பித்தகோரியன் தேற்றம்: ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரத் தொகைக்கு சமம். அறிவியலில் தொடங்கவும் பித்தகோரியன் தேற்றம் உருவாக்கம் மற்றும் பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் ஆதாரம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் கூறுகிறது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம்:

a 2 + b 2 = c 2,

• அமற்றும் பி- கால்கள் சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.
• உடன்முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சூத்திரங்கள்

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்

வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

S = \frac(1)(2)ab

தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, பகுதி சூத்திரம்:

• ப- அரை சுற்றளவு. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• ஆர்பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும். ஒரு செவ்வகத்திற்கு r=\frac(1)(2)(a+b-c).

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு இரண்டு சூத்திரங்களின் வலது பக்கங்களையும் சமன் செய்கிறோம்:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \இடது((a+b)^(2) -c^(2) \வலது)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும். அதாவது, எந்த மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் a, bமற்றும் c, அதுபோல்

a 2 + b 2 = c 2,

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

பித்தகோரியன் தேற்றம்- யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான உறவை நிறுவுகிறது. விஞ்ஞானி கணிதவியலாளரும் தத்துவஞானியுமான பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேற்றத்தின் பொருள்மற்ற தேற்றங்களை நிரூபிக்கவும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும் இது பயன்படுத்தப்படலாம்.

கூடுதல் பொருள்:

பித்தகோரியன் தேற்றம் செங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும் என்பதால், உங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ள முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணமாக இருப்பதை உறுதி செய்து கொள்ளுங்கள். வலது முக்கோணங்களில், மூன்று கோணங்களில் ஒன்று எப்போதும் 90 டிகிரி ஆகும்.

• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு செங்கோணம் ஒரு வளைவுக்குப் பதிலாக ஒரு சதுரத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, இது வலது அல்லாத கோணங்களைக் குறிக்கிறது.

முக்கோணத்தின் பக்கங்களை குறிக்கவும்.கால்களை "a" மற்றும் "b" (கால்கள் வலது கோணங்களில் வெட்டும் பக்கங்கள்), மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் "c" (செங்கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமானது ஹைபோடென்யூஸ்) என குறிப்பிடவும்.

முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறீர்கள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கத்தையும் (மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் தெரிந்திருந்தால்) கண்டுபிடிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. எந்தப் பக்கத்தை (a, b, c) கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

• எடுத்துக்காட்டாக, 5 க்கு சமமான ஹைப்போடென்யூஸ் கொடுக்கப்பட்டு, 3 க்கு சமமான கால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த விஷயத்தில், நீங்கள் இரண்டாவது காலை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த உதாரணத்திற்கு பின்னர் திரும்புவோம்.
• மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் தெரியவில்லை என்றால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு, தெரியாத பக்கங்களில் ஒன்றின் நீளத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். இதைச் செய்ய, அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தவும் (வலது அல்லாத கோணங்களில் ஒன்றின் மதிப்பு உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டால்).

a 2 + b 2 \u003d c 2 சூத்திரத்தில் உங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட மதிப்புகளை (அல்லது நீங்கள் கண்டறிந்த மதிப்புகள்) மாற்றவும். a மற்றும் b என்பது கால்கள் மற்றும் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

• எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், எழுதுங்கள்: 3² + b² = 5².

அறியப்பட்ட ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் சதுரப்படுத்தவும்.அல்லது அடுக்குகளை விட்டு விடுங்கள் - நீங்கள் எண்களை பின்னர் ஸ்கொயர் செய்யலாம்.

• எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், எழுதவும்: 9 + b² = 25.

சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் தெரியாத பக்கத்தை தனிமைப்படுத்தவும்.இதைச் செய்ய, அறியப்பட்ட மதிப்புகளை சமன்பாட்டின் மறுபக்கத்திற்கு மாற்றவும். நீங்கள் ஹைபோடென்யூஸைக் கண்டால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் அது ஏற்கனவே சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் தனிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது (எனவே எதுவும் செய்ய வேண்டியதில்லை).

• எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், அறியப்படாத b² ஐ தனிமைப்படுத்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு 9 ஐ நகர்த்தவும். நீங்கள் b² = 16 ஐப் பெறுவீர்கள்.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.இந்த கட்டத்தில், சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் அறியப்படாத (சதுரமானது), மறுபுறம் ஒரு இடைமறிப்பு (ஒரு எண்) உள்ளது.

• எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், b² = 16. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்து b = 4 ஐப் பெறவும். எனவே இரண்டாவது கால் 4 .

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை அன்றாட வாழ்வில் பயன்படுத்தவும், ஏனெனில் இது அதிக எண்ணிக்கையிலான நடைமுறை சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தப்படலாம். இதைச் செய்ய, அன்றாட வாழ்க்கையில் சரியான முக்கோணங்களை அடையாளம் காண கற்றுக்கொள்ளுங்கள் - எந்த சூழ்நிலையிலும் இரண்டு பொருள்கள் (அல்லது கோடுகள்) செங்கோணங்களில் வெட்டுகின்றன, மேலும் மூன்றாவது பொருள் (அல்லது கோடு) முதல் இரண்டு பொருட்களின் மேல் (அல்லது குறுக்காக) இணைக்கிறது. கோடுகள்), தெரியாத பக்கத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம் (மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் தெரிந்தால்).

