Desatinné čísla. Bežný zlomok Aký je rozdiel medzi bežným zlomkom a desatinným číslom

Téma: Pojem desatinného zlomku.

Čítanie a písanie desatinných miest.

1. 
   Účel lekcie: formovanie zručností pre písanie a čítanie desatinných zlomkov, schopnosť prekladať bežné zlomky s menovateľmi 10, 100, 1000 atď. na desatinné číslo.

1. 
   Úlohy:

- výchovný učiťčítať a zapisovať desatinné zlomky;

- rozvíjajúci sa - rozvíjať zručnosti sebahodnotenia a sebaanalýzy výchovno-vzdelávacej činnosti, rozvíjať matematickú reč žiakov;

- vzdelávací - pestovať kultúru matematického myslenia, schopnosť samostatnej práce.
3. Typ lekcie - lekcia upevňovania vedomostí
4. Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, praktické
5. Formy práce študentov - frontálne, individuálne, skupinové

6. Potrebné technické vybavenie - multimediálny projektor, počítač, plátno

7. Výchovná a metodická podpora: učebnica "Matematika 5", I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich

Štruktúra lekcie:

1. 
   Org. moment.
2. 
   Opakovanie predchádzajúcich tém, ústna práca.
3. 
   Matematický diktát.
4. 
   Fizkultpauza.
5. 
   Hlavná časť.
6. 
   Reflexia.
7. 
   Domáca úloha.

Počas tried:

1. 
   Org. moment.

• 
  Vzájomné pozdravy medzi učiteľom a žiakmi.
• 
  Kontrola úloh.
• 
  Komunikácia so študentmi plánu hodiny.

- Ahojte chlapci!

Je dobré, že som k vám prišiel. Bolo mi povedané, že mi určite pomôžete pri vyšetrovaní.

Môj vyšetrovací výbor dostal podnet od dvoch vodičov, ktorí sa stali účastníkmi dopravnej nehody.

Vráťme sa k spisu prípadu.

^ INFORMÁCIE OBETÍ.

Z dvoch bodov A a B odišli oproti sebe osobné auto a kamión. Rýchlosť osobného auta je 60 km/h a nákladného 40 km/h Ako dlho im potrvá, kým sa stretnú, ak je vzdialenosť medzi bodmi 350 km?

- Zvážte riešenie .

1) 40 + 60 \u003d 100 (km / h) - celková rýchlosť automobilov (rýchlosť konvergencie)

2) 350 : 100 = 35 (h)

Odpoveď: autá sa stretnú do 35 hodín.
- Chlapci, venujte pozornosť všetkým údajom a odpovedzte: "Vzbudzuje vo vás tento výsledok pochybnosti?"
- Áno, existuje pochybnosť, v tomto probléme nemôže byť čas 35 hodín.
- Takže v dôsledku rozhodnutia sa stala chyba. Aká by mala byť odpoveď, zistíme vykonaním vyšetrovania a preskúmaním všetkých faktov, dokumentov a dôkazov.
- Na naše vyšetrovanie som si vzal lupu, váhy a knihy.

PRVÁ ÚLOHA. (prvý dôkaz)
Odstrániť z týchto čísel:

• 
  Celé čísla
• 
  Správne zlomky
• 
  Nepravé zlomky
• 
  zmiešané čísla

8 45/1000; 1000; 12; 3/2; 0,12; 1/6; 15/15; 30/24; 12/1000; 21,032; 1 2/3.

Aké čísla zostali?

Na našom matematickom obzore sa objavili čísla písané novým spôsobom. Toto sú desatinné čísla.
- Obráťme sa na vedecké dokumenty.

^ Desatinný zlomok sa líši od obyčajného zlomku tým, že jeho menovateľom je bitová jednotka.

Napríklad:

^ Desatinné zlomky sú oddelené od obyčajných zlomkov do samostatného tvaru.
K zlomkovej časti desatinného zlomku vpravo možno pridať ľubovoľný počet núl, hodnota zlomku sa tým nemení.

^ Zlomková časť desatinného zlomku sa číta podľa poslednej platnej číslice.

Napríklad:
0,3 - tri desatiny
0,75 - sedemdesiatpäť stotín
0,000005 - päť miliónov.

Čítanie celej časti desatinného čísla je rovnaké ako čítanie prirodzených čísel.

Napríklad:
27,5 - dvadsaťsedem ...;
1,57 - jeden...

Po celočíselnej časti desatinného zlomku sa vyslovuje slovo „celo“.

Napríklad:
10,7 - desať bodov sedem

0,67 - nula bod šesťdesiatsedem stotín.

Desatinné čísla sú zlomkové číslice. Zlomková časť sa nečíta po čísliciach (na rozdiel od prirodzených čísel), ale ako celok, preto sa určuje zlomková časť desatinného zlomku posledný vpravo významná hodnosť.

Pri výpočtoch sa najčastejšie používajú prvé tri číslice. Veľká bitová hĺbka zlomkovej časti desatinných zlomkov sa používa iba v špecifických oblastiach vedomostí, kde sa počítajú nekonečne malé hodnoty.

