क्रांति के एक निकाय का भूतल क्षेत्र। क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों द्वारा किसी निकाय का आयतन ज्ञात करना। क्रांति का भूतल क्षेत्र

अंतरिक्ष में एक पिंड दिया जाए। अंक x से गुजरने वाली धुरी के लंबवत विमानों द्वारा इसके खंडों का निर्माण किया जाए
इस पर। अनुभाग में गठित आकृति का क्षेत्र बिंदु पर निर्भर करता है एक्सअनुभाग विमान को परिभाषित करना। इस निर्भरता को ज्ञात होने दें और इसे निरंतर जारी रखें समारोह। फिर विमानों के बीच स्थित शरीर के हिस्से का आयतन x \u003d ए तथा x \u003d में सूत्र द्वारा गणना की गई

उदाहरण। चलिए एक बंधे हुए शरीर का आयतन ज्ञात करते हैं, जो त्रिज्या के एक सिलेंडर की सतह के बीच घिरा होता है :, एक क्षैतिज तल और एक झुका हुआ विमान z \u003d 2y और क्षैतिज तल के ऊपर स्थित होता है।

जाहिर है, विचाराधीन निकाय को धुरी पर खंड में पेश किया जाता है
, और एक्स के लिए
शरीर का क्रॉस सेक्शन है सही त्रिकोण पैरों के साथ y और z \u003d 2y, जहां y को सिलेंडर समीकरण से x के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

इसलिए, क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र S (x) है:

सूत्र का उपयोग करते हुए, हम शरीर का आयतन ज्ञात करते हैं:

क्रांति के निकायों की मात्राओं की गणना

खंड पर चलो [ ए, ख] एक निरंतर निरंतर-संकेत फ़ंक्शन y= च(एक्स). एक धुरी के बारे में रोटेशन द्वारा गठित क्रांति के शरीर के वॉल्यूम ओह (या अक्ष OU) कर्व से बंधे एक घुमावदार ट्रेपेज़ियम का) y= च(एक्स) (च(एक्स)0) और सीधे y \u003d 0, x \u003d a, x \u003dख, सूत्रों के अनुसार गणना की जाती है:

, (19)

(20)

यदि किसी अक्ष के चारों ओर घूमने पर शरीर बनता है OU एक वक्र द्वारा बंधे घुमावदार ट्रेपेज़ियम
और प्रत्यक्ष एक्स=0, y= सी, y= घ, तो क्रांति के शरीर का आयतन है

. (21)

उदाहरण। एक धुरी के चारों ओर लाइनों द्वारा बंधी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त ठोस की मात्रा की गणना करें ओह.

सूत्र (19) के अनुसार, आवश्यक मात्रा

उदाहरण। बता दें कि लाइन y \u003d cosx को xOy प्लेन में सेगमेंट में माना जाता है .

इ यह रेखा एक अक्ष के चारों ओर अंतरिक्ष में घूमती है, और क्रांति की परिणामस्वरूप सतह क्रांति के कुछ शरीर को प्रतिबंधित करती है (आंकड़ा देखें)। आइए क्रांति के इस शरीर का आयतन ज्ञात करें।

सूत्र के अनुसार, हमें मिलता है:

क्रांति का भूतल क्षेत्र

,
, ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमता है, फिर रोटेशन की सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
कहाँ पे ए तथा ख - आर्क की शुरुआत और अंत के एब्सिसिस।

यदि एक गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन द्वारा दिए गए वक्र का चाप
,
, ओय अक्ष के चारों ओर घूमता है, फिर रोटेशन की सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

,

जहाँ c और d चाप की शुरुआत और अंत के अनुपस्थिति हैं।

यदि एक वक्र चाप निर्दिष्ट किया गया है पैरामीट्रिक समीकरण
,
, तथा
फिर

यदि चाप निर्दिष्ट किया गया है धुवीय निर्देशांक
फिर

.