• எடுத்துக்காட்டு: ஒரு கட்டிடத்தின் மீது சாய்ந்திருக்கும் ஏணி. படிக்கட்டுகளின் அடிப்பகுதி சுவரின் அடிப்பகுதியில் இருந்து 5 மீட்டர் தொலைவில் உள்ளது. படிக்கட்டுகளின் மேற்பகுதி தரையில் இருந்து 20 மீட்டர் (சுவர் வரை) உள்ளது. ஏணியின் நீளம் என்ன?
  • "சுவரின் அடிப்பகுதியில் இருந்து 5 மீட்டர்" என்பது a = 5; "தரையில் இருந்து 20 மீட்டர் தொலைவில் உள்ளது" என்பது b = 20 (அதாவது, கட்டிடத்தின் சுவர் மற்றும் பூமியின் மேற்பரப்பு செங்கோணத்தில் வெட்டுவதால், உங்களுக்கு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு கால்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன). ஏணியின் நீளம் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம், இது தெரியவில்லை.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. இவ்வாறு, படிக்கட்டுகளின் தோராயமான நீளம் 20.6 மீட்டர்.

கதை

சூ-பே 500-200 கி.மு. இடதுபுறத்தில் கல்வெட்டு உள்ளது: உயரம் மற்றும் அடித்தளத்தின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரமாகும்.

பண்டைய சீன புத்தகமான சூ-பேயில் ( ஆங்கிலம்) (சீன 周髀算經) 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட பித்தகோரியன் முக்கோணத்தைப் பற்றி பேசுகிறது. அதே புத்தகத்தில், பாஸ்கராவின் இந்து வடிவவியலின் வரைபடங்களில் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகும் ஒரு வரைபடம் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது.

சுமார் 400 கி.மு. e., ப்ரோக்லஸின் படி, இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலை இணைத்து பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு முறையை பிளேட்டோ வழங்கினார். சுமார் 300 கி.மு. இ. யூக்ளிடின் தனிமங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மிகப் பழமையான அச்சு ஆதாரத்தைக் கொண்டுள்ளது.

வார்த்தையாடல்

வடிவியல் உருவாக்கம்:

தேற்றம் முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

இயற்கணித உருவாக்கம்:

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் மற்றும் அதன் வழியாக கால்களின் நீளம் மற்றும்:

தேற்றத்தின் இரண்டு சூத்திரங்களும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது சூத்திரம் மிகவும் அடிப்படையானது, இதற்கு பகுதியின் கருத்து தேவையில்லை. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையானது பகுதியைப் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் மற்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம் சரிபார்க்க முடியும்.

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்:

நேர்மறை எண்களின் எந்த மூன்று மடங்கிற்கும், மற்றும் , கால்கள் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது.

ஆதாரம்

இந்த நேரத்தில், இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியத்தில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. அநேகமாக, பித்தகோரியன் தேற்றம் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய ஆதாரங்களைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே இத்தகைய பல்வேறு வகைகளை விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக, அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை: பகுதி முறையின் சான்றுகள், அச்சு மற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்).

ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

இயற்கணித உருவாக்கத்தின் பின்வரும் ஆதாரம், கோட்பாடுகளிலிருந்து நேரடியாகக் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானது. குறிப்பாக, இது உருவப் பகுதி என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தவில்லை.

விடுங்கள் ஏபிசிவலது கோண முக்கோணம் உள்ளது சி. இருந்து ஒரு உயரம் வரைவோம் சிமற்றும் அதன் அடிப்படையைக் குறிக்கவும் எச். முக்கோணம் ACHஒரு முக்கோணத்தைப் போன்றது ஏபிசிஇரண்டு மூலைகளிலும். அதேபோல், முக்கோணம் CBHஒத்த ஏபிசி. குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துதல்

நாம் பெறுகிறோம்

எது சமமானது

சேர்த்தல், நாம் பெறுகிறோம்

, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியிருந்தது

பகுதி சான்றுகள்

பின்வரும் சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவை அனைத்தும் அப்பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, இதன் ஆதாரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை விட மிகவும் சிக்கலானது.

சமநிலை மூலம் சான்று

1. படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நான்கு சம வலது முக்கோணங்களை வரிசைப்படுத்தவும்.
2. பக்கங்களைக் கொண்ட நாற்கர cஇரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° மற்றும் நேரான கோணம் 180° என்பதால் ஒரு சதுரம்.
3. முழு உருவத்தின் பரப்பளவு ஒருபுறம், ஒரு பக்கத்துடன் (a + b) சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும், மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகள் மற்றும் பரப்பளவு உள் சதுரத்தின்.

கே.இ.டி.

யூக்ளிட்டின் ஆதாரம்

யூக்ளிட்டின் ஆதாரத்தின் யோசனை பின்வருமாறு: ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பாதி பகுதி கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பாதி பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம், பின்னர் பகுதிகள் பெரிய மற்றும் இரண்டு சிறிய சதுரங்கள் சமம்.

இடதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள். அதன் மீது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் சதுரங்களை உருவாக்கி, வலது கோணம் C இன் உச்சியில் இருந்து ஒரு கதிர் s ஐ ஹைபோடென்யூஸ் AB க்கு செங்குத்தாக வரைந்தோம், அது ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட ABIK சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாக வெட்டுகிறது - BHJI மற்றும் HAKJ , முறையே. இந்த செவ்வகங்களின் பகுதிகள் தொடர்புடைய கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளுக்கு சரியாக சமமாக இருக்கும் என்று மாறிவிடும்.

சதுர DECA இன் பரப்பளவு AHJK செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம், இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு துணை கவனிப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்: கொடுக்கப்பட்ட அதே உயரம் மற்றும் அடித்தளத்துடன் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு செவ்வகமானது கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம். இது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அடித்தளம் மற்றும் உயரத்தின் பாதி உற்பத்தியாக வரையறுப்பதன் விளைவாகும். இந்த அவதானிப்பிலிருந்து, ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு AHK முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம் (காட்டப்படவில்லை), இது செவ்வக AHJK இன் பாதி பகுதிக்கு சமம்.

ACK முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சதுர DECA இன் பாதி பகுதிக்கு சமம் என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம். இதற்கு செய்ய வேண்டிய ஒரே விஷயம், ACK மற்றும் BDA முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது (முக்கோண BDA இன் பரப்பளவு மேலே உள்ள சொத்தின் சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமமாக இருப்பதால்). இந்த சமத்துவம் வெளிப்படையானது: முக்கோணங்கள் இரண்டு பக்கங்களிலும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும் சமமாக இருக்கும். அதாவது - AB=AK, AD=AC - CAK மற்றும் BAD ஆகிய கோணங்களின் சமத்துவத்தை இயக்க முறையின் மூலம் நிரூபிப்பது எளிது: முக்கோணத்தை CAK 90 ° எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுவோம், பின்னர் கருதப்படும் இரண்டு முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய பக்கங்களும் இணையும் என்பது தெளிவாகிறது. (சதுரத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் 90° ஆக இருப்பதால்).

சதுர BCFG மற்றும் செவ்வக BHJI பகுதிகளின் சமத்துவம் பற்றிய வாதம் முற்றிலும் ஒத்ததாகும்.

இவ்வாறு, ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை என்பதை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம். இந்த ஆதாரத்தின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை மேலே உள்ள அனிமேஷனுடன் மேலும் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

ஆதாரத்தின் முக்கிய கூறுகள் சமச்சீர் மற்றும் இயக்கம்.

வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள், சமச்சீர்நிலையிலிருந்து பார்க்க முடியும், பிரிவு சதுரத்தை இரண்டு ஒத்த பகுதிகளாக வெட்டுகிறது (முக்கோணங்கள் மற்றும் கட்டுமானத்தில் சமமாக இருப்பதால்).

புள்ளியைச் சுற்றி 90 டிகிரிக்கு எதிரெதிர் திசையில் சுழற்சியைப் பயன்படுத்தி, நிழலாடிய உருவங்களின் சமத்துவத்தையும் .

இப்போது நாம் நிழலாடிய உருவத்தின் பரப்பளவு சிறிய சதுரங்களின் பாதி பகுதிகள் (கால்களில் கட்டப்பட்டது) மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. மறுபுறம், இது பெரிய சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் (ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்டது) மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு. எனவே, சிறிய சதுரங்களின் பகுதிகளின் பாதி தொகை பெரிய சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம், எனவே கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம் ஹைபோடென்யூஸில்.

எல்லையற்ற முறை மூலம் ஆதாரம்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் ஆதாரம் பெரும்பாலும் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியில் வாழ்ந்த பிரபல ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஹார்டிக்குக் காரணம்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொண்டு பக்க மாற்றத்தைக் கவனித்தல் அ, எல்லையற்ற பக்க அதிகரிப்புகளுக்கு பின்வரும் தொடர்பை நாம் எழுதலாம் உடன்மற்றும் அ(ஒத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி):

மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

இரு கால்களின் அதிகரிப்புகளில் ஹைப்போடென்யூஸை மாற்றுவதற்கான பொதுவான வெளிப்பாடு

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

எனவே, நாம் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்

இறுதிச் சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான நேரியல் விகிதாச்சாரத்தின் காரணமாகத் தோன்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது, அதே சமயம் கூட்டுத்தொகை வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பின் சுயாதீன பங்களிப்புகளின் காரணமாகும்.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பை அனுபவிக்கவில்லை என்று நாம் கருதினால் எளிமையான ஆதாரத்தைப் பெறலாம் (இந்த வழக்கில், கால்). பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்

மாறுபாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள்

மூன்று பக்கங்களிலும் ஒரே மாதிரியான வடிவியல் வடிவங்கள்

ஒத்த முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல், பச்சை உருவங்களின் பரப்பளவு A + B = நீலம் C இன் பரப்பளவு

பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒத்த வலது முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்துகிறது

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலை யூக்ளிட் தனது படைப்பில் செய்தார் ஆரம்பம், பக்கங்களில் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளை ஒத்த வடிவியல் வடிவங்களின் பகுதிகளுக்கு விரிவுபடுத்துதல்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் ஒத்த வடிவியல் உருவங்களை (யூக்ளிடியன் வடிவவியலைப் பார்க்கவும்) உருவாக்கினால், இரண்டு சிறிய உருவங்களின் கூட்டுத்தொகை பெரிய உருவத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும்.

