एक समारोह के चरम बिंदु और उनकी खोज। कार्य का बढ़ता, घटता और चरम। एक चर के एक चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त

इन असमानताओं को Δ के रूप में सीमा तक पास करना एक्स→ 0 और व्युत्पन्न को ध्यान में रखते हुए एफ "(एक्स 0) मौजूद है, और इसलिए बाईं ओर की सीमा कैसे Δ पर निर्भर नहीं करती है एक्स→ 0, हमें मिलता है: Δ के लिए एक्स → 0 – 0 एफ"(एक्स 0) ≥ 0 और Δ पर एक्स → 0 + 0 एफ"(एक्स 0) ≤ 0. चूंकि एफ"(एक्स 0) एक संख्या को परिभाषित करता है, तो ये दो असमानताएँ तभी संगत होती हैं जब एफ"(एक्स 0) = 0.

सिद्ध प्रमेय बताता है कि अधिकतम और न्यूनतम अंक केवल तर्क के उन मूल्यों में से हो सकते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

हमने उस मामले पर विचार किया है जब एक निश्चित खंड के सभी बिंदुओं पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। क्या होता है जब व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है? उदाहरणों पर विचार करें।

वाई=|एक्स|.

फ़ंक्शन का एक बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं होता है एक्स= 0 (इस बिंदु पर, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक निश्चित स्पर्शरेखा नहीं है), लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम है, क्योंकि वाई(0) = 0, और सभी के लिए एक्स≠ 0वाई > 0.

इस प्रकार, दिए गए उदाहरणों और तैयार किए गए प्रमेय से यह स्पष्ट है कि फलन का चरम केवल दो मामलों में हो सकता है: 1) उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य के बराबर है; 2) उस बिंदु पर जहां व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

हालांकि, अगर किसी समय एक्स 0 हम जानते हैं एफ" (एक्स 0 ) = 0, तो इससे यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन का एक चरम है।

उदाहरण के लिए।

लेकिन बिंदु एक्स=0 चरम बिंदु नहीं है, क्योंकि इस बिंदु के बाईं ओर फ़ंक्शन मान अक्ष के नीचे स्थित हैं बैल, और ऊपर दाईं ओर।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से तर्क के मान, जिसके लिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है या मौजूद नहीं होता है, कहा जाता है महत्वपूर्ण बिंदु.

यह पूर्वगामी से अनुसरण करता है कि किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु महत्वपूर्ण बिंदुओं में से हैं, और, हालांकि, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है। इसलिए, फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है, और फिर इनमें से प्रत्येक बिंदु को अधिकतम और न्यूनतम के लिए अलग-अलग जांचें। इसके लिए, निम्नलिखित प्रमेय कार्य करता है।

प्रमेय 2। (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक पर्याप्त स्थिति।) महत्वपूर्ण बिंदु वाले कुछ अंतराल पर कार्य को निरंतर होने दें एक्स 0 , और इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग है (शायद, बिंदु को छोड़कर एक्स 0). यदि, इस बिंदु से बाएं से दाएं जाने पर, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो बिंदु पर एक्स = एक्स 0 समारोह में अधिकतम है। अगर, गुजरते समय एक्स 0 बाएं से दाएं, डेरिवेटिव साइन माइनस से प्लस में बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, यदि

च"(एक्स)> 0 पर एक्स<एक्स 0 और च"(एक्स)< 0 पर एक्स> एक्स 0, फिर एक्स 0 - अधिकतम बिंदु;

सबूत. आइए पहले मान लें कि गुजरते समय एक्स 0, व्युत्पन्न परिवर्तन साइन प्लस से माइनस, यानी सभी के लिए एक्सबिंदु के करीब एक्स 0 च "(एक्स)> 0 के लिए एक्स< x 0 , च"(एक्स)< 0 के लिए एक्स> एक्स 0। आइए लैग्रेंज प्रमेय को अंतर पर लागू करें एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0 ) = च "(सी) (एक्स- एक्स 0), जहां सीबीच मे स्थित एक्सऔर एक्स 0 .

होने देना एक्स< x 0। तब सी< x 0 और च "(सी)> 0. इसीलिए च "(सी) (एक्स-एक्स 0)< 0 और इसलिए,

एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0 )< 0, यानी च (एक्स)< f(x 0 ).

होने देना एक्स> एक्स 0। तब सी> एक्स 0 और च"(सी)< 0. साधन च "(सी) (एक्स-एक्स 0)< 0. इसीलिए एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0 ) <0,т.е.च (एक्स)< एफ (एक्स 0 ) .

इस प्रकार, सभी मूल्यों के लिए एक्सकाफी करीब एक्स 0 च (एक्स)< एफ (एक्स 0 ) . और इसका मतलब है कि बिंदु पर एक्स 0 समारोह में अधिकतम है।

न्यूनतम प्रमेय का दूसरा भाग इसी तरह सिद्ध होता है।

आइए हम इस प्रमेय का अर्थ चित्र में स्पष्ट करें। होने देना एफ" (एक्स 1 ) = 0 और किसी के लिए एक्स,काफी करीब एक्स 1, असमानताएं

च"(एक्स)< 0 पर एक्स< x 1 , च "(एक्स)> 0 पर एक्स> एक्स 1 .

फिर बिंदु के बाईं ओर एक्स 1 फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और दाईं ओर घट रहा है, इसलिए, कब एक्स = एक्स 1 फलन बढ़ता से घटता जाता है, अर्थात इसका अधिकतम होता है।

इसी प्रकार बिन्दुओं पर विचार किया जा सकता है एक्स 2 और एक्स 3 .

