शोध कार्य "क्या मानसिक अंकगणित से बच्चे की मानसिक क्षमताओं का विकास होता है"? अंकगणित क्या है? अंकगणित की मौलिक प्रमेय। द्विआधारी अंकगणित "तीन सेब" से निगमनात्मक कानूनों तक

प्राचीन मेसोपोटामिया में खुदाई के दौरान पुरातत्वविदों को मिली 500 हजार से अधिक मिट्टी की गोलियों में से लगभग 400 में गणितीय जानकारी है। उनमें से अधिकांश को समझ लिया गया है और बेबीलोन के वैज्ञानिकों की अद्भुत बीजगणितीय और ज्यामितीय उपलब्धियों का एक स्पष्ट विचार प्राप्त करने की अनुमति देता है।

गणित के जन्म के समय और स्थान के बारे में राय अलग-अलग है। इस मुद्दे के कई शोधकर्ता इसके निर्माण का श्रेय विभिन्न लोगों को देते हैं और इसे विभिन्न युगों से जोड़ते हैं। प्राचीन यूनानियों के पास इस मामले पर अभी तक एक एकीकृत दृष्टिकोण नहीं था, जिनके बीच संस्करण विशेष रूप से व्यापक था कि मिस्रियों ने ज्यामिति का आविष्कार किया था, और फोनीशियन व्यापारियों को व्यापारिक गणना और अंकगणित के लिए इस तरह के ज्ञान की आवश्यकता थी। "इतिहास" में हेरोडोटस और "भूगोल" में स्ट्रैबो ने फोनीशियन को प्राथमिकता दी। प्लेटो और डायोजनीज लैर्टियस ने मिस्र को अंकगणित और ज्यामिति दोनों का जन्मस्थान माना। यह अरस्तू का भी मत है, जो मानते थे कि गणित का जन्म स्थानीय पुजारियों के बीच अवकाश की उपस्थिति के कारण हुआ था।

यह टिप्पणी इस मार्ग का अनुसरण करती है कि प्रत्येक सभ्यता में पहले व्यावहारिक शिल्प पैदा होते हैं, फिर आनंद के लिए कला, और उसके बाद ही ज्ञान के उद्देश्य से विज्ञान। अपने अधिकांश पूर्ववर्तियों की तरह, अरस्तू के एक छात्र यूडेमस ने भी मिस्र को ज्यामिति का जन्मस्थान माना, और इसके प्रकट होने का कारण भूमि सर्वेक्षण की व्यावहारिक आवश्यकताएं थीं। एवडेम के अनुसार, ज्यामिति अपने सुधार में तीन चरणों से गुजरती है: भूमि सर्वेक्षण में व्यावहारिक कौशल का उदय, व्यावहारिक रूप से उन्मुख अनुप्रयुक्त अनुशासन का उद्भव और एक सैद्धांतिक विज्ञान में इसका परिवर्तन। सभी दिखावे के लिए, यूडेमस ने पहले दो चरणों को मिस्र और तीसरे को ग्रीक गणित के लिए जिम्मेदार ठहराया। सच है, उन्होंने फिर भी स्वीकार किया कि क्षेत्रों की गणना का सिद्धांत द्विघात समीकरणों के समाधान से उत्पन्न हुआ, जो बेबीलोन मूल के थे।

माना जाता है कि ईरान में पाए जाने वाले छोटे मिट्टी के पट्टिकाओं का उपयोग 8000 ईसा पूर्व से अनाज के माप को रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता था।नार्वे के पुरातत्व और इतिहास संस्थान,
ओस्लो।

इतिहासकार जोसेफ फ्लेवियस ("प्राचीन यहूदिया", पुस्तक 1, अध्याय 8) की अपनी राय है। हालाँकि वह मिस्रियों को सबसे पहले बुलाता है, लेकिन उसे यकीन है कि उन्हें यहूदियों के पूर्वज इब्राहीम द्वारा अंकगणित और खगोल विज्ञान पढ़ाया गया था, जो कनान देश में आए अकाल के दौरान मिस्र भाग गए थे। खैर, ग्रीस में मिस्र का प्रभाव यूनानियों पर एक समान राय थोपने के लिए काफी मजबूत था, जो उनके साथ था हल्का हाथऐतिहासिक साहित्य में अभी भी प्रचलन में है। अच्छी तरह से संरक्षित मिट्टी की गोलियां मेसोपोटामिया में पाए गए क्यूनिफॉर्म ग्रंथों से ढकी हुई हैं और 2000 ईसा पूर्व से दिनांकित हैं। और 300 ईस्वी से पहले, दोनों मामलों की एक अलग स्थिति की गवाही देते हैं, और प्राचीन बेबीलोन में गणित कैसा था। यह अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति और यहां तक ​​कि त्रिकोणमिति के मूल सिद्धांतों का एक जटिल मिश्र धातु था।

स्क्राइब स्कूलों में गणित पढ़ाया जाता था, और प्रत्येक स्नातक के पास उस समय के लिए काफी गंभीर ज्ञान था। जाहिर है, यह वही है जो 7 वीं शताब्दी में अश्शूर के राजा अश्शूरनिपाल के बारे में बात कर रहा है। ईसा पूर्व, अपने एक शिलालेख में, यह कहते हुए कि उन्होंने "जटिल पारस्परिक और गुणा करना" सीखना सीखा। गणनाओं का सहारा लेने के लिए, जीवन ने हर मोड़ पर बाबुलियों को मजबूर किया। हाउसकीपिंग में अंकगणित और सरल बीजगणित की आवश्यकता होती थी, जब पैसे का आदान-प्रदान और माल का निपटान, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज की गणना, कर और फसल का हिस्सा राज्य, मंदिर या जमींदार को सौंप दिया जाता था। गणितीय गणना, और बल्कि जटिल, के लिए बड़े पैमाने पर वास्तुशिल्प परियोजनाओं, सिंचाई प्रणाली के निर्माण के दौरान इंजीनियरिंग कार्य, बैलिस्टिक, खगोल विज्ञान और ज्योतिष की आवश्यकता होती है।

गणित का एक महत्वपूर्ण कार्य कृषि कार्य, धार्मिक अवकाश और अन्य कैलेंडर आवश्यकताओं का समय निर्धारित करना था। टाइग्रिस और यूफ्रेट्स के बीच प्राचीन शहर-राज्यों में कितनी उच्च उपलब्धियां थीं, जिन्हें बाद में यूनानियों ने मैथेमा ("ज्ञान") कहा, इतनी आश्चर्यजनक रूप से सटीक, आइए हम मेसोपोटामिया की मिट्टी की क्यूनिफॉर्म की व्याख्या का न्याय करें। वैसे, यूनानियों के बीच, गणित शब्द ने पहली बार चार विज्ञानों की एक सूची को निरूपित किया: अंकगणित, ज्यामिति, खगोल विज्ञान और हार्मोनिक्स, यह बहुत बाद में गणित को निरूपित करने लगा। मेसोपोटामिया में, पुरातत्त्वविदों ने पहले से ही गणितीय प्रकृति के रिकॉर्ड के साथ क्यूनिफॉर्म टैबलेट ढूंढे हैं और जारी रखा है, आंशिक रूप से अक्कादियन में, आंशिक रूप से सुमेरियन में, साथ ही साथ गणितीय संदर्भ तालिकाएं। उत्तरार्द्ध ने उन गणनाओं को बहुत सुविधाजनक बनाया जो दैनिक आधार पर की जानी थीं, इसलिए कई गूढ़ ग्रंथों में अक्सर ब्याज गणना होती है।

मेसोपोटामिया के इतिहास के सुमेरियन काल के पहले के अंकगणितीय कार्यों के नाम संरक्षित किए गए हैं। इसलिए, जोड़ के संचालन को "संचय" या "जोड़" कहा जाता था, घटाते समय, क्रिया "बाहर निकालना" का उपयोग किया जाता था, और गुणा के लिए शब्द का अर्थ "खाना" था। यह दिलचस्प है कि बाबुल में उन्होंने एक अधिक व्यापक गुणन तालिका का उपयोग किया - 1 से 180,000 तक जो हमें स्कूल में सीखना था, अर्थात। 1 से 100 तक की संख्याओं के लिए गणना की जाती है। प्राचीन मेसोपोटामिया में, अंकगणितीय संचालन के लिए समान नियम न केवल पूर्णांकों के साथ, बल्कि भिन्नों के साथ भी बनाए गए थे, जिसके साथ संचालन की कला में बेबीलोनियाई मिस्रियों से काफी बेहतर थे। मिस्र में, उदाहरण के लिए, भिन्नों के साथ संचालन लंबे समय तक आदिम बने रहे, क्योंकि वे केवल विभाज्य अंश (यानी, 1 के बराबर अंश के साथ अंश) जानते थे। मेसोपोटामिया में सुमेरियों के समय से, सभी आर्थिक मामलों में मुख्य गिनती इकाई संख्या 60 थी, हालाँकि दशमलव संख्या प्रणाली भी ज्ञात थी, जो अक्कादियों के बीच उपयोग में थी।

कोलंबिया विश्वविद्यालय (यूएसए) के पुस्तकालय में संग्रहीत पुराने बेबीलोनियन काल की गणितीय गोलियों में सबसे प्रसिद्ध। तर्कसंगत पक्षों के साथ समकोण त्रिभुजों की एक सूची शामिल है, जो कि पाइथागोरस संख्या x2 + y2 = z2 के त्रिगुण हैं, और यह इंगित करता है कि पाइथागोरस प्रमेय अपने लेखक के जन्म से कम से कम एक हजार साल पहले बेबीलोनियों को ज्ञात था। 1900 - 1600 ई.पू.