• 
  1. miesto za desatinnou čiarkou - desiate miesto
• 
  2. miesto za desatinnou čiarkou - sté miesto
• 
  3. miesto za desatinnou čiarkou - tisícina
• 
  4. miesto za desatinnou čiarkou - desaťtisícové miesto
• 
  5. miesto za desatinnou čiarkou - stotisícové miesto
• 
  6. miesto za desatinnou čiarkou - miliónové miesto
• 
  7. miesto za desatinnou čiarkou - desaťmiliónové miesto
• 
  8. miesto za desatinnou čiarkou - stomiliónové miesto

Aké informácie ste získali o predmete nášho štúdia?

Obráťme sa na archívne materiály.
Preskúmajte historické dôkazy. Ako sa tieto zlomky písali predtým?

V 5. storočí čínsky vedec Tszyu-Chun-Zhi zaznamenal zlomok tvaru 2,135436 takto:

2 chi, 1 cun, 3 akcie, 5 radových, 4 vlasy, 3 najjemnejšie, 6 gossamer.

Uzbecký vedec Jemshid Giyaseddin al-Kashi v knihe

"Kľúč k aritmetike" (1424) ukázal záznam zlomku v jednom riadku s číslami v desiatkovej sústave.

Na nahrávanie použil zvislú čiaru,

atrament je čierny a červený.

V knihe „Matematický kánon“ od francúzskeho matematika F. Vietu (1540-1603) je desatinný zlomok zapísaný takto 2 135436 - zlomková časť bola podčiarknutá a napísaná nad riadok celočíselnej časti čísla

1571 G. - Johannes Kepler navrhol moderný zápis desatinných zlomkov, t.j. oddeľujúca celú časť čiarkou.

Pred ním boli iné možnosti:

3,7 boli napísané ako 3(0)7 alebo 3\ 7 alebo inou farbou ako celé číslo a zlomkové časti.
- Popíšte teda, ako teraz vyzerá desatinný zlomok.
^ V VYŠETROVACÍCH AKCIACH BUDEME POKRAČOVAŤ.
Druhá ÚLOHA. (dva dôkazy)
Zadajte najmenej významnú číslicu čísla a prečítajte si ju:

1,25 12, 54 3,06 1410,05

TRETIA ÚLOHA. (Tretí dôkaz)
Ako sa píšu desatinné čísla?

46,5 80,35 4,65 8,035 40,065 83,05 0,465 0,0835

^ VYKONAJME VYŠETROVACÍ EXPERIMENT.
MATEMATICKÝ DIKTÁT.
- Na ďalšiu úlohu potrebujeme lupu, pretože v číslach potrebujeme nájsť čiarku.
4735,62 123,456 54,5454 230,032 74635,2

Vymeňte si prácu s kolegami a skontrolujte

FYZICKÁ MINÚTA.

^ HLAVNÁ ČASŤ.

Vypočujme si výpovede svedkov:

Mama kúpila 2¼ kg jabĺk a 3,5 kg hrušiek. Koľko kilogramov ovocia kúpila mama?
Aké zlomky sa nachádzajú v dokumente? ( obyčajný A desiatkový)

Myslíte si, že je možné tieto zlomky sčítať? ( Nie)

Čo je potrebné urobiť, aby ste odpovedali na otázku problému? ( počítať buď v obyčajných alebo desatinných zlomkoch).

Aby ste to dosiahli, musíte previesť jeden zlomok na druhý. Tu potrebujem váhy.

Na čo slúžia váhy? ( vážiť, porovnávať, vyrovnávať)

Na našich matematických mierkach budeme porovnávať počet desatinných miest (v zlomkovej časti) a núl v bitovej jednotke.
^ A). Vyjadrite číslo ako zlomok:

0,13 6,013 0, 05 14,007 51, 3 830,0026

(Každá skupina dostane jedno číslo. Po splnení úlohy obhajuje svoju odpoveď, dopĺňa ju vlastným príkladom).

B). Vyjadrite číslo ako desatinné číslo:

1 1 / 10 , 25 / 100 , 98 3 / 10 , 2 56 / 1000 , 75 108 / 10000

R B O A B
Usporiadajte bežné zlomky vo vzostupnom poradí.

BRAVO
4. REFLEXIA.
Naše vyšetrovanie sa blíži ku koncu. Posudzovali sa všetky materiály prípadu, porovnávali sa fakty, študovali sa dokumenty.
- Späť k nášmu porušovaniu.
- Aké by malo byť číslo v úlohe, aby ste dostali správnu odpoveď? "Čo sa stratilo v tomto čísle?" (ČIARA)
- Aká je správna odpoveď?
Ako zapíšete odpoveď ako zlomok?
- Previesť na hodiny a minúty?
- Ďakujem, dobrá práca. Dávam pred tebou klobúk dolu. S úlohou sme sa vyrovnali.

5. Domáce úlohy.

Pripravte správy na témy:

"História desatinných zlomkov"

Kde sa používajú desatinné čísla?
ĎAKUJEM ZA LEKCIU.