योजनाबद्ध रूप से, उपरोक्त सभी को चित्र में दर्शाया जा सकता है:

किसी चरम सीमा के लिए फलन y=f(x) का अध्ययन करने का नियम

किसी फ़ंक्शन का दायरा खोजें च (एक्स)।

किसी फ़ंक्शन का पहला डेरिवेटिव खोजें च"(एक्स).

इसके लिए महत्वपूर्ण बिंदु निर्धारित करें:

समीकरण की वास्तविक जड़ें खोजें च"(एक्स)=0;

सभी मूल्यों का पता लगाएं एक्सजिसके तहत व्युत्पन्न च"(एक्स)मौजूद नहीं होना।

महत्वपूर्ण बिंदु के बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न के चिह्न का निर्धारण करें। चूंकि व्युत्पन्न का चिह्न दो महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच स्थिर रहता है, यह व्युत्पन्न के चिह्न को बाईं ओर किसी एक बिंदु पर और एक बिंदु पर महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ को बिंदु $(x_0,y_0)$ के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया जाना चाहिए। ऐसा कहा जाता है कि $(x_0,y_0)$ (स्थानीय) अधिकतम का एक बिंदु है यदि सभी बिंदुओं के लिए $(x,y)$ के कुछ पड़ोस में $(x_0,y_0)$ असमानता $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, तो बिंदु $(x_0,y_0)$ को (स्थानीय) न्यूनतम बिंदु कहा जाता है।

उच्च और निम्न बिंदुओं को अक्सर सामान्य शब्द एक्सट्रीम पॉइंट्स द्वारा संदर्भित किया जाता है।

यदि $(x_0,y_0)$ एक अधिकतम बिंदु है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन $f(x_0,y_0)$ का मान फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का अधिकतम कहा जाता है। तदनुसार, न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान को फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का न्यूनतम कहा जाता है। किसी फलन के निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ एक सामान्य पद से संयुक्त होते हैं - फलन का चरम।

एक चरम सीमा के लिए $z=f(x,y)$ फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

1. $\frac(\partial z)(\partial x)$ और $\frac(\partial z)(\partial y)$ का आंशिक डेरिवेटिव खोजें। समीकरणों की प्रणाली $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(गठबंधन) \right. $ बिंदु जिनके निर्देशांक निर्दिष्ट प्रणाली को संतुष्ट करते हैं उन्हें स्थिर कहा जाता है।
2. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ और $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ प्रत्येक स्थिर बिंदु पर। उसके बाद, निम्नलिखित योजना का उपयोग करें:
   1. अगर $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (या $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), तो अध्ययन के तहत बिंदु पर न्यूनतम बिंदु है।
   2. अगर $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. अगर $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. यदि $\Delta = 0$, तो चरम की उपस्थिति के बारे में निश्चित रूप से कुछ नहीं कहा जा सकता है; अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

नोट (पाठ की बेहतर समझ के लिए वांछनीय): दिखाएँ \ छुपाएँ

यदि $\Delta > 0$ तब $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ आंशिक) ^2z)(\आंशिक x\आंशिक वाई) \दाएं)^2 > 0$। और इससे यह पता चलता है कि $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2 ≥ 0$. वे। $\frac(\आंशिक^2z)(\आंशिक x^2)\cdot \frac(\आंशिक^2z)(\आंशिक y^2) > 0$। यदि कुछ राशियों का गुणनफल शून्य से अधिक है, तो इन राशियों का चिह्न समान होता है। अर्थात्, उदाहरण के लिए, यदि $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, तो $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$। संक्षेप में, यदि $\Delta > 0$ तो $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ और $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ के संकेत हैं जो उसी।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन की जांच करें $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ एक चरम सीमा के लिए।

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=8x-6y-34; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=-6x+10y+42. $$

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 8x-6y-34=0;\\ और -6x+10y+42=0। \अंत(संरेखित) \दाएं। $$

आइए इस प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को $2$ से कम करें और संख्याओं को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करें:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 4x-3y=17;\\ और -3x+5y=-21. \end(संरेखित) \दाएं। $$

हमने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है। इस स्थिति में, मुझे परिणामी प्रणाली को हल करने के लिए क्रैमर की विधि का सबसे सुविधाजनक अनुप्रयोग लगता है।

$$ \begin(गठबंधन) और \Delta=\बाएं| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\बाएं| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\बाएं| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(गठबंधन) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

मान $x=2$, $y=-3$ स्थिर बिंदु $(2;-3)$ के निर्देशांक हैं।

$$ \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)=8; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक y^2)=10; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक y)=-6. $$

आइए $\Delta$ के मान की गणना करें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

चूंकि $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, तो बिंदु के अनुसार $(2;-3)$ फ़ंक्शन $ का न्यूनतम बिंदु है जेड $। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $(2;-3)$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(मिनट)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ सीडीओटी(-3)+7=-90. $$

उत्तर: $(2;-3)$ - न्यूनतम बिंदु; $z_(न्यूनतम)=-90$।

उदाहरण #2

फ़ंक्शन की जांच करें $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ एक चरम के लिए।

हम उपरोक्त का पालन करेंगे। सबसे पहले, आइए पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव खोजें:

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=6xy-12. $$

समीकरणों की प्रणाली $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ अंत (संरेखित)\दाएं। $:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 3x^2+3y^2-15=0;\\ और 6xy-12=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 6 से कम करें।

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और x^2+y^2-5=0;\\ और xy-2=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