घन समीकरण की ओर ले जाने वाले कार्यों में, एक तीसरी अज्ञात मात्रा थी - "गहराई", और तीन अज्ञात के उत्पाद को "वॉल्यूम" कहा जाता था। बाद में, बीजगणितीय सोच के विकास के साथ, अज्ञात को अधिक सारगर्भित समझा जाने लगा। कभी-कभी, बाबुल में बीजगणितीय संबंधों के चित्रण के रूप में, ज्यामितीय चित्रों का उपयोग किया जाता था। बाद में प्राचीन ग्रीसवे बीजगणित के मुख्य तत्व बन गए, जबकि बेबीलोन के लोगों के लिए, जो मुख्य रूप से बीजगणितीय रूप से सोचते थे, चित्र केवल दृश्यता का एक साधन थे, और "रेखा" और "क्षेत्र" शब्द का अर्थ अक्सर आयाम रहित संख्या होता था। यही कारण है कि उन समस्याओं के समाधान थे जहां "क्षेत्र" को "पक्ष" में जोड़ा गया था या "वॉल्यूम" से घटाया गया था, आदि। प्राचीन काल में खेतों, बगीचों, इमारतों की सटीक माप का विशेष महत्व था - नदियों की वार्षिक बाढ़ बड़ी मात्रा में गाद लाती है जो खेतों को ढक लेती है और उनके बीच की सीमाओं को नष्ट कर देती है, और पानी में गिरावट के बाद, भूमि सर्वेक्षणकर्ता, अपने मालिकों के आदेश से, अक्सर आवंटन को फिर से मापना पड़ता था। क्यूनिफॉर्म अभिलेखागार में, 4 हजार साल पहले संकलित ऐसे कई भूमि सर्वेक्षण मानचित्र संरक्षित किए गए हैं।

प्रारंभ में, माप की इकाइयाँ बहुत सटीक नहीं थीं, क्योंकि लंबाई को उंगलियों, हथेलियों, कोहनी से मापा जाता था, जो अलग-अलग लोगों के लिए अलग-अलग होते हैं। बड़ी मात्रा में स्थिति बेहतर थी, जिसकी माप के लिए उन्होंने एक ईख और कुछ आकारों की रस्सी का इस्तेमाल किया। लेकिन यहां भी, माप के परिणाम अक्सर एक दूसरे से भिन्न होते हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि किसने और कहां मापा। इसलिए, बेबीलोनिया के विभिन्न शहरों में लंबाई के विभिन्न मापों को अपनाया गया। उदाहरण के लिए, लगश शहर में, "क्यूबिट" 400 मिमी था, और निप्पुर और बेबीलोन में ही - 518 मिमी। कई जीवित क्यूनिफॉर्म सामग्री थे अध्ययन गाइडबेबीलोनियाई स्कूली बच्चों के लिए, जो विभिन्न सरल समस्याओं का समाधान प्रदान करते थे जो अक्सर व्यावहारिक जीवन में सामने आती थीं। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि छात्र ने उन्हें अपने दिमाग में हल किया या जमीन पर एक टहनी के साथ प्रारंभिक गणना की - केवल गणितीय समस्याओं की शर्तें और उनके समाधान गोलियों पर लिखे गए हैं।

ट्रेपेज़ॉइड और त्रिकोण के चित्र और पाइथागोरस प्रमेय के समाधान के साथ ज्यामितीय समस्याएं।प्लेट आयाम: 21.0x8.2। 19 वी सदी ई.पू. ब्रिटिश संग्रहालय

स्कूल में गणित पाठ्यक्रम का मुख्य भाग अंकगणित, बीजगणितीय और ज्यामितीय समस्याओं के समाधान पर कब्जा कर लिया गया था, जिसके निर्माण में यह विशिष्ट वस्तुओं, क्षेत्रों और संस्करणों के साथ काम करने के लिए प्रथागत था। क्यूनिफॉर्म गोलियों में से एक पर, निम्नलिखित समस्या को संरक्षित किया गया था: "कितने दिनों में एक निश्चित लंबाई के कपड़े का टुकड़ा बनाया जा सकता है यदि हम जानते हैं कि इस कपड़े के इतने हाथ (लंबाई का एक माप) प्रतिदिन बनाया जाता है?" दूसरा निर्माण कार्य से संबंधित कार्यों को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, "एक तटबंध के लिए कितनी मिट्टी की आवश्यकता होगी, जिसके आयाम ज्ञात हैं, और प्रत्येक कार्यकर्ता को कितनी पृथ्वी को हिलाना चाहिए, यदि उनकी कुल संख्या ज्ञात हो?" या "एक निश्चित आकार की दीवार बनाने के लिए प्रत्येक कार्यकर्ता को कितनी मिट्टी तैयार करनी चाहिए?"

छात्र को गुणांकों की गणना करने, योगों की गणना करने, कोणों को मापने की समस्याओं को हल करने, क्षेत्रों की गणना करने और रेक्टिलिनियर आंकड़ों के आयतन में भी सक्षम होना था - यह प्राथमिक ज्यामिति के लिए एक सामान्य सेट था। सुमेरियन काल से संरक्षित ज्यामितीय आकृतियों के नाम दिलचस्प हैं। त्रिभुज को "पच्चर" कहा जाता था, ट्रेपेज़ॉइड को "बैल का माथा" कहा जाता था, सर्कल को "घेरा" कहा जाता था, कंटेनर को "पानी" शब्द से दर्शाया जाता था, मात्रा "पृथ्वी, रेत" थी। क्षेत्र को "क्षेत्र" कहा जाता था। क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में से एक में बांध, प्राचीर, कुएं, पानी की घड़ियां और मिट्टी के काम से संबंधित समाधान के साथ 16 समस्याएं हैं। एक समस्या एक गोलाकार शाफ्ट से संबंधित एक ड्राइंग के साथ प्रदान की जाती है, दूसरा एक काटे गए शंकु पर विचार करता है, जो ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्रों के आधे योग से ऊंचाई को गुणा करके इसकी मात्रा निर्धारित करता है।

बेबीलोन के गणितज्ञों ने समकोण त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके योजनामितीय समस्याओं को भी हल किया, बाद में पाइथागोरस द्वारा कर्ण के वर्ग के समकोण त्रिभुज में टांगों के वर्गों के योग की समानता पर एक प्रमेय के रूप में तैयार किया गया। दूसरे शब्दों में, प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय पाइथागोरस से कम से कम एक हजार साल पहले बेबीलोनियों के लिए जाना जाता था। प्लैनिमेट्रिक समस्याओं के अलावा, उन्होंने विभिन्न प्रकार के रिक्त स्थान, निकायों की मात्रा निर्धारित करने और खेतों, क्षेत्रों, व्यक्तिगत भवनों के लिए व्यापक रूप से प्रचलित ड्राइंग योजनाओं से संबंधित स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को भी हल किया, लेकिन आमतौर पर पैमाने पर नहीं। गणित की सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धि इस तथ्य की खोज थी कि एक वर्ग के विकर्ण और भुजा के अनुपात को पूर्ण संख्या या साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, तर्कहीनता की अवधारणा को गणित में पेश किया गया था।

यह माना जाता है कि सबसे महत्वपूर्ण अपरिमेय संख्याओं में से एक की खोज - संख्या , एक वृत्त की परिधि के अनुपात को उसके व्यास और अनंत अंश 3.14 ... के अनुपात को व्यक्त करते हुए, पाइथागोरस से संबंधित है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, संख्या के लिए, मान 3.14 पहली बार आर्किमिडीज द्वारा 300 साल बाद, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में प्रस्तावित किया गया था। ई.पू. एक अन्य के अनुसार इसकी गणना सबसे पहले उमर खय्याम ने की थी, यह सामान्यत: 11वीं-12वीं शताब्दी है। विज्ञापन यह केवल निश्चित रूप से ज्ञात है कि ग्रीक अक्षर को पहली बार 1706 में अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम जोन्स द्वारा नामित किया गया था, और स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1737 में इस पद को उधार लेने के बाद ही इसे आम तौर पर स्वीकार किया गया था। संख्या सबसे पुरानी गणितीय पहेली है, इस खोज को प्राचीन मेसोपोटामिया में भी खोजा जाना चाहिए।

बेबीलोन के गणितज्ञ सबसे महत्वपूर्ण अपरिमेय संख्याओं से अच्छी तरह वाकिफ थे, और एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना की समस्या का समाधान भी गणितीय सामग्री की क्यूनिफॉर्म मिट्टी की गोलियों के डिकोडिंग में पाया जा सकता है। इन आंकड़ों के अनुसार, को 3 के बराबर लिया गया, जो कि व्यावहारिक भूमि सर्वेक्षण उद्देश्यों के लिए काफी पर्याप्त था। शोधकर्ताओं का मानना ​​​​है कि प्राचीन बेबीलोन में मेट्रोलॉजिकल कारणों से सेक्सेजिमल सिस्टम को चुना गया था: 60 की संख्या में कई भाजक हैं। पूर्णांकों का हेक्साडेसिमल अंकन मेसोपोटामिया के बाहर व्यापक नहीं हुआ, लेकिन यूरोप में 17 वीं शताब्दी तक। दोनों सेक्जैसिमल अंश और वृत्त के 360 डिग्री में सामान्य विभाजन का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। घंटे और मिनट, 60 भागों में विभाजित, बाबुल में भी उत्पन्न होते हैं।

संख्या लिखने के लिए डिजिटल वर्णों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करने के लिए बेबीलोनियों का सरल विचार उल्लेखनीय है। उदाहरण के लिए, रोमियों ने यह भी नहीं सोचा था कि एक ही संख्या अलग-अलग मात्राओं को दर्शा सकती है! ऐसा करने के लिए, उन्होंने अपने वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग किया। नतीजतन, चार अंकों की संख्या, उदाहरण के लिए, 2737 में ग्यारह अक्षर शामिल थे: MMDCCXXXVII। और यद्यपि हमारे समय में चरम गणितज्ञ हैं जो LXXVIII को CLXVI से एक कॉलम में विभाजित करने या CLIX को LXXIV से गुणा करने में सक्षम होंगे, कोई केवल उन निवासियों के लिए खेद महसूस कर सकता है शाश्वत शहरजिन्हें इस तरह के गणितीय संतुलन अधिनियम या गणना बड़े पैमाने पर वास्तु परियोजनाओं और विभिन्न इंजीनियरिंग वस्तुओं की मदद से जटिल कैलेंडर और खगोलीय गणना करनी थी।

ग्रीक संख्या प्रणाली भी वर्णमाला के अक्षरों के प्रयोग पर आधारित थी। प्रारंभ में, ग्रीस में अटारी प्रणाली को अपनाया गया था, जिसमें एक इकाई को नामित करने के लिए एक ऊर्ध्वाधर रेखा का उपयोग किया जाता था, और संख्याओं के लिए 5, 10, 100, 1000, 10,000 (अनिवार्य रूप से यह एक दशमलव प्रणाली थी) - उनके ग्रीक नामों के प्रारंभिक अक्षर। बाद में, तीसरी सी के आसपास। ईसा पूर्व, आयनिक संख्या प्रणाली व्यापक हो गई, जिसमें ग्रीक वर्णमाला के 24 अक्षरों और संख्याओं को दर्शाने के लिए तीन पुरातन अक्षरों का उपयोग किया गया था। और संख्याओं को शब्दों से अलग करने के लिए, यूनानियों ने संबंधित अक्षर के ऊपर एक क्षैतिज रेखा रखी। इस अर्थ में, बेबीलोनियाई गणितीय विज्ञानबाद के ग्रीक या रोमन से ऊपर खड़ा था, क्योंकि यह वह है जो संख्या अंकन प्रणालियों के विकास में सबसे उत्कृष्ट उपलब्धियों में से एक का मालिक है - स्थितीय सिद्धांत, जिसके अनुसार एक ही संख्यात्मक चिन्ह (प्रतीक) है विभिन्न अर्थयह कहां स्थित है, इस पर निर्भर करता है। वैसे, मिस्र की संख्या प्रणाली बेबीलोनियाई और आधुनिक मिस्र की संख्या प्रणाली से नीच थी।

