Vytváranie pravidelných mnohouholníkov. Konštrukcia pravidelných mnohouholníkov - technický výkres Ako postaviť 8 gon pomocou kompasu

Kuklin Alexey

Dielo má abstraktný charakter s prvkami výskumné činnosti... Diskutuje o rôznych spôsoboch konštrukcie pravidelných n-uholníkov. Príspevok obsahuje podrobnú odpoveď na otázku, či je vždy možné zostrojiť n-uholník pomocou kompasu a pravítka. K práci je priložená prezentácia, ktorú nájdete na tejto mini-stránke.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Náhľad:

https://accounts.google.com

Titulky k snímkam:

Konštrukcia pravidelných polygónov Prácu dokončili: študent 9. stupňa „B“ MBOU stredná škola číslo 10 Kuklin Aleksey

Pravidelné mnohouholníky Pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky strany a uhly rovnaké. Prejsť na príklady Konvexný mnohouholník je mnohouholník, ktorého všetky body ležia na jednej strane akejkoľvek priamky prechádzajúcej dvoma susednými vrcholmi.

Chrbát Pravidelné mnohouholníky

Starovekí grécki vedci boli zakladateľmi sekcie matematiky na pravidelných polygónoch. Niektorí z nich boli Archimedes a Euclid.

Dôkaz existencie pravidelného n-uholníka Ak n (počet rohov mnohouholníka) je väčší ako 2, potom taký mnohouholník existuje. Skúsme postaviť 8 gon a dokážeme to. Dôkaz

Vezmite kruh ľubovoľného polomeru so stredom v bode O. Rozdeľte ho na niekoľko rovnakých oblúkov, v našom prípade 8. Na to nakreslite polomery tak, aby sme získali 8 oblúkov, a uhol medzi dvoma najbližšími polomermi bol 360 °. : počet strán (v našom prípade 8), každý uhol bude 45 °.

3. Získame body A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Spojíme ich jeden po druhom a získame pravidelný osemuholník. späť

Zostrojenie pravidelného mnohouholníka na strane pomocou otáčania Pravidelný mnohouholník môžete zostrojiť tak, že poznáte jeho uhly. Vieme, že súčet uhlov konvexného n -uholníka je 180 ° (n - 2). Z toho môžete vypočítať uhol mnohouholníka vydelením súčtu n. Konštrukcia uhlov

Správny uhol: 3-gon je 60 ° 4-gon je 90 ° 5-gon sa rovná 108 ° 6-gon je 120 ° 8-gon je 135 ° 9-gon je 140 ° 10-gon je 144 ° 12-gon je 150 ° stupeň miery uhlov pravidelných trojuholníkov Späť

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Titulky k snímkam:

V roku 1796 jeden z najväčších matematikov všetkých čias Karl Friedrich Gauss ukázal možnosť zostrojiť pravidelné n-uholníky, ak platí rovnosť, kde n je počet uhlov a k je ľubovoľný prirodzené číslo... Ukázalo sa teda, že do 30 je možné kruh rozdeliť na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 rovnakých častí. V roku 1836 Wanzel dokázal, že pravidelné mnohouholníky, ktoré nespĺňajú túto rovnosť, nie je možné zostrojiť pomocou pravítka a kompasu. Gaussova veta

Zostrojenie trojuholníka Zostrojte kružnicu so stredom v bode O. Zostrojte ďalšiu kružnicu s rovnakým polomerom prechádzajúcu bodom O.

3. Spojte stredy kruhov a jeden z bodov ich priesečníka a získajte pravidelný mnohouholník. Späť Nakreslite trojuholník

Konštrukcia šesťuholníka 1. Zostrojte kruh so stredom v bode O. 2. Nakreslite priamka cez stred kruhu. 3. Nakreslite oblúk kruhu s rovnakým polomerom so stredom v mieste priesečníku priamky s kruhom, kým sa nepretína s kruhom.

4. Nakreslite rovné čiary stredom počiatočnej kružnice a priesečníkom oblúka s touto kružnicou. 5. Spojíme priesečníky všetkých čiar s pôvodným kruhom a získame pravidelný šesťuholník. Konštrukcia šesťuholníka

Konštrukcia štvoruholníka Zostrojíme kružnicu so stredom v bode O. Nakreslime 2 na seba kolmé priemery. Z bodov, v ktorých sa priemery dotýkajú kruhu, nakreslite ďalšie kruhy daný polomer pred ich križovatkou (kruhy).

Konštrukcia štvoruholníka 4. Nakreslite rovné čiary cez priesečníky kruhov. 5. Spojíme body priesečníka čiar a kruhu a získame pravidelný štvoruholník.