अगर $x=0$, तो दूसरा समीकरण हमें एक विरोधाभास की ओर ले जाएगा: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$। इसलिए निष्कर्ष: $x\neq 0$। फिर दूसरे समीकरण से हमारे पास: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$। $y=\frac(2)(x)$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास:

$$ x^2+\बाएं(\frac(2)(x) \दाएं)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

हमें द्विवर्गीय समीकरण मिला। हम प्रतिस्थापन करते हैं $t=x^2$ (हम ध्यान में रखते हैं कि $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \शुरू (संरेखित) और D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(गठबंधन) $$

अगर $t=1$, तो $x^2=1$। इसलिए हमारे पास $x$ के दो मान हैं: $x_1=1$, $x_2=-1$। अगर $t=4$, तो $x^2=4$, यानी $x_3=2$, $x_4=-2$। यह याद रखना कि $y=\frac(2)(x)$, हमें मिलता है:

\begin(गठबंधन) और y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \ अंत (गठबंधन)

तो, हमारे पास चार स्थिर बिंदु हैं: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$। यह एल्गोरिथम का पहला चरण पूरा करता है।

अब चलो एल्गोरिथ्म के लिए नीचे उतरें। आइए दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव खोजें:

$$ \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)=6x; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक y^2)=6x; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक y)=6y. $$

$\Delta$ खोजें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

अब हम पहले पाए गए स्थिर बिंदुओं में से प्रत्येक पर डेल्टा के मूल्य की गणना करेंगे। चलिए बिंदु $M_1(1;2)$ से शुरू करते हैं। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$। चूंकि $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

आइए बिंदु $M_2(-1;-2)$ को एक्सप्लोर करें। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$। चूंकि $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

आइए बिंदु $M_3(2;1)$ की जांच करें। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \बाएं.\frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)\दाएं|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

चूँकि $\Delta(M_3) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, फिर $M_3(2; 1)$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_3$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(मिनट)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

यह $M_4(-2;-1)$ बिंदु का पता लगाने के लिए बना हुआ है। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \बाएं.\frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)\दाएं|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

चूंकि $\Delta(M_4) > 0$ और $\बाएं.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(अधिकतम)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

चरम अध्ययन पूरा हो गया है। केवल उत्तर लिखना बाकी रह गया है।

उत्तर:

• $(2;1)$ - न्यूनतम बिंदु, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - अधिकतम बिंदु, $z_(अधिकतम)=29$।

टिप्पणी

सामान्य स्थिति में, डेल्टा के मूल्य की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हम केवल संकेत में रुचि रखते हैं, न कि इस पैरामीटर के विशिष्ट मूल्य में। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण संख्या 2 के लिए, बिंदु $M_3(2;1)$ पर हमारे पास $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ है। यहाँ यह स्पष्ट है कि $\Delta > 0$ (क्योंकि दोनों कारक $36$ और $(2^2-1^2)$ सकारात्मक हैं) और $\Delta$ का एक विशिष्ट मूल्य नहीं खोजना संभव है। सच है, यह टिप्पणी विशिष्ट गणनाओं के लिए बेकार है - उन्हें गणनाओं को एक संख्या में लाने की आवश्यकता है :)

उदाहरण #3

फ़ंक्शन की जांच करें $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ एक चरम के लिए।

हम पालन करेंगे। सबसे पहले, आइए पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव खोजें:

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=4x^3-4x+4y; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=4y^3+4x-4y. $$

समीकरणों की प्रणाली $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ अंत (संरेखित)\दाएं। $:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 4x^3-4x+4y=0;\\ और 4y^3+4x-4y=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

आइए दोनों समीकरणों को $4$ से कम करें:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और x^3-x+y=0;\\ और y^3+x-y=0। \end(संरेखित) \दाएं। $$

आइए पहले समीकरण को दूसरे में जोड़ें और $y$ को $x$ के संदर्भ में व्यक्त करें:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; वाई = -एक्स। $$

सिस्टम के पहले समीकरण में $y=-x$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0। $$

परिणामी समीकरण से हमारे पास: $x=0$ या $x^2-2=0$। यह समीकरण $x^2-2=0$ से आता है कि $x=-\sqrt(2)$ या $x=\sqrt(2)$। तो, $x$ के तीन मान पाए जाते हैं, अर्थात्: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$। चूँकि $y=-x$, तब $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$।

समाधान का पहला चरण समाप्त हो गया है। हमें तीन स्थिर बिंदु मिले: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

अब चलो एल्गोरिथ्म के लिए नीचे उतरें। आइए दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव खोजें:

$$ \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x^2)=12x^2-4; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक y^2)=12y^2-4; \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक y)=4. $$

$\Delta$ खोजें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2) -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

अब हम पहले पाए गए स्थिर बिंदुओं में से प्रत्येक पर डेल्टा के मूल्य की गणना करेंगे। चलिए बिंदु $M_1(0;0)$ से शुरू करते हैं। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$। चूँकि $\Delta(M_1) = 0$, अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है, क्योंकि विचारित बिंदु पर एक चरम की उपस्थिति के बारे में निश्चित रूप से कुछ भी नहीं कहा जा सकता है। आइए इस बिंदु को फिलहाल के लिए छोड़ दें और अन्य बिंदुओं पर जाएं।

आइए बिंदु $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ की जांच करें। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

\begin(गठबंधन) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \बाएं.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \ अंत (गठबंधन)

चूँकि $\Delta(M_2) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, फिर $M_2(-\) के अनुसार sqrt(2),\sqrt(2))$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_2$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(मिनट)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