मिस्रवासियों ने एक गैर-स्थितीय दशमलव प्रणाली का उपयोग किया, जिसमें 1 से 9 तक की संख्याओं को समान ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा दर्शाया गया था, और व्यक्तिगत चित्रलिपि प्रतीकों को 10 की क्रमिक शक्तियों के लिए पेश किया गया था। छोटी संख्या के लिए, बेबीलोनियाई संख्या प्रणाली सामान्य शब्दों में मिस्र के समान थी। एक ऊर्ध्वाधर पच्चर के आकार की रेखा (शुरुआती सुमेरियन गोलियों में - एक छोटा अर्धवृत्त) का अर्थ एक इकाई था; दोहराया गया सही संख्याचूँकि इस चिन्ह ने दस से कम संख्याएँ लिखने का काम किया; संख्या 10 को निर्दिष्ट करने के लिए, बेबीलोनियों ने, मिस्रवासियों की तरह, एक नया प्रतीक पेश किया - बाईं ओर निर्देशित एक बिंदु के साथ एक विस्तृत पच्चर के आकार का चिन्ह, आकार में एक कोण ब्रैकेट जैसा (शुरुआती सुमेरियन ग्रंथों में - एक छोटा वृत्त)। उचित संख्या में बार-बार दोहराया गया, यह चिन्ह 20, 30, 40 और 50 की संख्या को निर्दिष्ट करने के लिए कार्य करता है। अधिकांश आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​​​है कि प्राचीन वैज्ञानिक ज्ञान प्रकृति में विशुद्ध रूप से अनुभवजन्य था।

भौतिकी, रसायन विज्ञान, प्राकृतिक दर्शन के संबंध में, जो अवलोकनों पर आधारित थे, यह सत्य प्रतीत होता है। लेकिन ज्ञान के स्रोत के रूप में संवेदी अनुभव की धारणा एक अघुलनशील प्रश्न का सामना करती है जब ऐसे अमूर्त विज्ञान की बात आती है जैसे गणित प्रतीकों के साथ संचालित होता है। बेबीलोन के गणितीय खगोल विज्ञान की उपलब्धियाँ विशेष रूप से महत्वपूर्ण थीं। लेकिन क्या अचानक छलांग मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को उपयोगितावादी अभ्यास के स्तर से उस विशाल ज्ञान तक ले गई जिसने उन्हें लागू करने की अनुमति दी गणितीय तरीकेसूर्य, चंद्रमा और ग्रहों, ग्रहणों और अन्य खगोलीय घटनाओं की स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए, या क्या विकास धीरे-धीरे आगे बढ़ा, दुर्भाग्य से, हम नहीं जानते। सामान्य तौर पर गणितीय ज्ञान का इतिहास अजीब लगता है।

हम जानते हैं कि हमारे पूर्वजों ने अपनी उंगलियों और पैर की उंगलियों पर गिनना कैसे सीखा, एक छड़ी पर पायदान, रस्सी पर गांठ, या एक पंक्ति में रखे कंकड़ के रूप में आदिम संख्यात्मक रिकॉर्ड बनाना। और फिर - बिना किसी संक्रमणकालीन कड़ी के - अचानक बेबीलोनियों, मिस्रियों, चीनी, हिंदुओं और अन्य प्राचीन वैज्ञानिकों की गणितीय उपलब्धियों के बारे में जानकारी, इतनी ठोस कि उनके गणितीय तरीके हाल ही में समाप्त हुई द्वितीय सहस्राब्दी के मध्य तक समय की कसौटी पर खरे उतरे, यानी। तीन हजार से अधिक वर्षों से ...

इन कड़ियों के बीच क्या छिपा है? प्राचीन ऋषियों ने व्यावहारिक महत्व के साथ-साथ गणित को पवित्र ज्ञान और अंक और के रूप में क्यों सम्मान दिया? ज्यामितीय आकारदेवताओं के नाम दिए गए हैं? क्या इसके ठीक पीछे ज्ञान के प्रति श्रद्धा का भाव है? शायद वह समय आएगा जब पुरातत्वविदों को इन सवालों के जवाब मिल जाएंगे। इस बीच, ऑक्सफ़ोर्डियन थॉमस ब्रैडवर्डिन ने 700 साल पहले क्या कहा था, यह मत भूलना: "जिसके पास गणित को नकारने की बेशर्मी है, उसे शुरू से ही पता होना चाहिए कि वह कभी भी ज्ञान के द्वार में प्रवेश नहीं करेगा।"

अंकगणित क्या है? मानवता ने संख्याओं का उपयोग करना और उनके साथ काम करना कब शुरू किया? संख्या, जोड़ और गुणा जैसी रोजमर्रा की अवधारणाओं की जड़ें कहां जाती हैं, जिन्हें एक व्यक्ति ने अपने जीवन और विश्वदृष्टि का अविभाज्य हिस्सा बना लिया है? प्राचीन यूनानी दिमाग ने ज्यामिति जैसे विज्ञानों को मानव तर्क की सबसे सुंदर सिम्फनी के रूप में सराहा।

शायद अंकगणित अन्य विज्ञानों की तरह गहरा नहीं है, लेकिन यदि कोई व्यक्ति प्रारंभिक गुणन तालिका को भूल जाए तो उनका क्या होगा? हमारे लिए सामान्य तार्किक सोचसंख्याओं, भिन्नों और अन्य उपकरणों का उपयोग करना लोगों के लिए आसान नहीं था और लंबे समय तक हमारे पूर्वजों के लिए दुर्गम था। वास्तव में, अंकगणित के विकास से पहले, मानव ज्ञान का कोई भी क्षेत्र वास्तव में वैज्ञानिक नहीं था।

अंकगणित गणित का ABC है

अंकगणित संख्याओं का विज्ञान है, जिससे कोई भी व्यक्ति गणित की आकर्षक दुनिया से परिचित होने लगता है। जैसा कि एम. वी. लोमोनोसोव ने कहा, अंकगणित सीखने का द्वार है, जो हमारे लिए विश्व ज्ञान का मार्ग खोलता है। लेकिन वह सही है, क्या दुनिया के ज्ञान को संख्याओं और अक्षरों, गणित और भाषण के ज्ञान से अलग किया जा सकता है? शायद पुराने दिनों में, लेकिन आधुनिक दुनिया में नहीं, जहां विज्ञान और प्रौद्योगिकी का तेजी से विकास अपने स्वयं के कानूनों को निर्धारित करता है।

शब्द "अंकगणित" (ग्रीक "अंकगणित") ग्रीक मूल, "संख्या" के लिए खड़ा है। वह संख्याओं और उनसे जुड़ी हर चीज का अध्ययन करती है। यह संख्याओं की दुनिया है: संख्याओं पर विभिन्न संचालन, संख्यात्मक नियम, गुणा, घटाव आदि से संबंधित समस्याओं को हल करना।

अंकगणित की मूल वस्तु

अंकगणित का आधार एक पूर्णांक है, जिसके गुण और पैटर्न को उच्च अंकगणित में माना जाता है या वास्तव में, पूरे भवन की ताकत - गणित इस बात पर निर्भर करता है कि इतने छोटे ब्लॉक को प्राकृतिक संख्या मानने में दृष्टिकोण कितना सही है।

इसलिए, अंकगणित क्या है, इस प्रश्न का उत्तर सरलता से दिया जा सकता है: यह संख्याओं का विज्ञान है। हाँ, सामान्य सात, नौ और इस विविध समुदाय के बारे में। और जिस तरह आप एक प्रारंभिक वर्णमाला के बिना अच्छी या सबसे औसत दर्जे की कविता नहीं लिख सकते, वैसे ही आप अंकगणित के बिना एक प्राथमिक समस्या को भी हल नहीं कर सकते। इसलिए सभी विज्ञान अंकगणित और गणित के विकास के बाद ही आगे बढ़े, जो पहले केवल धारणाओं का एक समूह था।

अंकगणित एक प्रेत विज्ञान है

अंकगणित क्या है - प्राकृतिक विज्ञान या प्रेत? वास्तव में, जैसा कि प्राचीन यूनानी दार्शनिकों ने तर्क दिया था, वास्तविकता में न तो संख्याएं और न ही आंकड़े मौजूद हैं। यह सिर्फ एक प्रेत है जो में बनाया गया है मानवीय सोचविचार करते हुए वातावरणइसकी प्रक्रियाओं के साथ। वास्तव में, हमारे आस-पास कहीं भी ऐसा कुछ भी नहीं दिखता है, जिसे संख्या कहा जा सकता है, बल्कि संख्या मानव मन का दुनिया का अध्ययन करने का एक तरीका है। या शायद यह अंदर से खुद का अध्ययन है? दार्शनिक इस बारे में लगातार कई शताब्दियों से बहस कर रहे हैं, इसलिए हम एक संपूर्ण उत्तर देने का उपक्रम नहीं करते हैं। किसी न किसी तरह, अंकगणित अपनी स्थिति को इतनी मजबूती से लेने में कामयाब हो गया है कि आधुनिक दुनिया में किसी को भी इसकी नींव को जाने बिना सामाजिक रूप से अनुकूलित नहीं माना जा सकता है।

प्राकृतिक संख्या कैसे आई?

