Metóda harmonickej linearizácie. Výpočet koeficientov harmonickej linearizácie. Zákazka

Myšlienka metódy harmonickej linearizácie patrí N.M. Krylov a N.N. Bogolyubova a je založená na nahradení nelineárneho prvku systému lineárnou väzbou, ktorej parametre sú určené pri harmonickom vstupnom pôsobení z podmienky rovnosti amplitúd prvých harmonických na výstupe nelineárneho prvku a ekvivalentné lineárne spojenie. Tento spôsob je možné použiť v prípade, keď lineárnou časťou systému je dolnopriepustný filter, t.j. filtruje všetky harmonické zložky vznikajúce na výstupe nelineárneho prvku, okrem prvej harmonickej.

Koeficienty harmonickej linearizácie a ekvivalentné komplexné koeficienty prenosu nelineárnych prvkov. V nelineárnom systéme (obr. 2.1) sa parametre lineárnej časti a nelineárneho prvku volia tak, aby dochádzalo k symetrickým periodickým kmitom s frekvenciou w.

Metóda harmonickej linearizácie nelinearit (obr. 2.10), opísaná rovnicou

yn = F(x), (2,17)

predpokladom je, že na vstup nelineárneho prvku sa aplikuje harmonický vplyv s frekvenciou w a amplitúdou a, t.j.

x = a sin y, kde y = hm, (2,18)

a z celého spektra výstupného signálu je izolovaná len prvá harmonická

y n 1 = a n 1 sin (y + y n 1), (2,19)

Kde a n 1 - amplitúda a y n 1 - fázový posun;

v tomto prípade sa vyššie harmonické zahodia a vytvorí sa spojenie medzi prvou harmonickou výstupného signálu a vstupným harmonickým účinkom nelineárneho prvku.

Ryža. 2.10. Charakteristika nelineárneho prvku

V prípade necitlivosti nelineárneho systému na vyššie harmonické môže byť nelineárny prvok na prvú aproximáciu nahradený nejakým prvkom s ekvivalentným koeficientom prenosu, ktorý určuje prvú harmonickú periodických kmitov na výstupe v závislosti od frekvencie a amplitúda sínusových kmitov na vstupe.

Pre nelineárne prvky s charakteristikou (2.17) v dôsledku rozšírenia periodickej funkcie F(x) do Fourierovho radu so sínusovými osciláciami na vstupe (2.18) získame výraz pre prvú harmonickú výstupného signálu.

y n 1 = b 1F siny + a 1F útulný, (2,20)

kde b 1F, a 1F sú koeficienty rozšírenia Fourierovho radu, ktoré určujú amplitúdy fázovej a kvadratúrnej zložky prvej harmonickej, ktoré sú určené vzorcami:

px = a w cos y, kde p = d/dt,

potom vzťah medzi prvou harmonickou periodických kmitov na výstupe nelineárneho prvku a sínusovými kmitmi na jeho vstupe možno zapísať v tvare

yn 1 = x, (2,21)

kde q = b 1F / a, q¢ = a 1F / a.

Posledná rovnica sa nazýva rovnica harmonickej linearizácie a koeficienty q a q¢ - koeficienty harmonickej linearizácie.

Teda nelineárny prvok pod vplyvom harmonického signálu, až po vyššie harmonické, je opísaný rovnicou (2.21), ktorá je lineárna. Táto rovnica nelineárneho prvku sa líši od rovnice lineárneho prvku tým, že jeho koeficienty q a q¢ sa menia, keď sa mení amplitúda a a frekvencia w kmitov na vstupe. To je práve zásadný rozdiel medzi harmonickou linearizáciou a konvenčnou linearizáciou, ktorej koeficienty nezávisia od vstupného signálu, ale sú určené len typom charakteristiky nelineárneho prvku.

Pre rôzne typy nelineárnych charakteristík sú koeficienty harmonickej linearizácie zhrnuté v tabuľke. Vo všeobecnom prípade sú koeficienty harmonickej linearizácie q( a, w) a q¢( a, w) závisia od amplitúdy a a frekvencia w kmitov na vstupe nelineárneho prvku. Avšak pre statické nelinearity sú tieto koeficienty q( a) a q¢( a) sú len funkciou amplitúdy a vstupný harmonický signál a pre statické jednohodnotové nelinearity koeficient q¢( a) = 0.

Podriadením rovnice (2.21) Laplaceovej transformácii za nulových počiatočných podmienok s následným nahradením operátora s jw (s = jw) dostaneme ekvivalentný komplexný zisk nelineárny prvok

W E (jw, a) = q + jq¢ = A E (w, a) e j y e (w , a) , (2.22)

kde modul a argument ekvivalentného komplexného koeficientu prenosu sú vo vzťahu k koeficientom harmonickej linearizácie pomocou výrazov

A E (š, a) = mod W E (jw, a) =

y E (š, a) = arg W E (jw, A) = arctg.

Ekvivalentný komplexný koeficient prenosu nelineárneho prvku umožňuje určiť amplitúdu a fázový posun prvej harmonickej (2.19) na výstupe nelineárneho prvku pod harmonickým vplyvom (2.18) na jej vstupe, t.j.

a n 1 = a'A E (š, a); y n 1 = y E (w, a).

Štúdium symetrických periodických módov v nelineárnych systémoch. Pri štúdiu nelineárnych systémov založených na metóde harmonickej linearizácie sa najskôr rieši otázka existencie a stability periodických režimov. Ak je periodický režim stabilný, potom systém obsahuje vlastné oscilácie s frekvenciou w 0 a amplitúdou a 0 .

Uvažujme nelineárny systém (obr. 2.5), ktorý obsahuje lineárnu časť s prenosovou funkciou

a nelineárny prvok s ekvivalentným komplexným ziskom

W E (jw, a) = q(w, a) + jq¢(w, a) = A E (š, a) e j y e (w , a) . (2.24)

Ak vezmeme do úvahy výraz (2.21), môžeme napísať rovnicu nelineárneho systému

(A(p) + B(p)´)x = 0. (2,25)

Ak sa v uzavretom nelineárnom systéme vyskytujú vlastné oscilácie

x = a 0 sin w 0 t

s konštantnou amplitúdou a frekvenciou, potom sa koeficienty harmonickej linearizácie ukážu ako konštantné a celý systém je stacionárny. Pre posúdenie možnosti výskytu samokmitov v nelineárnom systéme pomocou metódy harmonickej linearizácie je potrebné nájsť podmienky hranice stability, ako to bolo urobené pri analýze stability lineárnych systémov. Periodické riešenie existuje, ak a = a 0 a w = w 0 charakteristická rovnica harmonicky linearizovaného systému

A(p) + B(p)' = 0 (2,26)

má dvojicu imaginárnych koreňov l i = jw 0 a l i +1 = -jw 0 . Stabilitu riešenia je potrebné ďalej posúdiť.

V závislosti od metód riešenia charakteristickej rovnice sa rozlišujú metódy na štúdium nelineárnych systémov.

Analytická metóda. Na posúdenie možnosti výskytu vlastných oscilácií v nelineárnom systéme nahraďte jw namiesto p do harmonicky linearizovaného charakteristického polynómu systému.

D(jw, a) = A(jw) + B(jw)'. (2,27)

Výsledkom je rovnica D(jw, a) = 0, ktorého koeficienty závisia od amplitúdy a frekvencie predpokladaného samooscilačného režimu. Po izolovaní skutočnej a imaginárnej časti

Červená(jw, a) = X(š, a);

Som D(jw, a) = Y(š, a),

dostaneme rovnicu

X(w, a) + jY(w, a) = 0. (2.28)

Ak pre skutočné hodnoty a 0 a w 0 výraz (2.28) je splnený, potom je v systéme možný samooscilačný režim, ktorého parametre sa vypočítajú pomocou nasledujúceho systému rovníc:

Z výrazov (2.29) možno zistiť závislosť amplitúdy a frekvencie vlastných kmitov od parametrov systému, napríklad od koeficientu prenosu k lineárnej časti systému. K tomu je potrebné uvažovať koeficient prenosu k ako premennú hodnotu v rovniciach (2.29), t.j. napíšte tieto rovnice v tvare:

Podľa harmonogramov a 0 = f(k), w 0 = f(k) môžete zvoliť koeficient prenosu k, pri ktorom má amplitúda a frekvencia možných vlastných kmitov prijateľné hodnoty alebo úplne chýbajú.

Frekvenčná metóda. V súlade s Nyquistovým kritériom stability dochádza v lineárnom systéme k netlmenému kmitaniu v prípade, keď amplitúdovo-fázová charakteristika systému s otvorenou slučkou prechádza bodom so súradnicami [-1, j0]. Táto podmienka je zároveň podmienkou existencie vlastných oscilácií v harmonicky linearizovanom nelineárnom systéme, t.j.

W n (jw, a) = -1. (2.31)

Pretože lineárne a nelineárne časti systému sú zapojené do série, frekvenčná odozva nelineárneho systému s otvorenou slučkou má tvar

W n (jw, a) = W lch (jw)´W E (jw, a). (2.32)

Potom v prípade statickej charakteristiky nelineárneho prvku nadobudne tvar podmienka (2.31).

W lch (jw) = - . (2,33)

Riešenie rovnice (2.33) týkajúcej sa frekvencie a amplitúdy vlastných kmitov je možné získať graficky ako priesečník hodografu frekvenčnej odozvy lineárnej časti systému W lch (jw) a hodografu inverzného charakteristika nelineárnej časti, braná s opačným znamienkom (obr. 2.11). Ak sa tieto hodografy nepretínajú, potom režim vlastnej oscilácie v skúmanom systéme neexistuje.

Ryža. 2.11. Hodografy lineárnych a nelineárnych častí systému

Pre stabilitu samooscilačného režimu s frekvenciou w 0 a amplitúdou a 0 je potrebné, aby bod na hodografe nelineárnej časti - zodpovedajúci zvýšenej amplitúde a 0 + D a v porovnaní s hodnotou v priesečníku hodografov nebol pokrytý hodograf frekvenčnej odozvy lineárnej časti systému a pokrytý bol bod zodpovedajúci zníženej amplitúde. a 0-D a.

Na obr. 2.11 uvádza príklad umiestnenia hodografov pre prípad, keď v nelineárnom systéme existujú stabilné vlastné oscilácie, pretože a 3 < a 0 < a 4 .

Štúdia o logaritmických frekvenčných charakteristikách.

Pri štúdiu nelineárnych systémov pomocou logaritmických frekvenčných charakteristík sa podmienka (2.31) prepíše samostatne pre modul a argument ekvivalentného komplexného koeficientu prenosu nelineárneho systému s otvorenou slučkou.

mod W lch (jw)W e (jw, a) = 1;

arg W lch (jw)W e (jw, a) = - (2k+1)p, kde k=0, 1, 2, ...

nasleduje prechod na logaritmickú amplitúdovú a fázovú charakteristiku

L lch (š) + L e (š, a) = 0; (2.34)

y lch (š) + y e (š, a) = - (2k+1)p, kde k=0, 1, 2, ... (2,35)

Podmienky (2.34) a (2.35) nám umožňujú určiť amplitúdu a 0 a frekvenciu w 0 periodického riešenia rovnice (2.25) podľa logaritmických charakteristík lineárnej časti sústavy L lch (w), y lch (w) a nelineárneho prvku L e (w, a), y e (š, a).

Vlastné oscilácie s frekvenciou w 0 a amplitúdou a 0 bude existovať v nelineárnom systéme, ak je periodické riešenie rovnice (2.25) stabilné. Približnou metódou na štúdium stability periodického riešenia je štúdium správania sa systému pri frekvencii w = w 0 a hodnotách amplitúdy a =a 0+D a A a =a 0 - D a, kde D a> 0 - malý prírastok amplitúdy. Pri štúdiu stability periodického riešenia pre a 0+D a A a 0 - D a Pre logaritmické charakteristiky sa používa Nyquistovo kritérium stability.

V nelineárnych systémoch s jednoznačnými statickými charakteristikami nelineárneho prvku je koeficient harmonickej linearizácie q¢( a) sa rovná nule, a preto fázový posun y e ( a) prispel prvok. V tomto prípade ide o periodické riešenie rovnice sústavy

x = 0 (2,36)

existuje, ak sú splnené tieto podmienky:

L lch (š) = - L e ( a); (2.37)

y lch (w) = - (2k+1)p, kde k=0, 1, 2, ... (2,38)

Rovnica (2.38) nám umožňuje určiť frekvenciu w = w 0 periodického riešenia a rovnica (2.37) - jej amplitúdu a =a 0 .

S relatívne jednoduchou lineárnou časťou je možné analyticky získať riešenia týchto rovníc. Vo väčšine prípadov je však vhodné ich riešiť graficky (obr. 2.12).

Pri štúdiu stability periodického riešenia rovnice (2.36), t.j. pri zisťovaní existencie vlastných kmitov v nelineárnom systéme s jednoznačnou nelineárnou statickou charakteristikou využívajú Nyquistovo kritérium: periodické riešenie s frekvenciou w = w 0 a amplitúdou a =a 0 je stabilná, ak so zmenou frekvencie od nuly do nekonečna a pozitívnym zvýšením amplitúdy D a> 0 rozdiel medzi počtom kladných (zhora nadol) a záporných (zdola nahor) prechodov fázovej charakteristiky lineárnej časti sústavy y lch (w) cez priamku -p sa rovná nule v frekvenčný rozsah, kde L lch (w)³-L e (w 0 , a 0 + D a), a nerovná sa nule vo frekvenčnom rozsahu, kde L lch (w)³-L e (w 0, a 0-D a).

Na obr. Obrázok 2.12 ukazuje príklad určenia periodických riešení v nelineárnom systéme s obmedzením. V takomto systéme existujú tri periodické riešenia s frekvenciami w 01, w 02 a w 03, určenými v priesečníkoch fázovej charakteristiky y lch (w) s čiarou -180 0. Periodické amplitúdy roztoku a 01 , a 02 a a 03 sú určené z podmienky (2.37) z logaritmických amplitúdových charakteristík nelineárneho prvku -L e (w 01, a), -L e (w 02, a) a -L e (w 03, a).

Ryža. 2.12. Logaritmické amplitúdové a fázové charakteristiky

Z troch riešení definovaných na obr. 2.12, dva sú stabilné. Riešenie s frekvenciou w = w 01 a amplitúdou a =a 01 je stabilný, pretože vo frekvenčnom rozsahu 1, kde L lch (w)³-L e (w 01, a 01 + D a), fázová charakteristika y lch (w) neprekračuje čiaru -180 0, ale vo frekvenčnom rozsahu 2, kde L lch (w)³-L e (w 01, a 01-D a), fázová charakteristika y lch (w) raz prekročí čiaru -180 0. Riešenie s frekvenciou w = w 02 a amplitúdou a =a 02 je nestabilný, pretože vo frekvenčnom rozsahu, kde L hp (w)³-L e (w 02, a 02 + D a), fázová charakteristika y lch (w) raz prekročí čiaru -180 0. Vysokofrekvenčné periodické riešenie s frekvenciou w = w 03 a amplitúdou a =a 03 je stabilný, pretože vo frekvenčnom rozsahu, kde L hp (w)³-L e (w 03, a 03 + D a), existuje jeden kladný a jeden záporný prechod fázovej charakteristiky y lch (w) cez čiaru -180 0 a vo frekvenčnom rozsahu, kde L lch (w)³-L e (w 03, a 03-D a), existujú dva kladné a jeden záporný prechod fázovej charakteristiky y lch (w) cez čiaru -180 0.

V uvažovanom systéme s malými poruchami sa vytvoria vysokofrekvenčné vlastné oscilácie s frekvenciou w 03 a amplitúdou a 03, a pre veľké poruchy - nízkofrekvenčné vlastné oscilácie s frekvenciou w 01 a amplitúdou a 01 .

Príklad. Preskúmajte samooscilačné režimy v nelineárnom systéme, ktorého lineárna časť má nasledujúcu prenosovú funkciu

kde k = 200 s-1; Ti = 1,5 s; T2 = 0,015 s,

a ako nelineárny prvok je použité relé s mŕtvou zónou (obr. 2.4,b) pri c=10 V, b=2 V.

Riešenie Pomocou tabuľky pre relé s mŕtvou zónou nájdeme koeficienty harmonickej linearizácie:

O a³ b, q¢( a) = 0.

Pri konštrukcii charakteristiky nelineárneho prvku je vhodné použiť hodnotu amplitúdy vplyvu vstupnej harmonickej vzhľadom na mŕtvu zónu m = a/b. Prepíšme výraz pre koeficient harmonickej linearizácie do tvaru

kde je koeficient prenosu relé;

Relatívna amplitúda.

Reléový prenosový koeficient kn priradíme lineárnej časti systému a získame normalizované harmonické linearizačné koeficienty

a normalizovanú logaritmickú amplitúdovú charakteristiku reléového prvku s opačným znamienkom

Ak m®1, potom -Le(m)®¥; a pre m >> 1 - L e (m) = 20 log m. Asymptoty normalizovanej logaritmickej amplitúdovej charakteristiky s opačným znamienkom sú teda vertikálna priamka a priamka so sklonom +20 dB/dec, ktoré prechádzajú bodom so súradnicami L = 0, m = 1 (obr. 2.13).

Ryža. 2.13. Definícia periodického riešenia v reléovom systéme

s mŕtvou zónou

a 0 = b´m 1 = = 58 V.

Vyriešiť otázku existencie vlastných oscilácií v súlade s normalizovanou logaritmickou amplitúdovou charakteristikou s opačným znamienkom nelineárneho prvku a prenosovou funkciou lineárnej časti systému

na obr. 2.13 sú zostrojené logaritmické charakteristiky Llch (w), -L e (m) a y lch (w).

Frekvencia periodického riešenia w 0 = 4,3 s -1 je určená v priesečníku fázovej charakteristiky y lch (w) a čiary -180 0. Amplitúdy periodických roztokov m 1 = 29 a m 2 = 1,08 zistíme z charakteristík L lch (w) a -L e (m). Periodické riešenie s malou amplitúdou m 2 je nestabilné a periodické riešenie s veľkou amplitúdou m 1 je stabilné.

V skúmanom reléovom systéme teda existuje samooscilačný režim s frekvenciou w 0 = 4,3 s -1 a amplitúdou a 0 = b´m 1 = = 58 V.

V tejto kapitole bude načrtnutá metóda harmonickej linearizácie na približné určenie periodických riešení (vlastných kmitov) a stability nelineárnych systémov ľubovoľného rádu, ktorá sa myšlienkovo ​​približuje metóde ekvivalentnej linearizácie alebo metóde harmonickej rovnováhy N. M. Krylova a N. N. Bogolyubov, a podľa výsledkov - aj na metódu malých parametrov B. V. Bulgakova.

Uvažovaná aproximačná metóda je silným nástrojom na štúdium nelineárnych automatických systémov v zmysle jednoduchosti a pomerne vysokej všestrannosti jej aparátu pri aplikácii na širokú škálu nelinearit. Treba však mať na pamäti, že problém rieši približne. Jeho použiteľnosť má určité obmedzenia, o ktorých sa bude diskutovať nižšie. Tieto obmedzenia sú zvyčajne dobre pozorované v problémoch teórie automatického riadenia. Praktické výpočty a experiment ukazujú prijateľnosť tejto metódy pre mnohé typy nelineárnych systémov.

Nech je uvedené nejaké nelineárne vyjadrenie tvaru

Rozšírením funkcie na pravej strane výrazu (18.1) do Fourierovho radu dostaneme

čo znamená absenciu konštantnej zložky v tejto expanzii. V tejto kapitole sa bude v celom rozsahu predpokladať, že podmienka neprítomnosti konštantnej zložky (18.5) je splnená. Následne (kap. 19) bude uvedená metóda na štúdium samokmitov v prítomnosti konštantnej zložky, teda v prípade nesplnenia podmienky (18.5).

Ak vezmeme do úvahy, že z (18.2) a (18.3)

potom vzorec (18.4) pod podmienkou (18.5) môže byť napísaný vo forme

kde q sú koeficienty harmonickej linearizácie určené podľa vzorcov:

Takže nelineárny výraz (18.1) at je nahradený výrazom (18.6), ktorý je podobný lineárnemu až po vyššie harmonické. Táto operácia sa nazýva harmonická linearizácia. Koeficienty sú konštantné pri konštantných hodnotách, t.j. v prípade periodického procesu. Pri prechodnom oscilačnom procese so zmenou a a co sa menia koeficienty q a (pozri kapitolu 20). Pre rôzne amplitúdy a frekvencie periodických procesov budú koeficienty expresie (18.6) rôznej veľkosti. Táto okolnosť, ktorá je veľmi dôležitá pre ďalšiu diskusiu, je podstatným rozdielom medzi harmonickou linearizáciou v porovnaní s bežnou metódou linearizácie (§ 3.1), čo vedie k čisto lineárnym výrazom, ktoré boli použité v predchádzajúcich častiach knihy. Táto okolnosť umožní použitím lineárnych výskumných metód na vyjadrenie (18.6) analyzovať základné vlastnosti nelineárnych systémov, ktoré nie je možné detegovať konvenčnou linearizáciou.

Pre jednoduchšiu nelinearitu uvádzame aj vzorce harmonickej linearizácie:

Tu sú dve možnosti: 1) krivka má hysteréznu slučku (napríklad obr. 16.18, c, obr. 16.22, d, e) a 2) krivka nemá hysteréznu slučku (obr. 16.8, b 16.22, a atď.).

V prítomnosti hysteréznej slučky, keď je skutočne pozorovaná závislosť od znamienka derivácie, je nelineárna funkcia po harmonickej linearizácii nahradená nasledujúcim výrazom (s

za predpokladu, že neexistuje konštantná zložka:

Ak krivka nemá hysteréznu slučku, potom bude

(pri hysteréznej slučke tento integrál nebol nulový kvôli rozdielu v obryse krivky pri zvyšovaní a znižovaní

V dôsledku toho pri absencii hysteréznej slučky je nelineárny výraz (18.8) nahradený jednoduchším:

teda krivočiara alebo zlomená charakteristika, presná na vyššie harmonické, je nahradená priamočiarou, ktorej strmosť q závisí od veľkosti amplitúdy kmitania a. Inými slovami, nelineárne spojenie je prirovnané k „lineárnemu“ s prevodovým pomerom (zosilnením), ktorý závisí od amplitúdy a oscilácií vstupnej veličiny x.

Podľa (18.9) hysterézna slučka navyše zavádza deriváciu, ktorá dáva fázové oneskorenie, pretože Nelineárne súradnicové oneskorenie vo forme hysteréznej slučky sa tak počas harmonickej linearizácie zmení na ekvivalentné lineárne fázové oneskorenie.

Je možné vytvoriť špeciálnu nelineárnu väzbu s predchádzajúcou slučkou, ktorá bude pri zavedení derivácie ekvivalentná lineárnemu fázovému predstihu, avšak s tým rozdielom, že veľkosť fázového predstihu bude závisieť od veľkosti amplitúdy kmitania, ktorá nie je prípad lineárnych systémov.

V prípadoch, keď je nelineárny odkaz opísaný komplexnou rovnicou, ktorá zahŕňa súčet rôznych lineárnych a nelineárnych výrazov, každý z nelineárnych výrazov sa podrobuje harmonickej linearizácii samostatne. Súčin nelinearit je nutne považovaný ako celok za jednu komplexnú nelinearitu. V tomto prípade sa môžu vyskytnúť nelineárne funkcie inej povahy.

Napríklad pri harmonickej linearizácii druhej z rovníc (16.3) sa budete musieť zaoberať funkciou pri . V tomto prípade dostaneme

vzhľadom na to

Ak je funkcia alebo funkcia jedinou nelineárnou funkciou v rovnici nelineárnej väzby, potom s harmonickou

linearizáciu môžeme dať a

podobne ako v predchádzajúcich vzorcoch (18.6) a (18.7). Ale v tomto prípade bude hodnotou a vo všetkých výpočtoch amplitúda fluktuácií rýchlosti a nie samotná x súradnica. Ten potom bude mať amplitúdu

Pri výpočte koeficientov harmonickej linearizácie pomocou vzorcov (18.10) treba mať na pamäti, že pre symetrické nelineárne charakteristiky možno integrál získať zdvojnásobením integrálu, t.j.

a pre charakteristiky bez hysterézie symetrické vzhľadom na počiatok súradníc pri výpočte sa dá písať

Uvedieme výrazy pre koeficienty niektorých najjednoduchších nelineárnych väzieb. Môžu byť potom priamo použité na riešenie rôznych špecifických problémov.

Koeficienty harmonickej linearizácie reléových spojov. Nájdite koeficienty a rovnice najtypickejších reléových spojov pomocou vzorcov (18.10). Zoberme si všeobecný pohľad na charakteristiky reléového spojenia znázornené v grafe na obr. 18.1, a, kde v intervale je ľubovoľné zlomkové číslo

Ako špeciálne prípady sa získajú rovnice iných typov prenosových spojov.

Ak majú kmity vstupnej veličiny amplitúdu, potom podľa obr. 18.1, ale v systéme nedôjde k žiadnemu pohybu. Ak je amplitúda potom relé prepne v bodoch A, B, C, D (obr. 18.1, b), v ktorých máme

Následne po použití vlastností je každý z integrálov (18.10) rozdelený na tri pojmy:

a prvý a tretí z nich podľa obr. 18.1 a a budú nuly. Preto výrazy (18.10) nadobúdajú tvar

a rovnica reléového spojenia s charakteristikou ako na obr. 18.1, ale bude mať tvar (18.9) s hodnotami a získanými tu.

Uvažujme o špeciálnych prípadoch.

Pre reléový spoj s charakteristikou bez hysteréznej slučky, ale s mŕtvou zónou (obr. 18.1, a), za predpokladu, že z vyššie uvedených vzorcov dostaneme

Pre reléovú charakteristiku s hysteréznou slučkou ako na obr. za predpokladu, že máme

Nakoniec, pre ideálne reléové spojenie (obr. 18.1, e), za predpokladu, že nájdeme

V poslednom príklade je ľahké vidieť význam harmonickej linearizácie reléovej charakteristiky. Písomný výraz pre q znamená nahradenie prerušovanej čiary priamkou (obr. 18.1, e) s takým sklonom, aby táto priamka približne nahradila úsek prerušovanej čiary, ktorý je pokrytý danou amplitúdou a. Odtiaľ je nepriamo úmerná závislosť od a, daná vzorcom (18.18), celkom pochopiteľná, pretože čím väčšia je amplitúda a oscilácií vstupnej hodnoty, tým plochejšia by mala byť priamka, ktorá približne nahrádza prerušovanú čiaru.

Podobná situácia je s reléovou charakteristikou na obr. 18.1, d, pre ktoré je sklon priamky, ktorá ju nahrádza, daný vzorcom (18.16). V dôsledku toho je každé reléové spojenie bez hysterézie v oscilačnom procese ekvivalentné takémuto „lineárnemu“ spojeniu, ktorého prevodový pomer (zisk) klesá so zvyšujúcou sa amplitúdou oscilácií vstupnej veličiny, počnúc od

Pokiaľ ide o reléové spojenie s hysteréznou slučkou, podľa (18.9) a (18.17) je nahradené lineárnym spojením so ziskom podobným predchádzajúcemu, ale navyše so zavedením negatívnej derivácie na pravá strana rovnice. Zavedenie negatívnej derivácie na rozdiel od pozitívnej (pozri § 10.2) zavádza fázové oneskorenie v odozve väzby na vstupnú akciu. Toto slúži ako "lineárny ekvivalent" nahrádzajúci účinok nelinearity vo forme hysteréznej slučky. V čom

koeficient derivácie podľa (18.17) tiež klesá so zvyšujúcou sa amplitúdou a kmitov vstupnej hodnoty, čo je pochopiteľné, keďže vplyv vplyvu hysteréznej slučky na priebeh kmitov v reléovom spoji by mal byť menší, tým väčšia je amplitúda kmitov v porovnaní so šírkou hysteréznej slučky.

Koeficienty harmonickej linearizácie iných najjednoduchších nelineárnych väzieb. Uvažujme nelineárne prepojenie s mŕtvou zónou a saturáciou (obr. 18.2, a). Podľa obr. 18.2, b, kde

integrál (18.10) v sekcii je rozdelený na päť členov a dva z nich sa rovnajú nule. Preto

kam sa s náhradou dostaneme

kde sú určené vzorcami (18.19). Kvôli absencii hysteréznej slučky tu

Takže rovnica nelineárneho spojenia s charakteristikou ako na obr. 18.2, a kde bude určené výrazom (18.20).

Ako špeciálny prípad to udáva hodnotu pre spojenie s mŕtvou zónou bez nasýtenia (obr. 18.2, c). Aby sme to dosiahli, v predchádzajúcom riešení musíme dať a teda Potom

Ako vidíme, spojenie s mŕtvou zónou je tu prirovnané k lineárnemu prepojeniu so zníženým ziskom. Tento pokles zisku je významný pri malých amplitúdach a malý pri veľkých a pri

Účel metódy harmonickej linearizácie.

Myšlienka metódy harmonickej linearizácie bola navrhnutá v roku 1934. N. M. Krylov a N. N. Bogolyubov. Vo vzťahu k automatickým riadiacim systémom túto metódu vyvinuli L. S. Goldfarb a E. P. Popov. Ďalšie názvy pre túto metódu a jej modifikácie sú metóda harmonickej rovnováhy, metóda popisu funkcií a metóda ekvivalentnej linearizácie.

Metóda harmonickej linearizácie je metóda na štúdium vlastných oscilácií. Umožňuje určiť podmienky existencie a parametre možných vlastných oscilácií v nelineárnych systémoch.

Znalosť parametrov vlastných oscilácií nám umožňuje podať obraz o možných procesoch v systéme a najmä určiť podmienky stability. Predpokladajme napríklad, že v dôsledku štúdia vlastných oscilácií v nejakom nelineárnom systéme sme získali závislosť amplitúdy týchto vlastných oscilácií A z koeficientu prenosu k lineárna časť systému znázornená na obr. 12.1 a vieme, že vlastné oscilácie sú stabilné.

Z grafu vyplýva, že pri veľkej hodnote koeficientu prenosu k, Kedy k > k kr, v systéme sú samooscilácie. Ich amplitúda klesá na nulu, keď sa koeficient prenosu znižuje k predtým k cr. Na obr. 12.1 šípky bežne znázorňujú povahu prechodných procesov pri rôznych hodnotách k: o k > k kr prechodný proces spôsobený počiatočnou odchýlkou ​​sa zmršťuje na samoosciláciu. Z obrázku je zrejmé, že kedy k< k cr, systém sa ukáže ako stabilný. teda k kr je kritická hodnota koeficientu prenosu podľa podmienok stability. Jeho prekročenie vedie k tomu, že počiatočný režim systému sa stáva nestabilným a vznikajú v ňom samooscilácie. Znalosť podmienok existencie vlastných oscilácií v systéme nám následne umožňuje určiť podmienky stability.

Myšlienka harmonickej linearizácie.

Uvažujme nelineárny systém, ktorého schéma je na obr. 12.2, a . Systém pozostáva z lineárnej časti s prenosovou funkciou W l ( s) a nelineárny odkaz NL so špecifickou charakteristikou . Prepojenie s koeficientom -1 ukazuje, že spätná väzba v systéme je negatívna. Veríme, že v systéme existujú vlastné oscilácie, ktorých amplitúdu a frekvenciu chceme nájsť. V uvažovanom režime vstupná veličina X nelineárne prepojenie a výstup Y sú periodické funkcie času.

Metóda harmonickej linearizácie je založená na predpoklade, že kmity na vstupe nelineárneho spoja sú sínusové, t.j. e. že

, (12.1)

KdeA– amplitúda a je frekvencia týchto samokmitov a je možnou konštantnou zložkou vo všeobecnom prípade, keď sú samooscilácie asymetrické.

V skutočnosti sú vlastné oscilácie v nelineárnych systémoch vždy nesínusové v dôsledku skreslenia ich tvaru nelineárnym prvkom. Preto uvedený počiatočný predpoklad znamená, že metóda harmonickej linearizácie je zásadne blízko a rozsah jeho aplikácie je obmedzený na prípady, keď sú vlastné oscilácie na vstupe nelineárneho spojenia dosť blízke sínusoide. Aby sa tak stalo, lineárna časť systému nesmie prepustiť vyššie harmonické vlastné oscilácie, t.j. dolnopriepustný filter. Posledne uvedené je znázornené na obr. 12,2, b . Ak je napríklad frekvencia vlastných oscilácií rovná , potom lineárna časť znázornená na obr. 12.2, b Frekvenčná charakteristika bude pre tieto kmity hrať úlohu dolnopriepustného filtra, keďže druhá harmonická, ktorej frekvencia sa rovná 2, prakticky neprejde na vstup nelineárneho spoja. Preto je v tomto prípade použiteľná metóda harmonickej linearizácie.

Ak je frekvencia vlastných kmitov rovná , lineárna časť bude voľne prechádzať cez druhú, tretiu a ďalšie harmonické kmity. V tomto prípade sa nedá povedať, že kmity na vstupe nelineárneho spojenia budú celkom blízke sínusoide, t.j. nie je splnený predpoklad potrebný na aplikáciu metódy harmonickej linearizácie.

Aby bolo možné určiť, či lineárna časť systému je dolnopriepustný filter, a tým určiť použiteľnosť metódy harmonickej linearizácie, je potrebné poznať frekvenciu vlastných oscilácií. Dá sa to však zistiť iba pomocou tejto metódy. teda Použiteľnosť metódy harmonickej linearizácie sa musí určiť na konci štúdie ako test.

Uvedomme si, že ak sa v dôsledku tohto testu nepotvrdí hypotéza, že lineárna časť systému hrá úlohu dolnopriepustného filtra, neznamená to, že získané výsledky sú nesprávne, aj keď samozrejme , spochybňuje ich a vyžaduje si dodatočné overenie nejakým spôsobom.iný spôsob.

Takže za predpokladu, že lineárna časť systému je dolnopriepustný filter, predpokladáme, že vlastné oscilácie na vstupe nelineárneho spojenia sú sínusové, to znamená, že majú tvar (12.1). Oscilácie na výstupe tohto spoja už nebudú sínusové v dôsledku ich skreslenia nelinearitou. Ako príklad na obr. 12.3 je na výstupe nelineárneho spoja vykreslená krivka pre určitú amplitúdu vstupného čisto sínusového signálu podľa tam uvedenej charakteristiky spoja.

Obr. 12.3. Priechod harmonického kmitania cez nelineárne spojenie.

Keďže sa však domnievame, že lineárna časť systému prechádza iba základnou harmonickou vlastných oscilácií, má zmysel zaujímať sa iba o túto harmonickú na výstupe nelineárneho spojenia. Preto rozšírime výstupné oscilácie do Fourierovho radu a zahodíme vyššie harmonické. V dôsledku toho dostaneme:

;

; (12.3)

;

.

Prepíšme výraz (12.2) do tvaru vhodnejšieho na následné použitie, pričom doň nahradíme nasledujúce výrazy za a získané z (12.1):

Nahradením týchto výrazov do (12.2) dostaneme:

(12.4)

. (12.5)

Tu sú uvedené nasledujúce zápisy:

. (12.6)

Diferenciálna rovnica (12.5) platí pre sínusový vstupný signál (12.1) a určuje výstupný signál nelineárneho spojenia bez zohľadnenia vyšších harmonických.

Koeficienty v súlade s výrazmi (12.3) pre Fourierove koeficienty sú funkciami konštantnej zložky, amplitúdy A a frekvenciu vlastných oscilácií na vstupe nelineárneho spojenia. Pri pevnom A a rovnica (12.5) je lineárna. Ak teda zahodíme vyššie harmonické, potom pre pevný harmonický signál môže byť pôvodný nelineárny spoj nahradený ekvivalentným lineárnym, popísaným rovnicou (12.5). Táto náhrada je tzv harmonická linearizácia .

Na obr. Obrázok 12.4 zvyčajne zobrazuje schému tohto spojenia, pozostávajúceho z dvoch paralelných spojení.

Ryža. 12.4. Ekvivalentný lineárny prvok získaný ako výsledok harmonickej linearizácie.

Jeden odkaz () prechádza konštantnou zložkou a druhý - iba sínusovou zložkou vlastných oscilácií.

Koeficienty sa nazývajú koeficienty harmonickej linearizácie alebo harmonické prenosové koeficienty: - koeficient prenosu konštantnej zložky a - dva koeficienty prenosu sínusovej zložky vlastných kmitov. Tieto koeficienty sú určené nelinearitou a hodnotami a podľa vzorcov (12.3). Existujú hotové výrazy definované pomocou týchto vzorcov pre množstvo typických nelineárnych odkazov. Pre tieto a vo všeobecnosti pre všetky nelineárne spojenia bez zotrvačnosti veličiny nezávisia od amplitúdy a sú iba funkciami A A .

Ilustrujme výpočet koeficientov harmonickej linearizácie na niekoľkých príkladoch: najprv pre symetrické vibrácie a potom pre asymetrické vibrácie. Najprv si všimnime, že ak je nepárna symetrická nelinearita F(x) jednohodnotová, potom podľa (4.11) a (4.10) dostaneme

a pri výpočte q(4.11) sa môžeme obmedziť na integráciu počas štvrťročného obdobia, čím sa výsledok zoštvornásobí, a to

Pre nelinearitu slučky F(x) (nepárne-symetrické) bude platiť úplný výraz (4.10)

a môžete použiť vzorce

t.j. zdvojnásobenie výsledku integrácie počas polovice cyklu.

Príklad 1. Poďme študovať kubickú nelinearitu (obr. 4.4, i):

Závislosť q(a) znázornené na obr. 4,4, b. Z obr. 4,4, A je jasné, že pre danú amplitúdu som rovný q(a)x spriemeruje krivočiaru závislosť F(x) na danej

zápletka -a£ X£ . A. Prirodzene, je to v pohode q(a) sklon tejto priemernej priamky q(a)x zvyšuje s amplitúdou A(pre kubickú charakteristiku toto zvýšenie nastáva podľa kvadratického zákona).

Príklad 2. Pozrime sa na charakteristiku slučkového relé (obr. 4.5, a). Na obr. 4.5,6 je uvedená integrandová funkcia F(a sin y) pre vzorce (4.21). Spínanie relé prebieha pri ½ X½ = b , Preto je v momente prepínania hodnota y1 určená výrazom sin y1= b /A. Pomocou vzorcov (4.21) dostaneme (pre a³b)

Na obr. 4.5, b znázorňuje grafy q(a) a q"(a). Prvý z nich ukazuje zmenu sklonu priemernej priamky q( A)x s zmeniť A(pozri obr. 4.5, a). Prirodzene, q( a)à0 pri аа¥ at, pretože výstupný signál zostáva konštantný (F( X)=c)pre akékoľvek neobmedzené zvýšenie vstupného signálu X. Z fyzikálnych úvah je tiež jasné prečo q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолют­ное значение q" klesá so zvyšujúcou sa amplitúdou a, pretože je jasné, že slučka bude zaberať menšiu časť „pracovného úseku“ charakteristiky F( X), tým väčšia je amplitúda kmitov premennej X.

Amplitúdovo-fázová charakteristika takejto nelinearity (obr. 4.5, a), podľa (4.13). prezentované vo formulári

Navyše amplitúda a fáza prvej harmonickej na výstupe nelinearity majú tvar, resp

Kde q A q" definované vyššie (obr. 4.5, b). V dôsledku toho harmonická linearizácia transformuje nelineárne súradnicové oneskorenie (hysteréznu slučku) na ekvivalentné fázové oneskorenie, charakteristické pre lineárne systémy, ale s podstatným rozdielom - závislosť fázového posunu od amplitúdy vstupných oscilácií, ktorá sa v lineárnych systémoch nevyskytuje. .

Príklad 3. Študujeme jednoznačné charakteristiky relé (obr. 4.6, a, V). Podobne ako v predchádzajúcom získame, resp

čo je znázornené na obr. 4,6, b, a.

Príklad 4. Študujeme charakteristiku s mŕtvou zónou, lineárnym rezom a saturáciou (obr. 4.7, a). Tu q"= 0 a koeficient q(a) má dva varianty hodnôt podľa obr. 4.7, b, kde je pre nich skonštruované F (a sin y):

1) pre b1 £ a £ b2, podľa (4.19), máme

že s prihliadnutím na pomer a hriech y1 = b 1 dáva

2) pre ³ b2

čo pri zohľadnení vzťahu a sin y2 = b2 dáva

Výsledok je graficky znázornený na obr. 4.7, a.

Príklad 5. Ako špeciálne prípady, zodpovedajúce koeficienty q(a) pre dve charakteristiky (obr. 4.8, a, b) sú rovnaké

ktorý je graficky znázornený na obr. 4,8, b, d. Navyše pre charakteristiku so saturáciou (obr. 4.8, a) máme q = k za 0 £ a£ b.

Ukážme si teraz príklady výpočtu koeficientov harmonickej linearizácie pre asymetrické vibrácie s rovnakými nelinearitami.

Príklad 6. Pre prípad kubickej nelinearity F( X) =kx 3 podľa vzorca (4.16) máme

a podľa vzorcov (4.17)

Príklad 7. Pre charakteristiku slučkového relé (obr. 4.5, A) pomocou rovnakých vzorcov, aké máme my

Príklad 8. Pre charakteristiku s mŕtvou zónou (obr. 4.1:1) budú platiť rovnaké výrazy F° A q. Ich grafy sú uvedené na obr. 4,9, a, b. V čom q"== 0. Pre ideálnu charakteristiku relé (obr. 4.10) získame

čo je znázornené na obr. 4.10, a a b.

Príklad 9. Pre charakteristiku s lineárnym rezom q nasýtenie (obr. 4.11, a) pre a ³ b+½ X 0 ½ máme

Tieto závislosti sú prezentované vo forme grafov na obr. 4.11, b, V.

Príklad 10. Pre asymetrickú charakteristiku

(obr. 4. 12, a) pomocou vzorca (4.l6) nájdeme

a podľa vzorcov (4.17)

Výsledky sú graficky znázornené na obr. 4.12, b A V.

Vyjadrenia a grafy koeficientov harmonickej linearizácie získané v týchto príkladoch budú použité nižšie pri riešení výskumných problémov

vlastné oscilácie, vynútené oscilácie a riadiace procesy.

Na základe filtračnej vlastnosti lineárnej časti sústavy (12. prednáška) hľadáme periodické riešenie nelineárnej sústavy (obr. 4.21) na vstupe nelineárneho prvku približne v tvare

x = a hriech w t (4.50)

s neznámymi ľuďmi A a W. Forma nelinearity je špecifikovaná = F( X) a prenosová funkcia lineárnej časti

Vykoná sa harmonická linearizácia nelinearity

čo vedie k prenosovej funkcii

Amplitúdová-fázová frekvenčná odozva systému s otvoreným obvodom má formu

Periodické riešenie linearizovanej sústavy (4.50) dostaneme, ak v charakteristickej rovnici uzavretej sústavy existuje pár čisto imaginárnych koreňov.

A podľa Nyquistovho kritéria to zodpovedá pasáži W(j w) cez bod -1. Následne je periodické riešenie (4.50) určené rovnosťou

Rovnica (4.51) určuje požadovanú amplitúdu A a frekvencia w periodického riešenia. Táto rovnica sa dá graficky vyriešiť nasledovne. V komplexnej rovine (U, V) je amplitúdová-fázová frekvenčná odozva lineárnej časti Wl( j w) (obr. 4.22), ako aj inverznú amplitúdovo-fázovú charakteristiku nelinearity s opačným znamienkom -1 / Wн( a). Bodka IN ich priesečník (obr. 4.22) a určuje hodnoty A a w a hodnotu A počítané pozdĺž krivky -1 / Wн (a) , a hodnota w je podľa krivky Wл (jw).

Namiesto toho môžeme použiť dve skalárne rovnice, ktoré vyplývajú z (4.51) a (4.52):

ktoré zároveň určujú dve hľadané veličiny A a W.

Je vhodnejšie použiť posledné dve rovnice na logaritmickej škále pomocou logaritmickej

frekvenčné charakteristiky lineárnej časti. Potom namiesto (4.53) a (4.54) budeme mať nasledujúce dve rovnice:

Na obr. 4.23 vľavo sú grafy ľavých strán rovníc (4.55) a (4.56) a vpravo sú pravé strany týchto rovníc. V tomto prípade pozdĺž osi x vľavo je frekvencia w vynesená ako obvykle na logaritmickej stupnici a vpravo je amplitúda A v prirodzenom meradle. Riešením týchto rovníc budú nasledujúce hodnoty A a w, takže obe rovnosti (4.55) a (4.56) sú súčasne dodržané. Toto riešenie je znázornené na obr. 4.23 s tenkými čiarami vo forme obdĺžnika.

Je zrejmé, že toto riešenie nebude možné uhádnuť hneď. Preto sa robia pokusy zobrazené prerušovanými čiarami. Posledné body týchto skúšobných obdĺžnikov M1 a M2 nespadajú na fázovú charakteristiku nelinearity. Ale ak sú umiestnené na oboch stranách charakteristiky, ako na obr. 4.23, potom sa riešenie nájde interpoláciou - nakreslením priamky MM1 .

Hľadanie periodického riešenia je zjednodušené v prípade jednoznačnej nelinearity F( X). Potom q"= 0 a rovnice (4.55) a (4.56) nadobúdajú tvar

Riešenie je znázornené na obr. 4.24.

Ryža . 4.24.

Po určení periodického riešenia je potrebné preskúmať jeho stabilitu. Ako už bolo spomenuté, periodické riešenie nastáva v prípade, keď je amplitúda-fázová charakteristika otvoreného obvodu

prechádza bodom -1. Dajme amplitúde odchýlku D A. Systém sa vráti k pravidelnému riešeniu, ak je na D A> 0 kmitov zanikne a pri D A < 0 - расходятся. Следовательно, при DA> 0 charakteristika W(jw, A) sa musí zdeformovať (obr. 4.25) tak, aby pri D A> 0 bolo splnené Nyquistovo kritérium stability a pre D A < 0 - нарушался.

Vyžaduje sa teda, aby pri danej frekvencii bolo w

Z toho vyplýva, že na obr. 4,22 odčítanie kladnej amplitúdy A pozdĺž krivky -1/Wн ( A) musí smerovať zvnútra von cez krivku Wл (jw) , ako ukazuje šípka. V opačnom prípade je periodické riešenie nestabilné.

Pozrime sa na príklady.

Nechajte zosilňovač v sledovacom systéme (obr. 4.13, a). reléová charakteristika(Obr. 4.17, A). Pa obr. 4,17, b graf koeficientu harmonickej linearizácie q( A), a q'( A) = 0. Na určenie periodického riešenia pomocou frekvenčnej metódy podľa obr. 4.22, musíme výraz preskúmať

Zo vzorca (4.24) získame túto nelinearitu

Graf tejto funkcie je znázornený na obr. 4.26.

Prenosová funkcia lineárnej časti má tvar

Jeho amplitúdovo-fázová charakteristika je znázornená na obr. 4.27. Funkcia -1 / Wн ( A), ktorý je v tomto prípade skutočný (obr. 4.26), úplne zapadá do zápornej časti reálnej osi (obr. 4.27). V tomto prípade v oblasti zmeny amplitúdy b £ a£ b amplitúda sa meria zľava zvonku do krivky Wл(jw) a v reze A>b - obrátené. Preto prvý priesečník ( A 1) dáva nestabilné periodické riešenie a druhé ( A 2) - stabilné (samooscilácie). To je v súlade s predchádzajúcim riešením (príklad 2 prednáška 15, 16).

Pozrime sa aj na prípad charakteristiky slučkového relé(obr. 4.28, a) v rovnakom sledovacom systéme (obr. 4.13, a). Amplitúdová-fázová frekvenčná odozva lineárnej časti je rovnaká (obr. 4.28, b). Výraz pre krivku –1/Wн( A), podľa (4.52) a (4.23), má formu

Ide o priamku rovnobežnú s osou x (obr. 4.28, b), s amplitúdovým čítaním A sprava doľava. Priesečník poskytne stabilné periodické riešenie (vlastné oscilácie). Získať grafy amplitúdy a frekvencie

od k l , prezentované na obr. 4.20, potrebné na obr. 4.28 zostrojte sériu kriviek Wл(jw) pre každú hodnotu k l a nájdite v ich priesečníkoch s priamkou –1/Wн( A) zodpovedajúce hodnoty A a W.

Ako už bolo uvedené, v nelineárnych a najmä reléových ASR, stabilné periodické oscilácie konštantná amplitúda a frekvencia, tzv samooscilácie. Okrem toho môžu samooscilácie pretrvávať aj pri významných zmenách parametrov systému. Prax ukázala, že v mnohých prípadoch sú kmity regulovanej veličiny (obr. 3) blízke harmonickej.

Blízkosť vlastných oscilácií k harmonickým nám umožňuje použiť metódu harmonickej linearizácie na určenie ich parametrov - amplitúdy A a frekvencie w 0. Metóda je založená na predpoklade, že lineárna časť systému je dolnopriepustný filter (filtračná hypotéza). Stanovme podmienky, za ktorých môžu byť vlastné oscilácie v systéme blízke harmonickým. Obmedzme sa na systémy, ktoré ako na obr. 3 možno zredukovať na sériové spojenie nelineárneho prvku a lineárnej časti. Predpokladajme, že referenčný signál je konštantná hodnota, pre jednoduchosť ju budeme brať ako nulu. A chybový signál (obrázok 3) je harmonický:

Výstupný signál nelineárneho prvku, ako každý periodický signál - na obrázku 3 sú to pravouhlé oscilácie - môže byť reprezentovaný ako súčet harmonických z Fourierovho radu.

Predpokladajme, že lineárna časť systému je dolnopriepustný filter (obr. 4) a prepúšťa len prvú harmonickú s frekvenciou w 0. Druhé s frekvenciou 2w 0 a vyššie harmonické sú filtrované lineárnou časťou. V tomto prípade na lineárny výstup časti budú existovať prakticky len prvá harmonická a vplyv vyšších harmonických možno zanedbať

Ak je teda lineárnou časťou systému dolnopriepustný filter a frekvencia vlastných oscilácií w 0 spĺňa podmienky

, (4)

Predpoklad, že lineárna časť systému je dolnopriepustný filter, sa nazýva filtrovať hypotézu . Filtračná hypotéza je vždy splnená, ak rozdiel v stupňoch polynómov menovateľa a čitateľa prenosovej funkcie lineárnej časti

aspoň dve

Podmienka (6) je splnená pre mnoho reálnych systémov. Príkladom je aperiodický spoj druhého rádu a skutočná integrácia

Pri štúdiu vlastných kmitov blízkych harmonickej sa berie do úvahy iba prvá harmonická z periodických kmitov na výstupe nelineárneho prvku, pretože vyššie harmonické sú stále prakticky odfiltrované lineárnou časťou. V režime vlastnej oscilácie sa vykonáva harmonická linearizácia nelineárny prvok. Nelineárny prvok je nahradený ekvivalentným lineárnym prvkom s komplexný zisk (popis funkcie) v závislosti od amplitúdy vstupného harmonického signálu:

kde a sú skutočné a imaginárne časti,

- argument,

– modul.

Vo všeobecnom prípade to závisí od amplitúdy a frekvencie vlastných oscilácií a konštantnej zložky. Fyzikálne komplexný zisk nelineárneho prvku, častejšie tzv koeficient harmonickej linearizácie , Existuje komplexné zosilnenie nelineárneho prvku na prvej harmonickej. Modul koeficientu harmonickej linearizácie

sa číselne rovná pomeru amplitúdy prvej harmonickej na výstupe nelineárneho prvku k amplitúde vstupného harmonického signálu.

Argumentovať

charakterizuje fázový posun medzi prvou harmonickou výstupných kmitov a vstupným harmonickým signálom. Pre jednoznačné nelinearity, ako napríklad na obr. 2,a a 2,b, skutočný výraz a

Pre nejednoznačné nelinearity Obr. 2,c, 2,d, určené podľa vzorca

kde S je oblasť hysteréznej slučky. Oblasť S sa berie so znamienkom plus, ak je hysterézna slučka premostená v kladnom smere (obr. 2, c) a v opačnom prípade so znamienkom mínus (obr. 2, d).

Vo všeobecnom prípade a sú vypočítané pomocou vzorcov

kde , je nelineárna funkcia (charakteristika nelineárneho prvku).

Berúc do úvahy vyššie uvedené, pri štúdiu vlastných oscilácií blízkych harmonickej je nelineárny ASR (obr. 3) nahradený ekvivalentným s koeficientom harmonickej linearizácie namiesto nelineárneho prvku (obr. 5). Výstupný signál nelineárneho prvku na obr. 5 je označený ako , toto je

Zdôrazňuje, že nelineárny prvok iba generuje

prvá harmonická z kmitov. Vzorce pre harmonické linearizačné koeficienty pre typické nelinearity možno nájsť v literatúre napr. Príloha Tabuľka B ukazuje charakteristiky študovaných reléových prvkov, vzorce a ich hodografy. Vzorce a hodografy pre koeficient inverznej harmonickej linearizácie, definovaný výrazom

kde sú skutočné aj imaginárne časti. Hodografy a sú konštruované v súradniciach , resp.

Napíšme si teraz podmienky existencie samooscilácií. Systém na obr. 5 je ekvivalentný lineárnemu. V lineárnom systéme existujú netlmené oscilácie, ak je na hranici stability. Využime podmienku hranice stability podľa Nyquistovho kritéria: . Na obr. 6,a – dva priesečníky, čo naznačuje prítomnosť dvoch limitných cyklov.