पिछले बिंदु के समान, हम $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ बिंदु की जांच करते हैं। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

\begin(गठबंधन) और \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \बाएं.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \ अंत (गठबंधन)

चूँकि $\Delta(M_3) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, फिर $M_3(\sqrt) के अनुसार (2),-\sqrt(2))$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_3$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(मिनट)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

यह बिंदु $M_1(0;0)$ पर लौटने का समय है, जहां $\Delta(M_1) = 0$। अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है। इस टालमटोल वाक्यांश का अर्थ है "जो आप चाहते हैं वह करें" :)। ऐसी स्थितियों को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है - और यह समझ में आता है। यदि ऐसा कोई तरीका होता, तो यह बहुत पहले सभी पाठ्यपुस्तकों में प्रवेश कर गया होता। इस बीच, हमें प्रत्येक बिंदु के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की तलाश करनी होगी जिस पर $\Delta = 0$। ठीक है, बिंदु $M_1(0;0)$ के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं। हम तुरंत नोट करते हैं कि $z(M_1)=z(0;0)=3$। मान लें कि $M_1(0;0)$ एक न्यूनतम बिंदु है। फिर किसी भी बिंदु $M$ के लिए बिंदु $M_1(0;0)$ के कुछ पड़ोस से हमें $z(M) > z(M_1) $ मिलता है, यानी $z(एम) > 3$। क्या होगा यदि किसी पड़ोस में ऐसे बिंदु हों जहां $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

उन बिंदुओं पर विचार करें जिनके लिए $y=0$, यानी फॉर्म के अंक $(x,0)$। इन बिंदुओं पर, $z$ फ़ंक्शन निम्न मानों को ग्रहण करेगा:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

सभी पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस $M_1(0;0)$ में हमारे पास $x^2-2 है< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

लेकिन शायद बिंदु $M_1(0;0)$ एक अधिकतम बिंदु है? यदि ऐसा है, तो किसी भी बिंदु $M$ के लिए बिंदु $M_1(0;0)$ के कुछ पड़ोस से हमें $z(M) मिलता है< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? तब बिंदु $M_1$ पर निश्चित रूप से अधिकतम नहीं होगा।

उन बिंदुओं पर विचार करें जिनके लिए $y=x$, यानी फॉर्म के अंक $(x,x)$। इन बिंदुओं पर, $z$ फ़ंक्शन निम्न मानों को ग्रहण करेगा:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

चूंकि बिंदु $M_1(0;0)$ के किसी भी पड़ोस में हमारे पास $2x^4 > 0$, फिर $2x^4+3 > 3$ है। निष्कर्ष: बिंदु $M_1(0;0)$ के किसी भी पड़ोस में ऐसे बिंदु शामिल हैं जहां $z > 3$ है, इसलिए बिंदु $M_1(0;0)$ एक अधिकतम बिंदु नहीं हो सकता है।

बिंदु $M_1(0;0)$ न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम। निष्कर्ष: $M_1$ बिल्कुल भी चरम बिंदु नहीं है।

उत्तर: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - फंक्शन $z$ के न्यूनतम अंक। दोनों बिंदुओं पर $z_(min)=-5$।

एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म।.

• एक समारोह के व्युत्पन्न ढूँढना
• इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें
• हम परिणामी अभिव्यक्ति के चर के मान पाते हैं (चर के मान जिस पर व्युत्पन्न शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं)
• हम समन्वय रेखा को इन मूल्यों के साथ अंतराल में विभाजित करते हैं (हमें विराम बिंदुओं के बारे में नहीं भूलना चाहिए, जिसे रेखा पर भी लागू करने की आवश्यकता होती है), इन सभी बिंदुओं को चरम के लिए "संदिग्ध" बिंदु कहा जाता है
• हम गणना करते हैं कि इनमें से किस अंतराल पर अवकलज धनात्मक होगा और किस पर ऋणात्मक होगा। ऐसा करने के लिए, आपको अंतराल से मूल्य को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

एक चरम सीमा के संदिग्ध बिंदुओं में से, यह पता लगाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम समन्वय रेखा पर अपने अंतराल को देखते हैं। यदि किसी बिन्दु से गुजरते समय अवकलज का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है तो यह बिन्दु होगा अधिकतम, और अगर माइनस से प्लस तक, तो न्यूनतम.

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, आपको खंड के अंत में और चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता होती है। फिर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनें।

एक उदाहरण पर विचार करें
हम व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं:

हम चर के प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के चिह्न की गणना करते हैं। ठीक है, उदाहरण के लिए, पहले लेने के लिए-2 , तो व्युत्पन्न होगा-0,24 , दूसरे टेक के लिए0 , तो व्युत्पन्न होगा2 , और तीसरे के लिए हम लेते हैं2 , तो व्युत्पन्न होगा-0.24। हम उपयुक्त संकेत लगाते हैं।

हम देखते हैं कि बिंदु -1 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस में बदल जाता है, अर्थात यह एक न्यूनतम बिंदु होगा, और जब 1 से क्रमशः प्लस से माइनस में गुजरता है, तो यह एक अधिकतम बिंदु होता है।

गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा फलन है। इसकी मदद से, आप प्रकृति में होने वाली कई प्रक्रियाओं की कल्पना कर सकते हैं, एक ग्राफ पर सूत्रों, तालिकाओं और छवियों का उपयोग करके कुछ मात्राओं के बीच संबंध को दर्शा सकते हैं। एक उदाहरण विसर्जन की गहराई, त्वरण - किसी वस्तु पर एक निश्चित बल की कार्रवाई पर, तापमान में वृद्धि - संचरित ऊर्जा पर, और कई अन्य प्रक्रियाओं पर एक तरल परत के दबाव की निर्भरता है। एक फ़ंक्शन के अध्ययन में एक ग्राफ की साजिश रचने, इसके गुणों का पता लगाने, परिभाषा और मूल्यों के डोमेन, वृद्धि और कमी के अंतराल शामिल हैं। इस प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण बिंदु चरम बिंदुओं को ढूंढ रहा है। इसे सही तरीके से कैसे करें, इस बारे में बातचीत चलती रहेगी।

एक विशिष्ट उदाहरण पर ही अवधारणा के बारे में

चिकित्सा में, फ़ंक्शन ग्राफ का निर्माण रोगी के शरीर में रोग के विकास के पाठ्यक्रम के बारे में बता सकता है, स्पष्ट रूप से उसकी स्थिति को दर्शाता है। मान लेते हैं कि दिनों में समय OX अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और मानव शरीर का तापमान OY अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि यह सूचक कैसे तेजी से बढ़ता है और फिर गिरता है। एकवचन बिंदुओं को नोटिस करना भी आसान है जो उन क्षणों को दर्शाते हैं जब फ़ंक्शन, पहले से बढ़ रहा है, घटने लगता है, और इसके विपरीत। ये चरम बिंदु हैं, अर्थात्, रोगी के तापमान के इस मामले में महत्वपूर्ण मूल्य (अधिकतम और न्यूनतम), जिसके बाद उसकी स्थिति में परिवर्तन होता है।

टिल्ट एंगल

आकृति से यह निर्धारित करना आसान है कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे बदलता है। यदि ग्राफ की सीधी रेखाएँ समय के साथ ऊपर जाती हैं, तो यह धनात्मक है। और वे जितने अधिक कठोर होते हैं, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक होता है, क्योंकि झुकाव का कोण बढ़ता है। कमी की अवधि के दौरान, यह मान नकारात्मक मान लेता है, चरम बिंदुओं पर शून्य हो जाता है, और बाद के मामले में व्युत्पन्न का ग्राफ OX अक्ष के समानांतर खींचा जाता है।

किसी अन्य प्रक्रिया को उसी तरह से व्यवहार किया जाना चाहिए। लेकिन इस अवधारणा के बारे में बताने का सबसे अच्छा तरीका विभिन्न पिंडों की गति है, जो ग्राफ़ पर स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

आंदोलन

मान लीजिए कि कोई वस्तु समान रूप से गति प्राप्त करते हुए एक सीधी रेखा में चलती है। इस अवधि के दौरान, शरीर के निर्देशांक में परिवर्तन ग्राफिक रूप से एक निश्चित वक्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे एक गणितज्ञ परवलय की एक शाखा कहेगा। साथ ही, फ़ंक्शन लगातार बढ़ रहा है, क्योंकि समन्वय संकेतक हर सेकेंड के साथ तेज़ी से और तेज़ी से बदलते हैं। गति ग्राफ व्युत्पन्न के व्यवहार को दर्शाता है, जिसका मूल्य भी बढ़ता है। इसका मतलब है कि आंदोलन का कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।

यह अनिश्चित काल तक जारी रहेगा। लेकिन क्या होगा अगर शरीर अचानक धीमा होने का फैसला करता है, रुक जाता है और एक अलग दिशा में चलना शुरू कर देता है? इस मामले में, समन्वय संकेतक घटने लगेंगे। और फ़ंक्शन एक महत्वपूर्ण मान पारित करेगा और बढ़ने से घटने में बदल जाएगा।

इस उदाहरण में, आप फिर से समझ सकते हैं कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर चरम बिंदु उस समय दिखाई देते हैं जब यह नीरस होना बंद हो जाता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ

पहले जो वर्णित किया गया था वह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि व्युत्पन्न अनिवार्य रूप से फलन के परिवर्तन की दर है। इस शोधन में इसका भौतिक अर्थ है। चरम बिंदु चार्ट पर महत्वपूर्ण क्षेत्र हैं। व्युत्पन्न के मान की गणना करके उनका पता लगाना और उनका पता लगाना संभव है, जो शून्य के बराबर होता है।

एक और संकेत है, जो चरम के लिए पर्याप्त स्थिति है। विभक्ति के ऐसे स्थानों में व्युत्पन्न अपना चिन्ह बदलता है: अधिकतम के क्षेत्र में "+" से "-" और न्यूनतम के क्षेत्र में "-" से "+" तक।

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में आंदोलन

आइए एक और स्थिति की कल्पना करें। गेंद खेलते हुए बच्चों ने इसे इस तरह फेंका कि यह एक कोण पर क्षितिज की ओर बढ़ने लगा। प्रारंभिक क्षण में, इस वस्तु की गति सबसे बड़ी थी, लेकिन गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, यह घटने लगी, और प्रत्येक सेकंड के साथ समान मान से, लगभग 9.8 m / s 2 के बराबर। यह त्वरण का मान है जो मुक्त गिरावट के दौरान पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होता है। चंद्रमा पर, यह लगभग छह गुना छोटा होगा।

शरीर की गति का वर्णन करने वाला ग्राफ नीचे की ओर इशारा करते हुए शाखाओं वाला एक परवलय है। चरम बिंदु कैसे खोजें? इस मामले में, यह फ़ंक्शन का शीर्ष है, जहां शरीर (गेंद) की गति शून्य मान लेती है। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य हो जाता है। इस मामले में, दिशा, और इसलिए गति का मान विपरीत में बदल जाता है। शरीर तेजी से और तेजी से हर सेकेंड के साथ उड़ता है, और उसी मात्रा में तेजी लाता है - 9.8 मीटर/सेकेंड 2।

