ज्यामितीय कोण और उनके नाम। ज्यामितीय आकृति कोण - कोण की परिभाषा, कोणों का माप, प्रतीक और उदाहरण। फ्लैट कॉर्नर गुण

यह लेख मुख्य ज्यामितीय आकृतियों में से एक - कोण पर विचार करेगा। इस अवधारणा के सामान्य परिचय के बाद, हम एक विशेष प्रकार की आकृति पर ध्यान केंद्रित करेंगे। ज्यामिति में सीधा कोण एक महत्वपूर्ण अवधारणा है और इस लेख का फोकस होगा।

ज्यामितीय कोण की अवधारणा का परिचय

ज्यामिति में, कई वस्तुएँ हैं जो सभी विज्ञानों का आधार बनती हैं। कोण केवल उन्हें संदर्भित करता है और एक किरण की अवधारणा का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, तो चलिए इसके साथ शुरू करते हैं।

इसके अलावा, स्वयं कोण की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, आपको ज्यामिति में समान रूप से महत्वपूर्ण कई वस्तुओं को याद रखने की आवश्यकता है - यह एक बिंदु है, एक विमान पर एक सीधी रेखा है, और स्वयं विमान है। एक सीधी रेखा सबसे सरल ज्यामितीय आकृति है, जिसका न तो आरंभ है और न ही अंत। एक विमान एक सतह है जिसमें दो आयाम होते हैं। ठीक है, ज्यामिति में एक किरण (या एक आधा रेखा) एक सीधी रेखा का एक हिस्सा है जिसकी शुरुआत होती है, लेकिन कोई अंत नहीं होता है।

इन अवधारणाओं का उपयोग करके, हम एक बयान दे सकते हैं कि एक कोण एक ज्यामितीय आकृति है जो पूरी तरह से एक निश्चित विमान में स्थित है और इसमें एक सामान्य उत्पत्ति के साथ दो बेमेल किरणें होती हैं। ऐसी किरणों को कोण की भुजाएँ कहा जाता है, और भुजाओं की सामान्य शुरुआत इसका शीर्ष है।

कोण और ज्यामिति के प्रकार

हम जानते हैं कि कोण काफी भिन्न हो सकते हैं। और इसलिए, नीचे थोड़ा वर्गीकरण दिया जाएगा, जो कोणों के प्रकार और उनकी मुख्य विशेषताओं को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा। तो, ज्यामिति में कई प्रकार के कोण हैं:

1. समकोण। यह 90 डिग्री के मान की विशेषता है, जिसका अर्थ है कि इसके किनारे हमेशा एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
2. तेज़ कोने। इन कोणों में उनके सभी प्रतिनिधि शामिल हैं, जिनका आकार 90 डिग्री से कम है।
3. अधिक कोण। 90 से 180 डिग्री के मान वाले सभी कोण भी यहां हो सकते हैं।
4. फैला हुआ कोना। इसका आकार सख्ती से 180 डिग्री है और बाहरी रूप से इसकी भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।

सीधे कोण की अवधारणा

अब आइए विकसित कोण को और अधिक विस्तार से देखें। यह वह स्थिति है जब दोनों पक्ष एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे नीचे की आकृति में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। इसका मतलब यह है कि हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि इसका एक पक्ष वास्तव में दूसरे की निरंतरता है।

यह तथ्य याद रखने योग्य है कि इस तरह के कोण को हमेशा अपने शीर्ष से निकलने वाली किरण का उपयोग करके विभाजित किया जा सकता है। नतीजतन, हमें दो कोण मिलते हैं, जिन्हें ज्यामिति में आसन्न कहा जाता है।

साथ ही, विकसित कोण में कई विशेषताएं हैं। उनमें से पहले के बारे में बात करने के लिए, आपको "कोण द्विभाजक" की अवधारणा को याद रखना होगा। याद रखें कि यह एक किरण है जो किसी भी कोण को सख्ती से आधे में विभाजित करती है। जहां तक ​​सीधे कोण की बात है, इसका समद्विभाजक इसे इस प्रकार विभाजित करता है कि 90 डिग्री के दो समकोण बनते हैं। गणितीय रूप से इसकी गणना करना बहुत आसान है: 180˚ (सीधे कोण की डिग्री): 2 = 90˚।