இந்த பொதுமைப்படுத்தலின் முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அத்தகைய வடிவியல் உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் எந்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரத்திற்கும், குறிப்பாக, எந்த பக்கத்தின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கும் விகிதாசாரமாகும். எனவே, பகுதிகளுடன் ஒத்த புள்ளிவிவரங்களுக்கு ஏ, பிமற்றும் சிநீளம் கொண்ட பக்கங்களில் கட்டப்பட்டது அ, பிமற்றும் c, எங்களிடம் உள்ளது:

ஆனால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, அ 2 + பி 2 = c 2, பின்னர் ஏ + பி = சி.

மாறாக, நாம் அதை நிரூபிக்க முடியும் என்றால் ஏ + பி = சிபித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமல் ஒரே மாதிரியான மூன்று வடிவியல் உருவங்களுக்கு, எதிர் திசையில் நகரும் தேற்றத்தையே நிரூபிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, தொடக்க மைய முக்கோணத்தை மீண்டும் முக்கோணமாகப் பயன்படுத்தலாம் சிஹைபோடென்யூஸில், மற்றும் இரண்டு ஒத்த வலது முக்கோணங்கள் ( ஏமற்றும் பி) மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் கட்டப்பட்டுள்ளது, அவை மத்திய முக்கோணத்தை அதன் உயரத்தால் பிரிப்பதன் விளைவாக உருவாகின்றன. முக்கோணங்களின் இரண்டு சிறிய பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையானது மூன்றாவது பகுதியின் பரப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும். ஏ + பி = சிமற்றும், முந்தைய சான்றுகளை தலைகீழ் வரிசையில் செய்து, பித்தகோரியன் தேற்றம் a 2 + b 2 = c 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

கொசைன் தேற்றம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் என்பது ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில் உள்ள பக்கங்களின் நீளம் தொடர்பான பொதுவான கோசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு:

இதில் θ என்பது பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் அமற்றும் பி.

θ 90 டிகிரி என்றால் cos θ = 0 மற்றும் சூத்திரம் வழக்கமான பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

தன்னிச்சையான முக்கோணம்

பக்கங்களைக் கொண்ட தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த மூலையிலும் a, b, cஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தை அதன் அடிப்பாகத்தில் உள்ள சம கோணங்கள் θ தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும் வகையில் பதிகிறோம். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கோணம் θ சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பக்கத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் c. இதன் விளைவாக, கோணம் θ உடன் ஒரு முக்கோண ABD கிடைத்தது, இது பக்கத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ளது அமற்றும் கட்சிகள் ஆர். இரண்டாவது முக்கோணம் θ கோணத்தால் உருவாகிறது, இது பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ளது பிமற்றும் கட்சிகள் உடன்நீளம் கள், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. இந்த மூன்று முக்கோணங்களிலும் உள்ள பக்கங்கள் பின்வருமாறு தொடர்புடையவை என்று தாபித் இப்னு குர்ரா கூறினார்:

கோணம் θ π/2 ஐ நெருங்கும்போது, ​​ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதி குறைகிறது மற்றும் இரண்டு பக்கங்களும் r மற்றும் s ஒன்றுடன் ஒன்று குறைவாகவும் குறைவாகவும் இருக்கும். θ = π/2 போது, ​​ADB ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக மாறும், ஆர் + கள் = cமற்றும் நாம் ஆரம்ப பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பெறுகிறோம்.

வாதங்களில் ஒன்றைப் பார்ப்போம். முக்கோணம் ஏபிசி முக்கோணம் ஏபிடியின் அதே கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் தலைகீழ் வரிசையில் உள்ளது. (இரண்டு முக்கோணங்களும் B உச்சியில் ஒரு பொதுவான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன, இரண்டும் θ கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையால் அதே மூன்றாவது கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன) அதன்படி, ABC என்பது முக்கோணத்தின் DBA இன் பிரதிபலிப்பு ABD போன்றது, காட்டப்பட்டுள்ளது. கீழ் உருவத்தில். எதிர் பக்கங்களுக்கும் கோணத்திற்கு அருகில் உள்ள பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை எழுதுவோம் θ,

மற்றொரு முக்கோணத்தின் பிரதிபலிப்பும் அப்படித்தான்.

பின்னங்களைப் பெருக்கி இந்த இரண்டு விகிதங்களையும் சேர்க்கவும்:

கே.இ.டி.