Štúdium kráľovnej všetkých vied - matematiky, v určitom okamihu každý čelí zlomkom. Hoci tento koncept (ako samotné typy zlomkov alebo matematické operácie s nimi) nie je vôbec náročný, treba s ním narábať opatrne, pretože v reálnom živote mimo školy bude veľmi užitočný. Osviežme si teda naše znalosti o zlomkoch: čo sú, na čo slúžia, aké sú typy a ako s nimi robiť rôzne aritmetické operácie.

Jej Veličenstvo zlomok: čo to je

Zlomky v matematike sú čísla, z ktorých každé pozostáva z jednej alebo viacerých častí jednotky. Takéto zlomky sa tiež nazývajú obyčajné alebo jednoduché. Spravidla sa píšu ako dve čísla, ktoré sú oddelené vodorovnou alebo lomkou, nazýva sa to „zlomok“. Napríklad: ½, ¾.
Najvyššie alebo prvé z týchto čísel je čitateľ (ukazuje, koľko zlomkov čísla sa vezme) a spodné alebo druhé z týchto čísel je menovateľ (ukazuje, na koľko častí je jednotka rozdelená).
Zlomková čiara v skutočnosti funguje ako deliaci znak. Napríklad 7:9=7/9
Tradične sú bežné zlomky menšie ako jedna. Zatiaľ čo desatinné miesta môžu byť väčšie.

Na čo sú zlomky? Áno, pre všetko, pretože v reálnom svete nie sú všetky čísla celými číslami. Napríklad dve školáčky v kaviarni si kúpili spolu jednu výbornú čokoládovú tyčinku. Keď sa mali podeliť o dezert, stretli kamarátku a rozhodli sa dopriať si ju tiež. Teraz je však potrebné správne rozdeliť čokoládovú tyčinku, vzhľadom na to, že pozostáva z 12 štvorcov.
Najprv si dievčatá chceli všetko rozdeliť rovným dielom a potom každá dostala štyri kúsky. Ale po premyslení sa rozhodli dopriať svojej priateľke nie 1/3, ale 1/4 čokolády. A keďže školáčky sa zlomky dobre neučili, nerátali s tým, že v takejto situácii by mali vo výsledku 9 kusov, ktoré sú veľmi zle rozdelené na dva. Tento pomerne jednoduchý príklad ukazuje, aké dôležité je vedieť správne nájsť časť čísla. Ale v živote je takýchto prípadov oveľa viac.

Typy zlomkov: obyčajné a desatinné

Všetky matematické zlomky sú rozdelené na dve veľké číslice: obyčajné a desatinné. Vlastnosti prvého z nich boli opísané v predchádzajúcom odseku, takže teraz stojí za to venovať pozornosť druhému.
Desatinné číslo je pozičný zápis zlomku čísla, ktorý je zafixovaný písmenom oddeleným čiarkou, bez pomlčky alebo lomky. Napríklad: 0,75, 0,5.
V skutočnosti je desatinný zlomok identický s obyčajným, no jeho menovateľom je vždy jedna, za ktorou nasledujú nuly – odtiaľ pochádza aj jeho názov.
Číslo pred desatinnou čiarkou je celá časť a všetko za desatinnou čiarkou je zlomková časť. Akýkoľvek jednoduchý zlomok možno previesť na desatinné číslo. Takže desatinné zlomky uvedené v predchádzajúcom príklade možno zapísať ako obyčajné: ¾ a ½.
Stojí za zmienku, že desatinné aj obyčajné zlomky môžu byť kladné aj záporné. Ak je pred nimi znamienko "-", tento zlomok je záporný, ak "+" - potom kladný.

Poddruhy obyčajných frakcií

Existujú také typy jednoduchých zlomkov.

Správne. Ich čitateľ je vždy menší ako menovateľ. Napríklad: 7/8. Toto je správny zlomok, pretože čitateľ 7 je menší ako menovateľ 8. Nesprávne. V takýchto zlomkoch sa buď čitateľ a menovateľ navzájom rovnajú (8/8), alebo je hodnota nižšieho čísla menšia ako horného čísla (9/8). Zmiešané. Toto je názov správneho zlomku zapísaného spolu s celým číslom: 8 ½. Chápe sa ako súčet tohto čísla a zlomku. Mimochodom, je celkom jednoduché, aby sa na jeho mieste objavil nesprávny zlomok. Aby ste to dosiahli, musíte 8 zapísať ako 16/2+1/2=17/2. Ako už názov napovedá, pozostávajú z niekoľkých zlomkových znakov: ½ / ¾. Redukovateľné / neredukovateľné. Môžu zahŕňať správne aj nesprávne zlomky. Všetko závisí od toho, či je možné čitateľa a menovateľa deliť rovnakým číslom. Napríklad 6/9 je redukovaný zlomok, pretože obe jeho zložky možno deliť 3 a dostanete 2/3. Ale 7/9 je neredukovateľné, keďže 7 a 9 sú prvočísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa a nedajú sa zmenšiť.

Poddruh desatinného zlomku

Na rozdiel od jednoduchého desatinného zlomku sa delí iba na 2 typy.