Zostrojenie osemuholníka Môžete postaviť ľubovoľný pravidelný mnohouholník, ktorý má 2 -krát viac uhlov ako daný. Postavme osemuholník pomocou štvoruholníka. Spojme protiľahlé vrcholy štvoruholníka. Nakreslime úsečky uhlov tvorených pretínajúcimi sa uhlopriečkami.

4. Spojte body ležiace na kruhu, čím získate pravidelný osemuholník. Konštrukcia osemuholníka

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Titulky k snímkam:

Zostrojenie desaťuholníka Zostrojíme kružnicu so stredom v bode O. Nakreslime 2 na seba kolmé priemery. Polomer kruhu rozdelíme na polovicu a z bodu na ňom získaného nakreslíme kruh prechádzajúci bodom O.

Zostrojenie desaťuholníka 4. Nakreslite segment od stredu malého kruhu k bodu, v ktorom sa veľký kruh dotýka jeho polomeru. 5. Z bodu kontaktu medzi veľkým kruhom a jeho polomerom nakreslite kruh tak, aby sa dotýkal malého.

Zostrojenie desaťuholníka 6. Z bodov priesečníka veľkých a výsledných kruhov nakreslite kruhy postavené naposledy a tak budeme kresliť, kým sa susedné kruhy nedotknú. 7. Spojte bodky a získajte dekagón.

Budovanie päťuholníka Na stavbu pravidelného päťuholníka musíte pri vytváraní pravidelného desaťuholníka spájať jeden po druhom nie všetky body, ale jeden po druhom.

Približná konštrukcia pravidelného päťuholníka Dürerovou metódou Zostrojíme 2 kruhy prechádzajúce stredom seba. Spojíme stredy rovnej čiary a získame jednu zo strán päťuholníka. Spojme priesečníky kruhov.

Približná konštrukcia pravidelného päťuholníka podľa Dürerovej metódy 4. Nakreslite ďalší kruh rovnakého polomeru so stredom v priesečníku dvoch ďalších kruhov. 5. Nakreslíme 2 segmenty, ako je znázornené na obrázku.

Približná konštrukcia pravidelného päťuholníka Dürerovou metódou 6. Spojte body dotyku týchto segmentov s kruhmi s koncami vytvorenej strany päťuholníka. 7. Skončime až do päťuholníka.

Približná konštrukcia pravidelného päťuholníka pomocou metód Kovarzhik, Bion

Vytvorí pravidelný šesťuholník vpísaný do kruhu. Konštrukcia šesťuholníka je založená na skutočnosti, že jeho strana sa rovná polomeru opísanej kružnice. Preto pre stavbu stačí rozdeliť kruh na šesť rovnakých častí a nájdené body navzájom spojiť (obr. 60, a).

Bežný šesťuholník je možné postaviť pomocou koľajnice a štvorca 30 x 60 °. Na vykonanie tejto konštrukcie vezmeme horizontálny priemer kruhu ako úsečku uhlov 1 a 4 (obr. 60, b), postavíme strany 1 -6, 4-3, 4-5 a 7-2, po ktorých nakreslite strany 5-6 a 3- 2.

Konštrukcia rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu... Vrcholy takého trojuholníka je možné zostaviť pomocou kompasu a štvorca s uhlami 30 a 60 ° alebo iba z jedného kompasu.

Zvážte dva spôsoby zostrojenia rovnostranného trojuholníka zapísaného do kruhu.

Prvý spôsob(Obr. 61, a) vychádza zo skutočnosti, že všetky tri uhly trojuholníka 7, 2, 3 obsahujú po 60 ° a zvislá čiara prechádzajúca bodom 7 je výškou aj osou uhla 1. Pretože uhol 0-1-2 sa rovná 30 °, potom na nájdenie strany

1-2 stačí, aby ste vytvorili uhol 30 ° pozdĺž bodu 1 a strany 0-1. Za týmto účelom nastavte obežnú dráhu a štvorec podľa obrázku, nakreslite čiaru 1-2, ktorá bude jednou zo strán požadovaného trojuholníka. Ak chcete postaviť stranu 2-3, nastavte obežnú dráhu do polohy vyznačenej prerušovanými čiarami a nakreslite priamku cez bod 2, ktorý bude definovať tretí vrchol trojuholníka.

Druhý spôsob je založená na skutočnosti, že ak zostrojíte pravidelný šesťuholník vpísaný do kruhu a potom spojíte jeho vrcholy cez jeden, získate rovnostranný trojuholník.