यदि, हालांकि, हम विकसित कोण को पूरी तरह से मनमाना किरण से विभाजित करते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें हमेशा दो कोण मिलते हैं, जिनमें से एक तीव्र होगा और दूसरा कुंठित होगा।

फ्लैट कॉर्नर गुण

इस कोण पर विचार करना सुविधाजनक होगा, इसके सभी मुख्य गुणों को एक साथ लाना, जो हमने इस सूची में किया है:

1. एक समकोण की भुजाएँ प्रतिसमांतर होती हैं और एक सरल रेखा बनाती हैं।
2. विकसित कोण का मान हमेशा 180˚ होता है।
3. दो आसन्न कोण मिलकर सदैव एक ऋजुकोण बनाते हैं।
4. पूर्ण कोण, जो 360˚ है, में दो तैनात हैं और उनकी राशि के बराबर है।
5. आधा सीधा कोण समकोण होता है।

इसलिए, इस प्रकार के कोण की इन सभी विशेषताओं को जानने के बाद, हम उनका उपयोग कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए कर सकते हैं।

सीधे कोनों की समस्या

यह समझने के लिए कि क्या आपको समकोण की अवधारणा में महारत हासिल है, निम्नलिखित प्रश्नों में से कुछ का उत्तर देने का प्रयास करें।

1. एक ऋजु कोण क्या होता है यदि उसकी भुजाएँ एक उर्ध्वाधर रेखा बनाती हैं?
2. क्या दो कोण आसन्न होंगे यदि पहले का परिमाण 72˚ और दूसरे का 118˚ है?
3. यदि एक पूर्ण कोण में दो ऋजु कोण होते हैं, तो इसमें कितने समकोण होंगे?
4. एक समकोण को एक बीम द्वारा दो ऐसे कोणों में विभाजित किया जाता है कि उनके डिग्री माप 1:4 के रूप में संबंधित होते हैं। परिणामी कोणों की गणना करें।

समाधान और उत्तर:

1. कोई फर्क नहीं पड़ता कि सीधा कोण कैसे स्थित है, परिभाषा के अनुसार यह हमेशा 180˚ के बराबर होता है।
2. आसन्न कोनों में एक सामान्य पक्ष होता है। इसलिए, उनके द्वारा एक साथ रखे गए कोण के आकार की गणना करने के लिए, आपको केवल उनके डिग्री उपायों के मान को जोड़ने की आवश्यकता है। तो, 72 +118 = 190। लेकिन परिभाषा के अनुसार, एक सीधा कोण 180˚ है, जिसका अर्थ है कि दो दिए गए कोण आसन्न नहीं हो सकते।
3. एक समकोण में दो समकोण होते हैं। और चूँकि पूर्ण में दो तैनात हैं, इसका मतलब है कि इसमें 4 सीधी रेखाएँ होंगी।
4. यदि हम वांछित कोणों को ए और बी कहते हैं, तो एक्स को उनके लिए आनुपातिकता का गुणांक होने दें, जिसका अर्थ है कि ए \u003d एक्स, और तदनुसार बी \u003d 4x। डिग्री में एक सीधा कोण 180˚ है। और इसके गुणों के अनुसार, कि एक कोण का डिग्री माप हमेशा उन कोणों के डिग्री माप के योग के बराबर होता है जिसमें इसे किसी भी मनमानी किरण द्वारा विभाजित किया जाता है जो इसके किनारों के बीच से गुजरती है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि x + 4x = 180 ˚, जिसका अर्थ है 5x = 180˚। यहाँ से हम पाते हैं: x=a=36˚ और b = 4x = 144˚। उत्तर: 36˚ और 144˚।

यदि आप इन सभी प्रश्नों का उत्तर बिना किसी संकेत के और बिना उत्तर में झाँके देने में सफल रहे हैं, तो आप अगले ज्यामिति पाठ पर जाने के लिए तैयार हैं।