बेशक, अंकगणित द्वारा संचालित मुख्य वस्तु एक प्राकृतिक संख्या है, जैसे 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... आदि। प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणित, घास के मैदान में गायों जैसी सामान्य वस्तुओं की गिनती का परिणाम है। फिर भी, "बहुत" या "छोटा" की परिभाषा एक बार लोगों के अनुरूप नहीं रही, और उन्हें अधिक उन्नत गिनती तकनीकों का आविष्कार करना पड़ा।

लेकिन एक वास्तविक सफलता तब हुई जब मानव विचार इस बिंदु पर पहुंच गया कि 2 किलोग्राम, और 2 ईंटें, और 2 विवरण समान संख्या "दो" के साथ नामित करना संभव है। तथ्य यह है कि आपको वस्तुओं के रूपों, गुणों और अर्थों से अमूर्त करने की आवश्यकता है, फिर आप इन वस्तुओं के साथ प्राकृतिक संख्याओं के रूप में कुछ क्रियाएं कर सकते हैं। इस प्रकार संख्याओं के अंकगणित का जन्म हुआ, जो आगे विकसित और विस्तारित हुआ, समाज के जीवन में अधिक से अधिक पदों पर काबिज हुआ।

संख्याओं की ऐसी गहन अवधारणाएँ, जैसे कि शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ, भिन्न, संख्याओं द्वारा संख्याओं का पदनाम और अन्य तरीकों से, सबसे समृद्ध और सबसे अधिक हैं दिलचस्प कहानीविकास।

अंकगणित और व्यावहारिक मिस्रवासी

हमारे आस-पास की दुनिया के अध्ययन और रोजमर्रा की समस्याओं को हल करने में दो सबसे पुराने मानव साथी अंकगणित और ज्यामिति हैं।

ऐसा माना जाता है कि अंकगणित का इतिहास प्राचीन पूर्व में उत्पन्न होता है: भारत, मिस्र, बेबीलोन और चीन में। हाँ, पपीरस Rhinda मिस्र मूल(ऐसा इसलिए नाम दिया गया क्योंकि यह उसी नाम के स्वामी का था), 20वीं सदी से डेटिंग। बीसी, अन्य मूल्यवान डेटा के अलावा, भिन्न हर के साथ भिन्नों के योग में एक अंश का विस्तार और एक के बराबर एक अंश शामिल है।

उदाहरण के लिए: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365।

लेकिन इस तरह के जटिल अपघटन का क्या अर्थ है? तथ्य यह है कि मिस्र के दृष्टिकोण ने संख्याओं के बारे में अमूर्त विचारों को बर्दाश्त नहीं किया, इसके विपरीत, गणना केवल व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए की गई थी। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, केवल एक मकबरा बनाने के लिए, मिस्री गणना के रूप में ऐसी चीज में संलग्न होगा। संरचना के किनारे की लंबाई की गणना करना आवश्यक था, और इसने एक व्यक्ति को पपीरस के पीछे बैठने के लिए मजबूर किया। जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना में मिस्र की प्रगति विज्ञान के प्रति प्रेम के बजाय बड़े पैमाने पर निर्माण के कारण हुई थी।

इस कारण से, पपीरी पर मिलने वाली गणनाओं को भिन्नों के विषय पर प्रतिबिंब नहीं कहा जा सकता है। सबसे अधिक संभावना है, यह एक व्यावहारिक तैयारी है जिसने भविष्य में भिन्न के साथ समस्याओं को हल करने में मदद की। प्राचीन मिस्रवासी, जो गुणन सारणी को नहीं जानते थे, उन्होंने लंबी गणनाएँ कीं, कई उप-कार्यों में विघटित हो गए। शायद यह उन उप-कार्यों में से एक है। यह देखना आसान है कि इस तरह के वर्कपीस के साथ गणना बहुत श्रमसाध्य और अप्रमाणिक है। शायद इसी कारण से हम गणित के विकास में प्राचीन मिस्र के महान योगदान को नहीं देखते हैं।

प्राचीन ग्रीस और दार्शनिक अंकगणित

प्राचीन पूर्व के कई ज्ञान को प्राचीन यूनानियों, अमूर्त, अमूर्त और दार्शनिक प्रतिबिंबों के ज्ञात प्रेमियों द्वारा सफलतापूर्वक महारत हासिल थी। वे अभ्यास में कम रुचि नहीं रखते थे, लेकिन सर्वश्रेष्ठ सिद्धांतकारों और विचारकों को खोजना मुश्किल है। इससे विज्ञान को लाभ हुआ है, क्योंकि इसे वास्तविकता से अलग किए बिना अंकगणित में तल्लीन करना असंभव है। बेशक, आप 10 गायों और 100 लीटर दूध को गुणा कर सकते हैं, लेकिन आपको बहुत दूर नहीं मिलेगा।

गहरी सोच रखने वाले यूनानियों ने इतिहास पर एक महत्वपूर्ण छाप छोड़ी है, और उनके लेखन हमारे पास आए हैं:

• यूक्लिड और तत्व।
• पाइथागोरस।
• आर्किमिडीज।
• एराटोस्थनीज।
• ज़ेनो।
• एनाक्सागोरस।

और, ज़ाहिर है, यूनानी, जिन्होंने सब कुछ दर्शन में बदल दिया, और विशेष रूप से पाइथागोरस के काम के उत्तराधिकारी, संख्याओं से इतने मोहित थे कि वे उन्हें दुनिया के सद्भाव का रहस्य मानते थे। संख्याओं का इस हद तक अध्ययन और शोध किया गया है कि उनमें से कुछ और उनके जोड़े को विशेष गुण दिए गए हैं। उदाहरण के लिए:

• पूर्ण संख्याएँ वे हैं जो स्वयं संख्या (6=1+2+3) को छोड़कर, अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती हैं।
• अनुकूल संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं, जिनमें से एक दूसरे के सभी भाजक के योग के बराबर होती है, और इसके विपरीत (पाइथागोरस केवल एक ऐसी जोड़ी को जानते थे: 220 और 284)।

यूनानियों, जो मानते थे कि विज्ञान को प्यार किया जाना चाहिए, और लाभ के लिए इसके साथ नहीं होना चाहिए, ने खोज, खेल और संख्याओं को जोड़कर बड़ी सफलता हासिल की। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उनके सभी शोध व्यापक रूप से उपयोग नहीं किए गए थे, उनमें से कुछ केवल "सुंदरता के लिए" बने रहे।

मध्य युग के पूर्वी विचारक

उसी तरह, मध्य युग में, अंकगणित का विकास पूर्वी समकालीनों के कारण हुआ। भारतीयों ने हमें वे संख्याएँ दीं जिनका हम सक्रिय रूप से उपयोग करते हैं, "शून्य" जैसी अवधारणा, और आधुनिक धारणा से परिचित एक स्थितिगत संस्करण। 15वीं शताब्दी में समरकंद में काम करने वाले अल-काशी से हमें विरासत में मिली है जिसके बिना आधुनिक अंकगणित की कल्पना करना मुश्किल है।

कई मायनों में, पूर्व की उपलब्धियों के साथ यूरोप का परिचय इतालवी वैज्ञानिक लियोनार्डो फिबोनाची के काम के लिए संभव हो गया, जिन्होंने पूर्वी नवाचारों को पेश करते हुए "द बुक ऑफ द एबैकस" काम लिखा। यह बीजगणित और अंकगणित, अनुसंधान और के विकास की आधारशिला बन गया वैज्ञानिक गतिविधियूरोप में।

रूसी अंकगणित

और, अंत में, अंकगणित, जिसने अपना स्थान पाया और यूरोप में जड़ें जमा लीं, रूसी भूमि में फैलने लगा। पहला रूसी अंकगणित 1703 में प्रकाशित हुआ था - यह लियोन्टी मैग्निट्स्की द्वारा अंकगणित के बारे में एक पुस्तक थी। लंबे समय तक यह गणित की एकमात्र पाठ्यपुस्तक बनी रही। इसमें बीजगणित और ज्यामिति के प्रारंभिक क्षण शामिल हैं। रूस में पहली अंकगणितीय पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों में प्रयुक्त संख्याएं अरबी हैं। हालाँकि अरबी अंक पहले पाए गए थे, 17 वीं शताब्दी की नक्काशी पर।

पुस्तक को आर्किमिडीज और पाइथागोरस की छवियों से सजाया गया है, और पहली शीट पर एक महिला के रूप में अंकगणित की छवि है। वह एक सिंहासन पर बैठती है, उसके नीचे हिब्रू में एक शब्द लिखा है जो भगवान के नाम को दर्शाता है, और सिंहासन की ओर जाने वाले चरणों पर, "विभाजन", "गुणा", "जोड़", आदि शब्द खुदे हुए हैं। जिसे अब सामान्य माना जाता है।

600-पृष्ठ की पाठ्यपुस्तक में नौवहन विज्ञान के लिए जोड़ और गुणन सारणी और अनुप्रयोग जैसे मूल बातें शामिल हैं।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि लेखक ने अपनी पुस्तक के लिए ग्रीक विचारकों की छवियों को चुना, क्योंकि वह खुद अंकगणित की सुंदरता से मोहित हो गए थे, कह रहे थे: "अंकगणित एक अंश है, ईमानदार, अविश्वसनीय कला है ..."। अंकगणित के लिए यह दृष्टिकोण काफी उचित है, क्योंकि यह इसका व्यापक परिचय है जिसे रूस और सामान्य शिक्षा में वैज्ञानिक विचारों के तेजी से विकास की शुरुआत माना जा सकता है।

नॉन-प्राइम प्राइम्स

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जिसमें केवल 2 धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। 1 को छोड़कर अन्य सभी संख्याएँ भाज्य कहलाती हैं। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, और अन्य सभी जिनमें 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है।

नंबर 1 के लिए, यह एक विशेष खाते पर है - एक समझौता है कि इसे न तो सरल और न ही समग्र माना जाना चाहिए। एक साधारण सा दिखने वाला नंबर एक भीड़ को छुपाता है अनसुलझे रहस्यअपने भीतर।

यूक्लिड के प्रमेय का कहना है कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है, और एराटोस्थनीज एक विशेष अंकगणितीय "छलनी" के साथ आया है जो गैर-अभाज्य संख्याओं को समाप्त करता है, केवल साधारण को छोड़कर।

इसका सार पहली गैर-क्रॉस आउट संख्या को रेखांकित करना है, और बाद में उन लोगों को पार करना है जो इसके गुणक हैं। हम इस प्रक्रिया को कई बार दोहराते हैं - और हमें अभाज्य संख्याओं की एक तालिका मिलती है।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अभाज्य संख्याओं के प्रेक्षणों में अंकगणित के मूल प्रमेय का विशेष रूप से उल्लेख किया जाना चाहिए।

अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि 1 से बड़ा कोई भी पूर्णांक या तो अभाज्य होता है, या इसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में गुणनखंडों के क्रम तक और एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है।

अंकगणित का मूल प्रमेय बल्कि बोझिल साबित हुआ है, और इसकी समझ अब सरल नींव के समान नहीं है।