Konečná - dostala svoj názov podľa toho, že za desatinnou čiarkou má obmedzený (konečný) počet číslic: 19,25 Nekonečný zlomok je číslo s nekonečným počtom číslic za desatinnou čiarkou. Napríklad pri delení 10 3 bude výsledkom nekonečný zlomok 3,333 ...

Sčítanie zlomkov

Vykonávanie rôznych aritmetických manipulácií so zlomkami je o niečo ťažšie ako s obyčajnými číslami. Ak sa však naučíte základné pravidlá, vyriešiť s nimi akýkoľvek príklad nebude ťažké.
Aby ste teda mohli sčítať zlomky, musíte sa najprv uistiť, že oba pojmy majú rovnaké menovatele. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť najmenšie číslo, ktoré možno bezo zvyšku rozdeliť menovateľmi sčítancov.
Napríklad: 2/3+3/4. Najmenší spoločný násobok pre nich bude 12, preto je potrebné, aby toto číslo bolo v každom menovateli. Aby sme to dosiahli, vynásobíme čitateľa a menovateľa prvého zlomku 4, ukáže sa 8/12, urobíme to isté s druhým členom, ale vynásobíme iba 3 - 9/12. Teraz môžete jednoducho vyriešiť príklad: 8/12+9/12= 17/12. Výsledný zlomok je nesprávna hodnota, pretože čitateľ je väčší ako menovateľ. Môže a mal by sa previesť na správny zmiešaný vydelením 17:12 = 1 a 5/12.
Ak sa pridajú zmiešané frakcie, najprv sa akcie vykonajú s celými číslami a potom s zlomkovými.
Ak príklad obsahuje desatinný zlomok a obyčajný zlomok, je potrebné, aby sa oba stali jednoduchými, potom ich priveďte k rovnakému menovateľovi a pridajte ich. Napríklad 3,1+1/2. Číslo 3.1 možno zapísať ako zmiešaný zlomok 3 a 1/10 alebo ako nevlastné - 31/10. Spoločný menovateľ výrazov bude 10, takže musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa 1/2 5, vyjde vám 5/10. Potom si všetko ľahko vypočítate: 31/10+5/10=35/10. Získaný výsledok je nesprávny kontrahovateľný zlomok, uvedieme ho do normálnej formy a znížime ho o 5: 7/2 = 3 a 1/2 alebo desatinné číslo - 3,5.
Pri pridávaní 2 desatinných miest je dôležité, aby za desatinnou čiarkou bol rovnaký počet číslic. Ak to tak nie je, stačí pridať požadovaný počet núl, pretože v desatinnom zlomku sa to dá urobiť bezbolestne. Napríklad 3,5 + 3,005. Ak chcete vyriešiť túto úlohu, musíte k prvému číslu pridať 2 nuly a potom postupne pridať: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Odčítanie zlomkov

Pri odčítaní zlomkov sa oplatí urobiť to isté ako pri sčítaní: zredukovať na spoločného menovateľa, odpočítať jeden čitateľ od druhého, ak je to potrebné, previesť výsledok na zmiešaný zlomok.
Napríklad: 16/20-5/10. Spoločný menovateľ bude 20. K tomuto menovateľovi musíte priviesť druhý zlomok, pričom obe jeho časti vynásobíte 2, dostanete 10/20. Teraz môžete vyriešiť príklad: 16/20-10/20= 6/20. Tento výsledok však platí pre redukovateľné zlomky, preto sa oplatí obe časti vydeliť 2 a výsledok je 3/10.

Násobenie zlomkov

Delenie a násobenie zlomkov sú oveľa jednoduchšie operácie ako sčítanie a odčítanie. Faktom je, že pri plnení týchto úloh netreba hľadať spoločného menovateľa.
Ak chcete vynásobiť zlomky, stačí striedavo vynásobiť oba čitateľa spolu a potom oboch menovateľov. Znížte výsledný výsledok, ak má zlomok zníženú hodnotu.

Napríklad: 4/9x5/8. Po striedavom násobení je výsledok 4x5/9x8=20/72. Takýto zlomok možno zmenšiť o 4, takže konečná odpoveď v príklade je 5/18.

Ako deliť zlomky

Delenie zlomkov je tiež jednoduchá činnosť, v skutočnosti stále ide o ich násobenie. Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte otočiť druhý a vynásobiť prvým.