Na zostrojenie trojuholníka (obr. 61, b) označte vrcholový bod 1 na priemere a nakreslite diametrálnu čiaru 1-4. Ďalej z bodu 4 s polomerom rovným D / 2 popíšeme oblúk až do priesečníka s kruhom v bodoch 3 a 2. Výslednými bodmi budú ďalšie dva vrcholy požadovaného trojuholníka.

Zostrojenie štvorca vpísaného do kruhu... Túto konštrukciu je možné vykonať pomocou štvorca a kompasu.

Prvá metóda je založená na skutočnosti, že uhlopriečky štvorca sa pretínajú v strede ohraničenej kružnice a sú naklonené k jej osiam pod uhlom 45 °. Na základe toho namontujeme letnú pneumatiku a štvorec s uhlami 45 °, ako je znázornené na obr. 62, a, a označte body 1 a 3. Ďalej cez tieto body pomocou letnej pneumatiky nakreslíme vodorovné strany štvorca 4-1 a 3-2. Potom pomocou pretekára pozdĺž nohy štvorca nakreslíme zvislé strany štvorca 1-2 a 4-3.

Druhá metóda je založená na skutočnosti, že vrcholy štvorca sú polovičné pomocou oblúkov kruhu uzavretého medzi koncami priemeru (obr. 62, b). Označujeme na koncoch dvoch navzájom kolmých priemerov body A, B a C a z nich s polomerom y popisujeme oblúky až do ich vzájomného priesečníka.

Ďalej cez priesečníky oblúkov nakreslite pomocné rovné čiary vyznačené na obrázku plnými čiarami. Body ich priesečníka s kruhom budú definovať vrcholy 1 a 3; 4 a 2. Takto získané vrcholy požadovaného štvorca sú navzájom spojené v sérii.

Konštrukcia pravidelného päťuholníka vpísaného do kruhu.

Na zapísanie pravidelného päťuholníka do kruhu (obr. 63) vyrábame nasledujúce konštrukcie.

Označíme bod 1 na kruhu a vezmeme ho ako jeden z vrcholov päťuholníka. Rozdeľte segment AO na polovicu. Aby sme to urobili, s polomerom AO od bodu A popíšeme oblúk až k priesečníku s kruhom v bodoch M a B. Spojením týchto bodov priamkou získame bod K, ktorý potom spojíme s bodom 1. S polomerom rovným segmentu A7 popíšeme oblúk od bodu K po priesečník s diametrálnou čiarou AO v bode H. Spojením bodu 1 s bodom H dostaneme stranu päťuholníka. Potom pomocou riešenia kompasu rovnajúceho sa segmentu 1H, opisujúceho oblúk od vrcholu 1 po priesečník s kruhom, nájdeme vrcholy 2 a 5. Vytvorením zárezov z vrcholov 2 a 5 rovnakým riešením kompasu získame zostávajúce vrcholy. 3 a 4. Nájdené body spojíme postupne navzájom.

Zostaví pravidelný päťuholník pozdĺž danej strany.

Na zostrojenie pravidelného päťuholníka pozdĺž jeho danej strany (obr. 64) rozdelíme segment AB na šesť rovnakých častí. Z bodov A a B s polomerom AB popíšeme oblúky, ktorých priesečníkom získame bod K. Prostredníctvom tohto bodu a delenia 3 priamkou AB nakreslíme zvislú čiaru.

Získame bod 1-vrchol päťuholníka. Potom s polomerom rovným AB od bodu 1 popíšeme oblúk, kým nepretne oblúky predtým nakreslené z bodov A a B. Priesečníky oblúkov definujú vrcholy päťuholníka 2 a 5. Nájdené vrcholy spojíme v série medzi sebou.

Konštrukcia pravidelného sedemhranu vpísaného do kruhu.

Nech je daný kruh s priemerom D; musíte do nej vpísať pravidelný sedemuholník (obr. 65). Vertikálny priemer kruhu rozdelíme na sedem rovnakých častí. Z bodu 7 s polomerom rovným priemeru kruhu D opíšeme oblúk až do priesečníka s pokračovaním horizontálneho priemeru v bode F. Bod F budeme nazývať pólom mnohouholníka. Vezmeme -li bod VII ako jeden z vrcholov sedemuholníka, nakreslíme lúče od pólu F cez rovnomerné delenie zvislého priemeru, ktorého priesečník s kruhom určí vrcholy VI, V a IV sedemuholníka. Ak chcete získať vrcholy / - // - /// z bodov IV, V a VI, nakreslite vodorovné čiary do priesečníka s kruhom. Nájdené vrcholy navzájom spojíme do série. Sedemuholník je možné zostrojiť ťahaním lúčov z pólu F a nepárnymi deleniami zvislého priemeru.