पहली नज़र में, अभाज्य संख्याएँ एक प्राथमिक अवधारणा हैं, लेकिन वे नहीं हैं। भौतिकी ने भी एक बार परमाणु को प्राथमिक माना था, जब तक कि उसने अपने भीतर पूरे ब्रह्मांड को नहीं पाया। अभाज्य संख्याएँ गणितज्ञ डॉन तज़ागीर की "द फर्स्ट फिफ्टी मिलियन प्राइम्स" की एक अद्भुत कहानी का विषय हैं।

"तीन सेब" से निगमनात्मक कानूनों तक

जिसे वास्तव में सभी विज्ञानों का प्रबलित आधार कहा जा सकता है, वह है अंकगणित के नियम। बचपन में भी, हर कोई अंकगणित का सामना करता है, गुड़िया के पैरों और बाहों की संख्या, क्यूब्स, सेब आदि की संख्या का अध्ययन करता है। इस तरह हम अंकगणित का अध्ययन करते हैं, जो तब और अधिक जटिल नियमों में बदल जाता है।

हमारा पूरा जीवन हमें अंकगणित के नियमों से परिचित कराता है, जो आम आदमी के लिए विज्ञान द्वारा दिए गए सबसे उपयोगी बन गए हैं। संख्याओं का अध्ययन "अंकगणित-शिशु" है, जो एक व्यक्ति को बचपन में संख्याओं के रूप में संख्याओं की दुनिया से परिचित कराता है।

उच्च अंकगणित एक निगमनात्मक विज्ञान है जो अंकगणित के नियमों का अध्ययन करता है। उनमें से अधिकांश हमें ज्ञात हैं, हालाँकि हम उनके सटीक शब्दों को नहीं जानते होंगे।

जोड़ और गुणा का नियम

किन्हीं दो प्राकृत संख्याओं a और b को योग a + b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक प्राकृत संख्या भी होगी। निम्नलिखित कानून जोड़ पर लागू होते हैं:

• विनिमेय, जो कहता है कि योग शब्दों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है, या a + b \u003d b + a।
• जोड़नेवाला, जो कहता है कि योग इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि शब्दों को स्थानों में कैसे समूहित किया जाता है, या a+(b+c)= (a+ b)+ c.

अंकगणित के नियम, जैसे जोड़, प्राथमिक लोगों में से हैं, लेकिन उनका उपयोग सभी विज्ञानों द्वारा किया जाता है, रोजमर्रा की जिंदगी का उल्लेख करने के लिए नहीं।

किन्हीं दो प्राकृत संख्याओं a और b को गुणन a*b या a*b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि एक प्राकृत संख्या भी है। उत्पाद पर जोड़ने के लिए समान कम्यूटेटिव और साहचर्य कानून लागू होते हैं:

• ए * बी = बी * ए;
• ए*(बी*सी)= (ए* बी)* सी.

दिलचस्प बात यह है कि एक कानून है जो जोड़ और गुणा को जोड़ता है, जिसे वितरण या वितरण कानून भी कहा जाता है:

a(b+c)=ab+ac

यह कानून वास्तव में हमें कोष्ठक के साथ काम करना, उन्हें खोलना सिखाता है, इस प्रकार हम अधिक जटिल सूत्रों के साथ काम कर सकते हैं। ये ठीक वही नियम हैं जो हमें बीजगणित की विचित्र और जटिल दुनिया में मार्गदर्शन करेंगे।

अंकगणितीय क्रम का नियम

व्यवस्था का नियम मानव तर्क द्वारा प्रतिदिन प्रयोग किया जाता है, घड़ियों की तुलना करना और बैंक नोटों की गिनती करना। और, फिर भी, और इसे विशिष्ट फॉर्मूलेशन के रूप में जारी करने की आवश्यकता है।

यदि हमारे पास दो प्राकृत संख्याएँ a और b हैं, तो निम्नलिखित विकल्प संभव हैं:

• a, b के बराबर है, या a=b;
• a, b से छोटा है, या a< b;
• a, b से बड़ा है, या a > b.

तीन विकल्पों में से केवल एक ही निष्पक्ष हो सकता है। आदेश को नियंत्रित करने वाला मूल कानून कहता है: यदि एक< b и b < c, то a< c.

गुणा और जोड़ के संचालन के आदेश से संबंधित कानून भी हैं: यदि एक< b, то a + c < b+c и ac< bc.

अंकगणित के नियम हमें संख्याओं, संकेतों और कोष्ठकों के साथ काम करना सिखाते हैं, जिससे सब कुछ संख्याओं के सामंजस्यपूर्ण सिम्फनी में बदल जाता है।

स्थितीय और गैर-स्थितीय कलन प्रणाली

हम कह सकते हैं कि संख्याएँ हैं गणितीय भाषा, जिसकी सुविधा पर बहुत कुछ निर्भर करता है। कई संख्या प्रणालियाँ हैं, जैसे अक्षर, विभिन्न भाषाएं, एक दूसरे से भिन्न।

इस स्थिति में अंक के मात्रात्मक मूल्य पर स्थिति के प्रभाव के दृष्टिकोण से संख्या प्रणालियों पर विचार करें। इसलिए, उदाहरण के लिए, रोमन प्रणाली गैर-स्थितीय है, जहां प्रत्येक संख्या को विशेष वर्णों के एक निश्चित सेट के साथ एन्कोड किया गया है: I/V/ X/L/ C/ D/ M. वे क्रमशः संख्या 1 के बराबर हैं। / 5/10/50/100/500/1000। ऐसी प्रणाली में, संख्या अपनी मात्रात्मक परिभाषा को नहीं बदलती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह किस स्थिति में है: पहली, दूसरी, आदि। अन्य संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, आपको आधार जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:

• डीसीसी = 700।
• सीसीएम = 800।

अरबी अंकों का उपयोग करते हुए हमारे लिए अधिक परिचित संख्या प्रणाली स्थितीय है। ऐसी प्रणाली में, किसी संख्या का अंक अंकों की संख्या निर्धारित करता है, उदाहरण के लिए, तीन अंकों की संख्या: 333, 567, आदि। किसी भी अंक का भार उस स्थिति पर निर्भर करता है जिसमें यह या वह अंक स्थित है, उदाहरण के लिए, दूसरी स्थिति में संख्या 8 का मान 80 है। यह दशमलव प्रणाली के लिए विशिष्ट है, उदाहरण के लिए अन्य स्थितीय प्रणालियाँ हैं , बाइनरी।

बाइनरी अंकगणित

बाइनरी अंकगणित बाइनरी वर्णमाला के साथ काम करता है, जिसमें केवल 0 और 1 होते हैं। और इस वर्णमाला के उपयोग को बाइनरी नंबर सिस्टम कहा जाता है।

द्विआधारी अंकगणित और दशमलव अंकगणित के बीच का अंतर यह है कि बाईं ओर की स्थिति का महत्व अब 10 नहीं, बल्कि 2 गुना है। बाइनरी नंबर 111, 1001 आदि के रूप में होते हैं। ऐसी संख्याओं को कैसे समझें? तो, संख्या 1100 पर विचार करें:

1. बाईं ओर पहला अंक 1 * 8 = 8 है, यह याद करते हुए कि चौथा अंक, जिसका अर्थ है कि इसे 2 से गुणा करने की आवश्यकता है, हमें स्थिति 8 मिलती है।
2. दूसरा अंक 1*4=4 (स्थिति 4)।
3. तीसरा अंक 0*2=0 (स्थिति 2)।
4. चौथा अंक 0*1=0 (स्थिति 1)।
5. तो, हमारी संख्या 1100=8+4+0+0=12 है।

यही है, बाईं ओर एक नए अंक में जाने पर, बाइनरी सिस्टम में इसका महत्व 2 से गुणा किया जाता है, और दशमलव में - 10 से। इस तरह की प्रणाली में एक खामी है: यह आवश्यक अंकों में बहुत बड़ी वृद्धि है। संख्या लिखने के लिए। प्रस्तुति उदाहरण दशमलव संख्याएंबाइनरी रूप में निम्न तालिका में देखा जा सकता है।

द्विआधारी रूप में दशमलव संख्याएं नीचे दिखाई गई हैं।

ऑक्टल और हेक्साडेसिमल दोनों प्रणालियों का भी उपयोग किया जाता है।

यह रहस्यमय अंकगणित

अंकगणित क्या है, "दो बार दो" या संख्याओं के अज्ञात रहस्य? जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणित पहली नज़र में सरल लग सकता है, लेकिन इसकी स्पष्ट सहजता भ्रामक है। इसका अध्ययन बच्चों के साथ-साथ आंटी उल्लू के कार्टून "बेबी अरिथमेटिक" से भी किया जा सकता है, या आप लगभग दार्शनिक क्रम के गहन वैज्ञानिक शोध में खुद को डुबो सकते हैं। इतिहास में, वह वस्तुओं को गिनने से लेकर संख्या की सुंदरता की पूजा करने तक चली गई है। केवल एक ही बात निश्चित रूप से जानी जाती है: अंकगणित के मूल सिद्धांतों की स्थापना के साथ, सभी विज्ञान अपने मजबूत कंधे पर भरोसा कर सकते हैं।

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पसंदीदा से पसंदीदा में पसंदीदा से 7

संपादकीय प्रस्तावना: प्राचीन मेसोपोटामिया में खुदाई के दौरान पुरातत्वविदों को मिली 500 हजार से अधिक मिट्टी की गोलियों में से लगभग 400 में गणितीय जानकारी है। उनमें से अधिकांश को समझ लिया गया है और बेबीलोन के वैज्ञानिकों की अद्भुत बीजगणितीय और ज्यामितीय उपलब्धियों का एक स्पष्ट विचार प्राप्त करने की अनुमति देता है।

गणित के जन्म के समय और स्थान के बारे में राय अलग-अलग है। इस मुद्दे के कई शोधकर्ता इसके निर्माण का श्रेय विभिन्न लोगों को देते हैं और इसे विभिन्न युगों से जोड़ते हैं। प्राचीन यूनानियों के पास इस मामले पर अभी तक एक भी दृष्टिकोण नहीं था, जिनके बीच संस्करण विशेष रूप से व्यापक था कि मिस्र के लोग ज्यामिति के साथ आए थे, और फोनीशियन व्यापारियों को व्यापारिक गणना और अंकगणित के लिए इस तरह के ज्ञान की आवश्यकता थी।

