos que pertenecen a la otra superficie, y por lo tanto las líneas de intersección. Si los ejes de las superficies se cruzan, las esferas auxiliares se dibujan desde un punto central de intersección de los ejes. En este caso, la línea de intersección de superficies se construye mediante el método de esferas concéntricas auxiliares. Al construir una línea de intersección de superficies para usar el método de esferas concéntricas auxiliares, se deben cumplir las siguientes condiciones: 1) intersección de superficies de revolución; 2) ejes de superficies - líneas rectas que se intersecan - son paralelos a uno de los planos de proyección , es decir, hay un plano de simetría común; 3) el método no se puede utilizar en planos de recorte de construcción porque no producen líneas gráficamente simples en las superficies. Normalmente, el método de esferas de construcción se utiliza junto con el método de planos de recorte de construcción. En la Fig. 135, se construye una línea de intersección de dos superficies cónicas de revolución con ejes de revolución que se intersecan en el plano frontal del nivel Ф (Ф1). Esto significa que los meridianos principales de estas superficies se cruzan y dan en su intersección los puntos de visibilidad de la línea de intersección con respecto al plano P2 o los puntos A más alto y B más bajo. En la intersección del meridiano horizontal hy el paralelo h ", que se encuentran en un plano auxiliar de corte Г (Г2), se determinan los puntos de visibilidad C y D de la línea de intersección con respecto al plano P1. Ф, intersectará ambas superficies a lo largo del hipérbolas, y los planos paralelos a Г, darán en la intersección de las superficies del círculo y la hipérbola.Los planos auxiliares que se proyectan horizontal o frontalmente dibujados a través del vértice de una de las superficies los intersecarán a lo largo de generadores y elipses. uso de esferas auxiliares para construir puntos de la línea de intersección.Los ejes de las superficies de revolución se intersecan en el punto O (O1; O2), que es el centro de las esferas auxiliares, el radio de la esfera cambia dentro de Rmin< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2 (F2); Е2Е1 || A2A1; E2E1 ^ h21 = E1; F2F ^ h1 = F1 Una esfera intermedia de radio R corta las superficies a lo largo de los círculos h4 y h5, en cuya intersección se encuentran los puntos M y N: h42 ^ h52 = M2 (N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Al conectar las proyecciones del mismo nombre de los puntos construidos, teniendo en cuenta su visibilidad, obtenemos las proyecciones de la línea de intersección de las superficies.

No. 14. construcción de una línea de intersección de superficies, si al menos una de ellas se proyecta. Puntos clave de la línea de intersección.

Antes de continuar con la construcción de la línea de intersección de superficies, es necesario estudiar cuidadosamente la condición del problema, es decir qué superficies se cruzan. Si una de las superficies se proyecta, entonces la solución del problema se simplifica, ya que en una de las proyecciones, la línea de intersección coincide con la proyección de la superficie. Y la tarea se reduce a encontrar la segunda línea de proyección. Al resolver el problema, es necesario marcar en primer lugar puntos "característicos" o "especiales". Eso:

Puntos sobre generatrices extremas

Puntos que dividen la línea en partes visibles e invisibles.

· Puntos superior e inferior, etc. A continuación, debe elegir sabiamente el método que utilizaremos al construir la línea de intersección de superficies. Usaremos dos métodos: 1. planos de corte auxiliares. 2. esferas secantes auxiliares. Las superficies de proyección incluyen: 1) un cilindro si su eje es perpendicular al plano de proyección; 2) un prisma, si los bordes del prisma son perpendiculares al plano de proyección. La superficie de proyección se proyecta en una línea en el plano de proyección. Todos los puntos y líneas pertenecientes a la superficie lateral del cilindro de proyección o del prisma de proyección se proyectan en una línea en el plano al que el eje del cilindro o el borde del prisma es perpendicular. La línea de intersección de superficies pertenece a ambas superficies al mismo tiempo, y si una de estas superficies se proyecta, entonces se puede usar la siguiente regla para construir la línea de intersección: si una de las superficies que se cruzan es proyección, entonces una proyección de la línea de intersección está en el dibujo confeccionado y coincide con la proyección de la superficie de proyección (el círculo en el que se proyecta el cilindro o el polígono en el que se proyecta el prisma). La segunda proyección de la línea de intersección se construye con la condición de que los puntos de esta línea pertenezcan a otra superficie no saliente.

Las características consideradas de los puntos característicos facilitan la verificación de la exactitud de la construcción de la línea de intersección de superficies, si se construye a partir de puntos seleccionados arbitrariamente. En este caso, diez puntos son suficientes para dibujar proyecciones suaves de la línea de intersección. Se puede trazar cualquier número de puntos intermedios si es necesario. Los puntos construidos están conectados con una línea suave, teniendo en cuenta las peculiaridades de su posición y visibilidad. Vamos a formular regla general construcción de la línea de intersección de superficies: seleccione el tipo de superficies auxiliares; construir líneas de intersección de superficies auxiliares con superficies específicas; encontrar los puntos de intersección de las líneas construidas y conectarlos entre sí. Elegimos los planos de corte auxiliares de tal forma que, en la intersección con las superficies dadas, se obtengan líneas geométricamente simples (rectas o círculos). Seleccione planos de recorte auxiliares. La mayoría de las veces, los planos de proyección, en particular los planos de nivel, se eligen como planos de recorte auxiliares. En este caso, es necesario tener en cuenta las líneas de intersección obtenidas en la superficie como resultado de la intersección de la superficie con el plano. Entonces, el cono es la superficie más compleja en términos de la cantidad de líneas obtenidas en él. Solo los planos que pasan por el vértice del cono o perpendiculares al eje del cono lo cruzan, respectivamente, en una línea recta y un círculo (líneas geométricamente más simples). Un plano que corre paralelo a una generatriz lo interseca en una parábola, un plano paralelo al eje del cono lo interseca a lo largo de una hipérbola, y un plano que interseca a todos los generadores e inclinado al eje del cono lo interseca a lo largo de una elipse. En una esfera, al cruzarla por un plano, siempre se obtiene un círculo, y si es atravesada por un plano nivelado, entonces este círculo se proyecta en el plano de proyección, respectivamente, en una línea recta y un círculo. Entonces, como planos auxiliares, seleccionamos los planos horizontales del nivel que intersecan tanto el cono como la esfera en círculos (las líneas más simples). Algunos casos especiales de superficies que se cruzan En algunos casos, la ubicación, forma o relación de aspecto de las superficies curvas es tal que no se requieren construcciones complejas para representar la línea de su intersección. Estos incluyen la intersección de cilindros con generatrices paralelas, conos con un vértice común, superficies coaxiales de revolución, superficies de revolución descritas alrededor de una esfera.