उदाहरण। आइए हम लाइन y के एक भाग के अक्ष के चारों ओर अंतरिक्ष में घूर्णन द्वारा निर्मित सतह के क्षेत्रफल की गणना करते हैं लाइन सेगमेंट के ऊपर स्थित है।

चूंकि
, तब सूत्र हमें अभिन्न देता है

हम अंतिम इंटीग्रल में परिवर्तन t \u003d x + (1/2) करते हैं और प्राप्त करते हैं:

दायीं ओर के इंटीग्रल के पहले भाग में, हम बदलाव करते हैं z \u003d t 2 -:

समकोण के दूसरे भाग की गणना करने के लिए, हम इसे निरूपित करते हैं और इसे भागों द्वारा एकीकृत करते हैं, इसके लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर ले जाने और 2 से विभाजित होने पर, हम प्राप्त करते हैं

आखिरकार कहां

यांत्रिकी और भौतिकी में कुछ समस्याओं के समाधान के लिए एक निश्चित अभिन्न के अनुप्रयोग

चर बल काम। अक्ष के साथ एक भौतिक बिंदु की गति पर विचार करें OXपरिवर्तनशील बल चबिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है एक्स अक्ष पर, अर्थात्। एक समारोह के रूप में बल एक्स... फिर काम करो एएक स्थिति से एक भौतिक बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक है एक्स = ए स्थिति में एक्स = ख सूत्र द्वारा गणना की गई:

की गणना करना द्रव दबाव बल पास्कल के नियम का उपयोग करें, जिसके अनुसार साइट पर द्रव का दबाव उसके क्षेत्र के बराबर है एसविसर्जन गहराई से गुणा ज, घनत्व पर ρ और गुरुत्वाकर्षण का त्वरण जी, अर्थात।

.

1. पल और विमान वक्र के द्रव्यमान के केंद्र... यदि वक्र का चाप समीकरण y \u003d f (x), a≤x ,b द्वारा दिया गया है, और इसका घनत्व है
फिर स्थिर क्षण इस चाप M x और M y समन्वय ताल और बैल Oy के सापेक्ष हैं

;

जड़ता के क्षण I X और I y एक ही अक्ष के संबंध में हैं। Ox और Oy की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

तथा जन निर्देशकों का केंद्र तथा - सूत्रों द्वारा

जहां चाप का द्रव्यमान है, अर्थात

उदाहरण 1... 0 .x at1 पर catenary y \u003d chx के चाप के axes Ox और Oy के बारे में जड़ता के स्थिर क्षण और क्षण खोजें।

यदि कोई घनत्व निर्दिष्ट नहीं है, तो यह माना जाता है कि वक्र एक समान है और
... हमारे पास: नतीजतन,

उदाहरण 2। पहली तिमाही में स्थित गोलाकार चाप x \u003d एकोस्ट, y \u003d asint के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। हमारे पास है:

यहाँ से हमें मिलता है:

निम्नलिखित अक्सर अनुप्रयोगों में उपयोगी होता है। प्रमेय गिल्डर... सतह का क्षेत्रफल आर्क के विमान में पड़ी एक धुरी के चारों ओर एक प्लेन वक्र के चाप के घूमने से बनता है और इसे प्रतिच्छेद नहीं करने से चाप की लंबाई और उसके द्रव्यमान के केंद्र द्वारा वर्णित सर्कल की लंबाई के बराबर होता है।

उदाहरण 3। अर्धवृत्त के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

समरूपता के कारण
... जब अर्धवृत्त ऑक्सी अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक गोला प्राप्त होता है, जिसका सतह क्षेत्र बराबर होता है, और अर्धवृत्त की लंबाई n के बराबर होती है। गुल्डेन के प्रमेय के अनुसार, हमारे पास 4 हैं

यहां से
, अर्थात। द्रव्यमान C का केंद्र निर्देशांक C है
.

2. शारीरिक कार्य। शारीरिक समस्याओं को हल करने में निश्चित अभिन्न के कुछ अनुप्रयोगों का उदाहरण नीचे दिया गया है।

उदाहरण 4। गति सीधी गति शरीर सूत्र (एम / एस) द्वारा व्यक्त किया गया है। आंदोलन की शुरुआत से 5 सेकंड में शरीर द्वारा ट्रेस किए गए मार्ग का पता लगाएं।

चूंकि शरीर का मार्ग समय की अवधि में गति v (t) के साथ, अभिन्न द्वारा व्यक्त किया गया है

तो हमारे पास हैं:

पी
उदाहरण। अक्ष और लाइन y \u003d x 3 -x के बीच स्थित बाउंडेड एरिया का क्षेत्रफल ज्ञात करें। जहां तक \u200b\u200bकि

लाइन तीन बिंदुओं पर अक्ष को पार करती है: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1।

लाइन और अक्ष के बीच का बंधा हुआ क्षेत्र लाइन सेगमेंट पर अनुमानित है
,और सेगमेंट पर
,लाइन y \u003d x 3 -x अक्ष के ऊपर जाती है (अर्थात, लाइन y \u003d 0, और पर - नीचे। इसलिए, क्षेत्र के क्षेत्र की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

पी
उदाहरण। हमें आर्किमिडीज सर्पिल आर \u003d ए के पहले और दूसरे मोड़ के बीच संलग्न क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं (ए\u003e 0) और क्षैतिज अक्ष का एक खंड
.