"इतिहास" में हेरोडोटस और "भूगोल" में स्ट्रैबो ने फोनीशियन को प्राथमिकता दी। प्लेटो और डायोजनीज लैर्टियस ने मिस्र को अंकगणित और ज्यामिति दोनों का जन्मस्थान माना। यह अरस्तू का भी मत है, जो मानते थे कि गणित का जन्म स्थानीय पुजारियों के बीच अवकाश की उपस्थिति के कारण हुआ था। यह टिप्पणी इस मार्ग का अनुसरण करती है कि प्रत्येक सभ्यता में पहले व्यावहारिक शिल्प पैदा होते हैं, फिर आनंद के लिए कला, और उसके बाद ही ज्ञान के उद्देश्य से विज्ञान।

अपने अधिकांश पूर्ववर्तियों की तरह, अरस्तू के एक छात्र यूडेमस ने भी मिस्र को ज्यामिति का जन्मस्थान माना, और इसके प्रकट होने का कारण भूमि सर्वेक्षण की व्यावहारिक आवश्यकताएं थीं। एवडेम के अनुसार, ज्यामिति अपने सुधार में तीन चरणों से गुजरती है: भूमि सर्वेक्षण में व्यावहारिक कौशल का उदय, व्यावहारिक रूप से उन्मुख अनुप्रयुक्त अनुशासन का उद्भव और एक सैद्धांतिक विज्ञान में इसका परिवर्तन। जाहिरा तौर पर, यूडेमस के पहले दो चरणों ने मिस्र को जिम्मेदार ठहराया, और तीसरा - ग्रीक गणित के लिए। सच है, उन्होंने फिर भी स्वीकार किया कि क्षेत्रों की गणना का सिद्धांत द्विघात समीकरणों के समाधान से उत्पन्न हुआ, जो बेबीलोन मूल के थे।

इतिहासकार जोसेफ फ्लेवियस ("प्राचीन यहूदिया", पुस्तक 1, अध्याय 8) की अपनी राय है। हालाँकि वह मिस्रियों को सबसे पहले बुलाता है, लेकिन उसे यकीन है कि उन्हें यहूदियों के पूर्वज इब्राहीम द्वारा अंकगणित और खगोल विज्ञान पढ़ाया गया था, जो कनान देश में आए अकाल के दौरान मिस्र भाग गए थे। खैर, ग्रीस में मिस्र का प्रभाव यूनानियों पर एक समान राय थोपने के लिए काफी मजबूत था, जो कि उनके हल्के हाथ से, ऐतिहासिक साहित्य में अभी भी प्रचलन में है। अच्छी तरह से संरक्षित मिट्टी की गोलियां मेसोपोटामिया में पाए गए क्यूनिफॉर्म ग्रंथों से ढकी हुई हैं और 2000 ईसा पूर्व से दिनांकित हैं। और 300 ईस्वी से पहले, दोनों मामलों की एक अलग स्थिति की गवाही देते हैं, और प्राचीन बेबीलोन में गणित कैसा था। यह अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति और यहां तक ​​कि त्रिकोणमिति के मूल सिद्धांतों का एक जटिल मिश्र धातु था।

स्क्राइब स्कूलों में गणित पढ़ाया जाता था, और प्रत्येक स्नातक के पास उस समय के लिए काफी गंभीर ज्ञान था। जाहिर है, यह वही है जो 7 वीं शताब्दी में अश्शूर के राजा अश्शूरनिपाल के बारे में बात कर रहा है। ईसा पूर्व, अपने एक शिलालेख में, यह कहते हुए कि उसने खोजना सीख लिया था

"जटिल पारस्परिक और गुणा"।

गणनाओं का सहारा लेने के लिए, जीवन ने हर मोड़ पर बाबुलियों को मजबूर किया। हाउसकीपिंग में अंकगणित और सरल बीजगणित की आवश्यकता होती थी, जब पैसे का आदान-प्रदान और माल का निपटान, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज की गणना, कर और फसल का हिस्सा राज्य, मंदिर या जमींदार को सौंप दिया जाता था। गणितीय गणना, और बल्कि जटिल, के लिए बड़े पैमाने पर वास्तुशिल्प परियोजनाओं, सिंचाई प्रणाली के निर्माण के दौरान इंजीनियरिंग कार्य, बैलिस्टिक, खगोल विज्ञान और ज्योतिष की आवश्यकता होती है। गणित का एक महत्वपूर्ण कार्य कृषि कार्य, धार्मिक अवकाश और अन्य कैलेंडर आवश्यकताओं का समय निर्धारित करना था। टाइग्रिस और यूफ्रेट्स के बीच प्राचीन शहर-राज्यों में कितनी बड़ी उपलब्धियां थीं, जिन्हें बाद में यूनानियों ने इतनी आश्चर्यजनक रूप से सटीक रूप से μαθημα ("ज्ञान") कहा, हम मेसोपोटामिया की मिट्टी की क्यूनिफॉर्म की व्याख्या का न्याय कर सकते हैं। वैसे, यूनानियों के बीच, शब्द μαθημα ने पहली बार चार विज्ञानों की एक सूची को निरूपित किया: अंकगणित, ज्यामिति, खगोल विज्ञान और हार्मोनिक्स, उन्होंने बहुत बाद में गणित को निरूपित करना शुरू किया।

मेसोपोटामिया में, पुरातत्त्वविदों ने पहले से ही गणितीय प्रकृति के रिकॉर्ड के साथ क्यूनिफॉर्म टैबलेट ढूंढे हैं और जारी रखा है, आंशिक रूप से अक्कादियन में, आंशिक रूप से सुमेरियन में, साथ ही साथ गणितीय संदर्भ तालिकाएं। उत्तरार्द्ध ने उन गणनाओं को बहुत सुविधाजनक बनाया जो दैनिक आधार पर की जानी थीं, इसलिए कई गूढ़ ग्रंथों में अक्सर ब्याज गणना होती है। मेसोपोटामिया के इतिहास के सुमेरियन काल के पहले के अंकगणितीय कार्यों के नाम संरक्षित किए गए हैं। इसलिए, जोड़ के संचालन को "संचय" या "जोड़" कहा जाता था, घटाते समय, क्रिया "बाहर निकालना" का उपयोग किया जाता था, और गुणा के लिए शब्द का अर्थ "खाना" था।

यह दिलचस्प है कि बाबुल में उन्होंने एक अधिक व्यापक गुणन तालिका का उपयोग किया - 1 से 180,000 तक जो हमें स्कूल में सीखना था, अर्थात। 1 से 100 तक की संख्याओं पर गणना की जाती है।

प्राचीन मेसोपोटामिया में, अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए समान नियम न केवल पूर्णांकों के साथ बनाए गए थे, बल्कि भिन्नों के साथ भी, संचालन की कला में, जिसके साथ बेबीलोनियाई मिस्रियों से काफी बेहतर थे। मिस्र में, उदाहरण के लिए, भिन्नों के साथ संचालन लंबे समय तक आदिम बने रहे, क्योंकि वे केवल विभाज्य अंश (यानी, 1 के बराबर अंश के साथ अंश) जानते थे। मेसोपोटामिया में सुमेरियों के समय से, सभी आर्थिक मामलों में मुख्य गिनती इकाई संख्या 60 थी, हालाँकि दशमलव संख्या प्रणाली भी ज्ञात थी, जो अक्कादियों के बीच उपयोग में थी। बेबीलोन के गणितज्ञों ने व्यापक रूप से सेक्सजेसिमल पोजिशनल (!) काउंटिंग सिस्टम का इस्तेमाल किया। इसके आधार पर विभिन्न गणना तालिकाओं का संकलन किया गया। गुणन सारणी और पारस्परिक तालिकाओं के अलावा, जिसके साथ विभाजन किया गया था, वर्गमूल और घन संख्याओं की तालिकाएँ थीं।

बीजगणितीय और ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए समर्पित क्यूनिफॉर्म ग्रंथों से संकेत मिलता है कि बेबीलोन के गणितज्ञ कुछ विशेष समस्याओं को हल करने में सक्षम थे, जिसमें दस अज्ञात के साथ दस समीकरण, साथ ही साथ कुछ प्रकार के घन समीकरण और चौथी डिग्री के समीकरण शामिल थे। सबसे पहले, द्विघात समीकरणों ने मुख्य रूप से विशुद्ध रूप से व्यावहारिक उद्देश्यों की पूर्ति की - क्षेत्रों और मात्राओं का मापन, जो शब्दावली में परिलक्षित होता था। उदाहरण के लिए, दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करते समय, एक को "लंबाई" और दूसरे को "चौड़ाई" कहा जाता था। अज्ञात के उत्पाद को "क्षेत्र" कहा जाता था। अभी की तरह! घन समीकरण की ओर ले जाने वाले कार्यों में, एक तीसरी अज्ञात मात्रा थी - "गहराई", और तीन अज्ञात के उत्पाद को "वॉल्यूम" कहा जाता था। बाद में, बीजगणितीय सोच के विकास के साथ, अज्ञात को अधिक सारगर्भित समझा जाने लगा।

कभी-कभी, बाबुल में बीजगणितीय संबंधों के चित्रण के रूप में, ज्यामितीय चित्रों का उपयोग किया जाता था। बाद में, प्राचीन ग्रीस में, वे बीजगणित का मुख्य तत्व बन गए, जबकि बेबीलोन के लोगों के लिए, जो मुख्य रूप से बीजगणितीय रूप से सोचते थे, चित्र केवल दृश्यता का एक साधन थे, और "रेखा" और "क्षेत्र" शब्द का अर्थ अक्सर आयामहीन संख्या से होता था। यही कारण है कि उन समस्याओं के समाधान थे जहां "क्षेत्र" को "पक्ष" में जोड़ा गया था या "वॉल्यूम" से घटाया गया था, आदि।

प्राचीन काल में खेतों, बगीचों, इमारतों की सटीक माप का विशेष महत्व था - नदियों की वार्षिक बाढ़ बड़ी मात्रा में गाद लाती है जो खेतों को ढक लेती है और उनके बीच की सीमाओं को नष्ट कर देती है, और पानी में गिरावट के बाद, भूमि सर्वेक्षणकर्ता, अपने मालिकों के आदेश से, अक्सर आवंटन को फिर से मापना पड़ता था। क्यूनिफॉर्म अभिलेखागार में, 4 हजार साल पहले संकलित ऐसे कई भूमि सर्वेक्षण मानचित्र संरक्षित किए गए हैं।

प्रारंभ में, माप की इकाइयाँ बहुत सटीक नहीं थीं, क्योंकि लंबाई को उंगलियों, हथेलियों, कोहनी से मापा जाता था, जो अलग-अलग लोगों के लिए अलग-अलग होते हैं। बड़ी मात्रा में स्थिति बेहतर थी, जिसकी माप के लिए उन्होंने एक ईख और कुछ आकारों की रस्सी का इस्तेमाल किया। लेकिन यहां भी, माप के परिणाम अक्सर एक दूसरे से भिन्न होते हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि किसने और कहां मापा। इसलिए, बेबीलोनिया के विभिन्न शहरों में लंबाई के विभिन्न मापों को अपनाया गया। उदाहरण के लिए, लगश शहर में, "क्यूबिट" 400 मिमी था, और निप्पुर और बेबीलोन में ही - 518 मिमी।

कई जीवित क्यूनिफॉर्म सामग्री बेबीलोन के स्कूली बच्चों के लिए पाठ्यपुस्तकें थीं, जो विभिन्न सरल समस्याओं का समाधान प्रदान करती थीं जो अक्सर व्यावहारिक जीवन में सामने आती थीं। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि छात्र ने उन्हें अपने दिमाग में हल किया या जमीन पर एक टहनी के साथ प्रारंभिक गणना की - केवल गणितीय समस्याओं की शर्तें और उनके समाधान गोलियों पर लिखे गए हैं।

स्कूल में गणित पाठ्यक्रम का मुख्य भाग अंकगणित, बीजगणितीय और ज्यामितीय समस्याओं के समाधान पर कब्जा कर लिया गया था, जिसके निर्माण में यह विशिष्ट वस्तुओं, क्षेत्रों और संस्करणों के साथ काम करने के लिए प्रथागत था। क्यूनिफॉर्म गोलियों में से एक पर, निम्नलिखित समस्या को संरक्षित किया गया था: "कितने दिनों में एक निश्चित लंबाई के कपड़े का टुकड़ा बनाया जा सकता है यदि हम जानते हैं कि इस कपड़े के इतने हाथ (लंबाई का एक माप) प्रतिदिन बनाया जाता है?" दूसरा निर्माण कार्य से संबंधित कार्यों को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, "एक तटबंध के लिए कितनी मिट्टी की आवश्यकता होगी, जिसके आयाम ज्ञात हैं, और प्रत्येक कार्यकर्ता को कितनी पृथ्वी को हिलाना चाहिए, यदि उनकी कुल संख्या ज्ञात हो?" या "एक निश्चित आकार की दीवार बनाने के लिए प्रत्येक कार्यकर्ता को कितनी मिट्टी तैयार करनी चाहिए?"

छात्र को गुणांकों की गणना करने, योगों की गणना करने, कोणों को मापने की समस्याओं को हल करने, क्षेत्रों की गणना करने और रेक्टिलिनियर आंकड़ों के आयतन में भी सक्षम होना था - यह प्राथमिक ज्यामिति के लिए एक सामान्य सेट था।

सुमेरियन काल से संरक्षित ज्यामितीय आकृतियों के नाम दिलचस्प हैं। त्रिकोण को "पच्चर" कहा जाता था, ट्रेपेज़ॉइड - "बैल का माथा", सर्कल - "घेरा", क्षमता को "पानी" शब्द द्वारा निर्दिष्ट किया गया था, मात्रा - "पृथ्वी, रेत", क्षेत्र को कहा जाता था "खेत"।

क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में से एक में बांध, प्राचीर, कुएं, पानी की घड़ियां और मिट्टी के काम से संबंधित समाधान के साथ 16 समस्याएं हैं। एक समस्या एक गोलाकार शाफ्ट से संबंधित एक ड्राइंग के साथ प्रदान की जाती है, दूसरा एक काटे गए शंकु पर विचार करता है, जो ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्रों के आधे योग से ऊंचाई को गुणा करके इसकी मात्रा निर्धारित करता है। बेबीलोन के गणितज्ञों ने समकोण त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके योजनामितीय समस्याओं को भी हल किया, बाद में पाइथागोरस द्वारा कर्ण के वर्ग के समकोण त्रिभुज में टांगों के वर्गों के योग की समानता पर एक प्रमेय के रूप में तैयार किया गया। दूसरे शब्दों में, प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय पाइथागोरस से कम से कम एक हजार साल पहले बेबीलोनियों के लिए जाना जाता था।

प्लैनिमेट्रिक समस्याओं के अलावा, उन्होंने विभिन्न प्रकार के रिक्त स्थान, निकायों की मात्रा निर्धारित करने और खेतों, क्षेत्रों, व्यक्तिगत भवनों के लिए व्यापक रूप से प्रचलित ड्राइंग योजनाओं से संबंधित स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को भी हल किया, लेकिन आमतौर पर पैमाने पर नहीं।

गणित की सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धि इस तथ्य की खोज थी कि एक वर्ग के विकर्ण और भुजा के अनुपात को पूर्ण संख्या या साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, तर्कहीनता की अवधारणा को गणित में पेश किया गया था।

यह माना जाता है कि सबसे महत्वपूर्ण अपरिमेय संख्याओं में से एक की खोज - संख्या , एक वृत्त की परिधि के अनुपात को उसके व्यास और एक अनंत अंश के बराबर = 3.14 ... के अनुपात को व्यक्त करते हुए, पाइथागोरस से संबंधित है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, संख्या के लिए, मान 3.14 पहली बार आर्किमिडीज द्वारा 300 साल बाद, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में प्रस्तावित किया गया था। ई.पू. एक अन्य के अनुसार इसकी गणना सबसे पहले उमर खय्याम ने की थी, यह आमतौर पर 11-12 शतक होते हैं। यह केवल निश्चित रूप से जाना जाता है कि ग्रीक अक्षर π ने पहली बार 1706 में अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम जोन्स द्वारा इस अनुपात को दर्शाया था, और स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर द्वारा 1737 में इस पद को उधार लेने के बाद ही इसे आम तौर पर स्वीकार किया गया था।

संख्या सबसे पुरानी गणितीय पहेली है, इस खोज को प्राचीन मेसोपोटामिया में भी खोजा जाना चाहिए। बेबीलोन के गणितज्ञ सबसे महत्वपूर्ण अपरिमेय संख्याओं से अच्छी तरह वाकिफ थे, और एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना की समस्या का समाधान भी गणितीय सामग्री की क्यूनिफॉर्म मिट्टी की गोलियों के डिकोडिंग में पाया जा सकता है। इन आंकड़ों के अनुसार, को 3 के बराबर लिया गया, जो कि व्यावहारिक भूमि सर्वेक्षण उद्देश्यों के लिए काफी पर्याप्त था। शोधकर्ताओं का मानना ​​​​है कि प्राचीन बेबीलोन में मेट्रोलॉजिकल कारणों से सेक्सेजिमल सिस्टम को चुना गया था: 60 की संख्या में कई भाजक हैं। पूर्णांकों का हेक्साडेसिमल अंकन मेसोपोटामिया के बाहर व्यापक नहीं हुआ, लेकिन यूरोप में 17 वीं शताब्दी तक। दोनों सेक्जैसिमल अंश और वृत्त के 360 डिग्री में सामान्य विभाजन का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। घंटे और मिनट, 60 भागों में विभाजित, बाबुल में भी उत्पन्न होते हैं। संख्या लिखने के लिए डिजिटल वर्णों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करने के लिए बेबीलोनियों का सरल विचार उल्लेखनीय है। उदाहरण के लिए, रोमियों ने यह भी नहीं सोचा था कि एक ही संख्या अलग-अलग मात्राओं को दर्शा सकती है! ऐसा करने के लिए, उन्होंने अपने वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग किया। नतीजतन, चार अंकों की संख्या, उदाहरण के लिए, 2737 में ग्यारह अक्षर शामिल थे: MMDCCXXXVII। और यद्यपि हमारे समय में चरम गणितज्ञ हैं जो LXXVIII को CLXVI से एक कॉलम में विभाजित कर सकते हैं या CLIX को LXXIV से गुणा कर सकते हैं, कोई केवल अनन्त शहर के उन निवासियों के लिए खेद महसूस कर सकता है, जिन्हें इस तरह की मदद से जटिल कैलेंडर और खगोलीय गणना करना था। गणितीय संतुलन अधिनियम या गणना बड़े पैमाने पर वास्तु परियोजनाओं और विभिन्न इंजीनियरिंग वस्तुओं।

ग्रीक संख्या प्रणाली भी वर्णमाला के अक्षरों के प्रयोग पर आधारित थी। सबसे पहले, ग्रीस में अटारी प्रणाली को अपनाया गया था, जिसमें एक इकाई को नामित करने के लिए एक ऊर्ध्वाधर रेखा का उपयोग किया जाता था, और संख्याओं के लिए 5, 10, 100, 1000, 10000 (अनिवार्य रूप से यह एक दशमलव प्रणाली थी) - उनके ग्रीक नामों के प्रारंभिक अक्षर . बाद में, तीसरी सी के आसपास। ईसा पूर्व, आयनिक संख्या प्रणाली व्यापक हो गई, जिसमें ग्रीक वर्णमाला के 24 अक्षरों और संख्याओं को दर्शाने के लिए तीन पुरातन अक्षरों का उपयोग किया गया था। और संख्याओं को शब्दों से अलग करने के लिए, यूनानियों ने संबंधित अक्षर के ऊपर एक क्षैतिज रेखा रखी।

इस अर्थ में, बेबीलोनियन गणितीय विज्ञान बाद के ग्रीक या रोमन से ऊपर खड़ा था, क्योंकि यह वह है जो संख्या संकेतन प्रणालियों के विकास में सबसे उत्कृष्ट उपलब्धियों में से एक का मालिक है - स्थिति का सिद्धांत, जिसके अनुसार समान संख्यात्मक संकेत (प्रतीक) जिस स्थान पर यह स्थित है, उसके आधार पर अलग-अलग अर्थ हैं।

वैसे, मिस्र की संख्या प्रणाली बेबीलोनियाई और आधुनिक मिस्र की संख्या प्रणाली से नीच थी। मिस्रवासियों ने एक गैर-स्थितीय दशमलव प्रणाली का उपयोग किया, जिसमें 1 से 9 तक की संख्याओं को समान ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा दर्शाया गया था, और व्यक्तिगत चित्रलिपि प्रतीकों को 10 की क्रमिक शक्तियों के लिए पेश किया गया था। छोटी संख्या के लिए, बेबीलोनियाई संख्या प्रणाली सामान्य शब्दों में मिस्र के समान थी। एक ऊर्ध्वाधर पच्चर के आकार की रेखा (शुरुआती सुमेरियन गोलियों में - एक छोटा अर्धवृत्त) का अर्थ एक इकाई था; आवश्यक संख्या को बार-बार दोहराया, इस चिन्ह ने दस से कम संख्या लिखने का काम किया; संख्या 10 को निर्दिष्ट करने के लिए, बेबीलोनियों ने, मिस्रवासियों की तरह, एक नया प्रतीक पेश किया - बाईं ओर निर्देशित एक बिंदु के साथ एक विस्तृत पच्चर के आकार का चिन्ह, आकार में एक कोण ब्रैकेट जैसा (शुरुआती सुमेरियन ग्रंथों में - एक छोटा वृत्त)। उचित संख्या में दोहराया गया, यह चिन्ह 20, 30, 40 और 50 की संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्य करता है।

अधिकांश आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि प्राचीन वैज्ञानिक ज्ञान प्रकृति में विशुद्ध रूप से अनुभवजन्य था। भौतिकी, रसायन विज्ञान, प्राकृतिक दर्शन के संबंध में, जो अवलोकनों पर आधारित थे, यह सत्य प्रतीत होता है। लेकिन ज्ञान के स्रोत के रूप में संवेदी अनुभव की धारणा एक अघुलनशील प्रश्न का सामना करती है जब ऐसे अमूर्त विज्ञान की बात आती है जैसे गणित प्रतीकों के साथ संचालित होता है।

बेबीलोन के गणितीय खगोल विज्ञान की उपलब्धियाँ विशेष रूप से महत्वपूर्ण थीं। लेकिन क्या अचानक छलांग ने मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को उपयोगितावादी अभ्यास के स्तर से एक विशाल ज्ञान तक बढ़ा दिया, जिससे उन्हें सूर्य, चंद्रमा और ग्रहों, ग्रहणों और अन्य खगोलीय घटनाओं की स्थिति का अनुमान लगाने के लिए गणितीय तरीकों को लागू करने की अनुमति मिली, या क्या विकास धीरे-धीरे आगे बढ़ा , दुर्भाग्य से हम नहीं जानते।

सामान्य तौर पर गणितीय ज्ञान का इतिहास अजीब लगता है। हम जानते हैं कि हमारे पूर्वजों ने अपनी उंगलियों और पैर की उंगलियों पर गिनना कैसे सीखा, एक छड़ी पर पायदान, रस्सी पर गांठ, या एक पंक्ति में रखे कंकड़ के रूप में आदिम संख्यात्मक रिकॉर्ड बनाना। और फिर - बिना किसी संक्रमणकालीन कड़ी के - अचानक बेबीलोनियों, मिस्रियों, चीनी, हिंदुओं और अन्य प्राचीन वैज्ञानिकों की गणितीय उपलब्धियों के बारे में जानकारी, इतनी ठोस कि उनके गणितीय तरीके हाल ही में समाप्त हुई द्वितीय सहस्राब्दी के मध्य तक समय की कसौटी पर खरे उतरे, यानी। तीन हजार से अधिक वर्षों से ...

इन कड़ियों के बीच क्या छिपा है? प्राचीन ऋषियों ने व्यावहारिक महत्व के अलावा, गणित को पवित्र ज्ञान के रूप में क्यों सम्मान दिया, और संख्याओं और ज्यामितीय आकृतियों को देवताओं के नाम क्यों दिए? क्या इसके ठीक पीछे ज्ञान के प्रति श्रद्धा का भाव है?

शायद वह समय आएगा जब पुरातत्वविदों को इन सवालों के जवाब मिल जाएंगे। इस बीच, 700 साल पहले ऑक्सफ़ोर्डियन थॉमस ब्रैडवर्डिन ने जो कहा था उसे नहीं भूलना चाहिए:

"जिसके पास गणित को नकारने की बेशर्मी है, उसे शुरू से ही पता होना चाहिए कि वह कभी भी ज्ञान के द्वार में प्रवेश नहीं करेगा।"

गणित की शुरुआत अंकगणित से होती है। अंकगणित के साथ, हम प्रवेश करते हैं, जैसा कि एम. वी. लोमोनोसोव ने कहा, "सीखने के द्वार" में।

शब्द "अंकगणित" ग्रीक अंकगणित से आया है, जिसका अर्थ है "संख्या"। यह विज्ञान संख्याओं पर संचालन, उन्हें संभालने के विभिन्न नियमों का अध्ययन करता है, आपको सिखाता है कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जो संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणा और भाग तक होती हैं। अंकगणित को अक्सर गणित में कुछ पहला कदम माना जाता है, जिसके आधार पर इसके अधिक जटिल वर्गों - बीजगणित, गणितीय विश्लेषण, आदि का अध्ययन करना संभव है।अंकगणित की उत्पत्ति प्राचीन पूर्व के देशों में हुई: बेबीलोन, चीन, भारत, मिस्र। उदाहरण के लिए, मिस्र का पेपिरस रिंडा (इसके मालिक जी. रिंडा के नाम पर) 20वीं सदी का है। ईसा पूर्व इ।

प्राचीन पूर्व के देशों में संचित गणितीय ज्ञान के खजाने को प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिकों द्वारा विकसित और जारी रखा गया था। प्राचीन दुनिया में अंकगणित में शामिल वैज्ञानिकों के कई नाम इतिहास द्वारा हमारे लिए संरक्षित किए गए हैं - एनाक्सगोरस और ज़ेनो, यूक्लिड, आर्किमिडीज़, एराटोस्थनीज और डायोफैंटस। पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) का नाम यहां एक चमकीले तारे के रूप में चमकता है। पाइथागोरस ने संख्याओं की पूजा की, यह विश्वास करते हुए कि वे दुनिया के सभी सामंजस्य को समाहित करते हैं। व्यक्तिगत संख्याओं और संख्याओं के जोड़े को विशेष गुण दिए गए थे। संख्या 7 और 36 उच्च सम्मान में थे, साथ ही तथाकथित पूर्ण संख्याओं, अनुकूल संख्याओं आदि पर ध्यान दिया गया था।

मध्य युग में, अंकगणित का विकास पूर्व से भी जुड़ा हुआ है: भारत, अरब दुनिया के देश और मध्य एशिया। भारतीयों से हमारे पास वे संख्याएँ आईं जिनका हम उपयोग करते हैं, शून्य और स्थितीय संख्या प्रणाली; अल-काशी (XV सदी) से, उलुगबेक - दशमलव अंश।

XIII सदी से व्यापार के विकास और प्राच्य संस्कृति के प्रभाव के लिए धन्यवाद। यूरोप में अंकगणित में रुचि बढ़ रही है। पीसा (फिबोनाची) के इतालवी वैज्ञानिक लियोनार्डो का नाम याद रखना चाहिए, जिनके काम "द बुक ऑफ द एबैकस" ने यूरोपीय लोगों को पूर्व के गणित की मुख्य उपलब्धियों से परिचित कराया और अंकगणित और बीजगणित में कई अध्ययनों की शुरुआत हुई।

छपाई के आविष्कार (15 वीं शताब्दी के मध्य) के साथ, पहली मुद्रित गणितीय पुस्तकें दिखाई दीं। अंकगणित पर पहली मुद्रित पुस्तक 1478 में इटली में प्रकाशित हुई थी। जर्मन गणितज्ञ एम। स्टीफेल (16 वीं शताब्दी की शुरुआत) द्वारा पूर्ण अंकगणित में पहले से ही नकारात्मक संख्याएं और यहां तक ​​​​कि लॉगरिदम लेने का विचार भी शामिल है।

16वीं शताब्दी के आसपास विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रश्नों का विकास बीजगणित की मुख्यधारा में प्रवाहित हुआ, एक महत्वपूर्ण मील के पत्थर के रूप में, कोई भी फ्रांसीसी वैज्ञानिक एफ। विएटा के कार्यों की उपस्थिति को नोट कर सकता है, जिसमें संख्याओं को अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है। उस समय से, बीजगणित के दृष्टिकोण से बुनियादी अंकगणितीय नियमों को पूरी तरह से समझा गया है।

अंकगणित की मूल वस्तु संख्या है। पूर्णांकों, अर्थात। संख्या 1, 2, 3, 4, ... आदि, विशिष्ट वस्तुओं की गिनती से उत्पन्न हुई। मनुष्य को यह जानने से पहले कई सहस्राब्दी बीत गए कि दो तीतर, दो हाथ, दो लोग, आदि। एक ही शब्द "दो" कहा जा सकता है। अंकगणित का एक महत्वपूर्ण कार्य गिने हुए वस्तुओं के नामों के विशिष्ट अर्थ को दूर करना, उनके आकार, आकार, रंग आदि से विचलित होना सीखना है। अंकगणित में, संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जाता है। किसी भी संख्या पर इन कार्यों को जल्दी और सटीक रूप से करने की कला पर लंबे समय से विचार किया गया है सबसे महत्वपूर्ण कार्यअंकगणित।संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं में कई प्रकार के गुण होते हैं। इन गुणों को शब्दों में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: "योग शब्दों के स्थानों में परिवर्तन से नहीं बदलता है", अक्षरों में लिखा जा सकता है: ए + बी \u003d बी + ए, विशेष शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है।

अंकगणित द्वारा शुरू की गई महत्वपूर्ण अवधारणाओं में, अनुपात और प्रतिशत पर ध्यान दिया जाना चाहिए। अंकगणित की अधिकांश अवधारणाएँ और विधियाँ संख्याओं के बीच विभिन्न संबंधों की तुलना पर आधारित हैं। गणित के इतिहास में, अंकगणित और ज्यामिति के विलय की प्रक्रिया कई शताब्दियों में हुई।

"अंकगणित" शब्द को इस प्रकार समझा जा सकता है:

एक अकादमिक विषय जो मुख्य रूप से परिमेय संख्याओं (पूर्ण संख्याओं और भिन्नों), उन पर संक्रियाओं और इन संक्रियाओं की सहायता से हल की गई समस्याओं से संबंधित है;


गणित की ऐतिहासिक इमारत का हिस्सा, जिसने गणना के बारे में विभिन्न जानकारी जमा की है;


"सैद्धांतिक अंकगणित" - आधुनिक गणित का एक हिस्सा जो विभिन्न संख्यात्मक प्रणालियों (प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक, जटिल संख्या और उनके सामान्यीकरण) के निर्माण से संबंधित है;


"औपचारिक अंकगणित" - गणितीय तर्क का एक हिस्सा जो अंकगणित के स्वयंसिद्ध सिद्धांत के विश्लेषण से संबंधित है;


"उच्च अंकगणित", या संख्या सिद्धांत, गणित का एक स्वतंत्र रूप से विकासशील हिस्सातथा

/एनसाइक्लोपीडिक डिक्शनरी ऑफ ए यंग मैथमेटिशियन, 1989/