दूसरा व्युत्पन्न

पिछले मामले में, वेग मापांक का प्लॉट एक सीधी रेखा के रूप में खींचा गया है। इस रेखा को पहले नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, क्योंकि इस मात्रा का मान लगातार घट रहा है। किसी एक समय बिंदु पर शून्य पर पहुंचने के बाद, इस मान के संकेतक बढ़ने लगते हैं, और गति मॉड्यूल के चित्रमय प्रतिनिधित्व की दिशा नाटकीय रूप से बदल जाती है। अब रेखा ऊपर की ओर इशारा कर रही है।

गति, समय के संबंध में समन्वय का व्युत्पन्न होने के नाते, एक महत्वपूर्ण बिंदु भी है। इस क्षेत्र में, कार्य, शुरू में घट रहा है, बढ़ने लगता है। यह फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के चरम बिंदु का स्थान है। इस स्थिति में, स्पर्शरेखा की प्रवणता शून्य हो जाती है। और त्वरण, समय के संबंध में समन्वय का दूसरा व्युत्पन्न होने के नाते, "-" से "+" में परिवर्तन करता है। और समान रूप से धीमी गति से गति समान रूप से त्वरित हो जाती है।

त्वरण ग्राफ

अब चार आकृतियों पर विचार करें। उनमें से प्रत्येक त्वरण के रूप में ऐसी भौतिक मात्रा के समय के साथ परिवर्तन का एक ग्राफ प्रदर्शित करता है। "ए" के मामले में, इसका मूल्य सकारात्मक और स्थिर रहता है। इसका मतलब है कि शरीर की गति, उसके समन्वय की तरह, लगातार बढ़ रही है। यदि हम कल्पना करते हैं कि वस्तु इस तरह से असीम रूप से लंबे समय तक चलेगी, तो समय पर समन्वय की निर्भरता को दर्शाने वाला कार्य लगातार बढ़ता जाएगा। इससे यह पता चलता है कि इसका कोई महत्वपूर्ण क्षेत्र नहीं है। डेरिवेटिव के ग्राफ पर कोई चरम बिंदु भी नहीं है, जो कि एक रैखिक रूप से बदलती गति है।

सकारात्मक और लगातार बढ़ते त्वरण के साथ "बी" मामले पर भी यही लागू होता है। सच है, निर्देशांक और गति के ग्राफ यहां कुछ अधिक जटिल होंगे।

जब त्वरण शून्य हो जाता है

आकृति "बी" को देखते हुए, आप शरीर की गति को दर्शाने वाली एक पूरी तरह से अलग तस्वीर देख सकते हैं। इसकी गति रेखांकन नीचे की ओर इशारा करते हुए शाखाओं के साथ एक परवलय के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि हम त्वरण में परिवर्तन का वर्णन करने वाली रेखा को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह OX अक्ष के साथ और आगे नहीं मिल जाता है, तब हम कल्पना कर सकते हैं कि इस महत्वपूर्ण मान तक, जहाँ त्वरण शून्य के बराबर हो जाता है, वस्तु की गति बढ़ जाएगी अधिक से अधिक धीरे-धीरे। समन्वय समारोह के व्युत्पन्न का चरम बिंदु पैराबोला के शीर्ष पर होगा, जिसके बाद शरीर मूल रूप से आंदोलन की प्रकृति को बदल देगा और एक अलग दिशा में आगे बढ़ना शुरू कर देगा।

बाद के मामले में, "जी", आंदोलन की प्रकृति को सटीक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यहां हम केवल इतना जानते हैं कि विचाराधीन कुछ अवधि के लिए कोई त्वरण नहीं है। इसका मतलब यह है कि वस्तु जगह पर रह सकती है या गति एक स्थिर गति से होती है।

समन्वय जोड़ने की समस्या

आइए उन कार्यों पर चलते हैं जो अक्सर स्कूल में बीजगणित का अध्ययन करते समय सामने आते हैं और परीक्षा की तैयारी के लिए पेश किए जाते हैं। नीचे दिया गया चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। चरम बिंदुओं के योग की गणना करना आवश्यक है।

हम इसे y-अक्ष के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्रों के निर्देशांक निर्धारित करके करेंगे जहां फ़ंक्शन की विशेषताओं में परिवर्तन देखा गया है। सीधे शब्दों में कहें, हम विभक्ति बिंदुओं के लिए एक्स-अक्ष के साथ मान ढूंढते हैं, और फिर परिणामी शर्तों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। ग्राफ के अनुसार, यह स्पष्ट है कि वे निम्नलिखित मान लेते हैं: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. यह -21 तक जोड़ता है, जो कि उत्तर है।

सर्वोतम उपाय

व्यावहारिक कार्यों के प्रदर्शन में इष्टतम समाधान का चुनाव कितना महत्वपूर्ण हो सकता है, इसकी व्याख्या करना आवश्यक नहीं है। आखिरकार, लक्ष्य को प्राप्त करने के कई तरीके हैं, और सबसे अच्छा तरीका, एक नियम के रूप में, केवल एक है। यह अत्यंत आवश्यक है, उदाहरण के लिए, इन मानव निर्मित वस्तुओं के इष्टतम रूप को खोजने के लिए जहाज, अंतरिक्ष यान और विमान, वास्तु संरचनाओं को डिजाइन करते समय।