Daná metóda je vhodná na konštrukciu pravidelných polygónov s ľubovoľným počtom strán.

Rozdelenie kruhu na ľubovoľný počet rovnakých častí je možné vykonať aj pomocou údajov v tabuľke. 2, ktorý ukazuje koeficienty, ktoré umožňujú určiť rozmery strán pravidelných vpísaných polygónov.

Pri navrhovaní je často vyžadovaná konštrukcia pozitívnych polygónov. Povedzme teda pozitívne osemuholníky sa používajú na dopravných značkách.

Budete potrebovať

• - kompas
• - vládca
• - ceruzka

Inštrukcie

1. Nech je daný segment rovný dĺžke strany požadovaného osemuholníka. Je potrebné zostaviť správny osemuholník. Prvým krokom je nakreslenie rovnoramenného trojuholníka na daný segment úsečky s použitím segmentu čiary ako základu. Aby ste to urobili, najskôr postavte štvorec so stranou rovnou čiarovému segmentu, nakreslite do neho uhlopriečky. Teraz zostrojte úsečky uhlov na uhlopriečkach (na obrázku sú úsečky vyznačené modrou farbou), v priesečníku úsečníkov sa vytvorí vrchol rovnoramenný trojuholník ktorého strany sa rovnajú polomeru kružnice ohraničenej skutočným osemuholníkom.

2. Zostrojte kruh so stredom na vrchole trojuholníka. Polomer kruhu sa rovná strane trojuholníka. Teraz rozložte kompas na vzdialenosť rovnajúcu sa veľkosti určeného segmentu. Nakreslite túto vzdialenosť pozdĺž kruhu, začínajúc na oboch koncoch čiary. Skombinujte všetky výsledné body do osemuholníka.

3. Ak je zadaný kruh, do ktorého by mal byť zapísaný osemuholník, bude konštrukcia ešte jednoduchšia. Stredom kruhu nakreslite dve kolmé čiary na seba. Na priesečníku osi a kruhu budú štyri vrcholy prichádzajúceho osemuholníka. Zostáva rozdeliť vzdialenosť medzi týmito bodmi na kruhovom oblúku na polovicu, aby ste získali ďalšie štyri vrcholy.

Verný trojuholník- taký, v ktorom majú všetky strany rovnakú dĺžku. Na základe tejto definície je konštrukcia podobnej odrody trojuholník a nie je náročná úloha.

Budete potrebovať

• Pravítko, list linajkového papiera, ceruzka

Inštrukcie

1. Vezmite list čistého papiera zarovnaný do škatule, pravítko a označte na ňom tri body tak, aby boli od seba v rovnakej vzdialenosti (obr. 1)

2. S pomocou pravítka skombinujte body označené na hárku postupne, jeden po druhom, ako je znázornené na obrázku 2.

Poznámka!
V skutočnom (rovnostrannom) trojuholníku majú všetky uhly 60 stupňov.

Užitočná rada
Rovnostranný trojuholník je tiež rovnoramenný. Ak je trojuholník rovnoramenný, znamená to, že 2 z jeho 3 strán sú rovnaké a tretia strana je považovaná za základňu. Akýkoľvek pozitívny trojuholník je rovnoramenný, zatiaľ čo opačné tvrdenie nie je správne.

Oktagon Sú v podstate dva štvorce, vzájomne odsadené o 45 ° a spojené vo vrcholoch plnou čiarou. A preto, aby ste mohli takýto geometrický útvar pozitívne vykresliť, musíte úhľadne nakresliť štvorec alebo kruh pevnou ceruzkou podľa pravidiel, pomocou ktorých budete vykonávať následné akcie. Prezentácia je zameraná na dĺžku strany 20 cm. Pri umiestňovaní výkresu preto vezmite do úvahy, že zvislé a vodorovné čiary dlhé 20 cm sa hodia na list papiera.

Budete potrebovať

• Pravítko, pravouhlý trojuholník, uhlomer, ceruzka, kompasy, list papiera

Inštrukcie

1. Metóda 1. V spodnej časti nakreslite vodorovnú čiaru s dĺžkou 20 cm Potom na jednej strane uhloďte uhlom pravý uhol, ktorý je 90 °. To isté sa dá urobiť s podporou pravouhlého trojuholníka. Nakreslite zvislú čiaru a pozametajte 20 cm. Rovnaké manipulácie urobte aj na druhej strane. Skombinujte dva získané body s vodorovnou čiarou. V dôsledku toho sa ukázalo geometrický útvar- námestie.