Napríklad delenie zlomkov 5/19 a 5/7. Na vyriešenie príkladu je potrebné vymeniť menovateľa a čitateľa druhého zlomku a vynásobiť: 5/19x7/5=35/95. Výsledok môže byť znížený o 5 - ukáže sa 7/19.
Ak potrebujete deliť zlomok prvočíslom, technika je mierne odlišná. Spočiatku sa oplatí napísať toto číslo ako nesprávny zlomok a potom ho rozdeliť podľa rovnakej schémy. Napríklad 2/13:5 by sa malo zapísať ako 2/13:5/1. Teraz musíte otočiť 5/1 a vynásobiť výsledné zlomky: 2/13x1/5= 2/65.
Niekedy musíte rozdeliť zmiešané zlomky. Musíte sa s nimi vysporiadať, ako s celými číslami: premeniť ich na nesprávne zlomky, prehodiť deliteľa a všetko vynásobiť. Napríklad 8 ½: 3. Premena všetkého na nesprávne zlomky: 17/2: 3/1. Nasleduje preklopenie 3/1 a násobenie: 17/2x1/3= 17/6. Teraz by ste mali previesť nesprávny zlomok na správny - 2 celé čísla a 5/6.
Takže keď ste zistili, čo sú zlomky a ako s nimi môžete vykonávať rôzne aritmetické operácie, musíte sa pokúsiť na to nezabudnúť. Koniec koncov, ľudia sú vždy viac naklonení rozdeliť niečo na časti ako pridať, takže to musíte vedieť urobiť správne.

Bežný zlomok

štvrtí

1. Poriadok. a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva objednávacie pravidlo a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a A b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   súčet zlomkov

2. operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu: .
3. operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, A keď a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
5. Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
6. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
7. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
8. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
9. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
10. Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
11. Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
12. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
13. Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. maximálna šírka: 98 % výška: auto; šírka: auto;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, to znamená, že vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre jednoznačnosť sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.

V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné vlastnosťou spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Z Pytagorovej vety je známe, že prepona pravouhlého trojuholníka je vyjadrená ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho nôh. To. dĺžka prepony rovnoramenného pravouhlého trojuholníka s jednotkovým ramenom sa rovná, t.j. číslu, ktorého druhá mocnina je 2.

Ak predpokladáme, že číslo je reprezentované nejakým racionálnym číslom, potom také celé číslo existuje m a také prirodzené číslo n, čo je navyše zlomok neredukovateľný, teda čísla m A n sú coprime.

Ak potom , t.j. m 2 = 2n 2. Preto číslo m 2 je párne, ale súčin dvoch nepárnych čísel je nepárny, čo znamená, že samotné číslo m tiež jasné. Existuje teda prirodzené číslo k, tak, že číslo m môže byť reprezentovaný ako m = 2k. Číselný štvorec m V tomto zmysle m 2 = 4k 2 ale na druhej strane m 2 = 2n 2 znamená 4 k 2 = 2n 2, alebo n 2 = 2k 2. Ako je uvedené vyššie pre číslo m, čo znamená, že číslo n- presne ako m. Ale potom nie sú coprime, pretože obe sú deliteľné na polovicu. Výsledný rozpor dokazuje, že nejde o racionálne číslo.

Už na základnej škole sa žiaci stretávajú so zlomkami. A potom sa objavia v každej téme. Nie je možné zabudnúť na akcie s týmito číslami. Preto potrebujete vedieť všetky informácie o obyčajných a desatinných zlomkoch. Tieto pojmy sú jednoduché, hlavnou vecou je pochopiť všetko v poriadku.

Prečo sú potrebné zlomky?

Svet okolo nás pozostáva z celých predmetov. O akcie preto nie je núdza. Ale každodenný život neustále tlačí ľudí k práci s časťami predmetov a vecí.

Napríklad čokoláda sa skladá z niekoľkých plátkov. Zvážte situáciu, keď je jeho dlaždica tvorená dvanástimi obdĺžnikmi. Ak ho rozdelíte na dve časti, získate 6 častí. Bude to dobre rozdelené na tri. Ale tí piati nebudú môcť dať celý počet kúskov čokolády.

Mimochodom, tieto plátky sú už zlomky. A ich ďalšie delenie vedie k vzniku zložitejších čísel.

Čo je to "zlomok"?

Toto je číslo pozostávajúce z častí jednej. Navonok to vyzerá ako dve čísla oddelené vodorovnou čiarou alebo lomkou. Táto funkcia sa nazýva zlomková. Číslo napísané hore (vľavo) sa nazýva čitateľ. Ten v spodnej časti (vpravo) je menovateľ.

V skutočnosti sa zlomková čiara ukáže ako znak delenia. To znamená, že čitateľ môže byť nazývaný dividenda a menovateľ môže byť nazývaný deliteľ.

Aké sú zlomky?

V matematike existujú iba dva typy: obyčajné a desatinné zlomky. S prvými sa školáci zoznámia v základných ročníkoch a nazývajú ich jednoducho „zlomky“. Druhí sa učia v 5. ročníku. Vtedy sa objavia tieto mená.

Bežné zlomky sú všetky tie, ktoré sú zapísané ako dve čísla oddelené čiarou. Napríklad 4/7. Desatinné číslo je číslo, v ktorom má zlomková časť pozičný zápis a je oddelené od celého čísla čiarkou. Napríklad 4.7. Študentom musí byť jasné, že uvedené dva príklady sú úplne odlišné čísla.

Každý jednoduchý zlomok možno zapísať ako desatinné číslo. Toto tvrdenie je takmer vždy pravdivé aj naopak. Existujú pravidlá, ktoré umožňujú zapísať desatinný zlomok ako obyčajný zlomok.

Aké poddruhy majú tieto typy frakcií?