माप कोणइसका मूल्य खोजने का मतलब है। कोण का मान दर्शाता है कि माप की इकाई के लिए चुना गया कोण दिए गए कोण में कितनी बार फिट बैठता है।

कोणों के लिए माप की इकाई आमतौर पर डिग्री होती है। डिग्रीकोण समकोण के भाग के बराबर है। पाठ में डिग्री को इंगित करने के लिए, ° चिह्न का उपयोग किया जाता है, जो संख्या के ऊपरी दाएं कोने में रखा जाता है, जो डिग्री की संख्या (उदाहरण के लिए, 60 °) को दर्शाता है।

चाँदे से कोणों को मापना

कोणों को मापने के लिए एक विशेष उपकरण का प्रयोग किया जाता है - चांदा:

प्रोट्रैक्टर के दो पैमाने होते हैं - आंतरिक और बाहरी। आंतरिक और बाहरी पैमानों के लिए संदर्भ बिंदु अलग-अलग पक्षों पर स्थित है। सही माप परिणाम प्राप्त करने के लिए, डिग्री सही पक्ष से शुरू होनी चाहिए।

कोणों की माप निम्नानुसार की जाती है: प्रोट्रैक्टर को कोने पर रखा जाता है ताकि कोने का शीर्ष प्रोट्रैक्टर के केंद्र के साथ मेल खाता हो, और कोने का एक किनारा पैमाने पर शून्य विभाजन से होकर गुजरता है। तब कोण का दूसरा भाग कोण मान को डिग्री में इंगित करेगा:

वे कहते हैं: कोने बीओसी 60 डिग्री है, कोण सोमवार 120 डिग्री के बराबर है और लिखें: ∠ बीओसी= 60°, ∠ सोमवार= 120°।

कोणों के अधिक सटीक माप के लिए, डिग्री के अंशों का उपयोग किया जाता है: मिनट और सेकंड। मिनटडिग्री के अंश के बराबर कोण है। दूसराएक मिनट के अंश के बराबर कोण है। मिनट्स अंकित हैं " , और सेकंड साइन हैं "" . मिनट और सेकंड का चिन्ह संख्या के ऊपरी दाएं कोने में रखा गया है। उदाहरण के लिए, यदि कोण का मान 50 डिग्री 34 मिनट और 19 सेकंड है, तो लिखें:

50 डिग्री 34 " 19""

कोण माप गुण

यदि किरण किसी दिए गए कोण को दो भागों (दो कोणों) में विभाजित करती है, तो इस कोण का मान दो प्राप्त कोणों के मानों के योग के बराबर होता है।

जब दो खुशी से उछलना (एओऔर ओबी) एक बिंदु से आते हैं, तो इन किरणों द्वारा बनाई गई आकृति (साथ में उनके द्वारा बंधे हुए विमान के हिस्से के साथ) कहलाती है कोना ।

कोण बनाने वाली किरणें कहलाती हैं दलों. जिस बिंदु से वे उत्पन्न होते हैं - बैठककोण।

पार्श्व कोणऊपर से असीम रूप से विस्तारित के रूप में सोचा जाना चाहिए।

कोनाआमतौर पर तीन अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है, जिनमें से मध्य को रखा जाता है चोटियों, और पक्षों के कुछ बिंदुओं पर चरम। उदाहरण के लिए, "कोण" कहें एओबीया कोण भारतीय खेल प्राधिकरण"। लेकिन यदि इस शीर्ष पर कोई अन्य कोण नहीं हैं, तो शीर्ष पर रखे गए एक अक्षर के साथ एक कोण को नामित करना संभव है। हम कभी-कभी किसी कोण को शीर्ष पर कोण के अंदर रखी संख्या से निरूपित करेंगे। लिखित रूप में "कोण" शब्द को अक्सर चिह्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है / .

जब एक से दो किरणें निकलती हैं अंक, तो हम सख्ती से कहते हैं कि वे एक कोण नहीं, बल्कि दो कोण बनाते हैं।

ये दोनों कोण एक दूसरे के बराबर तभी होते हैं जब किरणें हों एओऔर ओबीएक का गठन प्रत्यक्ष .

ऐसा कोण कहलाता है कोण.

दो कोने गिने जाते हैं बराबर कोणयदि, आरोपित होने पर, उन्हें संयोजित किया जा सकता है।

हम यह मान लेते हैं कि किसी भी कोण के अंदर उसके शीर्ष से एक किरण (और केवल एक) खींची जा सकती है जो इस कोण को आधे में विभाजित करती है। ऐसी किरण कहलाती है कोण द्विभाजक .

दो कोने ( एओबीऔर बीओसी) कहा जाता है संबंधित, यदि उनका एक पक्ष उभयनिष्ठ है, और अन्य दो पक्ष समान हैं सरल रेखा.

धिक्कार है 1। धिक्कार है।2

जब दो बगल का कोनाबराबर हैं (चित्र 2), तो उनका उभयनिष्ठ पक्ष ओबीबुलाया सीधाएक सीधी रेखा के लिए एसीजिस पर अन्य पक्ष झूठ बोलते हैं।

यदि आसन्न कोण असमान हैं (चित्र 1), तो उभयनिष्ठ भुजा ओबीबुलाया परोक्षको एसी.

दोनों ही मामलों में, बिंदु हेबुलाया आधार(लंबवत या तिरछा)।

सीधी रेखा के किसी भी बिंदु से, इस सीधी रेखा के दोनों ओर, कोई भी इसे पुनर्स्थापित कर सकता है सीधाऔर केवल एक .

समान आसन्न कोणों में से प्रत्येक को कहा जाता है प्रत्यक्ष. समकोण है स्थायी 90 0 के बराबर एक मान (इसे आमतौर पर चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है डी, अर्थात। फ्रांसीसी शब्द "ड्रॉइट" का प्रारंभिक अक्षर - सीधा)। परिणामस्वरूप, साधारण कोणों की तुलना एक समकोण के साथ परिमाण में की जाती है।

कोई तैनातकोण 2 है डी= 180°।

हर कोना ( एओसी), समकोण से छोटा ( एओबी) कहा जाता है तीखा.

हर कोना ( एओडी) बड़ा प्रत्यक्ष कहा जाता है बेवकूफ।

कोणों का माप माप की इकाई के रूप में लिए गए कोण से उनकी तुलना करने पर आधारित होता है। आमतौर पर, डिग्री को कोणों के माप की इकाई के रूप में लिया जाता है - एक विकसित कोण के 1/180 के बराबर कोण।

चांदा

एक सकारात्मक संख्या जो दर्शाती है कि एक डिग्री और उसके हिस्से कितने बार दिए गए कोण में फिट होते हैं, कोण का डिग्री माप कहलाता है। कोणों को मापने के लिए एक चाँदे का उपयोग किया जाता है (चित्र 1)।

∠AOB = 150°

चित्र 2 कोण AOB को दर्शाता है, जिसका डिग्री माप 150° है। आमतौर पर वे संक्षेप में कहते हैं: "कोण AOB 150 ° है" - और वे लिखते हैं: Z AOB \u003d 150 °।

एक डिग्री के 1/60 को एक मिनट और एक मिनट के 1/60 को एक सेकंड कहते हैं। मिनट को "'" चिह्न और सेकंड - चिह्न "″" द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 68 डिग्री, 32 मिनट और 27 सेकंड का कोण 68°32′27″ होगा।

यदि दो कोण बराबर हैं, तो डिग्री और उसके हिस्से इन कोणों में समान संख्या में फिट होते हैं, अर्थात समान कोणों के समान डिग्री माप होते हैं। यदि एक कोण दूसरे कोण से छोटा है, तो एक डिग्री (या उसका एक भाग) दूसरे कोण की तुलना में उसमें कम बार फिट बैठता है, यानी छोटे कोण का अंश छोटा होता है।

चूँकि एक डिग्री 1/180 है: एक ऋजुकोण का भाग, ऋजुकोण 180° है। एक खुला कोण 180° से कम होता है, क्योंकि यह एक विकसित कोण से कम होता है।

∠AOC = 40°, ∠COB = 120°, ∠AOB = 160°

चित्रा 3 बिंदु ओ पर उत्पत्ति के साथ किरणें दिखाता है। ओएस बीम कोण एओबी को दो कोणों में विभाजित करता है: एओसी और सीओबी। हमने देखा कि ∠ AOC = 40°, ∠ COB = 120°, ∠ AOB = 160°.