सर्पिल की पहली बारी 0 से लेकर और दूसरी तक - सीमा में कोण में परिवर्तन से मेल खाती है। तर्क में बदलाव का हवाला देना एक अंतराल के लिए, हम फॉर्म में सर्पिल के दूसरे मोड़ का समीकरण लिखते हैं
,

... तब क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है, डाल रहा है
तथा
:

पी उदाहरण। अक्ष के चारों ओर लाइन y \u003d 4x-x 2 के घुमाव की सतह से बंधे शरीर का आयतन ज्ञात करें।
).

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने के लिए, सूत्र लागू करें

पी उदाहरण। हम सीधी रेखाओं के बीच स्थित रेखा y \u003d lncosx के चाप की लंबाई की गणना करते हैं और
.

(हमने मूल-मान के रूप में रूट लिया, न-सोंक्स, क्योंकि cosx\u003e 0 के लिए
, चाप लंबाई है

उत्तर:
.

उदाहरण। हमें साइक्लॉयड एक्स \u003d टी-सिंट के चाप को घुमाकर प्राप्त क्रांति की सतह के क्षेत्र क्यू की गणना करें; y \u003d 1-लागत, के लिए

अक्ष के आसपास।

डी गणना करने के लिए, सूत्र लागू करें:

हमारे पास है:

, ताकि

एक चर के लिए अभिन्न संकेत के तहत पारित करने के लिए, ध्यान दें कि

हमें मिला

, साथ ही साथ

इसके अलावा, हमें पहले से गणना करें

(ताकि
) तथा

हमें मिला:

स्थानापन्न बनाना, हम अभिन्न पर पहुंचते हैं

5. क्रांति के निकायों के सतह क्षेत्र का पता लगाना

वक्र AB को y \u003d f (x) where 0, जहां x [a; बी], और फ़ंक्शन y \u003d f (x) और इसके व्युत्पन्न y "\u003d f" (x) इस खंड पर निरंतर हैं।

सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें, रोटेशन द्वारा गठित ऑक्स अक्ष के आसपास वक्र एबी (चित्र 8)।

आइए योजना II (अंतर विधि) लागू करें।

एक मनमाना बिंदु x [a के माध्यम से; बी] प्लेन P, ऑक्स अक्ष के लंबवत ड्रा। विमान पी त्रिज्या y - f (x) के साथ एक सर्कल में क्रांति की सतह को काटता है। विमान के बाईं ओर स्थित क्रांति के आंकड़े के हिस्से की सतह का मान x, यानी का एक फ़ंक्शन है। s \u003d s (x) (s) (a) \u003d 0 और s (b) \u003d S)।

आइए तर्क x को वेतन वृद्धि thex \u003d dx दें। बिंदु के माध्यम से x + dx [a; b] ऑक्स अक्ष पर लंबवत एक विमान भी बनाते हैं। फ़ंक्शन s \u003d s (x) को showns का वेतन वृद्धि प्राप्त होगी, चित्र में "बेल्ट" के रूप में दिखाया गया है।

आइए हम क्षेत्रफल के अंतर ds को ज्ञात करें, जो खंडित शंकु के साथ वर्गों के बीच बनी आकृति की जगह लेते हैं, जिनमें से जेनरेट्रिक्स dl के बराबर होता है, और आधारों की त्रिज्या y और y + dу के बराबर होती है। इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है: \u003d 2ydl + dydl।

Ds की तुलना में infinitesimal उच्च क्रम के रूप में उत्पाद d1 d1 को छोड़ कर, हम d1 \u003d dx के बाद से ds \u003d 2Edl प्राप्त करते हैं।

एक्स \u003d ए से एक्स \u003d बी तक की सीमा में परिणामी समानता को एकीकृत करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