Je lepšie začať v chronologickom poradí, pretože sa študujú. Na prvom mieste sú bežné zlomky. Medzi nimi možno rozlíšiť 5 poddruhov.

Správne. Jeho čitateľ je vždy menší ako menovateľ.

Nesprávne. Jeho čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi.

Redukovateľný / nezredukovateľný. Môže to byť správne alebo nesprávne. Ďalšia vec je dôležitá, či čitateľ a menovateľ majú spoločné faktory. Ak existujú, potom sa predpokladá, že obe časti zlomku rozdelia, to znamená, že ho znížia.

Zmiešané. Celé číslo je priradené k jeho obvyklej správnej (nesprávnej) zlomkovej časti. A vždy stojí vľavo.

Kompozitný. Tvorí sa z dvoch navzájom rozdelených frakcií. To znamená, že má tri zlomkové funkcie naraz.

Desatinné čísla majú iba dva poddruhy:

konečný, teda taký, v ktorom je zlomková časť obmedzená (má koniec);

nekonečné - číslo, ktorého číslice za desatinnou čiarkou nekončia (možno ich písať donekonečna).

Ako previesť desatinné číslo na obyčajné?

Ak je toto konečné číslo, tak sa aplikuje asociácia na základe pravidla – ako počujem, tak píšem. To znamená, že ho musíte správne prečítať a zapísať, ale bez čiarky, ale so zlomkom.

Ako tip na požadovaný menovateľ si pamätajte, že je to vždy jednotka a niekoľko núl. Posledne menované je potrebné zapísať toľko, koľko je číslic v zlomkovej časti príslušného čísla.

Ako previesť desatinné zlomky na obyčajné, ak chýba celá ich časť, teda rovná nule? Napríklad 0,9 alebo 0,05. Po použití zadaného pravidla sa ukáže, že musíte napísať nula celých čísel. Ale to nie je uvedené. Zostáva zapísať iba zlomkové časti. Pre prvé číslo bude menovateľ 10, pre druhé - 100. To znamená, že uvedené príklady budú mať čísla ako odpovede: 9/10, 5/100. Navyše sa ukázalo, že je možné znížiť o 5. Preto musí byť výsledok napísaný 1/20.

Ako vytvoriť obyčajný zlomok z desatinného čísla, ak je jeho celá časť iná ako nula? Napríklad 5,23 alebo 13,00108. Oba príklady prečítajú celočíselnú časť a zapíšu jej hodnotu. V prvom prípade je to 5, v druhom - 13. Potom musíte prejsť na zlomkovú časť. S nimi je potrebné vykonať rovnakú operáciu. Prvé číslo má 23/100, druhé má 108/100 000. Druhú hodnotu je potrebné opäť znížiť. Odpoveďou sú zmiešané zlomky: 5 23/100 a 13 27/25 000.

Ako previesť nekonečné desatinné miesto na bežný zlomok?

Ak je to neperiodické, potom sa takáto operácia nemôže vykonať. Táto skutočnosť je spôsobená skutočnosťou, že každý desatinný zlomok je vždy prepočítaný buď na konečný alebo na periodický.

Jediná vec, ktorú je možné s takýmto zlomkom urobiť, je zaokrúhliť ho. Ale potom sa desatinné číslo bude približne rovnať tomu nekonečnu. Dá sa už premeniť na obyčajný. Ale opačný proces: prevod na desatinné číslo - nikdy neposkytne počiatočnú hodnotu. To znamená, že nekonečné neperiodické zlomky sa neprevádzajú na obyčajné zlomky. Toto treba mať na pamäti.

Ako napísať nekonečný periodický zlomok vo forme obyčajného?

V týchto číslach sa vždy za desatinnou čiarkou objavuje jedna alebo viac číslic, ktoré sa opakujú. Nazývajú sa obdobia. Napríklad 0,3(3). Tu "3" v období. Sú klasifikované ako racionálne, pretože sa dajú previesť na bežné zlomky.

Tí, ktorí sa stretli s periodickými zlomkami, vedia, že môžu byť čisté alebo zmiešané. V prvom prípade bodka začína hneď od čiarky. V druhom zlomková časť začína ľubovoľnými číslami a potom sa začína opakovanie.

Pravidlo, podľa ktorého musíte napísať nekonečnú desatinnú čiarku vo forme obyčajného zlomku, bude pre tieto dva typy čísel odlišné. Je celkom jednoduché písať čisté periodické zlomky ako obyčajné zlomky. Rovnako ako v prípade konečných je potrebné ich previesť: do čitateľa napíšte bodku a menovateľom bude číslo 9, ktoré sa opakuje toľkokrát, koľko je v bodke číslic.

Napríklad 0, (5). Číslo nemá celú časť, takže musíte okamžite prejsť na zlomkovú časť. Do čitateľa napíš 5 a do menovateľa 9. To znamená, že odpoveď bude zlomok 5/9.

Pravidlo, ako zapísať bežný desatinný zlomok, ktorý je zmiešaným zlomkom.

Pozrite sa na dĺžku obdobia. Toľko 9 bude mať menovateľa.