इस प्रकार, ∠ एओसी + ∠ सीओबी = ∠ एओबी.

यह स्पष्ट है कि अन्य सभी मामलों में, जब एक किरण एक कोण को दो कोणों में विभाजित करती है, तो पूरे कोण का डिग्री माप उन कोणों के डिग्री माप के योग के बराबर होता है।

कोण कहा जाता है:

प्रत्यक्ष, यदि यह 90° के बराबर है (चित्र 4, a);

तीखा, अगर यह 90 ° से कम है, यानी समकोण से कम है (चित्र 4, बी);

बेवकूफ, यदि यह 90° से अधिक है, लेकिन 180° से कम है, यानी, एक समकोण से अधिक, लेकिन एक समकोण से कम (चित्र 4, c)।

उदाहरण 1किरण l कोण hk का समद्विभाजक है जो 50° के बराबर है। कोणों hi और Ik का अंश ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि l कोण hk का समद्विभाजक है, प्रत्येक कोण hl और lk के अंश माप समान होते हैं। आइए उनमें से एक के डिग्री माप को x के रूप में निरूपित करें। तब 2x = 50°, जहाँ से x = 25°। इसलिए, प्रत्येक कोण hl और lk का डिग्री माप 25° और 25° है।

उदाहरण 2रे ओएस कोण एओबी को दो कोणों में विभाजित करता है। AOC कोण ज्ञात कीजिए यदि ∠ AOC = 155° और AOC कोण COB कोण से 15° अधिक है।

समाधान। आइए हम कोण AOC के डिग्री माप को x के रूप में निरूपित करें। तब COB कोण का अंश माप x - 15° होगा। अब शर्त के अनुसार x + x - 15° = 155°, या 2x = 170°, जहाँ से x = 85°।

उदाहरण 3बीम a 120° के बराबर कोण cd की भुजाओं के बीच से गुजरता है। कनाद के कोण ज्ञात कीजिए यदि उनके डिग्री मापों का अनुपात 4:2 है।

समाधान। किरण a कोण cd की भुजाओं के बीच से गुजरती है, इसलिए ∠ ca + ∠ ad = ∠ cd.
चूंकि डिग्री माप ∠ca और ∠ad 4:2 के रूप में संबंधित हैं, तो $$∠ ca = \frac(120°)(6) 4 = 80° ,\space ∠ ad = \frac(120°)(6) 2 = 40°.$$

आइए परिभाषित करते हुए प्रारंभ करें कि कोण क्या है। प्रथम तो यह है कि दूसरा यह दो किरणों से बनता है, जिन्हें कोण की भुजाएँ कहते हैं। तीसरा, बाद वाला एक बिंदु से निकलता है, जिसे कोने का शीर्ष कहा जाता है। इन संकेतों के आधार पर, हम एक परिभाषा बना सकते हैं: एक कोण एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक बिंदु (शीर्ष) से ​​निकलने वाली दो किरणें (पक्ष) होती हैं।

उन्हें डिग्री के आधार पर, एक दूसरे के सापेक्ष स्थान और सर्कल के सापेक्ष वर्गीकृत किया जाता है। आइए उनके आकार के अनुसार कोणों के प्रकारों से शुरू करें।

इनकी कई किस्में हैं। आइए प्रत्येक प्रकार पर करीब से नज़र डालें।

कोण मुख्य रूप से चार प्रकार के होते हैं- समकोण, अधिक कोण, न्यून कोण और विकसित कोण।

सीधा

यह इस तरह दिख रहा है:

इसका डिग्री माप हमेशा 90 डिग्री होता है, दूसरे शब्दों में, समकोण 90 डिग्री का कोण होता है। केवल एक वर्ग और एक आयत जैसे चतुर्भुज ही उनके पास होते हैं।

कुंद

यह इस तरह दिख रहा है:

डिग्री माप हमेशा 90 डिग्री से अधिक होता है, लेकिन 180 डिग्री से कम होता है। यह ऐसे चतुष्कोणों में हो सकता है जैसे कि एक समचतुर्भुज, एक मनमाना समांतर चतुर्भुज, बहुभुज में।

मसालेदार

यह इस तरह दिख रहा है:

एक तीव्र कोण का डिग्री माप हमेशा 90° से कम होता है। यह एक वर्ग और एक स्वेच्छ समांतर चतुर्भुज को छोड़कर सभी चतुर्भुजों में होता है।

तैनात

विस्तारित कोण इस तरह दिखता है:

यह बहुभुजों में नहीं होता है, लेकिन यह अन्य सभी से कम महत्वपूर्ण नहीं है। एक सीधा कोण एक ज्यामितीय आकृति है, जिसका डिग्री माप हमेशा 180º होता है। आप किसी भी दिशा में इसके शीर्ष से एक या अधिक किरणें खींचकर इस पर निर्माण कर सकते हैं।

कई अन्य माध्यमिक प्रकार के कोण हैं। विद्यालयों में इनका अध्ययन नहीं होता, परन्तु कम से कम इनके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है। केवल पांच माध्यमिक प्रकार के कोण हैं:

1. शून्य

यह इस तरह दिख रहा है:

कोण का नाम ही पहले से ही इसके परिमाण की बात करता है। इसका आंतरिक क्षेत्रफल 0 o है, और भुजाएँ एक दूसरे के ऊपर स्थित हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

2. तिरछा

तिरछा सीधा, और कुंठित, और तीव्र, और विकसित कोण हो सकता है। इसकी मुख्य शर्त यह है कि यह 0o, 90o, 180o, 270o के बराबर नहीं होना चाहिए।

3. उत्तल

उत्तल शून्य, समकोण, अधिक कोण, तीव्र और विकसित कोण होते हैं। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, एक उत्तल कोण का अंश माप 0 o से 180 o तक होता है।

4. गैर-उत्तल

गैर-उत्तल कोण 181 o से 359 o समावेशी डिग्री माप वाले कोण हैं।

5. पूर्ण

360 डिग्री के माप वाला एक कोण एक पूर्ण कोण होता है।

ये सभी प्रकार के कोण अपने आकार के अनुसार होते हैं। अब एक दूसरे के सापेक्ष विमान पर स्थान के आधार पर उनके प्रकारों पर विचार करें।

1. अतिरिक्त

ये दो तीव्र कोण हैं जो एक सीधी रेखा बनाते हैं, अर्थात उनका योग 90 ओ है।

2. संबंधित

आसन्न कोण बनते हैं यदि किसी किरण को किसी भी दिशा में एक तैनात, अधिक सटीक रूप से, इसके शीर्ष के माध्यम से खींचा जाता है। उनका योग 180 ओ है।

3. कार्यक्षेत्र

लंबवत कोण तब बनते हैं जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। उनके डिग्री के उपाय बराबर हैं।

अब आइए वृत्त के सापेक्ष स्थित कोणों के प्रकारों पर चलते हैं। उनमें से केवल दो हैं: केंद्रीय और खुदा हुआ।

1. मध्य

केंद्रीय कोण वह है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र में है। इसका डिग्री माप पक्षों द्वारा अंतरित छोटे चाप के डिग्री माप के बराबर है।

2. खुदा हुआ

एक खुदा हुआ कोण वह होता है जिसका शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ इसे काटती हैं। इसका डिग्री माप चाप के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर यह टिका होता है।

यह सभी कोनों के बारे में है। अब आप जानते हैं कि ज्यामिति में सबसे प्रसिद्ध - तीक्ष्ण, कुंद, सीधे और तैनात - के अलावा उनमें से कई अन्य प्रकार हैं।