இணையான வரைபடங்கள் வழியாக தன்னிச்சையான முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல்

தன்னிச்சையான முக்கோணங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல்,
பசுமையான பகுதி சதி = பகுதிநீலம்

மேலே உள்ள படத்தில் உள்ள ஆய்வறிக்கையின் ஆதாரம்

சதுரங்களுக்குப் பதிலாக மூன்று பக்கங்களிலும் இணையான வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி, செவ்வக அல்லாத முக்கோணங்களுக்கு மேலும் பொதுமைப்படுத்துவோம். (சதுரங்கள் ஒரு சிறப்பு வழக்கு.) ஒரு தீவிர கோண முக்கோணத்திற்கு, நீண்ட பக்கத்தில் உள்ள இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் உள்ள இணையான வரைபடங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை மேல் படம் காட்டுகிறது. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நீண்ட பக்கம் கட்டப்பட்டுள்ளது (அம்புகளால் குறிக்கப்பட்ட பரிமாணங்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் கீழ் இணையான வரைபடத்தின் பக்கங்களை தீர்மானிக்கின்றன). சதுரங்களை இணையான வரைபடங்களால் மாற்றுவது ஆரம்ப பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் ஒரு தெளிவான ஒற்றுமையைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் 4 CE இல் அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் பாப்பஸால் வடிவமைக்கப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது. இ.

கீழே உள்ள படம் ஆதாரத்தின் முன்னேற்றத்தைக் காட்டுகிறது. முக்கோணத்தின் இடது பக்கத்தைப் பார்ப்போம். இடது பச்சை இணையான வரைபடமானது நீல இணையான வரைபடத்தின் இடது பக்கத்தின் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அவை ஒரே அடித்தளத்தைக் கொண்டுள்ளன. பிமற்றும் உயரம் ம. மேலும், இடது பச்சைப் பெட்டியானது மேல் படத்தில் உள்ள இடது பச்சைப் பெட்டியின் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அவை ஒரு பொதுவான அடிப்பகுதி (முக்கோணத்தின் மேல் இடது பக்கம்) மற்றும் முக்கோணத்தின் அந்தப் பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு பொதுவான உயரத்தைக் கொண்டுள்ளன. முக்கோணத்தின் வலது பக்கத்திற்கு இதேபோல் வாதிடும்போது, ​​​​கீழ் இணையான வரைபடம் இரண்டு பச்சை இணையான வரைபடங்களின் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்கிறோம்.

சிக்கலான எண்கள்

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இந்த தேற்றம் அனைத்து உண்மையான ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் பொருந்தும்: தூரம் கள்இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் ( a, b) மற்றும் ( c, d) சமம்

கலப்பு எண்களை உண்மையான கூறுகளுடன் வெக்டார்களாகக் கருதினால் சூத்திரத்தில் எந்தப் பிரச்சனையும் இல்லை எக்ஸ் + நான் ஒய் = (எக்ஸ், ஒய்). . உதாரணமாக, தூரம் கள் 0 + 1 இடையே நான்மற்றும் 1 + 0 நான்திசையன் மாடுலஸ் என கணக்கிட (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), அல்லது

இருப்பினும், சிக்கலான ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்களுடன் செயல்படுவதற்கு, பித்தகோரியன் சூத்திரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றம் அவசியம். சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் ( அ, பி) மற்றும் ( c, ஈ); அ, பி, c, மற்றும் ஈஅனைத்து சிக்கலானது, முழுமையான மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி உருவாக்குகிறோம். தூரம் கள்திசையன் வேறுபாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது (அ − c, பி − ஈ) பின்வரும் வடிவத்தில்: வித்தியாசத்தை விடுங்கள் அ − c = ப+i கே, எங்கே பவித்தியாசத்தின் உண்மையான பகுதியாகும், கேஎன்பது கற்பனையான பகுதி, மற்றும் i = √(-1). அதேபோல், விடுங்கள் பி − ஈ = ஆர்+ i கள். பிறகு:

இன் சிக்கலான இணைப்பு எங்கே. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் (அ, பி) = (0, 1) மற்றும் (c, ஈ) = (நான், 0) , வித்தியாசத்தை கணக்கிடுங்கள் (அ − c, பி − ஈ) = (−நான், 1) மேலும் சிக்கலான இணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படாவிட்டால் விளைவு 0 ஆக இருக்கும். எனவே, மேம்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

தொகுதி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

ஸ்டீரியோமெட்ரி

முப்பரிமாண இடத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் குறிப்பிடத்தக்க பொதுமைப்படுத்தல் டி குவாவின் தேற்றம் ஆகும், இது ஜே.-பி. de Gua: ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு செங்கோணத்தைக் கொண்டிருந்தால் (ஒரு கனசதுரத்தில் உள்ளது போல்), வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள முகத்தின் பகுதியின் சதுரமானது மற்ற மூன்று முகங்களின் பகுதிகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவை இவ்வாறு சுருக்கமாகக் கூறலாம் " n- பரிமாண பித்தகோரியன் தேற்றம்":

பித்தகோரியன் தேற்றம் முப்பரிமாணத்தில் மூலைவிட்ட கி.பி.யை மூன்று பக்கங்களுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது.