Zapíšte si menovateľa: najprv deviatky, potom nuly.

Ak chcete určiť čitateľa, musíte napísať rozdiel dvoch čísel. Všetky číslice za desatinnou čiarkou sa zmenšia spolu s bodkou. Odpočítateľné - je bez bodky.

Napríklad 0,5(8) - zapíšte periodický desatinný zlomok ako bežný zlomok. Zlomková časť pred bodkou je jedna číslica. Takže nula bude jedna. V období je tiež len jedna číslica - 8. To znamená, že je len jedna deviatka. To znamená, že do menovateľa musíte napísať 90.

Ak chcete určiť čitateľa od 58, musíte odpočítať 5. Ukáže sa 53. Napríklad budete musieť napísať 53/90 ako odpoveď.

Ako sa bežné zlomky prevedú na desatinné miesta?

Najjednoduchšou možnosťou je číslo, ktorého menovateľom je číslo 10, 100 atď. Potom sa menovateľ jednoducho zahodí a medzi zlomkovú a celočíselnú časť sa vloží čiarka.

Sú situácie, keď sa menovateľ ľahko zmení na 10, 100 atď. Napríklad čísla 5, 20, 25. Stačí ich vynásobiť 2, 5 a 4. Len je potrebné vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa rovnakým číslom.

Pre všetky ostatné prípady sa vám bude hodiť jednoduché pravidlo: vydeľte čitateľa menovateľom. V tomto prípade môžete dostať dve odpovede: konečný alebo periodický desatinný zlomok.

Operácie s bežnými zlomkami

Sčítanie a odčítanie

Študenti ich spoznávajú skôr ako ostatní. A najprv majú zlomky rovnakých menovateľov a potom sa líšia. Všeobecné pravidlá možno zredukovať na takýto plán.

Nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov.

Ku všetkým obyčajným zlomkom napíš ďalšie súčiniteľa.

Vynásobte čitateľov a menovateľov faktormi, ktoré sú pre ne definované.

Sčítajte (odčítajte) čitateľov zlomkov a spoločného menovateľa ponechajte nezmenený.

Ak je čitateľ menšieho bodu menší ako podradník, potom musíte zistiť, či máme zmiešané číslo alebo správny zlomok.

V prvom prípade musí mať celočíselná časť jednotku. Pridajte menovateľa do čitateľa zlomku. A potom urobte odčítanie.

V druhom - je potrebné aplikovať pravidlo odčítania od menšieho čísla k väčšiemu. To znamená, že odpočítajte modul minuendu od modulu subtrahendu a ako odpoveď vložte znamienko „-“.

Pozorne si prezrite výsledok sčítania (odčítania). Ak dostanete nesprávny zlomok, potom sa má vybrať celá časť. To znamená, že vydeľte čitateľa menovateľom.

Násobenie a delenie

Na ich implementáciu nie je potrebné zlomky redukovať na spoločného menovateľa. Vďaka tomu je jednoduchšie konať. Stále však musia dodržiavať pravidlá.

Pri násobení obyčajných zlomkov je potrebné zvážiť čísla v čitateľoch a menovateľoch. Ak má niektorý čitateľ a menovateľ spoločný faktor, možno ich znížiť.

Vynásobte čitateľov.

Vynásobte menovateľov.

Ak dostanete redukovateľný zlomok, potom by sa mal znova zjednodušiť.

Pri delení musíte najskôr nahradiť delenie násobením a deliteľa (druhý zlomok) prevráteným (zameniť čitateľa a menovateľa).

Potom postupujte ako pri násobení (začnite od bodu 1).

V úlohách, kde je potrebné vynásobiť (deliť) celým číslom, sa predpokladá, že toto číslo sa zapíše ako nevlastný zlomok. Teda s menovateľom 1. Potom postupujte podľa vyššie uvedeného popisu.



Operácie s desatinnými miestami

Sčítanie a odčítanie

Samozrejme, vždy môžete zmeniť desatinné miesto na bežný zlomok. A konať podľa už opísaného plánu. Niekedy je však pohodlnejšie konať bez tohto prekladu. Potom budú pravidlá pre ich sčítanie a odčítanie úplne rovnaké.

Vyrovnajte počet číslic v zlomkovej časti čísla, teda za desatinnou čiarkou. Priraďte v ňom chýbajúci počet núl.

Zlomky píšte tak, aby bola čiarka pod čiarkou.

Sčítajte (odčítajte) ako prirodzené čísla.

Odstráňte čiarku.

Násobenie a delenie

Je dôležité, aby ste sem nemuseli pridávať nuly. Zlomky sa majú ponechať tak, ako sú uvedené v príklade. A potom ísť podľa plánu.

Pri násobení je potrebné písať zlomky jeden pod druhým a nedávať pozor na čiarky.

Násobte ako prirodzené čísla.

Do odpovede vložte čiarku, pričom od pravého konca odpovede počítajte toľko číslic, koľko je v zlomkových častiach oboch faktorov.

Ak chcete deliť, musíte najprv previesť deliteľa: urobiť z neho prirodzené číslo. To znamená, vynásobte ho 10, 100 atď., v závislosti od toho, koľko číslic je v zlomkovej časti deliteľa.

Vynásobte dividendu rovnakým číslom.

Vydeľte desatinné číslo prirodzeným číslom.

Čiarku dajte do odpovede v momente, keď sa končí delenie celej časti.



Čo ak sú v jednom príklade oba typy zlomkov?

Áno, v matematike sú často príklady, v ktorých musíte vykonávať operácie s obyčajnými a desatinnými zlomkami. Existujú dve možné riešenia týchto problémov. Treba objektívne zvážiť čísla a vybrať to najlepšie.

Prvý spôsob: predstavujú obyčajné desatinné miesta

Je vhodné, ak sa pri delení alebo premene získajú konečné frakcie. Ak aspoň jedno číslo uvádza periodickú časť, potom je táto technika zakázaná. Preto, aj keď neradi pracujete s obyčajnými zlomkami, budete ich musieť počítať.

Druhý spôsob: píšte desatinné zlomky ako obyčajné

Táto technika je vhodná, ak sú v časti za desatinnou čiarkou 1-2 číslice. Ak je ich viac, môže sa ukázať veľmi veľký obyčajný zlomok a desatinné údaje vám umožnia vypočítať úlohu rýchlejšie a jednoduchšie. Preto je vždy potrebné triezvo zhodnotiť úlohu a zvoliť najjednoduchší spôsob riešenia.

Desatinný zlomok sa líši od obyčajného zlomku tým, že jeho menovateľom je bitová jednotka.

Napríklad:

Desatinné zlomky boli oddelené od obyčajných zlomkov do samostatného tvaru, čo viedlo k vlastným pravidlám na porovnávanie, sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie týchto zlomkov. V zásade môžete pracovať s desatinnými zlomkami podľa pravidiel bežných zlomkov. Vlastné pravidlá na prevod desatinných zlomkov zjednodušujú výpočty a pravidlá na prevod obyčajných zlomkov na desatinné miesta a naopak slúžia ako prepojenie medzi týmito typmi zlomkov.

Zápis a čítanie desatinných zlomkov umožňuje písať, porovnávať a pracovať s nimi podľa pravidiel veľmi podobných pravidlám pre operácie s prirodzenými číslami.

Prvýkrát bol systém desatinných zlomkov a operácií s nimi popísaný v 15. storočí. Samarkandský matematik a astronóm Jamshid ibn-Masudal-Kashi v knihe „Kľúč k umeniu účtovníctva“.

Celočíselná časť desatinného zlomku je oddelená od zlomkovej časti čiarkou, v niektorých krajinách (USA) dávajú bodku. Ak v desatinnom zlomku nie je žiadna celočíselná časť, pred desatinnú čiarku vložte číslo 0.

K zlomkovej časti desatinného zlomku vpravo možno pridať ľubovoľný počet núl, hodnota zlomku sa tým nemení. Zlomková časť desatinného zlomku sa číta podľa poslednej platnej číslice.

Napríklad:
0,3 - tri desatiny
0,75 - sedemdesiatpäť stotín
0,000005 - päť miliónov.

Čítanie celej časti desatinného čísla je rovnaké ako čítanie prirodzených čísel.

Napríklad:
27,5 - dvadsaťsedem ...;
1,57 - jeden...

Po celočíselnej časti desatinného zlomku sa vyslovuje slovo „celo“.

Napríklad:
10,7 - desať bodov sedem

0,67 - nula bod šesťdesiatsedem stotín.

Desatinné čísla sú zlomkové číslice. Zlomková časť sa nečíta po čísliciach (na rozdiel od prirodzených čísel), ale ako celok, preto je zlomková časť desatinného zlomku určená poslednou platnou číslicou vpravo. Bitový systém zlomkovej časti desatinného zlomku sa trochu líši od systému prirodzených čísel.

• 1. číslica po obsadenosti - desatinná číslica
• 2. miesto za desatinnou čiarkou - sté miesto
• 3. miesto za desatinnou čiarkou - tisícina
• 4. miesto za desatinnou čiarkou - desaťtisícové miesto
• 5. miesto za desatinnou čiarkou - stotisícové miesto
• 6. miesto za desatinnou čiarkou - miliónové miesto
• 7. miesto za desatinnou čiarkou - desaťmiliónové miesto
• 8. miesto za desatinnou čiarkou je stomiliónové

Pri výpočtoch sa najčastejšie používajú prvé tri číslice. Veľká bitová hĺbka zlomkovej časti desatinných zlomkov sa používa iba v špecifických oblastiach vedomostí, kde sa počítajú nekonečne malé hodnoty.

Konverzia desatinných zlomkov na zmiešané pozostáva z nasledovného: napíšte číslo pred desatinnú čiarku ako celočíselné časti zmiešaného zlomku; číslo za desatinnou čiarkou je čitateľom jeho zlomkovej časti a do menovateľa zlomkovej časti napíšte jednotku s toľkými nulami, koľko je číslic za desatinnou čiarkou.