गुरुत्वाकर्षण बल और कई अन्य संकेतकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाले अधिभार पर वाहनों की गति काफी हद तक प्रतिरोध के सक्षम न्यूनीकरण पर निर्भर करती है जो वे पानी और हवा के माध्यम से चलते समय अनुभव करते हैं। समुद्र में एक जहाज को तूफान के दौरान स्थिरता जैसे गुणों की आवश्यकता होती है, एक नदी के जहाज के लिए, एक न्यूनतम मसौदा महत्वपूर्ण होता है। इष्टतम डिजाइन की गणना करते समय, ग्राफ़ पर चरम बिंदु नेत्रहीन रूप से एक जटिल समस्या के सर्वोत्तम समाधान का विचार दे सकते हैं। ऐसी योजना के कार्य अक्सर अर्थव्यवस्था में, आर्थिक क्षेत्रों में, कई अन्य जीवन स्थितियों में हल हो जाते हैं।

प्राचीन इतिहास से

प्राचीन ऋषि-मुनियों तक को अत्यधिक कार्य करने पड़ते थे। ग्रीक वैज्ञानिकों ने गणितीय गणनाओं के माध्यम से क्षेत्रों और मात्राओं के रहस्य को सफलतापूर्वक सुलझाया। वे सबसे पहले यह समझने वाले थे कि समान परिधि वाली विभिन्न आकृतियों के तल पर, वृत्त का क्षेत्रफल हमेशा सबसे बड़ा होता है। इसी तरह, एक ही सतह क्षेत्र के साथ अंतरिक्ष में अन्य वस्तुओं के बीच एक गेंद को अधिकतम मात्रा के साथ संपन्न किया जाता है। आर्किमिडीज, यूक्लिड, अरस्तू, एपोलोनियस जैसी प्रसिद्ध हस्तियों ने ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए खुद को समर्पित कर दिया। हेरॉन चरम बिंदुओं को खोजने में बहुत सफल रहा, जिसने गणनाओं का सहारा लेते हुए सरल उपकरणों का निर्माण किया। इनमें भाप के माध्यम से चलने वाली स्वचालित मशीनें, एक ही सिद्धांत पर काम करने वाले पंप और टर्बाइन शामिल थे।

कार्थेज का निर्माण

एक किंवदंती है, जिसका कथानक चरम कार्यों में से एक को हल करने पर आधारित है। फ़ोनीशियन राजकुमारी द्वारा प्रदर्शित व्यापारिक दृष्टिकोण का परिणाम, जो मदद के लिए संतों की ओर मुड़ा, कार्थेज का निर्माण था। इस प्राचीन और प्रसिद्ध शहर के लिए भूमि की साजिश अफ्रीकी जनजातियों में से एक के नेता द्वारा डिडो (जो कि शासक का नाम था) को प्रस्तुत की गई थी। आबंटन का क्षेत्र पहले उसे बहुत बड़ा नहीं लगता था, क्योंकि अनुबंध के अनुसार इसे ऑक्साइड से ढंकना पड़ता था। लेकिन राजकुमारी ने अपने सैनिकों को इसे पतली पट्टियों में काटने और उनमें से एक बेल्ट बनाने का आदेश दिया। यह इतना लंबा निकला कि इसने एक ऐसे क्षेत्र को कवर किया जहां पूरा शहर फिट बैठता था।

कैलकुलस की उत्पत्ति

और अब चलते हैं प्राचीन काल से बाद के युग की ओर। दिलचस्प बात यह है कि 17वीं शताब्दी में, केप्लर को एक शराब विक्रेता के साथ मुलाकात के द्वारा गणितीय विश्लेषण की नींव को समझने के लिए प्रेरित किया गया था। व्यापारी अपने पेशे में इतना पारंगत था कि वह बैरल में पेय की मात्रा को आसानी से निर्धारित कर सकता था, बस उसमें एक लोहे का बंधन कम कर सकता था। इस तरह की जिज्ञासा पर विचार करते हुए, प्रसिद्ध वैज्ञानिक इस दुविधा को अपने लिए हल करने में कामयाब रहे। यह पता चला है कि उस समय के कुशल कूपर्स को बर्तन बनाने का काम इस तरह से मिला था कि, एक निश्चित ऊंचाई और बन्धन के छल्ले की परिधि की त्रिज्या में, उनकी अधिकतम क्षमता थी।

यह केपलर के लिए और चिंतन का अवसर बन गया। Bochars एक लंबी खोज, गलतियों और नए प्रयासों से इष्टतम समाधान के लिए आए, अपने अनुभव को पीढ़ी से पीढ़ी तक पारित करते हुए। लेकिन केप्लर प्रक्रिया को तेज करना चाहता था और गणितीय गणनाओं के माध्यम से कम समय में इसे कैसे करना है, यह सीखना चाहता था। उनके सभी विकास, सहकर्मियों द्वारा उठाए गए, फ़र्मेट और न्यूटन - लीबनिज़ के अब ज्ञात प्रमेयों में बदल गए।

अधिकतम क्षेत्र खोजने की समस्या

कल्पना कीजिए कि हमारे पास एक तार है जिसकी लंबाई 50 सेमी है। इससे एक आयत कैसे बनाया जाए, जिसका क्षेत्रफल सबसे बड़ा हो?