மற்றொரு பொதுமைப்படுத்தல்: பித்தகோரியன் தேற்றத்தை ஸ்டீரியோமெட்ரிக்கு பின்வரும் வடிவத்தில் பயன்படுத்தலாம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு செவ்வக பெட்டியைக் கவனியுங்கள். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்ட BDயின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்:

மூன்று பக்கங்களும் வலது முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. கிடைமட்ட மூலைவிட்ட BD மற்றும் செங்குத்து விளிம்பு AB ஐப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்ட AD இன் நீளத்தைக் கண்டறியவும், மீண்டும் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

அல்லது, அனைத்தும் ஒரே சமன்பாட்டில் எழுதப்பட்டிருந்தால்:

இந்த முடிவு திசையன் அளவை தீர்மானிக்க ஒரு 3D வெளிப்பாடு ஆகும் v(மூலைவிட்ட AD) அதன் செங்குத்து கூறுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ( v k) (மூன்று பரஸ்பர செங்குத்தாக பக்கங்கள்):

இந்த சமன்பாட்டை பல பரிமாண இடைவெளிக்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதலாம். இருப்பினும், இதன் விளைவு உண்மையில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை தொடர்ச்சியாக செங்குத்தாக உள்ள செங்குத்து முக்கோணங்களின் வரிசையில் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதைத் தவிர வேறில்லை.

திசையன் இடம்

திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பின் விஷயத்தில், ஒரு சமத்துவம் நடைபெறுகிறது, இது பித்தகோரியன் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது:

என்றால் - இவை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் திசையன் கணிப்புகள், இந்த சூத்திரம் யூக்ளிடியன் தூரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது - மேலும் திசையனின் நீளம் அதன் கூறுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலத்திற்கு சமம் என்று பொருள்.

எல்லையற்ற திசையன்களின் அமைப்பில் இந்த சமத்துவத்தின் அனலாக் பார்செவலின் சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல்

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது, உண்மையில், மேலே எழுதப்பட்ட வடிவத்தில் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலுக்கு இது செல்லுபடியாகாது. (அதாவது, பித்தகோரியன் தேற்றம், யூக்ளிடின் இணையான நிலைப்பாட்டிற்குச் சமமானதாக மாறிவிடும்) வேறுவிதமாகக் கூறினால், யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலில், முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையிலான விகிதம் பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து வேறுபட்ட வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும். . எடுத்துக்காட்டாக, கோள வடிவவியலில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் (சொல்லுங்கள் அ, பிமற்றும் c) அலகு கோளத்தின் ஆக்டான்ட் (எட்டில் ஒரு பங்கு) π/2 நீளம் கொண்டது, இது பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன் முரண்படுகிறது. அ 2 + பி 2 ≠ c 2 .

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் இரண்டு நிகழ்வுகளை இங்கே கவனியுங்கள் - கோள மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவியல்; இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், செங்கோண முக்கோணங்களுக்கான யூக்ளிடியன் இடத்தைப் பொறுத்தவரை, பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்றியமைக்கும் முடிவு கொசைன் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

இருப்பினும், பித்தகோரியன் தேற்றம் ஹைபர்போலிக் மற்றும் நீள்வட்ட வடிவவியலுக்கு செல்லுபடியாகும், முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மூன்றில் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனைக்கு பதிலாக முக்கோணம் செங்கோணமாக இருக்க வேண்டும். ஏ+பி = சி. பின்னர் பக்கங்களுக்கு இடையிலான விகிதம் இதுபோல் தெரிகிறது: விட்டம் கொண்ட வட்டங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அமற்றும் பிவிட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் பகுதிக்கு சமம் c.

கோள வடிவியல்

ஆரம் கொண்ட கோளத்தில் உள்ள எந்த செங்கோண முக்கோணத்திற்கும் ஆர்(உதாரணமாக, முக்கோணத்தில் γ கோணம் சரியாக இருந்தால்) பக்கங்களுடன் அ, பி, cகட்சிகளுக்கு இடையிலான உறவு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமத்துவத்தை கோள கோசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகப் பெறலாம், இது அனைத்து கோள முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

இதில் கோஷ் என்பது ஹைபர்போலிக் கொசைன் ஆகும். இந்த சூத்திரம் ஹைபர்போலிக் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

இதில் γ என்பது பக்கத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கோணம் c.

எங்கே g ijமெட்ரிக் டென்சர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு நிலை செயல்பாடாக இருக்கலாம். இத்தகைய வளைவு இடைவெளிகளில் ரைமான்னியன் வடிவவியலை ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு. வளைகோட்டு ஆயங்களைப் பயன்படுத்தும் போது இந்த உருவாக்கம் யூக்ளிடியன் இடத்திற்கும் ஏற்றது. எடுத்துக்காட்டாக, துருவ ஆயங்களுக்கு:

திசையன் தயாரிப்பு

பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு திசையன் உற்பத்தியின் அளவுக்கான இரண்டு வெளிப்பாடுகளை இணைக்கிறது. ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறுப்பதற்கான ஒரு அணுகுமுறை அது சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

இந்த சூத்திரம் டாட் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது. சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் கிராம் தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது அமற்றும் பி, இது இந்த இரண்டு திசையன்களால் உருவாக்கப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம். இந்தத் தேவையின் அடிப்படையில், அத்துடன் திசையன் தயாரிப்பு அதன் கூறுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும் என்ற தேவையின் அடிப்படையில் அமற்றும் பி 0- மற்றும் 1-பரிமாண இடைவெளியின் அற்பமான நிகழ்வுகளைத் தவிர, திசையன் தயாரிப்பு மூன்று மற்றும் ஏழு பரிமாணங்களில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. கோணத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் n- பரிமாண இடம்:

திசையன் உற்பத்தியின் இந்த சொத்து அதன் மதிப்பை பின்வரும் வடிவத்தில் கொடுக்கிறது:

பித்தகோரஸின் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் மூலம், அதன் மதிப்பை எழுதும் மற்றொரு வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறுப்பதற்கான மாற்று அணுகுமுறை அதன் அளவுக்கான வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. பின்னர், தலைகீழ் வரிசையில் வாதிட்டு, அளவிடுதல் தயாரிப்புடன் ஒரு இணைப்பைப் பெறுகிறோம்:

மேலும் பார்க்கவும்

குறிப்புகள்

1. வரலாற்று தலைப்பு: பாபிலோனிய கணிதத்தில் பித்தகோரஸின் தேற்றம்
2. (, ப. 351) ப. 351
3. (, தொகுதி I, ப. 144)
4. வரலாற்று உண்மைகளின் விவாதம் (, ப. 351) ப. 351 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
5. கர்ட் வான் ஃபிரிட்ஸ் (ஏப்., 1945). "தி டிஸ்கவரி ஆஃப் இன்கமென்சரபிலிட்டி பை ஹிப்பாசஸ் ஆஃப் மெட்டாபோண்டம்". கணிதத்தின் அன்னல்ஸ், இரண்டாவது தொடர்(கணிதத்தின் வரலாறு) 46 (2): 242–264.
6. லூயிஸ் கரோல், "தி ஸ்டோரி வித் நாட்ஸ்", எம்., மிர், 1985, ப. 7
7. Asger Aaboeகணிதத்தின் ஆரம்பகால வரலாற்றிலிருந்து அத்தியாயங்கள். - கணித சங்கம், 1997. - பி. 51. - ISBN 0883856131
8. பித்தகோரியன் முன்மொழிவுஎலிஷா ஸ்காட் லூமிஸ் மூலம்
9. யூக்ளிட் கூறுகள்: புத்தகம் VI, முன்மொழிவு VI 31: "செங்கோண முக்கோணங்களில், வலது கோணத்தை உள்ளடக்கிய பக்கத்திலுள்ள உருவம், வலது கோணத்தைக் கொண்ட பக்கங்களில் உள்ள ஒத்த மற்றும் இதேபோல் விவரிக்கப்பட்ட உருவங்களுக்குச் சமமாக இருக்கும்."
10. லாரன்ஸ் எஸ். லெஃப் மேற்கோள் வேலை. - பரோனின் கல்வித் தொடர் - பி. 326. - ISBN 0764128922
11. ஹோவர்ட் விட்லி ஈவ்ஸ்§4.8:...பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் // கணிதத்தில் சிறந்த தருணங்கள் (1650க்கு முன்) . - கணித சங்கம், 1983. - பி. 41. - ISBN 0883853108
12. தாபித் இபின் குரா (முழுப் பெயர் தாபித் இபின் குர்ரா இபின் மர்வான் அல்-தாபி அல்-ஹர்ரானி) (கி.பி. 826-901) பாக்தாத்தில் வசிக்கும் ஒரு மருத்துவர், யூக்ளிடின் தனிமங்கள் மற்றும் பிற கணிதப் பாடங்கள் குறித்து விரிவாக எழுதினார்.
13. அய்டின் சைலி (மார்ச். 1960). "தாபித் இப்னு குர்ராவின் பொதுமைப்படுத்தல் பித்தகோரியன் தேற்றம்". ஐசிஸ் 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. ஜூடித் டி.சாலி, பால் சாலிபயிற்சி 2.10(ii) // மேற்கோள் காட்டப்பட்ட வேலை . - பி. 62. - ISBN 0821844032
15. அத்தகைய கட்டுமானத்தின் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும் ஜார்ஜ் ஜென்னிங்ஸ்படம் 1.32: பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றம் // பயன்பாடுகளுடன் கூடிய நவீன வடிவியல்: 150 உருவங்களுடன் . - 3வது. - ஸ்பிரிங்கர், 1997. - பி. 23. - ISBN 038794222X
16. ஆர்லன் பிரவுன், கார்ல் எம். பியர்சிபொருள் சி: தன்னிச்சையான ஒரு விதிமுறை n-tuple ... // பகுப்பாய்வு ஒரு அறிமுகம் . - ஸ்பிரிங்கர், 1995. - பி. 124. - ISBN 0387943692பக்கங்கள் 47-50ஐயும் பார்க்கவும்.
17. ஆல்ஃபிரட் கிரே, எல்சா அபேனா, சைமன் சாலமன்கணிதத்துடன் கூடிய வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் நவீன வேறுபட்ட வடிவவியல். - 3வது. - CRC பிரஸ், 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. ராஜேந்திர பாட்டியாஅணி பகுப்பாய்வு. - ஸ்பிரிங்கர், 1997. - பி. 21. - ISBN 0387948465
19. ஸ்டீபன் டபிள்யூ. ஹாக்கிங் மேற்கோள் வேலை. - 2005. - பி. 4. - ISBN 0762419229

பித்தகோரியன் தேற்றம் கூறுகிறது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம்:

a 2 + b 2 = c 2,

• அமற்றும் பி- கால்கள் சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.
• உடன்முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சூத்திரங்கள்

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்

வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

S = \frac(1)(2)ab

தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, பகுதி சூத்திரம்:

• ப- அரை சுற்றளவு. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• ஆர்பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும். ஒரு செவ்வகத்திற்கு r=\frac(1)(2)(a+b-c).