यदि वक्र AB को पैरामीट्रिक समीकरण x \u003d x (t), y \u003d y (t), t, t formula t द्वारा दिया जाता है, तो क्रांति की सतह के क्षेत्र के लिए सूत्र का रूप लेता है

एस \u003d 2 डीटी।

उदाहरण: त्रिज्या R की एक गेंद के सतह क्षेत्र का पता लगाएं।

एस \u003d 2 =

6. परिवर्तनीय बल कार्य खोजना

चर बल काम

इस अक्ष के समानांतर निर्देशित एक चर बल एफ \u003d एफ (एक्स) की कार्रवाई के तहत सामग्री बिंदु एम को ऑक्स अक्ष के साथ आगे बढ़ने दें। स्थिति M \u003d स्थिति x \u003d a से स्थान x \u003d b (a) पर जाने पर बल द्वारा किया गया कार्य

यदि 100 N का बल 0.01 m द्वारा वसंत को बढ़ाता है तो वसंत को 0.05 मीटर तक खींचने के लिए क्या कार्य करना चाहिए?

हुक के नियम के अनुसार, एक स्प्रिंग को खींचने वाला लोचदार बल इस विस्तार के अनुपात में होता है x, अर्थात। F \u003d kх, जहां k आनुपातिकता गुणांक है। समस्या की स्थिति के अनुसार, बल एफ \u003d 100 एन वसंत को एक्स \u003d 0.01 मीटर तक फैलाता है; इसलिए, 100 \u003d k 0.01, जहां की k \u003d 10000; इसलिए, एफ \u003d 10000x।

सूत्र के आधार पर मांगी गई नौकरी

ए \u003d

एच मीटर की ऊंचाई और आर मीटर (चित्रा 13) के आधार त्रिज्या के साथ एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार टैंक से किनारे पर तरल पंप करने के लिए आवश्यक काम का पता लगाएं।

भार पी के शरीर को ऊंचाई एच तक उठाने पर खर्च किया गया कार्य एच एच के बराबर है। लेकिन जलाशय में तरल की अलग-अलग परतें अलग-अलग गहराई पर होती हैं और अलग-अलग परतों के उत्थान (जलाशय के किनारे) की ऊंचाई समान नहीं होती है।

समस्या को हल करने के लिए, हम योजना II (अंतर विधि) का उपयोग करेंगे। आइए एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें।

1) जलाशय से एक मोटाई x (0 ≤ x) H) के साथ तरल की एक परत को पंप करने पर खर्च किया गया कार्य x का एक फ़ंक्शन है, अर्थात। ए \u003d ए (एक्स), जहां (0 ≤ एक्स (एच) (ए (0) \u003d 0, ए (एच) \u003d 0 0)।

2) वेतन वृद्धि के मुख्य भाग का पता लगाएं, जब x मान thex \u003d dx से बदलता है, अर्थात हम फ़ंक्शन A (x) के अंतर dA पाते हैं।

Dx की लघुता को देखते हुए, हम मानते हैं कि तरल की "प्राथमिक" परत समान गहराई x (जलाशय के किनारे से) पर है। फिर डेरा \u003d डॉक्यू, जहां डीईसी इस परत का वजन है; यह जीवीवी के बराबर है, जहां जी गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है, तरल का घनत्व है, डीवी तरल की "प्राथमिक" परत की मात्रा है (यह आंकड़ा में हाइलाइट किया गया है), अर्थात्। dр \u003d जी। संकेतित तरल परत की मात्रा स्पष्ट रूप से बराबर है, जहां dx सिलेंडर की ऊंचाई (परत) है, इसके आधार का क्षेत्र है, अर्थात। डीवी \u003d।

इस प्रकार, dр \u003d। तथा

3) एक्स \u003d 0 से एक्स \u003d एच तक की सीमा में प्राप्त समानता को एकीकृत करना, हम पाते हैं

ए

8. MathCAD पैकेज का उपयोग करके अभिन्न की गणना

कुछ लागू समस्याओं को हल करते समय, प्रतीकात्मक एकीकरण के संचालन का उपयोग करना आवश्यक है। एक ही समय में, MathCad कार्यक्रम प्रारंभिक चरण में दोनों उपयोगी हो सकता है (अग्रिम में उत्तर जानना अच्छा है या यह जानना कि यह मौजूद है) और अंतिम चरण में (किसी अन्य स्रोत या किसी अन्य व्यक्ति के समाधान का उपयोग करके प्राप्त परिणाम की जांच करना अच्छा है)।

बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करते समय, आप MathCad प्रोग्राम का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की कुछ विशेषताओं को नोटिस कर सकते हैं। आइए कुछ उदाहरणों के साथ समझने की कोशिश करें कि यह कार्यक्रम कैसे काम करता है, इसकी मदद से प्राप्त समाधानों का विश्लेषण करें और अन्य तरीकों से प्राप्त समाधानों के साथ इन समाधानों की तुलना करें।

MathCad का उपयोग करते समय मुख्य समस्याएं इस प्रकार हैं:

a) कार्यक्रम सामान्य प्राथमिक कार्यों के रूप में नहीं, बल्कि विशेष कार्यों के रूप में उत्तर देता है जो सभी को ज्ञात नहीं हैं;

बी) कुछ मामलों में जवाब देने के लिए "मना" करता है, हालांकि समस्या का समाधान है;

ग) कभी-कभी इसकी बोझिलता के कारण प्राप्त परिणाम का उपयोग करना असंभव है;

d) समस्या को पूरी तरह से हल नहीं करता है और समाधान का विश्लेषण नहीं करता है।

इन समस्याओं को हल करने के लिए, कार्यक्रम की शक्तियों और कमजोरियों का उपयोग करना आवश्यक है।

इसकी मदद से, भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न की गणना करना आसान और सरल है। इसलिए चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, अर्थात। समाधान के लिए पहले से ही अभिन्न तैयार करें। इन उद्देश्यों के लिए, ऊपर चर्चा किए गए प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है। यह भी ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्राप्त परिणाम मूल फ़ंक्शन की परिभाषा के संयोग और प्राप्त परिणाम के लिए जांच की जानी चाहिए। इसके अलावा, प्राप्त कुछ समाधानों के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है।

MathCad कार्यक्रम एक छात्र या शोधकर्ता को नियमित कार्य से मुक्त करता है, लेकिन किसी समस्या को निर्धारित करते समय और कोई परिणाम प्राप्त करते समय, उसे अतिरिक्त विश्लेषण से मुक्त नहीं कर सकता है।

इस पत्र में, गणित के पाठ्यक्रम में एक निश्चित अभिन्न के अनुप्रयोगों के अध्ययन से संबंधित मुख्य प्रावधानों पर विचार किया गया था।

- अभिन्न को हल करने के लिए सैद्धांतिक आधार का विश्लेषण किया गया;

- सामग्री को व्यवस्थित और सामान्यीकृत किया गया था।

पाठ्यक्रम के काम के दौरान, भौतिकी, ज्यामिति, यांत्रिकी के क्षेत्र में व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरणों पर विचार किया गया था।

निष्कर्ष

ऊपर दी गई व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरण हमें उनकी समग्रता के लिए निश्चित अभिन्नता के महत्व का स्पष्ट विचार देते हैं।

एक वैज्ञानिक क्षेत्र का नाम देना मुश्किल है जिसमें सामान्य रूप से अभिन्न पथरी के तरीके, और विशेष रूप से एक निश्चित अभिन्न के गुणों को लागू नहीं किया जाएगा। इसलिए पाठ्यक्रम का काम पूरा करने की प्रक्रिया में, हमने भौतिकी, ज्यामिति, यांत्रिकी, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र के क्षेत्र में व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरणों पर विचार किया। बेशक, यह विज्ञान की एक विस्तृत सूची से दूर है जो एक विशिष्ट समस्या को हल करने और सैद्धांतिक तथ्यों को स्थापित करने के लिए एक निर्धारित मूल्य की खोज करने के लिए अभिन्न विधि का उपयोग करता है।

इसके अलावा, गणित का अध्ययन करने के लिए एक निश्चित अभिन्न का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, जब विभेदक समीकरणों को हल करना, जो व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उनके अपूरणीय योगदान देता है। हम कह सकते हैं कि एक निश्चित अभिन्न गणित के अध्ययन के लिए कुछ आधार है। इसलिए उन्हें हल करने के तरीकों को जानने का महत्व।

उपरोक्त सभी से, यह स्पष्ट है कि एक निश्चित अभिन्न के साथ परिचित माध्यमिक सामान्य शिक्षा स्कूल के ढांचे के भीतर भी क्यों होता है, जहां छात्र न केवल एक अभिन्न और इसके गुणों की अवधारणा का अध्ययन करते हैं, बल्कि इसके कुछ अनुप्रयोग भी।

साहित्य

1. वोल्कोव ई.ए. संख्यात्मक तरीके। एम।, विज्ञान, 1988।

2. पिस्कुनोव एन.एस. विभेदक और अभिन्न कलन। एम।, इंटीग्रल-प्रेस, 2004।वोल 1।

3. शिपचेव वी.एस. उच्च गणित। एम।, हाई स्कूल, 1990।

उदाहरण:त्रिज्या के एक गोले का आयतन ज्ञात कीजिएआर

गेंद के क्रॉस सेक्शन में, चर त्रिज्या y के सर्कल प्राप्त किए जाते हैं। वर्तमान एक्स-समन्वय के आधार पर, यह त्रिज्या सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है।

तब पार के अनुभागीय क्षेत्रों का कार्य है:क्यू (एक्स) \u003d।

हमें गेंद का आयतन मिलता है:

उदाहरण:ऊंचाई और आधार क्षेत्र के साथ एक मनमाना पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिएएस

जब पिरामिड ऊँचाई पर लंबवत विमानों के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो अनुभाग में हमें आधार के समान आंकड़े मिलते हैं। इन आंकड़ों की समानता गुणांक अनुपात के बराबर हैएक्स / एच , जहां x पिरामिड के शीर्ष भाग के अनुभाग तल से दूरी है।

यह ज्यामिति से ज्ञात होता है कि समान आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात समानता वर्ग के गुणांक के बराबर है, अर्थात

यहां से हम क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों का कार्य प्राप्त करते हैं:

पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए:

क्रांति के निकायों की मात्रा।

समीकरण द्वारा दिए गए वक्र पर विचार करेंy \u003d f (x) )। मान लीजिए फ़ंक्शनच (x) ) खंड पर जारी है [ए, बी ]। यदि आधारों के साथ संगत वक्रता ट्रेपोजॉइड एख ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमते हैं, फिर हम तथाकथित मिलते हैं क्रांति का शरीर.

y \u003d f (x)

क्रांति के एक निकाय का भूतल क्षेत्र।

एम आई बी

परिभाषा: क्रांति का भूतल क्षेत्रएक दी गई धुरी के चारों ओर वक्र AB को वह सीमा कहा जाता है, जिसमें वक्र AB में उत्कीर्ण बहुभुज रेखाओं के घूर्णन की सतहों के क्षेत्र इन बहुभुज रेखाओं के लिंक की लंबाई के सबसे बड़े भाग में शून्य हो जाते हैं।

हमने चाप एबी में विभाजित कियाअंक M 0, M 1, M 2, ..., M n द्वारा भागों ... परिणामी पॉलीलाइन के कोने के निर्देशांक में निर्देशांक होते हैंx i और y i ... जब पॉलीलाइन धुरी के चारों ओर घूमती है, तो हम एक सतह को काटते हुए शंकु के पार्श्व सतहों से मिलकर प्राप्त करते हैं, जो इस क्षेत्र का क्षेत्रफल हैD P i ... यह क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

इसलिए, मैं सीधे मूल अवधारणाओं और व्यावहारिक उदाहरणों पर जाऊंगा।

आइए एक लेकोनिक तस्वीर को देखें

और याद रखें: उपयोग करके क्या गणना की जा सकती है समाकलन परिभाषित करें ?

सबसे पहले, निश्चित रूप से, एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र ... स्कूल के दिनों से परिचित हैं।

यदि यह आंकड़ा समन्वय अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो हम पहले से ही खोजने के बारे में बात कर रहे हैं क्रांति के शरीर का आयतन ... सरल भी।

और क्या? बहुत पहले नहीं माना गया था वक्र चाप लंबाई समस्या .

और आज हम सीखेंगे कि एक और विशेषता की गणना कैसे करें - एक और क्षेत्र। कल्पना कीजिए कि रेखा घूमता अक्ष के आसपास। इस क्रिया के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय आकृति प्राप्त की जाती है, जिसे कहा जाता है क्रांति की सतह... इस मामले में, यह नीचे के बिना ऐसे बर्तन जैसा दिखता है। और बिना ढक्कन के। जैसा कि गधा Eeyore कहेंगे, एक दिल दहलाने वाली दृष्टि \u003d)

अस्पष्ट व्याख्या को बाहर करने के लिए, मैं एक उबाऊ, लेकिन महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण दूंगा:

एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, हमारे "पॉट" में है असीम रूप से पतला दीवार और दो एक ही क्षेत्र के साथ सतहों - बाहरी और आंतरिक। तो, सभी आगे की गणना क्षेत्र का अर्थ है केवल बाहरी सतह.

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, क्रांति की सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

या, यदि अधिक कॉम्पैक्ट: .

समान आवश्यकताओं को फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न पर लगाया जाता है जैसे कि ढूंढते समय वक्र चाप की लंबाई , लेकिन इसके अलावा, वक्र स्थित होना चाहिए उच्चतर एक्सिस। यह आवश्यक है! यह समझना आसान है कि यदि रेखा स्थित है के अंतर्गतअक्ष, फिर अभिन्न नकारात्मक होगा : , और इसलिए समस्या के ज्यामितीय अर्थ को बनाए रखने के लिए सूत्र में एक ऋण चिह्न जोड़ा जाना चाहिए।

एक अनदेखे अनदेखे आंकड़े पर विचार करें:

टोरस सतह क्षेत्र

संक्षेप में, टोरस एक डोनट है... एक पाठ्यपुस्तक उदाहरण, जिसे मट्टन पर लगभग सभी पाठ्यपुस्तकों में माना जाता है, खोजने के लिए समर्पित है आयतन टोरस, और इसलिए, विविधता के लिए, मैं दुर्लभ समस्या का विश्लेषण करूंगा इसकी सतह क्षेत्र... पहले विशिष्ट संख्यात्मक मानों के साथ:

उदाहरण 1

एक सर्कल को घुमाकर प्राप्त टोरस के सतह क्षेत्र की गणना करें अक्ष के आसपास।

फेसला: जैसा कि आप जानते हैं, समीकरण पूछता है वृत्त इकाई त्रिज्या एक बिंदु पर केंद्रित है। यह कहा जा रहा है, दो कार्य प्राप्त करना आसान है:

- ऊपरी अर्धवृत्त सेट करता है;
- निम्न अर्धवृत्त सेट करता है:

सार क्रिस्टल स्पष्ट है: वृत्त एब्सिस्सा अक्ष और रूपों के चारों ओर घूमता है सतह डोनट। सकल आरक्षण से बचने के लिए यहां केवल एक चीज, शब्दावली में सावधान रहना चाहिए: यदि आप घुमाते हैं एक क्षेत्र मेंएक चक्र से घिरा हुआ , आपको एक ज्यामितीय मिलता है तन, वह है, डोनट ही। और अब इसके क्षेत्र के बारे में बात करते हैं सतहों, जो स्पष्ट रूप से क्षेत्रों की राशि के रूप में गणना करने की आवश्यकता है:

1) "नीला" चाप को घुमाकर प्राप्त होने वाले सतह क्षेत्र का पता लगाएं फरसा की धुरी के आसपास। हम सूत्र का उपयोग करते हैं ... जैसा कि मैंने बार-बार सलाह दी है, चरणों में कार्रवाई करना अधिक सुविधाजनक है:

फंक्शन लें और उसे खोजो यौगिक :

और अंत में, परिणाम को एक सूत्र में लोड करें:

ध्यान दें कि इस मामले में यह अधिक तर्कसंगत निकला एक समान कार्य के अभिन्न डबल ऑर्डिनेट अक्ष के बारे में आंकड़े की समरूपता के बारे में तर्क करने के बजाय निर्णय के दौरान।

2) सतह क्षेत्र का पता लगाएं, जो "लाल" चाप को घुमाकर प्राप्त किया जाता है फरसा की धुरी के आसपास। सभी क्रियाएं वास्तव में केवल एक संकेत में भिन्न होंगी। मैं समाधान को एक अलग शैली में डिजाइन करूंगा, जो निश्चित रूप से, जीवन का अधिकार भी है:


3) इस प्रकार, टोरस की सतह क्षेत्र है:

उत्तर:

समस्या को सामान्य तरीके से हल किया जा सकता है - एब्सिस्सा अक्ष के चारों ओर एक चक्र को घुमाकर प्राप्त टोरस के सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, और उत्तर प्राप्त करें ... हालांकि, स्पष्टता और अधिक सरलता के लिए, मैंने विशिष्ट संख्याओं पर समाधान चलाया।

यदि आपको स्वयं डोनट की मात्रा की गणना करने की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक को एक संदर्भ संदर्भ के रूप में देखें:

सैद्धांतिक टिप्पणी के अनुसार, हम ऊपरी अर्धवृत्त पर विचार करते हैं। जब पैरामीटर मान में परिवर्तन होता है तो इसे "तैयार" किया जाता है (यह देखना आसान है इस अंतराल पर), इस प्रकार:

उत्तर:

यदि आप समस्या को सामान्य रूप में हल करते हैं, तो आपको एक गोले के क्षेत्र के लिए बिल्कुल स्कूल सूत्र मिलता है, जहां इसकी त्रिज्या है।

किसी साधारण कार्य से कुछ दुख हुआ, मुझे भी शर्म महसूस हुई…। मेरा सुझाव है कि आप इस दोष को ठीक करें \u003d)

उदाहरण 4

अक्ष के चारों ओर चक्रीय के पहले चाप को घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना करें।

कार्य रचनात्मक है। ऑर्डिनेट अक्ष के चारों ओर घुमाव को घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना के सूत्र के बारे में अनुमान लगाने या सहज रूप से प्राप्त करने का प्रयास करें। और, ज़ाहिर है, पैरामीट्रिक समीकरणों का लाभ फिर से नोट किया जाना चाहिए - उन्हें किसी भी तरह से संशोधित करने की आवश्यकता नहीं है; एकीकरण की अन्य सीमाओं को खोजने के लिए परेशान करने की आवश्यकता नहीं है।

साइक्लोइड ग्राफ को पृष्ठ पर देखा जा सकता है क्षेत्र और आयतन, यदि रेखा को पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित किया गया है ... घूमने की सतह सदृश होगी ... मुझे यह भी नहीं पता कि क्या तुलना करना है ... कुछ स्पष्ट रूप से - बीच में एक नुकीले अवसाद के साथ गोल। अक्ष के चारों ओर चक्रीय घूमने के मामले के लिए, एसोसिएशन तुरंत ध्यान में आया - रग्बी खेलने के लिए एक आयताकार गेंद।

समाधान और जवाब पाठ के अंत में।

हम एक मामले के साथ हमारी आकर्षक समीक्षा समाप्त करते हैं धुवीय निर्देशांक ... हां, बस एक समीक्षा, यदि आप गणितीय विश्लेषण (फ़िचेंगोल्ट्स, बोखान, पिस्कुनोव, अन्य लेखकों) पर पाठ्यपुस्तकों को देखते हैं, तो आप एक दर्जन (या यहां तक \u200b\u200bकि अधिक अधिक) मानक उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं, जिनके बीच आपको एक समस्या हो सकती है।

क्रांति की सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें,
यदि लाइन एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट है?

यदि वक्र में निर्दिष्ट है धुवीय निर्देशांक समीकरण और फ़ंक्शन में दिए गए अंतराल पर एक निरंतर व्युत्पन्न होता है, फिर इस वक्र को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है , जहाँ वक्र के सिरों के समान कोणीय मान हैं।

समस्या के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, अभिन्न कार्य , और यह केवल शर्त के तहत हासिल किया जाता है (और निश्चित रूप से गैर-नकारात्मक हैं)। इसलिए, सीमा से कोण के मूल्यों पर विचार करना आवश्यक है, दूसरे शब्दों में, वक्र स्थित होना चाहिए उच्चतर ध्रुवीय अक्ष और इसकी निरंतरता। जैसा कि आप देख सकते हैं, कहानी पिछले दो पैराग्राफों की तरह ही है।

उदाहरण 5

ध्रुवीय अक्ष के बारे में कार्डियोइड को घुमाकर गठित सतह क्षेत्र की गणना करें।

फेसला: इस वक्र के ग्राफ को पाठ के उदाहरण 6 में देखा जा सकता है ध्रुवीय समन्वय प्रणाली ... कार्डियोइड ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित है, इसलिए हम अंतराल में इसके ऊपरी आधे हिस्से पर विचार करते हैं (जो वास्तव में, उपरोक्त टिप्पणी के कारण है)।

रोटेशन की सतह एक बैल की आंख के समान होगी।

समाधान तकनीक मानक है। आइए "फि" के संबंध में व्युत्पन्न खोजें:

आइए रचना और सरल करें जड़:

अलौकिकता के साथ उम्मीद है