किसी निर्णय की शुरुआत सरल और जाने-पहचाने सत्य से करनी चाहिए। यह स्पष्ट है कि हमारी आकृति का परिमाप 50 सेमी होगा। इसमें दोनों पक्षों की लंबाई का दोगुना भी शामिल है। इसका मतलब यह है कि, उनमें से एक को "एक्स" के रूप में नामित किया गया है, दूसरे को (25 - एक्स) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यहाँ से हमें X (25 - X) के बराबर क्षेत्रफल मिलता है। इस अभिव्यक्ति को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो कई मान लेता है। समस्या के समाधान के लिए उनमें से अधिकतम खोजने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि आपको चरम बिंदुओं का पता लगाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं। नतीजा एक साधारण समीकरण है: 25 - 2X = 0।

इससे हमें पता चलता है कि एक भुजा X = 12.5 है।

इसलिए, दूसरा: 25 - 12.5 \u003d 12.5।

यह पता चला है कि समस्या का समाधान 12.5 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग होगा।

अधिकतम गति कैसे ज्ञात करें

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। कल्पना कीजिए कि एक ऐसा पिंड है जिसकी सरल रेखीय गति को समीकरण S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 द्वारा वर्णित किया गया है, जहाँ तय की गई दूरी को मीटर में और समय को सेकंड में व्यक्त किया जाता है। अधिकतम गति का पता लगाना आवश्यक है। इसे कैसे करना है? डाउनलोड की गई गति का पता लगाएं, जो कि पहला व्युत्पन्न है।

हमें समीकरण मिलता है: वी = - 3टी 2 + 18टी - 24। अब, समस्या को हल करने के लिए, हमें फिर से चरम बिंदु खोजने की जरूरत है। यह पिछले कार्य की तरह ही किया जाना चाहिए। हम गति का पहला व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

हम पाते हैं: - 6t + 18 = 0. इसलिए t = 3 s. यह वह समय है जब शरीर की गति महत्वपूर्ण मान लेती है। हम प्राप्त डेटा को वेग समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: V = 3 m/s।

लेकिन यह कैसे समझें कि यह बिल्कुल अधिकतम गति है, क्योंकि फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके सबसे बड़े या सबसे छोटे मान हो सकते हैं? जांचने के लिए, आपको गति का दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है। इसे ऋण चिह्न के साथ संख्या 6 के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि पाया बिंदु अधिकतम है। और दूसरे व्युत्पन्न के सकारात्मक मूल्य के मामले में, न्यूनतम होगा। इसलिए, पाया गया समाधान सही था।

एक उदाहरण के रूप में दिए गए कार्य केवल उनमें से एक हिस्सा हैं जिन्हें किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने में सक्षम होने से हल किया जा सकता है। वास्तव में, और भी बहुत कुछ हैं। और ऐसा ज्ञान मानव सभ्यता के लिए असीमित संभावनाएं खोलता है।

इस सेवा के साथ आप कर सकते हैं किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें Word में समाधान के डिज़ाइन के साथ एक चर f(x)। यदि फलन f(x,y) दिया हुआ है, तो दो चरों के फलन का चरम ज्ञात करना आवश्यक है। आप फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल का भी पता लगा सकते हैं।

समारोह प्रवेश नियम:

एक चर के एक चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त

एक चर के एक चरम सीमा के लिए एक पर्याप्त स्थिति

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ "" 0 (एक्स *)> 0

फिर बिंदु x * फ़ंक्शन के स्थानीय (वैश्विक) न्यूनतम का बिंदु है।

यदि बिंदु x * पर स्थिति पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
च"" 0 (एक्स *)< 0

वह बिंदु x * एक स्थानीय (वैश्विक) अधिकतम है।

उदाहरण 1। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें: खंड पर।
समाधान।

महत्वपूर्ण बिंदु एक x 1 = 2 (f'(x)=0) है। यह बिंदु खंड के अंतर्गत आता है। (बिंदु x=0 महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि 0∉)।
हम खंड के अंत में और महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं।
f(1)=9, f(2)= 5/2 , f(3)=3 8/81
उत्तर: x = 2 के लिए f मिनट = 5/2; f अधिकतम =9 at x=1

उदाहरण #2। उच्च कोटि के अवकलजों का प्रयोग करके, फलन y=x-2sin(x) का चरम ज्ञात कीजिए।
समाधान।
फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: y'=1-2cos(x) I आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. हम y''=2sin(x), गणना करते हैं, इसलिए x= π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं; , इसलिए x=- π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु हैं।

उदाहरण #3। बिंदु x = 0 के पड़ोस में एक्सट्रीम फ़ंक्शन की जाँच करें।
समाधान। यहां फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को ढूंढना जरूरी है। यदि चरम x=0 है, तो इसका प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) ज्ञात कीजिए। यदि प्राप्त बिन्दुओं में कोई x = 0 नहीं है, तो फलन f(x=0) के मान की गणना करें।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब किसी दिए गए बिंदु के प्रत्येक पक्ष पर व्युत्पन्न अपना संकेत नहीं बदलता है, तो अलग-अलग कार्यों के लिए भी संभावित स्थितियां समाप्त नहीं होती हैं: ऐसा हो सकता है कि बिंदु x 0 के एक तरफ एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए या दोनों पक्षों पर, व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न। इन बिंदुओं पर, कार्यों का अध्ययन करने के लिए चरम सीमा तक अन्य तरीकों को लागू करना पड़ता है।

उदाहरण #4। संख्या 49 को दो पदों में विभाजित करें, जिसका गुणनफल सबसे बड़ा होगा।
समाधान। माना x पहला पद है। तब (49-x) दूसरा पद है।
गुणनफल अधिकतम होगा: x (49-x) → अधिकतम