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு இரண்டு சூத்திரங்களின் வலது பக்கங்களையும் சமன் செய்கிறோம்:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \இடது((a+b)^(2) -c^(2) \வலது)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும். அதாவது, எந்த மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் a, bமற்றும் c, அதுபோல்

a 2 + b 2 = c 2,

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

பித்தகோரியன் தேற்றம்- யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான உறவை நிறுவுகிறது. விஞ்ஞானி கணிதவியலாளரும் தத்துவஞானியுமான பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேற்றத்தின் பொருள்மற்ற தேற்றங்களை நிரூபிக்கவும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும் இது பயன்படுத்தப்படலாம்.

கூடுதல் பொருள்:

பித்தகோரியன் தேற்றம்யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, உறவை நிறுவுகிறது

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையில்.

இது கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது, அதன் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வடிவியல் உருவாக்கம்.

தேற்றம் முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்,

வடிகுழாய்களில் கட்டப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் இயற்கணித உருவாக்கம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது c, மற்றும் கால்களின் நீளம் அமற்றும் பி:

இரண்டு சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் கோட்பாடுகள்சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது, அது இல்லை

பகுதி என்ற கருத்து தேவைப்படுகிறது. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையை அந்த பகுதி மற்றும் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் சரிபார்க்க முடியும்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம்.

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால்

முக்கோணம் செவ்வகமானது.

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:

எந்த மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் அ, பிமற்றும் c, அதுபோல்

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்றுகள்.

இந்த நேரத்தில், இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியத்தில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருவேளை தேற்றம்

பித்தகோரஸ் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய சான்றுகளைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். அத்தகைய பன்முகத்தன்மை

வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக, அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை:

ஆதாரம் பகுதி முறை, அச்சுமற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள்(உதாரணத்திற்கு,

பயன்படுத்தி வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்).

1. ஒத்த முக்கோணங்களின் அடிப்படையில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

இயற்கணித உருவாக்கத்தின் பின்வரும் சான்றுகள் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானவை

நேரடியாக கோட்பாடுகளிலிருந்து. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.

விடுங்கள் ஏபிசிவலது கோண முக்கோணம் உள்ளது சி. இருந்து ஒரு உயரம் வரைவோம் சிமற்றும் குறிக்கவும்

அதன் அடித்தளம் மூலம் எச்.

முக்கோணம் ACHஒரு முக்கோணத்தைப் போன்றது ஏபிஇரண்டு மூலைகளிலும் சி. அதேபோல், முக்கோணம் CBHஒத்த ஏபிசி.

குறிப்பை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்:

நாம் பெறுகிறோம்:

,

எது பொருந்தும் -

மடிந்த நிலையில் அ 2 மற்றும் பி 2, நாம் பெறுகிறோம்:

அல்லது , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

2. பகுதி முறை மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்று.

பின்வரும் சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவர்கள் அனைவரும்

பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை விட இதன் ஆதாரம் மிகவும் சிக்கலானது.

• உபகரணம் மூலம் ஆதாரம்.

நான்கு சம செவ்வக வடிவில் அமைக்கவும்

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி முக்கோணம்

வலதுபுறம்.

பக்கங்களைக் கொண்ட நாற்கர c- சதுரம்,

இரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°, மற்றும்

வளர்ந்த கோணம் 180° ஆகும்.

முழு உருவத்தின் பரப்பளவு ஒருபுறம்,

பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு ( a+b), மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும்

கே.இ.டி.

3. எல்லையற்ற முறை மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

​

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தை கருத்தில் கொண்டு, மற்றும்

பக்க மாற்றம் பார்க்கிறதுஅ, நம்மால் முடியும்

பின்வரும் தொடர்பை எல்லையற்றதாக எழுதவும்

சிறிய பக்க அதிகரிப்புகள்உடன்மற்றும் அ(ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தி

முக்கோணங்கள்):

மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

இரண்டு கால்களின் அதிகரிப்பின் போது ஹைப்போடென்யூஸை மாற்றுவதற்கான பொதுவான வெளிப்பாடு:

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, நாங்கள் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்:

பார்ப்பதற்கு எளிதாக இருப்பதால், இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு நேரியல் காரணமாக தோன்றுகிறது

முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான விகிதாசாரம், கூட்டுத்தொகை சுயாதீனத்துடன் தொடர்புடையது

வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பில் இருந்து பங்களிப்பு.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பை அனுபவிக்கவில்லை என்று நாம் கருதினால் எளிமையான ஆதாரத்தைப் பெறலாம்

(இந்த வழக்கில், கால் பி) பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்: