किस यांत्रिक प्रणाली को अस्थिर कहा जाता है। एक यांत्रिक प्रणाली का संतुलन। यांत्रिक प्रणालियों के लिए संतुलन की स्थिति

यह ज्ञात है कि आदर्श बाधाओं के साथ एक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि या। (७)

चूंकि सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताएं एक-दूसरे से स्वतंत्र होती हैं और सामान्य स्थिति में, शून्य के बराबर नहीं होती हैं, इसलिए यह आवश्यक है कि
,
,…,
.

होलोनोमिक सीमित, स्थिर, आदर्श बाधाओं के साथ एक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि चुने हुए सामान्यीकृत निर्देशांक के अनुरूप सभी सामान्यीकृत बल शून्य के बराबर हों।

संभावित बल मामला:

यदि निकाय एक संभावित बल क्षेत्र में है, तो

,
,…,

,
,…,

यही है, सिस्टम की संतुलन स्थिति केवल सामान्यीकृत निर्देशांक के उन मूल्यों के लिए हो सकती है जिन पर ताकत कार्य करती है यूऔर संभावित ऊर्जा एन एसचरम मूल्य हैं ( मैक्सया मिनट).

संतुलन स्थिरता की अवधारणा।

उन स्थितियों को निर्धारित करने के बाद जिनमें सिस्टम संतुलन में हो सकता है, यह निर्धारित करना संभव है कि इनमें से कौन सी स्थिति प्राप्त करने योग्य है और कौन सी अवास्तविक है, अर्थात यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी स्थिति स्थिर है और कौन सी अस्थिर है।

सामान्य तौर पर, आवश्यक संतुलन स्थिरता संकेतक लाइपुनोव के अनुसार निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

आइए हम सामान्यीकृत निर्देशांक और उनके वेगों के छोटे मापांक मूल्यों की रिपोर्ट करके प्रणाली को संतुलन की स्थिति से बाहर निकालें। यदि, सिस्टम पर आगे विचार करने पर, सामान्यीकृत निर्देशांक और उनके वेग परिमाण में छोटे रहते हैं, अर्थात, सिस्टम संतुलन की स्थिति से दूर नहीं होगा, तो ऐसी संतुलन स्थिति स्थिर होती है।

संतुलन स्थिरता के लिए एक पर्याप्त शर्त प्रणाली निर्धारित है लैग्रेंज-डिरिचलेट प्रमेय :

यदि आदर्श बंधों के साथ एक यांत्रिक प्रणाली के संतुलन की स्थिति में, संभावित ऊर्जा का न्यूनतम मूल्य होता है, तो ऐसी संतुलन स्थिति स्थिर होती है।

,
- स्थिर।

यह व्याख्यान निम्नलिखित मुद्दों को संबोधित करता है:

1. यांत्रिक प्रणालियों के लिए संतुलन की स्थिति।

2. संतुलन की स्थिरता।

3. संतुलन की स्थिति के निर्धारण और उनकी स्थिरता के अध्ययन का एक उदाहरण।

"मशीन और तंत्र के सिद्धांत" और "सामग्री के प्रतिरोध" विषयों में समस्याओं को हल करने के लिए अनुशासन "मशीन भागों" में संतुलन की स्थिति के सापेक्ष एक यांत्रिक प्रणाली के दोलन संबंधी आंदोलनों का अध्ययन करने के लिए इन मुद्दों का अध्ययन आवश्यक है।

यांत्रिक प्रणालियों की गति का एक महत्वपूर्ण मामला उनकी दोलन गति है। दोलन एक यांत्रिक प्रणाली की अपनी कुछ स्थिति के सापेक्ष दोहराव वाले आंदोलन हैं, जो समय पर कम या ज्यादा नियमित रूप से होते हैं। पाठ्यक्रम कार्य संतुलन स्थिति (सापेक्ष या निरपेक्ष) के सापेक्ष एक यांत्रिक प्रणाली की दोलन गति की जांच करता है।

एक यांत्रिक प्रणाली केवल एक स्थिर संतुलन स्थिति के पास ही पर्याप्त लंबी अवधि के लिए दोलन कर सकती है। इसलिए, दोलन गति के समीकरणों की रचना करने से पहले, संतुलन की स्थिति का पता लगाना और उनकी स्थिरता की जांच करना आवश्यक है।

यांत्रिक प्रणालियों के लिए संतुलन की स्थिति।

संभावित विस्थापन के सिद्धांत के अनुसार, एक यांत्रिक प्रणाली के लिए, जिस पर आदर्श, स्थिर, होल्डिंग और होलोनोमिक बाधाएं लगाई जाती हैं, संतुलन में होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सभी सामान्यीकृत बल हों इस प्रणाली में शून्य के बराबर:

कहां सामान्यीकृत बल संगत है जे -वें सामान्यीकृत समन्वय;

एस- यांत्रिक प्रणाली में सामान्यीकृत निर्देशांक की संख्या।

यदि अध्ययन के तहत प्रणाली के लिए, गति के अंतर समीकरणों को दूसरी तरह के लैग्रेंज समीकरणों के रूप में संकलित किया गया था, तो संभावित संतुलन स्थितियों को निर्धारित करने के लिए, सामान्यीकृत बलों को शून्य के बराबर करने और परिणामी समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त है सामान्यीकृत निर्देशांक।

यदि यांत्रिक प्रणाली एक संभावित बल क्षेत्र में संतुलन में है, तो समीकरणों (1) से हम निम्नलिखित संतुलन की स्थिति प्राप्त करते हैं:

इसलिए, संतुलन की स्थिति में, संभावित ऊर्जा का अत्यधिक मूल्य होता है। उपरोक्त सूत्रों द्वारा परिभाषित प्रत्येक संतुलन को व्यवहार में महसूस नहीं किया जा सकता है। संतुलन की स्थिति से विचलित होने पर प्रणाली के व्यवहार के आधार पर, कोई इस स्थिति की स्थिरता या अस्थिरता की बात करता है।

स्थिर संतुलन

एक संतुलन स्थिति की स्थिरता की अवधारणा की परिभाषा दी गई थी देर से XIXरूसी वैज्ञानिक ए.एम. ल्यपुनोव के कार्यों में सदी। आइए इस परिभाषा पर विचार करें।

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम आगे सामान्यीकृत निर्देशांक पर सहमत होंगे क्यू 1 , क्यू 2 ,...,क्यू एस प्रणाली की संतुलन स्थिति से गणना करें:

कहां

एक संतुलन स्थिति को स्थिर कहा जाता है यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी संख्या के लिएआपको ऐसा अलग नंबर मिल सकता है , उस स्थिति में जब सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग के प्रारंभिक मान अधिक नहीं होंगे:

सिस्टम के आगे के आंदोलन के दौरान सामान्यीकृत निर्देशांक और वेगों का मान अधिक नहीं होगा .

दूसरे शब्दों में, प्रणाली की संतुलन स्थिति क्यू 1 = क्यू 2 = ...= क्यूएस = 0 कहा जाता है टिकाऊअगर कोई हमेशा ऐसे पर्याप्त रूप से छोटे प्रारंभिक मान पा सकता हैजिस पर सिस्टम की गतिसंतुलन की स्थिति के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस को नहीं छोड़ेगा... एक डिग्री की स्वतंत्रता वाले सिस्टम के लिए, सिस्टम की स्थिर गति को चरण विमान (चित्र 1) में देखा जा सकता है।एक स्थिर संतुलन स्थिति के लिए, क्षेत्र में शुरू होने वाले प्रतिनिधित्व बिंदु की गति [ ] , भविष्य में क्षेत्र से आगे नहीं जाएंगे.

चित्र एक

संतुलन स्थिति कहलाती है स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर , यदि समय के साथ प्रणाली संतुलन की स्थिति में पहुंच जाती है, अर्थात

एक संतुलन स्थिति के लिए स्थिरता की स्थिति निर्धारित करना एक जटिल समस्या है, इसलिए, हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित रखते हैं: रूढ़िवादी प्रणालियों की संतुलन स्थिरता का अध्ययन।

ऐसी प्रणालियों के लिए संतुलन की स्थिति की स्थिरता के लिए पर्याप्त शर्तें निर्धारित की जाती हैं लैग्रेंज - डिरिचलेट प्रमेय : एक रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणाली की संतुलन स्थिति स्थिर है, यदि संतुलन की स्थिति में, सिस्टम की संभावित ऊर्जा में एक पृथक न्यूनतम है .

एक यांत्रिक प्रणाली की संभावित ऊर्जा एक स्थिर के भीतर निर्धारित की जाती है। आइए हम इस स्थिरांक को चुनें ताकि संतुलन की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर हो:

पी (0) = 0.

फिर, एक डिग्री की स्वतंत्रता वाली प्रणाली के लिए, आवश्यक शर्त (2) के साथ एक पृथक न्यूनतम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्त शर्त होगी

चूँकि संतुलन की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा का एक पृथक न्यूनतम होता है औरपी (0) = 0 , तो इस स्थिति के कुछ सीमित पड़ोस में

(क्यू) = 0।

ऐसे फलन जिनमें एक स्थिर चिह्न होता है और उनके सभी तर्कों के शून्य मानों के लिए केवल शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं निश्चित... नतीजतन, यांत्रिक प्रणाली की संतुलन स्थिति स्थिर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस स्थिति के आसपास के क्षेत्र में संभावित ऊर्जा सामान्यीकृत निर्देशांक का एक सकारात्मक निश्चित कार्य है।

रैखिक प्रणालियों के लिए और उन प्रणालियों के लिए जिन्हें संतुलन स्थिति (रैखिककृत) से छोटे विचलन के लिए रैखिक में कम किया जा सकता है, संभावित ऊर्जा को सामान्यीकृत निर्देशांक के द्विघात रूप के रूप में दर्शाया जा सकता है

कहां - सामान्यीकृत कठोरता गुणांक।

सामान्यीकृत गुणांकस्थिर संख्याएं हैं जिन्हें श्रृंखला में संभावित ऊर्जा के विस्तार से या संतुलन स्थिति में सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंध में संभावित ऊर्जा के दूसरे डेरिवेटिव के मूल्यों से सीधे निर्धारित किया जा सकता है:

यह सूत्र (4) से इस प्रकार है कि सामान्यीकृत कठोरता गुणांक सूचकांकों के संबंध में सममित हैं

के लिये ताकि पर्याप्त शर्तेंसंतुलन स्थिति की स्थिरता, संभावित ऊर्जा को इसके सामान्यीकृत निर्देशांक का एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप होना चाहिए।

गणित में है सिल्वेस्टर मानदंड द्विघात रूपों की सकारात्मक निश्चितता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देना: द्विघात रूप (3) धनात्मक निश्चित होगा यदि इसके गुणांकों और उसके सभी मुख्य विकर्ण अवयस्कों से बना सारणिक धनात्मक हो, अर्थात्। अगर गुणांक शर्तों को पूरा करेंगे

.....

विशेष रूप से, दो डिग्री स्वतंत्रता के साथ एक रैखिक प्रणाली के लिए, संभावित ऊर्जा और सिल्वेस्टर मानदंड की शर्तों का रूप होगा

इसी तरह, कोई सापेक्ष संतुलन की स्थिति का अध्ययन कर सकता है, यदि कोई संभावित ऊर्जा के बजाय, कम प्रणाली की संभावित ऊर्जा का परिचय देता है।

एन एस संतुलन की स्थिति निर्धारित करने और उनकी स्थिरता का अध्ययन करने का एक उदाहरण

रेखा चित्र नम्बर 2

एक ट्यूब से युक्त एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें अब, जो धुरी है ओओ १रोटेशन के क्षैतिज अक्ष से जुड़ा है, और एक गेंद जो बिना घर्षण के ट्यूब के माध्यम से चलती है और एक बिंदु से जुड़ी होती है एएक वसंत के साथ ट्यूब (चित्र। 2)। आइए हम प्रणाली की संतुलन स्थिति का निर्धारण करें और निम्नलिखित मापदंडों के लिए उनकी स्थिरता का अनुमान लगाएं: ट्यूब की लंबाई एल 2 = 1 एम , रॉड की लंबाई एल 1 = 0,5 एम . विकृत वसंत की लंबाई मैं 0 = 0.6 मीटर, वसंत दर सी= 100 एन / एम। ट्यूब वजन एम 2 = 2 किलो, छड़ - एम 1 = 1 किलो और गेंद - एम 3 = 0.5 किग्रा। दूरी ओएबराबरी मैं 3 = 0.4 मीटर।

आइए विचाराधीन निकाय की स्थितिज ऊर्जा के लिए व्यंजक लिखें। इसमें एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में तीन निकायों की संभावित ऊर्जा और विकृत वसंत की संभावित ऊर्जा शामिल है।

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा, शरीर के वजन के गुणनफल के बराबर होती है, जो उस तल के ऊपर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की ऊंचाई होती है जिसमें संभावित ऊर्जा को शून्य माना जाता है। माना छड़ के घूर्णन अक्ष से गुजरने वाले तल में स्थितिज ऊर्जा शून्य है ऊ 1, फिर गुरुत्वाकर्षण बलों के लिए

लोचदार बल के लिए, संभावित ऊर्जा विरूपण की मात्रा से निर्धारित होती है

आइए हम निकाय की संभावित संतुलन स्थितियों का पता लगाएं। संतुलन की स्थिति में निर्देशांक के मान समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली के मूल हैं।

दो डिग्री स्वतंत्रता के साथ किसी भी यांत्रिक प्रणाली के लिए समीकरणों की एक समान प्रणाली तैयार की जा सकती है। कुछ मामलों में, सिस्टम का सटीक समाधान प्राप्त किया जा सकता है। प्रणाली (5) के लिए, ऐसा कोई समाधान मौजूद नहीं है, इसलिए, संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके जड़ों की तलाश की जानी चाहिए।

ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों (5) की प्रणाली को हल करने पर, हम दो संभावित संतुलन स्थिति प्राप्त करते हैं:

प्राप्त संतुलन स्थितियों की स्थिरता का आकलन करने के लिए, हम सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंध में संभावित ऊर्जा के सभी दूसरे व्युत्पन्न पाते हैं, और उनसे हम सामान्यीकृत कठोरता गुणांक निर्धारित करते हैं।

विश्लेषण की अनुमति देता है सामान्य पैटर्नगति, यदि निर्देशांक पर स्थितिज ऊर्जा की निर्भरता ज्ञात है। उदाहरण के लिए, अक्ष के साथ एक भौतिक बिंदु (कण) की एक-आयामी गति पर विचार करें 0xअंजीर में दिखाए गए संभावित क्षेत्र में। 4.12.

चित्र 4.12. स्थिर और अस्थिर संतुलन स्थितियों के पास कण गति

चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल के एक सजातीय क्षेत्र में संभावित ऊर्जा शरीर के उदय की ऊंचाई के समानुपाती होती है, कोई भी फ़ंक्शन के अनुरूप प्रोफ़ाइल के साथ एक बर्फ स्लाइड (घर्षण की उपेक्षा) की कल्पना कर सकता है एन (एक्स)छवि पर।

ऊर्जा संरक्षण के नियम से ई = के + पीऔर इस तथ्य से कि गतिज ऊर्जा के = ई - पीहमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, यह इस प्रकार है कि कण केवल उन क्षेत्रों में स्थित हो सकता है जहां ई> पी... चित्र पूर्ण ऊर्जा के साथ एक कण को ​​दर्शाता है इकेवल क्षेत्रों में जा सकते हैं

पहले क्षेत्र में, इसकी गति सीमित (अंततः) होगी: किसी दिए गए स्टॉक के साथ पूर्ण ऊर्जाकण अपने रास्ते में "स्लाइड्स" को पार नहीं कर सकते (उन्हें कहा जाता है संभावित बाधाएं) और उनके बीच "घाटी" में हमेशा के लिए रहने के लिए बर्बाद हो गया है। हमेशा के लिए - शास्त्रीय यांत्रिकी की दृष्टि से, जिसका हम अभी अध्ययन कर रहे हैं। पाठ्यक्रम के अंत में, हम देखेंगे कि कैसे क्वांटम यांत्रिकी एक कण को ​​संभावित छेद में कैद से बाहर निकलने में मदद करता है - एक क्षेत्र

दूसरे क्षेत्र में, कण गति सीमित (अनंत) नहीं है, यह मूल से दाईं ओर असीम रूप से दूर जा सकती है, लेकिन बाईं ओर इसकी गति अभी भी एक संभावित अवरोध द्वारा सीमित है:

वीडियो 4.6। परिमित और अनंत आंदोलनों का प्रदर्शन।

संभावित ऊर्जा चरम के बिंदुओं पर एक्स मिनतथा एक्स मैक्सकण पर अभिनय करने वाला बल शून्य है, क्योंकि संभावित ऊर्जा का व्युत्पन्न शून्य है:

यदि इन बिन्दुओं पर विराम अवस्था में एक कण रखा जाता, तो वह वहीं रहता ... फिर, हमेशा के लिए, यदि वह अपनी स्थिति के उतार-चढ़ाव के लिए नहीं होता। इस दुनिया में आराम से कुछ भी नहीं है, एक कण छोटा अनुभव कर सकता है विचलन (उतार चढ़ाव) संतुलन की स्थिति से। इस मामले में, स्वाभाविक रूप से, बल उत्पन्न होते हैं। यदि वे कण को ​​संतुलन की स्थिति में लौटाते हैं, तो ऐसा संतुलन कहलाता है टिकाऊ... यदि, जब कण को ​​विक्षेपित किया जाता है, तो उत्पन्न होने वाली ताकतें इसे संतुलन की स्थिति से और भी दूर ले जाती हैं, तो हम व्यवहार कर रहे हैं अस्थिरसंतुलन, और कण आमतौर पर इस स्थिति में लंबे समय तक नहीं रहता है। बर्फ की स्लाइड के अनुरूप, कोई अनुमान लगा सकता है कि स्थिति न्यूनतम संभावित ऊर्जा पर स्थिर होगी, और अस्थिर - अधिकतम पर।

आइए हम साबित करें कि वास्तव में ऐसा ही है। चरम बिंदु पर एक कण के लिए एक्स एम (एक्स मिनया एक्स मैक्स) उस पर कार्य करने वाला बल एफ एक्स (एक्स एम) = 0... चलो, उतार-चढ़ाव के कारण, कण थोड़ी मात्रा में परिवर्तन का समन्वय करता है एक्स... निर्देशांक में इस तरह के बदलाव के साथ, बल कण पर कार्य करना शुरू कर देगा

(प्राइम निर्देशांक के संबंध में व्युत्पन्न को दर्शाता है एक्स) उस पर विचार करना एफ एक्स = -П ", हम बल के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं

न्यूनतम बिंदु पर, संभावित ऊर्जा का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है: यू "(एक्स मिन)> 0... फिर, संतुलन स्थिति से सकारात्मक विचलन के लिए एक्स > 0 परिणामी बल ऋणात्मक है, और at एक्स<0 बल सकारात्मक है। दोनों ही मामलों में, बल कण समन्वय को बदलने से रोकता है, और न्यूनतम संभावित ऊर्जा पर संतुलन की स्थिति स्थिर होती है।

इसके विपरीत, अधिकतम बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है: यू "(एक्स मैक्स)<0 ... फिर कण Δx के निर्देशांक में वृद्धि से एक सकारात्मक बल की उपस्थिति होती है, जो संतुलन की स्थिति से विचलन को और बढ़ा देती है। पर एक्स<0 बल ऋणात्मक है, अर्थात इस मामले में, यह कण के आगे विक्षेपण में भी योगदान देता है। यह संतुलन स्थिति अस्थिर है।

इस प्रकार, समीकरण और असमानता को संयुक्त रूप से हल करके एक स्थिर संतुलन स्थिति पाई जा सकती है

वीडियो 4.7. संभावित छेद, संभावित बाधाएं और संतुलन: स्थिर और अस्थिर।

उदाहरण... एक द्विपरमाणुक अणु की स्थितिज ऊर्जा (उदाहरण के लिए, एच 2या लगभग 2) प्रपत्र की अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित है

कहां आरपरमाणुओं के बीच की दूरी है, और ए, बी- सकारात्मक स्थिरांक। संतुलन दूरी निर्धारित करें आर एमअणु के परमाणुओं के बीच। क्या एक द्विपरमाणुक अणु स्थिर है?

समाधान... पहला शब्द कम दूरी पर परमाणुओं के प्रतिकर्षण का वर्णन करता है (अणु संपीड़न का विरोध करता है), दूसरा बड़ी दूरी पर आकर्षण का वर्णन करता है (अणु टूटने का प्रतिरोध करता है)। उपरोक्त के अनुसार, समीकरण को हल करके संतुलन दूरी ज्ञात की जाती है

स्थितिज ऊर्जा का विभेदन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अब हम स्थितिज ऊर्जा का दूसरा अवकलज पाते हैं

और वहाँ संतुलन दूरी के मूल्य को प्रतिस्थापित करें आर एम :

संतुलन की स्थिति स्थिर है।

अंजीर में। 4.13 गेंद के संभावित वक्रों और संतुलन की स्थितियों के अध्ययन पर एक प्रयोग प्रस्तुत करता है। यदि गेंद को संभावित वक्र मॉडल पर संभावित बाधा की ऊंचाई से अधिक ऊंचाई पर रखा जाता है (गेंद की ऊर्जा बाधा की ऊर्जा से अधिक होती है), तो गेंद संभावित बाधा को पार कर जाती है। यदि गेंद की प्रारंभिक ऊंचाई बैरियर की ऊंचाई से कम है, तो गेंद संभावित कुएं के भीतर रहती है।

संभावित बाधा के उच्चतम बिंदु पर रखी गई गेंद अस्थिर संतुलन में है, क्योंकि किसी भी बाहरी प्रभाव से गेंद को संभावित कुएं के निम्नतम बिंदु तक ले जाया जाता है। संभावित कुएं के निचले बिंदु पर, गेंद स्थिर संतुलन में होती है, क्योंकि किसी भी बाहरी प्रभाव से गेंद संभावित कुएं के निचले बिंदु पर वापस आ जाती है।

चावल। 4.13. संभावित वक्रों का प्रायोगिक अध्ययन

अतिरिक्त जानकारी

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF - पत्रिका "क्वांट" का पूरक - स्थिर और अस्थिर संतुलन (ए। लियोनोविच) के बारे में तर्क;

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 - टार्ग एस.एम. सैद्धांतिक यांत्रिकी में एक लघु पाठ्यक्रम, पब्लिशिंग हाउस, हायर स्कूल, 1986 - पीपी। 11–15, 2 - स्टैटिक्स के प्रारंभिक प्रावधान।

हम समीकरणों (16) को 107 और (35) या (38) के रूप में निरूपित करते हैं:

आइए हम दिखाते हैं कि इन समीकरणों से, जो 74 में प्रस्तुत कानूनों के परिणाम हैं, स्टैटिक्स के सभी मूल परिणाम प्राप्त होते हैं।

1. यदि कोई यांत्रिक निकाय विरामावस्था में है, तो उसके सभी बिंदुओं का वेग शून्य के बराबर होता है और इसलिए, जहाँ O कोई बिंदु होता है। तब समीकरण (40) देते हैं:

इस प्रकार, किसी भी यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए शर्तें (40) आवश्यक शर्तें हैं। इस परिणाम में, विशेष रूप से, 2 में तैयार किया गया ठोसकरण सिद्धांत शामिल है।

लेकिन किसी भी प्रणाली की स्थिति (40) के लिए, जाहिर है, पर्याप्त संतुलन की स्थिति नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि चित्र में दिखाया गया है। 274 अंक और स्वतंत्र हैं, फिर बलों की कार्रवाई के तहत वे एक दूसरे की ओर बढ़ सकते हैं, हालांकि इन बलों के लिए शर्तें (40) पूरी होंगी।

यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें धारा 139 और 144 में निर्धारित की जाएंगी।

2. आइए हम सिद्ध करें कि स्थितियाँ (40) न केवल आवश्यक हैं, बल्कि पूर्णतया दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले बलों के लिए पर्याप्त संतुलन स्थितियाँ भी हैं। बलों की एक प्रणाली आराम से एक मुक्त कठोर शरीर पर कार्य करना शुरू कर देती है, संतोषजनक स्थिति (40), जहां ओ कोई बिंदु है, यानी, विशेष रूप से, बिंदु सी। तब समीकरण (40) देते हैं, और चूंकि शरीर शुरू में था आराम करें, फिर बिंदु C पर गतिहीन है और शरीर केवल कोणीय वेग c के साथ किसी तात्कालिक अक्ष के चारों ओर घूम सकता है (देखें 60)। फिर, सूत्र (33) के अनुसार, शरीर होगा। लेकिन अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण होता है, और तब से और जहां से यह अनुसरण करता है और जब शर्तें (40) पूरी हो जाती हैं, तो शरीर आराम पर रहता है।

3. पिछले परिणामों से, विशेष रूप से, प्रारंभिक स्थिति 1 और 2, 2 में तैयार किया गया है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि अंजीर में दिखाए गए दो बल। 2, शर्तों को संतुष्ट करते हैं (40) और संतुलित हैं, और यह कि यदि हम शरीर पर कार्य करने वाले बलों, यानी संतोषजनक स्थिति (40) में बलों की एक संतुलित प्रणाली को जोड़ते हैं (या घटाते हैं), तो न तो ये शर्तें और न ही समीकरण (40) ), शरीर की गति का निर्धारण नहीं बदलेगा।

मैं एक भौतिक बिंदु पर विचार करूंगा, जिसकी गति इस तरह से सीमित है कि इसमें केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता है।

इसका मतलब है कि इसकी स्थिति को एक ही मात्रा का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जैसे कि x निर्देशांक। एक उदाहरण गतिहीन रूप से स्थिर तार पर घर्षण के बिना फिसलने वाली गेंद है, जो एक ऊर्ध्वाधर तल में मुड़ी हुई है (चित्र 26.1, ए)।

एक अन्य उदाहरण एक स्प्रिंग के सिरे से जुड़ी एक गेंद है, जो बिना घर्षण के क्षैतिज गाइड से फिसलती है (चित्र 26.2, ए)।

एक रूढ़िवादी बल गेंद पर कार्य करता है: पहले मामले में, यह गुरुत्वाकर्षण बल है, दूसरे में, विकृत वसंत का लोचदार बल। संभावित ऊर्जा भूखंडों को अंजीर में दिखाया गया है। २६.१, ख और २६.२, ख.

चूंकि गेंद बिना घर्षण के तार के साथ चलती है, तार जिस बल से गेंद पर कार्य करता है वह दोनों ही मामलों में गेंद की गति के लंबवत होता है और इसलिए, गेंद पर काम नहीं करता है। इसलिए, ऊर्जा संरक्षण होता है:

(२६.१) से यह निष्कर्ष निकलता है कि मनोरंजक ऊर्जा में कमी के कारण ही गतिज ऊर्जा बढ़ सकती है। इसलिए, यदि गेंद ऐसी अवस्था में है कि उसका वेग शून्य है, और स्थितिज ऊर्जा का न्यूनतम मान है, तो बाहरी प्रभाव के बिना वह गति नहीं कर पाएगी, अर्थात वह संतुलन में होगी।

यू मिनिमा रेखांकन पर मानों के अनुरूप है (चित्र 26.2 में विकृत दस्ते की लंबाई है) न्यूनतम संभावित ऊर्जा की स्थिति का रूप है

टी (22.4) के अनुसार, शर्त (26.2) इस तथ्य के बराबर है कि

(उस स्थिति में जब U केवल एक चर का फलन है)। इस प्रकार, न्यूनतम संभावित ऊर्जा के अनुरूप स्थिति में यह गुण होता है कि शरीर पर कार्य करने वाला बल शून्य होता है।

छवि में दिखाये गये मामले में। 26.1, शर्तें (26.2) और (26.3) भी x के बराबर (यानी, अधिकतम U के लिए) संतुष्ट हैं। इस मान से निर्धारित गेंद की स्थिति भी संतुलन में होगी। हालांकि, संतुलन के विपरीत, यह संतुलन अस्थिर होगा: गेंद को इस स्थिति से थोड़ा बाहर लाने के लिए पर्याप्त है क्योंकि एक बल उत्पन्न होता है जो गेंद को स्थिति से हटा देगा। एक स्थिर संतुलन स्थिति (जिसके लिए) से गेंद के विस्थापन से उत्पन्न होने वाली ताकतों को इस तरह से निर्देशित किया जाता है कि वे गेंद को संतुलन की स्थिति में वापस कर देते हैं।

फ़ंक्शन टी के रूप को जानने के बाद, जो संभावित ऊर्जा को व्यक्त करता है, भाग की गति की प्रकृति के बारे में कई निष्कर्ष निकालना संभव है। आइए इसे अंजीर में दिखाए गए ग्राफ का उपयोग करके समझाएं। २६.१, बी. यदि कुल ऊर्जा का मान चित्र में दर्शाया गया है, तो कण या तो सीमा से सीमा में या सीमा से अनंत तक जा सकता है। कण क्षेत्र में प्रवेश नहीं कर सकता है, क्योंकि संभावित ऊर्जा कुल ऊर्जा से अधिक नहीं हो सकती है (यदि ऐसा हुआ, तो गतिज ऊर्जा नकारात्मक हो जाएगी)। इस प्रकार, क्षेत्र एक संभावित अवरोध है जिसके माध्यम से कुल ऊर्जा की आपूर्ति के साथ कण प्रवेश नहीं कर सकता है। क्षेत्र को संभावित गड्ढा कहा जाता है।

यदि कोई कण अपनी गति के दौरान अनंत तक नहीं जा सकता, तो गति को परिमित कहा जाता है। यदि कण मनमाने ढंग से दूर जा सकता है, तो गति को अनंत कहा जाता है। एक संभावित कुएं में एक कण एक सीमित गति करता है। आकर्षण बलों के केंद्रीय क्षेत्र में नकारात्मक कुल ऊर्जा वाले कण की गति भी सीमित होगी (यह माना जाता है कि संभावित ऊर्जा अनंत पर गायब हो जाती है)।