2. Na to, aby ste mohli postaviť 2. (ofsetový) štvorec, potrebujete stred figúrky. Za týmto účelom rozdeľte každú stranu štvorca na 2 časti. Najprv spojte 2 body rovnobežných horných a dolných strán a potom body strán. Stredom štvorca nakreslite 2 rovné čiary, kolmé na seba. Začnite od stredu, odmerajte 10 cm na nových priamych čiarach, čo bude mať za následok 4 rovné čiary. Skombinujte 4 vonkajšie body získané navzájom, čím vznikne 2. štvorec. Teraz skombinujte ľubovoľný bod z 8 získaných uhlov navzájom. Tým sa nakreslí osemuholník.

3. Metóda 2. Na to bude potrebný kompas, pravítko a uhlomer. Zo stredu listu s podporou kompasu nakreslite kruh s priemerom 20 cm (polomer 10 cm). Stredom nakreslite priamku. Potom na ňu kolmo nakreslite druhú čiaru. To isté je možné vykonať pomocou uhlomeru alebo pravouhlého trojuholníka. V dôsledku toho bude kruh rozdelený na 4 rovnaké časti. Potom rozdeľte každú z častí na 2 ďalšie časti. K tomu je tiež dovolené použiť uhlomer, merajúci 45 ° alebo správny trojuholník, ten, ktorý prichytíte pod ostrým uhlom 45 ° a nakreslíte lúče. Odmerajte 10 cm od stredu na ľubovoľnej priamke. V dôsledku toho získate 8 „lúčov“, ktoré navzájom skombinujete. Konečným výsledkom je osemuholník.

4. Metóda 3. Ak to chcete urobiť, nakreslite tiež kruh, cez stred nakreslite čiaru. Potom vezmite uhlomer, umiestnite ho do stredu a zmerajte uhly, pričom vezmite do úvahy, že každá časť osemuholníka má v strede uhol 45 °. Neskôr na prijatých lúčoch zmerajte dĺžku 10 cm a navzájom ich skombinujte. Oktagon pripravený.

Užitočná rada
Nakreslite kresbu tvrdou ceruzkou, bočné čiary, na ktorých sa potom bude dať ľahko odstrániť

Skutočný osemuholník je geometrický útvar, v ktorom je každý uhol 135 ° a všetky strany sú si navzájom podobné. Tento údaj sa často používa v architektúre, napríklad pri stavbe stĺpov, ako aj pri výrobe dopravnej značky STOP. Ako nakreslíte pozitívny osemuholník?

Budete potrebovať

• - albumový list;
• - ceruzka;
• - pravítko;
• - kompasy;
• - guma.

Inštrukcie

1. Najprv nakreslite štvorec. Potom nakreslite kruh tak, aby bol štvorec vo vnútri kruhu. Teraz nakreslite dve stredové čiary štvorca - horizontálne a vertikálne, kým sa nepretne s kruhom. Spojte priamkami body priesečníka osí s kruhom a body kontaktu ohraničenej kružnice so štvorcom. Získate tak strany správneho osemuholníka.

2. Nakreslite správny osemuholník iným spôsobom. Najprv nakreslite kruh. Potom nakreslite vodorovnú čiaru cez jej stred. Zameňte priesečník pravého okraja kruhu s horizontálou. Tento bod bude stredom iného kruhu s polomerom rovnajúcim sa predchádzajúcemu tvaru.

3. Nakreslite zvislú čiaru priesečníkom 2. kruhu s prvým. Položte nohu kompasu na priesečník vertikály s horizontálou a nakreslite malý kruh s polomerom rovnajúcim sa vzdialenosti od stredu malého kruhu k stredu počiatočného kruhu.

4. Nakreslite priamku cez dva body - stred počiatočného kruhu a priesečník zvislého a malého kruhu. Pokračujte, kým sa nepretína s čiarou pôvodného tvaru. Toto bude vrcholový bod osemuholníka. Pomocou kompasu označte ďalší bod tak, že nakreslíte kruh so stredom v priesečníku krajného pravého okraja počiatočného kruhu s horizontálou a polomerom rovnajúcim sa vzdialenosti od stredu k užšiemu vrcholu osemuholníka.

5. Nakreslite priamku cez dva body - stred počiatočného kruhu a posledný novo vytvorený bod. Pokračujte v priamke, kým sa nepretne s hranicami pôvodného tvaru.

6. Spojte segmenty priamky postupne: bod priesečníka horizontály s pravým okrajom počiatočného obrázku, potom v smere hodinových ručičiek všetky vytvorené body vrátane bodov priesečníka osí s pôvodným kruhom.

Podobné videá